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5.4.2正弦函數、余弦函數的性質 學案
重難點：通過一個周期內的單調性進而研究在整個定義域上的性質；能夠利用函數的單調性解決比較函數值的大小以及求函數的最值、值域等問題；能夠解決簡單的函數性質的綜合問題．
復習
1.正弦函數的定義域 ；余弦函數的定義域為 ；
正切函數的定義域為 。
2. (1) 正弦函數上的圖象中有五個關鍵點：
、 、 、 、 。
(2) 余弦函數上的圖象中有五個關鍵點：
、 、 、 、 。
3.(1)一般地，設函數f(x)的定義域為D，如果存在一個非零常數T，使得對每一個x∈D都有x＋T∈D，且 ，那么函數f(x)就叫做周期函數． 叫做這個函數的周期．
（2）如果在周期函數f(x)的所有周期中存在一個 ，那么這個最小正數就叫做f(x)的最小正周期．
（3）正弦函數是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 .
（4）余弦函數是 ，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是 .
4. 正弦函數是 ，余弦函數是 ．(填奇函數或偶函數)
二．新課講解
1. 你能作出正弦函數y＝sin x，x∈的函數圖象嗎？
由上圖我們發現，區間正好是函數的一個周期，其中在區間上單調遞增，在區間上單調遞減．類似地，我們通過觀察余弦函數在一個周期[－π，π]上的
函數值的變化規律，可知y＝cos x在區間[－π，0]上單調遞增，在區間[0，π]上單調遞減．
2. 正弦函數、余弦函數的性質
圖象
定義域
值 域
周 期
奇偶性
對稱軸
單調性 在 上是增函數 在 上是減函數 在 上是增函數 在 上是減函數
最值 的值 當 ，最大值是 。 當 ，最小值是 。 當 ，最大值是 。 當 ，最小值是 。
注意點：(1)正、余弦函數的單調性只針對區間，不能針對象限；
(2)正弦函數、余弦函數都不是單調函數，但它們都有無數個單調區間；
(3)利用單調性，可以比較同一個單調區間內的同名三角函數值的大?。?br/>3.利用三角函數的單調性，比較下列各組數的大?。?br/>(1) (2)
(3)cos ，cos ； (4) sin 164°與cos 110°； (5) cos 1，sin 1.
解　
小結　比較三角函數值大小的步驟
(1)異名函數化為同名函數．(2)利用誘導公式把已知角轉化到同一單調區間上．
(3)利用函數的單調性比較大小．
4.(1)已知α，β為銳角三角形的兩個內角，則以下結論正確的是(　　)
A．sin αcos β
(2)下列關系式中正確的是(　　)
A．sin 11°C．sin 11°5.（1）求函數y＝2sin的單調區間．
(2)求函數f(x)＝2sin，x∈[0,2π]的單調區間．
(3) 求函數y＝sin的單調遞增區間．
小結　求正弦、余弦函數的單調區間的策略
①結合正、余弦函數的圖象，熟記它們的單調區間．
②在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間時，應采用“換元法”整體代換，將“ωx＋φ”看作一個整體“z”，即通過求y＝Asin z的單調區間而求出原函數的單調區間．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ為常數，且A≠0，ω>0)的函數的單調區間同上．
6.(1)函數y＝sin，x∈[0,2π]的單調遞減區間為________________．
(2)求函數y＝2cos的單調區間．
7.(1) 下列函數有最大值、最小值嗎？如果有，請寫出取最大值、最小值時自變量的集合，并求出最大值、最小值．
① ②
(2)已知函數f(x)＝asin＋b(a>0)．當x∈時，f(x)的最大值為，
最小值是－2，求a和b的值．
小結　三角函數的值域(最值)問題的求解方法
①形如y＝Asin x(或y＝Acos x)型，可利用正弦函數、余弦函數的有界性，注意對A正、負的討論．
②形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b)型，可先由定義域求得ωx＋φ的范圍，然后求得sin(ωx＋φ)(或cos(ωx＋φ))的范圍，最后求得值域(最值)．
③求給定區間上最值(值域)的問題，可利用換元思想，設t＝ωx＋φ，轉換成
y＝Asin x(或y＝Acos x)型的函數求值．
(3)求函數y＝cos，x∈的值域．
8. (1)求二次函數的最值，需要明確哪些方面？
提示　開口方向，對稱軸，函數的定義域．
(2)同角三角函數的平方關系是什么？
提示　sin2α＋cos2α＝1.
9. (1)函數y＝cos2x＋2sin x－2，x∈R的值域為________．
(2) 函數y＝cos2x＋2sin x－2，x∈，求函數的最大值和最小值及取得最值時的x的值．
(3)已知y＝sin2x＋2cos x－2，x∈R，求函數的值域．
小結　求y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型函數最值(值域)的方法
形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)型，可利用換元思想，設t＝sin x，轉化為二次函數
y＝at2＋bt＋c求最值．t的范圍需要根據定義域來確定．若f(x)＝asin2x＋bcos x＋c，還需利用同角三角函數的基本關系，轉化成同名三角函數求值．
（4）函數f(x)＝sin2x＋cos x－的最大值是________．
10.求函數y＝2sin的對稱軸、對稱中心．
11.若函數y＝f(x)同時滿足下列三個性質：①最小正周期為π②圖象關于直線x＝對稱；
③在區間上單調遞增，則y＝f(x)的解析式可以是(　　)
A．y＝sin B．y＝sin C．y＝cos D.y=cos
小結　研究三角函數的幾個方面
整體研究三角函數的性質，我們要從函數的定義域、圖象、周期性、奇偶性、對稱性、單調性、最值、值域等幾個方面綜合考慮．
二、課后作業
1.觀察正弦曲線和余弦曲線，寫出滿足下列條件的所在的區間；
(1) (2) (3) (4)
2.求使下列函數取得最大值、最小值的自變量的集合，并求出最大值、最小值。
（1） (2)
3.下列關于函數的單調性的敘述，正確的是（ ）。
A.在上單調遞增，在上單調遞減
B.在上單調遞增，在上單調遞減
C.在及上單調遞增，在上單調遞減
D.在上單調遞增，在及上單調遞減
小結：
作業：

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