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第二章 方程與不等式
第二節 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 解分式方程 ☆☆ 中考本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 分式方程的應用 ☆☆☆
■考點一　解分式方程
1．分式方程的概念：分母中含有 未知數 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區別，是判定一個方程為分式方程的依據。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為 整式 方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找 最簡公分母 ，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④ 驗根 ．
3．增根
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的 增根 。由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使 最簡公分母為零 的根是增根，否則是原方程的根．
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解。
■考點二　分式方程的應用
1. 列分式方程解應用題的一般步驟：①審題（找等量關系）；②設未知數；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答。
2. 分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤問題等。
每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。
■易錯提示
1.解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解。
2. 分式方程有增根與無解并非是同一個概念。分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解。
■考點一　解分式方程
◇典例1：（2023·山東淄博·統考中考真題）已知是方程的解，那么實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】B
【分析】將代入方程，即可求解．
【詳解】解：將代入方程，得解得：故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題的關鍵是將代入原方程中得到關于的方程．
◆變式訓練
1．（2023上·河南開封·九年級統考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據分式方程的定義判斷即可．
【詳解】解：A，B，D選項中的方程，分母中不含未知數，所以不是分式方程，故不符合題意；
C選項方程中的分母中含未知數，是分式方程，故符合題意；故選：C．
【點睛】本題考查了分式方程的定義，掌握分母中含有未知數的方程叫做分式方程是解題的關鍵．
2．（2023·四川成都·統考二模）若關于x的分式方程的解為，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【分析】解分式方程，根據方程的解為，即可求解．
【詳解】解：，方程兩邊同時乘以得：，
解得， 且，
方程的解為， ，即，故選：A．
【點睛】本題考查了解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關鍵．
◇典例2：（2023·遼寧大連·統考中考真題）將方程去分母，兩邊同乘后的式子為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據解分式方程的去分母的方法即可得．
【詳解】解：，兩邊同乘去分母，得，故選：B．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握去分母的方法是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·山西晉中·校聯考模擬預測）分式方程的解是（ ）
A． B． C．無解 D．
【答案】C
【分析】先去分母，將分式方程化為整式方程求解，再進行檢驗即可．
【詳解】解：，
去分母，得：，
去括號，得：，
移項合并，得：，
檢驗，當時，，即是原分式方程的增根，
∴原分式方程解．故選：C．
【點睛】本題主要考查了解分式，解題的關鍵是掌握解分式方程的方法和步驟．
2．（2023·上海·統考中考真題）在分式方程中，設，可得到關于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設，則原方程可變形為，再化為整式方程即可得出答案.
【詳解】解：設，則原方程可變形為，即；故選：D.
【點睛】本題考查了利用換元法解方程，正確變形是關鍵，注意最后要化為整式方程.
3．（2023·山西·統考中考真題）解方程：．
【答案】
【分析】去分母化為整式方程，求出方程的根并檢驗即可得出答案．
【詳解】解：原方程可化為．
方程兩邊同乘，得．解得．
檢驗：當時，．∴原方程的解是．
【點睛】本題考查了分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的方法是解題關鍵．
4．（2023·浙江嘉興·統考中考真題）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
【答案】都錯誤，見解析
【分析】根據解分式方程的步驟判斷小丁和小迪的解法是否正確，再正確解方程即可．
【詳解】小丁和小迪的解法都錯誤；
解：去分母，得，
去括號，得，
解得，，經檢驗：是方程的解．
【點睛】本題考查分式方程的解法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
◇典例3：（2023·山東日照·統考中考真題）若關于的方程解為正數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】D
【分析】將分式方程化為整式方程解得，根據方程的解是正數，可得，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：
∵方程的解為正數，且分母不等于0
∴，
∴，且故選：D．
【點睛】此題考查了解分式方程，根據分式方程的解的情況求參數，解不等式，將方程化為整式方程求出整式方程的解，列出不等式是解答此類問題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江牡丹江·統考中考真題）若分式方程的解為負數，則a的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】D
【分析】直接解分式方程，進而得出a的取值范圍，注意分母不能為零．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
∵分式方程的解是負數，
∴，，即，
解得：且，故選：D．
【點睛】此題主要考查了分式方程的解，正確解分式方程是解題關鍵．
2．（2023·黑龍江·統考中考真題）已知關于x的分式方程的解是非負數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】解分式方程求出，然后根據解是非負數以及解不是增根得出關于m的不等式組，求解即可．
【詳解】解：分式方程去分母得：，解得：，
∵分式方程的解是非負數，
∴，且，∴且，故選：C．
【點睛】本題考查了解分式方程，解一元一次不等式組，正確得出關于m的不等式組是解題的關鍵．
◇典例4：（2023下·安徽六安·九年級校考期末）若關于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根得到，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．
【詳解】去分母得：，解得
∵分式方程有增根，∴，即，∴增根為3，，
把代入整式方程得：，解得．故選：D．
【點睛】本題考查分式方程的增根問題，解題的關鍵是掌握分式方程的解題步驟以及對分式方程增根的理解．
◆變式訓練
1．（2023上·河南安陽·九年級校考期末）若分式方程有增根，則m的值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】先化分式方程為整式方程，令分母，代入整式方程計算m的值．
【詳解】因為，
去分母得：，解得：
因為分式方程有增根，
所以，即：是方程增根，
所以，故選B．
【點睛】本題考查了分式方程的增根問題，解題的關鍵是熟練掌握分式方程中關于增根的解題方法．
◇典例5：（2022·四川遂寧·統考中考真題）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
【答案】D
【分析】先將分時方程化為整式方程，再根據方程無解的情況分類討論，當時，當時，或，進行計算即可．
【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，
原方程無解，當時，；
當時，或，此時，，解得或，
當時，無解；
當時，，解得；
綜上，m的值為0或4；故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·四川德陽·統考二模）若關于的分式方程無解，則的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】分式方程去分母轉化為整式方程為，由分式方程無解可得或，求出的值，再代入整式方程即可．
【詳解】解：，，
去分母得：，整理得：，
關于的分式方程無解，
或，解得：或，
當時，，解得：，
當時，，解得：，
的值是或，故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，增根問題可按如下步驟進行：化分式方程為整式方程；讓最簡公分母為0確定增根；把增根代入整式方程即可求得相關字母的值．
◇典例6：（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學校考一模）若關于的不等式組無解，且關于的分式方程有整數解，則滿足條件的所有整數的和為（ ）
A．10 B．12 C．16 D．14
【答案】B
【分析】先求得不等式組中各不等式的解集，根據不等式組無解可求得的取值范圍，然后求得分式方程的解，根據解為整數，且，即可求得滿足條件的所有整數的值．
【詳解】解不等式，得．解不等式，得．
因為關于的不等式組無解，可得．解得．
解關于的分式方程，得．
∵為整數，，,∴或或．
∴滿足條件的所有整數的和．故選：B．
【點睛】本題主要考查解一元一次不等式組和解分式方程，牢記解一元一次不等式組和解分式方程的步驟是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2021·四川達州市·中考真題）若分式方程的解為整數，則整數___________．
【答案】
【分析】直接移項后通分合并同類項，化簡、用來表示，再根據解為整數來確定的值．
【詳解】解：，
整理得：
若分式方程的解為整數，
為整數，當時，解得：，經檢驗：成立；
當時，解得：，經檢驗：分母為0沒有意義，故舍去；
綜上:，故答案是：．
【點睛】本題考查了分式方程，解題的關鍵是：化簡分式方程，最終用來表示，再根據解為整數來確定的值，易錯點，容易忽略對根的檢驗．
2．（2023·廣西九年級課時練習）若關于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個不相等的實根，且關于x的方程的解為整數，則滿足條件的所有整數a的和是_____．
【答案】2
【分析】關于一元二次方程（a+1）x2+（2a-3）x+a-2=0利用一元二次方程的定義和判別式的意義得到a＜ 且a≠-1，再解分式方程得到，接著利用分式方程的解為整數得到a=0，2，-1，3，5，-3，然后確定滿足條件的a的值，從而得到滿足條件的所有整數a的和．
【詳解】∵關于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個不相等的實根，
∴a+1≠0且△＝(2a﹣3)2﹣4(a+1)×(a﹣2)＞0，解得a＜且a≠﹣1．
把關于x的方程去分母得ax﹣1﹣x＝3，解得
∵x≠﹣1，∴，解得a≠﹣3，
∵ (a≠﹣3)為整數，∴a﹣1＝±1，±2，±4，
∴a＝0，2，﹣1，3，5，﹣3，而a＜且a≠﹣1且a≠﹣3，
∴a的值為0，2，∴滿足條件的所有整數a的和是2．故答案是：2．
【點睛】本題考查根的判別式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△=b2-4ac有如下關系：當△＞0時，方程有兩個不相等的兩個實數根；當△=0時，方程有兩個相等的兩個實數根；當△＜0時，方程無實數根．
■考點二　分式方程的應用
◇典例7：（2023·遼寧丹東·統考中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進行重新改造．為了盡快通車，某施工隊在實際施工時，每天工作效率比原計劃提高了，結果提前2天成功地完成了大橋的改造任務，那么該施工隊原計劃每天改造多少米
【答案】施工隊原計劃每天改造6米．
【分析】設施工隊原計劃每天改造米，根據提前2天成功地完成了大橋的改造任務得：，解方程并檢驗可得答案．
【詳解】解：設施工隊原計劃每天改造米，
根據題意得：，解得，
經檢驗，是原方程的解，
答：施工隊原計劃每天改造6米．
【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系列出分式方程．
◆變式訓練
1．（2023·山東淄博·統考中考真題）為貫徹落實習近平總書記關于黃河流域生態保護和高質量發展的重要講話精神，某學校組織初一、初二兩個年級學生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設初一年級平均每小時植樹棵，則下面所列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同列式求解即可得到答案．
【詳解】解：由題意可得，，故選：D；
【點睛】本題考查分式方程解決應用問題，解題的關鍵是找到等量關系式．
2．（2023·河北邯鄲·校考一模）某工廠計劃生產1500個零件，但是在實際生產時，…，求實際每天生產零件的個數．在這個題目中，若設實際每天生產零件x個，可得方程，則題目中用“…”表示的條件應是（　　）
A．每天比原計劃多生產5個，結果延期10天完成
B．每天比原計劃多生產5個，結果提前10天完成
C．每天比原計劃少生產5個，結果延期10天完成
D．每天比原計劃少生產5個，結果提前10天完成
【答案】B
【分析】設實際每天生產零件x個，則原計劃每天生產零件個，根據提前10天完成任務，列方程即可．
【詳解】解： ， 由分式方程可知，實際每天比原計劃多生產5個，實際提前10天完成． 故選：B．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程即可．
3．（2023·福建漳州·統考一模）某村要修建一條長為1200米的水泥路面村道，現有兩支施工隊前來應聘，村委會派出相關人員了解這兩支施工隊的情況，獲得如下信息．
信息一：甲隊單獨施工完成工程比乙隊單獨施工完成工程多用10天；
信息二：乙隊每天施工的數量是甲隊每天施工的數量的倍．
(1)根據以上信息，求甲、乙兩支施工隊每天分別修多少米道路？
(2)村委會將工程交給乙隊，要求25天內完成．幾天后因乙隊接到搶險任務，經村委會同意，就將余下工程交給甲隊．那么在轉交給甲隊之前乙隊至少要施工多少天，才能按照村委會要求按時完成？
【答案】(1)甲施工隊每天修40米道路，乙施工隊每天修60米道路；
(2)在轉交給甲隊之前乙隊至少要施工10天，才能按照村委會要求按時完成．
【分析】（1）設甲施工隊每天修x米道路，則乙施工隊每天修米道路，利用工作時間工作總量工作效率，結合甲隊單獨施工完成工程比乙隊單獨施工完成工程多用10天，可列出關于x的分式方程，解之經檢驗后，可得出甲施工隊每天修路的長度，再將其代入中，即可求出乙施工隊每天修路的長度；
（2）設在轉交給甲隊之前乙隊施工y天，根據要求25天內完成修路任務，可列出關于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出結論．
【詳解】（1）解：設甲施工隊每天修x米道路，則乙施工隊每天修米道路，
根據題意得：，解得：，
經檢驗，是所列方程的解，且符合題意，．
答：甲施工隊每天修40米道路，乙施工隊每天修60米道路；
（2）設在轉交給甲隊之前乙隊施工y天，
根據題意得：，解得：，∴y的最小值為10．
答：在轉交給甲隊之前乙隊至少要施工10天，才能按照村委會要求按時完成．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
◇典例8：（2023·廣東湛江·統考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區門口同時出發，沿同一條路線去離該小區米的少年宮參加活動，為響應節能環保，綠色出行的號召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的速度的倍，結果珂銘比小雪早6分鐘到達．
(1)求小雪的速度；(2)活動結束后返回，珂銘與小雪的速度均與原來相同，若小雪計劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區，則小雪至少要比珂銘提前多長時間出發？
【答案】(1)小雪的速度是米/分鐘(2)小雪至少要比珂銘提前出發12分鐘
【分析】本題考查了分式方程的應用，一元一次不等式的應用；
（1）設小雪的速度是米/分鐘，則珂銘速度是米/分鐘，根據“珂銘比小雪早6分鐘到達”列出方程，解方程并檢驗后即可得到答案；（2）求出珂銘與小雪全程所用的時間，根據“小雪計劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區”列出不等式，解不等式即可得到答案．
【詳解】（1）解：設小雪的速度是米/分鐘，則珂銘速度是米/分鐘，依題意得：
，解得：，經檢驗是原方程的解，
答：小雪的速度是米/分鐘．
（2）由（1）可知，珂銘速度是（米/分鐘），
珂銘全程用的時間是（分鐘），
小雪全程用的時間是（分鐘），
設小雪比珂銘提前a分鐘出發，根據題意得，，解得，
答：小雪至少要比珂銘提前出發分鐘．
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·統考中考真題）隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60，動車提速后行駛480與提速前行駛360所用的時間相同．設動車提速后的平均速度為x，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據提速前后所用時間相等列式即可．
【詳解】解：根據題意，得．故選：B．
【點睛】本題考查了列分式方程，找準等量關系是解題關鍵．
2．（2023·青海·統考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學校九年級師生在清明節期間前往距離學校的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發，結果他們同時到達；已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設騎車師生的速度為.根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據題意可直接進行求解．
【詳解】解：由題意得：；故選：B．
【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關鍵是理解題意．
3．（2022·四川自貢·統考中考真題）學校師生去距學校45千米的吳玉章故居開展研學活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發，結果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．
【答案】張老師騎車的速度為千米/小時
【分析】實際應用題的解題步驟“設、列、解、答”，根據問題設未知數，找到題中等量關系張老師先走2小時，結果同時達到列分式方程，求解即可．
【詳解】解：設張老師騎車的速度為千米/小時，則汽車速度是千米/小時，
根據題意得：，解之得，經檢驗是分式方程的解，
答：張老師騎車的速度為千米/小時．
【點睛】本題考查分式方程解實際應用題，根據問題設未知數，讀懂題意，找到等量關系列出分式方程是解決問題的關鍵．
◇典例9：（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數）．
(1)若班長小華在甲商店購買，他發現用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．
(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數），他發現再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．
【答案】(1)甲商店硬面筆記本的單價為16元；(2)乙商店硬面筆記本的原價18元
【分析】（1）根據“硬面筆記本數量=軟面筆記本數量”列出分式方程，求解檢驗即可；（2）設乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，由再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同可得，再根據且m，均為正整數，即可求解．
【詳解】（1）解：設硬面筆記本的單價為x元，則軟面筆記本的單價為元，根據題意得
，解得，經檢驗，是原方程的根，且符合題意，
故甲商店硬面筆記本的單價為16元；
（2）設乙商店硬面筆記本的原價為a元，則軟面筆記本的單價為元，
由題意可得， 解得，
根據題意得，解得，
為正整數，，，，，，分別代入，
可得，，，，，由單價均為整數可得，
故乙商店硬面筆記本的原價18元．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出相應方程．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧阜新·統考中考真題）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數量和用390元購買排球的數量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．(1)求：足球和排球的單價各是多少元？(2)根據學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？
【答案】(1)足球的單價是80元，排球的單價是65元；(2)學校最多可以購買70個足球．
【分析】（1）設足球的單價是x元，則排球的單價是元，根據數量=總價÷單價，結合用480元購買足球的數量和用390元購買排球的數量相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設學校可以購買m個足球，則可以購買個足球，利用總價=單價×數量，結合購買足球和排球的總費用不超過7550元，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整數值即可得出結論．
【詳解】（1）解：設足球的單價是x元，則排球的單價是元，
依題意得：，解得：，
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，∴．
答：足球的單價是80元，排球的單價是65元；
（2）解：設學校可以購買m個足球，則可以購買個排球，
依題意得：，解得：．
又∵m為正整數，∴m可以取的最大值為70．
答：學校最多可以購買70個足球．
【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．
2．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數相同．(1)求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？
(2)每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．
【答案】(1)每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物90噸和100噸
(2)當購買A型機器人12臺，B型機器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．
【分析】（1）設每臺B型機器每天搬運x噸，則每臺A型機器每天搬運噸，根據題意列出分式方程，解方程、檢驗后即可解答；
（2設公司計劃采購A型機器m臺，則采購B型機器臺，再題意列出一元一次不等式組，解不等式組求出m的取值范圍，再列出公司計劃采購A型機器m臺與采購支出金額w的函數關系式，最后利用一次函數的增減性求最值即可．
【詳解】（1）解：設每臺B型機器每天搬運x噸，則每臺A型機器每天搬運噸，
由題意可得：，解得：
經檢驗，是分式方程的解
每臺A型機器每天搬運噸
答：每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物90噸和100噸
（2）解：設公司計劃采購A型機器m臺，則采購B型機器臺
由題意可得：，解得：，
公司采購金額：
∵∴w隨m的增大而減小
∴當時，公司采購金額w有最小值，即，
∴當購買A型機器人12臺，B型機器人18臺時，購買總金額最低是54萬元．
【點睛】本題主要考查了分式方程的應用、不等式組的應用、一次函數的應用等知識點，理解題意正確列出分式方程、不等式組和一次函數解析式是解答本題的關鍵．
1.（2023·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）方程的解為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】方程兩邊同時乘以，化為整式方程即可求解．
【詳解】解：
程兩邊同時乘以得，解得：
經檢驗，是原方程的解，故選：C．
【點睛】本題考查了解分式方程，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】分式方程兩邊乘以，去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根據分式方程的解是負數，得出不等式，解不等式即可求解．
【詳解】解： 解得： 且
∵關于的分式方程的解是負數，
∴，且∴且，故選：D．
【點睛】本題考查了根據分式方程的解的情況求參數，熟練掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．
3．（2023·山東聊城·統考中考真題）若關于x的分式方程的解為非負數，則m的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】A
【分析】把分式方程的解求出來，排除掉增根，根據方程的解是非負數列出不等式，最后求出m的范圍．
【詳解】解：方程兩邊都乘以，得：，解得：，
∵，即：，∴，
又∵分式方程的解為非負數，∴，∴，
∴的取值范圍是且，故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的解，根據條件列出不等式是解題的關鍵，分式方程一定要檢驗．
4．（2022·黑龍江牡丹江·統考中考真題）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
【答案】B
【分析】先將分式方程化成整式方程，再分①整式方程無解，②關于的方程有增根兩種情況，分別求解即可得．
【詳解】解：將方程化成整式方程為，即，
因為關于的方程無解，所以分以下兩種情況：
①整式方程無解，則，解得；
②關于的方程有增根，則，即，
將代入得：，解得；
綜上，的值為1或3，故選：B．
【點睛】本題考查了分式方程無解，正確分兩種情況討論是解題關鍵．
5．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）方程的解為 ．
【答案】
【分析】依據題意將分式方程化為整式方程，再按照因式分解即可求出的值．
【詳解】解：，
方程兩邊同時乘以得，，
，，，或．
經檢驗時，，故舍去．原方程的解為：．故答案為：．
【點睛】本題考查的是解分式方程，解題的關鍵在于注意分式方程必須檢驗根的情況．
6．（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是______．
【答案】
【分析】根據解分式方程的方法中確定公分母的方法求解即可．
【詳解】解：分式方程的兩個分母分別為x，(x+1)，
∴最簡公分母為：x(x+1)，故答案為：x(x+1)．
【點睛】題目主要考查解分式方程中確定公分母的方法，熟練掌握解分式方程的步驟是解題關鍵．
7．（2023·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）甲、乙兩船從相距150km的，兩地同時勻速沿江出發相向而行，甲船從地順流航行90km時與從地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為 km/h．
【答案】6
【分析】設江水的流速為千米每小時，則甲速度為，乙速度為，根據行駛時間相等列出方程解答即可．
【詳解】解：設江水的流速為千米每小時，根據題意得：
，解得，經檢驗符合題意，
答：江水的流速．故答案為：6．
【點睛】本題考查了列分式方程，讀懂題意找出等量關系是解本題的關鍵．
8．（2023·山東青島·統考中考真題）某校組織學生進行勞動實踐活動，用1000元購進甲種勞動工具，用2400元購進乙種勞動工具，乙種勞動工具購買數量是甲種的2倍，但單價貴了4元．設甲種勞動工具單價為x元，則x滿足的分式方程為 ．
【答案】
【分析】根據兩種勞動工具單價間的關系，可得出乙種勞動工具單價為元，利用數量=總價÷單價，結合乙種勞動工具購買數量是甲種的2倍，即可列出關于x的分式方程，此題得解．
【詳解】解：∵乙種勞動工具的單價比甲種勞動工具的單價貴了4元，且甲種勞動工具單價為x元，
∴乙種勞動工具單價為元．
根據題意得：，故答案為：．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．
9．（2022·江蘇蘇州·中考真題）解方程：．
【答案】
【分析】根據解分式方程的步驟求出解，再檢驗即可．
【詳解】方程兩邊同乘以，得．
解方程，得． 經檢驗，是原方程的解．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，掌握解分式方程的步驟是解題的關鍵．即去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化為1，檢驗．
10．（2023·江蘇泰州·統考中考真題）（1）計算：；（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先根據完全平方公式和平方差公式進行計算，再合并同類項即可；
（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．
【詳解】解：（1）
；
（2），
方程兩邊都乘，得，
解得：，檢驗：當時，，
所以分式方程的解是．
【點睛】本題考查了整式的混合運算和解分式方程，能正確根據整式的運算法則進行化簡是解（1）的關鍵，能把分式方程轉化成整式方程是解（2）的關鍵．
11．（2023·吉林長春·統考中考真題）隨著中國網民規模突破億、博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數字敦煌文化大使伽瑤，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作個伽瑤玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數量是原計劃的倍，結果提前天完成任務．問原計劃平均每天制作多少個擺件？

【答案】原計劃平均每天制作個擺件．
【分析】設原計劃平均每天制作個，根據題意列出方程，解方程即可求解．
【詳解】解：設原計劃平均每天制作個，根據題意得，
解得：
經檢驗，是原方程的解，且符合題意，
答：原計劃平均每天制作個擺件．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
12．（2023·山東泰安·統考中考真題）為進行某項數學綜合與實踐活動，小明到一個批發兼零售的商店購買所需工具．該商店規定一次性購買該工具達到一定數量后可以按批發價付款，否則按零售價付款．小明如果給學校九年級學生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發價付款，同樣需用3600元，若按批發價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學校九年級學生有多少人？
【答案】這個學校九年級學生有300人．
【分析】設零售價為x元，批發價為y，然后根據題意列二元一次方程組求得零售價為12元，然后用3600除以零售價即可解答．
【詳解】解：設零售價為x元，批發價為y，根據題意可得：
，解得：，經檢驗是原方程組的解
則學校九年級學生人．
答：這個學校九年級學生有300人．
【點睛】本題主要考查了二元一次方程組的應用，審清題意、列二元一次方程組求得零售價是解答本題的關鍵．
1．（2023上·河北邢臺·九年級校聯考階段練習）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】未知數在分母中的有理方程是分式方程，根據分式方程的定義可得答案．
【詳解】解：是一元一次方程，故A不符合題意；
是二元一次方程，故B不符合題意；是一元一次方程，故C不符合題意；
符合分式方程的定義，故D符合題意；故選D
【點睛】本題考查分式方程的定義，理解分式方程的定義為解題的關鍵．
2．（2023·山東菏澤·校考三模）對于實數和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題中的新定義化簡，轉化為分式方程，解分式方程即可．
【詳解】由題意化簡：，∴，解得：，
經檢驗：是原分式方程的解，故選：．
【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數的運算，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
3．（2023·黑龍江雞西·校考模擬預測）若關于的分式方程的解為正實數，則實數的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
【答案】D
【分析】利用解分式方程的一般步驟解出方程，根據題意列出不等式，解不等式即可．
【詳解】解：，
方程兩邊同乘得，，解得，，
，，由題意得，，解得，，
實數的取值范圍是：且．故選：D．
【點睛】本題考查的是分式方程的解、一元一次不等式的解法，掌握解分式方程的一般步驟、分式方程無解的判斷方法是解題的關鍵．
4．（2023·黑龍江綏化·統考二模）若關于x的分式方程無解，則m的值為（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
【答案】D
【分析】先將分時方程化為整式方程，再根據方程無解的情況分類討論，當時，當時，分別進行計算即可．
【詳解】解：方程兩邊同乘，得，整理得，
∵原方程無解，∴當時，；
當時，此時，，
當時，無解；
當時，，解得；
綜上，m的值為0或2；故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是有增根和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．
5．（2023·河北滄州·校考模擬預測）“若關于的方程無解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說法正確的是（ ）
A．尖尖對，丹丹錯 B．尖尖錯，丹丹對 C．兩人都錯 D．兩人的答案合起來才對
【答案】D
【分析】根據分式方程無解情況①去分母后方程無解，②解出的解是增根，兩類討論即可得到答案；
【詳解】解：由題意可得，去分母可得，，
移項合并同類項得，，
當時，即時方程無解，
當時，即時，，
∵方程無解，
即是方程的增根，可得：，解得：，
∴，解得：，故選D；
【點睛】本題考查分式方程無解的情況，解題的關鍵是熟練掌握分式方程無解情況①去分母后方程無解，②解出的解是增根．
6．（2023·廣東河源·統考二模）解分式方程 ．
【答案】
【分析】本題考查了解分式方程，先把方程變為，去分母，把分式方程化為整式方程即可求解，熟練掌握解分式方程的一般步驟是解題的關鍵．
【詳解】解：方程可變為，，
方程兩邊都乘以最簡公分母得，，
去括號，得，解得，
檢驗：當時，，∴原方程的解是．
7．（2023·陜西西安·校考模擬預測）解方程：
【答案】方程無解．
【分析】找出分式方程的最簡公分母，方程左右兩邊同時乘以最簡公分母，去分母后再利用去括號法則去括號，移項合并，將的系數化為，求出的值，將求出的的值代入最簡公分母中進行檢驗，即可得到原分式方程的解．
【詳解】解：化為整式方程為：，
，解得：，檢驗：當，，
∴不是原分式方程的解，原分式方程無解．
【點睛】此題考查了分式方程的解法．注意解分式方程一定要驗根，熟練掌握分式方程的解法是關鍵．
8．（2023·廣東湛江·統考一模）仙桃是遂寧市某地的特色時令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元購進一批仙桃，很快售完；老板又用3750元購進第二批仙桃，所購件數是第一批的倍，但進價比第一批每件多了5元．(1)第一批仙桃每件進價是多少元？
(2)老板以每件225元的價格銷售第二批仙桃，售出后，為了盡快售完，剩下的決定打折促銷．要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于2460元，剩余的仙桃每件售價最多打幾折？（利潤=售價﹣進價）
【答案】(1)第一批仙桃每件進價為120元(2)剩余的仙桃每件售價至多打6折
【分析】本題主要考查了分式方程、一元一次不等式的應用，的解題關鍵是根據件數作為等量關系列出方程，根據利潤作為不等關系列出不等式求解．
（1）設第一批仙桃每件進價是元，則第二批每件進價是元，再根據等是關系：第二批仙桃所購件數是第一批的倍，列方程解答；（2）設剩余的仙桃每件售價元，由利件=售價-進價，根據第二批的銷售利潤不低于2460元，可列不等式求解．
【詳解】（1）設第一批仙桃每件進價元，則：解得．
經檢驗，是原方程的根．
答：第一批仙桃每件進價為120元；
（2）設剩余的仙桃每件售價打折，則：
，解得：．
答：剩余的仙桃每件售價至少打6折．
9．（2023·河南周口·校考模擬預測）某公司生產的960件新產品，需要精加工后才能投放市場．現有甲、乙兩個工廠都想精加工這批產品，已知甲工廠單獨加工完這批產品比乙工廠單獨加工完這批產品多用20天，而乙工廠每天加工產品的數量是甲工廠每天加工產品的1.5倍，公司需付甲工廠加工費用每天80元，乙工廠加工費用每天120元．(1)求甲乙兩個工廠每天各能加工多少件產品
(2)公司現有三種加工方案：①甲工廠單獨完成；②工廠單獨完成；③甲乙兩工廠同時合作完成．
在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進行指導，并負擔每天15元的午餐補助．(合作時也只需要一名工程師到廠指導)請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．
【答案】(1)甲工廠每天能加工16件，乙工廠每天能加工24件
(2)選擇甲、乙兩家工廠合作完成這批產品既省時又省錢，理由見解析
【分析】（1）設甲工廠每天能加工件產品，則乙工廠每天能加工件產品，根據題意列出分式方程，即可求解．（2）比較三種方案的價錢及相應的天數．
【詳解】（1）解：設甲工廠每天能加工件產品，則乙工廠每天能加工件產品．
依題意，得 解得：，經檢驗是原方程的解；
答：甲工廠每天能加工件，乙工廠每天能加工件．
（2）甲工廠單獨完成需天，所需費用為（元）
乙工廠單獨完成需天，所需費用為（元）
設他們合作完成這批新產品所用時為天．
則：，解得：．所需費用為元．
答：通過比較，選擇甲、乙兩家工廠合作完成這批產品比較合適．
【點睛】本題考查分式方程、一元一次方程的應用，分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵．
10．（2023·廣東深圳·校聯考一模）某服裝店老板到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進價比每套B品牌服裝進價多25元，若用2000元購進A種服裝的數量是用750元購進B種服裝數量的2倍．(1)求A、B兩種品牌服裝每套進價分別為多少元？(2)若A品牌服裝每套售價為130元，B品牌服裝每套售價為95元，服裝店老板決定，購進B品牌服裝的數量比購進A品牌服裝的數量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總的獲利超過1200元，則最少購進A品牌的服裝多少套？
【答案】(1)A每套100元，B每套75元(2)17套
【分析】（1）設每套A品牌服裝進價為x元，則每套B品牌服裝進價為元，根據題意，求解即可．（2）設購進a套A品牌服裝,購進套B品牌，根據題意，求解即可．
【詳解】（1）設每套A品牌服裝進價為x元，則每套B品牌服裝進價為元，
根據題意，解得，
經檢驗，是原方程的根，故，
答：每套A品牌服裝進價為100元，則每套B品牌服裝進價為75元．
（2）設購進a套A品牌服，則購進套B品牌，
根據題意，解得，故至少17套．
【點睛】本題考查了分式方程的應用，不等式的應用，根據數量關系列出方程和不等式是解題的關鍵．
1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）若關于x的分式方程無解，則a的值為（　　）
A．0 B．1 C．或0 D．0或1
【答案】D
【分析】直接解分式方程，再根據分母為0列方程即可．
【詳解】，去分母得：，整理得：
當時，方程無解，
當時,解得：，
當時，方程無解， 解得，
綜上：或時原分式方程無解，故選：D．
【點睛】本題考查了分式方程無解，解題關鍵是明確分式方程無解的條件，解方程，再根據分母為0列方程．
2．（2023·廣東中考模擬）定義一種新運算：，例如：，若，則（ ）
A．-2 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根據新定義運算得到一個分式方程，求解即可.
【詳解】根據題意得，，則，
經檢驗，是方程的解，故選B.
【點睛】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．
3．（2023·浙江·模擬預測）方程的所有實數根之和為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】A
【分析】先去分母，方程兩邊分別乘以轉化為整式方程，再利用因式分解法解方程即可．
【詳解】解：方程兩邊分別乘以，得：，
化簡并整理，得：，
，
，
，
，
或，
由解得，
由得：，
無實數根，
經檢驗是原方程的根，
原方程只有一個實數根，
所有實數根之和為1．故選：A．
【點睛】本題考查的是解分式方程，去分母后對整式方程進行因式分解是解題關鍵．
4．（2023·重慶·統考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
【答案】13
【分析】先求出一元一次不等式組中兩個不等式的解集，從而可得，再解分式方程可得且，從而可得且，然后將所有滿足條件的整數的值相加即可得．
【詳解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵關于的不等式組的解集為，
，解得，
方程可化為，解得，
關于的分式方程的解為正數，
且，解得且，且，
則所有滿足條件的整數的值之和為，故答案為：13．
【點睛】本題考查了一元一次不等式組、分式方程，熟練掌握不等式組和分式方程的解法是解題關鍵．
5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若關于x的分式方程的解大于1，則m的取值范圍是 ．
【答案】m >0且m≠1
【分析】先解分式方程得到解為，根據解大于1得到關于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．
【詳解】解：方程兩邊同時乘以得到：，
整理得到：，
∵分式方程的解大于1，∴，解得：，
又分式方程的分母不為0，∴且，解得：且，
∴m的取值范圍是m >0且m≠1．故答案為：m >0且m≠1．
【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．
6．（2023·河南周口·校聯考三模）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程有正整數解，則符合條件的所有整數的和是 ．
【答案】
【分析】先根據關于x的一元一次不等式組的解集為，求得的范圍，再根據分式方程有正整數解，求得的范圍，綜合即可求得的范圍，再求整數和即可．
【詳解】解：關于的一元一次不等式組解的，
解集為．．．
關于的分式方程，解得：，
有正整數數解，且．∴，
∴或或或或，
∴或或或或，但，
∴符合條件的所有整數為：、、．
符合條件的所有整數的和為：．故答案為：．
【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．關于參數考查不等式，參數分式方程的知識，一般先將參數看成已知，解出不等式的解集或分式方程的解，然后利用數軸進行分析，或者已知條件分析從而，找到參數的取值范圍．
7．（2023·浙江·模擬預測）已知關于的方程的方程恰好有一個實數解，求的值及方程的解．
【答案】, 或，；或或，或，
【分析】去分母，轉化為整式方程，根據整式方程為一元一次方程，即，為一元二次方程，即，分別求解．而當方程為一元二次方程時，又分為 方程有等根，滿足方程恰好有一個實數解，若，則方程有兩不等實根，且其中一個為增根，而增根只可能為或．
【詳解】解：兩邊同乘,得，
若，
若，由題意，知，
解得，
當時，，當時，，
若方程有兩不等實根，則其中一個為增根，
當時，，，
當時，，．
【點睛】本題考查了分式方程的解，解一元二次方程．關鍵是將分式方程轉化為整式方程，根據整式方程的特點及題目的條件分類討論．
8．（2023·黑龍江牡丹江·統考中考真題）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經計算，用1萬元購進A種家電的件數與用1.2萬元購進B種家電的件數相同．請解答下列問題：
(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？
(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？
(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數．
【答案】(1)A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元
(2)共有三種購買方案，方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，方案三：購進A種家電67件，B種家電33件
(3)這10件家電中B種家電的件數4件
【分析】（1）根據題意設A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元，建立分式方程求解即可；（2）設購進A種家電a件，購進B種家電件，建立不等式，求解不等式，選擇符合實際的解即可；（3）設A種家電拿出件，則B種家電拿出件，根據題意，建立一元一次方程求解即可．
【詳解】（1）設A種家電每件進價為x元，B種家電每件進價為元．
根據題意，得． 解得．
經檢驗是原分式方程的解． ．
答：A種家電每件的進價為500元，B種家電每件的進價為600元；
（2）設購進A種家電a件，購進B種家電件．
根據題意，得． 解得．，．
為正整數，，則， 共有三種購買方案，
方案一：購進A種家電65件，B種家電35件，
方案二：購進A種家電66件，B種家電34件，
方案三：購進A種家電67件，B種家電33件；
（3）解：設A種家電拿出件，則B種家電拿出件，
根據（1）和（2）及題意，當購進A種家電65件，B種家電35件時，得：
，
整理得：，解得：，不符合實際；
當購進A種家電66件，B種家電34件時，得：
，
整理得：，解得：，不符合實際；
當購進A種家電67件，B種家電33件時，得：
，
整理得：，
解得：，符合實際；則B種家電拿出件．
【點睛】本題考查分式方程的實際問題，一元一次方程的實際問題與一元一次不等的實際問題，正確理解題意，建立正確的等量關系與不等式是解題的關鍵，注意結果要符合實際及分式方程的檢驗．
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第二章 方程與不等式
第二節 分式方程
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 解分式方程 ☆☆ 中考本考點考查內容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數、二次函數結合考察，年年考查，分值為10分左右，預計2024年各地中考還將繼續考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 分式方程的應用 ☆☆☆
■考點一　解分式方程
1．分式方程的概念：分母中含有 的方程叫做分式方程．
注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區別，是判定一個方程為分式方程的依據。
2．分式方程的解法
（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為 方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．
（2）解分式方程的步驟：①找 ，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④ ．
3．增根
在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的 。由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使 的根是增根，否則是原方程的根。
注意：增根雖然不是方程的根，但它是分式方程去分母后變形而成的整式方程的根。若這個整式方程本身無解，當然原分式方程就一定無解。
■考點二　分式方程的應用
1. 列分式方程解應用題的一般步驟：①審題（找等量關系）；②設未知數；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答。
2. 分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題、利潤問題等。
每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝，總利潤=單件利潤×銷售量，利潤率=利潤÷成本×100%等。
■易錯提示
1.解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解。
2. 分式方程有增根與無解并非是同一個概念。分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解。
■考點一　解分式方程
◇典例1：（2023·山東淄博·統考中考真題）已知是方程的解，那么實數的值為（ ）
A． B．2 C． D．4
◆變式訓練
1．（2023上·河南開封·九年級統考期末）下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川成都·統考二模）若關于x的分式方程的解為，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
◇典例2：（2023·遼寧大連·統考中考真題）將方程去分母，兩邊同乘后的式子為（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·山西晉中·校聯考模擬預測）分式方程的解是（ ）
A． B． C．無解 D．
2．（2023·上海·統考中考真題）在分式方程中，設，可得到關于y的整式方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·山西·統考中考真題）解方程：．
4．（2023·浙江嘉興·統考中考真題）小丁和小迪分別解方程過程如下：
小丁： 解：去分母，得 去括號，得 合并同類項，得 解得 ∴原方程的解是 小迪： 解：去分母，得 去括號得 合并同類項得 解得 經檢驗，是方程的增根，原方程無解
你認為小丁和小迪的解法是否正確？若正確，請在框內打“√”；若錯誤，請在框內打“×”，并寫出你的解答過程．
◇典例3：（2023·山東日照·統考中考真題）若關于的方程解為正數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
◆變式訓練
1．（2023·黑龍江牡丹江·統考中考真題）若分式方程的解為負數，則a的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
2．（2023·黑龍江·統考中考真題）已知關于x的分式方程的解是非負數，則的取值范圍是（ ）
A． B． C．且 D．且
◇典例4：（2023下·安徽六安·九年級校考期末）若關于x的分式方程有增根，則m的值為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
◆變式訓練
1．（2023上·河南安陽·九年級校考期末）若分式方程有增根，則m的值為（　　）
A．1 B． C．2 D．
◇典例5：（2022·四川遂寧·統考中考真題）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．0 B．4或6 C．6 D．0或4
◆變式訓練
1．（2023·四川德陽·統考二模）若關于的分式方程無解，則的值是（ ）
A．或 B． C． D．或
◇典例6：（2023·重慶渝中·重慶巴蜀中學校考一模）若關于的不等式組無解，且關于的分式方程有整數解，則滿足條件的所有整數的和為（ ）
A．10 B．12 C．16 D．14
◆變式訓練
1．（2021·四川達州市·中考真題）若分式方程的解為整數，則整數___________．
2．（2023·廣西九年級課時練習）若關于x的方程(a+1)x2+(2a﹣3)x+a﹣2＝0有兩個不相等的實根，且關于x的方程的解為整數，則滿足條件的所有整數a的和是_____．
■考點二　分式方程的應用
◇典例7：（2023·遼寧丹東·統考中考真題）“暢通交通，扮靚城市”，某市在道路提升改造中，將一座長度為36米的橋梁進行重新改造．為了盡快通車，某施工隊在實際施工時，每天工作效率比原計劃提高了，結果提前2天成功地完成了大橋的改造任務，那么該施工隊原計劃每天改造多少米
◆變式訓練
1．（2023·山東淄博·統考中考真題）為貫徹落實習近平總書記關于黃河流域生態保護和高質量發展的重要講話精神，某學校組織初一、初二兩個年級學生到黃河岸邊開展植樹造林活動．已知初一植樹棵與初二植樹棵所用的時間相同，兩個年級平均每小時共植樹棵．求初一年級平均每小時植樹多少棵？設初一年級平均每小時植樹棵，則下面所列方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·河北邯鄲·校考一模）某工廠計劃生產1500個零件，但是在實際生產時，…，求實際每天生產零件的個數．在這個題目中，若設實際每天生產零件x個，可得方程，則題目中用“…”表示的條件應是（　　）
A．每天比原計劃多生產5個，結果延期10天完成
B．每天比原計劃多生產5個，結果提前10天完成
C．每天比原計劃少生產5個，結果延期10天完成
D．每天比原計劃少生產5個，結果提前10天完成
3．（2023·福建漳州·統考一模）某村要修建一條長為1200米的水泥路面村道，現有兩支施工隊前來應聘，村委會派出相關人員了解這兩支施工隊的情況，獲得如下信息．
信息一：甲隊單獨施工完成工程比乙隊單獨施工完成工程多用10天；
信息二：乙隊每天施工的數量是甲隊每天施工的數量的倍．
(1)根據以上信息，求甲、乙兩支施工隊每天分別修多少米道路？
(2)村委會將工程交給乙隊，要求25天內完成．幾天后因乙隊接到搶險任務，經村委會同意，就將余下工程交給甲隊．那么在轉交給甲隊之前乙隊至少要施工多少天，才能按照村委會要求按時完成？
◇典例8：（2023·廣東湛江·統考三模）某周日，珂銘和小雪從新天地小區門口同時出發，沿同一條路線去離該小區米的少年宮參加活動，為響應節能環保，綠色出行的號召，兩人步行，已知珂銘的速度是小雪的速度的倍，結果珂銘比小雪早6分鐘到達．
(1)求小雪的速度；(2)活動結束后返回，珂銘與小雪的速度均與原來相同，若小雪計劃比珂銘至少提前6分鐘回到小區，則小雪至少要比珂銘提前多長時間出發？
◆變式訓練
1．（2023·廣東廣州·統考中考真題）隨著城際交通的快速發展，某次動車平均提速60，動車提速后行駛480與提速前行駛360所用的時間相同．設動車提速后的平均速度為x，則下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·青海·統考中考真題）為了緬懷革命先烈，傳承紅色精神，青海省某學校九年級師生在清明節期間前往距離學校的烈士陵園掃墓.一部分師生騎自行車先走，過了后，其余師生乘汽車出發，結果他們同時到達；已知汽車的速度是騎車師生速度的2倍，設騎車師生的速度為.根據題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·四川自貢·統考中考真題）學校師生去距學校45千米的吳玉章故居開展研學活動，騎行愛好者張老師騎自行車先行2小時后，其余師生乘汽車出發，結果同時到達；已知汽車速度是自行車速度的3倍，求張老師騎車的速度．
◇典例9：（2023·江蘇鹽城·統考中考真題）某校舉行“二十大知識學習競賽”活動，老師讓班長小華到商店購買筆記本作為獎品．甲、乙兩家商店每本硬面筆記本比軟面筆記本都貴3元（單價均為整數）．
(1)若班長小華在甲商店購買，他發現用240元購買硬面筆記本與用195元購買軟面筆記本的數量相同，求甲商店硬面筆記本的單價．
(2)若班長小華在乙商店購買硬面筆記本，乙商店給出了硬面筆記本的優惠條件（軟面筆記本單價不變）：一次購買的數量少于30本，按原價售出；不少于30本按軟面筆記本的單價售出．班長小華打算購買本硬面筆記本（為正整數），他發現再多購買5本的費用恰好與按原價購買的費用相同，求乙商店硬面筆記本的原價．
◆變式訓練
1.（2023·遼寧阜新·統考中考真題）為了進一步豐富校園文體活動，某中學準備一次性購買若干個足球和排球，用480元購買足球的數量和用390元購買排球的數量相同，已知足球的單價比排球的單價多15元．(1)求：足球和排球的單價各是多少元？(2)根據學校實際情況，需一次性購買足球和排球共100個，但要求其總費用不超過7550元，那么學校最多可以購買多少個足球？
2．（2023·內蒙古通遼·統考中考真題）某搬運公司計劃購買A，B兩種型號的機器搬運貨物，每臺A型機器比每臺B型機器每天少搬運10噸貨物，且每臺A型機器搬運450噸貨物與每臺B型機器搬運500噸貨物所需天數相同．(1)求每臺A型機器，B型機器每天分別搬運貨物多少噸？
(2)每臺A型機器售價1.5萬元，每臺B型機器售價2萬元，該公司計劃采購兩種型號機器共30臺，滿足每天搬運貨物不低于2880噸，購買金額不超過55萬元，請幫助公司求出最省錢的采購方案．
1.（2023·黑龍江哈爾濱·統考中考真題）方程的解為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）如果關于的分式方程的解是負數，那么實數的取值范圍是（ ）
A． B．且 C． D．且
3．（2023·山東聊城·統考中考真題）若關于x的分式方程的解為非負數，則m的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
4．（2022·黑龍江牡丹江·統考中考真題）若關于x的方程無解，則m的值為（ ）
A．1 B．1或3 C．1或2 D．2或3
5．（2023·內蒙古赤峰·統考中考真題）方程的解為 ．
6．（2022·湖南永州·中考真題）解分式方程去分母時，方程兩邊同乘的最簡公分母是______．
7．（2023·內蒙古呼和浩特·統考中考真題）甲、乙兩船從相距150km的，兩地同時勻速沿江出發相向而行，甲船從地順流航行90km時與從地逆流航行的乙船相遇．甲、乙兩船在靜水中的航速均為30km/h，則江水的流速為 km/h．
8．（2023·山東青島·統考中考真題）某校組織學生進行勞動實踐活動，用1000元購進甲種勞動工具，用2400元購進乙種勞動工具，乙種勞動工具購買數量是甲種的2倍，但單價貴了4元．設甲種勞動工具單價為x元，則x滿足的分式方程為 ．
9．（2022·江蘇蘇州·中考真題）解方程：．
10．（2023·江蘇泰州·統考中考真題）（1）計算：；（2）解方程：．
11．（2023·吉林長春·統考中考真題）隨著中國網民規模突破億、博物館美育不斷向線上拓展．敦煌研究院順勢推出數字敦煌文化大使伽瑤，受到廣大敦煌文化愛好者的好評．某工廠計劃制作個伽瑤玩偶擺件，為了盡快完成任務，實際平均每天完成的數量是原計劃的倍，結果提前天完成任務．問原計劃平均每天制作多少個擺件？

12．（2023·山東泰安·統考中考真題）為進行某項數學綜合與實踐活動，小明到一個批發兼零售的商店購買所需工具．該商店規定一次性購買該工具達到一定數量后可以按批發價付款，否則按零售價付款．小明如果給學校九年級學生每人購買一個，只能按零售價付款，需用3600元；如果多購買60個，則可以按批發價付款，同樣需用3600元，若按批發價購買60個與按零售價購買50個所付款相同，求這個學校九年級學生有多少人？
1．（2023上·河北邢臺·九年級校聯考階段練習）下列方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山東菏澤·校考三模）對于實數和，定義一種新運算“”為：，這里等式右邊是實數運算．例如：．則方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·黑龍江雞西·校考模擬預測）若關于的分式方程的解為正實數，則實數的取值范圍是（ ）
A．且 B．且 C． D．且
4．（2023·黑龍江綏化·統考二模）若關于x的分式方程無解，則m的值為（　　）
A．0 B．2或4 C．4 D．0或2
5．（2023·河北滄州·校考模擬預測）“若關于的方程無解，求的值．”尖尖和丹丹的做法如下（如圖1和圖2）：

下列說法正確的是（ ）
A．尖尖對，丹丹錯 B．尖尖錯，丹丹對 C．兩人都錯 D．兩人的答案合起來才對
6．（2023·廣東河源·統考二模）解分式方程 ．
7．（2023·陜西西安·校考模擬預測）解方程：
8．（2023·廣東湛江·統考一模）仙桃是遂寧市某地的特色時令水果．仙桃一上市，水果店的老板用2400元購進一批仙桃，很快售完；老板又用3750元購進第二批仙桃，所購件數是第一批的倍，但進價比第一批每件多了5元．(1)第一批仙桃每件進價是多少元？
(2)老板以每件225元的價格銷售第二批仙桃，售出后，為了盡快售完，剩下的決定打折促銷．要使得第二批仙桃的銷售利潤不少于2460元，剩余的仙桃每件售價最多打幾折？（利潤=售價﹣進價）
9．（2023·河南周口·校考模擬預測）某公司生產的960件新產品，需要精加工后才能投放市場．現有甲、乙兩個工廠都想精加工這批產品，已知甲工廠單獨加工完這批產品比乙工廠單獨加工完這批產品多用20天，而乙工廠每天加工產品的數量是甲工廠每天加工產品的1.5倍，公司需付甲工廠加工費用每天80元，乙工廠加工費用每天120元．(1)求甲乙兩個工廠每天各能加工多少件產品
(2)公司現有三種加工方案：①甲工廠單獨完成；②工廠單獨完成；③甲乙兩工廠同時合作完成．
在加工過程中，公司派一名工程師每天到廠進行指導，并負擔每天15元的午餐補助．(合作時也只需要一名工程師到廠指導)請你幫助公司選擇一種既省時又省錢的加工方案，并說明理由．
10．（2023·廣東深圳·校聯考一模）某服裝店老板到廠家選購A、B兩種品牌的兒童服裝，每套A品牌服裝進價比每套B品牌服裝進價多25元，若用2000元購進A種服裝的數量是用750元購進B種服裝數量的2倍．(1)求A、B兩種品牌服裝每套進價分別為多少元？(2)若A品牌服裝每套售價為130元，B品牌服裝每套售價為95元，服裝店老板決定，購進B品牌服裝的數量比購進A品牌服裝的數量的2倍還多4套，兩種服裝全部售出后，要使總的獲利超過1200元，則最少購進A品牌的服裝多少套？
1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·校考三模）若關于x的分式方程無解，則a的值為（　　）
A．0 B．1 C．或0 D．0或1
2．（2023·廣東中考模擬）定義一種新運算：，例如：，若，則（ ）
A．-2 B． C．2 D．
3．（2023·浙江·模擬預測）方程的所有實數根之和為（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
4．（2023·重慶·統考中考真題）若關于x的不等式組的解集為，且關于y的分式方程的解為正數，則所有滿足條件的整數a的值之和為 ．
5．（2022·黑龍江齊齊哈爾·統考中考真題）若關于x的分式方程的解大于1，則m的取值范圍是 ．
6．（2023·河南周口·校聯考三模）若關于的一元一次不等式組的解集為，且關于的分式方程有正整數解，則符合條件的所有整數的和是 ．
7．（2023·浙江·模擬預測）已知關于的方程的方程恰好有一個實數解，求的值及方程的解．
8．（2023·黑龍江牡丹江·統考中考真題）某商場欲購進A和B兩種家電，已知B種家電的進價比A種家電的進價每件多100元，經計算，用1萬元購進A種家電的件數與用1.2萬元購進B種家電的件數相同．請解答下列問題：(1)這兩種家電每件的進價分別是多少元？(2)若該商場欲購進兩種家電共100件，總金額不超過53500元，且A種家電不超過67件，則該商場有哪幾種購買方案？(3)在（2）的條件下，若A和B兩種家電的售價分別是每件600元和750元，該商場從這100件中拿出兩種家電共10件獎勵優秀員工，其余家電全部售出后仍獲利5050元，請直接寫出這10件家電中B種家電的件數．
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