資源簡介

3.2.2奇偶性（第2課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法；
2.會用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解決比較大小問題；
3.會運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解一些簡單的抽象不等式.
【教材知識梳理】
奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)
1.若一個奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，則一定有f(0)＝ _．
2.若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性 ．
3.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性 ．
概念辨析：
1.若函數(shù)是奇函數(shù)，則一定有. （ ）
1.若函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上也遞增.（ ）
2.若函數(shù)是偶函數(shù)，且的解的個數(shù)一定是偶數(shù)個。（ ）
3.若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則可求出在上的解析式.（ ）
【教材例題變式】
例1（1）已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x，求當(dāng)x<0時，f(x)的解析式．
（2） 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)在R上的解析式．
【教材拓展延伸】
例2 （1）設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小順序是 ．
（2）若f(x)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則f與f 的大小關(guān)系是(　　)
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f
例3．（1）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則使的的取值范圍是_________.
（2）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是__________.
例4. （1）已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
（2）定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過關(guān)
1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
2．若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
3．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
4．如果奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值為5，那么在區(qū)間上是（ ）
A．增函數(shù)且最小值為 B．減函數(shù)且最小值為
C．增函數(shù)且最大值為 D．減函數(shù)且最大值為
5．設(shè)是R上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，若，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有；②對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．則下列函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的有（ ）
A． B． C． D．
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,
則________.
8．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.
9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求的值； (2)求函數(shù)的解析式；
(3)把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
能力進(jìn)階
10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，若滿足，則的值（ ）
A．一定大于0 B．一定小于0 C．等于0 D．正負(fù)都有可能
11．（多選）對于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A． B．當(dāng)時，方程總有實(shí)數(shù)解
C．函數(shù)的值域?yàn)? D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
12．（多選）函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)據(jù)此推出以下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是為奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖像的對稱中心為
C．函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對稱的充要條件是函數(shù)是偶函數(shù)
D．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
13.已知y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，則g(－1)＝________.
14．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則________.
15．已知函數(shù).
（1）判斷的奇偶性； （2）若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求，的值： (2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)求使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.3.2.2奇偶性（第2課時）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.掌握利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法；
2.會用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解決比較大小問題；
3.會運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解一些簡單的抽象不等式.
【教材知識梳理】
奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)
1.若一個奇函數(shù)在原點(diǎn)處有定義，即f(0)有意義，則一定有f(0)＝ _．
2.若f(x)是奇函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性 ．
3.若f(x)是偶函數(shù)，則f(x)在其關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間上單調(diào)性 ．
概念辨析：
1.若函數(shù)是奇函數(shù)，則一定有. （ ）
1.若函數(shù)是奇函數(shù)，且在區(qū)間上遞增，則在區(qū)間上也遞增.（ ）
2.若函數(shù)是偶函數(shù)，且的解的個數(shù)一定是偶數(shù)個。（ ）
3.若函數(shù)是偶函數(shù)，且當(dāng)時，，則可求出在上的解析式.（ ）
【答案】0 相同 相反
概念辨析：（1）× （2）√ （3）× （4）×
【教材例題變式】
例1（1）已知f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝x2＋x，求當(dāng)x<0時，f(x)的解析式．
（2） 已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，f(x)＝－2x2＋3x＋1，求f(x)在R上的解析式．
【答案]（1） 設(shè)x<0，則－x>0.∴f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x.
又∵f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)＝x2－x，
∴當(dāng)x<0時，f(x)＝x2－x.
(2)當(dāng)x<0時，－x>0，f(－x)＝－2(－x)2＋3(－x)＋1＝－2x2－3x＋1.
由于f(x)是奇函數(shù)，故f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝2x2＋3x－1，x<0.
因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(0)＝0.
故函數(shù)f(x)在R上的解析式為f(x)＝
歸納：已知區(qū)間[a，b]上的解析式，求[－b，－a]上的解析式
(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個區(qū)間上設(shè)．
(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．
(3)利用f(x)的奇偶性寫出－f(x)或f(－x)，從而解出f(x)．
【教材拓展延伸】
例2 （1）設(shè)f(x)是R上的偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，則f(－2)，f(－π)，f(3)的大小順序是 ．
（2）若f(x)是偶函數(shù)，其定義域?yàn)?－∞，＋∞)，且在[0，＋∞)上是減函數(shù)，則f與f 的大小關(guān)系是(　　)
A．f > f B．f < f
C．f ≥ f D．f ≤ f
【答案】（1）f(－π)>f(3)>f(－2) （2）C
【詳解】（1）∵f(x)是R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，
又f(x)在[0，＋∞)上遞增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2).
（2）因?yàn)閍2＋2a＋＝(a＋1)2＋≥，又f(x)為偶函數(shù)，且在[0，＋∞)上是減函數(shù)，所以f＝f ≥ f.
歸納：利用奇偶性和單調(diào)性比較大小
1.在同一單調(diào)區(qū)間上，直接利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小；
2.不在同一單調(diào)區(qū)間上，需利用函數(shù)的奇偶性把自變量轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上，然后利用單調(diào)性比較大小.
例3．（1）若函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，且，則使的的取值范圍是_________.
（2）若定義在的奇函數(shù)f(x)在單調(diào)遞減，且f(2)=0，則滿足的x的取值范圍是__________.
【答案】（1） （2）
【解析】（1）由題意，當(dāng)時，，則；又因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，圖像關(guān)于軸對稱，所以當(dāng)時，，則，所以的解集為.
（2）因?yàn)槎x在上的奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，
所以在上也是單調(diào)遞減，且，，
所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以由可得：或或
解得或，所以滿足的的取值范圍是.
例4. （1）已知函數(shù)y＝f(x)在定義域[－1,1]上是奇函數(shù)，又是減函數(shù)，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。
【答案】(1)由f(1－a2)＋f(1－a)<0，得f(1－a2)<－f(1－a)．
∵y＝f(x)在[－1,1]上是奇函數(shù)，∴－f(1－a)＝f(a－1)，∴f(1－a2)又f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞減，
∴解得∴0≤a<1.
∴a的取值范圍是[0,1)．
（2）定義在[－2,2]上的偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上單調(diào)遞減，若f(1－m)【答案】 ∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，∴f(x)＝f(|x|)．∴f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|)．
∴原不等式等價于解得－1≤m<.
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
歸納： 解有關(guān)奇函數(shù)fx的不等式fa＋fb<0，先將fa＋fb<0變形為fa<－fb＝f－b，再利用fx的單調(diào)性去掉“f”，化為關(guān)于a，b的不等式.另外，要特別注意函數(shù)的定義域.
由于偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性相反，所以我們要利用偶函數(shù)的性質(zhì)fx＝f|x|＝f－|x|將fgx中的gx全部化到同一個單調(diào)區(qū)間內(nèi)，再利用單調(diào)性去掉符號f，使不等式得解.
【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過關(guān)
1．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】A是增函數(shù)，不是奇函數(shù)；B和C都不是定義域內(nèi)的增函數(shù)，排除，只有D正確，故選：D.
2．若函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，
所以有，即，故選：D.
3．設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】由f(x)為奇函數(shù)可知，＝<0.
而f(1)＝0，則f(－1)＝－f(1)＝0.
當(dāng)x>0時，f(x)<0＝f(1)；當(dāng)x<0時，f(x)>0＝f(－1)．
又∵f(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)，∴奇函數(shù)f(x)在(－∞，0)上為增函數(shù)．
所以04．如果奇函數(shù)在上是增函數(shù)且最小值為5，那么在區(qū)間上是（ ）
A．增函數(shù)且最小值為 B．減函數(shù)且最小值為
C．增函數(shù)且最大值為 D．減函數(shù)且最大值為
【答案】C
【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上是增函數(shù)且最小值為5，而奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，
所以在區(qū)間上增函數(shù)且最大值為，故選：C.
5．設(shè)是R上的偶函數(shù)，且在是增函數(shù)，若，，下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】解：由，得，
在是增函數(shù)，，
又是R上的偶函數(shù)，，，，
故選：A．
6．（多選）若函數(shù)同時滿足：①對于定義域上的任意x，恒有；②對于定義域上的任意，，當(dāng)時，恒有，則稱函數(shù)為“理想函數(shù)”．則下列函數(shù)中能被稱為“理想函數(shù)”的有（ ）
A． B．；
C． D．
【答案】CD
【詳解】已知性質(zhì)1說明函數(shù)是奇函數(shù)，性質(zhì)2說明函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，
選項(xiàng)A，函數(shù)在及是減函數(shù)，但在定義域內(nèi)不是減函數(shù)，選項(xiàng)B，在上是增函數(shù)，均不合題意，
選項(xiàng)C，，時，，時，，因此在定義域內(nèi)，函數(shù)為在奇函數(shù)，
上是減函數(shù)且，在上也是減函數(shù)且，因此函數(shù)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，滿足題意，選項(xiàng)D，易知其滿足題意．故選：CD．
已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，,
則________.
【答案】12
【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，則，
.
8．已知偶函數(shù)在單調(diào)遞減，.若，則的取值范圍是__________.
【答案】
【詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以不等式，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得.
9．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，.
(1)求的值； (2)求函數(shù)的解析式；
(3)把函數(shù)圖象補(bǔ)充完整，并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【答案】（1）當(dāng)時，，，，
∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴.
（2）當(dāng)時，，，
∵函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，∴，，
則.
（3）由（2）可得，的圖像，如圖所示：
由圖象可知，的單調(diào)遞增區(qū)間為，.
能力進(jìn)階
10．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，若滿足，則的值（ ）
A．一定大于0 B．一定小于0
C．等于0 D．正負(fù)都有可能
【答案】A
【詳解】由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，
由函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則，，，，
當(dāng)時，不等式恒成立，則，即；
由不等式恒成立，則中僅可有一個小于零，不妨設(shè)，即
由，則，
由函數(shù)在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則，
由函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，故，故選：A.
11．（多選）對于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）
A． B．當(dāng)時，方程總有實(shí)數(shù)解
C．函數(shù)的值域?yàn)? D．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為
【答案】AC
【詳解】對于，因?yàn)椋?br/>所以，所以A正確；
對于B，當(dāng)時，，，，無解，所以B錯誤；
當(dāng)時，，其中由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，時，等號成立，所以，
又由A選項(xiàng)可知為奇函數(shù)，
故當(dāng)時，，所以函數(shù)的值域?yàn)椋珻正確；
∵，
在上不可能單調(diào)遞增，所以D錯誤.
故選：AC．
12．（多選）函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱圖形的充要條件是函數(shù)為奇函數(shù)，有同學(xué)據(jù)此推出以下結(jié)論，其中正確的是（ ）
A．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的充要條件是為奇函數(shù)
B．函數(shù)的圖像的對稱中心為
C．函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對稱的充要條件是函數(shù)是偶函數(shù)
D．函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱
【答案】ABD
【詳解】對于A，函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的圖形，
則有
函數(shù)為奇函數(shù)，則有，
即有
所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)成中心對稱的圖形的充要條件是
為為奇函數(shù)，A正確；
對于B,，則
因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，結(jié)合A選項(xiàng)可知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱，B正確；
對于C，函數(shù)的圖像關(guān)于成軸對稱的充要條件是，
即函數(shù)是偶函數(shù)，因此C不正確；
對于D，，則，
則，所以關(guān)于對稱，D正確
故選:ABD.
13.已知y＝f(x)是奇函數(shù)，若g(x)＝f(x)＋2且g(1)＝1，則g(－1)＝________.
【答案】3
【詳解】因?yàn)間(x)＝f(x)＋2，g(1)＝1，所以1＝f(1)＋2，所以f(1)＝－1，又因?yàn)閒(x)是奇函數(shù)，所以f(－1)＝1，則g(－1)＝f(－1)＋2＝3.
14．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則________.
【答案】2
【詳解】，則，
令，定義域?yàn)椋?br/>則，故為奇函數(shù)，所以，
即，故.
15．已知函數(shù).
（1）判斷的奇偶性； （2）若在是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時，為偶函數(shù)，當(dāng)時，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù),；（2）.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
對任意，，為偶函數(shù)．
當(dāng)時，，
取，得，
，函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
（2）設(shè)，，
要使函數(shù)在上為增函數(shù)，必須恒成立．
，即恒成立．
又，．的取值范圍是．
16．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.
(1)求，的值： (2)試判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；
(3)求使成立的實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）由題意，在中，函數(shù)是奇函數(shù)，且，
可得即；又，則，∴，；經(jīng)驗(yàn)證滿足題意.
（2）由題意及（1）得， 在上為增函數(shù).證明如下：
設(shè)，則，
∵，∴，，∴，即，
∴在上為增函數(shù)；
由題意，，
∴，即，
∴， 解得， ∴的取值范圍是.

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