資源簡介

3.2.1單調性與最大（小）值（第2課時）
【學習目標】
1.掌握處理函數單調性問題的基本方法.
2.能根據單調性解簡單的抽象不等式.
【教材知識梳理】
處理函數單調性的常用方法：
1.定義法
① ，，若，則函數在區間上單調遞增.
② ，，若，則函數在區間上單調遞減.
2.圖象法
若圖象在區間上圖象是上升的函數在區間上單調遞增.
若圖象在區間上圖象是下降的函數在區間上單調遞減.
3.利用小結論
①若、在區間上都單調遞增，則在區間上_______.簡記為：增函數+增函數=增函數 類似的也有，減函數+減函數=減函數
②若在區間上具有單調性，則與在區間上的單調性______.
③若在區間上具有單調性，且，則與的單調性_______.
4.復合函數的單調性法則：在復合函數中，若內層函數在區間上單調，當時，，且外層函數在區間上也單調，則復合函數在區間一定是單調函數，其規律是“同增同減復合增，增減相異復合減”，簡稱為同增異減法則.
二．抽象不等式的解法
1.已知函數在R上單調遞增，若，則可轉化為___________.
2.已知函數在R上單調遞減，若，則可轉化為___________.
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
（1）若函數f(x)在R上單調遞減，則f(0)>f(1)．(　　)
（2）若函數在R上是單調遞增，且，則. (　 　)
（3）若函數f(x)在R上單調遞增，則函數在R上單調遞減. （ ）
（4）若函數f(x)在R上單調遞增，在R上單調遞減，則在R上一定不單調. （ ）
【答案】
一．3.①單調遞增 ②相反 ③相反 二.1. 2.
概念辨析： (1) √ (2)√ (3)× (4) ×
【教材拓展延伸】
例1．（1）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】令，解得的定義域為
在上遞增，在上遞減，函數在上為增函數
函數的單調增區間為，故選：D.
（2）已知，設函數，研究的單調性.
【答案】在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，在上單調遞減，根據復合函數的單調性：
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
當時，，函數單調遞增；
當時，，函數單調遞減；
例2.（1）設函數f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數，若a∈R，則(　 　)
A．f(a)>f(2a)　　B．f(a2)（2）已知函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減的，試比較f(a2－a＋1)與的大小．
【答案】（1）D (2)≥f(a2－a＋1)．
解析：（1）選項D中，∵a2＋1>a，f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數，∴f(a2＋1)（2）∵a2－a＋1＝＋≥，∴與a2－a＋1都是區間(0，＋∞)上的值．
∵f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減的，∴≥f(a2－a＋1)．
歸納：利用函數的單調性比較函數值大小
利用函數的單調性可以將比較兩個函數值的大小轉化為比較兩個自變量的大小．要注意兩個自變量應在同一個單調區間上.
例3.（1）已知函數f(x)是定義在R上的增函數，且f(3a－7)>f(11＋8a)，則實數a的取值范圍是 .
（2）已知函數f(x)的定義域為[－2,2]，且f(x)在區間[－2,2]上是減函數，且f(1－m)＞f(m)，求實數m的取值范圍．
【答案】（1）a<－ （2）＜m≤2.
解析：（1）因為f(x)在定義域R上單調遞減，所以當x1＜x2時，總有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，則x1＜x2. 由題意3a－7>11＋8a，解得a<－.
（2）因為f(x)在區間[－2,2]上單調遞減，所以當－2≤x1＜x2≤2時，總
有f(x1)>f(x2)成立，反之也成立，即若f(x1)>f(x2)，則－2≤x1＜x2≤2.
因為f(1－m)＞f(m)，所以解得＜m≤2.
歸納：利用函數的單調性解抽象不等式
對于x1例4．設是定義在上的函數，對任意的，恒有，且當時，．
(1)求；(2)證明：時，恒有；(3)求證：在上是減函數．
【答案】（1）由題意在中，
∴ 解得：或
當時，令，則恒成立，故舍去，∴
（2）由題意及（1）得在中，
令，若，則
即，而當時，，矛盾，
∴ ∴
∴時，恒有
（3）由題意及（1）（2）得在中，
當時， 設任意的且
∵ ∴ 即
∴ ∴在上是減函數.
【課外作業】
基礎過關
1．已知對定義域內的任意實數，且，恒成立，設，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由可得函數在上是增函數，
所以.故選：D.
2．函數 的單調遞增區間是（　　　）
A． B．[1，） C．[2，） D．[4，）
【答案】C
【詳解】令，解得或，即函數的定義域為，
又函數表示開口向上，對稱軸方程為的拋物線，
且在上單調遞增，又因為函數在上單調遞增，
所以函數的單調增區間是.故選：C.
3.設函數在R上為增函數，則下列結論一定正確的是(　　)
A．在R上為減函數 B．在R上為增函數
C．在R上為增函數 D．在R上為減函數
【答案】D
【詳解】根據題意，依次分析選項：
對于A，若，則，在R上不是減函數，A錯誤；
對于B，若，則，在R上不是增函數，B錯誤；
對于C，若，則，在R上不是增函數，C錯誤；
對于D，函數在R上為增函數，
則對于任意的，，設，必有，
對于，則有，
則在R上為減函數，D正確；
故選：D．
4．設，都是上的單調函數，有如下四個命題，正確的是（ ）
①若單調遞增，單調遞增，則單調遞增；
②若單調遞增，單調遞減，則單調遞增；
③若單調遞減，單調遞增，則單調遞減；
④若單調遞減，單調遞減，則單調遞減.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】C
【詳解】對于①，令，均為增函數，而為減函數，①錯誤；
對于②，設，則，，∴，∴，故單調遞增，②正確；
對于③，設，則，，
∴，∴，故單調遞減，③正確.
對于④，令，均為減函數，而為增函數，故④錯誤.
故選：C
5．已知函數在定義域上單調遞增，則函數在區間（ ）單調遞增.
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因為函數在定義域，
所以函數的定義域為.
令，所以為增函數，為減函數，又在為增函數，
所以函數在區間.
故選：D.
6．（多選）下列函數中滿足在上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】對于A，反比例函數在上單調遞增，錯誤；
對于B，由于為減函數，在上單調遞減，，正確；
對于C，另，則，在為增函數，在為減函數，復合函數同增異減，所以在上單調遞減，正確；
對于D，，所以在上單調遞增，錯誤.
故選：BC.
7．已知函數滿足時恒有成立，求實數a的取值范圍為___________．
【答案】
【詳解】已知函數滿足時恒有成立，
則函數在上上單調遞減，所以，解得：.
故實數a的取值范圍為：.故答案為：.
8.已知f(x)是定義在區間[－1,1]上的增函數，且f(x－2)【答案】[1，)
【詳解】由題意，得解得1≤x<，故滿足條件的x的取值范圍是1≤x<.
9.討論函數（）在(－2，＋∞)上的單調性．
【答案】f(x)＝＝a＋，
設任意x1，x2∈(－2，＋∞)且x1則f(x1)－f(x2)＝－＝，
∵－20，又(x2＋2)(x1＋2)>0.
(1)若a<，則1－2a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，則f(x)在(－2，＋∞)上為減函數．
(2)若a>，則1－2a<0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)綜上，當a<時，f(x)在(－2，＋∞)上為減函數；當a>時，f(x)在(－2，＋∞)上為增函數
能力提升
10．已知為區間上的減函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【詳解】因為，則，又為區間上的減函數，故，故A正確；
因為與0的大小關系不定，無法比較與的大小，故B錯；
因為＝2＋＞0，所以＋1＞a，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數，所以，故C正確；
因為，，又f(x)為(－∞,＋∞)上的減函數，所以，故D正確．
故選：ACD.
11．（多選）已知函數的定義域為，對任意的，都有，，則下列結論中正確的有（ ）
A．為增函數 B．為增函數
C．的解集為 D．的解集為
【答案】ABD
【詳解】對于A，對任意的，則，都有，即，
可知為增函數，故A正確；
對于B，對任意的，都有，即
令，可知為增函數，故B正確；
對于C，，則等價于，又為增函數，
所以，解得，所以的解集為，故C錯誤；
對于D，等價于，即又為增函數，所以，解得，所以的解集為，故D正確；
故選：ABD.
12．（多選）若函數為上的單調函數，且滿足對任意，都有，則的值可能為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
【答案】CD
【詳解】因為為上的單調函數，且滿足對任意，都有，
所以，則，且，故，解得或，
當時，，則；
當時，，則；
綜上：的值可能為或.
故選：CD.
13．已知函數是定義在上的減函數，且對一切都成立，則實數的取值范圍是_____________.
【答案】
【詳解】由于是定義在上的減函數，且對一切都成立；
即不等式在恒成立，
當時，不等式在不恒成立，不滿足題意；
當時，若要使不等式在恒成立，
則需滿足，解得.
綜上可知，實數的取值范圍是. 故答案為：.
14．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為___________.
【答案】
【詳解】令，則，則，對稱軸為，則函數的單調遞減區間為，因為為減函數，且在上單調遞增，所以，則解得.所以實數的范圍為.
15．已知函數
(1)若，求的定義域.
(2)若函數在區間上是減函數，求實數a的取值范圍.
【答案】（1）由題意，，，故函數的定義域為.
（2）當時，在是減函數，在是增函數.
在上是減函數，且
當時，在是增函數，在是增函數.
函數在是增函數.
在是減函數，，恒成立.
時，在是減函數.
綜上，在時，在上是減函數.
16．已知定義域為，對任意都有，當時，，．
(1)試判斷在上的單調性，并證明；(2)解不等式：．
【答案】（1）在R上單調遞增，證明如下，
令，，，且，則，
因為，所以，，即，，
所以在R上單調遞增.
（2）
，
因為在R上單調遞增，所以，即，解得或，
所以不等式的解集為.3.2.1單調性與最大（小）值（第2課時）
【學習目標】
1.掌握處理函數單調性問題的基本方法.
2.能根據單調性解簡單的抽象不等式.
【教材知識梳理】
處理函數單調性的常用方法：
1.定義法
① ，，若，則函數在區間上單調遞增.
② ，，若，則函數在區間上單調遞減.
2.圖象法
若圖象在區間上圖象是上升的函數在區間上單調遞增.
若圖象在區間上圖象是下降的函數在區間上單調遞減.
3.利用小結論
①若、在區間上都單調遞增，則在區間上_______.簡記為：增函數+增函數=增函數 類似的也有，減函數+減函數=減函數
②若在區間上具有單調性，則與在區間上的單調性______.
③若在區間上具有單調性，且，則與的單調性_______.
4.復合函數的單調性法則：在復合函數中，若內層函數在區間上單調，當時，，且外層函數在區間上也單調，則復合函數在區間一定是單調函數，其規律是“同增同減復合增，增減相異復合減”，簡稱為同增異減法則.
二．抽象不等式的解法
1.已知函數在R上單調遞增，若，則可轉化為___________.
2.已知函數在R上單調遞減，若，則可轉化為___________.
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
（1）若函數f(x)在R上單調遞減，則f(0)>f(1)．(　　)
（2）若函數在R上是單調遞增，且，則. (　 　)
（3）若函數f(x)在R上單調遞增，則函數在R上單調遞減. （ ）
（4）若函數f(x)在R上單調遞增，在R上單調遞減，則在R上一定不單調. （ ）
【教材拓展延伸】
例1．（1）函數的單調遞增區間為（ ）
A． B． C． D．
（2）已知，設函數，研究的單調性.
例2.（1）設函數f(x)是(－∞，＋∞)上的減函數，若a∈R，則(　 　)
A．f(a)>f(2a)　　B．f(a2)（2）已知函數f(x)在區間(0，＋∞)上是單調遞減的，試比較f(a2－a＋1)與的大小．
例3.（1）已知函數f(x)是定義在R上的增函數，且f(3a－7)>f(11＋8a)，則實數a的取值范圍是 .
（2）已知函數f(x)的定義域為[－2,2]，且f(x)在區間[－2,2]上是減函數，且f(1－m)＞f(m)，求實數m的取值范圍．
例4．設是定義在上的函數，對任意的，恒有，且當時，．
(1)求；(2)證明：時，恒有；(3)求證：在上是減函數．
【課外作業】
基礎過關
1．已知對定義域內的任意實數，且，恒成立，設，，，則（ ）
A． B． C． D．
2．函數 的單調遞增區間是（　　　）
A． B．[1，） C．[2，） D．[4，）
3.設函數在R上為增函數，則下列結論一定正確的是(　　)
A．在R上為減函數 B．在R上為增函數
C．在R上為增函數 D．在R上為減函數
4．設，都是上的單調函數，有如下四個命題，正確的是（ ）
①若單調遞增，單調遞增，則單調遞增；
②若單調遞增，單調遞減，則單調遞增；
③若單調遞減，單調遞增，則單調遞減；
④若單調遞減，單調遞減，則單調遞減.
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
5．已知函數在定義域上單調遞增，則函數在區間（ ）單調遞增.
A． B． C． D．
6．（多選）下列函數中滿足在上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函數滿足時恒有成立，求實數a的取值范圍為___________．
8.已知f(x)是定義在區間[－1,1]上的增函數，且f(x－2)9.討論函數（）在(－2，＋∞)上的單調性．
能力提升
10．已知為區間上的減函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（多選）已知函數的定義域為，對任意的，都有，，則下列結論中正確的有（ ）
A．為增函數 B．為增函數
C．的解集為 D．的解集為
12．（多選）若函數為上的單調函數，且滿足對任意，都有，則的值可能為（ ）
A．4 B．6 C．7 D．10
13．已知函數是定義在上的減函數，且對一切都成立，則實數的取值范圍是_____________.
14．若函數在上單調遞增，則實數的取值范圍為___________.
15．已知函數
(1)若，求的定義域.
(2)若函數在區間上是減函數，求實數a的取值范圍.
16．已知定義域為，對任意都有，當時，，．
(1)試判斷在上的單調性，并證明；(2)解不等式：．

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