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全國(guó)知名重點(diǎn)中學(xué)優(yōu)秀綜合題選編

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  1. 二一教育資源

全國(guó)知名重點(diǎn)中學(xué)優(yōu)秀綜合題選編

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全國(guó)知名重點(diǎn)中學(xué)優(yōu)秀綜合題選編
1.(華中師大一附中)
1設(shè) f (x) = px--2 ln x,且 f (e) = qe--2(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))
(I) 求 p 與 q 的關(guān)系;
(II) 若 f (x) 在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù),求 p 的取值范圍;
(III) 設(shè) g(x) = ,若在 [1,e] 上至少存在一點(diǎn)x0,使得 f (x0) > g(x0) 成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.
2.如圖,曲線 y = 上的點(diǎn) Pi(ti2,ti)(i = 1,2,…,n,…)與 x 軸正半軸上的點(diǎn) Qi 及原點(diǎn)
構(gòu)成一系列正△PiQi-1Qi(Q0與O重合),記 an = | QnQn-1 |
(I) 求 a1的值;
(II) 求數(shù)列 {an} 的通項(xiàng)公式 an
(III) 設(shè) Sn為數(shù)列 {an} 的前 n 項(xiàng)和,若對(duì)于任意的實(shí)數(shù) (∈[0,1],總存在自然數(shù) k,當(dāng) n≥k時(shí),3Sn-3n + 2≥(1-() (3an-1) 恒成立,求 k 的最小值.
1. 解:(I) 由題意得 f (e) = pe--2ln e = qe--2 ………… 1分
( (p-q) (e + ) = 0 ………… 2分
而 e + ≠0
∴ p = q ………… 3分
(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x
f’(x) = p + -=  ………… 4分
令 h(x) = px 2-2x + p,要使 f (x) 在其定義域 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 h(x) 在 (0,+() 內(nèi)滿足:h(x)≥0 或 h(x)≤0 恒成立. ………… 5分
① 當(dāng) p = 0時(shí), h(x) = -2x,∵ x > 0,∴ h(x) < 0,∴ f’(x) = - < 0,
∴ f (x) 在 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)遞減,故 p = 0適合題意. ………… 6分
② 當(dāng) p > 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開口向上的拋物線,對(duì)稱軸為 x = ∈(0,+(),∴ h(x)min = p-
只需 p-≥1,即 p≥1 時(shí) h(x)≥0,f’(x)≥0
∴ f (x) 在 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)遞增,
故 p≥1適合題意. ………… 7分
③ 當(dāng) p < 0時(shí),h(x) = px 2-2x + p,其圖象為開口向下的拋物線,對(duì)稱軸為 x = ( (0,+()
只需 h(0)≤0,即 p≤0時(shí) h(x)≤0在 (0,+() 恒成立.
故 p < 0適合題意. ………… 8分
綜上可得,p≥1或 p≤0 ………… 9分
另解:(II) 由 (I) 知 f (x) = px--2ln x
f’(x) = p + -= p (1 + )- ………… 4分
要使 f (x) 在其定義域 (0,+() 內(nèi)為單調(diào)函數(shù),只需 f’(x) 在 (0,+() 內(nèi)滿足:f’(x)≥0 或 f’(x)≤0 恒成立. ………… 5分
由 f’(x)≥0 ( p (1 + )-≥0 ( p≥ ( p≥()max,x > 0
∵ ≤ = 1,且 x = 1 時(shí)等號(hào)成立,故 ()max = 1
∴ p≥1 ………… 7分
由 f’(x)≤0 ( p (1 + )-≤0 ( p≤  ( p≤()min,x > 0
而 > 0 且 x → 0 時(shí),→ 0,故 p≤0 ………… 8分
綜上可得,p≥1或 p≤0 ………… 9分
(III) ∵ g(x) = 在 [1,e] 上是減函數(shù)
∴ x = e 時(shí),g(x)min = 2,x = 1 時(shí),g(x)max = 2e
即 g(x) ( [2,2e] ………… 10分
① p≤0 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 遞減 ( f (x)max = f (1) = 0 < 2,不合題意。 …… 11分
② 0 < p < 1 時(shí),由x ( [1,e] ( x-≥0
∴ f (x) = p (x-)-2ln x≤x--2ln x
右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式,故在 [1,e] 遞增
∴ f (x)≤x--2ln x≤e--2ln e = e--2 < 2,不合題意。 ………… 12分
③ p≥1 時(shí),由 (II) 知 f (x) 在 [1,e] 連續(xù)遞增,f (1) = 0 < 2,又g(x) 在 [1,e] 上是減函數(shù)
∴ 本命題 ( f (x)max > g(x)min = 2,x ( [1,e]
( f (x)max = f (e) = p (e-)-2ln e > 2
( p >  ………… 13分
綜上,p 的取值范圍是 (,+() ………… 14分
2.解:(I) 由 P1(t12,t1)(t > 0), ………… 1分
得 kOP1 = = tan = ( t1 =  ………… 2分
∴ P1(,) ………… 3分
a1 = | Q1Q0 | = | OQ | = | OP1 | =  ………… 4分
(II) 設(shè) Pn(tn2,tn),得直線 PnQn-1的方程為:y-tn = (x-tn2) ………… 5分
可得 Qn-1(tn2-,0) ………… 6分
直線 PnQn的方程為:y-tn = -(x-tn2),可得 Qn(tn2 + ,0) ………… 7分
所以也有 Qn-1(tn-12 + ,0),得 tn2-= tn-12 + ,由 tn > 0,得 tn-tn-1 = 
∴ tn = t1 + (n-1) = n ………… 8分
∴ Qn(n(n + 1),0),Qn-1(n(n-1),0)
∴ an = | QnQn-1 | = n ………… 9分
(III) 由已知對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí) (∈[0,1] 時(shí) n 2-2n + 2≥(1-() (2n-1) 恒成立
( 對(duì)任意實(shí)數(shù) (∈[0,1] 時(shí),(2n-1)( + n 2-4n + 3≥0 恒成立 ………… 10分
則令 f (() = (2n-1)( + n 2-4n + 3,則 f (() 是關(guān)于 ( 的一次函數(shù).
對(duì)任意實(shí)數(shù)時(shí) (∈[0,1] 時(shí) n 2-2n + 2≥(1-()(2n-1) 恒成立
( 對(duì)任意實(shí)數(shù) (∈[0,1] 時(shí)  ………… 11分
(  ………… 12分
( n≥3或n≤1 ………… 13分
又 ∵ n∈N * ∴ k 的最小值為3 ………… 14分
2. (江蘇省南菁高級(jí)中學(xué))
已知f(x)=x3+bx2+cx+2.
(1)若f(x)在x=1時(shí),有極值-1,求b、c的值;
(2)當(dāng)b為非零實(shí)數(shù)時(shí),證明f(x)的圖像不存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線;
(3)記函數(shù)| f ' (x)|(-1≤x≤1)的最大值為M,求證:M≥.
解:Ⅰ)∵f’ (x)=3x2+2bx+c,
由f(x)在x=1時(shí),有極值-1得
即解得 (3分)
當(dāng)b=1,c=-5時(shí),
f’ (x)=3x2+2x-5=(3x+5)(x-1),
當(dāng)x>1時(shí),f’ (x)>0,
當(dāng)-<x<1時(shí),f′(x)<0.
從而符合在x=1時(shí),f(x)有極值,∴ (4分)
(Ⅱ)假設(shè)f(x)圖像在x=t處的切線與直線
(b2-c)x+y+1=0平行,
∵f’ (t)=3t2+2bt+c,
直線(b2-c)x+y+1=0的斜率為c-b2,
∴3t2+2bt+c=c-b2,(7分)
即3t2+2bt+b2=0.
∵Δ=4(b2-3b2)=-8b2,
又∵b≠0, ∴Δ<0.
從而方程3t2+2bt+b2=0無(wú)解,
因此不存在t,使f’ (t)=c-b2,
卻f(x)的圖像不存在與直線(b2-c)x+y+1=0平行的切線. (9分)
(Ⅲ)證法一:∵| f’ (x)|=|3(x+)2+c-|,
①若|-|>1,則M應(yīng)是| f’ (-1)|和| f’ (1)|中最大的一個(gè),
∴2M≥|f’ (-1)|+| f’ (1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|>12,
∴M>6,從而M≥. (11分)
②當(dāng)-3≤b≤0時(shí),2M≥| f’ (-1)|+| f’ (-)|
=|3-2b+c|+|c-|≥|-2b+3|=| (b-3)2|≥3,所以M≥. (13分)
③當(dāng)0<b≤3時(shí),2M≥| f’ (1)|+| f’ (-)|=|3+2b+c|+|c-|≥|+2b+3|
=|(b+3)2|>3,∴M≥.
綜上所述,M≥. (15分)
證法二:f’ (x)=3x2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(-,),
①若|-|>1,則M應(yīng)是|f′(-1)|和|f′(1)|中最大的一個(gè),
∴2M≥| f’ (-1)|+| f’ (1)|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥4|b|>12,
∴M>6,從而M≥. (11分)
②若|-|≤1,則M是| f’ (-1)|、| f’ (1)|、||中最大的一個(gè).
(i)當(dāng)c≥-時(shí),2M≥| f’ (1)|+| f’ (-1)|≥| f’ (1)|+f’ (-1)|=|6+2c|≥3,∴M≥.
(2)當(dāng)c<-時(shí),M≥||=-c≥-c>,
綜上所述,M≥成立. (15分)
證法三:∵M(jìn)是| f’ (x)|,x∈[-1,1]的最大值,
∴M≥| f’ (0)|,M≥| f’ (1)|,M≥| f’ (-1) |. (11分)
∴4M≥2| f’ (0)|+| f’ (1)|+| f’ (-1)|≥| f’ (1)+f’ (-1)-
3(2007屆江蘇九大名校第二次聯(lián)考)
1.已知數(shù)列{an}滿足a1=5,a2=5,an+1=an+6an-1(n≥2).
(1)求證:{an+1+2an}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(3)設(shè)3nbn=n(3n-an),且|b1|+|b2|+…+|bn|<m對(duì)于n∈N*恒成立,
求m的取值范圍.
2.已知函數(shù),,的最小值恰好是方程的三個(gè)根,其中.
(1)求證:;
(2)設(shè),是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn).
若,求函數(shù)的解析式.
1.(1)由an+1=an+6an-1,an+1+2an=3(an+2an-1) (n≥2)
      ∵a1=5,a2=5  ∴a2+2a1=15
故數(shù)列{an+1+2an}是以15為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列………………5分
    (2)由(1)得an+1+2an=5·3n
由待定系數(shù)法可得(an+1-3n+1)=-2(an-3n)
      即an-3n=2(-2)n-1
故an=3n+2(-2)n-1=3n-(-2)n…………………………………………10分
    (3)由3nbn=n(3n-an)=n[3n-3n+(-2)n]=n(-2)n,∴bn=n(-)n
令Sn=|b1|+|b2|+…+|bn|=+2()2+3()3+…+n()n
       Sn=()2+2()3+…+(n-1)()n+n()n+1
…………12分
得Sn=+()2+()3+…+()n-n()n+1
=-n()n+1=2[1-()n]-n()n+1
∴ Sn=6[1-()n]-3n()n+1<6
要使得|b1|+|b2|+…+|bn|<m對(duì)于n∈N*恒成立
只須m≥6………………………………………………………………16分
2.解:(1)三個(gè)函數(shù)的最小值依次為,,,………………………2分
由,得


故方程的兩根是,.
故,.……………………………5分
,即
∴ . ………………………………………………………………………7分
(2)①依題意是方程的根,
故有,,
且△,得.
由…………………………10分
;得,,.
由(1)知,故,
∴ ,
∴ .………………………………………………14分
4(寶雞中學(xué))
1.過點(diǎn)P(2,4)的直線與雙曲線C:交于A、B兩點(diǎn),且
⑴求直線的方程;
⑵若過P的另一直線與雙曲線交于C、D兩點(diǎn),且,則∠ACD=∠ABD一定成立嗎?證明你的結(jié)論.
⑶過線段AB上的點(diǎn)作曲線的切線,求切點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍.
2. 已知函數(shù).
⑴求函數(shù)的定義域和極值;
⑵若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
⑶函數(shù)的圖象是否為中心對(duì)稱圖形?若是請(qǐng)指出對(duì)稱中心,并證明;若不是,請(qǐng)說明理由.
1.解: ⑴由題意,設(shè)直線的方程為則由得
………………………………①②
設(shè)A,B,由知P為AB中點(diǎn),所以
得所以直線的方程為;
⑵∠ACD=∠ABD一定成立。
由得,A(-2,0)、B(6,8)再由點(diǎn)P(2,4)和直線得:聯(lián)立方程組得C(-6+,12-)D(-6-,12+)
所以即,由對(duì)稱性可知,。所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓,所以∠ACD=∠ABD。
⑶由得,
設(shè)為曲線上一點(diǎn),
過的切線方程為,
即,與方程聯(lián)立得
,解得

2.解: ⑴函數(shù)的定義域?yàn)?-∞,2)∪(4,+∞),由得:或,所以
(-∞,0)
0
(0,2)
(4,6)
6
(6,+∞)
+
0
-
-
0
+

極大值


極小值

⑵由⑴知或所以或
⑶由⑴知函數(shù)的圖象若是中心對(duì)稱圖形,則中心一定在兩極值點(diǎn)的中心(3, ),下面證明:設(shè)是函數(shù)的圖象上的任意一點(diǎn),則是它關(guān)于(3, )的對(duì)稱點(diǎn),而,即也在函數(shù)的圖象上.所以函數(shù)的圖象是中心對(duì)稱圖形,其中心是(3, )
5.(寧夏銀川一中)
f(x)=4x+ax2-x3在[-1,1]上是增函數(shù)
(1)求實(shí)數(shù)a的值組成的集合A;
(2)設(shè)關(guān)于x的方程f(x)=2x+x3兩非零實(shí)根為x1,x2,試問:是否存在實(shí)數(shù)m使不等式m2+tm+1≥|x1-x2|對(duì)于任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立,若存在求出m取值范圍,若不存在,說明理由。
解.(14分)
(1)f′(x)=4+2ax-2x2,由題意f′(x)≥0在[-1,1]上恒成立 (2分)
∴∴A=[-1,1] (5分)
(2)方程f(x)=2x+x3可化為x(x2-ax-2)=0
∵x1≠x2≠0, ∴x1,x2是x2-ax-2=0兩根 (7分)
△=a2+8>0,x1+x2=a,x1x2=2
∴|x1-x2|=
∵-1≤a≤1 ∴|x1-x2|最大值是 (10分)
∴m2+tm+1≥3在t∈[-1,1]上恒成立
令g(t)=mt+t2-2

m≥2或m≤-2 (14分)
故存在m值,其取值范圍為(-∞,-2]∪[2,+∞)
6.(黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué))
1. 已知函數(shù).
(Ⅰ)數(shù)列,恒成立,試求a1的取值范圍;
(II)數(shù)列
的前k項(xiàng)和,Tk為數(shù)列的前k項(xiàng)積,.
解:(I), …………1分
…………3分

…………4分

…………6分
(II)證明:


…………10分

由顯然


…………14分
2.設(shè)M、N分別是直線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),并且,動(dòng)點(diǎn)P滿足
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;
(Ⅱ)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為E,已知點(diǎn)Q是直線x=4上異于點(diǎn)(4,0)的任意一點(diǎn),點(diǎn)A1、A2是曲線E與x軸的兩個(gè)交點(diǎn),直線QA1、QA2與曲線E的另一個(gè)交點(diǎn)分別為R、S.求證:直線RS與x軸交于定點(diǎn),并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)。
2.解:(Ⅰ)設(shè)

又。
即動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為
(Ⅱ)(法一)設(shè)直線QA1和QA2的斜率分別為k1,k2,
則直線QA1的方程為中得
是方程的一個(gè)根
直線QA2的方程為


(9分)
直線RS的方程為
將R,S的坐標(biāo)代入化簡(jiǎn)得

所以直線RS與x軸交于定點(diǎn)(1,0) (14分)
(法二)設(shè)Q點(diǎn)坐標(biāo)寫出直線方程,與橢圓方程聯(lián)立解出R,S兩點(diǎn)的坐標(biāo)
(9分)
寫出直線RS的方程求出過定點(diǎn)(1,0) (14分)
7(湖北棗陽(yáng)一中)
(理)已知函數(shù)
(I)求f(x)在[0,1]上的極值;
(II)若對(duì)任意成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(III)若關(guān)于x的方程在[0,1]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
(文)已知函數(shù)為常數(shù)),P1(x1,y1),P2(x2,y2)是函數(shù)y=f(x)
圖象上的兩點(diǎn).當(dāng)線段P1P2的中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為時(shí),P的縱坐標(biāo)恒為.
(Ⅰ)求y=f(x)的解析式;(Ⅱ)若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為,求數(shù)列{an}的前n0和;
(Ⅲ)若為遞增函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
解:(I),
令(舍去)
單調(diào)遞增;當(dāng)單調(diào)遞減.
上的極大值
(II)由得
設(shè),

依題意知上恒成立,

, 上單增,要使不等式①成立,
當(dāng)且僅當(dāng)
(III)由
令,
當(dāng)上遞增;
上遞減而,
恰有兩個(gè)不同實(shí)根等價(jià)于
…………………………………………12分
(文)解:(I)由的圖象上得
兩式相加得,
化簡(jiǎn)得恒成立,……………………………………(2分)
∴解析式為…………………………(4分)
(II)
.…………………………………………………………(8分)
(III)為遞增函數(shù),
恒成立,化簡(jiǎn)為 ……(9分)
顯然t≠0.
(1)當(dāng)不成立,
所以t<0不合題意.………………………………(10分)
(2)當(dāng)t>0時(shí),.
又.
綜上可知,t>.………………………………………………(12分)
8(天津市十二區(qū)縣重點(diǎn)中學(xué))
1.如圖,若為雙曲線的左、右焦點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),在雙曲線左支上,在右準(zhǔn)線上,且滿足
(Ⅰ)求此雙曲線的離心率;
(Ⅱ)若此雙曲線過點(diǎn)求雙曲線的方程;
(Ⅲ)設(shè)(Ⅱ)中雙曲線的虛軸端點(diǎn)為在y軸的正半軸上),過點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn),當(dāng)時(shí),求直線的方程。
2.(本小題滿分14分)
已知函數(shù)
(Ⅰ)判斷的奇偶性;
(Ⅱ)在上求函數(shù)的極值;
(Ⅲ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:當(dāng)時(shí),對(duì)任意正整數(shù)都有
1.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ)由知四邊形PF1OM是平行四邊形,
又,四邊形PF1OM是菱形 …………2分
設(shè)焦半距為c,則
∴=c+2a, …………4分
由雙曲線第二定義
可知 (6分)
(Ⅱ)∵e=2= ∴c=2a
∴雙曲線方程為
又∵雙曲線過點(diǎn)N(2,),∴,即
∴所求雙曲線方程為 …………8分
(Ⅲ)由題意知B1(0,3),B2(0,-3),
設(shè)直線l的方程為y=kx-3,A(x1,y1),B(x2,y2)
則由
消去y得 …………9分
∵雙曲線的漸近線為,
∴當(dāng)時(shí),直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),即 …………10分

又∵
而 …………13分

直線l的方程為 …………14分
2.(本小題滿分14分)
解:(Ⅰ) 。……3分
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),
………5分
令有,
當(dāng)x變化時(shí)的變化情況如下表: 由表可知:

+
0


極大值

當(dāng)時(shí)取極大值. ………7分
(Ⅲ)當(dāng)時(shí) ………8分
考慮到:時(shí),不等式等價(jià)于…(1)
所以只要用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式(1)對(duì)一切都成立即可………9分
(i)當(dāng)時(shí),設(shè)
, ………10分
故,即
所以,當(dāng)時(shí),不等式(1)都成立 ………11分
(ii)假設(shè)時(shí),不等式(1)都成立,即
當(dāng)時(shí)設(shè)
有 ………12分
故為增函數(shù),
所以,,即, ………13分
這說明當(dāng)時(shí)不等式(1)也都成立,
根據(jù)(i)(ii)可知不等式(1)對(duì)一切都成立,
故原不等式對(duì)一切都成立. ………14分
9(浙江省重點(diǎn)中學(xué)2007年5月)
1.如圖,點(diǎn)為雙曲線的左焦點(diǎn),左準(zhǔn)線交軸于點(diǎn),點(diǎn)P是上的一點(diǎn),已知,且線段PF的中點(diǎn)在雙曲線的左支上.
(Ⅰ)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若過點(diǎn)的直線與雙曲線的左右兩支分別交于、兩點(diǎn),設(shè),當(dāng)時(shí),求直線的斜率的取值范圍.
2.已知函數(shù),數(shù)列的前項(xiàng)和為,,且.
(Ⅰ)求的最大值;
(Ⅱ)證明:;
(Ⅲ)探究:數(shù)列是否單調(diào)?
1.(Ⅰ)設(shè)雙曲線方程為(,),
則…①,,∴…②.
又在雙曲線上,∴…③.(4分)
聯(lián)立①②③,解得,.∴雙曲線方程為.(2分)
注:對(duì)點(diǎn)M用第二定義,得,可簡(jiǎn)化計(jì)算.
(Ⅱ),設(shè),,m:,則
由,得,.(2分)
由,得.
∴,..(2分)
由,,,消去,,
得.
∵,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
∴,∴.(2分)
又直線m與雙曲線的兩支相交,即方程兩根同號(hào),
∴.
∴,故.(2分)
2.(Ⅰ)∵,∴.
∵=,(2分)
∴當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.
∴在區(qū)間內(nèi),.(2分)
(Ⅱ)用數(shù)學(xué)歸納法證明:
① 當(dāng)時(shí), ∵,∴,成立;
② 假設(shè)當(dāng)時(shí),成立.
當(dāng)時(shí),由及,得,(2分)
由(Ⅰ) 知,在上單調(diào)遞增,所以,
而,, 故.
∴當(dāng)時(shí),也成立.
由①、②知,對(duì)任意都成立.(4分)
(Ⅲ)數(shù)列單調(diào)遞減.(1分)
理由如下:
當(dāng)時(shí), ∴;
當(dāng)時(shí),由得.
∵,(2分)
又由 (Ⅱ) 知,,∴,
∴,即
∴,
∴,∴.(3分)
綜上,數(shù)列單調(diào)遞減.
10(湖南師大附中2006—2007學(xué)年度高三模擬(一))
1.(本小題滿分14分)已知函數(shù)
(Ⅰ)試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論;
(Ⅱ)若恒成立,求整數(shù)k的最大值;
(Ⅲ)求證:(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3.
.解:(I)…………(2分)

上是減函數(shù).……………………………………………………(4分)
(II)
即h(x)的最小值大于k.…………………………………………………………(6分)

則上單調(diào)遞增,

存在唯一實(shí)根a,且滿足
當(dāng)

故正整數(shù)k的最大值是3 ……………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知
∴ ………………11分
令,則
∴l(xiāng)n(1+1×2)+ln(1+2×3)+…+ln[1+n(n+1)]
∴(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n-3 ………………14分
11(江蘇省啟東中學(xué))
(1)求右焦點(diǎn)坐標(biāo)是,且經(jīng)過點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知雙曲線的方程是. 設(shè)斜率為的直線,交雙曲線于兩點(diǎn),的中點(diǎn)為. 證明:當(dāng)直線平行移動(dòng)時(shí),動(dòng)點(diǎn)在一條過原點(diǎn)的定直線上;
(3)利用(2)所揭示的雙曲線幾何性質(zhì),用作圖方法找出下面給定雙曲線的中心,簡(jiǎn)要寫出作圖步驟,并在圖中標(biāo)出雙曲線的中心.
[解](1)設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為,,
∴ ,即雙曲線的方程為,
∵ 點(diǎn)在雙曲線上,∴ ,
解得 或(舍),
由此得,即雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為. …… 5分
(2)設(shè)直線的方程為, …… 6分
與雙曲線的交點(diǎn)()、(),
則有,
解得 ,
∵ ,∴ ,即 .
則 ,
∴ 中點(diǎn)的坐標(biāo)為. …… 10分
∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上. …… 11分
注:本題用點(diǎn)差法求解更好。如上將A、B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程得,
,兩式相減得 (※),設(shè)中點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y),又,代入(※)式整理得,
∴ 線段的中點(diǎn)在過原點(diǎn)的直線 上.
(3)如圖,作兩條平行直線分別交雙曲線于、和,并分別取、的中點(diǎn),連接直線;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交交雙曲線于、和,并分別取、的中點(diǎn),連接直線,那么直線和的交點(diǎn)即為交雙曲線中心. …… 16分
12(2007年濰坊市高三統(tǒng)一考試)
定義在的三個(gè)函數(shù)f(x)、g(x)、h(x),已知f(x)=lnx,g(x)= ,且g(x)在[1,2]為增函數(shù),h(x)在(0,1)為減函數(shù).
(I)求g(x),h(x)的表達(dá)式;
(II)求證:當(dāng)1(III)把h(x)對(duì)應(yīng)的曲線向上平移6個(gè)單位后得曲線,求與g(x)對(duì)應(yīng)曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù),并說明道理.
解(I)由題意:
∴恒成立.
又恒成立.
∴即
(II)
欲證:
只需證:
即證:


∴當(dāng)x>1時(shí),為增函數(shù)…………….9分

∴結(jié)論成立………………………………………………..10分
(III)由 (1)知:
∴對(duì)應(yīng)表達(dá)式為
∴問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)
即求方程:
即:
設(shè)
∴當(dāng)時(shí),為減函數(shù).
當(dāng)時(shí),為增函數(shù).
而的圖象開口向下的拋物線
∴與的大致圖象如圖:
∴與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè).
13(陜西師大附中2007年高三第八次)
1.(Ⅰ)已知函數(shù),求證:函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù);
(Ⅱ)已知函數(shù),若在上至少存在一點(diǎn), 使得成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
2.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列滿足,前項(xiàng)和為,且.
(Ⅰ)證明數(shù)列為等比數(shù)列并求的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),比較與的大小;
(Ⅲ)若,,求證:.
1. 解:(Ⅰ)∵, 而,
∴當(dāng)時(shí), , 因此在[2,+∞)上為減函數(shù).
(Ⅱ)記, 則,
當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),
故在時(shí)取極大值,同時(shí)也為最大值

依題意, 要在(0,+∞)上存在一點(diǎn), 使成立.
即使只需,即,∴
因此, 所求實(shí)數(shù)的取值范圍為.
2. 解:(Ⅰ)由,
得,即, 而
∴數(shù)列是以t為首項(xiàng),t為公比的等比數(shù)列.∴.
(Ⅱ)∵且
∴且   ∴ ∴
(Ⅲ)∵



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