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3.1.1函數的概念（第1課時）
【學習目標】
1.理解函數的概念；
2.會求函數的定義域；
2.了解區間的概念，能用“區間”表示某些集合．
【教材知識梳理】
函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的 ，如果對于集合A中的 ，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有 確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 ___________________的取值范圍
值域 與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
解讀：(1)當A，B為非空數集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數．
(2)集合A中的數具有任意性，集合B中的數具有唯一性．
(3)符號“f”表示對應關系，有三種常見的形式：①解析式；②圖象；③表格．
二．區間及有關概念
1.一般區間的表示.
設a，b∈R，且a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊區間的表示.
定義 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符號
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)根據函數的定義，定義域中的一個x可以對應著不同的y.(　　)
(2)函數的定義域有可能是空集．(　　)
(3)數集{x|x≥1}可用區間表示為[1，＋∞]．(　　)
(4)區間表示數集，但不是所有數集都能用區間表示．( )
【答案】
一．實數集 任意一個數x 唯一確定 x
二．1. [a，b] (a，b) 2.(－∞，＋∞) [a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)
概念辨析： (1)×　 (2)×　　(3)×　(4)√
【教材例題變式】
（源于P63例1）例1.構建一個問題情境，使其中變量關系能用解析式y＝5x2來描述，其中x＞0.
【答案】構建情境如下：長方形的長寬之比為5∶1，設寬為x，面積為y，那么y＝5x·x＝5x2.
其中x的取值范圍是{x|x＞0}，y的取值范圍是{y|y＞0}，對應關系f把每一個長方形的寬x，對應到唯一確定的面積5x2(答案不唯一).
【教材拓展延伸】
例2.下列對應為從集合A到集合B的一個函數的是______．(填序號)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
【答案】④ 解析：①中，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，②中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，對于③，集合A中負整數沒有意義．
例3．下列各圖中，不可能是函數圖象的是（ ）
A．B．C． D．
【答案】D
【解析】D選項，時每一個x的值都有兩個y值與之對應，不是函數圖象，其他選項均滿足函數的概念，是函數的圖象. 故選：D.
歸納：(1)判斷對應關系是否為函數的2個條件
①A、B必須是非空數集．②A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應．
(2)根據圖形判斷對應是否為函數的方法
①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內平行移動直線l，若l與圖形有且只有一個交點，則是函數；若在定義域內沒有交點或有兩個或兩個以上的交點，則不是函數．
例4.把下列數集用區間表示：
(1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1【答案】(1){x|x≥－2}用區間表示為[－2，＋∞)；
(2){x|x<0}用區間表示為(－∞，0)；
(3){x|－1歸納：用區間表示數集時的注意點
(1)區間是數集，區間的左端點小于右端點．(2)在用區間表示集合時，開和閉不能混淆．
例5.求下列函數的定義域．
(1)y＝2＋； (2)y＝； (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
【答案】(1)要使函數y＝2＋有意義，則x－2≠0，即x≠2，故定義域為{x|x≠2}．
(2)要使函數有意義，則x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，故定義域為{x|x≥3或x≤－1}．
(3)要使函數有意義，則解得1≤x≤3，故定義域為{x|1≤x≤3}．
(4)要使函數有意義，則解得x>－1，且x≠1，故定義域為{x|x>－1且x≠1}．
例6．已知矩形的周長為定值，設它的一條邊長為，則矩形面積的函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】邊長為，另一條邊長為，得，所以，故選：D.
歸納：求具體函數的定義域，只需保證函數解析式有意義即可，常見的幾種要求是
(1)若f(x)是分式，則應考慮使分母不為零．
(2)若f(x)是偶次根式，則被開方數大于或等于零．
(3)若f(x)是由幾個式子構成的，則函數的定義域是幾個部分定義域的交集．
(4)若f(x)是實際情境的解析式，則應符合實際情境，使其有意義．
例7.(1) 已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求函數f(2x＋1)的定義域．
(2)函數f(2x＋1)的定義域為[1,3]，求函數f(x)的定義域．
(3)已知函數y＝f(2x－3)的定義域是[－2，3]，求函數y＝f(x＋2)的定義域.
【答案】(1)因為函數f(x)的定義域為[1,3]，即x∈[1,3]，函數f(2x＋1)中2x＋1的范圍與函數f(x)中x的范圍相同，所以2x＋1∈[1,3]，所以x∈[0,1]，即函數f(2x＋1)的定義域是[0,1]．
(2)因為x∈[1,3]，所以2x＋1∈[3,7]，即函數f(x)的定義域是[3,7]．
(3)因為x∈[－2，3]，所以2x－3∈[－7，3]，即函數y＝f(x)的定義域為[－7，3].
令－7≤x＋2≤3，解得－9≤x≤1，所以函數y＝f(x＋2)的定義域為[－9，1].
歸納：求抽象函數的定義域的關鍵需明確
①定義域是指單個的x的取值范圍；②f的作用范圍（即括號內式子的取值范圍）相同.
具體題型有：
(1)已知f(x)的定義域，求f(g(x))的定義域：若f(x)的定義域為[a，b]，則f(g(x))中a≤g(x)≤b，從中解得x的取值范圍即為f(g(x))的定義域.
(2)已知f(g(x))的定義域，求f(x)的定義域：若f(g(x))的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為f(x)的定義域.
(3)已知f(g(x))的定義域，求f(h(x))的定義域：若f(g(x))的定義域為[a，b]，即a≤x≤b，求得g(x)的取值范圍，g(x)的值域即為h(x)的取值范圍，再從h(x)的取值范圍中解出x的取值范圍，就是f(h(x))的定義域.
【課外作業】
基礎過關
1．區間等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】區間表示由的實數組成的集合.故選：C.
2.函數的定義域為（ ）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【詳解】由函數解析式有意義可得且所以函數的定義域是且，
故選：A.
3．1859年中國清朝數學家李善蘭在翻譯《代數學》中首次將“function”翻譯成“函數”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數定義.現給出下列四個對應關系，請由函數的定義判斷，其中能構成從A到B的函數的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
【答案】A
【詳解】函數的定義中滿足“集合A中的任意一個數，在集合B中都有唯一確定的數與它對應”，結合定義容易判斷①④為從A到B的函數. 故選:A.
4．下列圖象中不能表示函數的圖象的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【詳解】由函數的概念：一個自變量，不能對應兩個函數值，
對于選項D，時，對于一個自變量有兩個函數值與之對應，這與函數的概念矛盾，
故選：D.
5．已知等腰三角形的周長為40，設其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題知：，，
根據三角形三邊關系得到，所以函數的定義域為.
故選：A.
6．（多選）已知集合，集合，則下列對應關系中，可看作是從到的函數關系的是（ ）
A．： B．：
C．： D．：
【答案】ABC
【詳解】根據函數定義可得中的每一個元素在中找到唯一與之對應的元素，
若，則，故A正確，若，則，故B正確，
若，則，故C正確，若，則不是集合B的子集，
故D錯誤，故選：ABC.
7．用區間表示下列集合.
（1）___________；（2）___________.
【答案】
【詳解】由區間的概念及表示可得：（1）；（2）.
8．已知函數的定義域為，則函數的定義域為___________.
【答案】
【詳解】因為函數的定義域為，對于函數，有，即，解得或.
因此，函數的定義域為.故答案為：.
9.（1）求函數的定義域．
（2）已知等腰三角形的周長為40，設其底邊長為ycm，腰長為xcm. 求函數的定義域.
【答案】（1）要使函數有意義，須滿足，解得且，
故函數的定義域為．
（2）由題知：，，
根據三角形三邊關系得到，故函數的定義域為.
能力提升
10.函數y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點個數有(　　)
A．必有一個 B．一個或兩個 C．至多一個 D．可能兩個以上
【答案】 C
【詳解】當a在f(x)定義域內時，有一個交點，否則無交點．故選C.
11. (多選)下列的選項中正確的是(　　)
A.函數就是定義域到值域的對應關系
B.若函數的定義域只含有一個元素，則值域也只有一個元素
C.因f(x)＝5(x∈R)，這個函數值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)＝5也成立
D.定義域和對應關系確定后，函數值域也就確定了
【答案】BCD
【詳解】由函數的概念可知，A不正確，其余三個選項都正確．故選BCD.
12．（多選）下列對應法則滿足函數定義的有（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】對A：令，則或，
∴對于自變量對應兩個函數值、，A錯誤；
對B：令，則，，
∴對于自變量對應唯一的函數值，B正確；
對C：令，則或，∴對于自變量對應兩個函數值、，C錯誤；
對D：令，即，則，即，
∴對于自變量對應唯一的函數值，D正確； 故選：BD.
13.已知全集U＝R，A＝{x|1【答案】(－∞，1]∪(3，＋∞)
【詳解】 UA＝{x|x≤1或x>3}，用區間可表示為(－∞，1]∪(3，＋∞).
14.若函數f(x)的定義域是[0,1]，則函數f(2x)＋的定義域為________．
【答案】
【詳解】由得0≤x≤，所以函數f(2x)＋的定義域為.
15．已知函數的定義域為R，求實數k的取值范圍．
【答案】
【詳解】由題設可得在R上恒成立，
故或，故，故答案為：.
16．設函數的定義域為．
(1)求函數的定義域；
(2)設，求函數的定義域．
【答案】(1)因為函數的定義域為，所以，解得，
所以函數的定義域為；
(2)因為函數的定義域為，所以，即，
當或，即時，不等式組無解，即函數的定義域為空集，
當時，定義域是，當，定義域是．3.1.1函數的概念（第1課時）
【學習目標】
1.理解函數的概念；
2.會求函數的定義域；
2.了解區間的概念，能用“區間”表示某些集合．
【教材知識梳理】
函數的概念
概念 一般地，設A，B是非空的 ，如果對于集合A中的 ，按照某種確定的對應關系f，在集合B中都有 確定的數y和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數.
三要素 對應關系 y＝f(x)，x∈A
定義域 ___________________的取值范圍
值域 與x的值相對應的y的值的集合{f(x)|x∈A}
解讀：(1)當A，B為非空數集時，符號“f：A→B”表示A到B的一個函數．
(2)集合A中的數具有任意性，集合B中的數具有唯一性．
(3)符號“f”表示對應關系，有三種常見的形式：①解析式；②圖象；③表格．
二．區間及有關概念
1.一般區間的表示.
設a，b∈R，且a定義 名稱 符號 數軸表示
{x|a≤x≤b} 閉區間
{x|a{x|a≤x{x|a2.特殊區間的表示.
定義 R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x符號
概念辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)根據函數的定義，定義域中的一個x可以對應著不同的y.(　　)
(2)函數的定義域有可能是空集．(　　)
(3)數集{x|x≥1}可用區間表示為[1，＋∞]．(　　)
(4)區間表示數集，但不是所有數集都能用區間表示．( )
【教材例題變式】
（源于P63例1）例1.構建一個問題情境，使其中變量關系能用解析式y＝5x2來描述，其中x＞0.
【教材拓展延伸】
例2.下列對應為從集合A到集合B的一個函數的是______．(填序號)
①A＝R，B＝{x|x>0}，f：x→y＝|x|； ②A＝Z，B＝N*，f：x→y＝x2；
③A＝Z，B＝Z，f：x→y＝； ④A＝[－1,1]，B＝{0}，f：x→y＝0.
例3．下列各圖中，不可能是函數圖象的是（ ）
A．B．C． D．
例4.把下列數集用區間表示：
(1){x|x≥－2}； (2){x|x<0}； (3){x|－1例5.求下列函數的定義域．
(1)y＝2＋； (2)y＝； (3)y＝·； (4)y＝(x－1)0＋.
例6．已知矩形的周長為定值，設它的一條邊長為，則矩形面積的函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
例7.(1) 已知函數f(x)的定義域為[1,3]，求函數f(2x＋1)的定義域．
(2)函數f(2x＋1)的定義域為[1,3]，求函數f(x)的定義域．
(3)已知函數y＝f(2x－3)的定義域是[－2，3]，求函數y＝f(x＋2)的定義域.
【課外作業】
基礎過關
1．區間等于（ ）
A． B． C． D．
2.函數的定義域為（ ）
A．且 B．
C．且 D．
3．1859年中國清朝數學家李善蘭在翻譯《代數學》中首次將“function”翻譯成“函數”，沿用至今，書中解釋說“凡此變數中函彼變數者，則此為彼之函數”，1930年美國人給出了我們課本中所學的集合論的函數定義.現給出下列四個對應關系，請由函數的定義判斷，其中能構成從A到B的函數的是（ ）
A．①④ B．①② C．①②④ D．①③④
4．下列圖象中不能表示函數的圖象的是（ ）
A． B．C． D．
5．已知等腰三角形的周長為40，設其底邊長為ycm，腰長為xcm.則函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）已知集合，集合，則下列對應關系中，可看作是從到的函數關系的是（ ）
A．： B．：
C．： D．：
7．用區間表示下列集合.
（1）___________；（2）___________.
8．已知函數的定義域為，則函數的定義域為___________.
9.（1）求函數的定義域．
（2）已知等腰三角形的周長為40，設其底邊長為ycm，腰長為xcm. 求函數的定義域.
能力提升
10.函數y＝f(x)的圖象與直線x＝a的交點個數有(　　)
A．必有一個 B．一個或兩個 C．至多一個 D．可能兩個以上
11. (多選)下列的選項中正確的是(　　)
A.函數就是定義域到值域的對應關系
B.若函數的定義域只含有一個元素，則值域也只有一個元素
C.因f(x)＝5(x∈R)，這個函數值不隨x的變化范圍而變化，所以f(0)＝5也成立
D.定義域和對應關系確定后，函數值域也就確定了
12．（多選）下列對應法則滿足函數定義的有（ ）
A． B． C． D．
13.已知全集U＝R，A＝{x|114.若函數f(x)的定義域是[0,1]，則函數f(2x)＋的定義域為________．
15．已知函數的定義域為R，求實數k的取值范圍．
16．設函數的定義域為．
(1)求函數的定義域；
(2)設，求函數的定義域．

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