資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
5.6函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換（二）
班級 姓名
學習目標
1．會用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象．
2．能夠根據y＝Asin(ωx＋φ)的圖象確定其解析式．
3．掌握函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質，能夠利用性質解決相關問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
復習完成右邊的填空 函數y＝sin x的圖象經變換得到y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的兩種途徑：
作y＝Asin(ωx＋φ)、y＝Acos(ωx＋φ)、y＝Atan(ωx＋φ)的圖象 例1、已知函數y＝sin，x∈R.(1)用“五點法”作出它在一個周期內的簡圖；(2)該函數的圖象可由y＝sin x(x∈R)的圖象經過怎樣的平移和伸縮變換得到？變式1、作出函數f(x)＝3cos與g(x)＝tan的圖象．
求三角函數的解析式 例2、如圖是函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分，求此函數的解析式．變式2、(1)如圖為函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的圖象的一部分，則函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的解析式為(　　)A．f(x)＝sinB．f(x)＝sinC．f(x)＝2sinD．f(x)＝sin(2)已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)＋B的部分圖象如圖所示，則函數f(x)的解析式為(　　)A．y＝2cos＋4 B．y＝2cos＋4C．y＝4cos＋2 D．y＝4cos＋2
函數y＝Asin(ωx＋φ)的性質 例3、(多選題)已知函數f(x)＝sin，以下命題中為真命題的是(　　)A．函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱 B．x＝－是函數f(x)的一個零點C．函數f(x)的圖象可由g(x)＝sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到D．函數f(x)在上是增函數
思考題 思考題：函數f(x)＝cos(2x＋φ)的圖象向右平移個單位后得到的函數是奇函數，則函數f(x)的圖象(　　)A．關于點對稱 B．關于直線x＝－對稱C．關于點對稱 D．關于直線x＝對稱
課后作業
一、基礎訓練題
1．若函數y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分圖象如圖，則ω＝( )
A．5 B．4
C．3 D．2
2．若函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)＝，則( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
3．已知函數f(x)＝Asin(A＞0)在它的一個最小正周期內的圖象上，最高點與最低點的距離是5，則A等于( )
A．1 B．2
C．4 D．8
4．已知函數y＝Asin(ωx＋φ)＋B的一部分圖象如圖所示，如果A>0，ω>0，|φ|<，則( )
A．A＝4 B．ω＝1 C．φ＝ D．B＝4
5．(多選題)(2020·新高考全國卷Ⅰ)如圖是函數y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝( )
A．sin B．sin C．cos D．cos
6．(多選題)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A．函數f(x)的圖象關于直線x＝對稱
B．函數f(x)的圖象關于點對稱
C．函數f(x)在區間上單調遞增
D．函數y＝1與y＝f(x)的圖象的所有交點的橫坐標之和為
7．已知函數y＝2sin(ωx＋φ)在一個周期內，當x＝時有最大值2，當x＝時有最小值－2，則ω＝________，φ＝________.
8．函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ為常數，A>0，ω>0)的部分圖象如圖所示，
則f(0)＝__________.
9．某同學用“五點法”畫函數y＝Asin(ωx＋φ)在一個周期內的簡圖時，列表如下：
ωx＋φ 0 π 2π
x
y 0 2 0 －2 0
則根據表格可得出A＝__________，ω＝__________，φ＝__________.
10．已知函數f(x)＝Acos(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則f(x)=____________．
11．已知f(x)＝sin(2x－φ)－1(0<φ<π)的一個零點是.
(1)求f(x)的最小正周期；(2)當x∈時，求函數的最大值以及最小值．
二、綜合訓練題
12．(多選題)已知函數f＝2sin，若將函數f的圖象向右平移個單位長度后，所得圖象關于y軸對稱，則下列結論中正確的是( )
A．φ＝ B.是f圖象的一個對稱中心
C．f＝－2 D．x＝－是f圖象的一條對稱軸
13．已知函數f＝2cos.
(1)若φ＝－，用“五點法”在給定的坐標系中，畫出函數f在上的圖象；
(2)若f為奇函數，求φ；
(3)在(2)的前提下，將函數y＝f的圖象向左平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數y＝g的圖象，求g在上的單調遞增區間．
三、能力提升題
14．(多選題)函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，<π)的部分圖象如圖所示，則下列結論正確的是( )
A．f＝2sin
B．若把f(x)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數在上是增函數
C．若把函數f(x)的圖象向左平移個單位，則所得函數是奇函數
D． x∈，若f(3x)＋a≥f恒成立，則a的最小值為＋2
15．將函數f(x)＝2sin的圖象向左平移m個單位(m＞0)得到函數g(x)的圖象，若所得的圖象關于直線x＝對稱，則m的最小值為________．
5.6函數y＝Asin(ωx＋φ)的圖象及變換（二）
參考答案
1、【答案】B
【解析】由函數的圖象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.
2、【答案】D
【解析】∵＝π，∴ω＝2.∵f(0)＝，∴2sin φ＝.∴sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.
3、【答案】B
【解析】函數f(x)＝Asin(A>0)的周期T＝＝＝6.
∵函數f(x)＝Asin(A>0)在它的一個最小正周期內的圖象上，最高點與最低點的距離是5，
∴＝，∴A＝2
4、【答案】C
【解析】由圖象可知，A＝2，B＝2，T＝－＝，T＝π，ω＝2.因為2×＋φ＝，所以φ＝
5、【答案】BC 由題圖可知，函數的最小正周期T＝2＝π，
∴＝π，ω＝±2.
當ω＝2時，y＝sin(2x＋φ)，將點代入得，sin＝0，
∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴y＝sin，故A錯誤；
由sin＝sin＝sin知B正確；
由sin＝sin＝cos知C正確；
由sin＝cos＝cos＝－cos知D錯誤．
綜上可知，正確的選項為B、C.
6、【答案】BCD
【解析】由函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的圖象可得，
A＝2，＝－＝，因此T＝π，所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，過點，
因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π，
所以φ＝，所以f(x)＝2sin.
當x＝時，f ＝－1，故A錯；當x＝－時，f ＝0，故B正確；
當x∈，2x＋∈，
所以f(x)＝2sin在x∈上單調遞增，故C正確；
由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，
得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.
∴函數y＝1與y＝f(x)的圖象的所有交點的橫坐標之和為0＋＋π＋＝，故D正確．
7、【答案】2
【解析】由題意知，T＝2×＝π，所以ω＝＝2；又因為當x＝時有最大值2.
f ＝2sin＝2sin＝2，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝.
8、【答案】
【解析】由圖象可得A＝，周期為4×＝π，所以ω＝2，
將代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，
所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.
9、【答案】2 3 － [由表格得A＝2，T＝π－＝，∴ω＝3，∴ωx＋φ＝3x＋φ.
∵當x＝時，3x＋φ＝＋φ＝0，∴φ＝－.
10、【答案】y＝3cos
【解析】由函數的最值可得A＝3，函數的周期T＝4×＝4π，則ω＝＝，
當x＝時，ωx＋φ＝×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，解得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|<，令k＝0可得φ＝，據此可得函數的解析式為f(x)＝3cos.
11、[解] (1)依題意有f ＝0，所以sin－1＝0.因此cos φ＝.又因為0<φ<π，所以φ＝.
故f(x)＝sin－1，其最小正周期為T＝＝π.
(2)由x∈，得2x－∈，則sin∈，
所以－－1≤sin－1≤－1，
所以函數y＝f(x)的最大值為－1，最小值為－－1.
12、【答案】ABD
【解析】由題意，f＝2sin向右平移，得y＝2sin＝2sin，
∵y＝2sin的圖象關于y軸對稱，∴φ－＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ＋，k∈Z，又0<φ<π，
∴k＝0，φ＝，即f＝2sin，∴f＝0，f＝2，f＝2，
則是f圖象的一個對稱中心，x＝－是f圖象的一條對稱軸，
而f＝2，則C錯，A、B、D正確．
13、解：(1)當φ＝－時，f＝2cos，列表：
x 0 π
2x－ － 0 π
y 2 0 －2 0
描點、連線，則函數y＝f在區間上的圖象如圖所示．
(2)∵f＝2cos為奇函數，∴f＝2cos φ＝0，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，又－π<φ<0，∴φ＝－.
(3)由(2)知：f＝2cos＝2sin 2x，
將f的圖象向左平移個單位，再將橫坐標變為原來的2倍，
所得圖象對應的函數解析式為g＝2sin，
令－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z，
∴g的單調遞增區間為－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)，
∴g在上的單調遞增區間為.
14、【答案】 ACD
【解析】對A，由題意知： T＝6π，∴ω＝＝，∵f(2π)＝2，∴f(2π)＝2sin＝2，
即sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，∴φ＝2kπ－(k∈Z)，
又∵<π，∴φ＝－，∴f＝2sin，故A正確 ；
對B，把y＝f(x)圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到的函數為y＝2sin，∵x∈，∴－≤x－≤，∴y＝2sin在上不單調遞增，故B錯誤；
對C，把y＝f(x)的圖象向左平移個單位，則所得函數為y＝2sin＝2sin，是奇函數，故C正確；
對D，對 x∈，f(3x)＋a≥f恒成立，即a≥f－f(3x)， x∈恒成立，
令g(x)＝f－f(3x)，x∈，則g(x)＝－2sin，∵－≤x≤，∴－≤x－≤，
∴－1≤g(x)≤＋2，∴a≥＋2，∴a的最小值為＋2，故D正確．
15、【答案】
【解析】由函數的平移規律得g(x)＝2sin，即g(x)＝2sin，
∵函數g(x)的圖象關于x＝對稱，
∴g＝2sin＝2sin＝±2，
∴＋2m＝＋kπ，k∈Z.∴m＝＋，k∈Z，
又 m>0，∴m的最小值為.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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