資源簡介

3.4函數的應用（一）
【學習目標】
1.會利用已知函數模型解決實際問題.
2.能利用分段函數模型解決實際問題.
【教材知識梳理】
一.常見的函數模型
常 用 函 數 模 型 (1)一次函數模型 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)
(2)二次函數模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
(3)冪型函數模型 y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
(4)分段函數 y＝
二．解決函數應用問題的步驟
利用函數知識和函數觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：
(1)審題；(2)建模；(3)求模；(4)還原.
概念辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數．(　　)
(2)對于自變量在不同范圍內，對應關系不同的函數關系一般可以用分段函數表示.(　　)
(3)一個好的函數模型，既能與現有數據高度符合，又能很好地推演和預測．(　　)
(4)用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了．(　　)
【答案】概念辨析：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×
【教材例題變式】
（源于P93例1）例1．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過 元
超過但不超過的部分 元
超過的部分 元
若某戶居民本月交納的水費為元，求此戶居民本月用水量．
【答案】
【詳解】設此戶居民本月用水量為，
當時，，解得，不滿足題意；
當時，，解得，滿足題意；
當時，，解得，不滿足題意，
綜上所述，此戶居民本月用水量為.
（源于P94例2）例2.某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．
旅游點規定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，用y表示出租所有自行車的日凈收入．(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)
（1）求函數的解析式；
（2）試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？
【答案】（1）由題知：當時，，
令，解得，因為，所以，.
當時，，，.
所以.
（2）當，且時，為增函數，所以元.
當，且時，，
當時，元.
綜上所述，當每日自行車日租金定為元時，日凈收入最多，為元.
【教材拓展延伸】
例3．某地區上年度電價為0.8元/kw·h，年用電量為a kw·h.本年度計劃將電價降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kw·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)．該地區電力的成本價為0.3元/kw·h.
(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；
(2)設k=0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%
【答案】（1）設下調后的電價為x元/kw·h，依題意知，用電量增至()kw·h，
電力部門的收益為：，
所以電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式是：.
（2）依題意，，化簡整理得：，
解此不等式組得：，
所以當電價最低定為0.60元/kw·h時，仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%.
例4．如圖，有一塊半徑為R(單位：)的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上.
（1）寫出梯形的周長y（單位：）和腰長x（單位：）之間的函數關系式；
（2）求梯形周長的最大值.
【答案】（1）作于點，連接，因為是半圓的直徑，所以，
易知，所以，所以，
又因為，，所以，
所以，
因為，，所以，所以.
（2）因為，，
所以時，有最大值，且最大值為，所以當時，梯形的周長最大，最大為.
【課后作業】
基礎過關
1.國內快遞1 000 g以內的包裹的郵資標準如下表：
運送距離x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
郵資y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快遞800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他應付的郵資是(　　)
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
【答案】C
【詳解】由題意可知，當x＝1 200時，y＝7.00元．
2．某商家準備在2020年春節來臨前連續2次對某一商品銷售價格進行提價且每次提價10%，然后在春節活動期間連續2次對該商品進行降價且每次降價10%，則該商品的最終售價與原來價格相比（ ）
A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．無法確定
【答案】A
【詳解】設現價為，原價為，則，故選：.
3．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為（ ）
A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘
【答案】B
【詳解】由圖形可知，三點都在函數的圖象上，
所以，解得，
所以，因為，所以當時，取最大值，
故此時的t=分鐘為最佳加工時間，故選B.
4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
【答案】C
【詳解】設內接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質可得，0<<40，
解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
當x＝20時，Smax＝400．故選：C.
5．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過的部分 3元/
超過但不超過的部分 6元/
超過的部分 9元/
若某戶居民本月交納的水費為54元，則此戶居民的用水量為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】設此戶居民本月用水量為,繳納的水費為元,
則當時,元,不符合題意;
當時,,令,解得,符合題意；
當時,,不符合題意.
綜上所述: 此戶居民本月用水量為15.故選：C.
6．（多選）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是（ ）
A．甲同學從家出發到乙同學家走了60 minB．甲從家到公園的時間是30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快
D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x
【答案】BD
【詳解】在A中，甲在公園休息的時間是10 min，所以只走了50 min，A錯誤；由題中圖象知，B正確；
甲從家到公園所用的時間比從公園到乙同學家所用的時間長，而距離相等，所以甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度慢，C錯誤；
當0≤x≤30時，設y＝kx(k≠0)，則2＝30k，解得，D正確.故選：BD.
7．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應該定為__________．
【答案】4050
【詳解】設每輛車的月租金定為元，則租賃公司的月收益：
當時， 最大，最大值為，即當每車輛的月租金定為元時，租賃公司的月收益最大，最大月收益是，故答案為.
8．在一個房間使用某種消毒劑后，該消毒劑中的某種藥物含量y(mg/m )隨時間t(h)變化的規律可表示為如圖所示，則a=_____;實驗表明，當房間中該藥物含量不超過0.75 mg/m 時對人體無害，為了不使人體受到該藥物的傷害，則使用該消毒劑對這個房間進行消毒后至少經過________小時方可進入.
【答案】
【詳解】由題知：當時，，即，解得.
所以.
當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，
令，解得，所以經過小時后方可進入房間.故答案為：；
9．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態不考慮）.
(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數；
(2)當水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.
【答案】（1）橫斷面中的水面是下底為2m，上底為m，高為h m的等腰梯形，
所以.
（2）由（1）知，，，
所以當水深為1.2m時，橫斷面水中的面積為3.84.
能力提升
10．某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如下表：
購票人數 1~50 51~100 100以上
門票價格 13元/人 11元/人 9元/人
兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
【答案】B
【詳解】由題意，990不能被13整除，所以兩個部門的人數之和為，
若，則，可得
由共需支付門票為1290元，可知
聯立方程組，可得（舍去）；
若，則，可得
由共需支付門票為1290元，可知，可得
聯立方程組可得，所以兩個部門的人數之差為.故選：B.
11．（多選）某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km（不超過3km按起步價付費）；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費：超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．下列結論正確的是（ ）
A．出租車行駛2km，乘客需付費8元
B．出租車行駛4km，乘客需付費9.6元
C．某人乘出租車行駛5km兩次的費用超過他乘出租車行駛10km一次的費用
D．某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了9km
【答案】CD
【詳解】在中，出租車行駛2km，乘客需付起步價8元和燃油附加費1元，共9元，錯誤；在中，出租車行駛4km，乘客需付費元，錯誤；
在C中，乘出租車行駛5km，乘客需付費元，乘坐兩次需付費26.6元，，C正確；
在D中，設出租車行駛時，付費元，由知，因此由，解得，故D正確．故選：CD．
12．（多選）(多選)如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關人員提出了兩種調整的建議，如圖②③所示.
則下列說法中，正確的有（ ）
A．圖②的建議：提高成本，并提高票價B．圖②的建議：降低成本，并保持票價不變
C．圖③的建議：提高票價，并保持成本不變D．圖③的建議：提高票價，并降低成本
【答案】BC
【詳解】根據題意和圖②知，兩直線平行即票價不變，直線向上平移說明當乘客量為0時，收入是0但是支出變少了，即說明此建議是降低成本而保持票價不變，故B正確；
由圖③可以看出，當乘客量為0時，支出不變，但是直線的傾斜角變大，即相同的乘客量時收入變大，即票價提高了，即說明此建議是提高票價而保持成本不變，故C正確.
故選：BC.
13．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，每輛客車營運的利潤與營運年數為二次函數關系（如圖），則客車有營運利潤的時間不超過________年．
【答案】7
【詳解】設二次函數y=a(x-6)2+11，又過點(4，7)，所以a=-1，即y=-(x-6)2+11.
解y≥0，得6-≤x≤6+，所以有營運利潤的時間為2.
又6<2<7，所以有營運利潤的時間不超過7年.故答案為：7.
14.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元部分享受一定的折扣優惠，折扣優惠按下表累計計算.
某人在此商場購物獲得的折扣優惠金額為30元，則他實際所付金額為______元．
【答案】1120
【詳解】由題可知：折扣金額y元與購物總金額x元之間的解析式，
y
∵y＝30＞25 ∴x＞1100 ∴0.1（x﹣1100）+25＝30解得，x＝1150，1150﹣30＝1120，
故此人購物實際所付金額為1120元．
15.李莊村電費收取有以下兩種方案供農戶選擇：
方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時，超過部分按每度0.6元.
方案二：不收管理費，每度0.58元.
（1）求方案一收費元與用電量（度）間的函數關系
（2）李剛家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？
【答案】（1）當時，.
當時，.∴
（2）設按第二方案收費為元，則.
當時，由，得∴∴.
當時，由，得∴ ∴.
綜上，.
故李剛家月用電量在25度到50度范圍內（不含25、50度）時，選擇方案一比方案二更好.
16．如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．
【答案】（1）令y＝0，得kx－ （1＋k2）x2＝0，
由實際意義和題設條件知x＞0，k＞0，
故x＝＝≤＝10，當且僅當k＝1時取等號．所以炮的最大射程為10千米．
（2）因為a＞0，所以炮彈可擊中目標 存在k＞0，使3.2＝ka－（1＋k2）a2成立
關于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 判別式Δ＝（－20a）2－4a2（a2＋64）≥0 a≤6.
所以當a不超過6（千米）時，可擊中目標．3.4函數的應用（一）
【學習目標】
1.會利用已知函數模型解決實際問題.
2.能利用分段函數模型解決實際問題.
【教材知識梳理】
一.常見的函數模型
常 用 函 數 模 型 (1)一次函數模型 y＝kx＋b(k，b為常數，k≠0)
(2)二次函數模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數，a≠0)
(3)冪型函數模型 y＝axn＋b(a，b為常數，a≠0)
(4)分段函數 y＝
二．解決函數應用問題的步驟
利用函數知識和函數觀點解決實際問題時，一般按以下幾個步驟進行：
(1)審題；(2)建模；(3)求模；(4)還原.
概念辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)當x每增加一個單位時，y增加或減少的量為定值，則y是x的一次函數．(　　)
(2)對于自變量在不同范圍內，對應關系不同的函數關系一般可以用分段函數表示.(　　)
(3)一個好的函數模型，既能與現有數據高度符合，又能很好地推演和預測．(　　)
(4)用函數模型預測的結果和實際結果必須相等，否則函數模型就無存在意義了．(　　)
【教材例題變式】
（源于P93例1）例1．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民生活用水實行“階梯水價”．計費方法如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過 元
超過但不超過的部分 元
超過的部分 元
若某戶居民本月交納的水費為元，求此戶居民本月用水量．
（源于P94例2）例2.某旅游點有50輛自行車供游客租賃使用，管理這些自行車的費用是每日115元．根據經驗，若每輛自行車的日租金不超過6元，則自行車可以全部租出；若超過6元，則每提高1元，租不出去的自行車就增加3輛．
旅游點規定：每輛自行車的日租金不低于3元并且不超過20元，每輛自行車的日租金x元只取整數，用y表示出租所有自行車的日凈收入．(日凈收入即一日中出租的所有自行車的總收入減去管理費用后的所得)
（1）求函數的解析式；
（2）試問日凈收入最多時每輛自行車的日租金應定為多少元？日凈收入最多為多少元？
【教材拓展延伸】
例3．某地區上年度電價為0.8元/kw·h，年用電量為a kw·h.本年度計劃將電價降低到0.55元/kw·h至0.75元/kw·h之間，而用戶期望電價為0.4元/kw·h.經測算，下調電價后新增的用電量與實際電價和用戶期望電價的差成反比(比例系數為k)．該地區電力的成本價為0.3元/kw·h.
(1)寫出本年度電價下調后，電力部門的收益y與實際電價x的函數關系式；
(2)設k=0.2a，當電價最低定為多少時仍可保證電力部門的收益比上年度至少增長20%
例4．如圖，有一塊半徑為R(單位：)的半圓形鋼板，計劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點在圓周上.
（1）寫出梯形的周長y（單位：）和腰長x（單位：）之間的函數關系式；
（2）求梯形周長的最大值.
【課后作業】
基礎過關
1.國內快遞1 000 g以內的包裹的郵資標準如下表：
運送距離x(km) 0＜x≤500 500＜x≤1 000 1 000＜x≤1 500 …
郵資y(元) 5.00 6.00 7.00 …
如果某人在西安要快遞800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他應付的郵資是(　　)
A．5.00元 B．6.00元 C．7.00元 D．8.00元
2．某商家準備在2020年春節來臨前連續2次對某一商品銷售價格進行提價且每次提價10%，然后在春節活動期間連續2次對該商品進行降價且每次降價10%，則該商品的最終售價與原來價格相比（ ）
A．略有降低 B．略有提高 C．相等 D．無法確定
3．加工爆米花時，爆開且不糊的粒數占加工總粒數的百分比稱為“可食用率”，在特定條件下，可食用率p與加工時間t（單位：分鐘）滿足函數關系p=at2+bt+c（a，b，c是常數），如圖記錄了三次實驗的數據，根據上述函數模型和實驗數據，可以得到最佳加工時間為（ ）
A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘
4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為（ ）m．
A．400 B．12 C．20 D．30
5．為了保護水資源，提倡節約用水，某城市對居民實行“階梯水價”，計費方法如下表：
每戶每月用水量 水價
不超過的部分 3元/
超過但不超過的部分 6元/
超過的部分 9元/
若某戶居民本月交納的水費為54元，則此戶居民的用水量為（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）甲同學家到乙同學家的途中有一座公園，甲同學家到公園的距離與乙同學家到公園的距離都是2 km.如圖所示表示甲同學從家出發到乙同學家經過的路程y(km)與時間x(min)的關系，下列結論正確的是（ ）
A．甲同學從家出發到乙同學家走了60 minB．甲從家到公園的時間是30 min
C．甲從家到公園的速度比從公園到乙同學家的速度快
D．當0≤x≤30時，y與x的關系式為y＝x
7．某租賃公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元.若使租賃公司的月收益最大，每輛車的月租金應該定為__________．
8．在一個房間使用某種消毒劑后，該消毒劑中的某種藥物含量y(mg/m )隨時間t(h)變化的規律可表示為如圖所示，則a=_____;實驗表明，當房間中該藥物含量不超過0.75 mg/m 時對人體無害，為了不使人體受到該藥物的傷害，則使用該消毒劑對這個房間進行消毒后至少經過________小時方可進入.
9．如圖，某灌溉渠的橫斷面是等腰梯形，底寬2m，渠深為1.8m，斜坡的傾斜角是45°（無水狀態不考慮）.
(1)試將橫斷面中水的面積（）表示成水深（m）的函數；
(2)當水深為1.2m時，求橫斷面中水的面積.
能力提升
10．某旅游景點為吸引游客，推出團體購票優惠方案如下表：
購票人數 1~50 51~100 100以上
門票價格 13元/人 11元/人 9元/人
兩個旅游團隊計劃游覽該景點.若分別購票，則共需支付門票費1290元；若合并成個團隊購票，則需支付門票費990元，那么這兩個旅游團隊的人數之差為（ ）
A．20 B．30 C．35 D．40
11．（多選）某市出租車收費標準如下：起步價為8元，起步里程為3km（不超過3km按起步價付費）；超過3km但不超過8km時，超過部分按每千米2.15元收費：超過8km時，超過部分按每千米2.85元收費，另每次乘坐需付燃油附加費1元．下列結論正確的是（ ）
A．出租車行駛2km，乘客需付費8元
B．出租車行駛4km，乘客需付費9.6元
C．某人乘出租車行駛5km兩次的費用超過他乘出租車行駛10km一次的費用
D．某人乘坐一次出租車付費22.6元，則此次出租車行駛了9km
12．（多選）(多選)如圖①是反映某條公交線路收支差額(即營運所得票價收入與付出成本的差)y與乘客量x之間關系的圖象.由于目前該條公交線路虧損，公司有關人員提出了兩種調整的建議，如圖②③所示.
則下列說法中，正確的有（ ）
A．圖②的建議：提高成本，并提高票價B．圖②的建議：降低成本，并保持票價不變
C．圖③的建議：提高票價，并保持成本不變D．圖③的建議：提高票價，并降低成本
13．某汽車運輸公司購買了一批豪華大客車投入運營．據市場分析，
每輛客車營運的利潤與營運年數為二次函數關系（如圖），
則客車有營運利潤的時間不超過________年．
14.某建材商場國慶期間搞促銷活動，規定：如果顧客選購物品的總金額不超過600元，則不享受任何折扣優惠；如果顧客選購物品的總金額超過600元，則超過600元部分享受一定的折扣優惠，折扣優惠按下表累計計算.
某人在此商場購物獲得的折扣優惠金額為30元，則他實際所付金額為______元．
15.李莊村電費收取有以下兩種方案供農戶選擇：
方案一：每戶每月收管理費2元，月用電不超過30度每度0.5元，超過30度時，超過部分按每度0.6元.
方案二：不收管理費，每度0.58元.
（1）求方案一收費元與用電量（度）間的函數關系
（2）李剛家月用電量在什么范圍時，選擇方案一比選擇方案二更好？
16．如圖，建立平面直角坐標系，軸在地平面上，軸垂直于地平面，單位長度為1千米．某炮位于坐標原點．已知炮彈發射后的軌跡在方程表示的曲線上，其中與發射方向有關．炮的射程是指炮彈落地點的橫坐標．
（1）求炮的最大射程；
（2）設在第一象限有一飛行物（忽略其大小），其飛行高度為3.2千米，試問它的橫坐標不超過多少時，炮彈可以擊中它？請說明理由．

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