資源簡介

§4　一元二次函數與一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
【學習主題】 新授課
【課時安排】1課時
【學習目標】
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；
（3）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀．
【學習重難點】
教學重點： 一元二次不等式的解法
含有字母的一元二次不等式問題的處理方法
教學難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系．
不等式恒成立等綜合性問題的解法
【學情分析】 從知識儲備來說，學生在初中已經學習了一元二次方程和一元二次函數，對不等式的性質有了初步了解，這為我們學習一元二次不等式打下了基礎。從心理特征來說，高中階段的學生邏輯思維較初中學生來說更加嚴密，抽象思維能力也有進一步提升。在情感態度上學生對新內容的學習有一定的興趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發展不夠均衡。因此對于這個階段的學生來說，對一元二次不等式及其解法的學習有一定的基礎和必要.
【學法建議】（1）會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型
（2）通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數，一元二次方程的聯系。
（3）會解一元二次不等式。
【學習過程】
課前預習，發現問題
1.閱讀必修第一冊教材第34-37頁.結合課本及以上一節學習知識自主學習：
問題1：什么是一元二次不等式 不等關系的表示符號有哪些？
問題2：一元二次函數的零點？
問題3：三個二次之間的關系？
問題4：怎樣解不含參數的一元二次不等式？
問題5：怎樣解含參數的一元二次不等式？
問題6：怎樣解不等式恒成立問題？
2.基礎知識自測
1.一元二次不等式的概念
定義 只含有一個 未知數 ，并且未知數的最高次數是 2 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數
2.一元二次函數的零點
一般地，對于一元二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做一元二次函數y＝ax2＋bx＋c的 零點 。
①解方程；②作函數的圖像；③解不等式
思考：在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？（請完成下表）
一次函數 的圖象
一元一次方程 的解
一元一次不等式 的解
一元一次不等式 的解
如何解不等式？
3.一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函數之間的關系：
對一般的一元二次不等式與來進行討論。為簡便起見暫只考慮的情形。請同學們思考下列問題：
一元二次函數 的圖像
的根 有兩相異實根 有兩相等實根 無實根
的解
的解
【預習自測】
1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)m＋5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式a＋bx＋c<0的解集為{x|0.(　　)
(3)若不等式a＋bx＋c>0的解集是{x|x<或x>}，則方程a＋bx＋c＝0的兩個根是和.(　　)
(4)若方程a＋bx＋c＝0沒有實數根，則不等式a＋bx＋c>0的解集為R.(　　)
二·課中學習，生成問題
【學習任務1】解不含參的一元二次不等式
解一元二次不等式的一般步驟
(1)通過對不等式變形，使二次項系數大于零；
(2)計算對應方程的判別式；
(3)求出相應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程沒有實根；
(4)根據函數圖象與x軸的相關位置寫出不等式的解集．
例1　解下列不等式：
（1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9．
【解題思路】（1）求出方程﹣5x2+3x+14＝0的解，根據不等式與二次函數的關系寫出不等式的解集；
（2）不等式可化為2x2+x﹣6＜0，求出2x2+x﹣6＝0的解，根據不等式與二次函數的關系求出不等式的解．
【解答過程】解：（1）令﹣5x2+3x+14＝0，解得x或x＝2，
所以不等式﹣5x2+3x+14≤0的解集為（﹣∞，]∪[2，+∞）；
（2）由題意，不等式（5﹣2x）（x+3）＞9，可化為2x2+x﹣6＜0，
令2x2+x﹣6＝0，解得x或x＝﹣2，所以2x2+x﹣6＜0的解集為（﹣2，），
即（5﹣2x）（x+3）＞9的解集為（﹣2，）．
【課堂評價1】..解下列不等式：
（1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0．
（3）﹣x2+2x＜﹣3；（4）x2﹣2x+1≤0．
【解題思路】（1）不等式化為（x﹣1）（2x﹣3）＜0，求出解集即可；
（2）不等式化為3x2﹣x﹣4≥0，再求不等式的解集．
【解答過程】解：（1）不等式2x2﹣5x+3＜0可化為（x﹣1）（2x﹣3）＜0，
解得1＜x，
所以不等式的解集為（1，）；
（2）不等式﹣3x2+x+4≤0可化為3x2﹣x﹣4≥0，
即（x+1）（3x﹣4）≥0，
解得x≤﹣1或x，
所以不等式的解集為（﹣∞，﹣1]∪[，+∞）．
（3）﹣x2+2x＜﹣3 x2﹣2x﹣3＞0 （x+1）（x﹣3）＞0，
由“兩實數相乘，同號得正，異號得負”可得①，或②，
解①得x＞3，解②得x＜﹣1，
故﹣x2+2x＜﹣3的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）；
（4）x2﹣2x+1≤0 （x﹣1）2≤0，解得x＝1，
故x2﹣2x+1≤0的解集是{1}．
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學生反思總結：解一元二次不等式的口訣： 先看開口再看根，函數圖象是根本。
橫軸上方y為正，根間根外想謹慎。
【學習任務2】 解含參的一元二次不等式
（2021春 內江期末）解關于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
【解題思路】△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，討論f（x）＝0的解，結合函數圖象得出不等式的解集．
【解答過程】解：△＝（m+1）2﹣4m＝（m﹣1）2≥0，方程f（x）＝0的解為﹣m，﹣1，
①當m＝1時，x≠﹣1，
②當m＜1時，x＞﹣m或x＜﹣1，
③當m＞1時，x＞﹣1或x＜﹣m．
綜上，當m＝1時，不等式的解集為{x|x≠﹣1}，
當m＜1時，不等式的解集為{x|x＞﹣m或x＜﹣1}，
當m＞1時，不等式的解集為{x|x＞﹣1或x＜﹣m}．
【課堂評價1】（2020秋 滄州期中）當b≠0時，解關于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0．
【解題思路】不等式化為（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0，討論b的取值情況，求出對應不等式的解集．
【解答過程】解：b≠0時，不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0化為（x﹣1）（bx﹣2+b）≤0；
b＞0時，不等式化為（x﹣1）（x1）≤0；
當0＜b＜1，即1＞1時，解不等式得1≤x1；
當b＝1，即1＝1時，解不等式得x＝1；
當b＞1，即1＜1時，解不等式得1≤x≤1；
當b＜0時，不等式化為（x﹣1）（x1）≥0，
且1＜1，解得x1或x≥1；
綜上知，0＜b＜1時，不等式的解集為[1，1]；
b＝1時，不等式的解集是{1}；
b＞1時，不等式的解集為[1，1]；
b＜0時，不等式的解集為（﹣∞，1]∪[1，+∞）．
【課堂評價2】（2020秋 臨海市校級月考）已知二次函數y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實數a、b的值；
（2）若b＝2，解關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【解題思路】（1）由題意得，x＝﹣1，x＝3是ax2+bx﹣a+2＝0的根，結合方程的根與系數關系可求a，b，
（2）b＝2，ax2+bx﹣a+2＝ax2+2x﹣a+2＝（x+1）（ax﹣a+2）＞0，然后對a進行分類討論，結合二次不等式的求法可求．
【解答過程】解：（1）若ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，
則x＝﹣1，x＝3是ax2+bx﹣a+2＝0的根，
由方程的根與系數關系可得，，
解得，a＝﹣1，b＝2，
（2）b＝2，ax2+bx﹣a+2＝ax2+2x﹣a+2＝（x+1）（ax﹣a+2）＞0，
當a＝0時，解得x＞﹣1，
當a＜0時，可化為（x+1）（x）＜0，
解得，﹣1＜x，
當a＞0時，可化為（x+1）（x）＞0，
①0＜a＜1時，1，解不等式得，x＞﹣1或x，
②a＝1時，1，解不等式得，x≠﹣1，
③a＞1時，1，解不等式得，x＜﹣1或x．
綜上，當a＝0時，解集{x|x＞﹣1}，
當a＜0時，解集{x|﹣1＜x}，
0＜a＜1時，解集{x|x＞﹣1或x}，
②a＝1時，解集{x|x≠﹣1}，
③a＞1時，解集{x|x＜﹣1或x}．
【課堂評價3】（2021春 蓮池區校級期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求實數a的取值范圍；
（2）解關于x的不等式f（x）＜0．
【解題思路】（1）由f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，解一元二次不等式即可．
（2）把不等式f（x）＜0化為（x﹣a）（x﹣a3）＜0，再分類討論a與a3的大小，然后寫出解集即可．
【解答過程】解：（1）由f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4，
若f（8）＞0，得（a﹣8）（a3﹣8）＞0，
可得a＜2或a＞8，
故實數a的取值范圍為（﹣∞，2）∪（8，+∞）．
（2）不等式f（x）＜0可化為（x﹣a）（x﹣a3）＜0，
又由a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1），
①當a＝0或a＝﹣1或a＝1時，不等式f（x）＜0的解集為 ，
②當a＞0時，
若0＜a＜1時，a＞a3，此時不等式f（x）＜0的解集為（a3，a），
若a＞1時，a＜a3，此時不等式f（x）＜0的解集為（a，a3），
③當a＜0時，
若﹣1＜a＜0時，a＜a3，此時不等式f（x）＜0的解集為（a，a3），
若a＜﹣1時，a＞a3，此時不等式f（x）＜0的解集為（a3，a），
綜上：當a＝0或一1或1時，不等式f（x）＜0的解集為 ，
當0＜a＜1或a＜﹣1時，不等式f（x）＜0的解集為（a3，a），
當﹣1＜a＜0或a＞1時，不等式f（x）＜0的解集（a，a3）．
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學后反思：如何解含參的一元二次不等式？
解含參數的一元二次不等式時
(1)若二次項系數含有參數，則需對二次項系數大于0、等于0與小于0進行討論；
(2)若求對應一元二次方程的根需用公式，則應對判別式Δ進行討論；
(3)若求出的根中含有參數，則應對兩根的大小進行討論．
【學習任務3】　三個“二次”間的關系及應用
【例3】（2020秋 雞澤縣校級月考）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為2，﹣1，則當a＜0時，不等式ax2+bx+c≥0的解集為　 　．
【解題思路】由根與系數的關系得出b、c與a的關系，將b、c用a表示出來，再代入不等式化簡求得所求不等式的解集．
【解答過程】解：由一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為2，﹣1，
所以2﹣1＝1，且2×（﹣1）＝﹣2；
所以b＝﹣a，c＝﹣2a，且a＜0，
所以不等式ax2+bx+c≥0可化為x2﹣x﹣2≤0，
解得﹣1≤x≤2，
所以所求不等式的解集為[﹣1，2]．
故答案為：[﹣1，2]．
【課堂評價1】（2021春 河西區期末）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集為 　 　．
【解題思路】根據不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集求出a、b的值，代入不等式bx2﹣ax﹣1＞0中，求解集即可．
【解答過程】解：因為不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，
所以2和3是一元二次方程x2﹣ax﹣b＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系知，
解得a＝5，b＝﹣6；
所以不等式bx2﹣ax﹣1＞0化為﹣6x2﹣5x﹣1＞0，即6x2+5x+1＜0，
因式分解為（3x+1）（2x+1）＜0，
解得x，
所以該不等式的解集為{x|x}．
故答案為：{x|x}．
【課堂評價2】（2020秋 河東區校級月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，則不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　 　．
【解題思路】直接利用不等式和方程之間的轉換求出a和b及a和c的關系，進一步利用一元二次不等式的應用求出結果．
【解答過程】解：不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，
所以﹣2和3為方程ax2﹣bx+c＝0的解，
所以，，
所以b＝a，c＝﹣6a．
故不等式bx2+ax+c＜0轉換為ax2+ax﹣6a＜0，
由于a＜0，
所以x2+x﹣6＞0，解得x＞2或x＜﹣3．
故不等式的解集為{x|x＞2或x＜﹣3}．
故答案為：{x|x＞2或x＜﹣3}
【課堂評價3】（2020秋 亭湖區校級月考）已知實數a，b滿足0＜b＜1+a，若關于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且僅有3個整數，則實數a的取值范圍是　 　．
【解題思路】將不等式變形為[（a+1）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0的解集中的整數恰有4個，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集為x1，考查解集端點的范圍，解出a的取值范圍．
【解答過程】解：關于x 的不等式（x﹣b）2＞（ax）2即 （a2﹣1）x2+2bx﹣b2＜0，
∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x﹣b] [（a﹣1）x+b]＜0 的解集中的整數恰有3個，∴a＞1，
∴不等式的解集為x1，所以解集里的整數是﹣2，﹣1，0 三個，
∴﹣32，∴2a﹣2＜b≤3a﹣3，
∵b＜1+a，∴2a﹣2＜1+a，∴a＜3，
綜上，1＜a＜3．
故答案為：（1，3）．
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學后反思;【方法點撥】
(1)一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)的解集的端點值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函數y＝ax2＋bx＋c的圖象與x軸交點的橫坐標．
(2)二次函數y＝ax2＋bx＋c的圖象在x軸上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c>0的x的值構成的；圖象在x軸下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c<0的x的值構成的，三者之間相互依存、相互轉化．
【學習任務4】不等式恒成立、能成立問題
例4（2021春 百色期末）對于任意實數x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0
【解題思路】討論a是否為0，不為0時，根據開口方向和判別式建立不等式組，解之即可求出所求．
【解答過程】解：1°a＜0時，△＝4a2+4a（a+2）＝8a2+8a＜0，∴8a（a+1）＜0，∴﹣1＜a＜0
2°a＝0時，﹣2＜0成立
綜上，實數a的取值范圍是﹣1＜a≤0
故選：C．
【課堂評價1】（2020秋 天河區校級月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以為（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1}
【解題思路】根據不等式ax2+bx+c＞0的解集求出a、b和c的關系，判斷a＜0，再代入不等式ax2+（b﹣2a)x+a﹣b+c＜0中求出關于x的不等式即可．
【解答過程】解：不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，
所以方程ax2+bx+c＝0的解為﹣1和2，且a＜0；
由根與系數的關系知，；
解得b＝﹣a，c＝﹣2a；
所以不等式ax2+(b﹣2a)x+a﹣b）+c＜0可化為
ax2﹣3ax＜0，且a＜0；
化簡得x2﹣3x＞0，
解得x＜0或x＞3；
所以x的取值范圍是{x|x＜0或x＞3}．
故選：BC．
【課堂評價2】（2020秋 濱海新區期末）已知關于x的不等式的解集為{x|0＜x＜2}，若對于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+m）＜0恒成立，則實數a的取值范圍為　 　．
【解題思路】根據不等式的解集求出m的值，
再對a討論，求出不等式恒成立時實數a的取值范圍．
【解答過程】解：不等式化為x[x﹣（5﹣m）]＜0，其解集為{x|0＜x＜2}；
所以2﹣（5﹣m）＝0，解得m＝2；
若對于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，
則a＝0時，不等式為﹣2＜0，滿足題意；
a≠0時，應滿足，
即，
解得﹣1＜a＜0；
綜上知，實數a的取值范圍是（﹣1，0]．
故答案為：（﹣1，0]．
【課堂評價3】（2020秋 濟寧期末）設函數f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣1，1），求實數a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求實數a的取值范圍．
【解題思路】（Ⅰ）利用一元二次不等式的解法即可求解；（Ⅱ）由f（1）＝0可得：b＝﹣a﹣1，不等式化簡為ax2﹣（a+3）x﹣1＞0成立，然后討論a≥0和a＜0兩種情況，進而可以求解．
【解答過程】解：（Ⅰ）由題意可知：方程ax2+（b﹣2）x+3＝0的兩根是1，﹣1，
則，解得a＝﹣3，b＝2，
（Ⅱ）由f（1）＝0可得：b＝﹣a﹣1，
存在x∈R，f（x）＞4成立，即使ax2+（b﹣2）x﹣1＞0成立，
代入b＝﹣a﹣1可得：ax2﹣（a+3）x﹣1＞0成立，
當a≥0時，顯然存在x∈R使得上式成立，
當a＜0時，要滿足題意只需方程ax2﹣（a+3）x﹣1＝0有兩個不等的根即可，
所以△＝（a+3）2+4a＞0，即a2+10a+9＞0，
解得a＜﹣9或﹣1＜a＜0，
綜上，實數a的取值范圍為（﹣∞，﹣9）∪（﹣1，+∞）．
【課堂展示】由學生快問快答
學后反思【方法點撥】
不等式對任意實數x恒成立，就是不等式的解集為R，對于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集為R的條件為
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集為 的條件為
課后評價，解決問題
課本37頁課后訓練（寫在書上明天檢查）.
本節課對應題組訓練。
【學后反思】1.你喜歡這節課嗎 課堂上你認真思考了嗎？
2.在課堂上你積極嗎 　
3.在這節課上你的學習目標完成了嗎 　　　　
4.你對本堂課重難點掌握了嗎
5.在本節課上你掌握了哪些知識點和題型？
A組
1．若不等式的解集是，則的值為（ ）
A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
【解析】
【分析】
先將不等式的解集轉化為方程的根，再利用根與系數的關系求出和的值，即可解題.
【詳解】
因為是不等式的解集，所以和是一元二次方程的兩根，由根與系數的關系可得，解得，所以.
故選：B
【點睛】
本題主要考查一元二次不等式，解題時將不等式的解集轉化為方程的根，屬于常考題型.
2．不等式的解集為則函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
【解析】
【分析】
利用根與系數的關系x1+x2= ，x1 x2= 結合二次函數的圖象可得結果
【詳解】
由題知-2和1是ax2-x+c=0的兩根，
由根與系數的關系知-2+1= ，， 2×1＝ ，∴a=-1，c=2，
∴=-x2+x+2=-（x-）2+ ，故選C
【點睛】
本題考查了一元二次不等式的解法和二次函數的圖象，以及一元二次方程根與系數的關系.一元二次不等式，一元二次方程，與一元二次函數的問題之間可相互轉化，也體現了數形結合的思想方法.
3．已知不等式的解集為，則不等式的解為（ ）
A． B．或
C． D．或
【解析】
【分析】
由題意知的兩根為，且，將根代入方程從而可得，則所求不等式可化簡為，解出即可選出正確答案.
【詳解】
解：由題意知，的兩根為，且，則 ，
解得 ，則代入得.因為，則，
所以可化為，解得.
故選：A.
【點睛】
本題考查了一元二次不等式的解.本題的關鍵是由已知不等式的解求出系數間的關系.本題的易錯點是忽略或者沒有正確判斷出的符號.
4．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
【解析】
【分析】
求出、中不等式的解集確定出、，找出與的交集即可．
【詳解】
集合，集合，
所以.
故選：C
【點睛】此題考查了交集及其運算，熟練掌握交集的定義是解本題的關鍵．
不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是 ，則實數a的取值范圍是______．
【解析】
由題意得
不等式組的解集為______.
【解析】
【分析】
根據一元二次不等式的解法，分別求得不等式和的解集，即可求解.
【詳解】
由題意，不等式，即，解得或；
又由，即，解得，
所以不等式的解集為或.
即原不等式的解集為.
【點睛】
本題主要考查了一元二次不等式的解法，其中解答中熟記一元二次不等式的解法，準確運算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.
7．解下列不等式：
（1）； （2）； （3）
【解析】
【分析】
先將二次項系數化為正數，再因式分解，即可求得不等式解集.
【詳解】
（1）等價于等價于，解得：或，所以不等式的解集為；
（2）等價于，解得：或，所以不等式的解集為；
（3）等價于等價于，解得：，所以不等式的解集為.
【點睛】
本小題主要考查一元二次不等式的解法，考查計算求解能力，屬于基礎題.
8．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍
【解析】
【分析】
（1）A為空集，表示方程ax2﹣3x+2＝0無解，根據一元二次方程根的個數與△的關系，易得到一個關于a的不等式，解不等式即可得到答案．
（2）若A中只有一個元素，表示方程ax2﹣3x+2＝0為一次方程，或有兩個等根的二次方程，分別構造關于a的方程，即可求出滿足條件的a值．
（3）若A中至多只有一個元素，則集合A為空集或A中只有一個元素，由（1）（2）的結論，將（1）（2）中a的取值并進來即可得到答案．
【詳解】
（1）若A是空集，
則方程ax2﹣3x+2＝0無解
此時 △＝9﹣8a＜0
即a
2）若A中只有一個元素
則方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一個實根
當a＝0時方程為一元一次方程，滿足條件
當a≠0，此時△＝9﹣8a＝0，解得：a
∴a＝0或a
若a＝0，則有A＝{}；若a，則有A＝{}；
3）若A中至多只有一個元素，
則A為空集，或有且只有一個元素
由（1），（2）得滿足條件的a的取值范圍是：a＝0或a
【點睛】
本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，根據題目要求確定集合中方程ax2﹣3x+2＝0根的情況，是解答本題的關鍵．
若不等式的解集是，求不等式的解集．
【解析】
【分析】
由不等式的解集和方程的關系，可知，是方程的兩根，利用韋達定理求出，再代入不等式，解一元二次不等式即可.
【詳解】
解：由已知條件可知，且方程的兩根為，；
由根與系數的關系得解得．
所以原不等式化為解得
所以不等式解集為
【點睛】
本題主要考查一元二次不等式的解法，還考查一元二次不等式解集與一元二次方程的關系以及利用韋達定理求值.
10．（8分）（2021春 廣安期末）已知關于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍．
【解題思路】（1）將k值代入不等式，解不等式即可，
（2）分情況討論，當2k＝0，即k＝0時，代回原不等式，成立留，不成立舍；
當2k≠0，即k≠0時，2kx2+kx0解集為R，則，最后取兩種情況的并集．
【解答過程】解：（1）因為，關于x的不等化為，即2x2+x﹣3＜0，解集為，
（2）∵關于x的不等式的解集為R．∴分情況討論，
當2k＝0，即k＝0時，原不等式為，恒成立，
當2k≠0，即k≠0時，，解得﹣3＜k＜0，
綜上，故k的取值范圍為（﹣3，0]．
B組
1．（3分）（2020秋 福州期末）關于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集為（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
【解題思路】把不等式化為（x+1）（x﹣6）＜0，求出解集即可．
【解答過程】解：不等式x2﹣5x﹣6＜0可化為（x+1）（x﹣6）＜0，解得﹣1＜x＜6，
所以不等式的解集為{x|﹣1＜x＜6}．
故選：B．
2．（3分）（2021春 綿陽期末）若關于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則實數a的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
【解題思路】由已知可得﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的兩根，再由根與系數的關系求解．
【解答過程】解：∵關于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，
∴﹣3和1是方程ax2﹣2x+b＝0的兩根，
由根與系數的關系可得：，則a＝﹣1．
故選：B．
3．（3分）（2020秋 如東縣校級月考）已知不等式：（1）x2﹣4x+3＜0；（2）x2+x﹣6＜0；（3）2x2﹣5x+m＜0，若要同時滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），則有（　　）
A．m＞2 B．m＝2 C．m≤2 D．0＜m＜2
【解題思路】求出不等式①和不等式②的解集，以及解集的交集A，再求x∈A時不等式③恒成立，即可求出m的取值范圍．
【解答過程】解：不等式①x2﹣4x+3＜0等價于（x﹣1）（x﹣3）＜0，
解得1＜x＜3，所以不等式①的解集為（1，3）．
不等式②x2+x﹣6＜0等價于（x+3）（x﹣2）＜0，
解得﹣3＜x＜2，所以不等式②的解集為（﹣3，2）．
記不等式①和不等式②解集的交集為A，則A＝（1，2）．
所以滿足不等式①②的x也滿足不等式③，
所以當x∈A時，2x2﹣5x+m＜0恒成立，
即m＜﹣2x2+5x恒成立．
又因為當x∈（1，2）時，f（x），
所以m的取值范圍是m≤2．
故選：C．
4．（3分）（2020秋 和平區校級月考）若對任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）
A．a＜2 B．﹣2a＜2
C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2
【解題思路】把不等式化為a＜x，求出x的最小值，即可求得實數a的取值范圍．
【解答過程】解：x＞0時，不等式x2﹣ax+2＞0化為x2+2＞ax，
即a＜x；
又x22，
當且僅當x，即x時取“＝”；
所以實數a的取值范圍是a＜2．
故選：A．
5．（3分）（2020秋 湛江期末）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　）
A． B．
C．{x|x或x} D．{x|x或x}
【解題思路】由題意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的兩根，再結合韋達定理以及十字相乘法，即可得解．
【解答過程】解：由題意可知，﹣3和2是方程ax2﹣5x+b＝0的兩根，且a＜0，
∴﹣3+2，（﹣3）×2，∴a＝﹣5，b＝30，
∴不等式bx2﹣5x+a＜0為30x2﹣5x﹣5＜0，
即5（3x+1）（2x﹣1）＜0，
解得x．
故選：A．
6．（3分）（2020秋 汕頭校級期末）在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，則滿足x⊙（x﹣2）＜0的實數x的取值范圍為（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
【解題思路】由定義運算化簡不等式x⊙（x﹣2）＜0，然后直接求解一元二次不等式得答案．
【解答過程】解：由定義運算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，得
x⊙（x﹣2）＝x（x﹣2）+2x+x﹣2＝x2+x﹣2．
∴x⊙（x﹣2）＜0 x2+x﹣2＜0，
解得：﹣2＜x＜1．
∴滿足x⊙（x﹣2）＜0的實數x的取值范圍為{x|﹣2＜x＜1}．
故選：B．
7．（4分）（2020秋 蚌埠期末）二次函數y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y ﹣10 ﹣4 0 2 2
則關于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為　（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）　．
【解題思路】由表中二次函數y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值列方程組求出a、b、c的值，再代入不等式ax2+bx+c＞0中化簡求解即可．
【解答過程】解：由表中二次函數y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值，得，
解得a＝﹣1，b＝1，c＝2；所以y＝﹣x2+x+2，
不等式ax2+bx+c＞0化為﹣x2+x+2＞0，
即x2﹣x﹣2＜0，
解得﹣1＜x＜2，
所以該不等式的解集為（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）．
故答案為：（﹣1，2）（或{x|﹣1＜x＜2}）．
8．（4分）（2021春 蓮池區校級期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集為{x|x≤2或x≥3}，則a+b＝　1　．
【解題思路】根據不等式的解集可得方程x2+ax+b＝0的兩根為x＝2或x＝3，最后利用根與系數的關系建立等式，解之即可．
【解答過程】解：∵不等式x2+ax+b≥0解集為{x|x≤2或x≥3}，
故方程x2+ax+b＝0的兩根為x＝2或x＝3，
由根與系數的關系可得，∴，∴a+b＝1．
故答案為：1．
9．（4分）（2020秋 如東縣期末）命題“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集為空集 ”是真命題，則實數a的取值范圍是　[﹣3，0]　．
【解題思路】討論a＝0和a≠0時，求出不等式的解集為空集時a的取值范圍即可．
【解答過程】解：命題“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集為空集 ”是真命題，
當a＝0時，不等式為﹣3＞0，解集為空集 ；
當a≠0時，應滿足，
即，
解得﹣3≤a＜0；
綜上知，實數a的取值范圍是[﹣3，0]．
故答案為：[﹣3，0]．
10．（8分）（2021春 昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為，求不等式qx2+px+1＞0的解集；
（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數集R上恒成立，求m的范圍．
【解題思路】（1）先將不等式問題轉化為方程問題求出p，q的值，然后代入解不等式即可；
（2）根據一元二次不等式恒成立，利用判別式求解即可．
【解答過程】解：（1）因為不等式x2+px+q＜0的解集為，
所以與是方程x2+px+q＝0的兩個實數根，
由根與系數的關系得，解得；
所以不等式qx2+px+1＞0，可化為，
整理得x2﹣x﹣6＜0，
解得﹣2＜x＜3，
即不等式qx2+px+1＞0的解集為{x|﹣2＜x＜3}．
（2）一元二次不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數集R上恒成立，則△＜0，
即m2﹣4×1×（m+7）＜0，
整理得m2﹣4m﹣28＜0，
解得，
所以m的取值范圍是（2﹣4，2+4）．§4　一元二次函數與一元二次不等式
4.2　一元二次不等式及其解法
【學習主題】 新授課
【課時安排】1課時
【學習目標】
（1）掌握一元二次不等式的解法；
（2）通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養學生的數形結合的數學思想；
（3）通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辨證的世界觀．
【學習重難點】
學習重點： 一元二次不等式的解法
含有字母的一元二次不等式問題的處理方法
學習難點：弄清一元二次不等式與一元二次方程、二次函數的關系．
不等式恒成立等綜合性問題的解法
【學情分析】 從知識儲備來說，學生在初中已經學習了一元二次方程和一元二次函數，對不等式的性質有了初步了解，這為我們學習一元二次不等式打下了基礎。從心理特征來說，高中階段的學生邏輯思維較初中學生來說更加嚴密，抽象思維能力也有進一步提升。在情感態度上學生對新內容的學習有一定的興趣和積極性，但在探究問題的能力以及合作交流等方面的發展不夠均衡。因此對于這個階段的學生來說，對一元二次不等式及其解法的學習有一定的基礎和必要.
【學法建議】（1）會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型
（2）通過函數圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數，一元二次方程的聯系。
（3）會解一元二次不等式。
【學習過程】
（一）閱讀必修第一冊教材第34-37頁.結合課本及以上一節學習知識自主學習：
問題1：什么是一元二次不等式 不等關系的表示符號有哪些？
問題2：一元二次函數的零點？
問題3：三個二次之間的關系？
問題4：怎樣解不含參數的一元二次不等式？
問題5：怎樣解含參數的一元二次不等式？
問題6：怎樣解不等式恒成立問題？
.
（二）預習自測
基礎知識自測
1.一元二次不等式的概念
定義 只含有一個 ，并且未知數的最高次數是 的不等式，叫做一元二次不等式
一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均為常數
2.一元二次函數的零點
一般地，對于一元二次函數y＝ax2＋bx＋c，我們把使ax2＋bx＋c＝0的實數x叫做一元二次函數y＝ax2＋bx＋c的 。
①解方程；②作函數的圖像；③解不等式
思考：在解決上述三問題的基礎上分析，一元一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系。能通過觀察一次函數的圖像求得一元一次不等式的解集嗎？（請完成下表）
一次函數 的圖象
一元一次方程 的解
一元一次不等式 的解
一元一次不等式 的解
如何解不等式？
3.一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函數之間的關系：
對一般的一元二次不等式與來進行討論。為簡便起見暫只考慮的情形。請同學們思考下列問題：
一元二次函數 的圖像
的根
的解
的解
遷移與應用
1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)m＋5x<0是一元二次不等式．(　　)
(2)若不等式a＋bx＋c<0的解集為{x|0.(　　)
(3)若不等式a＋bx＋c>0的解集是{x|x<或x>}，則方程a＋bx＋c＝0的兩個根是和.(　　)
(4)若方程a＋bx＋c＝0沒有實數根，則不等式a＋bx＋c>0的解集為R.(　　)
【學習任務1】解不含參的一元二次不等式
解下列不等式：
（1）﹣5x2+3x+14≤0； （2）（5﹣2x）（x+3）＞9．
【課堂評價1】.解下列不等式：
（1）2x2﹣5x+3＜0；（2）﹣3x2+x+4≤0．
（3）﹣x2+2x＜﹣3；（4）x2﹣2x+1≤0．
【課堂展示】由學生快問快答
【反思總結】解一元二次不等式的步驟？
【學習任務2】 解含參的一元二次不等式
【例2】（2021春 內江期末）解關于x的不等式x2+（m+1）x+m＞0．
【課堂評價1】（2020秋 滄州期中）當b≠0時，解關于x的不等式bx2﹣2x+2﹣b≤0．
【課堂評價2】（2020秋 臨海市校級月考）已知二次函數y＝ax2+bx﹣a+2．
（1）若關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，求實數a、b的值；
（2）若b＝2，解關于x的不等式ax2+bx﹣a+2＞0．
【課堂評價3】（2021春 蓮池區校級期中）已知f（x）＝x2﹣a（a2+1）x+a4（a∈R）．
（1）若f（8）＞0，求實數a的取值范圍；
（2）解關于x的不等式f（x）＜0．
【課堂展示】由學生快問快答
【反思總結】解含參數一元二次不等式如何分類討論？
【學習任務3】　三個“二次”間的關系及應用
例3（2020秋 雞澤縣校級月考）一元二次方程ax2+bx+c＝0的根為2，﹣1，則當a＜0時，不等式ax2+bx+c≥0的解集為　 　．
【課堂評價1】（2021春 河西區期末）若不等式x2﹣ax﹣b＜0的解集是{x|2＜x＜3}，則不等式bx2﹣ax﹣1＞0的解集為 　 　．
【課堂評價2】（2020秋 河東區校級月考）若不等式ax2﹣bx+c＞0的解集是{x|﹣2＜x＜3}，則不等式bx2+ax+c＜0的解集是 　 　．
【課堂評價3】（2020秋 亭湖區校級月考）已知實數a，b滿足0＜b＜1+a，若關于x的不等式（x﹣b）2＞（ax）2的解集中有且僅有3個整數，則實數a的取值范圍是　 　．
【課堂展示】由學生快問快答
【反思總結】三個“二次”有什么關系？
【學習任務4】　不等式恒成立、能成立問題
【例4】（2021春 百色期末）對于任意實數x，不等式ax2+2ax﹣（a+2）＜0恒成立，則實數a的取值范圍是（　　）
A．﹣1≤a≤0 B．﹣1≤a＜0 C．﹣1＜a≤0 D．﹣1＜a＜0
【課堂評價1】（2020秋 天河區校級月考）不等式ax2+bx+c＞0的解集為{x|﹣1＜x＜2}，則能使不等式ax2+（b﹣2a）x+a﹣b+c＜0成立的x的集合可以為（　　）
A．{x|0＜x＜3} B．{x|x＜0} C．{x|x＞3} D．{x|﹣2＜x＜1}
【課堂評價2】（2020秋 濱海新區期末）已知關于x的不等式的解集為{x|0＜x＜2}，若對于 x∈R，不等式ax2+2ax﹣（a+m）＜0恒成立，則實數a的取值范圍為　 　．
【課堂評價3】（2020秋 濟寧期末）設函數f（x）＝ax2+（b﹣2）x+3．
（Ⅰ）若不等式f（x）＞0的解集為（﹣1，1），求實數a，b的值；
（Ⅱ）若f（1）＝0，且存在x∈R，使f（x）＞4成立，求實數a的取值范圍．
【課堂展示】由學生快問快答
【反思總結】你會怎么解決恒成立、能成立問題？
課本37頁課后訓練（寫在書上明天檢查）.
本節課對應題組訓練。
【學后反思】1.你喜歡這節課嗎 課堂上你認真思考了嗎？
2.在課堂上你積極嗎 　
3.在這節課上你的學習目標完成了嗎 　　　　
4.你對本堂課重難點掌握了嗎
5.在本節課上你掌握了哪些知識點和題型？
A組
1．若不等式的解集是，則的值為（ ）
A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14
2．不等式的解集為則函數的圖像大致為（ ）
A． B．
C． D．
3．已知不等式的解集為，則不等式的解為（ ）
A． B．或
C． D．或
4．已知集合，，則（ ）
A． B． C． D．
不等式x2－2x＋3≤a2－2a－1在R上的解集是 ，則實數a的取值范圍是______．
不等式組的解集為______.
7．解下列不等式：
（1）； （2）； （3）
8．已知集合.
（1）若A是空集，求的取值范圍；
（2）若A中只有一個元素，求的值，并求集合A；
（3）若A中至多有一個元素，求的取值范圍
若不等式的解集是，求不等式的解集．
10．（8分）（2021春 廣安期末）已知關于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集為R，求k的取值范圍．
B組
1．（3分）（2020秋 福州期末）關于x的一元二次不等式x2﹣5x﹣6＜0的解集為（　　）
A．{x|x＜﹣1或x＞6}B．{x|﹣1＜x＜6} C．{x|x＜﹣2或x＞3} D．{x|﹣2＜x＜3}
2．（3分）（2021春 綿陽期末）若關于x的不等式ax2﹣2x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜1}，則實數a的值為（　　）
A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3
3．（3分）（2020秋 如東縣校級月考）已知不等式：（1）x2﹣4x+3＜0；（2）x2+x﹣6＜0；（3）2x2﹣5x+m＜0，若要同時滿足不等式（1）（2）的x也滿足不等式（3），則有（　　）
A．m＞2 B．m＝2 C．m≤2 D．0＜m＜2
4．（3分）（2020秋 和平區校級月考）若對任意的x大于0，不等式x2﹣ax+2＞0恒成立，則實數a的取值范圍為（　　）
A．a＜2 B．﹣2a＜2
C．a＞2 D．a＜﹣2或a＞2
5．（3分）（2020秋 湛江期末）已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集為{x|﹣3＜x＜2}，則不等式bx2﹣5x+a＜0的解集是（　　）
A． B．
C．{x|x或x} D．{x|x或x}
6．（3分）（2020秋 汕頭校級期末）在R上定義運算⊙：a⊙b＝ab+2a+b，則滿足x⊙（x﹣2）＜0的實數x的取值范圍為（　　）
A．{x|0＜x＜2} B．{x|﹣2＜x＜1}
C．{x|x＜﹣2，或x＞1} D．{x|﹣1＜x＜2}
7．（4分）（2020秋 蚌埠期末）二次函數y＝ax2+bx+c（x∈R）的部分對應值如表：
x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1
y ﹣10 ﹣4 0 2 2
則關于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集為　 　．
8．（4分）（2021春 蓮池區校級期中）已知不等式x2+ax+b≥0的解集為{x|x≤2或x≥3}，則a+b＝　 　．
9．（4分）（2020秋 如東縣期末）命題“不等式ax2﹣2ax﹣3＞0的解集為空集 ”是真命題，則實數a的取值范圍是　 　．
10．（8分）（2021春 昌吉州期中）（1）已知一元二次不等式x2+px+q＜0的解集為，求不等式qx2+px+1＞0的解集；
（2）若不等式x2﹣mx+（m+7）＞0在實數集R上恒成立，求m的范圍．

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