資源簡介

3.1.1函數的概念（第2課時）
【學習目標】
1.理解同一函數的概念.
2.會根據對應關系求函數值.
3.會求簡單函數的值域.
【教材知識梳理】
一．函數的三要素
由函數的定義可知，一個函數的構成要素為： 、 和 ．
二．同一函數
值域是由 和 決定的，如果兩個函數的定義域和 相同，我們就稱這兩個函數是同一函數．兩個函數如果僅對應關系相同，但定義域不同，則它們 相同的函數．
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(2)對于函數f(x)，f(1)與f(2)必定不相等．(　　)
(1)函數的定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了．(　　)
(3)f(x)＝2x＋1與g(t)＝2t＋1是相同的函數．(　　)
(4)兩個函數要相同，則其定義域必須相同．(　　)
【答案】
一．定義域 對應關系 值域
二．定義域 對應關系 對應關系 不是
概念辨析：1.(1)× 　(2)√ (3)√　(4)√
【教材例題變式】
（源于P65例2）例1.已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.
【答案】(1)∵f(x)＝，∴f(2)＝＝. 又∵g(x)＝x2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6.
(2)∵g(3)＝32＋2＝11，∴f(g(3))＝f(11)＝＝.
歸納：求函數值的方法
①已知f(x)的表達式時，只需用a替換表達式中的x即得f(a)的值．
②求f[g(a)]的值應遵循由里往外的原則．
（源于P66例3）例2.下列各組式子是否表示同一函數？為什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，u＝； (4)y＝，y＝x－3.
【答案】(1)f(x)與φ(t)的定義域相同，又φ(t)＝＝|t|，即f(x)與φ(t)的對應關系也相同，∴f(x)與φ(t)是同一函數．
(2)y＝的定義域為R，y＝()2的定義域為{x|x≥0}，兩者定義域不同，故y＝與y＝()2不是同一函數．
(3)y＝·的定義域為{x|－1≤x≤1}，u＝的定義域為{v|－1≤v≤1}，即兩者定義域相同．又∵y＝·＝，∴兩函數的對應關系也相同．故y＝·與u＝是同一函數．
(4)∵y＝＝|x－3|與y＝x－3的定義域相同，但對應關系不同，
∴y＝與y＝x－3不是同一函數．
歸納：判斷兩個函數是否相同的方法
兩個函數相同，一般要求它們的定義域、值域和對應關系都要相同，具體步驟為
注意：（1）在化簡解析式時，必須是等價變形.（2）函數是兩個數集之間的對應關系，所以用什么字母表示自變量、因變量是沒有限制的.
【教材拓展延伸】
例3.求下列函數的值域：
y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
（3）y＝； (4)y＝x＋.
【答案】（1）(觀察法)∵x∈{1,2,3,4,5}，分別代入求值，可得函數的值域為{2,3,4,5,6}．
（2）(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0,3)，可得函數的值域為[2,6)．
（3）(分離常數法)y＝＝＝2＋，顯然≠0，∴y≠2.
故函數的值域為(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(4)(換元法)設u＝，則x＝(u≥0)，∴y＝＋u＝(u≥0)
由u≥0知(u＋1)2≥1，∴y≥.∴函數y＝x＋的值域為.
歸納：求函數值域常用的方法
①觀察法：對于一些比較簡單的函數，其值域可通過觀察得到；
②配方法：當所給函數是二次函數或可化為二次函數處理的函數時，可利用配方法求其值域；
③分離常數法：此方法主要是針對有理分式，即將有理分式轉化為“反比例函數類”的形式，便于求值域；
④換元法：即運用新元代換，將所給函數化成值域易確定的函數，從而求得原函數的值域．對于f(x)＝ax＋b＋(其中a，b，c，d為常數，且a≠0)型的函數常用換元法．
【課外作業】
基礎過關
1．已知，則（ ）
A．15 B．21 C．3 D．0
【答案】D
【詳解】根據的解析式，有.故選：D.
2.下列函數與y＝|x|表示同一函數的是(　 　)
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【答案】C
【詳解】對于A，函數y＝()2的定義域為[0，＋∞)，與y＝|x|的定義域不同，不是同一函數；
對于B，函數y＝＝x，與y＝|x|的對應關系不同，不是同一函數；
對于C，函數y＝＝|x|的定義域為R，與y＝|x|的定義域相同，對應關系也相同，是同一函數；
對于D，函數y＝的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，與y＝|x|的定義域不同，不是同一函數．故選：C.
3.已知函數f(x)＝x＋，則f(2)＋f(－2)的值是(　 　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】B
【詳解】，故選：B.
4.函數f(x)＝(x∈R)的值域是(　 　)
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
【答案】B
【詳解】由于x∈R，所以x2＋1≥1，0<≤1，即05.下列函數中，對于定義域內的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的為（ ）
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．y＝|x|
【答案】A
【詳解】對于A選項，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．對于B選項，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．對于C選項，f(x＋1)＝，f(x)＋1＝＋1，不成立．對于D選項，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|，故選：A.
6.(多選)下列函數中，值域為(0，＋∞)的是(　 　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1
【答案】BC
【詳解】 y＝的值域為[0，＋∞)， y＝x2＋1的值域為[1，＋∞)．故選：BC.
7.設函數f(x)＝，若f(a)＝2，則實數a＝________.
【答案】－1
【詳解】由f(a)＝＝2，得a＝－1.
8．若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是_________.
【答案】
【詳解】二次函數對稱軸為，，所以定義域包含，所以，又，結合二次函數對稱性可知，所以的取值范圍是.
9.求下列函數的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝； (4)y＝x－.
【答案】(1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即值域為{3,5,7,9,11}．
(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.
∵x∈[1,5)，∴其圖象如圖所示，
當x＝2時，y＝2；當x＝5時，y＝11.∴所以值域為[2,11)．
(3)函數的定義域為{x|x≠1}，y＝＝－＝－5－，所以值域為{y|y≠－5}．
(4)要使函數式有意義，需x＋1≥0，即x≥－1，故函數的定義域為{x|x≥－1}．設t＝，
則x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝－，又t≥0，故y≥－，所以值域為{y|y≥－}.
能力提升
10．若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為，值域為的“孿生函數”共有（ ）
A．10個 B．9個 C．8個 D．4個
【答案】B
【詳解】由得：；由得：
所求“孿生函數”的定義域分別為：，，，，，，，， 共有個“孿生函數” 故選.
11．（多選）已知，，為大于0的常數，則的值域可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【詳解】因為，，
當時，的值域為，由二次函數的性質可得值域不可能是，
當且滿足時，的值域為，
無論取任何正實數，二次函數的最小值定小于，即值域不可能為，
故可得的值域可能為，，故選：AC.
12．（多選）高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，則函數的值域中含有下列那些元素（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【詳解】當時，當時，則.由，則，
此時 所以，則的值域為，故選：BC.
13.若函數y＝的值域為[0，＋∞)，則a的取值范圍是_____________．
【答案】 [3，＋∞)
【詳解】函數y＝的值域為[0，＋∞)，則函數f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.則，解得a≥3. 所以a的取值范圍是[3，＋∞)．
14．函數，，對，使成立，則實數的取值范圍是___________.
【答案】
【詳解】由題當時，因為,故，
又則.
又對，使成立，所以的值域包含的值域，
所以，解得，所以的取值范圍是. 故答案為：.
15．已知函數.
（1）若，求 的值域；
（2）若，當時最小值為，求的取值范圍.
【答案】(1)由題意，則，此時，在上單調遞增，值域為；
（2）因為，利用單調性和圖象可知：①；
②無解；③符合題意；
所以實數的取值范圍是.
16.已知函數f(x)＝.
(1)求f(2)與f()，f(3)與f()的值．
(2)由(1)中求得的結果，你能發現f(x)與f()有什么關系？并證明你的發現．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()的值．
【解析】(1)因為f(x)＝，所以f(2)＝，f()＝；f(3)＝，f()＝.
(2)由(1)中求得的結果，可猜測f(x)＋f()＝1.
證明如下：f(x)＋f()＝＋＝＋＝＋＝1.
(3)由(2)知f(x)＋f()＝1.所以f(2)＋f()＝1，f(3)＋f()＝1，…，
f(2 020)＋f()＝1.又f(1)＝＝，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()＝＋1＋1＋…＋1＝.3.1.1函數的概念（第2課時）
【學習目標】
1.理解同一函數的概念.
2.會根據對應關系求函數值.
3.會求簡單函數的值域.
【教材知識梳理】
一．函數的三要素
由函數的定義可知，一個函數的構成要素為： 、 和 ．
二．同一函數
值域是由 和 決定的，如果兩個函數的定義域和 相同，我們就稱這兩個函數是同一函數．兩個函數如果僅對應關系相同，但定義域不同，則它們 相同的函數．
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(2)對于函數f(x)，f(1)與f(2)必定不相等．(　　)
(1)函數的定義域和對應關系確定后，函數的值域也就確定了．(　　)
(3)f(x)＝2x＋1與g(t)＝2t＋1是相同的函數．(　　)
(4)兩個函數要相同，則其定義域必須相同．(　　)
【教材例題變式】
（源于P65例2）例1.已知f(x)＝(x∈R，且x≠－1)，g(x)＝x2＋2(x∈R).
(1)求f(2)，g(2)的值； (2)求f(g(3))的值.
（源于P66例3）例2.下列各組式子是否表示同一函數？為什么？
(1)f(x)＝|x|，φ(t)＝； (2)y＝，y＝()2；
(3)y＝·，u＝； (4)y＝，y＝x－3.
【教材拓展延伸】
例3.求下列函數的值域：
y＝x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； （2）y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
y＝； (4)y＝x＋.
【課外作業】
基礎過關
1．已知，則（ ）
A．15 B．21 C．3 D．0
2.下列函數與y＝|x|表示同一函數的是(　 　)
A．y＝()2 B．y＝ C．y＝ D．y＝
3.已知函數f(x)＝x＋，則f(2)＋f(－2)的值是(　 　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
4.函數f(x)＝(x∈R)的值域是(　 　)
A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]
5.下列函數中，對于定義域內的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的為（ ）
A．f(x)＝x＋1 B．f(x)＝－x2 C．f(x)＝ D．y＝|x|
6.(多選)下列函數中，值域為(0，＋∞)的是(　 　)
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝x2＋1
7.設函數f(x)＝，若f(a)＝2，則實數a＝________.
8．若函數的定義域為，值域為，則的取值范圍是_________.
9.求下列函數的值域：
(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；
(3)y＝； (4)y＝x－.
能力提升
10．若一系列函數的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數為“孿生函數”，那么函數解析式為，值域為的“孿生函數”共有（ ）
A．10個 B．9個 C．8個 D．4個
11．（多選）已知，，為大于0的常數，則的值域可能為（ ）
A． B． C． D．
12．（多選）高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過x的最大整數，則稱為高斯函數，例如：，.已知函數，則函數的值域中含有下列那些元素（ ）
A． B．0 C．1 D．2
13.若函數y＝的值域為[0，＋∞)，則a的取值范圍是_____________．
14．函數，，對，使成立，則實數的取值范圍是___________.
15．已知函數.
（1）若，求 的值域；
（2）若，當時最小值為，求的取值范圍.
16.已知函數f(x)＝.
(1)求f(2)與f()，f(3)與f()的值．
(2)由(1)中求得的結果，你能發現f(x)與f()有什么關系？并證明你的發現．
(3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 020)＋f()＋f()＋…＋f()的值．

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