資源簡介

3.2.2奇偶性（第1課時）
【學習目標】
1.理解函數的奇偶性的定義.
2.掌握判斷函數奇偶性的方法.
3.了解奇偶性與函數圖象對稱性之間的關系.
【教材知識梳理】
函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 設函數f(x)的定義域為，如果，都有，且___________，那么函數f(x)是偶函數 關于 對稱
奇函數 設函數f(x)的定義域為，如果，都有，且____ ，那么函數f(x)是奇函數 關于 對稱
解讀：函數的單調性往往是針對函數定義域上某一個區間而言，是函數的局部性質，而函數的奇偶性是針對整個定義域內而言的，是函數的整體性質．
概念解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數，就是偶函數.(　　)
(2)存在既是奇函數，又是偶函數的函數.(　　)
(3)函數f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函數. (　　)
(4)若y＝f(x)是偶函數，則一定有f(－1)＝f(1). (　　)
【答案】f(－x)＝f(x) y軸 f(－x)＝－f(x) 原點
概念辨析： （1）×　(2)√　 (3)× (4)×
【教材例題變式】
（源于P84例6）例1判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；　　 (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【答案】(1)函數的定義域為R，關于原點對稱．
又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函數f(x)是奇函數．
(2)由得x2＝1，即x＝±1.因此函數的定義域為{－1,1}，關于原點對稱．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函數又是偶函數．
(3)函數f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關于原點對稱，所以f(x)既不是奇函數也不是偶函數.
(4)函數f(x)的定義域為R，關于原點對稱．
f(－x)＝即f(－x)＝
于是有f(－x)＝－f(x)．
歸納：
1.函數奇偶性判斷的方法：
(1)定義法：
(2)圖象法：
判斷函數的奇偶性有四種可能結果：
（1）奇函數；（2）偶函數；（3）既奇且偶函數；（4）非奇非偶函數.
如果一個函數滿足前三種情況之一，就說這個函數具有奇偶性.
【教材拓展延伸】
例2 設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函數 B．f(x)| f(－x)|是奇函數
C．f(x)－f(－x)是偶函數 D．f(x)＋f(－x)是偶函數
【答案】 D
【詳解】當x∈R時，－x∈R，設g(x)＝f(x)＋f(－x)，則g(－x)＝f(－x)＋f(x)＝g(x)，
所以f(x)＋f(－x)是偶函數．
歸納：
若函數f(x)，g(x)具有共同的定義域，那么由函數f(x)，g(x)的奇偶性可以得到其加、減、乘、除的奇偶性，其規律是：
偶±偶＝偶、奇±奇＝奇、偶×偶＝偶、偶×奇＝奇、奇×奇＝偶，相除時類似于相乘的情況．
例3.設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝，求函數f(x)，g(x)的解析式．
【答案】　∵f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，
由f(x)＋g(x)＝2x＋x2.① 用－x代替x，
得f(－x)＋g(－x)＝－2x＋(－x)2，∴f(x)－g(x)＝－2x＋x2，②
(①＋②)÷2，得f(x)＝x2； (①－②)÷2，得g(x)＝2x.
歸納：任何一個函數都可以拆成一個奇函數與一個偶函數的和
已知一奇一偶兩函數之和，對x賦值，令x＝－x. f(x)，g(x)一奇一偶，才能把－x的負號或提或消，最終得到關于f(x)，g(x)的二元方程組，從中解出f(x)和g(x)．
例4.已知奇函數f(x)的定義域為[－5，5]，且在區間[0，5]上的圖象如圖所示.
(1)畫出f(x)在區間[－5，0]上的圖象；(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.
【答案】(1)因為函數f(x)是奇函數，所以y＝f(x)在[－5，5]上的圖象關于原點對稱.由y＝f(x)在[0，5]上的圖象，可知它在[－5，0]上的圖象，如圖所示.
(2)由圖象知，使函數值f(x)<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2，5).
例5.（1）已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，則f(3)＝(　　)
A.26 B.18 C.10 D.－26
（2）已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
【答案】（1）D （2）C
【詳解】（1）由f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，得f(x)＋8＝x5＋ax3＋bx.
令G(x)＝x5＋ax3＋bx＝f(x)＋8，
∵G(－x)＝(－x)5＋a(－x)3＋b(－x)＝－(x5＋ax3＋bx)＝－G(x)，∴G(x)是奇函數，∴G(－3)＝－G(3)，即f(－3)＋8＝－f(3)－8.又f(－3)＝10，
∴f(3)＝－f(－3)－16＝－10－16＝－26.
（2）因為f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－x)－g(－x)＝－x3＋x2＋1，
又由題意可知f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以f(x)＋g(x)＝－x3＋x2＋1，
則f(1)＋g(1)＝1.
歸納：利用函數奇偶性的定義式f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)進行轉化求值，或者構造方程組求值．
例6.（1）若函數為偶函數，則a=（ ）
A． B． C． D．
（2）若函數f(x)＝為奇函數，則a＝________.
（3）函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－2,2a]，則a＝_____，b＝______。
【答案】（1）C (2)－1 （3） 　0
【詳解】（1）因為函數y＝(x＋1)(x－a)為偶函數，則f(x)=f(-x),那么可知a=1,則a等于1，故選C；
（2）∵f(x)是奇函數，∴f(－x)＝－f(x)，即＝－，顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，解得a＝－1.
（3）由f(x)為偶函數知，其定義域關于原點對稱，故有a－2＋2a＝0，解得a＝.又f(x)為偶函數，所以其圖象關于y軸對稱，即－＝0，解得b＝0.
歸納：
1.定義域含參數：
奇、偶函數fx的定義域為[a，b]，根據定義域關于原點對稱，可得a＋b＝0.
2.解析式含參數的解發表：
(1)根據奇偶性定義，即利用f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比較系數求解.
(2)利用特殊點的函數值情況，比如，得到等式.
【課外作業】
基礎過關
1．對于定義域是的任意奇函數，都有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】∵為奇函數，∴，，
又，∴，故選：C.
2．已知函數是奇函數，當時，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】A
【詳解】函數是奇函數，當時，，
. 故選：A.
3．已知函數，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
【答案】B
【詳解】解：，，
，，
. 故選：B.
4．已知函數，則為（ ）
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數
【答案】D
【詳解】因，則，得定義域為：.
因定義域不關于原點對稱，則既不是奇函數又不是偶函數. 故選：D.
5．設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得，
對于A，不是奇函數；
對于B，是奇函數；
對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數；
對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數.故選：B.
6．（多選）已知定義在區間上的一個偶函數，它在上的圖像如圖，則下列說法正確的是（ ）
A．這個函數有兩個單調增區間 B．這個函數有三個單調減區間
C．這個函數在其定義域內有最大值7 D．這個函數在其定義域內有最小值
【答案】BC
【詳解】由題意作出該函數在上的圖象，如圖所示．
由圖象可知該函數有三個單調遞增區間，三個單調遞減區間，在其定義域內有最大值7，最小值不為，故選：BC.
7.若函數為奇函數，則________.
【答案】
【詳解】在定義中令，則，，解得.
8．已知函數|為偶函數，則實數___________．
【答案】0
【詳解】∵f（x）為偶函數∴f（﹣x）=f（x）恒成立，即x2﹣|x+a|=x2﹣|x﹣a|恒成立
即|x+a|=|x﹣a|恒成立，所以a=0，故答案為0.
9.判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（3）；（4）.
【答案】(1)∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝(－x)2[(－x)2＋2]＝x2(x2＋2)＝f(x)，∴f(x)為偶函數．
∵x∈R，∴－x∈R.
又∵f(－x)＝|－x＋1|－|－x－1|＝|x－1|－|x＋1|＝－(|x＋1|－|x－1|)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數．
（3）由，得，且，所以義域為，關于原點對稱，
所以.
又，所以是奇函數.
（4）函數的定義域為，定義域關于原點對稱.
①當時，，
所以，，所以；
②當時，，所以；
③當時，，所以.
綜上，可知函數為奇函數.
能力提升
10．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
【答案】C
【詳解】易知選項ABCD中的函數定義域即為；
因為是奇函數，是偶函數，所以，
對于A，，故是奇函數，即A錯誤；
對于B，，故是偶函數，即B錯誤；
對于C，，故是奇函數，即C正確；
對于D，，故是偶函數，即D錯誤；
故選：C.
11．（多選）已知函數是偶函數，且其定義域為，則（ ）
A． B．
C．函數的定義域為 D．函數的最大值為
【答案】BCD
【詳解】因為函數是偶函數，所以函數的定義域關于原點對稱．
又因為函數的定義域為，所以，解得．故A錯誤；
又因為函數是偶函數，所以，解得．所以函數的解析式為．
定義域為，其圖象是開口向上，且以y軸為對稱軸的拋物線，
所以當時，取得最大值．故BCD正確；故選：BCD.
12．（多選）函數分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【詳解】由得：，
又分別是定義在上的奇函數和偶函數，；
由得：，；
對于A，，A正確；
對于B，，B錯誤；
對于CD，，C正確，D錯誤.
故選：AC.
13．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集用區間表示為__________．
【答案】或
【詳解】當x>0時，不等式f（x）>x轉化為，由函數是奇函數，圖像關于原點對稱，因此當時不等式f（x）>x的解集為，綜上不等式的解為（－5，0）∪（5，＋∞）.
14.已知f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___________．
【答案】（﹣7，3）
【詳解】設x<0，則－x>0.∵當x≥0時，f(x)＝x2－4x，∴f(－x)＝(－x)2－4(－x)．
∵f(x)是定義在R上的偶函數，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝x2＋4x(x<0)，
∴f(x)＝
由f(x)＝5得或∴x＝5或x＝－5.
觀察圖像可知由f(x)<5，得－5∴由f(x＋2)<5，得－515．已知函數f(x)對一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求證：f(x)是奇函數；(2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)．
【答案】(1)證明：由已知f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－x得f(0)＝f(x)＋f(－x)，
令x＝y＝0得f(0)＝2f(0)，所以f(0)＝0.
所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)，故f(x)是奇函數．
（2）因為f(x)為奇函數．所以f(－3)＝－f(3)＝a，所以f(3)＝－a.又f(12)＝f(6)＋f(6)＝2f(3)＋2f(3)＝4f(3)，所以f(12)＝－4a.
16．設是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；(2)時，都有，求實數m的取值范圍．
【答案】（1）是定義在上的奇函數，當時，．
當時，，則，整理得，
所以時，；故，
（2）由（1）知，當時，．
，
所以在 上恒成立，
化簡為在上恒成立
設，所以其對稱軸為： ，
①當時，即時，上述不等式恒成立問題轉化為 ，此時，恒成立；
②當時，即或時，上述不等式恒成立問題轉化為 ，此時，，
整理得，，解得，解得或；
綜上①②得的取值范圍為：.3.2.2奇偶性（第1課時）
【學習目標】
1.理解函數的奇偶性的定義.
2.掌握判斷函數奇偶性的方法.
3.了解奇偶性與函數圖象對稱性之間的關系.
【教材知識梳理】
函數的奇偶性
奇偶性 定義 圖象特點
偶函數 設函數f(x)的定義域為，如果，都有，且___________，那么函數f(x)是偶函數 關于 對稱
奇函數 設函數f(x)的定義域為，如果，都有，且____ ，那么函數f(x)是奇函數 關于 對稱
解讀：函數的單調性往往是針對函數定義域上某一個區間而言，是函數的局部性質，而函數的奇偶性是針對整個定義域內而言的，是函數的整體性質．
概念解析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)若函數的定義域關于原點對稱，則這個函數不是奇函數，就是偶函數.(　　)
(2)存在既是奇函數，又是偶函數的函數.(　　)
(3)函數f(x)＝x2，x∈[－1，1)是偶函數. (　　)
(4)若y＝f(x)是偶函數，則一定有f(－1)＝f(1). (　　)
【教材例題變式】
（源于P84例6）例1判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝x3＋x；　　 (2)f(x)＝＋；
(3)f(x)＝； (4)f(x)＝
【教材拓展延伸】
例2 設f(x)是R上的任意函數，則下列敘述正確的是(　　)
A．f(x)f(－x)是奇函數 B．f(x)| f(－x)|是奇函數
C．f(x)－f(－x)是偶函數 D．f(x)＋f(－x)是偶函數
例3.設f(x)是偶函數，g(x)是奇函數，且f(x)＋g(x)＝，求函數f(x)，g(x)的解析式．
例4.已知奇函數f(x)的定義域為[－5，5]，且在區間[0，5]上的圖象如圖所示.
(1)畫出f(x)在區間[－5，0]上的圖象；(2)寫出使f(x)<0的x的取值集合.
例5.（1）已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，若f(－3)＝10，則f(3)＝(　　)
A.26 B.18 C.10 D.－26
（2）已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的偶函數和奇函數，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，則f(1)＋g(1)＝(　　)
A．－3 B．－1 C．1 D．3
例6.（1）若函數為偶函數，則a=（ ）
A． B． C． D．
（2）若函數f(x)＝為奇函數，則a＝________.
（3）函數f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數，定義域為[a－2,2a]，則a＝_____，b＝______。
【課外作業】
基礎過關
1．對于定義域是的任意奇函數，都有（ ）
A． B．
C． D．
2．已知函數是奇函數，當時，，那么的值是（ ）
A． B． C．1 D．3
3．已知函數，且，那么等于（ ）
A． B． C． D．10
4．已知函數，則為（ ）
A．奇函數 B．偶函數
C．既是奇函數又是偶函數 D．既不是奇函數又不是偶函數
5．設函數，則下列函數中為奇函數的是（ ）
A． B． C． D．
6．（多選）已知定義在區間上的一個偶函數，它在上的圖像如圖，則下列說法正確的是（ ）
A．這個函數有兩個單調增區間 B．這個函數有三個單調減區間
C．這個函數在其定義域內有最大值7 D．這個函數在其定義域內有最小值
7.若函數為奇函數，則________.
8．已知函數|為偶函數，則實數___________．
9.判斷下列函數的奇偶性：
(1)f(x)＝x2(x2＋2); (2)f(x)＝|x＋1|－|x－1|；
（3）；（4）.
能力提升
10．設函數的定義域為，且是奇函數，是偶函數，則下列結論中正確的是（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數
C．是奇函數 D．是奇函數
11．（多選）已知函數是偶函數，且其定義域為，則（ ）
A． B．
C．函數的定義域為 D．函數的最大值為
12．（多選）函數分別是定義在上的奇函數和偶函數，且，則（ ）
A． B．
C． D．
13．已知是定義在上的奇函數，當時，，則不等式的解集用區間表示為__________．
14.已知f（x）是定義域為R的偶函數，當x≥0時，f（x）=x2﹣4x，那么，不等式f（x+2）＜5的解集是___________．
15．已知函數f(x)對一切x、y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求證：f(x)是奇函數；(2)若f(－3)＝a，試用a表示f(12)．
16．設是定義在上的奇函數，當時，．
(1)求的解析式；(2)時，都有，求實數m的取值范圍．

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