資源簡(jiǎn)介 全國(guó)知名重點(diǎn)中學(xué)優(yōu)秀綜合題選編1.(華中師大一附中)1設(shè) f (x) = px--2 ln x,且 f (e) = qe--2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))(I) 求 p 與 q 的關(guān)系;(II) 若 f (x) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求 p 的取值范圍;(III) 設(shè) g(x) = ,若在 [1,e] 上至少存在一點(diǎn)x0,使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.2.如圖,曲線 y = 上的點(diǎn) Pi(ti2,ti)(i = 1,2,…,n,…)與 x 軸正半軸上的點(diǎn) Qi 及原點(diǎn) 構(gòu)成一系列正△PiQi-1Qi(Q0與O重合),記 an = | QnQn-1 |(I) 求 a1的值;(II) 求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式 an(III) 設(shè) Sn為數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) (∈[0,1],總存在自然數(shù) k,當(dāng) n≥k時(shí),3Sn-3n + 2≥(1-() (3an-1) 恒成立,求 k 的最小值.1. 解:(I) 由題意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2 ………… 1分 ( (p-q) (e + ) = 0 ………… 2分而 e + ≠0∴ p = q ………… 3分(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x f’(x) = p + -= ………… 4分令 h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定義域 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 h(x) 在 (0,+() 內(nèi)滿足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分① 當(dāng) p = 0時(shí), h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f’(x) = - < 0,∴ f (x) 在 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)遞減,故 p = 0適合題意. ………… 6分② 當(dāng) p > 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為 x = ∈(0,+(),∴ h(x)min = p-只需 p-≥1,即 p≥1 時(shí) h(x)≥0,f’(x)≥0∴ f (x) 在 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)遞增,故 p≥1適合題意. ………… 7分③ 當(dāng) p < 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開口向下的拋物線,對(duì)稱軸為 x = ( (0,+()只需 h(0)≤0,即 p≤0時(shí) h(x)≤0在 (0,+() 恒成立.故 p < 0適合題意. ………… 8分綜上可得,p≥1或 p≤0 ………… 9分另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x f’(x) = p + -= p (1 + )- ………… 4分要使 f (x) 在其定義域 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 f’(x) 在 (0,+() 內(nèi)滿足:f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. ………… 5分由 f’(x)≥0 ( p (1 + )-≥0 ( p≥ ( p≥()max,x > 0∵ ≤ = 1,且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立,故 ()max = 1∴ p≥1 ………… 7分由 f’(x)≤0 ( p (1 + )-≤0 ( p≤ ( p≤()min,x > 0而 > 0 且 x → 0 時(shí),→ 0,故 p≤0 ………… 8分綜上可得,p≥1或 p≤0 ………… 9分(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)∴ x = e 時(shí),g(x)min = 2,x = 1 時(shí),g(x)max = 2e即 g(x) ( [2,2e] ………… 10分① p≤0 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 ( f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合題意。 …… 11分② 0 < p < 1 時(shí),由x ( [1,e] ( x-≥0∴ f (x) = p (x-)-2ln x≤x--2ln x右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式,故在 [1,e] 遞增∴ f (x)≤x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2,不合題意。 ………… 12分③ p≥1 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增,f (1) = 0 < 2,又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)∴ 本命題 ( f (x)max > g(x)min = 2,x ( [1,e] ( f (x)max = f (e) = p (e-)-2ln e > 2 ( p > ………… 13分綜上,p 的取值范圍是 (,+() ………… 14分2.解:(I) 由 P1(t12,t1)(t > 0), ………… 1分得 kOP1 = = tan = ( t1 = ………… 2分∴ P1(,) ………… 3分a1 = | Q1Q0 | = | OQ | = | OP1 | = ………… 4分(II) 設(shè) Pn(tn2,tn),得直線 PnQn-1的方程為:y-tn = (x-tn2) ………… 5分可得 Qn-1(tn2-,0) ………… 6分直線 PnQn的方程為:y-tn = -(x-tn2),可得 Qn(tn2 + ,0) ………… 7分所以也有 Qn-1(tn-12 + ,0),得 tn2-= tn-12 + ,由 tn > 0,得 tn-tn-1 = ∴ tn = t1 + (n-1) = n ………… 8分∴ Qn(n(n + 1),0),Qn-1(n(n-1),0)∴ an = | QnQn-1 | = n ………… 9分(III) 由已知對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí) (∈[0,1] 時(shí) n 2-2n + 2≥(1-() (2n-1) 恒成立 ( 對(duì)任意實(shí)數(shù) (∈[0,1] 時(shí),(2n-1)( + n 2-4n + 3≥0 恒成立 ………… 10分則令 f (() = (2n-1)( + n 2-4n + 3,則 f (() 是關(guān)于 ( 的一次函數(shù).對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí) (∈[0,1] 時(shí) n 2-2n + 2≥(1-()(2n-1) 恒成立 ( 對(duì)任意實(shí)數(shù) (∈[0,1] 時(shí) ………… 11分 ( ………… 12分 ( n≥3或n≤1 ………… 13分又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值為3 ………… 14分2. (江蘇省南菁高級(jí)中學(xué)) 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.(1)若f(x)在x=1時(shí),有極值-1,求b、c的值;(2)當(dāng)b為非零實(shí)數(shù)時(shí),證明f(x)的圖像不存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線;(3)記函數(shù)| f ' (x)|(-1≤x≤1)的最大值為M,求證:M≥. 解:Ⅰ)∵f’ (x)=3x2+2bx+c,由f(x)在x=1時(shí),有極值-1得 即解得 (3分)當(dāng)b=1,c=-5時(shí), f’ (x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1),當(dāng)x>1時(shí),f’ (x)>0,當(dāng)-<x<1時(shí),f′(x)<0.從而符合在x=1時(shí),f(x)有極值,∴ (4分) (Ⅱ)假設(shè)f(x)圖像在x=t處的切線與直線(b2-c)x+y+1=0平行,∵f’ (t)=3t2+2bt+c,直線(b2-c)x+y+1=0的斜率為c-b2,∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分)即3t2+2bt+b2=0.∵Δ=4(b2-3b2)=-8b2,又∵b≠0, ∴Δ<0.從而方程3t2+2bt+b2=0無(wú)解,因此不存在t,使f’ (t)=c-b2,卻f(x)的圖像不存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線. (9分) (Ⅲ)證法一:∵| f’ (x)|=|3(x+)2+c-|,①若|-|>1,則M應(yīng)是| f’ (-1)|和| f’ (1)|中最大的一個(gè),∴2M≥|f’ (-1)|+| f’ (1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,∴M>6,從而M≥. (11分)②當(dāng)-3≤b≤0時(shí),2M≥| f’ (-1)|+| f’ (-)|=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=| (b-3)2|≥3,所以M≥. (13分)③當(dāng)0<b≤3時(shí),2M≥| f’ (1)|+| f’ (-)|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|=|(b+3)2|>3,∴M≥.綜上所述,M≥. (15分)證法二:f’ (x)=3x2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-,),①若|-|>1,則M應(yīng)是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一個(gè),∴2M≥| f’ (-1)|+| f’ (1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12,∴M>6,從而M≥. (11分)②若|-|≤1,則M是| f’ (-1)|、| f’ (1)|、||中最大的一個(gè).(i)當(dāng)c≥-時(shí),2M≥| f’ (1)|+| f’ (-1)|≥| f’ (1)|+f’ (-1)|=|6+2c|≥3,∴M≥.(2)當(dāng)c<-時(shí),M≥||=-c≥-c>,綜上所述,M≥成立. (15分)證法三:∵M(jìn)是| f’ (x)|,x∈[-1,1]的最大值,∴M≥| f’ (0)|,M≥| f’ (1)|,M≥| f’ (-1) |. (11分)∴4M≥2| f’ (0)|+| f’ (1)|+| f’ (-1)|≥| f’ (1)+f’ (-1)-3(2007屆江蘇九大名校第二次聯(lián)考)1.已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).(1)求證:{an+1+2an}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(3)設(shè)3nbn=n(3n-an),且|b1|+|b2|+…+|bn|<m對(duì)于n∈N*恒成立,求m的取值范圍.2.已知函數(shù),,的最小值恰好是方程的三個(gè)根,其中.(1)求證:;(2)設(shè),是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).若,求函數(shù)的解析式.1.(1)由an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2) ∵a1=5,a2=5 ∴a2+2a1=15故數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列………………5分 (2)由(1)得an+1+2an=5·3n由待定系數(shù)法可得(an+1-3n+1)=-2(an-3n) 即an-3n=2(-2)n-1故an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n…………………………………………10分 (3)由3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴bn=n(-)n 令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=+2()2+3()3+…+n()n Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1…………12分得Sn=+()2+()3+…+()n-n()n+1=-n()n+1=2[1-()n]-n()n+1∴ Sn=6[1-()n]-3n()n+1<6要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m對(duì)于n∈N*恒成立只須m≥6………………………………………………………………16分2.解:(1)三個(gè)函數(shù)的最小值依次為,,,………………………2分由,得 ∴,故方程的兩根是,.故,.……………………………5分,即∴ . ………………………………………………………………………7分(2)①依題意是方程的根,故有,,且△,得.由…………………………10分 ;得,,.由(1)知,故,∴ ,∴ .………………………………………………14分4(寶雞中學(xué)) 1.過點(diǎn)P(2,4)的直線與雙曲線C:交于A、B兩點(diǎn),且⑴求直線的方程;⑵若過P的另一直線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn),且,則∠ACD=∠ABD一定成立嗎?證明你的結(jié)論.⑶過線段AB上的點(diǎn)作曲線的切線,求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.2. 已知函數(shù).⑴求函數(shù)的定義域和極值;⑵若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.⑶函數(shù)的圖象是否為中心對(duì)稱圖形?若是請(qǐng)指出對(duì)稱中心,并證明;若不是,請(qǐng)說明理由.1.解: ⑴由題意,設(shè)直線的方程為則由得………………………………①②設(shè)A,B,由知P為AB中點(diǎn),所以得所以直線的方程為;⑵∠ACD=∠ABD一定成立。由得,A(-2,0)、B(6,8)再由點(diǎn)P(2,4)和直線得:聯(lián)立方程組得C(-6+,12-)D(-6-,12+)所以即,由對(duì)稱性可知,。所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,所以∠ACD=∠ABD。⑶由得,設(shè)為曲線上一點(diǎn),過的切線方程為,即,與方程聯(lián)立得,解得故2.解: ⑴函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,2)∪(4,+∞),由得:或,所以(-∞,0)0(0,2)(4,6)6(6,+∞)+0--0+↗極大值↘↘極小值↗⑵由⑴知或所以或⑶由⑴知函數(shù)的圖象若是中心對(duì)稱圖形,則中心一定在兩極值點(diǎn)的中心(3, ),下面證明:設(shè)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn),則是它關(guān)于(3, )的對(duì)稱點(diǎn),而,即也在函數(shù)的圖象上.所以函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,其中心是(3, )5.(寧夏銀川一中)f(x)=4x+ax2-x3在[-1,1]上是增函數(shù) (1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A; (2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x3兩非零實(shí)根為x1,x2,試問:是否存在實(shí)數(shù)m使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)于任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,若存在求出m取值范圍,若不存在,說明理由。解.(14分)(1)f′(x)=4+2ax-2x2,由題意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立 (2分)∴∴A=[-1,1] (5分)(2)方程f(x)=2x+x3可化為x(x2-ax-2)=0 ∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2-ax-2=0兩根 (7分)△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2 ∴|x1-x2|= ∵-1≤a≤1 ∴|x1-x2|最大值是 (10分) ∴m2+tm+1≥3在t∈[-1,1]上恒成立 令g(t)=mt+t2-2 ∴m≥2或m≤-2 (14分)故存在m值,其取值范圍為(-∞,-2]∪[2,+∞)6.(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué))1. 已知函數(shù). (Ⅰ)數(shù)列,恒成立,試求a1的取值范圍; (II)數(shù)列 的前k項(xiàng)和,Tk為數(shù)列的前k項(xiàng)積,.解:(I), …………1分 …………3分 …………4分 …………6分 (II)證明: …………10分 由顯然 。 …………14分2.設(shè)M、N分別是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且,動(dòng)點(diǎn)P滿足 (Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程; (Ⅱ)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E,已知點(diǎn)Q是直線x=4上異于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),點(diǎn)A1、A2是曲線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),直線QA1、QA2與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為R、S.求證:直線RS與x軸交于定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)。2.解:(Ⅰ)設(shè) 又。即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為 (Ⅱ)(法一)設(shè)直線QA1和QA2的斜率分別為k1,k2,則直線QA1的方程為中得是方程的一個(gè)根直線QA2的方程為 (9分) 直線RS的方程為 將R,S的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)得 所以直線RS與x軸交于定點(diǎn)(1,0) (14分) (法二)設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立解出R,S兩點(diǎn)的坐標(biāo) (9分) 寫出直線RS的方程求出過定點(diǎn)(1,0) (14分)7(湖北棗陽(yáng)一中)(理)已知函數(shù) (I)求f(x)在[0,1]上的極值; (II)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍; (III)若關(guān)于x的方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.(文)已知函數(shù)為常數(shù)),P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函數(shù)y=f(x) 圖象上的兩點(diǎn).當(dāng)線段P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí),P的縱坐標(biāo)恒為. (Ⅰ)求y=f(x)的解析式;(Ⅱ)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列{an}的前n0和; (Ⅲ)若為遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.解:(I),令(舍去)單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減. 上的極大值 (II)由得設(shè),,依題意知上恒成立,,, 上單增,要使不等式①成立,當(dāng)且僅當(dāng) (III)由令,當(dāng)上遞增;上遞減而,恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于 …………………………………………12分(文)解:(I)由的圖象上得兩式相加得,化簡(jiǎn)得恒成立,……………………………………(2分)∴解析式為…………………………(4分) (II).…………………………………………………………(8分) (III)為遞增函數(shù), 恒成立,化簡(jiǎn)為 ……(9分) 顯然t≠0. (1)當(dāng)不成立, 所以t<0不合題意.………………………………(10分) (2)當(dāng)t>0時(shí),. 又. 綜上可知,t>.………………………………………………(12分)8(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué)) 1.如圖,若為雙曲線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),在雙曲線左支上,在右準(zhǔn)線上,且滿足(Ⅰ)求此雙曲線的離心率;(Ⅱ)若此雙曲線過點(diǎn)求雙曲線的方程;(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為在y軸的正半軸上),過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程。2.(本小題滿分14分)已知函數(shù)(Ⅰ)判斷的奇偶性;(Ⅱ)在上求函數(shù)的極值; (Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),對(duì)任意正整數(shù)都有1.(本小題滿分14分)解:(Ⅰ)由知四邊形PF1OM是平行四邊形,又,四邊形PF1OM是菱形 …………2分設(shè)焦半距為c,則∴=c+2a, …………4分由雙曲線第二定義可知 (6分)(Ⅱ)∵e=2= ∴c=2a∴雙曲線方程為又∵雙曲線過點(diǎn)N(2,),∴,即∴所求雙曲線方程為 …………8分(Ⅲ)由題意知B1(0,3),B2(0,-3),設(shè)直線l的方程為y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)則由消去y得 …………9分∵雙曲線的漸近線為,∴當(dāng)時(shí),直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),即 …………10分 又∵而 …………13分即直線l的方程為 …………14分2.(本小題滿分14分)解:(Ⅰ) 。……3分(Ⅱ)當(dāng)時(shí), ………5分令有, 當(dāng)x變化時(shí)的變化情況如下表: 由表可知:(+0-增極大值減當(dāng)時(shí)取極大值. ………7分(Ⅲ)當(dāng)時(shí) ………8分 考慮到:時(shí),不等式等價(jià)于…(1) 所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)對(duì)一切都成立即可………9分(i)當(dāng)時(shí),設(shè), ………10分故,即所以,當(dāng)時(shí),不等式(1)都成立 ………11分(ii)假設(shè)時(shí),不等式(1)都成立,即 當(dāng)時(shí)設(shè) 有 ………12分 故為增函數(shù), 所以,,即, ………13分這說明當(dāng)時(shí)不等式(1)也都成立,根據(jù)(i)(ii)可知不等式(1)對(duì)一切都成立,故原不等式對(duì)一切都成立. ………14分9(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2007年5月)1.如圖,點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),點(diǎn)P是上的一點(diǎn),已知,且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn),設(shè),當(dāng)時(shí),求直線的斜率的取值范圍. 2.已知函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.(Ⅰ)求的最大值;(Ⅱ)證明:;(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?1.(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為(,),則…①,,∴…②.又在雙曲線上,∴…③.(4分)聯(lián)立①②③,解得,.∴雙曲線方程為.(2分)注:對(duì)點(diǎn)M用第二定義,得,可簡(jiǎn)化計(jì)算.(Ⅱ),設(shè),,m:,則由,得,.(2分)由,得.∴,..(2分)由,,,消去,,得.∵,函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴,∴.(2分)又直線m與雙曲線的兩支相交,即方程兩根同號(hào),∴.∴,故.(2分)2.(Ⅰ)∵,∴.∵=,(2分)∴當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.∴在區(qū)間內(nèi),.(2分)(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明: ① 當(dāng)時(shí), ∵,∴,成立;② 假設(shè)當(dāng)時(shí),成立.當(dāng)時(shí),由及,得,(2分)由(Ⅰ) 知,在上單調(diào)遞增,所以,而,, 故.∴當(dāng)時(shí),也成立.由①、②知,對(duì)任意都成立.(4分)(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)理由如下:當(dāng)時(shí), ∴;當(dāng)時(shí),由得.∵,(2分)又由 (Ⅱ) 知,,∴,∴,即∴,∴,∴.(3分)綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.10(湖南師大附中2006—2007學(xué)年度高三模擬(一))1.(本小題滿分14分)已知函數(shù) (Ⅰ)試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論; (Ⅱ)若恒成立,求整數(shù)k的最大值; (Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3..解:(I)…………(2分) 上是減函數(shù).……………………………………………………(4分) (II) 即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………(6分) 則上單調(diào)遞增, 又 存在唯一實(shí)根a,且滿足當(dāng)∴故正整數(shù)k的最大值是3 ……………………9分(Ⅲ)由(Ⅱ)知∴ ………………11分令,則∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3 ………………14分11(江蘇省啟東中學(xué))(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是,且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)已知雙曲線的方程是. 設(shè)斜率為的直線,交雙曲線于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為. 證明:當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上;(3)利用(2)所揭示的雙曲線幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定雙曲線的中心,簡(jiǎn)要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出雙曲線的中心. [解](1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,, ∴ ,即雙曲線的方程為, ∵ 點(diǎn)在雙曲線上,∴ , 解得 或(舍), 由此得,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …… 5分 (2)設(shè)直線的方程為, …… 6分 與雙曲線的交點(diǎn)()、(),則有, 解得 , ∵ ,∴ ,即 .則 , ∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為. …… 10分∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上. …… 11分注:本題用點(diǎn)差法求解更好。如上將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得,,兩式相減得 (※),設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),又,代入(※)式整理得,∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上. (3)如圖,作兩條平行直線分別交雙曲線于、和,并分別取、的中點(diǎn),連接直線;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交交雙曲線于、和,并分別取、的中點(diǎn),連接直線,那么直線和的交點(diǎn)即為交雙曲線中心. …… 16分12(2007年濰坊市高三統(tǒng)一考試)定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1,2]為增函數(shù),h(x)在(0,1)為減函數(shù).(I)求g(x),h(x)的表達(dá)式;(II)求證:當(dāng)1(III)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線,求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明道理.解(I)由題意:∴恒成立.又恒成立.∴即(II)欲證:只需證:即證:記∴∴當(dāng)x>1時(shí),為增函數(shù)…………….9分即∴結(jié)論成立………………………………………………..10分(III)由 (1)知:∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)即求方程:即:設(shè)∴當(dāng)時(shí),為減函數(shù).當(dāng)時(shí),為增函數(shù).而的圖象開口向下的拋物線∴與的大致圖象如圖:∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).13(陜西師大附中2007年高三第八次)1.(Ⅰ)已知函數(shù),求證:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);(Ⅱ)已知函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn), 使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.2.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列滿足,前項(xiàng)和為,且.(Ⅰ)證明數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),比較與的大小;(Ⅲ)若,,求證:.1. 解:(Ⅰ)∵, 而, ∴當(dāng)時(shí), , 因此在[2,+∞)上為減函數(shù). (Ⅱ)記, 則, 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 故在時(shí)取極大值,同時(shí)也為最大值∴ 依題意, 要在(0,+∞)上存在一點(diǎn), 使成立.即使只需,即,∴ 因此, 所求實(shí)數(shù)的取值范圍為. 2. 解:(Ⅰ)由,得,即, 而 ∴數(shù)列是以t為首項(xiàng),t為公比的等比數(shù)列.∴. (Ⅱ)∵且 ∴且 ∴ ∴ (Ⅲ)∵ ∴ ∴ 展開更多...... 收起↑ 資源預(yù)覽 縮略圖、資源來源于二一教育資源庫(kù)