資源簡介

一 章節復習
第1講 第五章(5.1-5.3)：1課時學案+1課時作業………………………………………………1
第2講 第五章(5.4-5.7)：2課時學案+2課時作業………………………………………………4
第3講 第一章(1.1-1.5)：1課時學案+1課時作業………………………………………………11
第4講 第二章(2.1-2.3)：2課時學案+2課時作業………………………………………………14
第5講 第三章(3.1-3.4)：2課時學案+2課時作業………………………………………………20
第6講 第四章(4.1-4.5)：2課時學案+2課時作業………………………………………………27
二 套 題
第十七周（12.19--12.23）周末作業：期末綜合復習（一）………………………………36
第十八周（12.26--12.30）周末作業：期末綜合復習（二）………………………………40
期末綜合復習（三）……………………………………………………………………………
期末綜合復習（四）……………………………………………………………………………
期末綜合復習（五）……………………………………………………………………………
附件：各部分參考答案
第一講 第五章(5.1-5.3)（1課時）
一、知識梳理：
1、三角函數的基本概念：
(1)與α終邊相同的角的集合為 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
(2)各象限角的集合為：
第一象限： {α|k·360°<α第二象限： {α|k·360°＋90°<α第三象限： {α|k·360°＋180°<α第四象限： {α|k·360°－90°<α2、角度制與弧度制
(1) 1度的角：把圓周分成360份，每一份所對的__圓心角__叫1°的角．
(2) 1弧度的角：__弧長等于半徑長__的圓弧所對的圓心角叫1弧度的角．
(3) 1°＝__弧度；1弧度＝__度．
(4)若扇形的半徑為r，圓心角的弧度數為α，則此扇形的弧長l＝_|α|·r _，面積S＝__|α|r2___＝_lr_．
3、任意角的三角函數定義
設α是一個任意角，α的終邊上任意一點(非頂點)P的坐標是(x，y)，它與原點的距離為r，
則sinα＝_____，cosα＝____，tanα＝_____,其中.
4、同角三角函數基本關系：
(1) ①平方關系：sin2α＋cos2α＝1 ②商數關系：tanα＝
③變形公式：sin2α＝1 -cos2α cos2α=1-sin2α 1=sin2α＋cos2α
sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之間的關系為:
(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx;(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx;(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
5、誘導公式：“奇變偶不變，符號看象限”，“正弦上為正，余弦右為正，正切一三為正”.
二、典型例題：
例1：(1)sin2 040°＝_____；(2)cos＝_____；(3)tan＝_____；(4)＝_____．
例2：(1)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________________________．
(2)【多選題】已知角2α的終邊在x軸的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
例3：已知角α的終邊經過點P(3m－9，m＋2)．
(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；
(2)若cosα≤0且sinα>0，求實數m的取值范圍．
例4：(1)不等式cosx≥－的解集為________________________．
(2)函數y＝lg(3－4sin2x)的定義域為__________________________．
例5：已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，求扇形的圓心角的弧度數．
例6：(1)化簡：
(2)已知sin＝，則cos(α＋π)的值為________；sin的值為________．
例7：(1)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ．
(2)已知sin2θ＝，且＜θ＜，求cosθ－sinθ的值．
例8：(1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
(2)已知tanθ＝2，求＋sin2θ的值.
三、課后作業：
1．sin2·cos3·tan4的值(　　)
A．小于0　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在
2．已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于(　　)
A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
3．若一段圓弧的長度等于其圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為(　　)
A. B. C. D.
4．若sinα＝－，且α為第三象限角，則tanα的值等于(　　)
A.　　 B．－ C. D．－
5．已知α∈，且cosα＝－，則等于(　　)
A. B．－ C. D．－
6.化簡的結果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不對
7．已知cos＝，則sin＝(　　)
A. B. C．－ D．－
8．已知sinα＋cosα＝－，則tanα＋＝(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
9．【多選題】下列各式中為負值的是(　　)
A．sin1 125° B．tanπ·sinπ C. D．sin|－1|
10．－2 020°角是第________象限角，與－2 020°角終邊相同的最小正角是________，最大負角是________．
11．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為________弧度．
12．若0≤θ≤2π，則使tanθ≤1成立的角θ的取值范圍是________．
13．函數y＝lg(sinx－cosx)的定義域為________．
14．化簡：＝________．
15．已知α為鈍角，sin(＋α)＝，則sin(－α)＝________，cos(α－)＝________．
16．已知sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，則①＝____；②sin2α－cos2α＝__．
第2講 第五章(5.4-5.6) (2課時)
一、基礎梳理
1．“五點法”描圖
(1)y＝sin x的圖象在[0,2π］上的五個關鍵點的坐標為(0，0)，，(π，0),，(2π，0)．
(2)y＝cos x的圖象在[0,2π］上的五個關鍵點的坐標為（0,1），，（π，－1）,，（2π，1)．
2．三角函數的圖象和性質
函數性質　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定義域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
圖象
值域 ［－1，1] ［－1，1] R
對稱性 對稱軸：x＝kπ＋（k∈Z) 對稱中心： (kπ，0）(k∈Z） 對稱軸：x＝kπ（k∈Z） 對稱中心: 無對稱軸 對稱中心:
周期 2π 2π π
單調性 單調增區間 ； 單調減區間 單調增區間 ［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）； 單調減區間 ［2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 單調增區間
奇偶性 奇 偶 奇
3、兩條性質:
(1)周期性
函數y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為 ，y＝tan(ωx＋φ）的最小正周期為
(2)奇偶性
三角函數中奇函數一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函數一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．
三種方法----求三角函數值域（最值）的方法:
（1）利用sin x、cos x的有界性;
（2）形式復雜的函數應化為y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域;
（3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數在區間上的值域(最值）問題．
4、三角函數定義域、值域
(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解．
(2)求解三角函數的值域（最值）常見到以下幾種類型的題目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t,化為關于t的二次函數求值域(最值）;
②形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x)＋c的三角函數，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數求值域(最值)．
5、三角恒等變換
(1) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：
; ;
對其變形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有時應用該公式比較方便。
(2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
. .
.
要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形， 這兩個形式常用。
(3)輔助角公式：
;
(4)簡單的三角恒等變換
①變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質。
②變換目標：利用公式簡化三角函數式，達到化簡、計算或證明的目的。
③變換依據：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
④變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設計變換途徑。
(5)常用知識點：
基本恒等式：
三角形中的角：，；
二、典型例題
考點一、三角函數式的化簡、求值
1．已知為第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
3．（1）計算：;
（2）化簡：.
4．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
5．已知，且，求的值．
考點二、三角函數的圖象與性質
6．要得到函數的圖象只需將函數的圖象（ ）
A．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度
B．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度
C．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度
D．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度
7．已知曲線，曲線，則下列結論正確的是（ ）
A．將曲線各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
B．將曲線各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
C．將曲線各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
D．將曲線各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
8．把函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)，則ω和φ的值分別為(　　)
A．1， B．2， C. ， D. ，
9．已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數的圖象.求函數在上的值域.
考點三、三角恒等變換與三角函數的綜合問題
10．已知．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍．
11．已知函數．
（1）求的最小正周期及對稱中心；
（2）若，求的最大值和最小值．
12．已知函數
(1)求函數的最小正周期及對稱軸方程；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變 橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求在[0，2π]上的單調遞減區間.
三、課后作業：
1．若，則（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ， 則 （ ）
A． B． C． D．
3．把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B． C． D．
4．若將函數的圖象分別向左平移個單位長度與向右平移個單位長度，所得的兩個函數圖象恰好重合，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，且，則的值是_________.
6．若，則______．
7．已知cos＋sin α＝，則sin的值為________．
8．已知，點為角終邊上的一點，且，則角________．
9．函數的最大值為________．
10．已知函數.
（1）化簡；
（2）若，且，求的值.
11．已知
（1）化簡；
（2）若且求的值；
（3）求滿足的的取值集合.
12．已知函數.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求證：當時，．
13．已知函數.
（1）求的最小正周期和的單調遞減區間；
（2）當時，求函數的最小值及取得最小值時x的值.
已知函數
(1)求的解析式及對稱中心坐標：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若當時，關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.
第3講 第一章(1.1-1.5)（1課時）
一、知識梳理：
1.集合的概念
2．常見的數集及表示符號
集合的表示法： .
4.集合間的基本關系
A是B的子集：
A是B的真子集: .
5.空集： ，記為 .
規定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.
6.有限集的子集個數：若有限集合A中含有個元素，則集合A的子集的個數為 ，真子集的個數為 ，非空子集為 ，非空真子集為 .
7.集合的運算 a.并集： ，符號語言： .
b.交集： .符號語言： .
c.補集: .符號語言: .
8.集合的運算性質：
1).并集的性質:A B A∪B=B. A∪B= A=B= .
2).交集的性質: a. A B A∩B=A. A∩B=A∪B A=B.
b.A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
3).補集的性質
(1)A∪( UA)=U, A∩( UA)= . (2) U( UA)=A, UU= , U =U.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
9.命題的概念 命題： ，真命題： ；假命題： .
10.全稱命題及其否定 全稱命題： . 符號表示p:，: .
11.存在性命題及其否定 存在性命題： . 符號表示p:，: .
12.充分條件、必要條件、充要條件: .
13.判斷方法:（1）定義法：（2）等價法：(3)利用集合間的包含關系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.
例如：“AB”“，且”是的充分不必要條件.
“”“”是的充分必要條件.
二、典型例題：
例1：已知．
若，用列舉法表示；
當中有且只有一個元素時，求的值組成的集合．
例2：已知集合，集合．
若，求實數的取值范圍；
若，求實數的取值范圍；
是否存在實數使，相等？若存在，求出；若不存在，請說明理由．
例3：(1)已知集合，則集合的所有子集的元素之和為 ．
（2）若全集,集合，，則(M)=( )
A． B． C． D．
（3）已知，，，，則有（ ）
A．=B B． C． D．
例4：已知集合，集合，．
求，；
若是的必要條件，求的取值范圍．
例5：已知命題：兩個正實數，滿足，且恒成立，命題：“，使”，若命題，命題都為真命題，求實數的取值范圍．
例6：已知集合，，集合為函數的定義域，全集為實數集．
求，；
若，求實數的取值范圍．
四、課后作業：
1．若“”是“或”的充分不必要條件，則的取值范圍（ ）
A． B．m≤1 C． D．
2．已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．或
3．“不等式在上恒成立”的充要條件是( )
A． B． C． D．
4．下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是（　）
A．對任意的、，都有 B．菱形的兩條對角線相等
C．， D．正方形是矩形
5．下列命題不是存在量詞命題的是（ ）
A．有些實數沒有平方根 B．能被5整除的數也能被2整除
C．在實數范圍內，有些一元二次方程無解 D．有一個m使與異號
6．已知命題：，，則命題的否定為（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知命題使得成立，則為（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
8．若命題“，使”是真命題，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9.若命題“”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．或 C． D．或
10．已知集合，函數的定義域為集合．
求；
求；
若，求時的取值范圍．
11．已知全集，集合，.
（1）若=1，求；
（2）若>0，設命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實數的取值圍.
第4講 第二章(2.1-2.3)（2課時）
一、知識梳理：
不等式的性質
1.不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正數同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正數乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
2.比較兩個實數（或代數式）大小
作差法、作商法是比較兩個實數（或代數式）大小的基本方法．
①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結論．
②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結論．
（二）基本不等式：
1. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）
2. (1)若，則
(2)若，則（當且僅當時取“=”）
(3)若，則 (當且僅當時取“=”）
3. 若，則 (當且僅當時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）；
若，則 (當且僅當x=1或x=-1時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）；
若，則（當且僅當時取“=”） “一正”“二定”“三相等”.
6、一元二次不等式的解法：
設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：
一元二次函數 （）的圖象
一元二次方程 有兩相異實根 有兩相等實根 無實根
R
口訣：大于取兩邊，小于取中間
8、 解一元二次不等式的基本步驟：
整理系數，使最高次項的系數為正數；
嘗試用“十字相乘法”分解因式；
計算
結合二次函數的圖象特征寫出解集。
二、典型例題：
題型一 不等式及其性質
例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
（2）已知-1（3）設a，bR，則下列命題正確的是( )．
A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a≠b，則a2≠b2 C．若a＜|b|，則a2＜b2 D．若a＞|b|，則a2＞b2
題型二 利用基本不等式求最值：“一正、二定、三相等”.
(1)若0A．2 B. C．1 D.
已知函數y＝x－4＋(x>－1)，當x＝a時，y取得最小值b，則a＝______；b＝_______.
正實數，滿足，則的最小值為
（4）已知x>0，y>0，2x+3y=6，則xy的最大值為_____.
題型三 一元二次不等式的解法
例3、解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；
例4、(1) 解關于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
（2）設m∈R，解關于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
例5、已知關于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|10的解集.
例6、解下列不等式：(1) <0； (2)≤2.
例7、（1）不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R”，求a的取值范圍。
（2）當，若不等式恒城立，則a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
（3）已知函數的定義域是一切實數，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
（4）已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，則實數m的取值范圍是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2題型四 一元二次不等式的實際應用
某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
三、課后作業
1．若，則下列不等式錯誤的是（ ）
A． B． C． D．
2．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍為（ ）
A． B．且 C． D．且
3．若，則不等式的解集是（ )
A． B． C． D．
4．設，則“”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知方程的兩根都大于2，則實數的取值范圍是（ )
A. B. C. D.
6、若兩個正實數，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
7．已知不等式的解集為，則的值為 .
8. 若命題，為假命題，則實數的取值范圍是__________．
9、不等式的解集為 .
10、不等式x2﹣3x+2＞0的解集記為p，關于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集記為q，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．
11．(1)解這個關于x的不等式.
(2)若不等式對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍.
12、如圖，某學校準備修建一個面積為600平方米的矩形活動場地（圖中ABCD）的圍欄，按照修建要求，中間用圍墻EF隔開，使得ABEF為矩形，EFCD為正方形，設米，已知圍墻（包括EF）的修建費用均為每米800元，設圍墻（包括EF）的修建總費用為y元．
（1）求出y關于x的函數解析式及x的取值范圍；
（2）當x為何值時，圍墻（包括EF）的修建總費用y最小？并求出y的最小值．
第5講 第三章(3.1-3.4)（2課時）
一、知識梳理
1.函數的定義：數集A中_____自變量x,在集合B中都有______的函數值y對應。
2.求定義域：注意沒有意義的式子，⑴分式分母________，⑵偶次根式被開方數______，⑶對數式真數等。
3.求值域的方法：⑴__________，⑵__________，⑶換元法，⑷分離常數法，⑸反表示法等。
4.求解析式：⑴_________，⑵___________，⑶配湊法，⑷解方程組法等。
5.分段函數求自變量：要用到___________思想。
6.增（減）函數的定義：對于函數的定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量，當時，都有____________（_____________）。
7.判斷單調性的方法：
⑴______
⑵_______：分三步：“一設二證三下”，證明時常用作差比較法，
⑶復合函數：“__________”，
⑷結論：奇函數在對稱區間上單調性_____，偶函數在對稱區間上單調性_____。
8.單調性的應用題型及解法
⑴求參數的范圍，⑵解抽象不等式，⑶比較大小等。
9.奇（偶）函數的定義：
對于函數的定義域I內任意x都有____________（______________）。
10.判斷奇偶性的方法：
⑴________，
⑵________：分三步：①看定義域是否關于原點對稱，不對稱時直接為非奇非偶函數，對稱時進行第二步，②看 等于還是，還是都不恒等，③下結論。
11.奇偶性的應用題型及解法
⑴求參數值：①一般法：奇函數，偶函數，注意等式為恒等式，化簡后可利用方程兩邊x的系數對應相等。
②特殊值法：如奇函數，奇函數自變量可取0 ，這樣可直接得到關于參數的方程，但要注意檢驗。
⑵解抽象不等式
注意要將自變量化到同一單調區間上，偶函數可以利用。
⑶求對稱區間上的解析式
分三步：①求誰設誰，②求出，③利用奇偶性將轉化為。
⑷比較大小
⑸利用函數的局部奇函數求函數值
12.冪函數
⑴定義：形如_________的函數。只要求掌握五個函數。
⑵圖像和性質：①都過定點______，
②當______時，在上為增函數，當時，在上為減函數。
二、例題講解
題型一 函數的概念
例1．對于集合，則由下列圖形給出的對應f中，能構成從A到B的函數的是(　　)
A． B．C． D．
題型二 判斷是否為同一個函數
例2.下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
題型三 求函數的定義域
例3.函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
例4.已知函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
例5函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型四 求函數解析式
例6.已知是一次函數，且滿足：，則＝________.
例7.設函數，則的表達式為（ ）
A． B． C． D．
題型五 函數性質及其應用
例8.若在區間上是增函數，則實數的取值范圍是______．
例9．已知函數是定義在上的奇函數，當時，,則__________.
例10.若函數在上為奇函數，則___________.
例11.函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例12.已知函數是偶函數，且在上單調遞減。若，則實數a的取值范圍為______。
例13.已知是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，（ ）
A． B． C． D．
例14.定義在上的偶函數在區間上單調遞減，若，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例15.函數是定義在上的奇函數且單調遞減，若則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例16.已知函數是定義在上的奇函數，且．
(1)確定函數的解析式；
(2)當時判斷函數的單調性，并證明；
題型六 分段函數
例17.若函數且滿足對任意的實數都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
例18.設，若，則（ ）
A． B． C． D．
題型七 冪函數的應用
冪函數y＝xα的性質
(1)當α>0時，
①圖象都通過點(0，0)，(1，1)；
②在第一象限內，函數值隨x的增大而增大；
③在第一象限內，α>1時，圖象是向下凸上升的；0<α<1時，圖象是向上凸上升的；
④在第一象限內，過點(1，1)后，圖象向右上方無限伸展.
(2)當α<0時，
①圖象都通過點(1，1)；
②在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的；
③在第一象限內，圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；
④在第一象限內，過點(1，1)后，|α|越大，圖象下降的速度越快.
例19.當時，冪函數為減函數，則_________．
例20.已知冪函數在上單調遞增，則m＝______．
題型八 抽象函數
例21. 已知函數對任意,總有，且當時，
。
⑴求證：是奇函數；
⑵求證：是R上的單調遞減函數；
⑶求在上的最大值和最小值。
三、課后作業:
一、單選題：
1．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
2．已知冪函數的圖象經過點(2，4)，則＝（　　）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
3．已知則（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
4．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
5．下列圖象表示的函數中具有奇偶性的是（ ）
A． B．C． D．
6．偶函數的圖象關于軸對稱，下列圖象中，可以表示偶函數的是（ ）．
A． B． C． D．
7．若冪函數在上為減函數,則的值為（　 　）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
8．已知，若對任意，，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二 多選題：
9．已知函數是奇函數，則下列選項正確的有（ ）
A． B．在區間單調遞增 C．的最小值為 D．的最大值為2
10．函數 ()的定義域為[2，5)，下列說法正確的是 （ ）
A．最小值為 B．最大值為4 C．無最大值 D．無最小值
11．下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
12．高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德 牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，如：，．若函數，則關于函數的敘述中正確的有（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數 C．的值域是 D．是上的增函數
三 填空題：
13．函數，則_________
14．已知函數在區間是單調遞增函數，則實數的取值范圍是______．
15．已知函數分別由下表給出：
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
滿足的值是___________
16.函數的定義域是__________，值域是__________.
四、解答題
17．已知函數是定義域為的奇函數，當時，f(x).
（1）求；
（2）求出函數在上的解析式；
18．若二次函數滿足且.
（1）求的解析式；
（2）若在區間上不等式恒成立，求實數的取值范圍.
19．（函數是定義在上的偶函數，當時，．
（1）求函數在的解析式；
（2）當時，若，求實數的值．
20．已知二次函數，滿足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）設函數，函數，求函數在區間上的最值.
第6講 第四章(4.1-4.5)(2課時)
4.1 指數
一、知識梳理：
知識點一、次方根的定義及性質
定義：式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數。
性質：（1）；（2）
知識點二、分數指數冪和有理數指數冪
分數指數冪
正數的正分數指數冪：
正數的負分數指數冪：
2、有理數指數冪的運算性質
；
；
知識點三、無理數指數冪和實數指數冪的概念
（1）；
（2）；
（3）
二、典型例題
題型一、根式的化簡與求值
例1：求下列各式的值：
； （2）；
（3）。
題型二、冪的化簡與求值
例2：計算下列各式的值：
（1）； （2）。
題型三、含附加條件的求值問題
例3：若，求的值。
題型四、與指數冪有關的等式的證明
例4：設，，都是正數，且，求證：。
4.2 指數函數
一、知識梳理
知識點一、指數函數
一般地，函數叫做指數函數，其中指數是自變量，定義域是。
知識點二、指數函數的圖象和性質
1、指數函數的圖象與性質
函數
圖象
圖象特征 在軸上方，且過定點
當逐漸增大時，圖象逐漸上升 當逐漸增大時，圖象逐漸下降
性質 定義域
值域
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減
奇偶性 既不是奇函數也不是偶函數
函數值變化規律 當時，
當時，； 當時， 當時，； 當時，
2、指數函數的圖象
（1）對稱性：函數與的圖象關于軸對稱，即底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于軸對稱。根據這種對稱性，就可以利用一個函數的圖象，畫出另一個函數的圖象。
（2）指數函數與的圖象都經過點，且圖象都在軸上方。
二、典型例題
題型一、與指數函數有關的定義域和值域問題
1、形如的函數的定義域和值域問題
例1：求下列函數的定義域和值域：
； （2）
2、形如的函數的定義域和值域問題
例2：求函數的定義域和值域。
題型二、指數函數的圖象及應用
1、圖象過定點問題
例3：函數且的圖像恒過定點 ．
2、函數圖象的識別
例4：函數的圖象大致是( )
A. B. C. D.
題型三、指數函數的單調性及應用
1、利用指數函數的單調性研究最值問題
例5：已知函數，則下列敘述正確的是( )
A. 當時，函數在區間上是增函數
B. 當時，函數在區間上是減函數
C. 若函數有最大值，則
D. 若函數在區間上是增函數，則的取值范圍是
2、利用指數函數的單調性比較大小
例6：設，則，，的大小順序是．( )
A. B. C. D.
3、利用指數函數的單調性解指數不等式
例7：已知函數，則不等式的解集為( )
A. B. C. D.
4、指數型復合函數的單調性與奇偶性
例8：已知函數且，．
判斷并證明函數的奇偶性；
求不等式的解集．
4.3 對數
一、知識梳理：
知識點一、對數的概念
1、對數的定義
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作。
兩類常見對數
常用對數：以為底的對數叫做常用對數記為.
自然對數：以為底的對數叫做自然對數，是無理數，記為
3、對數與指數間的關系：
知識點二、對數的性質
1、對數的性質
（1）負數和沒有對數，即。
（2）的對數等于，即。
（3）底的對數等于，即。
2、兩個常用結論
（1）對數恒等式：。
（2）。
知識點三、對數的運算性質
如果，, ，那么
（1）.（2）.（3）。
知識點四、換底公式
1、換底公式:。
2、幾個常用推論
推論1: ，即。
推論2: 。
推論3: 。
二、典型例題
題型一、對數式的化簡與求值
例1、計算下列各式的值：
； ．
題型二有附加條件的對數求值問題
例2、若，，則等于( )
A. B. C. D.
4.4 對數函數
一、知識梳理
知識點一、對數函數的定義
一般地，函數叫做對數函數，其中是自變量，定義域是。
知識點二、對數函數的圖象和性質
1、對數函數的圖象和性質
圖象
性質 定義域：
值域：
圖象過點，即當時，
當時，； 當時， 當時，； 當時，
在上是增函數 在上是減函數
2、底數對對數函數圖象的影響
（1）函數與的圖象關于軸對稱。
（2）底數決定函數的圖象相對位置的高低：
知識點三、反函數
1、反函數
指數函數與對數函數互為反函數。
2、反函數的性質
（1）互為反函數的兩個函數的定義域和值域正好互換。
（2）互為反函數的兩個函數的圖像關于直線對稱。
（3）若函數的圖象上有一點，則點必在其反函數的圖象上；反之，若點在反函數的圖象上，則點必在原函數的圖象上。
二、典型例題
題型一、與對數函數有關的定義域問題
1、求對數型函數的定義域
例1：函數的定義域為( )
A. B. C. D.
2、已知函數的定義域，求字母的取值
例2：已知函數，若它的定義域為，則的范圍是 。
題型二、對數函數的圖象及應用
1、對數過定點問題
例3：已知函數的圖象恒過定點，若點也在函數的圖象上，則 ．
2、圖象的識別問題
例4：在同一平面直角坐標系中，函數，，且的圖象可能是( )
A. B. C. D.
3、圖象的作法及應用-數形結合思想
例5：設函數是定義在上的奇函數，若當時，，則滿足的的取值范圍是 ．
題型三、對數函數的單調性及應用
1、比較大小
例6：三個數，，的大小順序是( )
A. B. C. D.
2、解不等式
例7：若，則下列不等式正確的是( )
．
A. B. C. D.
題型四、與對數函數有關的值域與最值問題
例8：若函數的值域是，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
例9：已知函數的定義域是設
求函數的解析式及定義域；
求函數的最值．
題型五、對數型復合函數的單調性與奇偶性問題
例10：已知．
求的定義域；
判斷的奇偶性并予以證明；
若，求使的的取值范圍．
4.5函數的應用（二）
一、知識梳理
知識點一、函數的零點與方程的解
1、函數零點的定義
對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點。
2、函數零點與方程解的聯系
函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標。
3、常見函數的零點
知識點二、函數零點存在定理
1、函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程
的解。
2、函數零點存在定理的幾何意義
在閉區間上有連續曲線，若連續曲線的始點與終點分別在橫軸的兩側，則此連續曲線與橫軸至少有一個交點。
3、函數零點存在定理的推論
若函數在區間上單調，其圖象是一條連續不斷的曲線，且有，則函數在區間內有且只有一個零點，即存在唯一的，使得。
知識點、用二分法求方程的近似解
1、二分法的定義
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
2、區間的中點：一般地，我們把稱為區間的中點。
二、典型例題
題型一、函數的零點及個數的判斷
1、求函數的零點或零點個數
例1：函數的零點個數為( )
A. B. C. D.
例2：已知在上為奇函數，在上為偶函數，設，則函數在上的零點個數可能為( )
A. B. C. D.
2、已知函數的零點個數求參數的取值范圍
例3：已知是定義域為的單調函數，若對任意的，都有，且方程在區間上有兩解，則實數的可能取值是
A. B. C. D.
題型二、判斷函數零點所在的區間
1、確定零點所在的區間
例4：函數的零點所在區間是( )
A. B. C. D.
2、與函數的零點（或方程的根）有關的參數問題
例5：函數的零點所在區間為，則為( )
A. B. C. D.
例6、已知關于的方程有兩個實數解，則實數的取值范圍是 ．
例7、已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，則的取值范圍為 ．
題型四、對二分法的理解
例8、用二分法求出函數零點所在的區間是( )
A. B. C. D.
第十七周（12.19--12.23）周末作業
期末綜合復習（一）
第Ⅰ卷
一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1．已知集合，下列選項正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知命題，，則是成立的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件
3．不等式的解集為（ ）
A． B． C．或 D．
4．已知，，則等于（ ）
A． B．7 C． D．－7
5．下列函數中，既是偶函數又在上單調遞減的是（ ）
A． B． C．y=|x| D．
6．某公司為激勵創新，計劃逐年加大研發資金投入．若該公司2020年全年投入研發資金130萬元，在此基礎上，每年投入的研發資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發資金開始超過200萬元的年份是（ ）（參考數據：）
A．2023年 B．2024年 C．2025年 D．2026年
7．已知函數，且，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
8．如果函數的定義域為，且值域為，則稱為“函數．已知函數是“函數，則m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）
9．若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列各式中，值為的有（ ）
A． B． C． D．
11．已知函數，下列說法中正確的是（ ）
A．不是周期函數 B．在(0，)上是單調遞增函數
C．在(0，)內有且只有一個零點 D．關于點(，0)對稱
12．已知函數函數有四個不同的零點，，，，且，則（ ）
A．的取值范圍是 B．的取值范圍是 C． D．
第Ⅱ卷
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13．已知，則____________.（可用對數符號作答）
14．已知y=f(x)是奇函數，當x≥0時， ，則f(-8)的值是____.
15．已知，且，寫出一個滿足條件的的值___________．
16．已知函數，若、、、、滿足，則的取值范圍為________.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．(10分)已知角終邊上有一點，且.
(1)求的值，并求與的值；
(2)化簡并求的值.
18．(12分)已知函數．
(1)判斷在區間上的單調性，并用定義證明；
(2)求在區間上的值域．
19．(12分)已知定義在上的函數（其中）.
（1）若關于的不等式的解集為，求實數的值；
（2）若不等式對任意恒成立，求的取值范圍.
20．(12分)冰雪裝備器材產業是冰雪產業的重要組成部分，加快發展冰雪裝備器材產業，對籌辦好北京2022年冬奧會、冬殘奧會，帶動我國3億人參與冰雪運動具有重要的支撐作用.某冰雪裝備器材生產企業，生產某種產品的年固定成本為300萬元，每生產千件，需另投入成本（萬元）.當年產量低于60千件時，；當年產量不低于60千件時，.每千件產品售價為60萬元，且生產的產品能全部售完.
(1)寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；
(2)當年產量為多少千件時，企業所獲得利潤最大？最大利潤是多少？
21．(12分)已知函數（其中且）是奇函數.
(1)求的值；
(2)若對任意的，都有不等式恒成立，求實數的取值范圍.
22．(12分)已知函數，.
(1)若在區間上是單調函數，則的取值范圍；
(2)在（1）的條件下，是否存在實數，使得函數與函數的圖象在區間上有唯一的交點，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由
第十八周（12.26--12.30）周末作業
期末綜合復習（二）
第Ⅰ卷
一、單選題（本大題共8小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）
1．設全集，則A)=（ ）
A． B． C． D．
2．設，則的值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
3．若關于的不等式在區間內有解，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
4．函數的大致圖象為（ ）
A． B． C． D．
5．已知，則a，b，c，d的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
6．，則（ ）
A． B． C． D．
7．已知.給出下列判斷：
①若，且，則；
②存在使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關于軸對稱；
③若在上恰有7個零點，則的取值范圍為；
④若在上單調遞增，則的取值范圍為.
其中，判斷正確的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知函數，若在定義域上恒成立，則的值是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
二、多選題（本大題共4小題，共20分。在每小題有多項符合題目要求）
9．如圖，是全集，是的兩個子集，則陰影部分所表示的集合是（ ）
M) B． N)
C． M D．M
10．已知函數，則（ ）
A．的最小值為 B．的圖像關于軸對稱
C．的圖像關于直線對稱 D．的圖像關于直線對稱
11．若，，且，則下列說法正確的是（ ）
A．的最大值為 B．的最小值為2
C．的最小值是 D．的最小值為4
12．已知函數，則（ ）
A．當時，函數有且僅有一個零點 B．當時，函數沒有零點
C．當時，函數有兩個不同的零點 D．當，函數有四個不同的零點
第Ⅱ卷
三、填空題（本大題共4小題，共20分）
13．冪函數在區間上單調遞減，則實數m的值為________．
14．若，，則的值___________.
15．寫出一個最小正周期為3的奇函數___________.
16．已知函數恰有3個零點，則的取值范圍是___________.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.）
17．(10分)集合，集合，
（1）求；
（2）若，求實數的取值范圍.
18．(12分)已知函數是定義在R上的增函數，并且滿足．
(1)求的值；
(2)判斷函數的奇偶性；
(3)若，求x的取值范圍．
19．(12分)已知是定義在R上的奇函數，當時，．
(1)函數在R上的解析式；
(2)若函數在區間單調遞增，求實數m的取值范圍．
20．(12分)已知函數（其中，，）圖象上兩相鄰最高點之間的距離為，且點是該函數圖象上的一個最高點
(1)求函數的解析式；
(2)把函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象，若恒有，求實數的最小值.
21．(12分)已知重慶地鐵1號線路通車后，軌道交通的發車時間間隔（單位：分鐘）滿足，經市場調研測算，地鐵的載客量與發車的時間間隔相關，當時，地鐵為滿載狀態，載客量為人；當時，載量會減少，減少的人數與成正比，且發車時間間隔為分鐘時的載客量為人，記地鐵的載客量為.
(1)求的表達式，并求發車時間間隔為分鐘時地鐵的載客量；
(2)若該線路每分鐘的凈收益為（元）.問：當地鐵發車時間間隔多少時，該線路每分鐘的凈收益最大？
22．(12分)已知且是上的奇函數，且
(1)求的解析式；
(2)若不等式對恒成立，求的取值范圍.一 章節復習
第1講 第五章(5.1-5.3)：1課時學案+1課時作業………………………………………………
第2講 第五章(5.4-5.7)：2課時學案+2課時作業………………………………………………
第3講 第一章(1.1-1.5)：1課時學案+1課時作業………………………………………………
第4講 第二章(2.1-2.3)：2課時學案+2課時作業………………………………………………
第5講 第三章(3.1-3.4)：2課時學案+2課時作業………………………………………………
第6講 第四章(4.1-4.5)：2課時學案+2課時作業………………………………………………
二 套 題
第十七周（12.19--12.23）周末作業：期末綜合復習（一）………………………………
第十八周（12.26--12.30）周末作業：期末綜合復習（二）………………………………
期末綜合復習（三）……………………………………………………………………………
期末綜合復習（四）……………………………………………………………………………
期末綜合復習（五）……………………………………………………………………………
附件：各部分參考答案
第一講 第五章(5.1-5.3)（1課時）
一、知識梳理：
1、三角函數的基本概念：
(1)與α終邊相同的角的集合為 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
(2)各象限角的集合為：
第一象限： {α|k·360°<α第二象限： {α|k·360°＋90°<α第三象限： {α|k·360°＋180°<α第四象限： {α|k·360°－90°<α2、角度制與弧度制
(1) 1度的角：把圓周分成360份，每一份所對的__圓心角__叫1°的角．
(2) 1弧度的角：__弧長等于半徑長__的圓弧所對的圓心角叫1弧度的角．
(3) 1°＝__弧度；1弧度＝__度．
(4)若扇形的半徑為r，圓心角的弧度數為α，則此扇形的弧長l＝_|α|·r _，面積S＝__|α|r2___＝_lr_．
3、任意角的三角函數定義
設α是一個任意角，α的終邊上任意一點(非頂點)P的坐標是(x，y)，它與原點的距離為r，
則sinα＝_____，cosα＝____，tanα＝_____,其中.
4、同角三角函數基本關系：
(1) ①平方關系：sin2α＋cos2α＝1 ②商數關系：tanα＝
③變形公式：sin2α＝1 -cos2α cos2α=1-sin2α 1=sin2α＋cos2α
sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之間的關系為:
(sinx＋cosx)2＝1＋2sinxcosx;(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx;(sinx＋cosx)2＋(sinx－cosx)2＝2.
5、誘導公式：“奇變偶不變，符號看象限”，“正弦上為正，余弦右為正，正切一三為正”.
二、典型例題：
例1：(1)sin2 040°＝_____；(2)cos＝_____；(3)tan＝_____；(4)＝_____．
【解析】(1)sin2 040°＝sin(5×360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－.
(2)cos＝cos＝－cos＝－.
(3)tan＝－tan＝－tan＝－.
(4)＝|cos120°|＝＝.
例2：(1)終邊在直線y＝x上，且在[－2π，2π)內的角α的集合為________________________．
【解析】　如圖，在坐標系中畫出直線y＝x，可以發現它與x軸的夾角是，在[0，2π)內，終邊在直線y＝x上的角有兩個：，；在[－2π，0)內滿足條件的角有兩個：－，－，故滿足條件的角α構成的集合為.
(2)【多選題】已知角2α的終邊在x軸的上方，那么角α可能是(　　)
A．第一象限角　　　 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【解析】AC
例3：已知角α的終邊經過點P(3m－9，m＋2)．
(1)若m＝2，求5sinα＋3tanα的值；
(2)若cosα≤0且sinα>0，求實數m的取值范圍．
【解析】　(1)因為m＝2，所以P(－3，4)，所以x＝－3，y＝4，r＝5.
所以sinα＝＝，tanα＝＝－.所以5sinα＋3tanα＝5×＋3×＝0.
(2)因為cosα≤0且sinα>0，所以所以－2例4：(1)不等式cosx≥－的解集為________________________．
(2)函數y＝lg(3－4sin2x)的定義域為__________________________．
(1)【解析】　數形結合，cosx≥－的解集為{x|2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z}．
(2)【解析】　∵3－4sin2x>0，∴sin2x<.∴－例5：已知扇形的周長是6 cm，面積是2 cm2，求扇形的圓心角的弧度數．
【解析】　設扇形的圓心角為α，半徑為r，由扇形周長公式和扇形面積公式得2r＋αr＝6，αr2＝4，消去r得36α＝4(2＋α)2，即α2－5α＋4＝0，解得α＝1或α＝4.故填1或4.
例6：(1)化簡：
(2)已知sin＝，則cos(α＋π)的值為________；sin的值為________．
(1)【解析】　原式＝＝－.
(2)【解析】　cos＝cos(＋α＋)＝－sin(α＋)＝－.
sin＝sin[π－]＝sin(α＋)＝.
例7：(1)已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求sinθ－cosθ．
(2)已知sin2θ＝，且＜θ＜，求cosθ－sinθ的值．
(1)【解析】　∵sinθ＋cosθ＝，
∴(sinθ＋cosθ)2＝. ∴2sinθcosθ＝－.
又θ∈(0，π)， ∴sinθ>0，cosθ<0.
∴sinθ－cosθ＝＝＝.
(2)【解析】　∵(cosθ－sinθ)2＝1－2sinθcosθ＝1－sin2θ＝，
∴要求cosθ－sinθ，只需判斷cosθ－sinθ的符號．
∵＜θ＜，∴cosθ＜sinθ，即cosθ－sinθ＜0.
∴cosθ－sinθ＝－＝－.
例8：(1)已知tanα＝3，求sin2α－3sinαcosα＋1的值．
(2)已知tanθ＝2，求＋sin2θ的值.
(1)【解析】　∵tanα＝3，sin2α＋cos2α＝1，
∴sin2α－3sinαcosα＋1＝＋1＝＋1＝＋1＝1.
(2)【解析】　方法一：＋sin2θ＝＋＝＋，將tanθ＝2代入，得原式＝.
方法二：tanθ＝2＝，在平面直角坐標系xOy中，不妨設θ為銳角，角θ的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上取點P(1，2)，則|OP|＝，由三角函數的定義，得sinθ＝，cosθ＝，所以＋sin2θ＝＋＝.
三、課后作業：
1．sin2·cos3·tan4的值(　　)
A．小于0　　　 B．大于0 C．等于0 D．不存在
答案　A
2．已知角α終邊上一點P的坐標是(2sin2，－2cos2)，則sinα等于(　　)
A．sin2 B．－sin2 C．cos2 D．－cos2
答案　D
3．若一段圓弧的長度等于其圓內接正三角形的邊長，則其圓心角的弧度數為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
4．若sinα＝－，且α為第三象限角，則tanα的值等于(　　)
A.　　 B．－ C. D．－
答案　C
5．已知α∈，且cosα＝－，則等于(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　C解析　由已知得sinα＝＝，
∴＝＝＝＝.
6.化簡的結果是(　　)
A．sin3－cos3 B．cos3－sin3 C．±(sin3－cos3) D．以上都不對
答案　A
解析　sin(π－3)＝sin3，cos(π＋3)＝－cos3，
∴原式＝＝＝|sin3－cos3|.
∵<3<π，∴sin3>0，cos3<0.
∴原式＝sin3－cos3，故選A.
7．已知cos＝，則sin＝(　　)
A. B. C．－ D．－
答案　C
解析　本題考查三角函數的誘導公式．
方法一：由題意可得，sin＝sin＝－cos＝－.
方法二：sin＝－sin＝－sin＝－cos＝－cos＝－.
8．已知sinα＋cosα＝－，則tanα＋＝(　　)
A．2 B. C．－2 D．－
答案　A
解析　由已知可得(sinα＋cosα)2＝2，∴sinαcosα＝，tanα＋＝＋＝＝＝2.故選A.
9．【多選題】下列各式中為負值的是(　　)
A．sin1 125° B．tanπ·sinπ C. D．sin|－1|
答案　BC
解析　確定一個角的某一三角函數值的符號關鍵要看角在哪個象限，確定一個式子的符號，則需觀察構成該式的結構特點及每部分的符號．
對于A，因為1 125°＝1 080°＋45°，所以1 125°是第一象限角，所以sin1 125°>0；
對于B，因為π＝2π＋π，則π是第三象限角，所以tanπ>0，sinπ<0，故tanπ·sinπ<0；
對于C，因為4弧度的角在第三象限，所以sin4<0，tan4>0，故<0；
對于D，因為<1<，所以sin|－1|>0，綜上，BC為負數．
10．－2 020°角是第________象限角，與－2 020°角終邊相同的最小正角是________，最大負角是________．
答案　二　140°　－220°
解析　∵－2 020°＝－6×360°＋140°，∴－2 020°角的終邊與140°角的終邊相同．
∴－2 020°角是第二象限角，與－2 020°角終邊相同的最小正角是140°.又140°－360°＝－220°，故與－2 020°終邊相同的最大負角是－220°.
11．若扇形的周長為6，半徑為2，則其圓心角的大小為________弧度．
答案　1
解析　由得α＝1.
12．若0≤θ≤2π，則使tanθ≤1成立的角θ的取值范圍是________．
答案　∪∪
13．函數y＝lg(sinx－cosx)的定義域為________．
答案　{x|＋2kπ解析　要使sinx>cosx，只需14．化簡：＝________．
答案　1
15．已知α為鈍角，sin(＋α)＝，則sin(－α)＝________，cos(α－)＝________．
答案　－　
解析　sin(－α)＝cos[－(－α)]＝cos(＋α)，
∵α為鈍角，∴π<＋α<π.∴cos(＋α)<0.
∴cos(＋α)＝－＝－.∴sin(－α)＝－.
cos(α－)＝sin[＋(α－)]＝sin(＋α)＝.
16．已知sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，則①＝____；②sin2α－cos2α＝__．
答案　①－　②
解析　∵sin(3π＋α)＝2sin(＋α)，
∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.
①原式＝＝＝－.
②∵sinα＝2cosα，∴cosα≠0，∴tanα＝2，
∴原式＝2sin2α－cos2α＝＝＝.
第2講 第五章(5.4-5.6) (2課時)
一、基礎梳理
1．“五點法”描圖
(1)y＝sin x的圖象在[0,2π］上的五個關鍵點的坐標為(0，0)，，(π，0),，(2π，0)．
(2)y＝cos x的圖象在[0,2π］上的五個關鍵點的坐標為（0,1），，（π，－1）,，（2π，1)．
2．三角函數的圖象和性質
函數性質　　 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
定義域 R R ｛x|x≠kπ＋，k∈Z｝
圖象
值域 ［－1，1] ［－1，1] R
對稱性 對稱軸：x＝kπ＋（k∈Z) 對稱中心： (kπ，0）(k∈Z） 對稱軸：x＝kπ（k∈Z） 對稱中心: 無對稱軸 對稱中心:
周期 2π 2π π
單調性 單調增區間 ； 單調減區間 單調增區間 ［2kπ－π，2kπ］（k∈Z）； 單調減區間 ［2kπ，2kπ＋π]（k∈Z） 單調增區間
奇偶性 奇 偶 奇
3、兩條性質:
(1)周期性
函數y＝Asin（ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為 ，y＝tan(ωx＋φ）的最小正周期為
(2)奇偶性
三角函數中奇函數一般可化為y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函數一般可化為y＝Acos ωx＋b的形式．
三種方法----求三角函數值域（最值）的方法:
（1）利用sin x、cos x的有界性;
（2）形式復雜的函數應化為y＝Asin（ωx＋φ）＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范圍，根據正弦函數單調性寫出函數的值域;
（3)換元法：把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數在區間上的值域(最值）問題．
4、三角函數定義域、值域
(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解．
(2)求解三角函數的值域（最值）常見到以下幾種類型的題目：
①形如y＝asin2x＋bsin x＋c的三角函數，可先設sin x＝t,化為關于t的二次函數求值域(最值）;
②形如y＝asin xcos x＋b（sin x±cos x)＋c的三角函數，可先設t＝sin x±cos x，化為關于t的二次函數求值域(最值)．
5、三角恒等變換
(1) 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式如下：
; ;
對其變形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有時應用該公式比較方便。
(2) 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
. .
.
要熟悉余弦“倍角”與“二次”的關系（升角—降次，降角—升次）．特別注意公式的三角表達形式，且要善于變形， 這兩個形式常用。
(3)輔助角公式：
;
(4)簡單的三角恒等變換
①變換對象：角、名稱和形式，三角變換只變其形，不變其質。
②變換目標：利用公式簡化三角函數式，達到化簡、計算或證明的目的。
③變換依據：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。
④變換思路：明確變換目標，選擇變換公式，設計變換途徑。
(5)常用知識點：
基本恒等式：
三角形中的角：，；
二、典型例題
考點一、三角函數式的化簡、求值
1．已知為第二象限角，且，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】∵，平方得，∴2cossin＝﹣
∴，
∵為第二象限角， ∴ 故選B．
2．若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】將式子進行齊次化處理得：
．故選：C．
3．（1）計算：;
（2）化簡：.
【詳解】（1）.
（2）.
4．已知，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
【詳解】（1）.
（2）由于，，所以，
所以，
，
所以
5．已知，且，求的值．
【詳解】∵，∴，
∵，∴．
所以,
∴．
考點二、三角函數的圖象與性質
6．要得到函數的圖象只需將函數的圖象（ ）
A．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度
B．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度
C．先向右平移個單位長度，再向下平移2個單位長度
D．先向左平移個單位長度，再向上平移2個單位長度
【解析】根據三角函數圖像平移規則，進行平移即可
【詳解】解：由函數，，
所以先向左平移個單位長度，得的圖像，再向上平移2個單位長度，得 的圖像，故選：B
7．已知曲線，曲線，則下列結論正確的是（ ）
A．將曲線各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
B．將曲線各點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
C．將曲線各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
D．將曲線各點的橫坐標變為原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位，得到曲線
【詳解】A.得到曲線：，所以該選項錯誤；
B.得到曲線：，所以該選項錯誤；
C.得到曲線：，所以該選項錯誤；
D.得到曲線：，所以該選項正確.
故選：D
8．把函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象上每一點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，然后再向左平移個單位長度，得到一個最小正周期為2π的奇函數g(x)，則ω和φ的值分別為(　　)
A．1， B．2， C. ， D. ，
【詳解】依題意得f(x)第一次變換得到的函數解析式為m(x)＝2cos，則函數g(x)＝2cos.
因為函數的最小正周期為2π，所以ω＝2，
則g(x)＝2cos.又因為函數為奇函數，所以φ＋＝kπ＋，k∈Z， 又0<φ<π，則φ＝.
9．已知函數的部分圖象如圖所示.
(1)求函數的解析式；
(2)若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象；再把圖象上所有點向左平行移動個單位長度，得到函數的圖象.求函數在上的值域.
【詳解】（1）由的部分圖象可知，
，可得，所以，
由五點作圖法可得，解得，
所以函數的解析式為.
（2）若先將函數圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的4倍（縱坐標不變），得到函數的圖象，再把后者圖象上所有點向左平行移動個單位長度，
得到函數的圖象.
當時，，
所以.所以函數在上的值域為.
考點三、三角恒等變換與三角函數的綜合問題
10．已知．
（1）求的單調遞增區間；
（2）若對任意的恒成立，求的取值范圍．
【詳解】（1）化簡得
==，
令，解得
所以單調遞增區間為，.
（2）由（1）可得，
即，對任意的恒成立，
只需要即可，
，
令，因為，則，所以，
所以，
由對勾函數性質可得，當時，為減函數，
所以當時，， 所以．
11．已知函數．
（1）求的最小正周期及對稱中心；
（2）若，求的最大值和最小值．
【詳解】（Ⅰ）∴的最小正周期為，
令，則，∴的對稱中心為；
（Ⅱ）∵ ∴ ∴∴
∴當時，的最小值為； 當時，的最大值為．
12．已知函數
(1)求函數的最小正周期及對稱軸方程；
(2)將函數的圖象向左平移個單位，再將所得圖象上各點的縱坐標不變 橫坐標伸長為原來的2倍，得到函數的圖象，求在[0，2π]上的單調遞減區間.
【詳解】（1），
，
所以函數的最小正周期為，
令，，得函數的對稱軸方程為，
（2）將函數的圖象向左平移個單位后所得圖象的解析式為， 所以，
令，所以.又，
所以在上的單調遞減區間為.
三、課后作業：
1．若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】，
.
2．已知 ， 則 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】因為，
所以，
所以.
3．把函數圖像上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把所得曲線向右平移個單位長度，得到函數的圖像，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】解法一：函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到的圖象，再把所得曲線向右平移個單位長度，應當得到的圖象，
根據已知得到了函數的圖象，所以，
令,則,
所以,所以；
解法二：由已知的函數逆向變換，
第一步：向左平移個單位長度，得到的圖象，
第二步：圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，得到的圖象，
即為的圖象，所以.
4．若將函數的圖象分別向左平移個單位長度與向右平移個單位長度，所得的兩個函數圖象恰好重合，則的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】的圖象向左平移個單位長度得的圖象,
向右平移（）個單位長度得的圖象,
由題意得 （）
所以（）
又 ,故的最小值為,
5．已知，且，則的值是_________.
【答案】
【詳解】，因為，所以，所以，所以，所以.
6．若，則______．
【答案】
【詳解】
， 所以.
7．已知cos＋sin α＝，則sin的值為________．
【答案】－ 【詳解】由已知得cos α＋sin α＝，所以cos α＋sin α＝，即sin＝，
因此sin＝－sin＝－.
8．已知，點為角終邊上的一點，且，則角________．
【答案】． 【詳解】∵，∴，∴，．
又，∴．
∵，∴，∴，
∴．
∵，∴．
9．函數的最大值為________．
【答案】1 【詳解】試題分析：
，故函數的最大值為1．
10．已知函數.
（1）化簡；
（2）若，且，求的值.
【詳解】（1）由誘導公式化簡可
（2）由，可得，所以，即，
又，
所以
因為，，所以，所以的值為
11．已知
（1）化簡；
（2）若且求的值；
（3）求滿足的的取值集合.
【詳解】（1）；
（2）由（1）可得，則，
，即；
（3）由題意得，，
，即，
所以的取值集合為.
12．已知函數.
（1）求f(x)的最小正周期；
（2）求證：當時，．
【詳解】（1）.
所以的最小正周期.
（2）因為，所以.所以.
所以當時，.
13．已知函數.
（1）求的最小正周期和的單調遞減區間；
（2）當時，求函數的最小值及取得最小值時x的值.
【詳解】(1)，
所以，函數的最小正周期為.
由，可得，函數的對稱中心為；
解不等式，解得.
因此，函數的單調遞減區間為；
（2）當時，，
當時，即當時，函數取得最小值，最小值為．
已知函數
(1)求的解析式及對稱中心坐標：
(2)先把的圖象向左平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數的圖象，若當時，關于的方程有實數根，求實數的取值范圍.
【詳解】（1）由題意可得：，可得，所以，
因為，所以，可得，
所以，
由可得，
因為，所以，，所以.
令可得，所以對稱中心為.
（2）由題意可得：，
當時，，，
若關于的方程有實數根，則有實根，所以，可得：.
所以實數的取值范圍為.
第3講 第一章(1.1-1.5)（1課時）
一、知識梳理：
1.集合的概念
2．常見的數集及表示符號
集合的表示法： .
4.集合間的基本關系
A是B的子集：
A是B的真子集: .
5.空集： ，記為 .
規定：空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集.
6.有限集的子集個數：若有限集合A中含有個元素，則集合A的子集的個數為 ，真子集的個數為 ，非空子集為 ，非空真子集為 .
7.集合的運算 a.并集： ，符號語言： .
b.交集： .符號語言： .
c.補集: .符號語言: .
8.集合的運算性質：
1).并集的性質:A B A∪B=B. A∪B= A=B= .
2).交集的性質: a. A B A∩B=A. A∩B=A∪B A=B.
b.A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C).
3).補集的性質
(1)A∪( UA)=U, A∩( UA)= . (2) U( UA)=A, UU= , U =U.
(3) U(A∩B)=( UA)∪( UB), U(A∪B)=( UA)∩( UB).
9.命題的概念 命題： ，真命題： ；假命題： .
10.全稱命題及其否定 全稱命題： . 符號表示p:，: .
11.存在性命題及其否定 存在性命題： . 符號表示p:，: .
12.充分條件、必要條件、充要條件: .
13.判斷方法:（1）定義法：（2）等價法：(3)利用集合間的包含關系判斷，比如AB可判斷為AB；A=B可判斷為AB，且BA，即AB.
例如：“AB”“，且”是的充分不必要條件.
“”“”是的充分必要條件.
二、典型例題：
例1：已知．
若，用列舉法表示；
當中有且只有一個元素時，求的值組成的集合．
解：．
當時，則是方程的實數根，
，解得；方程為，解得或；；
當時，方程為，解得，所以；
當時，若集合只有一個元素，由一元二次方程有相等實根，判別式，
解得；綜上，當或時，集合只有一個元素．所以的值組成的集合．
例2：已知集合，集合．
若，求實數的取值范圍；
若，求實數的取值范圍；
是否存在實數使，相等？若存在，求出；若不存在，請說明理由．
解：當時，，解得，此時滿足；
當時，要使，則解得；綜上，實數的取值范圍．
，解得．故實數的取值范圍是．
若，則且．由的結論可知不存在．
例3：(1)已知集合，則集合的所有子集的元素之和為 ．
（2）若全集,集合，，則(M)=( )
A． B． C． D．
（3）已知，，，，則有（ ）
A．=B B． C． D．
【答案】（1）36（2）B (3)A
例4：已知集合，集合，．
求，；
若是的必要條件，求的取值范圍．
解：由得，，
所以，，或．
由得，，，是的必要條件，，
，得，故的取值范圍．
例5：已知命題：兩個正實數，滿足，且恒成立，命題：“，使”，若命題，命題都為真命題，求實數的取值范圍．
解：，，，
當且僅當，時取等號，
命題為真命題時，，可得，令，
，命題為真命題時，，命題，命題都為真命題時，．
例6：已知集合，，集合為函數的定義域，全集為實數集．
求，；
若，求實數的取值范圍．
解：，
，，
因為，所以即，
若，即，此時函數無意義，舍去；故，因為，所以，
當，即時，，則，所以；
當，即時，，則，所以
綜上，實數的取值范圍為．
三、課后作業：答案：1.A 2. B 3.A 4.D 5. B 6. A 7. B 8. A 9.C
1．若“”是“或”的充分不必要條件，則的取值范圍（ ）
A． B．m≤1 C． D．
2．已知，，且是的必要不充分條件，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C．或 D．或
3．“不等式在上恒成立”的充要條件是( )
A． B． C． D．
4．下列命題中，是全稱量詞命題且是真命題的是（　）
A．對任意的、，都有 B．菱形的兩條對角線相等
C．， D．正方形是矩形
5．下列命題不是存在量詞命題的是（ ）
A．有些實數沒有平方根 B．能被5整除的數也能被2整除
C．在實數范圍內，有些一元二次方程無解 D．有一個m使與異號
6．已知命題：，，則命題的否定為（ ）
A．， B．， C．， D．，
7．已知命題使得成立，則為（ ）
A．都有恒成立 B．都有恒成立
C．都有恒成立 D．都有恒成立
8．若命題“，使”是真命題，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
9.若命題“”是假命題，則實數a的取值范圍是（ ）．
A． B．或 C． D．或
10．已知集合，函數的定義域為集合．
求；
求；
若，求時的取值范圍．
解：集合，由，得或，
則集合或，所以；
由得或，所以；
若，則，故的取值范圍是．
11．已知全集，集合，.
（1）若=1，求；
（2）若>0，設命題，命題，已知命題p是命題q的充分不必要條件，求實數的取值圍.
解:（1）當時，，可得，
又由，所以.
當時，可得.因為命題是命題的充分不必要條件，則，
可得，等號不能同時成立，解得，所以實數的取值范圍為.
第4講 第二章(2.1-2.3)（2課時）
一、知識梳理：
不等式的性質
1.不等式的性質
性質 別名 性質內容 注意
1 對稱性 a>b b2 傳遞性 a>b，b>c a>c 不可逆
3 可加性 a>b a＋c>b＋c 可逆
4 可乘性 a>b，c>0 ac>bc a>b，c<0 ac5 同向可加性 a>b，c>d a＋c>b＋d 同向
6 正數同向可乘性 a>b>0，c>d>0 ac>bd 同向
7 正數乘方性 a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2) 同正
2.比較兩個實數（或代數式）大小
作差法、作商法是比較兩個實數（或代數式）大小的基本方法．
①作差法的步驟：作差、變形、判斷差的符號、得出結論．
②作商法的步驟：作商、變形、判斷商與1的大小、得出結論．
（二）基本不等式：
1. (1)若，則 (2)若，則（當且僅當時取“=”）
2. (1)若，則
(2)若，則（當且僅當時取“=”）
(3)若，則 (當且僅當時取“=”）
3. 若，則 (當且僅當時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）；
若，則 (當且僅當x=1或x=-1時取“=”）
若，則 (當且僅當時取“=”）；
若，則（當且僅當時取“=”） “一正”“二定”“三相等”.
6、一元二次不等式的解法：
設相應的一元二次方程的兩根為，，則不等式的解的各種情況如下表：
一元二次函數 （）的圖象
一元二次方程 有兩相異實根 有兩相等實根 無實根
R
口訣：大于取兩邊，小于取中間
8、 解一元二次不等式的基本步驟：
整理系數，使最高次項的系數為正數；
嘗試用“十字相乘法”分解因式；
計算
結合二次函數的圖象特征寫出解集。
二、典型例題：
題型一 不等式及其性質
例1　(1)若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，則A，B的大小關系是(　　)
A．A≤B B．A≥B C．AB D．A>B
【答案】B
（2）已知-1【答案】(3，8)
（3）設a，bR，則下列命題正確的是( )．
A．若a＞b，則a2＞b2 B．若a≠b，則a2≠b2 C．若a＜|b|，則a2＜b2 D．若a＞|b|，則a2＞b2
【答案】D
題型二 利用基本不等式求最值：“一正、二定、三相等”.
(1)若0A．2 B. C．1 D.
【答案】C
已知函數y＝x－4＋(x>－1)，當x＝a時，y取得最小值b，則a＝______；b＝_______.
【答案】a＝___2_____；b＝_____1___.
正實數，滿足，則的最小值為
【答案】
已知x>0，y>0，2x+3y=6，則xy的最大值為_____.
【答案】
題型三 一元二次不等式的解法
例3、解下列不等式：
(1)2x2＋5x－3<0； (2)－3x2＋6x≤2； (3)4x2－4x＋1>0；
【答案】(1). (2). (3).
例4、(1) 解關于x的不等式x2＋(1－a)x－a＜0.
（2）設m∈R，解關于x的不等式m2x2＋2mx－3<0.
解：（1）方程x2＋(1－a)x－a＝0的解為x1＝－1，x2＝a，函數y＝x2＋(1－a)x－a的圖象開口向上，
則當a＜－1時，原不等式的解集為{x|a＜x＜－1}；
當a＝－1時，原不等式的解集為；
當a＞－1時，原不等式的解集為{x|－1＜x＜a}．
（2）①m＝0時，－3<0恒成立，所以x∈R.
②當m>0時，不等式變為(mx＋3)(mx－1)<0，即<0，解得－③當m<0時，原不等式變為<0，解得綜上，m＝0時，解集為R；
m>0時，解集為；m<0時，解集為.
例5、已知關于x的不等式x2＋ax＋b<0的解集為{x|10的解集.
【答案】{x|x<或x>1}.
例6、解下列不等式：(1) <0； (2)≤2.
【答案】 (1){x|x<－2或x>1}． (2){x|x<2或x≥5}．
例7、（1）不等式x2＋2x＋a2－3>0的解集為R”，求a的取值范圍。
【答案】{a|a<-2或a>2}
（2）當，若不等式恒城立，則a的值可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
（3）已知函數的定義域是一切實數，則的取值范圍是( )
A． B． C． D．
【答案】D
（4）已知x>0，y>0.若＋>m2＋2m恒成立，則實數m的取值范圍是(　　)
A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2【答案】D　[∵x>0，y>0，∴＋≥8.
若＋>m2＋2m恒成立，則m2＋2m<8，解之得－4題型四 一元二次不等式的實際應用
某汽車廠上年度生產汽車的投入成本為10萬元/輛，出廠價為12萬元/輛，年銷售量為10 000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品質量，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0(1)寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
(2)為使本年度的年利潤比上年度有所增加，則投入成本增加的比例x應在什么范圍內？
解：(1)由題意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10 000×(1＋0.6x)(0整理得y＝－6 000x2＋2 000x＋20 000(0(2)要保證本年度的年利潤比上年度有所增加，必須有
即解得0所以投入成本增加的比例x的取值范圍為.
三、課后作業
1．若，則下列不等式錯誤的是（ B ）
A． B． C． D．
2．若關于的一元二次方程有實數根，則的取值范圍為（ D ）
A． B．且 C． D．且
3．若，則不等式的解集是（ D ）
A． B． C． D．
4．設，則“”是“”的（ A ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
5．已知方程的兩根都大于2，則實數的取值范圍是（ B ）
A. B. C. D.
6、若兩個正實數，滿足且存在這樣的，使不等式有解，則實數的取值范圍是（ C ）
A． B． C． D．
7．已知不等式的解集為，則的值為 1 .
8. 若命題，為假命題，則實數的取值范圍是__________．
9、不等式的解集為 .
10、不等式x2﹣3x+2＞0的解集記為p，關于x的不等式x2+（a﹣1）x﹣a＞0的解集記為q，若p是q的充分不必要條件，求實數a的取值范圍．【答案】﹣2＜a≤﹣1
11．(1)解這個關于x的不等式.
(2)若不等式對任意實數x恒成立，求實數a的取值范圍.
解：（1）原不等式可化為，
時，解不等式得或，
時，不等式恒成立，即，
時，解不等式得或，
綜上：時解集為或，時解集為R，時解集為或；
（2）因時，，當且僅當時取“=”，
又不等式對任意實數x恒成立，即有，解得，
所以實數a的取值范圍.
12、如圖，某學校準備修建一個面積為600平方米的矩形活動場地（圖中ABCD）的圍欄，按照修建要求，中間用圍墻EF隔開，使得ABEF為矩形，EFCD為正方形，設米，已知圍墻（包括EF）的修建費用均為每米800元，設圍墻（包括EF）的修建總費用為y元．
（1）求出y關于x的函數解析式及x的取值范圍；
（2）當x為何值時，圍墻（包括EF）的修建總費用y最小？并求出y的最小值．
解：（1）設米，則由題意得，且
故，可得則，
所以關于的函數解析式為．
（2），當且僅當，即時等號成立．
故當為20米時，最小．的最小值為96000元．
第5講 第三章(3.1-3.4)（2課時）
一、知識梳理
1.函數的定義：數集A中__任意__自變量x,在集合B中都有_唯一_的函數值y對應。
2.求定義域：注意沒有意義的式子，⑴分式分母__不為0__，⑵偶次根式被開方數_大于等于0_，⑶對數式真數 大于0 等。
3.求值域的方法：⑴__圖像法__，⑵__單調性法_，⑶換元法，⑷分離常數法，⑸反表示法等。
4.求解析式：⑴__換元法_，⑵__待定系數法__，⑶配湊法，⑷解方程組法等。
5.分段函數求自變量：要用到___分類討論_思想。
6.增（減）函數的定義：對于函數的定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量，當時，都有____（___）。
7.判斷單調性的方法：
⑴_圖像法_
⑵_定義法_：分三步：“一設二證三下”，證明時常用作差比較法，
⑶復合函數：“_同增異減_”，
⑷結論：奇函數在對稱區間上單調性_一致_，偶函數在對稱區間上單調性_相反_。
8.單調性的應用題型及解法
⑴求參數的范圍，⑵解抽象不等式，⑶比較大小等。
9.奇（偶）函數的定義：
對于函數的定義域I內任意x都有___（__）。
10.判斷奇偶性的方法：
⑴__圖像法_，
⑵_定義法_：分三步：①看定義域是否關于原點對稱，不對稱時直接為非奇非偶函數，對稱時進行第二步，②看 等于還是，還是都不恒等，③下結論。
11.奇偶性的應用題型及解法
⑴求參數值：①一般法：奇函數，偶函數，注意等式為恒等式，化簡后可利用方程兩邊x的系數對應相等。
②特殊值法：如奇函數，奇函數自變量可取0 ，這樣可直接得到關于參數的方程，但要注意檢驗。
⑵解抽象不等式
注意要將自變量化到同一單調區間上，偶函數可以利用。
⑶求對稱區間上的解析式
分三步：①求誰設誰，②求出，③利用奇偶性將轉化為。
⑷比較大小
⑸利用函數的局部奇函數求函數值
12.冪函數
⑴定義：形如___的函數。只要求掌握五個函數。
⑵圖像和性質：①都過定點___，
②當__時，在上為增函數，當時，在上為減函數。
二、例題講解
題型一 函數的概念
例1．對于集合，則由下列圖形給出的對應f中，能構成從A到B的函數的是(　　)
A． B．C． D．
【答案】D
題型二 判斷是否為同一個函數
例2.下列各組函數中，表示同一函數的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】對于A，可化為，
顯然對任意（除外），y值不唯一，故不符合函數的定義；
對于B，符合函數的定義；
對于C，當時，對應關系無意義，故不符合函數的定義；
對于D，當為非正整數時，對應關系無意義，故不符合函數的定義.
故選：B
題型三 求函數的定義域
例3.函數的定義域是（ ）
A． B． C． D．
【詳解】由解析式有意義可得，故，故函數的定義域為故選：D.
例4.已知函數的定義域為，則的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【詳解】因為函數的定義域為，所以對函數來說有，即，
所以函數的定義域為.故選：C.
例5函數的定義域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】f（x）的定義域是R，則恒成立，即恒成立，則，解得，
所以實數m的取值范圍為.故選：B.
題型四 求函數解析式
例6.已知是一次函數，且滿足：，則＝________.
【解析】設，，
，，
。
例7.設函數，則的表達式為（ ）
A． B． C． D．
【解析】令，則可得所以，所以，故選：B
題型五 函數性質及其應用
例8.若在區間上是增函數，則實數的取值范圍是______．
【解析】函數，由復合函數的增減性可知，若在為增函數，，
例9．已知函數是定義在上的奇函數，當時，,則__________.
【解析】函數是定義在上的奇函數，，則，
.
例10.若函數在上為奇函數，則___________.
【解析】因為函數在上為奇函數，所以，得，
又，即，即恒成立，
所以，所以.
故答案為：.
例11.函數在區間上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】當時，顯然滿足題意；
當時，要使在區間上單調遞減，需滿足，解得．
綜上所述：可知實數的取值范圍是．故選A．
例12.已知函數是偶函數，且在上單調遞減。若，則實數a的取值范圍為______。
【解析】 解法1:原不等式等價于①或②，由①得；由②得。故實數a的取值范圍為或。
解法2:（利用偶函數有）：可化為，又在上單調遞減，，即實數a的取值范圍為或。
例13.已知是定義在上的奇函數，且當時，，則當時，（ ）
A． B． C． D．
【解析】因為是定義在上的奇函數，所以，即，解得，
當時，，當時，，則，
因為是奇函數，所以．故選：．
例14.定義在上的偶函數在區間上單調遞減，若，則實數m的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】∵是偶函數，，故可變形為，
∵在區間上單調遞減，故.故選：C.
例15.函數是定義在上的奇函數且單調遞減，若則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函數是定義在上的奇函數且單調遞減，
可化為則，解之得故選：C
例16.已知函數是定義在上的奇函數，且．
(1)確定函數的解析式；
(2)當時判斷函數的單調性，并證明；
(1)解：由函數是定義在上的奇函數，
可得，即，所以，解得，所以，
又由，即，解得，所以.
(2)解：函數在上是單調遞增函數.
證明：對區間上得任意兩個值，且，
則，
因為，可得，，，，
所以，即，所以函數在區間上是增函數.
題型六 分段函數
例17.若函數且滿足對任意的實數都有成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解析】函數滿足對任意的實數都有，
所以函數是上的增函數，，解得，
所以數的取值范圍為故選：.
例18.設，若，則（ ）
A． B． C． D．
【詳解】當時，若，則，解得，
則；
當時，若，則，顯然無解．
綜上，．故選：C
題型七 冪函數的應用
冪函數y＝xα的性質
(1)當α>0時，
①圖象都通過點(0，0)，(1，1)；
②在第一象限內，函數值隨x的增大而增大；
③在第一象限內，α>1時，圖象是向下凸上升的；0<α<1時，圖象是向上凸上升的；
④在第一象限內，過點(1，1)后，圖象向右上方無限伸展.
(2)當α<0時，
①圖象都通過點(1，1)；
②在第一象限內，函數值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的；
③在第一象限內，圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；
④在第一象限內，過點(1，1)后，|α|越大，圖象下降的速度越快.
例19.當時，冪函數為減函數，則_________．
【解析】函數為冪函數，則，解得或，
又因為函數在上單調遞減，可得，可得，故答案為：2
例20.已知冪函數在上單調遞增，則m＝______．
【解析】由題意可得，解得,故答案為：4.
題型八 抽象函數
例21. 已知函數對任意,總有，且當時，
。
⑴求證：是奇函數；
⑵求證：是R上的單調遞減函數；
⑶求在上的最大值和最小值。
解：⑴證明; 因為對任意,總有，所以可令，
得。再令，得，
即，所以是奇函數。
⑵證明：任取，則。∵當時，，。
，即.所以是R上的單調遞減函數.
⑶.∵在上單調遞減函數.
，.
三、課后作業:
一、單選題：
1．函數的定義域為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】函數有意義，則有，解得且，
所以原函數的定義域是.
2．已知冪函數的圖象經過點(2，4)，則＝（　　）
A．-9 B．9 C．4 D．-4
【答案】C
【詳解】依題意，設冪函數，于是得，解得，則有，
所以.
3．已知則（ ）
A．7 B．2 C．10 D．12
【答案】D
【詳解】由題意．
4．已知函數是定義在上的奇函數，當時，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】由題意，當時，，可得，
函數是定義在上的奇函數，可得.
5．下列圖象表示的函數中具有奇偶性的是（ ）
A． B．C． D．
【答案】B
選項A中的圖象關于原點或y軸均不對稱，故排除；
選項C、D中的圖象所示的函數的定義域不關于原點對稱，不具有奇偶性，故排除；
選項B中的圖象關于y軸對稱，其表示的函數是偶函數.
6．偶函數的圖象關于軸對稱，下列圖象中，可以表示偶函數的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】A的圖像關于軸對稱，故A符合題意.
BCD的圖像都不關于軸對稱，故BCD均不符合題意.
7．若冪函數在上為減函數,則的值為（　 　）
A．1或3 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【詳解】函數是冪函數，則，解得：或
又函數在區間上為減函數，則，所以，
8．已知，若對任意，，使得，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】易知在上單調遞增，，
在上單調遞減，，
對任意，，使得，則,所以，即.
二 多選題：
9．已知函數是奇函數，則下列選項正確的有（ ）
A． B．在區間單調遞增 C．的最小值為 D．的最大值為2
【答案】AC
【詳解】函數是奇函數，則，代入可得，故A正確；
由，對勾函數在上單調遞增，所以在上單調遞減，故B錯誤；由，所以，所以，故C正確、D錯誤.
10．函數 ()的定義域為[2，5)，下列說法正確的是 （ ）
A．最小值為 B．最大值為4 C．無最大值 D．無最小值
【答案】BD
【詳解】函數在[2，5)上單調遞減，即在x=2處取得最大值4，
由于x=5取不到，則最小值取不到．
11．下列函數中，既是偶函數，又在上單調遞減的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【詳解】對于選項AC，由，可知、，不是偶函數，故AC錯；
對于選項BD，都滿足，且結合圖象可知在上都是單調遞減的，故BD正確.
12．高斯是德國著名的數學家，享有“數學王子”的稱號，他和阿基米德 牛頓并列為世界三大數學家，用其名字命名的“高斯函數”為：設，用表示不超過的最大整數，則稱為高斯函數，如：，．若函數，則關于函數的敘述中正確的有（ ）
A．是偶函數 B．是奇函數 C．的值域是 D．是上的增函數
【答案】AC
【詳解】因為，
所以當，即或時，，，
當，即時，，，所以，
所以為偶函數，的值域為.
三 填空題：
13．函數，則_________
【答案】
【詳解】，由，可得，所以，.
14．已知函數在區間是單調遞增函數，則實數的取值范圍是______．
【答案】
【詳解】函數的對稱軸是，開口向上，
若函數在區間是單調遞增函數，則，
15．已知函數分別由下表給出：
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
滿足的值是___________
【答案】
【詳解】
當時，，則，而，則，即；
當時，，則，而，則，即；
當時，，則，而，則，即；
∴滿足的的值是.
16.函數的定義域是__________，值域是__________.
【答案】
【詳解】對于函數，有，即，解得，
且.因此，函數的定義域為，值域為.
四、解答題
17．已知函數是定義域為的奇函數，當時，f(x).
（1）求；
（2）求出函數在上的解析式；
【詳解】由于函數f（x）是定義在（∞，+∞）內的奇函數，因此對于任意的x都有f（x）=f（x）.
（1）f（2）=f（2）；又f（2）=222×2=0，故f（2）=0.
（2）①因為函數f（x）是定義域為R的奇函數，所以f（0）=0；
②當x<0時，x>0，由f（x）是奇函數，知f（x）=f（x）.
則f（x）=f（x）= [（x）22（x）]= x22x.綜上，
18．若二次函數滿足且.
（1）求的解析式；
（2）若在區間上不等式恒成立，求實數的取值范圍.
【詳解】
（1）設f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），由f（0）＝1，
∴c＝1，∴f（x）＝ax2＋bx＋1.
∵f（x＋1）－f（x）＝2x，
∴2ax＋a＋b＝2x，∴，∴，∴f（x）＝x2－x＋1.
（2）由題意：x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立.
令g（x）＝x2－3x＋1－m＝2－－m，其對稱軸為x＝，
∴g（x）在區間[－1，1]上是減函數，
∴g（x）min＝g（1）＝1－3＋1－m>0，∴m<－1.
19．（函數是定義在上的偶函數，當時，．
（1）求函數在的解析式；
（2）當時，若，求實數的值．
【詳解】（1）令，則，由，此時；
（2）由，，所以，
解得或或（舍）.
20．已知二次函數，滿足，且的最小值是．
（1）求的解析式；
（2）設函數，函數，求函數在區間上的最值.
【詳解】
（1）因為，所以，
由二次函數的性質得，解得，
所以
（2）依題得： ，函數在區間內單調遞減
當時，有最大值14
當時，有最小值
第6講 第四章(4.1-4.5)(2課時)
4.1 指數
一、知識梳理：
知識點一、次方根的定義及性質
定義：式子叫做根式，這里叫做根指數，叫做被開方數。
性質：（1）；（2）
知識點二、分數指數冪和有理數指數冪
分數指數冪
正數的正分數指數冪：
正數的負分數指數冪：
2、有理數指數冪的運算性質
；
；
知識點三、無理數指數冪和實數指數冪的概念
（1）；
（2）；
（3）
二、典型例題
題型一、根式的化簡與求值
例1：求下列各式的值：
； （2）；
（3）。
解：（1）原式
（2）原式
當時，原式
當時，原式 所以原式
原式
題型二、冪的化簡與求值
例2：計算下列各式的值：
（1）； （2）。
解：（1）原式
（2）原式
題型三、含附加條件的求值問題
例3：若，求的值。
解：
則
題型四、與指數冪有關的等式的證明
例4：設，，都是正數，且，求證：。
證明：令則，，
因為，即所以。
4.2 指數函數
一、知識梳理
知識點一、指數函數
一般地，函數叫做指數函數，其中指數是自變量，定義域是。
知識點二、指數函數的圖象和性質
1、指數函數的圖象與性質
函數
圖象
圖象特征 在軸上方，且過定點
當逐漸增大時，圖象逐漸上升 當逐漸增大時，圖象逐漸下降
性質 定義域
值域
單調性 在上單調遞增 在上單調遞減
奇偶性 既不是奇函數也不是偶函數
函數值變化規律 當時，
當時，； 當時， 當時，； 當時，
2、指數函數的圖象
（1）對稱性：函數與的圖象關于軸對稱，即底數互為倒數的兩個指數函數的圖象關于軸對稱。根據這種對稱性，就可以利用一個函數的圖象，畫出另一個函數的圖象。
（2）指數函數與的圖象都經過點，且圖象都在軸上方。
二、典型例題
題型一、與指數函數有關的定義域和值域問題
1、形如的函數的定義域和值域問題
例1：求下列函數的定義域和值域：
； （2）
解：（1）由題知：，解得或所以原函數的定義域為
因為，所以所以原函數的值域為
（2）由題知：，解得所以原函數的定義域為
又所以，且
故原函數的值域為。
2、形如的函數的定義域和值域問題
例2：求函數的定義域和值域。
解：由題知：，即，解得所以原函數的定義域為
由，得故原函數的值域為。
題型二、指數函數的圖象及應用
1、圖象過定點問題
例3：函數且的圖像恒過定點 ．
解：函數的圖像恒過定點，而函數且的圖象是把向右平移個單位，再向上平移個單位得到，函數且的圖像恒過定點．
2、函數圖象的識別
例4：函數的圖象大致是( )
B. C. D.
解：，則是偶函數，則圖象關于軸對稱，排除，，
恒成立，排除，故選：．
題型三、指數函數的單調性及應用
1、利用指數函數的單調性研究最值問題
例5：已知函數，則下列敘述正確的是( )
當時，函數在區間上是增函數
B. 當時，函數在區間上是減函數
C. 若函數有最大值，則
D. 若函數在區間上是增函數，則的取值范圍是
解：對于，選項：當時，，因為在上單調遞減，在上單調遞增，由復合函數的性質可得，函數在上單調遞減，故A錯誤，B正確；對于選項：若有最大值，顯然不成立，則函數有最小值，可得，解得，故C正確；對于選項：若函數在上是增函數，則在是減函數，當時，顯然成立，當時，由二次函數的性質可得，解得，所以的取值范圍為，故D正確；故選BCD．
2、利用指數函數的單調性比較大小
例6：設，則，，的大小順序是．( )
B. C. D.
解：因為，，；
且，函數在上是單調增函數，所以，所以；
綜上知，．故選：．
3、利用指數函數的單調性解指數不等式
例7：已知函數，則不等式的解集為( )
B. C. D.
解：由題意可得，即，結合函數的單調性可得，解得．選：B
4、指數型復合函數的單調性與奇偶性
例8：已知函數且，．
判斷并證明函數的奇偶性；
求不等式的解集．
解：，解得舍去或，所以
因為的定義域為，且，所以為奇函數．
因為在上單調遞增，在上單調遞減，所以在上單調遞增，
不等式，即
因為為奇函數，所以
又因為為增函數，所以， 解得， 的解集為．
4.3 對數
一、知識梳理：
知識點一、對數的概念
1、對數的定義
一般地，如果，那么數叫做以為底的對數，記作。
兩類常見對數
常用對數：以為底的對數叫做常用對數記為.
自然對數：以為底的對數叫做自然對數，是無理數，記為
3、對數與指數間的關系：
知識點二、對數的性質
1、對數的性質
（1）負數和沒有對數，即。
（2）的對數等于，即。
（3）底的對數等于，即。
2、兩個常用結論
（1）對數恒等式：。
（2）。
知識點三、對數的運算性質
如果，, ，那么
（1）.（2）.（3）。
知識點四、換底公式
1、換底公式:。
2、幾個常用推論
推論1: ，即。
推論2: 。
推論3: 。
二、典型例題
題型一、對數式的化簡與求值
例1、計算下列各式的值：
； ．
解：；
．
題型二有附加條件的對數求值問題
例2、若，，則等于( )
A. B. C. D.
解：，，又，．故選D．
4.4 對數函數
一、知識梳理
知識點一、對數函數的定義
一般地，函數叫做對數函數，其中是自變量，定義域是。
知識點二、對數函數的圖象和性質
1、對數函數的圖象和性質
圖象
性質 定義域：
值域：
圖象過點，即當時，
當時，； 當時， 當時，； 當時，
在上是增函數 在上是減函數
2、底數對對數函數圖象的影響
（1）函數與的圖象關于軸對稱。
（2）底數決定函數的圖象相對位置的高低：
知識點三、反函數
1、反函數
指數函數與對數函數互為反函數。
2、反函數的性質
（1）互為反函數的兩個函數的定義域和值域正好互換。
（2）互為反函數的兩個函數的圖像關于直線對稱。
（3）若函數的圖象上有一點，則點必在其反函數的圖象上；反之，若點在反函數的圖象上，則點必在原函數的圖象上。
二、典型例題
題型一、與對數函數有關的定義域問題
1、求對數型函數的定義域
例1：函數的定義域為( )
B. C. D.
解：要使函數有意義，只需，得，即或
所以函數定義域為 故選D．
2、已知函數的定義域，求字母的取值
例2：已知函數，若它的定義域為，則的范圍是 。
解：函數的定義域為，則恒成立，故對方程，，即。
題型二、對數函數的圖象及應用
1、對數過定點問題
例3：已知函數的圖象恒過定點，若點也在函數的圖象上，則 ．
解：由題意函數的圖象恒過定點，故得，
又點也在函數的圖象上，，解得，故答案為．
2、圖象的識別問題
例4：在同一平面直角坐標系中，函數，，且的圖象可能是( )
B. C. D.
解： 當時，在上單調遞增，在上單調遞減，所以符合題意，不符合題意；當時，在上單調遞減，在上單調遞增，所以符合題意，不符合題意．故選AD．
3、圖象的作法及應用-數形結合思想
例5：設函數是定義在上的奇函數，若當時，，則滿足的的取值范圍是 ．
解：由題意可畫出的圖象，
觀察圖象可得的解集是
故答案為．
題型三、對數函數的單調性及應用
1、比較大小
例6：三個數，，的大小順序是( )
B. C. D.
解：，，，故選C．
2、解不等式
例7：若，則下列不等式正確的是( )
．
A. B. C. D.
解：因為函數為增函數，，即，所以，，則，所以，故正確
由，得，所以，故錯誤
，所以，故正確
，所以，故錯誤故不等式正確的是． 故選A．
題型四、與對數函數有關的值域與最值問題
例8：若函數的值域是，則的取值范圍是( )
A. B. C. D.
解：因為函數的值域是，所以要取盡大于的所有數，
即二次函數有零點，因此，解得或，故選：．
例9：已知函數的定義域是設
求函數的解析式及定義域；
求函數的最值．
解：由題意可得：，由，解得：，
故，且定義域為
（2）令，因為，則，則等價于，，
在遞增，
當，即時，有最小值，
當，即時，有最大值
故的最小值為，最大值為．
題型五、對數型復合函數的單調性與奇偶性問題
例10：已知．
求的定義域；
判斷的奇偶性并予以證明；
若，求使的的取值范圍．
解：，需有，即，即，
，函數的定義域為；
為奇函數，證明如下：
為奇函數；
，
當時，可得，解得．即當時，的的取值范圍為．
4.5函數的應用（二）
一、知識梳理
知識點一、函數的零點與方程的解
1、函數零點的定義
對于一般函數，我們把使的實數叫做函數的零點。
2、函數零點與方程解的聯系
函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖象與軸的公共點的橫坐標。
3、常見函數的零點
知識點二、函數零點存在定理
1、函數零點存在定理
如果函數在區間上的圖象是一條連續不斷的曲線，且有，那么函數在區間內至少有一個零點，即存在，使得，這個也就是方程
的解。
2、函數零點存在定理的幾何意義
在閉區間上有連續曲線，若連續曲線的始點與終點分別在橫軸的兩側，則此連續曲線與橫軸至少有一個交點。
3、函數零點存在定理的推論
若函數在區間上單調，其圖象是一條連續不斷的曲線，且有，則函數在區間內有且只有一個零點，即存在唯一的，使得。
知識點、用二分法求方程的近似解
1、二分法的定義
對于在區間上圖象連續不斷且的函數，通過不斷地把它的零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法。
2、區間的中點：一般地，我們把稱為區間的中點。
二、典型例題
題型一、函數的零點及個數的判斷
1、求函數的零點或零點個數
例1：函數的零點個數為( )
A. B. C. D.
解：函數，由，可得，作出和的圖象，
由圖象可得它們有個交點，則的零點個數為，故選：．
例2：已知在上為奇函數，在上為偶函數，設，則函數在上的零點個數可能為( )
A. B. C. D.
解：因為在上為奇函數，在上為偶函數，則，，
設，則，所以是上的奇函數，
由奇函數圖象關于原點對稱，所以其圖象與軸的交點有奇數個，即函數在上的零點個數為奇數，
故選BD．
2、已知函數的零點個數求參數的取值范圍
例3：已知是定義域為的單調函數，若對任意的，都有，且方程在區間上有兩解，則實數的可能取值是
A. B. C. D.
解：因為函數是定義域為的單調函數，對于任意的，都有，
所以必存在唯一的正實數滿足，，
所以，可得，即，所以，
所以，所以函數，
由方程在區間上有兩解，則在區間上有兩解，
設， 結合圖象，可得方程在區間上有兩解， 實數滿足．故選CD．
題型二、判斷函數零點所在的區間
1、確定零點所在的區間
例4：函數的零點所在區間是( )
A. B. C. D.
解：在上是增函數，
，所以，
所以函數的零點所在區間是．故選B．
2、與函數的零點（或方程的根）有關的參數問題
例5：函數的零點所在區間為，則為( )
A. B. C. D.
解：，在上單調遞增且連續，，，
．根據函數零點的存在性定理可得的零點所在區間為．
，，，故為．故選B．
例6、已知關于的方程有兩個實數解，則實數的取值范圍是 ．
解：令，因為關于的方程有兩個實數解，
所以函數的圖象與直線的圖象有兩個交點，
作出函數圖象如圖所示，由圖象可知，，
所以實數的取值范圍為．故答案為：．
例7、已知一元二次方程的一根在中，另一根在中，則的取值范圍為 ．
解：依題意可設函數，因為一元二次方程的一根在中，另一根在中， 所以，即， 解得，所以的取值范圍為．
題型四、對二分法的理解
例8、用二分法求出函數零點所在的區間是( )
A. B. C. D.
解：因為函數在定義域內單調遞增，
所以，，，，所以，
根據函數的零點的判定定理可得，函數的零點所在的區間是，故選：．

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