資源簡(jiǎn)介

3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（第1課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解單調(diào)遞增、增函數(shù)、單調(diào)遞減、減函數(shù)的定義．
2.掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟．
3.掌握已學(xué)的基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【教材知識(shí)梳理】
一．單調(diào)遞增與增函數(shù)、單調(diào)遞減與減函數(shù)的定義
條件 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I：如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)
都有 都有
結(jié)論 那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上______ 特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞增時(shí)，就稱它是_________. 那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是______特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞減時(shí)，就稱它是_________.
圖示
解讀：1.在單調(diào)性的定義中，特別注意條件中x1，x2的任意性.
2.單調(diào)性刻畫了區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量大小與函數(shù)值大小之間的聯(lián)系.
3.設(shè)x1，x2∈D，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增與下列條件都等價(jià)（遞減類似）.
①對(duì)任意x1②對(duì)任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
③對(duì)任意x1、x2都有 >0.
二．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上____________，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的_____________.
解讀：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，即單調(diào)區(qū)間必定是定義域的子區(qū)間，單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)．
三．基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
函數(shù) 條件 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間
正比例函數(shù)(y＝kx，k≠0)與 一次函數(shù)(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 無(wú)
k＜0 無(wú) R
反比例函數(shù)(y＝，k≠0) k＞0 無(wú) ____________
k＜0 ___________ 無(wú)
二次函數(shù)(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
（1）因?yàn)閒(－1)（2）一個(gè)函數(shù)可以有無(wú)數(shù)多個(gè)單調(diào)區(qū)間.（ ）
（3）一次函數(shù)y＝kx＋b在定義域R上具有單調(diào)性.（ ）
（4）函數(shù)y＝在定義域上是減函數(shù).（ ）
（5）任意一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，都有單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.（ ）
【教材例題變式】
（源于P78例1）例1．已知函數(shù)，其中，試討論的單調(diào)性.
（源于P78例2）例2．已知函數(shù)，其中.
（1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？（2）它在定義域Ⅰ上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論.
（源于P78例3）例3.已知函數(shù)，用定義法證明：函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)．
【教材拓展延伸】
例4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)y＝|x2－2x－3|．
例5.函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
例6.（1）若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍____________.
（2）已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1．若函數(shù)，在其定義域上是增函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
2．下列四個(gè)函數(shù)在是增函數(shù)的為（　　）
A． B．
C． D．
3．函數(shù)在是增函數(shù)，若，則有 （ ）
A． B．
C． D．
4．若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上（ ）
A．一定是增函數(shù) B．沒(méi)有單調(diào)性
C．不可能是減函數(shù) D．存在減區(qū)間
5．已知函數(shù)，若對(duì)任意，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6.(多選)如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，則下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0
7．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則=________.
8．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是____________.
9．已知函數(shù)．試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.
能力提升
10．已知對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
11．（多選）函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
12．（多選）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
13．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
14．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.
15.試根據(jù)單調(diào)性定義，討論函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性.
16．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)若在上的單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．3.2.1單調(diào)性與最大（小）值（第1課時(shí)）
【學(xué)習(xí)目標(biāo)】
1.理解單調(diào)遞增、增函數(shù)、單調(diào)遞減、減函數(shù)的定義．
2.掌握定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟．
3.掌握已學(xué)的基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
【教材知識(shí)梳理】
一．單調(diào)遞增與增函數(shù)、單調(diào)遞減與減函數(shù)的定義
條件 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D I：如果 x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)
都有 都有
結(jié)論 那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上______ 特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞增時(shí)，就稱它是_________. 那么就稱函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是______特別地，當(dāng)函數(shù)f(x)在其定義域上單調(diào)遞減時(shí)，就稱它是_________.
圖示
解讀：1.在單調(diào)性的定義中，特別注意條件中x1，x2的任意性.
2.單調(diào)性刻畫了區(qū)間D上任意兩個(gè)自變量大小與函數(shù)值大小之間的聯(lián)系.
3.設(shè)x1，x2∈D，則函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增與下列條件都等價(jià)（遞減類似）.
①對(duì)任意x1②對(duì)任意x1，x2，都有[f(x1)－f(x2)](x1－x2)>0；
③對(duì)任意x1、x2都有 >0.
二．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上____________，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的_____________.
解讀：函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間而言的，即單調(diào)區(qū)間必定是定義域的子區(qū)間，單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)．
三．基本初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
函數(shù) 條件 單調(diào)遞增區(qū)間 單調(diào)遞減區(qū)間
正比例函數(shù)(y＝kx，k≠0)與 一次函數(shù)(y＝kx＋b，k≠0) k＞0 R 無(wú)
k＜0 無(wú) R
反比例函數(shù)(y＝，k≠0) k＞0 無(wú) ____________
k＜0 ___________ 無(wú)
二次函數(shù)(y＝ax2＋bx＋c，a≠0) a＞0 [－，＋∞) (－∞，－]
a＜0 (－∞，－] [－，＋∞)
概念辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
（1）因?yàn)閒(－1)（2）一個(gè)函數(shù)可以有無(wú)數(shù)多個(gè)單調(diào)區(qū)間.（ ）
（3）一次函數(shù)y＝kx＋b在定義域R上具有單調(diào)性.（ ）
（4）函數(shù)y＝在定義域上是減函數(shù).（ ）
（5）任意一個(gè)二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c，都有單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間.（ ）
【答案】
一．f(x1)＜f(x2)；單調(diào)遞增；增函數(shù)；f(x1)＞f(x2)；單調(diào)遞減；減函數(shù)。
二．單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；單調(diào)區(qū)間
概念辨析 (1) × (2) √ (3) √ (4)× （5） √
【教材例題變式】
（源于P78例1）例1．已知函數(shù)，其中，試討論的單調(diào)性.
【答案】當(dāng)時(shí)，，顯然在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，的圖象是開(kāi)口向下的拋物線，對(duì)稱軸為，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
（源于P78例2）例2．已知函數(shù)，其中.
（1）這個(gè)函數(shù)的定義域I是什么？
（2）它在定義域Ⅰ上的單調(diào)性是怎樣的？證明你的結(jié)論.
【答案】（1）定義域?yàn)?
（2）當(dāng)時(shí)，在，上都是減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，在，上都是增函數(shù).
證明如下：當(dāng)時(shí)，且，則.
，，..，即.
∴當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，類似地，可以證明其他三種情況.
（源于P78例3）例3.已知函數(shù)，用定義法證明：函數(shù)是區(qū)間上的減函數(shù)．
【答案】在定義域內(nèi)任取，，并且，
則,
因?yàn)椋裕?br/>故，即．所以函數(shù)是區(qū)間上的嚴(yán)格減函數(shù)．
歸納：利用定義證明（判斷）函數(shù)單調(diào)性的步驟
1.取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x12.作差：作差fx1－fx2，
3.變形：將fx1－fx2通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.
4.定號(hào)：確定fx1－fx2的符號(hào).
5.結(jié)論：根據(jù)fx1－fx2的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.
【教材拓展延伸】
例4.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性．
(1)f(x)＝－； (2)f(x)＝ (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3；(4)y＝|x2－2x－3|．
【答案】(1)函數(shù)f(x)＝－在區(qū)間(－∞，0)上遞增，在區(qū)間(0，＋∞)上遞增．
(2)函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是單調(diào)遞減，在[1，＋∞)上單調(diào)遞增．
(3)因?yàn)閒(x)＝－x2＋2|x|＋3＝
根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，
函數(shù)f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上單調(diào)遞增，在(－1,0)，[1，＋∞)上單調(diào)遞減．
(4)先畫出的圖象，如圖．
所以y＝|x2－2x－3|在區(qū)間(－∞，－1]和[1,3]單調(diào)遞減，在區(qū)間[－1,1]和[3，＋∞)上單調(diào)遞增．
歸納：
1.求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法：(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數(shù)的圖象，即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間．
2．若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“和”或“，”連接，不能用“∪”連接.　
例5.函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2，
(1)若函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
【答案】(1)－3　(2)(－∞， －3]
【詳解】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，4]，且函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1－a，所以有1－a＝4，即a＝－3.故應(yīng)填－3.
(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間(－∞，4]上單調(diào)遞減，且函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1－a，所以1－a≥4，即a≤－3.故應(yīng)填(－∞，－3]．
歸納：已知函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)中參數(shù)的取值范圍的一般方法
(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，通過(guò)與已知單調(diào)區(qū)間比較，求參數(shù)的取值范圍．
(2)運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性的定義建立關(guān)于參數(shù)的不等式(組)，解不等式(組)求出參數(shù)的取值范圍，即將函數(shù)值之間的不等關(guān)系與自變量間的不等關(guān)系進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
注意：“函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(a，b)”與“函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增”是不同的，后者意味著區(qū)間(a，b)是函數(shù)f(x)的增區(qū)間的一個(gè)子集．
例6.（1）若函數(shù)與在區(qū)間上都是減函數(shù)，則的取值范圍____________.
（2）已知函數(shù)f(x)＝若函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．
【答案】（1） （2）[7，＋∞)
【詳解】（1）對(duì)于，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為
若函數(shù)在區(qū)間上都是減函數(shù)，則區(qū)間在對(duì)稱軸的右側(cè)，所以可得：；
對(duì)于，其相當(dāng)于將的圖象向左平移1個(gè)單位，得到如下函數(shù)圖像：
此時(shí)可以判斷，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在第一象限為單調(diào)遞減，而在單調(diào)遞減，故的取值范圍是.
（2）令g(x)＝2－，h(x)＝x2＋2ax－3a＋3.
顯然，函數(shù)g(x)＝2－在(1，＋∞)上遞增，且g(x)>2－＝－2；
函數(shù)h(x)＝x2＋2ax－3a＋3在[－a,1]上遞增，且h(1)＝4－a，
故若函數(shù)f(x)在[－7，＋∞)上為增函數(shù)，則
即∴a≥7， ∴a的取值范圍為[7，＋∞)．
【課外作業(yè)】
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1．若函數(shù)，在其定義域上是增函數(shù)，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)可得，解得.故選：A.
2．下列四個(gè)函數(shù)在是增函數(shù)的為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【詳解】對(duì)于A，二次函數(shù)開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為軸，在是減函數(shù)，故A不對(duì)．
對(duì)于B，為一次函數(shù)，，在是減函數(shù)，故B不對(duì)．
對(duì)于C，，二次函數(shù)，開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為，在是增函數(shù)，故C不對(duì)．
對(duì)于D，為反比例類型，，在是增函數(shù)，故D對(duì)．
故選：D.
3．函數(shù)在是增函數(shù)，若，則有 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】，又函數(shù)在上是增函數(shù)，故 故選：C.
4．若函數(shù)在區(qū)間和上均為增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上（ ）
A．一定是增函數(shù) B．沒(méi)有單調(diào)性
C．不可能是減函數(shù) D．存在減區(qū)間
【答案】C
【詳解】因?yàn)樵趨^(qū)間和上均為增函數(shù)，對(duì)于A，符合條件的圖象如圖所示，
，故選：C.
5．已知函數(shù)，若對(duì)任意，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】對(duì)任意，且，有，所以在遞增，
當(dāng)時(shí)，顯然單調(diào)遞減，不滿足題意，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為二次函數(shù)，
故其開(kāi)口向上，且對(duì)稱軸在區(qū)間的左側(cè)，即，解得. 故選：D.
6.(多選)如果函數(shù)f(x)在[a，b]上是增函數(shù)，那么對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列結(jié)論中正確的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0 C．f(a)0
【答案】ABD
解析：因?yàn)閒(x)在[a，b]上是增函數(shù)，對(duì)于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，x1－x2與f(x1)－f(x2)的符號(hào)相同，故A，B，D都正確，而C中應(yīng)為若x17．若函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則=________.
【答案】
【詳解】由題可知要使函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，則，解得．
8．已知函數(shù)是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是____________.
【答案】
【詳解】因函數(shù)是R上的增函數(shù)，則，解得，
所以a的取值范圍是：.
9．已知函數(shù)．試判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性定義證明.
【答案】在區(qū)間上單調(diào)遞減，證明如下：
設(shè)，則
∵，∴，，，
∴，∴ 所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．
能力提升
10．已知對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)，且，恒成立，設(shè)，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以.故選：D.
11．（多選）函數(shù)與函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】AB
【詳解】，函數(shù)是由向上平移個(gè)單位，向左平移個(gè)單位.
根據(jù)圖像知，
當(dāng)時(shí)，AC滿足一次函數(shù)圖像，C不滿足反比例函數(shù)圖像；
當(dāng)時(shí)，BD 滿足一次函數(shù)圖像，D不滿足反比例函數(shù)圖像；
故選：AB.
12．（多選）已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，的取值可以是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【詳解】在上單調(diào)遞增,則滿足:，即，
故，滿足，，滿足， 故選:AC.
13．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.
【答案】
【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，則a＝0符合題意；
當(dāng) 時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，又在上單調(diào)遞增，
由二次函數(shù)的性質(zhì)知， ，解得.
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
5．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是__________.
【答案】
【詳解】，函數(shù)圖象如圖所示，
由圖可知函數(shù)的遞減區(qū)間為.
15.試根據(jù)單調(diào)性定義，討論函數(shù)，在區(qū)間上的單調(diào)性.
【答案】設(shè)，且，,
∵，∴
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，即，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以，當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.
16．已知函數(shù)．
(1)當(dāng)，用單調(diào)性定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；
(2)若在上的單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【答案】（1）任取，則，
又，∴，，，∴，
∴，∴在上單調(diào)遞增；
（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，滿足在上的單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí)，證明在上單調(diào)遞增.
任取，，且，
則，
又，∴，，∴，∴，∴在上單調(diào)遞增，
∴若在上的單調(diào)遞增，則，即.
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍為.

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