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相似三角形的判定——鞏固拓展
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一、鞏固訓練
1．如圖1，在平行四邊形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延長線于F，∠DAE=20°，∠AED=90°，則∠B= 度；若=，AD=4厘米，則CF= 厘米。
2．如圖2，在△ABC中，DE∥BC，AD=1，AB=3，DE=2，則BC= 。
3．如圖3，在△ABC中，AB＝AC，D是線段BC上一點，連接AD．若∠B＝∠BAD，求證：△ABC∽△DBA．
4．通過以上練習歸納如何根據題中已知條件確定相似三角形的判定方法？
二、錯題再現
1．如圖4，在平面直角坐標系中有兩點A（4，0）、B（0，2），如果點C在x軸上（C與A不重合），當點C的坐標為 或 時，使得由點B、O、C組成的三角形與△AOB相似（至少找出兩個滿足條件的點的坐標）。
　
2．如圖5，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=6，點P是AB上一個動點，當PC+PD的和最小時，PB的長為
3．如圖6，在正方形網格中，點A、B、C、D都是格點，點E是線段AC上任意一點。如果AD=1，那么當AE= 時，以點A、D、E為頂點的三角形與△ABC相似。
三、綜合運用
1．如圖7，在直角坐標系中，點A（0，4），B（3，4），C（6，0），動點P從點A出發以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發以2個單位/秒的速度在x軸上向左運動，過點P作RP⊥y軸，交OB于R，連結RQ。當點P與點O重合時，兩動點均停止運動。設運動的時間為t秒。
（1）若t＝1，求點R的坐標；
（2）在線段OB上是否存在點R，使△ORQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由。
四、精練反饋：
A組
1．如圖8，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請添加一個適當的條件 ，使△ABC∽△ACD。
B組
2．如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D為BC的中點，若動點E以1cm/s的速度從A點出發，沿著A→B→A的方向運動，設E點的運動時間為t秒（0≤t＜6），連接DE，當△BDE是直角三角形時，t的值為（ ）
A． A．2 B B．2.5或3.5 C C．3.5或4.5 D D．2或3.5或4.5
3．如圖10，點C、D在線段AB上，且ΔPCD是等邊三角形。
（1）當AC，CD，DB滿足怎樣的關系時，ΔACP∽ΔPDB；
（2）當ΔPDB∽ΔACP時，試求∠APB的度數。
【答案】
鞏固訓練
1．70；2
2．6
3．證明：∵AB=AC，AD=BD
∴∠B=∠C，∠B=∠BAD，
∴△ABC∽△DBA．
4．略
錯題再現
1．（1，0）；（－1，0）
2．3
3．
綜合運用
1．解：（1）∵A（0，4），B（3，4），
∴AB⊥y軸，AB=3．
∵RP⊥y軸，
∴∠OPR=∠OAB=90° 。
又∠POR=∠AOB，
∴△OPR∽△OAB ，
∴ 。
當t=1時，AP=1，OP=3，
∴，
∵R的縱坐標等于OP的長，∴點R的坐標為（，3）。
（2）如圖a，過點B作BD⊥x軸于點D，則D（3，0）
在△BOC中，
∵OD=DC=3，且BD⊥OC，
∴OB=BC．
∵△OPR∽△OAB，
∴，
∵在Rt△OBD中，
∴，
∴。
由題意得，AP=t，CQ=2t (0≤t≤4)。
分三種情況討論：
①當0≤t＜3時，即點Q從點C運動到點O（不與O重合）時，
∵OB=BC
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA
∵AB∥x軸，
∴∠BOC =∠ABO，∠BAC=∠ACO，
∵∠ABO＜ABC， ∠BCO＞∠ACO，
∴∠BOC＜ABC， ∠BOC＞∠BAC，
∴當0≤t＜3時，△ORQ與△ABC不可能相似。
②當t=3時，點Q與O重合時，△ORQ變成線段OR，故不可能與△ABC相似
③如圖b，當3＜t≤4時，即點Q從原點O向左運動時，
∵BD∥y軸
∴∠AOB=∠OBD
∵OB=BC，BD⊥OC
∴∠OBD=∠DBC
∴∠QOR=90°+∠AOB=90°+∠DBC=∠ABC
當時，
∵，
∴，
∴。
當時，
同理可求得。
經檢驗和均在3＜t≤4內，
∴所有滿足要求的t的值為和。
精練反饋：
1．∠ACD=∠B
2．D
3．解：（1）當CD2=AC·DB時，△ACP∽△PDB，
∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD=∠PDC=60°，
∴∠ACP=∠PDB=120°，
若CD2=AC·DB，可得：PC·PD=AC·DB，
即=，則△ACP∽△PDB
（2）當△ACP∽△PDB時，∠APC=∠PBD
∵∠PDB=120°∴∠DPB+∠DBP=60°
∴∠APC+∠BPD=60°
∴∠APB=∠CPD+∠APC+∠BPD=120°
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