資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第二章 方程與不等式
第一節 一元一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆☆ 一次方程（組）在中考數學中較為簡單，每年考查2-3題左右，分值為10分左右。 各地中考中，對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 一元一次方程 ☆☆
考點3 二元一次方程（組） ☆☆☆
考點4 一次方程（組）的應用 ☆☆☆
■考點一　等式的基本性質
1.等式的基本性質
1）等式兩邊都加上（或減去） 同一個數或同一個整式 ，所得的結果仍是等式；
2）等式兩邊都乘以（或除以） 同一個不等于零的數 ，所得的結果仍是等式；
3）若a=b，b=c，則 a=c （傳遞性）。
■考點二　一元一次方程
1.方程：含有 未知數 的 等式 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右兩邊 相等 的 未知數 的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做 解方程 。
3.一元一次方程：只含有 一個 未知數，并且未知數的次數為 1 ，這樣的 整式 方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。 注意：x前面的系數不為0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做 一元一次方程的解 。
5.一元一次方程的求解步驟
變形名稱 具體做法
去分母 在方程兩邊都乘以各分母的 最小公倍數 。
去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號。
移項 把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊
合并同類項 把方程化成的形式
系數化成1 在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為
■考點三　二元一次方程（組）
1.二元一次方程：含有 2個 未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的 整式方程 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的 未知數的值 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。
方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。
4.解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是 消元 ，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。
5.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
■考點四　一次方程（組）的實際應用
1.列方程（組）解應用題的一般步驟
（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；
（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．
2.一次方程（組）常見的應用題型
（1）銷售打折問題：
利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．
（2）儲蓄利息問題：
利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
■易錯提示
1.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母。
2. 一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數。
3.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解。
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據等式的性質，逐項分析判斷即可求解．
【詳解】A. ∵，∴，故該選項正確，不符合題意；
B. ∵，∴，故該選項正確，不符合題意；
C. ∵，∴ ，故該選項正確，不符合題意；
D. ∵，且，∴，故該選項不正確，符合題意；故選：D．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練等式的性質是解題的關鍵．等式的性質1：等式兩邊加(或減)同一個數(或式子)，結果仍相等；等式的性質2：等式兩邊乘同一個數，或除以同一個不為0的數(或式子)，結果仍相等．
◆變式訓練
1.（2023·內蒙古包頭·二模）設、、是實數，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據等式的性質，即可一一判定．
【詳解】解：A.若，則，故該選項錯誤，不符合題意；
B.若，則，故該選項正確，符合題意；
C.若且，則，故該選項錯誤，不符合題意；
D. 若，則，故該選項錯誤，不符合題意；故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質，熟練掌握和運用等式的性質是解決本題的關鍵．
◇典例2：（2022·山東濱州·統考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
【答案】B
【分析】根據等式的性質2可得答案．
【詳解】解：去分母得，其變形的依據是等式的性質2，故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質2：等式的兩邊同時乘以或除以同一個不為零的數，等式仍然成立．
◆變式訓練
1.（2023·安徽宿州·統考三模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根據直接計算可判斷B、C錯誤；將變形求出，然后計算可判斷A錯誤，D正確．
【詳解】解：∵，∴，故B、C錯誤；
∵，∴，∴，
∴，故A錯誤，D正確；故選：D．
【點睛】本題考查等式的性質，解題的關鍵是正確的變形，等量代換．
2.（2023·福建·統考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：
設任意一個實數為x，令，
等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是 ．
【答案】④
【分析】根據等式的性質2即可得到結論．
【詳解】等式的性質2為：等式兩邊同乘或除以同一個不為0的整式，等式不變，
∴第④步等式兩邊都除以，得，前提必須為，因此錯誤；故答案為：④．
【點睛】本題考查等式的性質，熟知等式的性質是解題的關鍵．
◇典例3：（2023·河北保定·校考一模）如左圖的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為和，則下列關系可能出現的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】分析左圖可知，1個“ ”的質量等于2個“○”的質量．兩個物體等可能的向左或向右落時，共有4種情況，分別計算出左邊托盤和右邊托盤的質量，即可得出和的關系．
【詳解】解：由左圖可知2個“○”與1個“ ”的質量等于2個“ ”的質量，
1個“ ”的質量等于2個“○”的質量．
右圖中，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，
共有4種情況：（1）“○”和“ ”都落到左邊的托盤時：
左邊有3個“○”2個“ ”，相當于7個“○”，右邊有2個“ ”，相當于4個“○”，此時；
（2）“○”和“ ”都落到右邊的托盤時：
左邊有2個“○”1個“ ”，相當于4個“○”，右邊有3個“ ” 1個“○”，相當于7個“○”，此時；
（3）“○”落到左邊的托盤，“ ” 落到右邊的托盤時：
左邊有3個“○”1個“ ”，相當于5個“○”，右邊有3個“ ”，相當于6個“○”，此時；
（4）“○”落到右邊的托盤，“ ” 落到左邊的托盤時：
左邊有2個“○”2個“ ”，相當于6個“○”，右邊有2個“ ” 1個“○”，相當于5個“○”，此時；觀察四個選項可知，只有選項C符合題意，故選C．
【點睛】本題考查等可能事件、等式的性質，解題的關鍵是讀懂題意，計算所有等可能情況下和的比值．
◆變式訓練
1.（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
【答案】A
【分析】根據等式的性質解答即可．
【詳解】解：觀察圖形，是等式的兩邊都減去c（a，b，c均不為0），
利用等式性質1，得到，即如果，那么（a，b，c均不為0）．故選：A．
【點睛】本題考查了等式的性質，掌握等式兩邊加或減去同一個數（或式子）結果仍得等式；等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式是解題的關鍵．
■考點二　一元一次方程
◇典例4：（2023·湖南永州·統考中考真題）關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（ ）
A．3 B． C．7 D．
【答案】A
【分析】把代入再進行求解即可．
【詳解】解：把代入得：，解得：．故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，解題的關鍵是掌握使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元一次方程的解，以及解一元一次方程的方法和步驟．
◆變式訓練
1. （2023·廣東清遠·統考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出每個一元一次方程的解即可做出判斷．
【詳解】解：A．，解得，故選項不符合題意；
B．，解得，故選項不符合題意；
C．，解得，故選項不符合題意；
D．，解得，故選項符合題意．故選：D．
【點睛】此題考查了一元一次方程的解，熟練掌握一元一次方程的解法并正確求解是解題的關鍵．
2.（2023上·湖南永州·七年級校考期中）已知是關于的一元一次方程，則 ．
【答案】
【分析】本題考查了一元一次方程的定義：一元一次方程指只含有一個未知數、未知數的最高次數為1且兩邊都為整式的等式．熟記相關結論即可．
【詳解】解：由題意得：且，∴故答案為：
◇典例6：（2023·浙江衢州·統考中考真題）小紅在解方程時，第一步出現了錯誤：
(1)請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處；(2)寫出你的解答過程．
【答案】(1)劃線見解析 (2)，過程見解析
【分析】（1）根據解一元一次方程去分母的過程，即可解答；
（2）根據解一元一次方程的步驟，計算即可．
【詳解】（1）解：劃線如圖所示：
（2）解：，
，
，
，
．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟知解方程的步驟是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2022·貴州黔西·統考中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號，得②
移項，得③
合并同類項，得④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】按照解一元一次方程的一般步驟進行檢查，即可得出答案．
【詳解】解：方程兩邊同乘6，得①
∴開始出錯的一步是①，故選：A．
【點睛】本題考查了解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的一般步驟以及注意事項是解決問題的關鍵．
2．（2023·浙江溫州·統考一模）解方程，以下去分母正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】各項同時乘以運算即可．
【詳解】解：，
去分母得，，故選：A．
【點睛】本題考查了解一元一次方程去分母．解題的關鍵在于正確的運算．
3．（2023·浙江·統考一模）解方程：
【答案】
【分析】按照去分母，去括號，移項，合并同類項，化系數為1的步驟，進行解答即可．
【詳解】解：去分母，得：，
移項，得：，
合并同類項，得：，
系數化為1，得：．
【點睛】本題主要考查了解一元一次方程，解題的關鍵是在掌握解一元一次方程的方法和步驟．
■考點三　二元一次方程（組）
◇典例7：（2023·浙江衢州·統考中考真題）下列各組數滿足方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】代入的值，逐一判斷即可解答．
【詳解】解：當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故A符合題意；
當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故B不符合題意；
當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故C不符合題意；
當時，方程左邊，方程左邊方程右邊，故D不符合題意；故選：A．
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，熟知使得二元一次方程兩邊的值相等的兩位未知數是二元一次方程的解，是解題的關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·河北秦皇島·模擬預測）若是關于x、y的二元一次方程的解，則a的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將代入原方程，可得出關于a的一元一次方程，解之即可得出a的值．
【詳解】將代入原方程，可得：，解得： 故選：C
【點睛】本題考查了二元一次方程的解，能夠將方程的解代入原方程是解題的關鍵．
2．（2023·四川涼山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據二元一次方程組的定義解答．
【詳解】解：A中含有兩個未知數，含未知數的項的最高次數為2，故不符合定義；
B符合定義，故是二元一次方程組；C中含有分式，故不符合定義；
D含有三個未知數，故不符合定義；故選：B．
【點睛】此題考查了二元一次方程組定義：含有兩個未知數，且含有未知數的項的最高次數為2的整式方程是二元一次方程組，熟記定義是解題的關鍵．
◇典例8：（2022·浙江臺州·中考真題）解方程組：．
【答案】
【分析】用加減消元法解二元一次方程組即可；
【詳解】．解：，得．把代入①，得．
∴原方程組的解為．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，本題使用加減消元法比較簡單，當然使用代入消元求解二元一次方程組亦可．
◆變式訓練
1. （2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程組最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加減法 C．都可以 D．無法確定
【答案】B
【分析】觀察方程中的y的系數特點為互為相反數，即可得出最好的解法．
【詳解】解：解二元一次方程組最好的做法首先采用加減消元法，故選B
【點睛】本題考查解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．
2．（2022·湖南株洲·中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】將①式代入②式消去括號即可求得結果．
【詳解】解：將①式代入②式得，，故選B．
【點睛】本題考查了代入消元法求解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關鍵．
3．（2022·廣西桂林·中考真題）解二元一次方程組：．
【答案】
【分析】利用加減消元法可解答．
【詳解】解：①+②得：2x＝4，∴x＝2，
把x＝2代入①得：2﹣y＝1，∴y＝1，
∴原方程組的解為：．
【點睛】本題考查二元一次方程組的解法，熟練掌握加減消元法解二元一次方程組是解題的關鍵．
◇典例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程組的解也是方程的解，則的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
【答案】D
【分析】先解二元一次方程組，再將二元一次方程組的解代入，求解即可得到答案．
【詳解】解：，
②①得：，，
將代入①得：，，
方程組的解為，
將代入得：，
，故選：D．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組及二元一次方程組的解，熟練掌握解二元一次方程組的解法是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023·江蘇蘇州·統考二模）如果實數x，y滿足方程組，那么 ．
【答案】
【分析】把分解因式，再整體代入即可．
【詳解】解：∵實數x，y滿足方程組，
∴；故答案為：
【點睛】本題考查的是利用平方差公式分解因式，二元一次方程組的解的含義，熟記平方差公式是解本題的關鍵．
2．（2023·江蘇鎮江·統考二模）已知二元一次方程組，則代數式
【答案】6
【分析】將兩個方程相加，可得，等式兩邊同時除以2，可得代數式的值．
【詳解】解：兩個方程相減，得，即，
兩邊同時除以2，得．故答案為：6．
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解題關鍵是將看作一個整體，可以使計算簡便．
◇典例10：（2023下·四川遂寧·七年級校聯考階段練習）解方程組：
(1)(2)(3)
【答案】(1)(2)(3)
【分析】（1）用加減消元法先算出x的值，然后代入計算y即可；
（2）先化簡方程組，然后用加減消元法算出x的值，代入計算y值即可；（3）先將后邊兩個方程相加，得到一個和x，y相關的方程，在和第一個方程聯立求解x，y，在代入求z即可．
【詳解】（1），
可得：，解得：，
將代入可得：，
∴原方程組的解是；
（2）化簡原方程組可得：，
可得：，解得：，
將代入可得：
∴原方程組的解是；
（3），
可得：，
可得：，解得：，
將代入可得：，
將，代入可得：，
∴原方程組的解是：．
【點睛】本題主要考查解二元一次方程組和三元一次方程組，選擇合適的消元法解方程是解題的關鍵．
◆變式訓練
1. （2023下·河南周口·七年級校考階段練習）方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據加減消元法求解即可．
【詳解】解：，
由得：，解得：．
由得：，解得：．
由得：，解得：．
故原方程組的解為．故選D．
【點睛】本題考查解三元一次方程組，掌握解三元一次方程組的方法和步驟是解題關鍵．
2．（2023下·四川成都·七年級校考期中）已知方程組，則的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【分析】利用解方程中的整體思想，進行計算即可解答．．
【詳解】解：，得：，∴．故選：A．
【點睛】本題考查解三元一次方程組．理解和掌握解方程過程中的整體思想是解題的關鍵．
■考點四　一次方程（組）的實際應用
◇典例11：（2023·新疆·烏市一中校聯考一模）商場按標價打八折銷售某品牌電器一件，可獲利500元，利潤率為．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（ ）
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
【答案】A
【分析】先根據打八折后獲利500元，利潤率為，求出該電器成本價，設該電器售價為x，列出方程，求出x的值，即可求出該電器打九折后獲得利潤．
【詳解】解：該電器成本為：，設該電器售價為x，
，解得：，
∴該電器打九折后獲得利潤為：（元），故選：A．
【點睛】本題主要考查了一元一次方程的實際應用，解題的關鍵是正確理解題意，根據題意找出等量關系，列出方程求解．
◆變式訓練
1．（2023·四川成都·統考中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一．書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設木長尺，根據題意“用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺”，列出一元一次方程即可求解．
【詳解】解：設木長尺，根據題意得，，故選：A
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
2．（2023·四川南充·統考中考真題）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節省________N的力．（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂）
【答案】100
【分析】設動力為，根據阻力阻力臂動力動力臂，分別解得動力臂在1.5m和2m時的動力，即可解答．
【詳解】解：設動力為，根據阻力阻力臂動力動力臂，
當動力臂在1.5m時，可得方程，解得，
當動力臂在2m時，可得方程，解得，
，故節省100N的力，故答案為：100．
【點睛】本題考查一元一次方程的實際應用，根據題目中給出的等量關系，正確列方程是解題的關鍵．
◇典例12：（2021·四川資陽·統考中考真題）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．
（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
【答案】（1）甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元；（2）購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．
【分析】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，根據題意列方程組求出x、y的值即可得答案；（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，根據甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的可得m的取值范圍，根據需甲、乙兩種獎品共60件可得購買乙種獎品為（60-m）件，根據（1）中所求單價可得w與m的關系式，根據一次函數的性質即可得答案．
【詳解】（1）設甲種獎品的單價為x元，乙種獎品的單價為y元，
∵1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元，
∴，解得：，
答：甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元．
（2）設總費用為w元，購買甲種獎品為m件，
∵需甲、乙兩種獎品共60件，∴購買乙種獎品為（60-m）件，
∵甲種獎品的單價為20元，乙種獎品的單價為10元，∴w=20m+10（60-m）=10m+600，
∵甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，∴m≥（60-m），∴20≤m≤60，
∵10>0，∴w隨m的增大而增大，∴當m=20時，w有最小值，最小值為10×20+600=800（元），
∴購買甲種獎品20件，乙種獎品40件時總費用最少，最少費用為800元．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用、一元一次不等式的應用及一次函數的應用，正確得出等量關系及不等關系列出方程組及不等式，熟練掌握一次函數的性質是解題關鍵．
◆變式訓練
1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市關工委準備為希望小學購進圖書和文具若干套，已知1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元，則1套文具和1套圖書需 元．
【答案】48
【分析】設1套文具的價格為x元，一套圖書的價格為y元，根據“1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元”，即可得出關于x、y的二元一次方程組，解之即可得出x、y的值，將其代入中，即可得出結論．
【詳解】解：設1套文具的價格為x元，一套圖書的價格為y元，
根據題意得：，解得：，∴．故答案為：48．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，列出關于x、y的二元一次方程組是解題的關鍵
2．（2023·安徽宿州·統考模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”，年月日是我國第個植樹節，某班組織學生在某園林基地進行植樹活動，活動開始前對若干棵樹苗進行分配，若人合作種植一棵樹苗，則還剩棵，若人合作種植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗，問共有多少棵樹苗，多少學生？
【答案】共有14棵樹苗，44名學生．
【分析】設共有棵樹苗，名學生，根據若人合作種植一棵樹苗，則還剩棵，若人合作種植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗．列出二元一次方程組，解方程組即可．、
【詳解】解：設共有棵樹苗，名學生，
由題意等：，解得：，
答：共有棵樹苗，名學生．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．
3．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）太原古縣城，位于山西省太原市晉源區，是2500年晉陽古城文脈的延續．春節期間，在太原古縣城內舉辦的“錦繡太原中國年·鳳舞龍城花燈會”以及清明上河圖數字體驗館吸引了眾多游客．網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元．一張體驗館的門票比現場購買少10元，一張花燈會的門票比現場購買少2元．現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元．(1)請求出網上購買體驗館與花燈會的門票價格；(2)春節期間，某一購票網站搞活動，游客可以購買滿300送30元的優惠券，若一個五口之家，通過網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張，比現場購買便宜多少元？

【答案】(1)網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為68元和48元(2)90
【分析】（1）設網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為元和元，可得到現場購買的價格，再根據網上購買體驗館與花燈會門票的價格關系與現場購買體驗館與花燈會門票的價格關系建立二元一次方程組，解方程組即可得到答案；
（2）分別計算出現場購買的價格，計算出現場購買的總價，再計算出網上購買的總價，減去優惠券的額度，得到網上購買優惠后的價格，即可求得答案．
【詳解】（1）解：設網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為元和元，
則現場購買體驗館的門票價格為：元，現場購買花燈會的門票價格為：元；
∵網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元，∴，
∵現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元，∴，
∴，解方程組得：，
∴網上購買體驗館與花燈會的門票價格分別為68元和48元；
（2）解：根據（1）得現場購買體驗館的門票價格為78元，現場購買花燈會的門票價格為50元 ，
∴現場購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，
網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，
∵游客可以購買滿300送30元的優惠券，
∴網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張的價格為元，
∴比現場購買便宜元．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用，解題的關鍵是根據題意建立正確的方程組．
◇典例13：（2021·四川瀘州·統考中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
【答案】（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；（2）共有3種租車方案，方案1：租用A型車8輛，B型車2輛；方案2：租用A型車5輛，B型車6輛；方案3：租用A型車2輛，B型車10輛；租用A型車8輛，B型車2輛最少．
【分析】（1）設1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，根據“3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸”列方程組求解可得；
（2）設貨運公司安排A貨車m輛，則安排B貨車n輛．根據“共有190噸貨物”列出二元一次方程組，結合m，n均為正整數，即可得出各運輸方案．再根據方案計算比較得出費用最小的數據．
【詳解】解：（1）1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨x噸和y噸，
根據題意可得：，解得：，
答：1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨20噸和15噸；
（2）設安排A型車m輛，B型車n輛，
依題意得：20m+15n=190，即，
又∵m，n均為正整數，
∴或或，∴共有3種運輸方案，
方案1：安排A型車8輛，B型車2輛；
方案2：安排A型車5輛，B型車6輛；
方案3：安排A型車2輛，B型車10輛．
方案1所需費用：5008+4002=4800(元)；
方案2所需費用：5005+4006=4900(元)；
方案3所需費用：5002+40010=5000(元)；
∵4800＜4900＜5000，∴安排A型車8輛，B型車2輛最省錢，最省錢的運輸費用為4800元．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出二元一次方程組；（2）找準等量關系，正確列出二元一次方程；根據總費用=500×安排A型車的輛數+400×B型車的輛數分別求出三種運輸方案的總費用．
◆變式訓練
1.（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考三模）中國減貧方案和減貧成就是史無前例的人類奇跡，聯合國秘書長古特雷斯表示，“精準扶貧”方略幫助貧困人口實現2030年可持續發展議程設定的宏偉目標的唯一途徑，中國的經驗可以為其他發展中國家提供有益借鑒，為了加大“精準扶貧”力度，某單位將19名干部分成甲、乙、丙三個小組到村屯帶領50個農戶脫貧，若甲組每人負責4個農戶，乙組每人負責3個農戶，丙組每人負責1個農戶，則分組方案有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．30種
【答案】B
【分析】設甲組有名干部，乙組有名干部，則丙組有名干部，根據將19名干部分成甲、乙、丙三個小組到村屯帶領50個農戶脫貧，若甲組每人負責4個農戶，乙組每人負責3個農戶，丙組每人負責1個農戶，列二元一次方程，求解即可．
【詳解】設甲組有名干部，乙組有名干部，則丙組有名干部，由題意得
，化簡得，∴，
∴當時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，
當時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，
當時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，
當時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，
當時，，即甲組有名干部，乙組有名干部，則乙組有名干部，
綜上，有5種方案，故選：B．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，準確理解題意，熟練掌握解二元一次方程的方法是解題的關鍵．
1．（2021·安徽·統考中考真題）設a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】舉反例可判斷A和B，將式子整理可判斷C和D．
【詳解】解：A．當，，時，，故A錯誤；
B．當，，時，，故B錯誤；
C．整理可得，故C錯誤；
D．整理可得，故D正確；故選：D．
【點睛】本題考查等式的性質，掌握等式的性質是解題的關鍵．
2．（2023·四川南充·統考中考真題）《孫子算經》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設長木長為x尺，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設長木長為x尺，則繩子長為尺，根據“將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺”，可列出方程．
【詳解】設長木長為x尺，則繩子長為尺，根據題意，得 故選：A
【點睛】本題考查一元一次方程解決實際問題，理解題意，找出等量關系列出方程是解題的關鍵．
3．（2023年山東省威海市中考數學真題）常言道：失之毫厘，謬以千里．當人們向太空發射火箭或者描述星際位置時，需要非常準確的數據．的角真的很小．把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度數是．．若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數就是．太陽到地球的平均距離大約為千米．若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
【答案】D
【分析】設以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據頂角相等的兩等腰三角形相似，相似三角形的對應邊成比例，可列出方程，求解即可．
【詳解】解：設以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為x毫米，根據題意，得解得：
∴等腰三角形底邊長為毫米千米．故選：D．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用．根據相似三角形判定與性質列出方程是解題的關鍵，注意單位換算．
4．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬天可追上慢馬，由題意得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設快馬天可追上慢馬，根據路程相等，列出方程即可求解．
【詳解】解：設快馬天可追上慢馬，由題意得故選：D．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，根據題意列出方程是解題的關鍵．
5．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）為提高學生學習興趣，增強動手實踐能力，某校為物理興趣小組的同學購買了一根長度為的導線，將其全部截成和兩種長度的導線用于實驗操作（每種長度的導線至少一根），則截取方案共有（ ）
A．5種 B．6種 C．7種 D．8種
【答案】C
【分析】設和兩種長度的導線分別為根，根據題意，得出，進而根據為正整數，即可求解．
【詳解】解：設和兩種長度的導線分別為根，根據題意得，
，即，∵為正整數，∴
則，故有7種方案，故選：C．
【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，根據題意列出方程求整數解是解題的關鍵．
6．（2023年四川省眉山市中考數學真題）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】將方程組的兩個方程相減，可得到，代入，即可解答．
【詳解】解：，得，，
代入，可得，解得，故選：B．
【點睛】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．
7．（2023年四川省南充市中考數學真題）關于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】D
【分析】法一：利用加減法解方程組，用表示出，再將求得的代數式代入，得到的關系，最后將變形，即可解答．
法二：中得到，再根據求出代入代數式進行求解即可.
【詳解】解：法一：，
得，解得，
將代入，解得，
，，得到，
，
法二：
得：，即：，
∵，∴，
，故選：D．
【點睛】本題考查了根據二元一次方程解的情況求參數，同底數冪除法，冪的乘方，熟練求出的關系是解題的關鍵．
8．（2022年湖北省宜昌市中考數學真題）五一小長假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船．小華發現1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數為（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
【答案】B
【分析】設1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，根據“1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人”和“2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人”這兩個等量關系列方程組，解出（x+y）即可．
【詳解】設1艘大船與1艘小船分別可載x人，y人，
依題意：（①+②）÷3得： 故選：B．
【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用；注意本題解出（x+y）的結果即可．
9．（2023年河北省中考數學真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數，需重新投，計分規則如下：
投中位置 A區 B區 脫靶
一次計分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A區4次，B區2次，脫靶4次．

(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A區k次，B區3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．
【答案】(1)珍珍第一局的得分為6分；(2)．
【分析】（1）根據題意列式計算即可求解；（2）根據題意列一元一次方程即可求解.
【詳解】（1）解：由題意得(分)，
答：珍珍第一局的得分為6分；
（2）解：由題意得，解得：．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解．
10．（2023年北京市中考數學真題）對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一幅對聯，對聯的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

【答案】邊的寬為，天頭長為
【分析】設天頭長為，則地頭長為，邊的寬為，再分別表示出裝裱后的長和寬，根據裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍列方程求解即可．
【詳解】解：設天頭長為，
由題意天頭長與地頭長的比是，可知地頭長為，
邊的寬為，
裝裱后的長為，
裝裱后的寬為，
由題意可得：解得，∴，
答：邊的寬為，天頭長為．
【點睛】本題考查了一元一次方程的應用，題中的數量關系較為復雜，需要合理設未知數，找準數量關系．
11．（2023年山東省臨沂市中考數學真題）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．
(1)這臺M型平板電腦價值多少元？
(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？
【答案】(1)這臺M型平板電腦的價值為元 (2)她應獲得元的報酬
【分析】（1）設這臺M型平板電腦的價值為元，根據題意，列出方程進行求解即可；
（2）根據題意，列出代數式即可．
【詳解】（1）解：設這臺M型平板電腦的價值為元，由題意，得：
， 解得：；
∴這臺M型平板電腦的價值為元；
（2）解：由題意，得：；
答：她應獲得元的報酬．
【點睛】本題考查一元一次方程的應用．找準等量關系，正確的列出方程，是解題的關鍵．
12．（2023年湖南省長沙市中考數學真題）為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．
(1)比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數分別是多少？
(2)投籃得分規則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？
【答案】(1)該班級勝負場數分別是場和場；
(2)該班級這場比賽中至少投中了個分球．
【分析】（1）設勝了場，負了場，根據場比賽中獲得總積分為分可列方程組，求解即可．
（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，根據所得總分不少于分，列出相應的不等式，從而可以求出答案．
【詳解】（1）解：設勝了場，負了場，
根據題意得：，解得，
答：該班級勝負場數分別是場和場；
（2）設班級這場比賽中投中了個分球，則投中了個分球，
根據題意得：，解得，
答：該班級這場比賽中至少投中了個分球．
【點睛】本題考查二元一次方程組的應用和一元一次不等式的應用，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程組和不等式．
1.（2023·河北唐山·統考一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態，則該天平是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y “●”的質量為m，列出等式，根據等式的性質計算判斷即可．
【詳解】設“■”的質量為x，“▲”的質量為y “●”的質量為m，
根據題意，得即，故A正確，不符合題意；
∴，故C正確，不符合題意；故B不正確，符合題意；
∴，故D正確，不符合題意；故選B．
【點睛】本題考查了等式的性質，正確理解等式的性質是解題的關鍵．
2.（2023·河北張家口·統考一模）不是下列哪個方程的解（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】將代入各個方程，即可判斷．
【詳解】經代入計算，可知能使方程、、成立，
不能使成立，不是的解．故選：C．
【點睛】本題考查了二元次一方程的解的定義，正確代入計算，是解答本題的關鍵．
3．（2023·河北保定·校考一模）已知，則下列表示b的式子是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】運用等式的基本性質解題即可．
【詳解】解：∵∴兩邊同時減去a得：
∴兩邊同時乘以得：故選A．
【點睛】本題考查等式的基本性質，掌握等式的基本性質是解題的關鍵．
4．（2023上·廣東云浮·七年級校考期末）下列等式變形中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據等式的性質逐個判斷即可．
【詳解】解：A．∵，∴，故本選項不符合題意；
B．∵，，∴，故本選項符合題意；
C．∵，∴，故本選項不符合題意；
D．∵，∴，故本選項不符合題意；
故選：B．
【點睛】本題考查了等式的性質：等式性質1、等式兩邊加同一個數（或式子）結果仍得等式；性質2、等式兩邊乘同一個數或除以一個不為零的數，結果仍得等式．掌握不等式的性質是解題的關鍵．
5．（2023·浙江溫州·統考一模）將方程去分母，結果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據解一元一次方程的步驟可進行求解．
【詳解】解：將方程去分母得：；
故選A．
【點睛】本題主要考查解一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
6．（2023·浙江杭州·校聯考三模）已知關于x，y的方程組的解是，則直線與的交點坐標為 ．
【答案】
【分析】把代入即可求出m的值，再根據二元一次方程組和一次函數的關系，即可進行解答．
【詳解】解：把代入，得：，
關于x、y的方程組的解是，
直線與的交點坐標為，故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，以及二元一次方程組和一次函數的關系，解題的關鍵是熟練掌握二元一次方程組的解是對應兩個一次函數圖象交點的橫坐標和縱坐標．
7．（2023·江西南昌·校考一模）二元一次方程組的解滿足，則的值為 ．
【答案】
【分析】將方程組中的兩個方程相加可得，進而得到，再根據可得一個關于的一元一次方程，解方程即可得．
【詳解】解：，由得：，∴
二元一次方程組的解滿足，
，解得，故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解和解二元一次方程組，正確發現方程組中的兩個方程與之間的聯系是解題關鍵．
8．（2023·浙江·模擬預測）實數滿足．則 ．
【答案】
【分析】由得：，，由得：，從而得到，即可求解．
【詳解】解：，
由得：，∴，
由得：，∴，
∴，
∴．故答案為：
【點睛】本題主要考查了求代數式的值，三元一次方程組，根據題意得到，是解題的關鍵．
9．（2023·遼寧沈陽·校考三模）關于的二元一次方程組的解是，則的值為 ．
【答案】0
【分析】把的值代入方程計算求出的值，代入進行計算即可得到答案．
【詳解】解：把代入，得：，解得：，
，故答案為：0．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的解，方程組的解即為能使方程組中兩方程都成立的未知數的值．
10．（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質 C．分式的基本性質 D．乘法分配律
(2)從第_________步開始出現錯誤；(3)該方程正確的解為____________
【答案】(1)A(2)一(3)
【分析】（1）根據移項的變形依據回答即可；（2）根據去分母漏乘沒有分母的項回答即可；
（3）寫出正確的解題過程，即可得到答案．
【詳解】（1）解：移項的依據是等式的基本性質，故選：A
（2）從第一步開始出現錯誤，方程右邊的1沒有乘以6，故答案為：一
（3）
解：去分母，得……第一步
去括號，得……第二步
移項，得……第三步
合并同類項，得，……第四步
方程兩邊同除以－1，得．……第五步
故答案為：
【點睛】此題考查了一元一次方程，熟練掌握解一元一次方程的步驟是解題的關鍵．
11．（2023·黑龍江·統考三模）某手機經銷商計劃同時購進甲乙兩種型號手機，若購進2部甲型號手機和5部乙型號手機，共需要資金6000元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價各為多少元；(2)該店預計用不少于1.78萬元且不多于1.92萬元的資金購進這兩種型號手機共20部，請問有多少種進貨方案？
(3)若甲型號手機的售價為1500元，乙型號手機的售價為1450元，為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機．返還顧客現金a元，甲型號手機售價不變，要使（2）中購進的手機全部售完，每種方案獲利相同，求a的值．
【答案】(1)甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每部進價為800元．(2)8種(3)a的值為150．
【分析】（1）設未知數列二元一次方程組解方程即可；（2）設未知數列不等式，解不等式，考慮實際問題中取整得到解的可能情況；（3）用（2）中未知數和a列出利潤計算式，根據m的值不影響利潤結果得到含m的項系數為0，求出a即可．
【詳解】（1）設甲型號手機每部進價為x元，乙型號手機每部進價為y元．
依題意，得．解得．
答：甲型號手機每部進價為1000元，乙型號手機每部進價為800元．
（2）設購進甲型號手機m部，則購進乙型號手機部．
依題意，得，解得．
又m為整數，m可以為9，10，11，12，13，14，15，16．有8種進貨方案．
（3）設20部手機全部銷售完后獲得的總利潤相等，則
．
（2）中每種方案獲利相同，利潤計算式中不能有含的項，
．．答：a的值為150．
【點睛】本題考查二元一次方程組的實際應用，一元一次不等式的實際應用，及定值問題．注意定值問題中一個式子的值與m無關，則含有m的項中，m的系數為0．
12．（2023·廣東河源·二模）西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業街上，擺放著琳瑯滿目的具有古風特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜愛，某店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把，這兩種扇子的進價、標價如表所示：
種類價格 折扇 團扇
進價（元/把）
標價（元/把）
(1)折扇和團扇各購進了多少把？(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利元，已知折扇按標價的九折出售，則團扇的折扣是多少？
【答案】(1)折扇購進了把，團扇購進了把(2)團扇的折扣是七五折
【分析】（1）設折扇購進了把，團扇購進了把，根據“店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把”，和表格中折扇和團扇的進價，列出二元一次方程組，解二元一次方程組即可；
（2）設團扇的折扣是折，根據“全部售出后，該店鋪共獲利元”，折扇購進了把，團扇購進了把，和表格中折扇和團扇的進價與標價，列出一元一次方程，解一元一次方程即可．
【詳解】（1）解：設折扇購進了把，團扇購進了把，
根據題意得：，解得：．
答：折扇購進了把，團扇購進了把；
（2）解：設團扇的折扣是折，
根據題意得：，解得：．
答：團扇的折扣是七五折．
【點睛】本題考查了一元一次方程、二元一次方程組的應用，讀懂題意、列方程是解題的關鍵．
1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，滿足條件的m的所有正整數值為（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
【答案】D
【分析】先解方程組求得x、y的值，再根據列出關于m的不等式，解之求得m的取值范圍即可求解．
【詳解】解：解方程組得，
∵，∴，解得，
∴正整數m的值為1、2、3、4，故選：D．
【點睛】本題考查解二元一次方程組和一元一次不等式，根據題意列出關于m的不等式是解題的關鍵．
2．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是兩個實數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據x、y的取值范圍，去絕對值符號并分別討論求得方程組的解，再代入代數式計算求解即可．
【詳解】解：當，時，原方程組為：，方程組無解；
當，時，原方程組為：，解得，；
當，時，原方程組為：，方程組無解；
當，時，原方程組為：，方程組無解；
綜上得，原方程組的解為：，∴，故答案選C．
【點睛】本題考查了解二元一次方程組，涉及到絕對值計算，根據未知數的范圍判斷去絕對值后的符號是解此題的關鍵．
3．（2023·浙江·模擬預測）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團共15人準備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．3種
【答案】C
【分析】設一人間x間，二人間y間，三人間間，根據旅行團共15人列出方程，解方程即可．
【詳解】解：設一人間x間，二人間y間，三人間間．根據題意得：，
整理得：，
當時，，；
當時，，；
當時，，；
當時，，．
∴有4種租房方案：①租一人間3間，二人間0間，三人間4間；②租一人間2間，二人間2間，三人間3間；③租一人間1間，二人間4間，三人間2間；④租一人間0間，二人間6間，三人間1間．
故選：C．
【點睛】本題是二元一次方程的應用，此題難度較大，解題的關鍵是理解題意，根據題意列方程，然后根據x，y是整數求解，注意分類討論思想的應用．
4．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
【答案】C
【分析】根據進行分類討論即可求解．
【詳解】解：，且均為非負整數，①當時，
，，
，，會組成四位數，不滿足題意；
②當時，，，
，，故組成最大的三位數為：；
③時，，，
，解得：，組成最大的三位數為：
綜上所述，它們最大三位數是，故選：C．
【點睛】本題主要考查了三元一次方程組，掌握三元一次方程組的解法是解題的關鍵，同時要運用了分類討論的數學思想．
5．（2023·浙江·模擬預測）關于的方程有無數多個實根，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．有無數個取值
【答案】C
【分析】根據絕對值的性質，進行分類討論：①當時，②當時，即可求解．
【詳解】解：①當時，
，，
當時，，只有一個實數根，不符合題意；
當時，解得：，左邊，右邊，
此時方程有無數個解，符合題意；
②當時，，，
當時，，只有一個實數根，不符合題意；
當時，解得：，左邊，右邊，
此時方程有無數個解，符合題意；
綜上：實數的值為1或，故選：C．
【點睛】本題主要考查了絕對值的定義，解一元一次方程，解題的關鍵是掌握正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0．
6．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組的解都為非負數，若，則W的最大值為 ．
【答案】1
【分析】先求出方程組的解，再由二元一次方程組的解都為非負數，可得關于a的不等式組，確定a的取值范圍，再由一次函數的增減性求解即可．
【詳解】解：，解得：，
∵二元一次方程組的解都為非負數，
∴，解得：．
∵，W隨a的增大而增大，
∴當時，，故答案為：1
【點睛】本題主要考查了解二元一次方程組，解一元一次不等式組及一次函數的基本性質，熟練掌握解二元一次方程組，解一元一次不等式組的方法是解題的關鍵．
7．（2023·四川內江·校考一模）已知x，y，z為實數，滿足，那么的最小值是 .
【答案】14
【分析】用含的式子表示出，將轉化為只含的代數式，利用配方法，求出最值即可．
【詳解】解：，
，得，則③，
，得，則④，
把③④代入得，；
∵，∴的最小值是14，故答案為14．
【點睛】本題考查配方法的應用．將代數式轉化為只含的代數式，利用配方法求最值，是解題關鍵．
8．（2023·黑龍江綏化·模擬預測）我市各單位為同學們的返校復學采取了一系列舉措．復課返校后，為了拉開學生鍛煉的間距，某學校決定增購適合獨立訓練的兩種體育器材：跳繩和毽子，原來購進根跳繩和個毽子共需元；購進根跳繩和個毽子共需元．學校計劃購進跳繩和毽子兩種器材共個，由于受疫情影響，商場決定對這兩種器材打折銷售，其中跳繩以八折出售，毽子以七五折出售，學校要求跳繩的數量不少于毽子數量的倍，跳繩的數量不多于根，則最少費用是 元．
【答案】
【分析】設打折前跳繩的單價為元，毽子的單價為元，根據“打折前，購進根跳繩和個毽子共需元；購進根跳繩和個毽子共需元”，可列出關于，的二元一次方程組，解之可得出跳繩及毽子的單價，設購買跳繩根，則購買個，根據“購進跳繩的數量不少于毽子數量的倍，且跳繩的數量不多于根”，可列出關于的一元一次不等式組，解之可得出的取值范圍，設購買跳繩和毽子的總費用為元，利用總價單價數量，可找出關于的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．
【詳解】解：設打折前跳繩的單價為元，毽子的單價為元，
根據題意得：，解得：，
打折前跳繩的單價為元，毽子的單價為元．
設購買跳繩根，則購買毽子個，
根據題意得：，解得：．
設購買跳繩和毽子的總費用為元，則，即，
，隨的增大而增大，又，且為正整數，
當時，取得最小值，最小值，
最少費用是元．故答案為：．
【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用、一元一次不等式組的應用以及一次函數的應用，根據各數量之間的關系，找出關于的函數關系式是解題的關鍵．
9．（2023·山西大同·統考模擬預測）閱讀與思考
小敏在九年級復習階段，針對“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請仔細閱讀并完成相應的任務.
九年級總復習筆記
引例：求一元一次方程和方程組的解.
基本步驟：去括號，去分母，移項合并同類項，化系數為
基本思想：________________
解答： 第一步： 移項得： 第二步： 合并同類項得： 第三步： 化系數為1得： 方法一： 由得 ， 把代入①中得 所以原方程組的解為 方法二：利用兩條直線的交點坐標求得方程組的解為
任務：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉化思想 C． 數形結合 D．分類討論
(2)解方程的步驟從第__________步開始出現錯誤，錯誤的原因是_________________，方程正確的解為___________________________.
(3)實際上，除了解二元一次方程組外，初中數學還有一些知識也可以用函數的觀點來認識.例如：可以用函數的觀點來認識一元一次方程的解，請你再舉出一例；
【答案】(1)B(2)一，移項時沒有變號；(3)見解析
【分析】（1）根據題中解方程的方法即可得到解方程的基本思想是；
（2）根據移項、合并同類項、系數化為1解方程，再進行判斷即可；
（3）根據函數與方程的關系舉例即可．
【詳解】（1）解：由題意可得，解方程的基本思想是轉化思想，故選：B．
（2）解：由題意可得，第一步：移項得，，
第二步：合并同類項得，，第三步：化系數為1得，，
∴從第一步開始出錯，原因是：x移項時沒有變號，
故答案為：一，移項時沒有變號，．
（3）解：用二次函數的觀點認識一元二次方程的解（用函數的觀點認識一元一次不等式的解集）．
【點睛】本題考查解一元一次方程和二元一次方程組、函數與方程的關系，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．
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第二章 方程與不等式
第一節 一元一次方程（組）
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 等式的基本性質 ☆☆ 一次方程（組）在中考數學中較為簡單，每年考查2-3題左右，分值為10分左右。 各地中考中，對于兩個方程的解法以及注意事項是必須掌握的，而在其應用上也是中考代數部分結合型較強的一類考點，也有在一次函數、二次函數的應用中解一元一次方程、二元一次方程組的工具性的考查。預計2024年各地中考還將繼續考查一次方程的解法和應用題，為避免丟分，學生應扎實掌握。
考點2 一元一次方程 ☆☆
考點3 二元一次方程（組） ☆☆☆
考點4 一次方程（組）的應用 ☆☆☆
■考點一　等式的基本性質
1.等式的基本性質
1）等式兩邊都加上（或減去） ，所得的結果仍是等式；
2）等式兩邊都乘以（或除以） ，所得的結果仍是等式；
3）若a=b，b=c，則 （傳遞性）。
■考點二　一元一次方程
1.方程：含有 的 叫做方程．
2.方程的解：使方程左右兩邊 的 的值叫做方程的解；求方程的解的過程叫做 。
3.一元一次方程：只含有 未知數，并且未知數的次數為 ，這樣的 方程叫做一元一次方程。它的一般形式為。 注意：x前面的系數不為0。
4.一元一次方程的解：使一元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫做 。
5.一元一次方程的求解步驟
變形名稱 具體做法
去分母 在方程兩邊都乘以各分母的 。
去括號 先去小括號，再去中括號，最后去大括號。
移項 把含有未知數的項都移到方程的一邊，其他項都移到方程的另一邊
合并同類項 把方程化成的形式
系數化成1 在方程兩邊都除以未知數的系數，得到方程的解為
■考點三　二元一次方程（組）
1.二元一次方程：含有 未知數，并且含有未知數的項的次數都是1的 叫做二元一次方程。
2.二元一次方程的解：使二元一次方程左右兩邊相等的 叫做二元一次方程的解。
3.二元一次方程組：由兩個二元一次方程組成的方程組叫二元一次方程組。
方程組中同一個字母代表同一個量，其一般形式為。
4.解二元一次方程組的基本思想
解二元一次方程組的基本思想是 ，即將二元一次方程組轉化為一元一次方程。
5.二元一次方程組的解法
（1）代入消元法：將方程中的一個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
（2）加減消元法：將方程組中兩個方程通過適當變形后相加（或相減）消去其中一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。
■考點四　一次方程（組）的實際應用
1.列方程（組）解應用題的一般步驟
（1）審題；（2）設出未知數；（3）列出含未知數的等式——方程；（4）解方程（組）；
（5）檢驗結果；（6）作答（不要忽略未知數的單位名稱）．
2.一次方程（組）常見的應用題型
（1）銷售打折問題：
利潤售價-成本價；利潤率=×100％；售價=標價×折扣；銷售額=售價×數量．
（2）儲蓄利息問題：
利息=本金×利率×期數；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期數)；貸款利息=貸款額×利率×期數．
（3）工程問題：工作量=工作效率×工作時間．
（4）行程問題：路程=速度×時間．
（5）相遇問題：全路程=甲走的路程+乙走的路程．
（6）追及問題（同地不同時出發）：前者走的路程=追者走的路程．
（7）追及問題（同時不同地出發）：前者走的路程+兩地間距離=追者走的路程．
（8）水中航行問題：順水速度=靜水速度+水流速度；逆水速度=靜水速度-水流速度．
■易錯提示
1.運用等式的性質2時，等式兩邊不能同時除以0，因為0不能作除數或分母。
2. 一元一次方程中未知數所在的式子是整式，即分母中不含未知數。
3.二元一次方程有無數個解，滿足二元一次方程使得方程左右相等都是這個方程的解，但并不是說任意一對數值就是它的解。
■考點一　等式的基本性質
◇典例1：（2023·浙江衢州·三模）已知，下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·內蒙古包頭·二模）設、、是實數，正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
◇典例2：（2022·山東濱州·統考中考真題）在物理學中，導體中的電流Ⅰ跟導體兩端的電壓U，導體的電阻R之間有以下關系：去分母得，那么其變形的依據是（ ）
A．等式的性質1 B．等式的性質2 C．分式的基本性質 D．不等式的性質2
◆變式訓練
1.（2023·安徽宿州·統考三模）若a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是( )
A． B．
C． D．
2.（2023·福建·統考模擬預測）推理是數學的基本思維方式、若推理過程不嚴謹，則推理結果可能產生錯誤．
例如，有人聲稱可以證明“任意一個實數都等于0”，并證明如下：
設任意一個實數為x，令，
等式兩邊都乘以x，得．①
等式兩邊都減，得．②
等式兩邊分別分解因式，得．③
等式兩邊都除以，得．④
等式兩邊都減m，得x＝0.⑤
所以任意一個實數都等于0.
以上推理過程中，開始出現錯誤的那一步對應的序號是 ．
◇典例3：（2023·河北保定·校考一模）如左圖的天平架是平衡的，其中同一種物體的質量都相等，如右圖，現將不同質量的一“○”和一個“”從通道的頂端同時放下，兩個物體等可能的向左或向右落在下面的托盤中，此時兩個托盤上物體的質量分別為和，則下列關系可能出現的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1.（2023·河北承德·校聯考模擬預測）能運用等式的性質說明如圖事實的是（　　）
A．如果，那么（a，b，c均不為0）
B．如果，那么（a，b，c均不為0）
C．如果，那么（a，b，c均不為0）
D．如果，那么（a，b，c均不為0）
■考點二　一元一次方程
◇典例4：（2023·湖南永州·統考中考真題）關于x的一元一次方程的解為，則m的值為（ ）
A．3 B． C．7 D．
◆變式訓練
1. （2023·廣東清遠·統考二模）下列方程中，解是的方程是（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·湖南永州·七年級校考期中）已知是關于的一元一次方程，則 ．
◇典例6：（2023·浙江衢州·統考中考真題）小紅在解方程時，第一步出現了錯誤：
(1)請在相應的方框內用橫線劃出小紅的錯誤處；(2)寫出你的解答過程．
◆變式訓練
1．（2022·貴州黔西·統考中考真題）小明解方程的步驟如下：
解：方程兩邊同乘6，得①
去括號，得②
移項，得③
合并同類項，得④
以上解題步驟中，開始出錯的一步是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．（2023·浙江溫州·統考一模）解方程，以下去分母正確的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·浙江·統考一模）解方程：
■考點三　二元一次方程（組）
◇典例7：（2023·浙江衢州·統考中考真題）下列各組數滿足方程的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓練
1．（2023·河北秦皇島·模擬預測）若是關于x、y的二元一次方程的解，則a的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川涼山·校考一模）下列方程中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
◇典例8：（2022·浙江臺州·中考真題）解方程組：．
◆變式訓練
1. （2023·浙江衢州·校考一模）解二元一次方程組最好的做法首先采用（ ）
A．代入法 B．加減法 C．都可以 D．無法確定
2．（2022·湖南株洲·中考真題）對于二元一次方程組，將①式代入②式，消去可以得到（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·廣西桂林·中考真題）解二元一次方程組：．
◇典例9：（2023·浙江杭州·校考三模）若方程組的解也是方程的解，則的值是（　　）
A．6 B．10 C．9 D．
◆變式訓練
1. （2023·江蘇蘇州·統考二模）如果實數x，y滿足方程組，那么 ．
2．（2023·江蘇鎮江·統考二模）已知二元一次方程組，則代數式 ．
◇典例10：（2023下·四川遂寧·七年級校聯考階段練習）解方程組：
(1)(2)(3)
◆變式訓練
1. （2023下·河南周口·七年級校考階段練習）方程組的解是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·四川成都·七年級校考期中）已知方程組，則的值是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
■考點四　一次方程（組）的實際應用
◇典例11：（2023·新疆·烏市一中校聯考一模）商場按標價打八折銷售某品牌電器一件，可獲利500元，利潤率為．現如果按同一標價打九折銷售該電器一件，那么獲得的純利潤為（ ）
A．875元 B．750元 C．562.5元 D．550元
◆變式訓練
1．（2023·四川成都·統考中考真題）《孫子算經》是中國古代重要的數學著作，是《算經十書》之一．書中記載了這樣一個題目：今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？其大意是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余尺；將繩子對折再量長木，長木還剩余尺．問木長多少尺？設木長尺，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·統考中考真題）小偉用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1000N和0.6m，當動力臂由1.5m增加到2m時，撬動這塊石頭可以節省________N的力．（杠桿原理：阻力阻力臂動力動力臂）
◇典例12：（2021·四川資陽·統考中考真題）我市某中學計劃舉行以“奮斗百年路，啟航新征程”為主題的知識競賽，并對獲獎的同學給予獎勵．現要購買甲、乙兩種獎品，已知1件甲種獎品和2件乙種獎品共需40元，2件甲種獎品和3件乙種獎品共需70元．
（1）求甲、乙兩種獎品的單價；（2）根據頒獎計劃，該中學需甲、乙兩種獎品共60件，且甲種獎品的數量不少于乙種獎品數量的，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．
◆變式訓練
1．（2023·浙江杭州·校考一模）“六一”前夕，市關工委準備為希望小學購進圖書和文具若干套，已知1套文具和3套圖書需104元，3套文具和2套圖書需116元，則1套文具和1套圖書需 元．
2．（2023·安徽宿州·統考模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”，年月日是我國第個植樹節，某班組織學生在某園林基地進行植樹活動，活動開始前對若干棵樹苗進行分配，若人合作種植一棵樹苗，則還剩棵，若人合作種植一棵樹苗，則還有人未分到樹苗，問共有多少棵樹苗，多少學生？
3．（2023·山西朔州·校聯考模擬預測）太原古縣城，位于山西省太原市晉源區，是2500年晉陽古城文脈的延續．春節期間，在太原古縣城內舉辦的“錦繡太原中國年·鳳舞龍城花燈會”以及清明上河圖數字體驗館吸引了眾多游客．網上購買一張體驗館的門票比一張花燈會的門票多20元．一張體驗館的門票比現場購買少10元，一張花燈會的門票比現場購買少2元．現場購買，一張體驗館的門票比一張花燈會門票的2倍少22元．(1)請求出網上購買體驗館與花燈會的門票價格；(2)春節期間，某一購票網站搞活動，游客可以購買滿300送30元的優惠券，若一個五口之家，通過網上購買體驗館門票和花燈會門票各5張，比現場購買便宜多少元？

◇典例13：（2021·四川瀘州·統考中考真題）某運輸公司有A、B兩種貨車，3輛A貨車與2輛B貨車一次可以運貨90噸，5輛A貨車與4輛B貨車一次可以運貨160噸．
（1）請問1輛A貨車和1輛B貨車一次可以分別運貨多少噸？
（2）目前有190噸貨物需要運輸，該運輸公司計劃安排A、B兩種貨車將全部貨物一次運完(A、B兩種貨車均滿載)，其中每輛A貨車一次運貨花費500元，每輛B貨車一次運貨花費400元．請你列出所有的運輸方案，并指出哪種運輸方案費用最少．
◆變式訓練
1.（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考三模）中國減貧方案和減貧成就是史無前例的人類奇跡，聯合國秘書長古特雷斯表示，“精準扶貧”方略幫助貧困人口實現2030年可持續發展議程設定的宏偉目標的唯一途徑，中國的經驗可以為其他發展中國家提供有益借鑒，為了加大“精準扶貧”力度，某單位將19名干部分成甲、乙、丙三個小組到村屯帶領50個農戶脫貧，若甲組每人負責4個農戶，乙組每人負責3個農戶，丙組每人負責1個農戶，則分組方案有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．30種
1．（2021·安徽·統考中考真題）設a，b，c為互不相等的實數，且，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·四川南充·統考中考真題）《孫子算經》記載：“今有木，不知長短．引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺．木長幾何？”（尺、寸是長度單位，1尺＝10寸）．意思是，現有一根長木，不知道其長短．用一根繩子去度量長木，繩子還剩余4.5尺；將繩子對折再度量長木，長木還剩余1尺．問長木長多少？設長木長為x尺，則可列方程為（ ）
A． B． C． D．
3．（2023年山東省威海市中考數學真題）常言道：失之毫厘，謬以千里．當人們向太空發射火箭或者描述星際位置時，需要非常準確的數據．的角真的很小．把整個圓等分成360份，每份這樣的弧所對的圓心角的度數是．．若一個等腰三角形的腰長為1千米，底邊長為4.848毫米，則其頂角的度數就是．太陽到地球的平均距離大約為千米．若以太陽到地球的平均距離為腰長，則頂角為的等腰三角形底邊長為（　　）
A．24.24千米 B．72.72千米 C．242.4千米 D．727.2千米
4．（2023年江蘇省連云港市中考數學真題）元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中，記載了這樣一道題：良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，問良馬幾何日追及之？其大意是：快馬每天行里，慢馬每天行里，駑馬先行天，快馬幾天可追上慢馬？若設快馬天可追上慢馬，由題意得（ ）
A． B． C． D．
5．（2023年黑龍江省齊齊哈爾市中考數學真題）為提高學生學習興趣，增強動手實踐能力，某校為物理興趣小組的同學購買了一根長度為的導線，將其全部截成和兩種長度的導線用于實驗操作（每種長度的導線至少一根），則截取方案共有（ ）
A．5種 B．6種 C．7種 D．8種
6．（2023年四川省眉山市中考數學真題）已知關于的二元一次方程組的解滿足，則m的值為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．（2023年四川省南充市中考數學真題）關于x，y的方程組的解滿足，則的值是（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
8．（2022年湖北省宜昌市中考數學真題）五一小長假，小華和家人到公園游玩.湖邊有大小兩種游船．小華發現1艘大船與2艘小船一次共可以滿載游客32人，2艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客46人．則1艘大船與1艘小船一次共可以滿載游客的人數為（ ）
A．30 B．26 C．24 D．22
9．（2023年河北省中考數學真題）某磁性飛鏢游戲的靶盤如圖．珍珍玩了兩局，每局投10次飛鏢，若投到邊界則不計入次數，需重新投，計分規則如下：
投中位置 A區 B區 脫靶
一次計分（分） 3 1
在第一局中，珍珍投中A區4次，B區2次，脫靶4次．
(1)求珍珍第一局的得分；(2)第二局，珍珍投中A區k次，B區3次，其余全部脫靶．若本局得分比第一局提高了13分，求k的值．

10．（2023年北京市中考數學真題）對聯是中華傳統文化的瑰寶，對聯裝裱后，如圖所示，上、下空白處分別稱為天頭和地頭，左、右空白處統稱為邊．一般情況下，天頭長與地頭長的比是，左、右邊的寬相等，均為天頭長與地頭長的和的．某人要裝裱一幅對聯，對聯的長為，寬為．若要求裝裱后的長是裝裱后的寬的4倍，求邊的寬和天頭長．（書法作品選自《啟功法書》）

11．（2023年山東省臨沂市中考數學真題）大學生小敏參加暑期實習活動，與公司約定一個月（30天）的報酬是M型平板電腦一臺和1500元現金，當她工作滿20天后因故結束實習，結算工資時公司給了她一臺該型平板電腦和300元現金．(1)這臺M型平板電腦價值多少元？(2)小敏若工作m天，將上述工資支付標準折算為現金，她應獲得多少報酬（用含m的代數式表示）？
12．（2023年湖南省長沙市中考數學真題）為提升學生身體素質，落實教育部門“在校學生每天鍛煉時間不少于1小時”的文件精神．某校利用課后服務時間，在八年級開展“體育賦能，助力成長”班級籃球賽，共個班級參加．(1)比賽積分規定：每場比賽都要分出勝負，勝一場積分，負一場積分．某班級在場比賽中獲得總積分為分，問該班級勝負場數分別是多少？(2)投籃得分規則：在分線外投籃，投中一球可得分，在分線內含分線投籃，投中一球可得分，某班級在其中一場比賽中，共投中個球只有分球和分球，所得總分不少于分，問該班級這場比賽中至少投中了多少個分球？
1.（2023·河北唐山·統考一模）有三種不同質量的物體“■”“▲”“●”，其中同一種物體的質量都相等．下列四個天平中只有一個天平沒有處于平衡狀態，則該天平是（ ）
A． B．
C． D．
2.（2023·河北張家口·統考一模）不是下列哪個方程的解（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·河北保定·校考一模）已知，則下列表示b的式子是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·廣東云浮·七年級校考期末）下列等式變形中，不正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．（2023·浙江溫州·統考一模）將方程去分母，結果正確的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023·浙江杭州·校聯考三模）已知關于x，y的方程組的解是，則直線與的交點坐標為 ．
7．（2023·江西·校考一模）二元一次方程組的解滿足，則的值為 ．
8．（2023·浙江·模擬）實數滿足．則 ．
9．（2023·遼寧·校考三模）關于的二元一次方程組的解是，則的值為 ．
10．（2023·湖南長沙·校考二模）下面是小穎同學解一元一次方程的過程，請認真閱讀并解答問題．
解方程： 解：去分母，得……第一步 去括號，得……第二步 移項，得……第三步 合并同類項，得，……第四步 方程兩邊同除以－1，得．……第五步
(1)以上求解過程中，第三步的依據是_________．
A．等式的基本性質 B．不等式的基本性質 C．分式的基本性質 D．乘法分配律
(2)從第_________步開始出現錯誤；(3)該方程正確的解為____________
11．（2023·黑龍江·統考三模）某手機經銷商計劃同時購進甲乙兩種型號手機，若購進2部甲型號手機和5部乙型號手機，共需要資金6000元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金4600元．(1)求甲、乙型號手機每部進價各為多少元；(2)該店預計用不少于1.78萬元且不多于1.92萬元的資金購進這兩種型號手機共20部，請問有多少種進貨方案？
(3)若甲型號手機的售價為1500元，乙型號手機的售價為1450元，為了促銷，公司決定每售出一臺乙型號手機．返還顧客現金a元，甲型號手機售價不變，要使（2）中購進的手機全部售完，每種方案獲利相同，求a的值．
12．（2023·廣東河源·二模）西安的大唐不夜城，已成為游客們必去的打卡之地，在其商業街上，擺放著琳瑯滿目的具有古風特色的商品，其中做工精致的扇子深受大家的喜愛，某店鋪老板用元購進了折扇和團扇共把，這兩種扇子的進價、標價如表所示：
種類價格 折扇 團扇
進價（元/把）
標價（元/把）
(1)折扇和團扇各購進了多少把？(2)店鋪老板將這兩種扇子打折出售，全部售出后，該店鋪共獲利元，已知折扇按標價的九折出售，則團扇的折扣是多少？
1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）若關于x，y的二元一次方程組的解滿足，滿足條件的m的所有正整數值為（ ）
A．0，1，2 B．0，1，2，3 C．1，2，3 D．1，2，3，4
2．（2023·浙江衢州·校考一模）若x、y是兩個實數，且，則等于（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·浙江·模擬預測）一賓館有一人間、兩人間、三人間三種客房供游客租住，某旅行團共15人準備租用客房共7間，如果每個房間都住滿，租房方案有（　　）
A．6種 B．5種 C．4種 D．3種
4．（2023·安徽六安·校考二模）已知a，b，c均為非負整數，且，．當時，則這三個數字組成的最大三位數可能是（ ）
A．340 B．430 C．520 D．610
5．（2023·浙江·模擬預測）關于的方程有無數多個實根，則實數的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．有無數個取值
6．（2023·四川南充·統考一模）已知關于x，y的二元一次方程組的解都為非負數，若，則W的最大值為 ．
7．（2023·四川內江·校考一模）已知x，y，z為實數，滿足，那么的最小值是 .
8．（2023·黑龍江綏化·模擬預測）我市各單位為同學們的返校復學采取了一系列舉措．復課返校后，為了拉開學生鍛煉的間距，某學校決定增購適合獨立訓練的兩種體育器材：跳繩和毽子，原來購進根跳繩和個毽子共需元；購進根跳繩和個毽子共需元．學校計劃購進跳繩和毽子兩種器材共個，由于受疫情影響，商場決定對這兩種器材打折銷售，其中跳繩以八折出售，毽子以七五折出售，學校要求跳繩的數量不少于毽子數量的倍，跳繩的數量不多于根，則最少費用是 元．
9．（2023·山西大同·統考模擬預測）閱讀與思考
小敏在九年級復習階段，針對“一次方程的解”整理得出以下幾種方法，請仔細閱讀并完成相應的任務.
九年級總復習筆記
引例：求一元一次方程和方程組的解.
基本步驟：去括號，去分母，移項合并同類項，化系數為
基本思想：________________
解答： 第一步： 移項得： 第二步： 合并同類項得： 第三步： 化系數為1得： 方法一： 由得 ， 把代入①中得 所以原方程組的解為 方法二：利用兩條直線的交點坐標求得方程組的解為
任務：
(1)解方程的基本思想是（ ）
A．方程思想 B．轉化思想 C． 數形結合 D．分類討論
(2)解方程的步驟從第__________步開始出現錯誤，錯誤的原因是_________________，方程正確的解為___________________________.
(3)實際上，除了解二元一次方程組外，初中數學還有一些知識也可以用函數的觀點來認識.例如：可以用函數的觀點來認識一元一次方程的解，請你再舉出一例；
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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