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第二十一章 一元二次方程—2023-2024學年九年級數學人教版期末復習知識小錦
第一步：單元學習目標
1.一元二次方程 （1）會判斷一個方程是不是一元二次方程. （2）會將一元二次方程化為一般形式，知道各項的名稱.
2.解一元二次方程 （1）能根據一元二次方程的特征選擇適當的方法，如直接開方法、配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程. （2）會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等，并能根據根的情況，確定方程中字母系數的取值范圍. （3）了解一元二次方程的根與系數的關系，會運用一元二次方程根與系數的關系解決一些簡單問題.
3.實際問題與一元二次方程 會分析實際問題中的數量關系，列出一元二次方程解決實際問題，并根據具體問題的實際意義，檢驗方程的解是否合理.
第二步：思維導圖回顧知識
第三邊：知識梳理
一元二次方程的概念
一元二次方程必須同時滿足三個條件：
（1）是整式方程；
（2）只含有一個未知數；
（3）未知數的最高次數是2.
【注意】
對于二次項的系數含有字母的方程，若字母的取值范圍不明確，則這個方程不一定是一元二次方程.例如，關于x的方程，當時，該方程是一元一次方程.
一元二次方程的一般形式
（1）“”是一元二次方程的重要組成部分，當時，就成了一元一次方程，但如果明確了是一元二次方程，就隱含了這個條件.
（2）確定一元二次方程的項及系數時，必須先將方程化成一般形式，習慣上把二次項系數化為正數.
（3）指出一元二次方程的項和各項的系數時，一定要帶上系數前的符號.
直接開平方法解一元二次方程
1.直接開平方法：利用平方根的意義直接開平方，求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法.
2.方程的根
（1）當時，根據平方根的意義，方程有兩個不相等的實數根
（2）當時，方程有兩個相等的實數根
（3）當時，因為對任意實數x，都有，所以方程無實數根.
【注意】
（1）直接開平方法只適用于能轉化為或形式的方程.
（2）若，則x為p的平方根，即，切記不要漏掉負的平方根.
（3）因為負數沒有平方根，所以關于x的一元二次方程有解的前提條件是p是非負數，即.
配方法解一元二次方程
1.配方法：把方程的左邊配成一個含有未知數的完全平方式、右邊是一個常數的形式，進而用直接開平方法求解，這種通過配成完全平方式來解一元二次方程的方法，叫做配方法.
2.可化為的形式的一元二次方程的根
（1）當時，方程有兩個不相等的實數根；
（2）當時，方程有兩個相等的實數根；
（3）當時，因為對任意實數x，都有，所以方程無實數根.
3.用配方法解一元二次方程的一般步驟
一般步驟 方法 示例
一移 移項 將常數項移到等號右邊，含未知數的項移到等號左邊.
二化 二次項系數化為1 左右兩邊同時除以二次項系數
三配 配方 左右兩邊同時加上一次項系數一半的平方 ，即
四開 開平方求根 利用平方根的意義直接開平方
【注意】
配方法的依據是完全平方公式的逆用和直接開平方法，其實質是對一元二次方程進行變形，使其轉化為能夠直接開平方的方程形式，從而把一元二次方程轉化為兩個一元一次方程來解.
公式法解一元二次方程
1.一元二次方程的求根公式：當時，方程的實數根可寫為
的形式，這個式子叫做一元二次方程的求根公式.
2.公式法：解一個具體的一元二次方程時，把各項系數直接代入求根公式，可以避免配方過程而直接得出根，這種解一元二次方程的方法叫做公式法.
3.用公式法解一元二次方程的步驟
（1）整理方程：將方程整理為的形式，找到公式中的，要注意的符號.
（2）計算根的判別式：將的值代入計算，并判斷的符號.
（3）求根：當時，方程有兩個不相等的實數根，即
；當時，方程有兩個相等的實數根，即；當時，方程無實數根.
【注意】公式法是解一元二次方程的通用解法，它適用于所有一元二次方程，但不一定是最高效的解法.
因式分解法解一元二次方程
1.因式分解法：先對方程的左邊因式分解，使方程化為兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現降次.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
2.用因式分解法解一元二次方程的步驟
（1）移項：將方程化為一般式；
（2）分解：將方程的左邊分解為兩個一次式的乘積；
（3）轉化：令每個一次式分別為0，得到兩個一元一次方程；
（4）求解：解這兩個一元一次方程，它們的解就是醫院二次方程的解.
【注意】不能隨意在方程兩邊約去含未知數的代數式.如，若約去x，則會導致丟掉這個根.
3.常見的可以用因式分解法求解的方程的類型
常見類型 因式分解為 方程的解
(a，b為常數)
一元二次方程根與系數的關系
一元二次方程的根與系數的關系
數學語言 若的兩個根為，則，
文字語言 一元二次方程的兩個根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩個根的積等于常數項與二次項系數的比.
使用條件 （1）方程時一元二次方程，即二次項系數不為0； （2）方程有實數根，即.
重要結論 （1）若一元二次方程的兩根為，則，. （2）以實數為兩根的二次項系數為1的一元二次方程是.
【拓展】與一元二次方程的兩個根有關的幾個代數式的變形：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
一元二次方程的應用
常見實際問題的數量關系及表示方法
常見問題 公式 注意
平均增長率（降低率）問題 為起始量，為終止量，為增長（或降低）的次數，平均增長率公式：（為平均增長率）；平均降低率公式：（為平均降低率）. 傳播問題、復息存款問題的本質與平均增長率問題相同.在傳播問題中，為傳染源數，在復息存款問題中，利率相當于增長率.
幾何圖形面積問題 涉及的常見計算與證明有三角形的三邊關系、三角形全等、勾股定理、各種規則圖形的面積、體積或周長公式. 圖形問題常將數量關系隱含在圖形中，審題時需要結合圖形分析，當所涉及的圖形是不規則圖形時，需割補成規則圖形或用“求補”（即“總體-多余”）的方法來處理.
存款利息問題 本息和=本金+利息； 利息=本金×利率×期數. 如果存在利息稅，利息的計算要扣除交稅的部分，本算法是“單息存款”的算法.“復息”即“利滾利”的算法同增長率.
數字問題 （1）兩位數=十位上的數字×10+個位上的數字 （2）三位數=百位上的數字×100+十位上的數字×10+個位上的數字. 用數位上的數字乘以它的計數單位，就可以將這個數表示出來.審題時一定要注意數與數字之間的聯合與區別.
商品銷售問題 ； ； ； . 在理解的基礎上記憶公式，針對實際問題理清各個量之間的關系.
第四步：專題探究
專題1 一元二次方程的解法
解一元二次方程的基本思想是“降次”，即通過適當的方法把一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程分別求解.在選擇合適的解法時，要觀察方程的特征，其中直接開平方法和因式分解法適用于部分特殊形式的方程，公式法和配方法適用于所有有解的一元二次方程，但有時計算量較大.
1.解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
2.先請閱讀材料：
為解方程時，我們可以將視為一個整體，然后設，則，原方程化為，解得,
當時，，得；當時，，得.
故原方程的解為,,,
在解方程的過程中，我們將用y替換，先解出關于y的方程，達到了降低方程次數的目的，這種方法叫作“換元法”，體現了轉化的數學思想.
請你根據以上的閱讀材料，解下列方程：
（1）.
（2）.
專題2 一元二次方程根與系數的關系的探究
①代數式求值
3.已知a是方程的一個實數根，則的值為____________.
4.已知關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，，則的值是( )
A. B.7 C.5 D.
5.已知m，n是一元二次方程的兩個實數根，則代數式的值為_________.
②解決新定義問題
6.定義表示不超過實數x的最大整數，如，，.函數的圖像（部分）如圖所示，則方程有( )個解.
A.4 B.3 C.2 D.1
7.我們定義：如果關于x的一元二次方程有兩個實數根，且其中一個根為另一個根的2倍，則稱這樣的方程為“倍根方程”.
（1）請判斷方程是不是倍根方程，并說明理由；
（2）若是倍根方程，則___________.
③求字母的值（或取值范圍）
8.關于x的一元二次方程有兩個實數根，則實數k的取值范圍是_____.
9.已知、是關于x的一元二次方程的兩個實數根.
（1）求m的取值范圍；
（2）是否存在實數根m，使成立，若存在，求出m的值，若不存在，請說明理由
第五步：單元對接中考
1.【2023.北京】若關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則實數m的值為( )
A.-9 B. C. D.9
2.【2023.河南】關于x的一元二次方程的根的情況是( )
A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根 D.沒有實數根
3.【2023.吉林】一元二次方程根的判別式的值是( )
A.33 B.23 C.17 D.
4.【2023.廣西】據國家統計局發布的2022年國民經濟和社會發展統計公報顯示，2020年和2022年全國居民人均可支配收入分別為3.2萬元和3.7萬元.設2020年至2022年全國居民人均可支配收入的年平均增長率為x，依題意可列方程為( )
A. B.
C. D.
5.【2023.新疆】用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是( )
A. B. C. D.
6.【2023.山東菏澤】一元二次方程的兩根為，，則的值為( )
A. B.-3 C.3 D.
7.【2023.貴州】若一元二次方程有兩個相等的實數根，則k的值是________.
8.【2023.重慶A】某新建工業園區今年六月份提供就業崗位1501個，并按計劃逐月增長，預計八月份將提供崗位1815個.設七、八兩個月提供就業崗位數量的月平均增長率為x，根據題意，可列方程為___________.
9.【2023.山東濟寧】已知實數m滿足，則_________.
10.【2023.浙江杭州】設一元二次方程.在下面的四組條件中選擇其中一組b，c的值，使這個方程有兩個不相等的實數根，并解這個方程.
①，；②，；③，；④，.
11.【2023.安徽】【觀察思考】
【規律發現】
請用含n的式子填空：
（1）第n個圖案中“”的個數為____________；
（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為，第2個圖案中“★”的個數可表示為，第3個圖案中“★”的個數可表示為，第4個圖案中“★”的個數可表示為，……，第n個圖案中“★”的個數可表示為______________.
【規律應用】
（3）結合圖案中“★”的排列方式及上述規律，求正整數n，使得連續的正整數之和等于第n個圖案中“”的個數的2倍.
12.【2023.北京】對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊.一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的.
某人要裝裱一副對聯，對聯的長為100 cm，寬為27 cm.若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長.
13.【2023.河北】現有甲、乙、丙三種矩形卡片各若干張，卡片的邊長如圖1所示.某同學分別用6張卡片拼出了兩個矩形(不重疊無縫隙)，如圖2和圖3，其面積分別為，.
（1）請用含a的式子分別表示，；當時，求的值；
（2）比較與的大小，并說明理由.
答案以及解析
【專題探究】
1.答案：（1），
（2），
（3），
（4），
解析：（1），
移項，得，
二次項系數化為1，得.
配方，得，即.
開方，得，
，.
（2），
，，，
，
該方程有兩個不相等的實數根，
，
，.
（3），
方程整理，得，
因式分解，得，
于是得或，
，.
（4），
整理，得，
因式分解，得，
即，
于得或，
，.
2.答案：（1），
（2），
解析：（1）設，
則原方程化為，
解得，（舍去）
當時，，
解得，
故原方程的解為，.
（2）設，
則原方程化為，
解得，，
當時，，
解得，
當時，，
解得，
故原方程的解為，.
3.答案：2023
解析：a是方程的一個實數根，
，即
.
4.答案：C
解析：一元二次方程的兩個實數根為，，
，，
.
故選：C.
5.答案：2022
解析：m是一元二次方程的實數根，
，
，
，
m，n是一元二次方程的兩個實數根，
，
.
故答案為：2022.
6.答案：A
解析：由題意可知，
，
，
，
即，
，
①當時，，，解得；
②當時，，，解得，（舍去）；
③當時，，，解得，（舍去）；
④當時，，，解得，（舍去）；
所以方程的解為或或或3，共4個，
故選：A.
7.答案：（1）是，理由見解析
（2）4或16
解析：（1）方程是倍根方程，
理由如下：
由方程，
解得，，
，
方程是倍根方程.
（2）由方程，
解得，，
方程是倍根方程，
或，
得或，
故或.
故答案為：4或16.
8.答案：且
解析：根據題意可知，
解得：.
實數k的取值范圍是且.
故答案為：且.
9.解析：（1）由題意得：
解得：
即：m的取值范圍為：
（2）存在
由根與系數的關系得：
∴
解得：
.
【單元對接中考】
1.答案：C
解析：關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根,
解得.故選C.
2.答案：A
解析：，，，，方程有兩個不相等的實數根.故選A.
3.答案：C
解析：.
4.答案：B
5.答案：D
解析：一元二次方程，移項，得.等式兩邊同時加9，得.配方，得.故選D.
6.答案：C
解析：一元二次方程的兩根為，，，，.故選C.
7.答案：
解析：根據一元二次方程的定義和根的判別式，得且，.
8.答案：
9.答案：8
解析：，，
.
10.答案：選擇條件②的解答：
選擇條件③的解答：
解析：可以選擇條件②或③解答.
選擇條件②的解答：
選擇條件②，得一元二次方程為，
由求根公式，得.
選擇條件③的解答：
選擇條件③，得一元二次方程為，
由求根公式，得.
11.答案：（1）
（2）
（3）11
解析：（1）第1個圖案中有個，第2個圖案中有個，
第3個圖案中有個，第4個圖案中有個，……
第n個圖案中有個，故答案為：.
（2）第1個圖案中“★”的個數可表示為，
第2個圖案中“★”的個數可表示為，
第3個圖案中“★”的個數可表示為，
第4個圖案中“★”的個數可表示為，……，
第n個圖案中“★”的個數可表示為.
（3）由（2），得，令，
解得（舍），，即n的值為11.
12.答案：邊的寬為4 cm，天頭長為24 cm.
解析：天頭長與地頭長的比為，
可設天頭長為，地頭6x cm長為4x cm，
邊的寬為x cm.
由題意，得，
解得，
.
答：邊的寬為4 cm，天頭長為24 cm.
13.答案：（1），；當時，
（2）
解析：（1）根據題意，得，，
當時，.
（2）.
理由：由（1）知，，，
.
，
，
.

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