資源簡介

3.3冪函數
【學習目標】
1.了解冪函數的概念，會求冪函數的解析式.
2.結合冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的圖象，掌握它們的性質.
3.能利用冪函數的單調性比較指數冪的大小.
【教材知識梳理】
一．冪函數的概念
1.一般地，函數 叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
2.冪函數解析式的結構特征
①指數為常數；②底數是自變量，自變量的系數為1；③冪xα的系數為1；④只有1項．
二．冪函數的圖象
冪函數在第一象限內指數變化規律：
在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應
的指數由大變小；在直線x＝1的左側，圖象從下到上，
相應的指數由大變小.
三．五個重要的冪函數
冪函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定義域
值域
奇偶性
單調性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)，
公共點 都經過點
四．一般冪函數的性質：
（1）冪函數在第一象限內都有圖象，且都過點（1，1）；
（2）若α＞0，則冪函數的圖象過（0，0），（1，1），且在[0，＋∞)上遞增.
①當時，圖象在第一象限內下凸（遞增速度越來越快）；
②當時，圖象在第一象限內上凸（遞增速度越來越慢）.
（3）若α＜0，則冪函數的圖象過(1,1)，且在(0，＋∞)上遞減，以x軸、y軸為漸近線.
概念辨析 (正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝x0(x≠0)是冪函數．(　　)
(2)冪函數的圖象必過點(0,0)和(1,1)．(　　)
(3)冪函數的圖象都不過第四象限．(　　)
(4)當α>0時，y＝xα是增函數．(　　)
【教材例題變式】
例1 (1)在函數①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是冪函數的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)函數是冪函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數，求f(x)的解析式．
例2.（源于P91例題）證明：冪函數是增函數.
【教材拓展延伸】
例3.研究下列函數的定義域、值域、奇偶性和單調性，并作出其大致圖象.
（1）； （2）； （3）； （4）．
例4 (1)函數y=的圖象是(　　)
(2)如圖所示，圖中的曲線是冪函數y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應于C1，C2，C3，C4的n依次為(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
例5比較下列各組數的大小.
，，1； (2) ，，； (3)31.4 51.5.
例6（1）已知冪函數f(x)＝，若f(a＋1)（2）若，則實數m的范圍是______________.
【課外作業】
基礎過關
1.下列結論中，正確的是(　　)
A．冪函數的圖象都經過點(0,0)，(1,1)
B．冪函數的圖象可以出現在第四象限
C．當冪指數α取1,3，時，冪函數y＝xα是增函數
D．當α＝－1時，冪函數y＝xα在其整個定義域上是減函數
2．設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有值為（ ）
A． B． C． D．
3．圖中，，分別為冪函數，，在第一象限內的圖象，則，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
5.函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
6．（多選）設，則使函數的定義域為且為奇函數的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
7．已知冪函數的圖象過點，則________．
8.已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為_________.
9．冪函數的圖像經過點，點在冪函數的圖像上.
(1)求的解析式；(2)當為何值時， 當x為何值時，
能力提升
設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a、b、c的大小關系是 (　　)
A．a11．（多選）已知冪函數的圖像如圖所示，則a值可能為（ ）
A． B． C． D．3
12．（多選）已知冪函數的圖象經過點，則（ ）
A．函數為增函數 B．函數為偶函數
C．當時， D．當時，
13．冪函數y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數m的值為________.
14．實數滿足，則實數的取值集合為__________.
15．已知冪函數為偶函數，
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在上的最大值為2，求實數的值．
16．已知冪函數（）的圖像關于軸對稱，且.
（1）求的值及函數的解析式；
（2）若，求實數的取值范圍.3.3冪函數
【學習目標】
1.了解冪函數的概念，會求冪函數的解析式.
2.結合冪函數y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的圖象，掌握它們的性質.
3.能利用冪函數的單調性比較指數冪的大小.
【教材知識梳理】
一．冪函數的概念
1.一般地，函數 叫做冪函數，其中x是自變量，α是常數.
2.冪函數解析式的結構特征
①指數為常數；②底數是自變量，自變量的系數為1；③冪xα的系數為1；④只有1項．
二．冪函數的圖象
冪函數在第一象限內指數變化規律：
在第一象限內直線x＝1的右側，圖象從上到下，相應
的指數由大變小；在直線x＝1的左側，圖象從下到上，
相應的指數由大變小.
三．五個重要的冪函數
冪函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1
定義域
值域
奇偶性
單調性 x∈[0，＋∞)， x∈(－∞，0]， x∈(0，＋∞)， x∈(－∞，0)，
公共點 都經過點
四．一般冪函數的性質：
（1）冪函數在第一象限內都有圖象，且都過點（1，1）；
（2）若α＞0，則冪函數的圖象過（0，0），（1，1），且在[0，＋∞)上遞增.
①當時，圖象在第一象限內下凸（遞增速度越來越快）；
②當時，圖象在第一象限內上凸（遞增速度越來越慢）.
（3）若α＜0，則冪函數的圖象過(1,1)，且在(0，＋∞)上遞減，以x軸、y軸為漸近線.
概念辨析 (正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)函數y＝x0(x≠0)是冪函數．(　　)
(2)冪函數的圖象必過點(0,0)和(1,1)．(　　)
(3)冪函數的圖象都不過第四象限．(　　)
(4)當α>0時，y＝xα是增函數．(　　)
【答案】
一．1.y＝xα
三.
冪函數 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪(0，＋∞)
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R，且y≠0}
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
單調性 增 x∈[0，＋∞)，增 x∈(－∞，0]，減 增 增 x∈(0，＋∞)，減 x∈(－∞，0)，減
公共點 都經過點(1，1)
概念辨析：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×
【教材例題變式】
例1 (1)在函數①y＝，②y＝x2，③y＝2x，④y＝1，⑤y＝2x2，⑥y＝中，是冪函數的是(　　)
A．①②④⑤ B．③④⑥ C．①②⑥ D．①②④⑤⑥
(2)函數是冪函數，且當x∈(0，＋∞)時，f(x)是增函數，求f(x)的解析式．
【答案】 (1) C 冪函數是形如y＝xα(α為常數)的函數，①是α＝－1的情形，②是α＝2的情形，⑥是α＝－的情形，所以①②⑥都是冪函數；③是指數函數，不是冪函數；⑤中x2的系數是2，所以不是冪函數；④是常函數，不是冪函數．所以只有①②⑥是冪函數．故選C.
(2)由m2－m－1＝1得，m2－m－2＝0，解得m＝2或m＝－1.
當m＝2時，m2＋m－3＝3，f(x)＝x3符合要求，
當m＝－1，m2＋m－3＝－3＜0，f(x)＝x－3在(0，＋∞)為減函數，不符合要求．
綜上，f(x)＝x3.
歸納： 判斷一個函數是否為冪函數的依據是該函數是否為y＝xα(α為常數)的形式，即函數的解析式為一個冪的形式，且需滿足：(1)指數為常數；(2)底數為自變量；(3)系數為1.
例2.（源于P91例題）證明：冪函數是增函數.
【答案】函數的定義域為R，，且，有
又
即，故冪函數是增函數.
【教材拓展延伸】
例3.研究下列函數的定義域、值域、奇偶性和單調性，并作出其大致圖象.
（1）； （2）； （3）； （4）．
【答案】（1），設，的定義域為，
因為，所以值域為：顯然，為偶函數，
在中，，為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減.
（2），設，定義域：，
由，所以值域：，由，所以奇函數，
在中，，為奇函數，所以在上單調遞減，在上單調遞減.
（3），設，所以定義域；R；值域：R；
由，所以奇函數，在中，，在上單調遞增.
（4），設，由得定義域：值域：
因為定義域：，所以非奇非偶函數；
在中，，定義域為，所以在上單調遞增；
例4 (1)函數y=的圖象是(　　)
(2)如圖所示，圖中的曲線是冪函數y＝xn在第一象限的圖象，已知n取±2，±四個值，則相應于C1，C2，C3，C4的n依次為(　　)
A.－2，－，，2 B.2，，－，－2
C.－，－2，2， D.2，，－2，－
【答案】 (1) B解析：直接由冪函數的圖象特征判定.
(2)B解析：根據冪函數y＝xn的性質，在第一象限內的圖象當n>0時，n越大，y＝xn遞增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；當n<0時，|n|越大，曲線越陡峭，所以曲線C3的n＝－，曲線C4的n＝－2，故選B.
歸納：解決冪函數圖象問題應把握的兩個原則
(1)依據圖象高低判斷冪指數大小，相關結論為：
①在x∈(0，1)上，指數越大，冪函數圖象越靠近x軸(簡記為指大圖低)；②在x∈(1，＋∞)上，指數越大，冪函數圖象越遠離x軸(簡記為指大圖高).
(2)依據圖象確定冪指數α與0，1的大小關系，即根據冪函數在第一象限內的圖象的凹凸來判斷.
例5比較下列各組數的大小.
(1) ，，1； (2) ，，； (3)31.4 51.5.
【答案】(1)因為函數y＝在(0，＋∞)上單調遞增，且1.7＞1.5＞1，
所以＞＞1.
(2)因為0＜＜1, >1，＜0，所以＞＞.
(3)根據冪函數和指數函數的單調性，得31.4＜31.5＜51.5，所以31.4＜51.5.
歸納：比較冪值大小的方法
(1)若指數相同，底數不同，則考慮冪函數．
(2)若指數不同，底數相同，則考慮借助圖象求解．
(3)若指數與底數都不同，則考慮插入中間數，使這個數的底數與所比較數的一個底數相同，指數與另一個數的指數相同，那么這個數就介于所比較的兩數之間，進而比較大小．
例6（1）已知冪函數f(x)＝，若f(a＋1)（2）若，則實數m的范圍是______________.
【答案】（1） (3,5) （2）.
【詳解】（1） ∵f(x)＝＝(x>0)，易知f(x)在(0，＋∞)上為減函數，
又f(a＋1)因為在定義域[0，＋∞)上是增函數，所以
解得－1≤m<，故實數m的取值范圍為.
【課外作業】
基礎過關
1.下列結論中，正確的是(　　)
A．冪函數的圖象都經過點(0,0)，(1,1)
B．冪函數的圖象可以出現在第四象限
C．當冪指數α取1,3，時，冪函數y＝xα是增函數
D．當α＝－1時，冪函數y＝xα在其整個定義域上是減函數
【答案】C
【詳解】當冪指數α＝－1時，冪函數y＝x－1的圖象不經過原點，故A錯誤；因為所有的冪函數在區間(0，＋∞)上都有定義，且y＝xα(α∈R)>0，所以冪函數的圖象不可能出現在第四象限，故B錯誤；當α>0時，y＝xα是增函數，故C正確；當α＝－1時，y＝x－1在區間(－∞，0)，(0，＋∞)上是減函數，但在整個定義域上不是減函數，故D錯誤．故選C.
2．設，則使函數的定義域為R且為奇函數的所有值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】時，函數定義域不是R,不合題意；時，函數的定義域為R且為奇函數，合題意，故選A.
3．圖中，，分別為冪函數，，在第一象限內的圖象，則，，依次可以是（ ）
A．，3， B．，3， C．，，3 D．，，3
【答案】D
【詳解】由圖知，，，所以，，可以是，，3．故選：D.
4．已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】因為，且冪函數在 上單調遞增，所以b故選A.
5.函數的圖象大致為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【詳解】因為的定義域為，又，故為偶函數，函數圖象關于軸對稱，故排除C、D；
當時，由冪函數的性質可知，在上單調遞增，但是增長趨勢越來越慢，故B錯誤；故選：A
6．（多選）設，則使函數的定義域為且為奇函數的所有的值有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【詳解】時，的定義域是，不正確；
時，函數的定義域是，且是奇函數，故正確；
是，函數的定義域是，且是奇函數，故正確；
時，函數的定義域是，不正確.
故選：BC.
7．已知冪函數的圖象過點，則________．
【答案】
【詳解】由題意，即，∴，
∴，∴. 故答案為：.
8.已知冪函數f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的圖象關于y軸對稱，且在(0，＋∞)上是減函數，則n的值為_________.
【答案】1
【詳解】由于f(x)為冪函數，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，經檢驗只有n＝1適合題意.
9．冪函數的圖像經過點，點在冪函數的圖像上.
(1)求的解析式；(2)當為何值時， 當x為何值時，
【答案】（1）設，則，，，設，則，
即，.
（2）從圖像可知，當或時，；
當或時，.
能力提升
設a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，則a、b、c的大小關系是 (　　)
A．aC．b【答案】3 C∵0.6∈(0,1)，∴y＝0.6x是減函數，∴0.60.6>0.61.5，又y＝x0.6在(0，＋∞)是增函數，∴1.50.6>0.60.6，∴c>a>b，故選C.
11．（多選）已知冪函數的圖像如圖所示，則a值可能為（ ）
A． B．
C． D．3
【答案】AC
【詳解】由圖可知，定義域為R，且為奇函數，故B錯誤；
可知在上凸遞增，則，故D錯誤.故選：AC.
12．（多選）已知冪函數的圖象經過點，則（ ）
A．函數為增函數 B．函數為偶函數
C．當時， D．當時，
【答案】ACD
【詳解】設冪函數，則，解得，所以，
所以的定義域為，在上單調遞增，故A正確，
因為的定義域不關于原點對稱，所以函數不是偶函數，故B錯誤，
當時，，故C正確，
當時，，又，所以，D正確．故選：ACD.
13．冪函數y＝（m∈Z）的圖象如圖所示，則實數m的值為________.
【答案】1
【詳解】有圖象可知：該冪函數在單調遞減，所以，解得，,故可取，又因為該函數為偶函數，所以為偶數，故
故答案為：
14．實數滿足，則實數的取值集合為__________.
【答案】
【詳解】，其定義域為，且在定義域上單調遞減，
因為，所以，解得，故答案為：
15．已知冪函數為偶函數，
(1)求函數的解析式；
(2)若函數在上的最大值為2，求實數的值．
【答案】（1）因為為冪函數，所以，解得或
因為為偶函數，所以，故的解析式；
（2）解：由（1）知，對稱軸為，開口向上，
當即時，，即；
當即時，，即；
綜上所述：或．
16．已知冪函數（）的圖像關于軸對稱，且.
（1）求的值及函數的解析式；
（2）若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【詳解】（1）由題意，函數（）的圖像關于軸對稱，且，
所以在區間為單調遞增函數，所以，解得，
由，。又函數的圖像關于軸對稱，所以為偶數，
所以，所以.
（2）因為函數圖象關于軸對稱，且在區間為單調遞增函數，
所以不等式，等價于，解得或，
所以實數的取值范圍是.

展開更多......

收起↑