資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.7三角函數的應用
班級 姓名
學習目標
1．了解三角函數是描述周期變化的重要函數模型，并會用三角函數模型解決一些簡單的實際問題．
2．實際問題抽象為三角函數模型．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點　函數y＝Asin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0中參數的物理意義【即時訓練】(1)函數y＝sin的周期、振幅、初相分別是(　　)A．3π，， B．6π，， C．3π，3，－ D．6π，3，(2)函數y＝3sin的頻率為________，相位為________．
三角函數模型的實際應用 例1、心臟跳動時，血壓在增加或減少．血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數120/80 mmHg為標準值．設某人的血壓滿足函數式p(t)＝115＋25sin 160πt，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：(1)求函數p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數；(3)畫出函數p(t)的草圖；(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數．
三角函數模型的實際應用根據圖像求解析式 例2、建設生態文明，是關系人民福祉、關乎民族未來的長遠大計．某市通宵營業的大型商場，為響應節能減排的號召，在氣溫超過28 ℃時，才開放中央空調降溫，否則關閉中央空調．如圖是該市夏季一天的氣溫(單位：℃)隨時間(0≤t≤24，單位：小時)的大致變化曲線，若該曲線近似滿足函數關系y＝Asin＋b(A>0，ω>0，|φ|<π)．(1)求函數y＝f的表達式；(2)請根據(1)的結論，判斷該商場的中央空調應在本天內何時開啟？何時關閉？
三角函數模型的實際應用根據表格求解析式 例3、已知某海濱浴場的海浪高度y(米)是時間t(時)的函數，其中0≤t≤24，記y＝f(t)，下表是某日各時的浪高數據：t03691215182124y1.51.00.51.01.510.50.991.5經長期觀測，y＝f(t)的圖象可近似地看成是函數y＝Acos ωt＋b的圖象．(1)根據以上數據，求其最小正周期，振幅及函數解析式；(2)根據規定，當海浪高度大于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(1)的結論，判斷一天內的8：00到20：00之間，有多少時間可供沖浪者進行活動？如何借助表格中的數據探尋與參數A，ω，b的相關量？解三角不等式的關鍵是什么？
根據實際問題描述求解析式 思考題、如圖所示，摩天輪的半徑為40 m，O點距地面的高度為50 m，摩天輪作勻速轉動，每2 min轉一圈，摩天輪上點P的起始位置在最高點．(1)試確定在時刻t min時P點距離地面的高度；(2)在摩天輪轉動一圈內，有多長時間P點距離地面超過70 m.
課后作業
一、基礎訓練題
1．最大值為，最小正周期為，初相為的函數表達式是(　　)
A．y＝sin　 　B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin
2．音叉是呈“Y”形的鋼質或鋁合金發聲器(如圖1)，各種音叉可因其質量和叉臂長短、粗細不同而在振動時發出不同頻率的純音．敲擊某個音叉時，在一定時間內，音叉上點P離開平衡位置的位移y與時間t的函數關系為y＝sin ωt.圖2是該函數在一個周期內的圖象，根據圖中數據可確定ω的值為(　　)
A．200 B．400
C．200π D．400π
3．(多選題)如圖所示是一個簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是(　　)
A．該質點的運動周期為0.8 s
B．該質點的振幅為－5 cm
C．該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大 D．該質點在0.3 s和0.7 s時的位移為零
4．商場人流量被定義為每分鐘通過入口的人數，五一節那天某商場的人流量滿足函數F(t)＝50＋4sin (t≥0)，則在下列時間段內人流量增加的是(　　)
A．[0,5]　　 B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
5．下表是某市近30年來月平均氣溫(℃)的數據統計表：
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
平均溫度 －5.9 －3.3 2.2 9.3 15.1 20.3 22.8 22.2 18.2 11.9 4.3 －2.4
則適合這組數據的函數模型是(　　)
A．y＝acos B．y＝acos＋k(a＞0，k＞0)
C．y＝－acos＋k(a＞0，k＞0) D．y＝acos－3
6．電流強度I(安)隨時間t(秒)變化的函數I＝Asin(ωt＋φ)的圖象如圖所示，則當t＝秒時，電流強度是(　　)
A．－5安 B．5安 C．5安 D．10安
7．一根長l cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時離開平衡位置的位移s(cm)與時間t(s)的函數關系式為s＝3cos，其中g是重力加速度，當小球擺動的周期是1 s時，線長l＝________cm.
8．如圖是彈簧振子做簡諧振動的圖象，橫軸表示振動的時間，縱軸表示振動的位移，則這個振子振動的函數解析式是_________________．
9．一種波的波形為函數y＝－sinx的圖象，若其在區間[0，t]上至少有2個波峰(圖象的最高點)，則正整數t的最小值是________．
10．已知某地一天從4時到16時的溫度變化曲線近似滿足函數y＝10sin ＋20，x∈[4,16]．
(1)求該地區這一段時間內溫度的最大溫差；
(2)若有一種細菌在15 ℃到25 ℃之間可以生存，那么在這段時間內，該細菌能生存多長時間？
二、綜合訓練題
11．穩定房價是我國今年實施宏觀調控的重點，國家最近出臺的一系列政策已對各地的房地產市場產生了影響，溫州市某房地產中介對本市一樓盤在今年的房價作了統計與預測：發現每個季度的平均單價y(每平方米的價格，單位：元)與第x季度之間近似滿足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均單價如下表所示：
x 1 2 3
y 10 000 9 500 ？
則此樓盤在第三季度的平均單價大約是(　　)
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
12．如圖所示，一個大風車的半徑為8 m，每12 min旋轉一周，最低點離地面2 m．若風車翼片從最低點按逆時針方向開始旋轉，則該翼片的端點P離地面的距離h(m)與時間t(min)之間的函數關系是(　　)
A．h＝8cost＋10　B．h＝－8cost＋10C．h＝－8sint＋10 D．h＝－8cost＋10
13．為迎接夏季旅游旺季的到來，少林寺單獨設置了一個專門安排游客住宿的客棧，寺廟的工作人員發現為游客準備的一些食物有些月份剩余不少，浪費很嚴重，為了控制經營成本，減少浪費，就想適時調整投入，為此他們統計每個月入住的游客人數，發現每年各個月份來客棧入住的游客人數會發生周期性的變化，并且有以下規律：
①每年相同的月份，入住客棧的游客人數基本相同；
②入住客棧的游客人數在2月份最少，在8月份最多，相差約400人；
③2月份入住客棧的游客約為100人，隨后逐月遞增直到8月份達到最多．
(1)試用一個正弦型三角函數描述一年中入住客棧的游客人數與月份之間的關系；
(2)請問哪幾個月份要準備400份以上的食物？
三、能力提升題
14．如圖，設點A是單位圓上的一定點，動點P從點A出發在圓上按逆時針方向旋轉一周，點P所旋轉過的弧的長為l，弦AP的長為d，則函數d＝f(l)的圖象大致是(　　)
　　 　A　　 　　 B　　　 C　　　 　D
15．國際油價在某一時間內呈現正弦波動規律：P＝Asinωπt＋＋60(美元)(t(天)，A＞0，ω＞0)，現采集到下列信息：最高油價80美元，當t＝150(天)時達到最低油價，則ω的最小值為________．
5.7三角函數的應用
參考答案
1、【答案】D　
【解析】由題意可知，周期T＝＝，∴ω＝3.∴y＝sin，故選D.
2、【答案】D　
【解析】由圖象可得，ω>0，T＝4×＝，即＝，則ω＝400π.
3、【答案】AD　
【解析】由圖可知T＝0.6，∴T＝0.8.振幅A＝5 cm，當t＝0.1 s或0.5 s時，v＝0.故選AD.
4、【答案】C　
【解析】由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函數F(t)的增區間為[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.
當k＝1時，t∈[3π，5π]，而[10,15] [3π，5π]，故選C.
5、【答案】C　
【解析】當x＝1時圖象處于最低點，且易知a＝＞0.故選C.
6、【答案】A　
【解析】由圖象知A＝10，＝－＝，所以ω＝＝100π.所以I＝10sin(100πt＋φ)．
因為為五點作圖法中的第二個點，所以100π×＋φ＝.所以φ＝.
所以I＝10sin，當t＝秒時，I＝－5安．
7、【答案】　
【解析】由已知得＝1，所以＝2π，＝4π2，l＝.]
8、【答案】y＝2sin　
【解析】由題圖可設y＝Asin(ωt＋φ)，則A＝2，又T＝2(0.5－0.1)＝0.8，
所以ω＝＝π，所以y＝2sin，將點(0.1,2)代入y＝2sin中，得sin＝1，
所以φ＋＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
令k＝0，得φ＝，所以y＝2sin.
9、【答案】7　
【解析】函數y＝－sinx的周期T＝4，且x＝3時y＝1取得最大值，因此t≥7.即正整數t的最小值是7.
10、[解]　(1)由函數易知，當x＝14時函數取最大值，即最高溫度為30 ℃；當x＝6時函數取最小值，即最低溫度為10 ℃.所以，最大溫差為30 ℃－10 ℃＝20 ℃.
(2)令10sin＋20＝15，可得sin＝－. 而x∈[4,16]，所以x＝.
令10sin＋20＝25，可得sin＝，而x∈[4,16]，
所以x＝.故該細菌的存活時間為－＝小時．
11、【答案】C　
【解析】因為y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，所以當x＝1時，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
當x＝2時，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，所以ω可取，φ可取π，即y＝500sin＋9 500.
當x＝3時，y＝9 000.
12、【答案】D　
【解析】依題意可設h＝Asin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)，易知T＝12，A＝8，B＝10，所以ω＝＝，
則h＝8sin＋10，當t＝0時，8sin φ＋10＝2，得sin φ＝－1，可取φ＝－，
所以h＝8sin＋10＝－8cost＋10.
13、[解析] (1)設該函數為f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π)，根據條件①，
可知這個函數的周期是12；由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故該函數的振幅為200；
由③可知，f(x)在[2，8]上單調遞增，且f(2)＝100，所以f(8)＝500.
根據上述分析可得，＝12，故ω＝，且解得
根據分析可知，當x＝2時，f(x)最小，當x＝8時，f(x)最大，
故sin＝－1，且sin＝1.又因為0＜|φ|＜π，故φ＝－.
所以入住客棧的游客人數與月份之間的關系式為f(x)＝200sin＋300.
(2)由條件可知，200sin＋300≥400，
化簡，得sin≥ 2kπ＋≤x－≤2kπ＋，k∈Z，解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.
因為x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6，7，8，9，10.
即只有6，7，8，9，10五個月份要準備400份以上的食物．
14、【答案】C　
【解析】令AP所對圓心角為θ，由|OA|＝1，得l＝θ，sin＝，∴d＝2sin＝2sin，
即d＝f(l)＝2sin(0≤l≤2π)，它的圖象為C
15、【答案】　
【解析】因為Asin＋60＝80，sin≤1，
所以A＝20，當t＝150(天)時達到最低油價，即sin＝－1，此時150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，因為ω＞0，所以當k＝1時，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑