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3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（第3課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念；
2.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最大（小）值．
【教材知識(shí)梳理】
函數(shù)最大值與最小值
最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：
x∈I，都有f(x) M x∈I，都有f(x) M
x0∈I，使得
結(jié)論 M是函數(shù)y＝f(x)的最大值 M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的 f(x)圖象上最低點(diǎn)的
概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
（1）因?yàn)閒(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值為0.( )
（2）一個(gè)連續(xù)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上必有最大值和最小值.( )
（3）函數(shù)f(x)取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x可能有無(wú)限多個(gè)．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分別為M，m，則f(x)的值域?yàn)閇m，M]．( )
【答案】≤ ≥ f(x0)＝M 縱坐標(biāo) 縱坐標(biāo)
概念辨析：（1）× （2）√ （3）√ （4）×
【教材例題變式】
（源于P80例4）例1.（1）用長(zhǎng)度為24 m的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為_(kāi)___________m.
（2）某公司在甲、乙兩地銷售同一種農(nóng)產(chǎn)品，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x為銷售量(單位：噸)，若該公司在這兩地共銷售10噸農(nóng)產(chǎn)品，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)___________萬(wàn)元．
【答案】（1）3 （2）34
【解析】（1）設(shè)隔墻長(zhǎng)度為x m，場(chǎng)地面積為S m2，
則S＝x·＝12x－2x2＝－2(x－3)2＋18. 所以當(dāng)x＝3時(shí)，S有最大值18 m2.
（2）設(shè)在甲地銷售農(nóng)產(chǎn)品x噸，則在乙地銷售農(nóng)產(chǎn)品10－x噸，
由題意可得利潤(rùn)y＝5x－x2＋3(10－x)＝－x2＋2x＋30＝－(x－4)2＋34，
所以當(dāng)x＝4時(shí)，獲得最大利潤(rùn)y＝34萬(wàn)元．
歸納：關(guān)于實(shí)際問(wèn)題的最值問(wèn)題
(1)實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題往往與一元二次函數(shù)的最值相關(guān)，用配方法或公式求最值；
(2)要注意實(shí)際問(wèn)題中變量的實(shí)際意義，如本例中的自變量x為正實(shí)數(shù)．
歸納：圖象法求最值的一般步驟
①畫(huà)出函數(shù)圖象； ②觀察圖象，找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；
③寫(xiě)出最值，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值.
（源于P81例5）例2.已知函數(shù)．
(1)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)； (2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【答案】（1）證明：任取，,，且，
所以
，，所以，，即，
所以函數(shù)在,上是增函數(shù)；
（2）由（1）知，在上是增函數(shù)．所以最大值為.
【教材拓展延伸】
例3．函數(shù) ，.
(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值．
【答案】（1）由題意函數(shù)，作出其圖象如圖：
（2）由圖象可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.
函數(shù)最大值為4，最小值為.
例4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3] (a，b∈R).
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；
(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值為－4，求a的值．
【答案】(1)當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2＋2bx＋1，x∈[1，3]，函數(shù)的對(duì)稱軸為：x＝－b，
當(dāng)－b＞2即b＜－2時(shí)，f(x)max＝f(1)＝2b＋2，當(dāng)－b≤2即b≥－2時(shí)，f(x)max＝f(3)＝6b＋10，
綜上，f(x)max＝；
(2)當(dāng)a＞0，b＝－1時(shí)，f(x)＝ax2－2x＋1，x∈[1，3]，
函數(shù)的對(duì)稱軸為x＝＞0，當(dāng)≤1，即a≥1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝a－1＝－4，
解得a＝－3，不合題意舍去，
當(dāng)≥3，即0＜a≤時(shí)，f(x)min＝f(3)＝9a－5＝－4，解得a＝成立，
當(dāng)1＜＜3，即＜a＜1時(shí)，f(x)min＝f()＝1－＝－4，解得a＝，不合題意舍去，
故a的值為.
例5.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【答案】(1)證明：設(shè)x1，x2是任意的兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x10，因?yàn)閤>0時(shí)，f(x)<0，
所以f(x2－x1)<0，又因?yàn)閤2＝(x2－x1)＋x1，所以f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
所以f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)<0，所以f(x2)(2)由(1)知f(x)在R上是減函數(shù)，所以f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，所以f(x)在[－3,3]上的最小值為f(3)．而f(3)＝f(1)＋f(2)＝3f(1)＝3×＝－2.所以f(x)在[－3,3]上的最小值是－2.
歸納： 求函數(shù)的最值，常用的方法有
(1)圖象法，即畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)寫(xiě)出最值；
(2)單調(diào)性法，一般需要先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的意義求出最值；
(3)對(duì)于二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問(wèn)題，關(guān)鍵是要抓住對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置關(guān)系，常利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解題．
【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1.函數(shù)f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
【答案】C
【詳解】∵f(x)＝－(x＋2)2＋5，∴當(dāng)x＝－2時(shí)，函數(shù)有最大值5；當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)有最小值－20，故選C.
2.函數(shù)y＝f(x)(－2≤x≤2)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為(　　)
A.f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
【答案】 C
【詳解】根據(jù)函數(shù)最值定義，結(jié)合函數(shù)圖象可知，
當(dāng)x＝－時(shí)，有最小值f；當(dāng)x＝時(shí)，有最大值f. 故選C.
3.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)＝x|x|，則f(x)(　　)
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既無(wú)最大值，又無(wú)最小值
【答案】D
【詳解】f(x)＝畫(huà)出圖象可知，既無(wú)最大值又無(wú)最小值．故選D.
4.函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值與最小值分別為(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不對(duì)
【答案】A
【詳解】∵x∈[1,2]時(shí)，f(x)max＝2×2＋6＝10，f(x)min＝2×1＋6＝8.
又x∈[－1,1]時(shí)，f(x)max＝1＋7＝8，f(x)min＝－1＋7＝6，∴f(x)max＝10，f(x)min＝6.
5．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的值域是，滿足條件，
當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)，不滿足條件，
綜上可知，. 故選：A.
6．（多選）已知函數(shù)的值域是[1，2]，則其定義域可能是（ ）
A．[] B．[ ] C． D．[]
【答案】ABC
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是[1，2]，由可得或，由可得
所以其定義域可以為A、B、C中的集合，故選：ABC.
7．已知函數(shù)，若在上的值域?yàn)椋瑒t________.
【答案】.
【詳解】由題意知函數(shù)在上單調(diào)遞增，
∴，即，解得.故答案為：.
8．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_________．
【答案】
【詳解】∵函數(shù)∴函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)增函數(shù)
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，為. 故答案為：.
9．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域.
【答案】（1），
由一次函數(shù)的單調(diào)性可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為
（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故函數(shù)的值域?yàn)?
能力提升
10.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝－x2＋21x和L2＝2x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為(　　)
A．90萬(wàn)元 B．60萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．120.25萬(wàn)元
【答案】C
解析：設(shè)公司在甲地銷售x輛，則在乙地銷售(15－x)輛，公司獲利為L(zhǎng)＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－＋30＋，∴當(dāng)x＝9或10時(shí)，L最大為120萬(wàn)元．
11．（多選）若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a可能的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】BCD
【詳解】圖象的對(duì)稱軸方程為，
①當(dāng)，時(shí)，有最大值，又，所以，所以此時(shí)有最大值1；
②當(dāng)，時(shí)，有最大值，
當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞減，所以，
所以要有最大值，得，解得，與矛盾，舍去，
綜上，當(dāng)時(shí)，有最大值，故選：BCD．
12．（多選）已知函數(shù)，若，記，則（ ）
A．沒(méi)有最小值 B．的最大值為 C．沒(méi)有最大值 D．的最小值為3
【答案】BCD
【詳解】由題意函數(shù)作出其圖象如圖：
當(dāng)時(shí)，或，
若，則 ，且，則，
故，該函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，
故有最大值為，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即最小值為2，
故A錯(cuò)誤，B正確；
，該函數(shù)圖象對(duì)稱軸為，
故在時(shí)單調(diào)遞增，無(wú)最大值，最小值為，
故C,D正確；
故選：BCD.
13．已知函數(shù)f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.
【答案】36
【詳解】f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在(0，]上單調(diào)遞減，
在(，＋∞)上單調(diào)遞增，故f(x)在x＝時(shí)取得最小值，
由題意知＝3，∴a＝36.故答案為：
14．設(shè)，.若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則a的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
由，可得，則，則．
故的值域?yàn)椋谏系闹涤?由條件，只須，∴.故答案為：.
15．設(shè)函數(shù)．
（1）若對(duì)任意的上恒成立，求的取值范圍；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?br/>【答案】（1）由題意在上恒成立,可得
在上恒成立, 令,易得函數(shù)在遞減,
可得,即即得.
（2）因?yàn)樵谏线f增且值域?yàn)?
則滿足,則可得方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,設(shè),則聯(lián)立解得:．
16．已知函數(shù)對(duì)任意的m，都有，且時(shí)，．
(1)求的值： (2)證明在R上為增函數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)，若在上的最小值和最大值分別為a，b，且，
證明：．
【答案】（1）令，則，所以；
（2）令，，且，則，所以，
故，所以在R上是增函數(shù)；
（3）因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，所以在上為增函數(shù)，
故，，所以，
因?yàn)椋裕?br/>又因?yàn)椋陨鲜龅忍?hào)不成立，故．3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（第3課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念；
2.會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最大（小）值．
【教材知識(shí)梳理】
函數(shù)最大值與最小值
最大值 最小值
條件 一般地，設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：
x∈I，都有f(x) M x∈I，都有f(x) M
x0∈I，使得
結(jié)論 M是函數(shù)y＝f(x)的最大值 M是函數(shù)y＝f(x)的最小值
幾何意義 f(x)圖象上最高點(diǎn)的 f(x)圖象上最低點(diǎn)的
概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
（1）因?yàn)閒(x)＝x2＋1≥0恒成立，所以f(x)的最小值為0.( )
（2）一個(gè)連續(xù)函數(shù)在一個(gè)閉區(qū)間上必有最大值和最小值.( )
（3）函數(shù)f(x)取最大值時(shí)，對(duì)應(yīng)的x可能有無(wú)限多個(gè)．( )
（4）如果f(x)的最大值、最小值分別為M，m，則f(x)的值域?yàn)閇m，M]．( )
【教材例題變式】
（源于P80例4）例1.（1）用長(zhǎng)度為24 m的材料圍一矩形場(chǎng)地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長(zhǎng)度為_(kāi)___________m.
（2）某公司在甲、乙兩地銷售同一種農(nóng)產(chǎn)品，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為y1＝5x－x2，y2＝3x，其中x為銷售量(單位：噸)，若該公司在這兩地共銷售10噸農(nóng)產(chǎn)品，則能獲得的最大利潤(rùn)為_(kāi)___________萬(wàn)元．
（源于P81例5）例2.已知函數(shù)．
(1)用定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)； (2)求該函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
【教材拓展延伸】
例3．函數(shù) ，.
(1)畫(huà)出函數(shù)的圖象；(2)根據(jù)圖象指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最大值、最小值．
例4．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2bx＋1，x∈[1，3] (a，b∈R).
(1)若a＝1，求f(x)的最大值；(2)若a＞0，b＝－1，且f(x)的最小值為－4，求a的值．
例5.已知函數(shù)f(x)對(duì)任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)<0，f(1)＝－.
(1)求證：f(x)是R上的單調(diào)減函數(shù)． (2)求f(x)在[－3,3]上的最小值．
【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1.函數(shù)f(x)＝－x2－4x＋1，x∈[－3,3]的值域是(　 　)
A．(－∞，5] B．[5，＋∞) C．[－20,5] D．[4,5]
2.函數(shù)y＝f(x)(－2≤x≤2)的圖象如右圖所示，則函數(shù)的最大值、最小值分別為(　　)
A.f(2)，f(－2) B．f，f(－1)
C．f，f D．f，f(0)
3.設(shè)定義在R上的函數(shù)f(x)＝x|x|，則f(x)(　　)
A．只有最大值 B．只有最小值
C．既有最大值，又有最小值 D．既無(wú)最大值，又無(wú)最小值
4.函數(shù)f(x)＝則f(x)的最大值與最小值分別為(　　)
A．10,6 B．10,8 C．8,6 D．以上都不對(duì)
5．已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）已知函數(shù)的值域是[1，2]，則其定義域可能是（ ）
A．[] B．[ ] C． D．[]
7．已知函數(shù)，若在上的值域?yàn)椋瑒t________.
8．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為_(kāi)_________．
9．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)的值域.
能力提升
10.某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車，銷售x輛該品牌車的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝－x2＋21x和L2＝2x.若該公司在兩地共銷售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為(　　)
A．90萬(wàn)元 B．60萬(wàn)元 C．120萬(wàn)元 D．120.25萬(wàn)元
11．（多選）若函數(shù)存在最大值，則實(shí)數(shù)a可能的值是（ ）
A． B． C．1 D．2
12．（多選）已知函數(shù)，若，記，則（ ）
A．沒(méi)有最小值 B．的最大值為 C．沒(méi)有最大值 D．的最小值為3
13．已知函數(shù)f(x)＝4x＋ (x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________.
14．設(shè)，.若對(duì)于任意，總存在，使得成立，則a的取值范圍是___________.
15．設(shè)函數(shù)．
（1）若對(duì)任意的上恒成立，求的取值范圍；
（2）若在區(qū)間上單調(diào)遞增，且函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?br/>16．已知函數(shù)對(duì)任意的m，都有，且時(shí)，．
(1)求的值： (2)證明在R上為增函數(shù)；
(3)設(shè)函數(shù)，若在上的最小值和最大值分別為a，b，且，
證明：．

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