資源簡介

挖掘習題價值,提高教學效率
-------對一道向量習題的反思
江陰市云亭中學 沈敏忠
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摘要：新課程改革已在省內全面展開，本文試通過對一道向量習題的展開，結合課本中的大量例題、習題，來簡要闡述向量中的一些知識點之間的聯系及一些有用結論的運用，借此來談自己的一些粗淺的教學體會。
捷克教育家夸美紐斯在《大教學論》中寫道：“課堂是有生命的物質空間，是學生充滿生機的思維領域，學校的課堂教學，主要目的在于促進學生思維發展，提高學生的數學思維能力。”新的課程改革也要求教師能提升學生的思維，讓學生遠離題海，減輕學生的負擔。為此，在教學實踐中，我們有必要關注訓練的習題，充分挖掘習題的價值，努力提高教學效率。下面我就對向量中的一道習題，談一談我個人的一點教學體驗之愚見。
習題1：蘇教版必修4， P70/練習3；原題如下：
已知：中，D是BC的中點，用向量表示向量
教學時發現，學生比較容易從“形”的角度，以為鄰邊構成平行四邊形，由平行四邊形法則推知：=；另外，聯想加法的定義，由=兩等式左右相加，可得=。
反思1：回味解答過程，積累解題經驗
上述解答過程中，雖然從圖形入手比較直觀而且簡潔，但第二種處理過程中，我們根據ABD和ACD兩個三角形回路，依據向量加法構造兩個回路等式，解決了問題，回路思想的運用，同樣給我們的解題過程帶來了清新的感覺，讓我們感嘆了數學之美！
反思2：圖形發散變換，整合習題資源
將上述習題圖形略經變換，可思考下列一系列的類似習題：
將三角形變為四邊形，一邊中點變為取兩對邊中點，即得課本P66/7 ：
在任意四邊形ABCD中，E，F分別為AD，BC的中點，求證：
可思考取任意四邊形ABCD四邊的中點，構成什么圖形？
取任意四邊形ABCD兩對角線的中點即得：課本P70/練習4：
設P，Q分別為四邊形對角線AC和BD的中點，并且不是共線向量，試用基底表示向量.
上述一連竄習題，串聯成鏈，作為一個習題組進行練習，由于均可采用類似方法處理，在一定程度上有利于學生解題能力的提高。
反思3：特殊轉為一般，拓展思維空間
習題1中，將中點D的特殊位置變為一般情形，即得課本P64/練習4：
已知：是不共線向量，，試用表示.
運用加法回路的方法解答如下：
∴ （*）
課本P65/例4; P72/例4也都分別從式和坐標兩方面敘述了這個問題,由這些習題稍加抽象,結合課本P75/探究拓展11,我們即可得到如下重要命題:
命題1：已知不共線，P點在AB上，則有且；
（*）式從另一方面也可以這樣理解：起點為O，終點為直線AB上一點C的向量可以用不共線向量來表示，結合向量共線定理，我們不難得到平面向量基本定理，從該定理可知：
命題2：如果四個向量之間有等式并且共線，共線，但不共線，立刻推得
上述兩個命題在我們解題時，若能靈活運用，有時可收到事半功倍的效果，使煩瑣的解題過程得到優化，列舉兩例比較如下：
例1：設G是的重心，過G的直線與OA，OB分別相交于點P，Q，已知試問：的值是否為定值，若是，求出定值；若不是，說明理由.
解法1：常規設置未知數列方程求解
解：；
又；
且三點共線，由共線定理得：
，∴；
即：；
∵不共線，∴；∴=3
解法2：利用命題1，優化解題過程
解：由；
又∵三點共線，∴即=3，兩種解法，繁簡判然。
例2：課本習題P67/思考運用11：
平行四邊形ABCD中，E是DC的中點，AE交BD于M，用向量方法證明：M是BD的一個三等分點。
解法1：運用共線定理，設未知數列方程求解
解：設
=
又；
∴；∵不共線，∴；
解之得：∴M是BD的一個三等分點。
解法2：構建回路等式，巧妙解決問題
解：由
又∴；
∴，即M是BD的一個三等分點。
通過上面一系列的思考，我們從一道習題可依次得出向量中一系列的知識、解題方法，如何做到真正意義上的學生減負，我認為關鍵在于課堂，必須要提高課堂的教學效率，有效綜合各個知識點，尋找它們之間的聯系，做到由一點牽一面，由一題思一片，這樣學生就能避免盲目做題，擺脫題海，從而達到減輕學生負擔，提升學生能力的目的。
參考文獻：
[1]：普通高中課程標準實驗教科書數學必修4.南京：江蘇教育出版設，2007年6月第3版
[2]：張景中、彭翕成，論向量法解幾何問題的基本思路.數學通報,2008.2
[3]：劉宏，淺談教學后的反思.高中數學教與學,2005.11

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