資源簡介

2008年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（江蘇卷）解讀
一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分．
1．若函數(shù)最小正周期為，則　　▲　　.
2．若將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個(gè)點(diǎn)的正方體玩具），先后拋擲兩次，則出現(xiàn)向上的點(diǎn)數(shù)之和為4的概率是　　▲　　．
3．若將復(fù)數(shù)表示為是虛數(shù)單位）的形式，則　　▲　　．
4．若集合，則中有　　▲　　個(gè)元素
5.已知向量a和b的夾角為，則 ▲
6在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向中隨機(jī)投一點(diǎn)，則落入中的概率 ▲
7.某地區(qū)為了解70～80歲老人的日平均睡眠時(shí)間（單位：h），隨機(jī)選擇了50位老人進(jìn)行調(diào)查。下表是這50位老人日睡眠時(shí)間的頻率分布表。
序號
（i）
分組
（睡眠時(shí)間）
組中值
（Gi）
頻數(shù)
（人數(shù)）
頻率
（Fi ）
1
[4,5）
4.5
6
0.12
2
[5,6）
5.5
10
0.20
3
[6,7）
6.5
20
0.40
4
[7,8）
7.5
10
0.20
5
[8,9]
8.5
4
0.08
8.設(shè)直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)b= ▲
9.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)P（0，p）在線段AO上（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，設(shè)直線分別與邊交于點(diǎn)，某同學(xué)已正確求得的方程：，請你完成直線的方程： ( ▲ )
10.將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
。 。 。 。 。
按照以上排列的規(guī)律，第n行（）從左向右的第3個(gè)數(shù)為 ▲
11. ▲
12. 在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的焦距為2，以O(shè)為圓心，為半徑的圓，過點(diǎn)作圓的兩切線互相垂直，則離心率= ▲
13.若，則的最大值 ▲
14.對于總有成立，則= ▲
1至4題，以課本題為原型，最多作1個(gè)變化，考查1個(gè)知識點(diǎn)。
5，考查向量模的運(yùn)算，數(shù)量積的運(yùn)算：
解法一：

解法二：幾何意義，余弦定理
取自必修4習(xí)題2.4練習(xí)2
6．考查二元不等式表示平面區(qū)域，幾何概型，要求將文字語言提供的數(shù)學(xué)材料轉(zhuǎn)化為圖形，對數(shù)學(xué)語言的閱讀能力有一定要求，取自必修3中3.3例1（P101）
7．考查算法流程圖，求數(shù)據(jù)的總體特征數(shù)（加權(quán)平均數(shù)）。考查對數(shù)據(jù)的處理能力，對數(shù)學(xué)符號語言的閱讀能力有一定要求，閱讀量較大，取自必修3中2.3.1例2（P64）
8．考查導(dǎo)數(shù)知識，切線方程的求法，（依據(jù)斜率先求切點(diǎn)），取自選修1-1中3.2.1練習(xí)3.4（P69）
9．考查直線方程的知識，考查類比推理，特殊化方法 背景：直線系方程
AB方程，CF方程
經(jīng)過定點(diǎn)F的直線系方程
令，得。經(jīng)整理得。
10．考查歸納推理，背景：二階等差數(shù)列
思路1：從前n-1行的數(shù)字個(gè)數(shù)入手，后續(xù)第3個(gè)數(shù)
思路2：6，9，13，18…為自然數(shù)數(shù)列的子集，二階等差數(shù)列，設(shè)
解出
評分要求：答案的等階形式都認(rèn)為正確1+2+3+…+（n-1）+3
取自選修1-2中習(xí)題2.1.1（P41）復(fù)習(xí)題6（P53）
11．考查基本不等式
12．考查橢圓的基本性質(zhì)
13．考查用解析法研究圖形性質(zhì)，圓的方程等知識，分析與解決問題的能力
背景：阿波羅尼斯圓
取A（-1，0） B（1，0） C（x,y）
化簡得
圓半徑，縱坐標(biāo)最大值，
取自必修2中習(xí)題2.2（1）練習(xí)10（P103）
14．考查運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識研究函數(shù)性質(zhì)，分析與解決問題的能力
解法一：得
，令得
因此
解法二：由①，
又因此
解法三：恒成立
時(shí)，
時(shí)，所以。
15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以軸為始邊做兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于兩點(diǎn)，已知的橫坐標(biāo)分別為
（1）求的值（2）求的值。
本小題主要三角函數(shù)的基本概念、三角函數(shù)的基本關(guān)系式以及兩角和（差）的三角函數(shù)公式，考查運(yùn)算求解能力。滿分14分。
解：（1）由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，。
因?yàn)殇J角，故，從而
同理可得。 …………2分
因此。 …………2分
所以 …………2分
…………2分
（2） …………2分
…………2分
又，故，從而由
得。
16．在四面體中，，且分別是的中點(diǎn)，
求證：（1）直線面
（2）面面
本小題主要考查直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，考查空間想象能力、推理證明能力。滿分14分。
證明：（1）在中，因?yàn)镋、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，所以EF∥AD …………2分
又AD平面ACD，EF平面ACD，所以直線EF∥平面ACD …………3分
（2）在中，因?yàn)锳D⊥BD，EF∥AD，所以EF⊥BD …………2分
在中，因?yàn)镃D=CB，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，所以CF⊥BD …………2分
因?yàn)镋F平面EFC，CF平面EFC，EF與CF交于點(diǎn)F，所以BD⊥平面EFC
…………3分
又因?yàn)锽D平面BCD，所以平面EFC⊥平面BCD …………2分
17．某地有三家工廠，分別位于矩形的頂點(diǎn)及的中點(diǎn)處，已知，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在矩形的區(qū)域上（含邊界），且與等距離的一點(diǎn)處建造一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)排污管道，設(shè)排污管道的總長為
（1）按下列要求寫出函數(shù)關(guān)系式：
①設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式
②設(shè)，將表示成的函數(shù)關(guān)系式
（2）請你選用（1）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短。
本小題主要考查函數(shù)的概念、解三角形、導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查數(shù)學(xué)建模能力、抽象概括能力和解決實(shí)際問題的能力。滿分14分。
解：（1）（i）如圖，延長PO交AB于點(diǎn)Q
由題設(shè)可知
在中，，所以。又易知，故y用表示的函數(shù)為 …………3分
（ii）由題設(shè)可知，在中，，則顯然，所以，y用x表示的函數(shù)為 …………3分
（2）選用（1）中的函數(shù)關(guān)系，來確定符合要求的污水處理廠的位置。因?yàn)椋?br/>所以 …………3分
由得。因，故 …………2分
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)y在時(shí)取得極小值，這個(gè)極小值就是函數(shù)y在上的最小值。
當(dāng)時(shí)，。
因此，當(dāng)污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A、B兩點(diǎn)的距離均為時(shí)，鋪設(shè)的排污管道的總長度最短。 …………3分
解法二：由（1），，令
設(shè)是單位圓O的弧上的動點(diǎn)。A（0，2），k為AM的斜率。
…………3分
當(dāng)且僅當(dāng)AM與圓O外切時(shí)，k最大，y取最小值。此時(shí) …………3分
時(shí)，y取最小值。故當(dāng)時(shí)，管道總長度最短。 …………2分
解法三：由（1），
兩邊平方，移項(xiàng)化簡得： （**）
…………3分
解得 …………2分
將代入（**）式，解出
因此，當(dāng)時(shí)，管道總長度最短。 …………3分
解法四：選用（1）中的函數(shù)關(guān)系，來確定符合要求的污水處理廠的位置。設(shè)，化簡得（*）
…………3分
解得 …………2分
因此，當(dāng)時(shí)，y 取最小值。
∴
故當(dāng)時(shí)，管道總長度最短。 …………3分
18．設(shè)平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)二次函數(shù)的圖像與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，經(jīng)過這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為。求：
（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍
（2）求圓的方程
（3）問圓是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與無關(guān)）？請證明你的結(jié)論。
本小題主要考查含有參變量的二次函數(shù)、圓的方程以及曲線過定點(diǎn)等有關(guān)知識，考查運(yùn)算求解能力和探究問題的能力。滿分16分。
解：（1）顯然b≠0,否則，二次函數(shù)的圖象與兩個(gè)坐標(biāo)軸只有兩個(gè)交點(diǎn)（0,0）,(-2,0)，這與題設(shè)不符。 …………2分
由b≠0知，二次函數(shù)的圖象與y軸有一個(gè)非原點(diǎn)的交點(diǎn)（0,b），故它與x軸必有兩個(gè)交點(diǎn)，從而方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，因此方程的判別式4-4b>0,即b<1。
所以，b的取值范圍是（－∞，0）∪（0，1） …………2分
（2）由方程，得。于是，二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)是 …………2分
設(shè)圓C的方程為。因圓C過上述三點(diǎn)，將它們的坐標(biāo)分別代入圓C的方程，得
…………3分
解上述方程組，因b≠0，得
所以，圓C的方程為 …………3分
（3）圓C過定點(diǎn)，證明如下： …………2分
假設(shè)圓C過定點(diǎn)（x0,y0）(x0,y0不依賴于b)，將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓C的方程，并變形為 （*）
為使（*）式對所有滿足b<1(b≠0)的b都成立，必須有，結(jié)合（*）式得
解得
經(jīng)檢驗(yàn)知，點(diǎn)均在圓C上，因此圓C 過定點(diǎn)。 …………2分
19．（1）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的（）項(xiàng)等差數(shù)列，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列．
（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；
（ii）求的所有可能值．
（2）求證：對于給定的正整數(shù)()，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的等差數(shù)列
，其中任意三項(xiàng)（按原來的順序）都不能組成等比數(shù)列．
本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)知識，考查運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析及論證的能力。滿分16分。
解：首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：
一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d0=0.
事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a- d0，a，a+ d0成等比數(shù)列，則

由此得d0=0。
（1）（ⅰ）當(dāng)n=4時(shí),由于數(shù)列的公差，故由基本事實(shí)只可能刪去或，
…………2分
若刪去，則由成等比數(shù)列，得，因，故由上式得 ，即。此時(shí)，數(shù)列為-4d，-3d，-2d，-d，滿足題設(shè)。
…………2分
若刪去，則成等比數(shù)列，得。因，故由上式得，即。此時(shí)，數(shù)列為d，2d，3d，4d，滿足題設(shè)。
綜上，得或。 …………2分
（ii）當(dāng)n≥6時(shí)，則從滿足題設(shè)的數(shù)列中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列的公差必為0，這與題設(shè)矛盾。所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)。又因題設(shè)，故n=4或5。 …………2分
當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列。 …………2分
當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是，從而成等比數(shù)列，故
，及。
分別簡化上述兩個(gè)等式，得及，故d=0,矛盾。因此，不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列。
綜上可知，n只能為4。 …………2分
（2）假設(shè)對于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中三項(xiàng)成等比數(shù)列，這里，則有
，
化簡得 （*）
由知，與或同時(shí)為0，或同時(shí)不為0。
若，且，則有，
即，得，從而，與題設(shè)矛盾。
因此，與同時(shí)不為0，所以由（*）得
…………2分
因?yàn)榫鶠榉秦?fù)整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。
于是，對于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，則相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。
例如取，那么，n項(xiàng)數(shù)列1，，，……，滿足要求。
…………2分
解法二：不失一般性，任何一個(gè)等差數(shù)列首項(xiàng)均可將首項(xiàng)變?yōu)?，故可設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為1，公差為d，前n+1項(xiàng)依次為
1，1+d，1+2d，……，1+nd；
從中任取三項(xiàng)，共有種不同的取法。
設(shè)每一種取法得出的三項(xiàng)都成等比數(shù)列。不妨設(shè)方程最多有兩個(gè)不相等的實(shí)根。由此得出的d值不多于個(gè)。而，可取無窮多個(gè)值。因此一定存在（無窮）個(gè)d，使等差數(shù)列1，1+d，1+2d，……，1+nd，其中任意三項(xiàng)都不能組成等比數(shù)列。
20．已知函數(shù)，（為常數(shù)）．函數(shù)定義為：對每個(gè)給定的實(shí)數(shù)，
（1）求對所有實(shí)數(shù)成立的充分必要條件（用表示）；
（2）設(shè)是兩個(gè)實(shí)數(shù)，滿足，且．若，求證：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為（閉區(qū)間的長度定義為）
本小題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象以及命題之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力。滿分16分。
解：（1）由的定義可知，（對所有實(shí)數(shù)）
等價(jià)于（對所有實(shí)數(shù)）， …………2分
這又等價(jià)于，即
對所有實(shí)數(shù)均成立. （*）…………2分
易知函數(shù)的最大值為，
故（*）等價(jià)于，即，這就是所求的充分必要條件。
…………2分
（2）分兩種情形討論
（i）當(dāng)時(shí)， …………1分
由（1）知（對所有實(shí)數(shù)）
則由及易知， 再由的單調(diào)性可知，函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度為（參見示意圖1） …………2分
（ii）時(shí)，不妨設(shè)，則，于是
當(dāng)時(shí)，有，從而；
當(dāng)時(shí)，有，從而 ； …………2分
當(dāng)時(shí)，，及，由方程
解得圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 ⑴
…………2分
顯然，
這表明在與之間。由⑴易知

綜上可知，在區(qū)間上， （參見示意圖2） …………2分
故由函數(shù)及的單調(diào)性可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度之和為，由于，即，得
⑵
故由⑴、⑵得 …………1分
綜合（i）（ii）可知，在區(qū)間上的單調(diào)增區(qū)間的長度和為。
解法二：設(shè)
則與有相同的屬性。
（1）
（2）當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，由
解出
時(shí)，
時(shí)，
由得，
∴單調(diào)增區(qū)間長度為。
A．選修4—1　幾何證明選講
如圖，設(shè)△ABC的外接圓的切線AE與BC的延長線交于點(diǎn)E，∠BAC的平分線與BC交于點(diǎn)D．求證：．
本題主要考查三角形、圓的有關(guān)知識，考查推理論證能力。滿分10分。
證明：如圖，因?yàn)?是圓的切線，
所以，, …………2分
又因?yàn)槭堑钠椒志€，
所以
從而
因?yàn)?,

所以 ,故. …………3分
因?yàn)?是圓的切線，所以由切割線定理知,
,
而,所以 …………6分
B．選修4—2　矩陣與變換
在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓在矩陣對應(yīng)的變換作用下得到曲線F，求F的方程．
本小題主要考查曲線在矩陣變換下的變換特點(diǎn)，考查運(yùn)算求解能力。滿分10分。
解：設(shè)是橢圓上任意一點(diǎn)，點(diǎn)在矩陣對應(yīng)的變換下變?yōu)辄c(diǎn)
則有
，即，所以 …………5分
又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，故，從而
所以，曲線的方程是 …………5分
C．選修4—4　參數(shù)方程與極坐標(biāo)
在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最大值．
本題主要考查曲線的參數(shù)方程的基本知識，考查運(yùn)用參數(shù)方程解決數(shù)學(xué)問題的能力。滿分10分。
解法一： 因橢圓的參數(shù)方程為 …………4分
故可設(shè)動點(diǎn)的坐標(biāo)為，其中.
因此 …………4分
所以，當(dāng)時(shí)，取最大值2。 …………2分
解法二：由得： …………4分
∴ …………4分
解得 …………2分
解法三：設(shè)切點(diǎn)為，橢圓的切線方程為： …………4分
因?yàn)榍芯€斜率為-1，故 …………4分
由解得：
D．選修4—5　不等式證明選講
設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，求證：．
本題主要考查平均不等式的相關(guān)知識，考查運(yùn)用不等式進(jìn)行推理論證的能力。滿分10分。
證明：因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，由平均不等式可得
即 …………5分
所以，
而
所以 …………5分
22．【必做題】記動點(diǎn)P是棱長為1的正方體的對角線上一點(diǎn)，記．當(dāng)為鈍角時(shí)，求的取值范圍．
本題主要考查空間向量的基本知識和基本運(yùn)算，考查運(yùn)用空間向量解決問題的能力。滿分10分。
解：由題設(shè)可知，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有,,,
因?yàn)椋瑒t …………3分
所以， …………2分
因?yàn)楫惷妫圆还裁妗Ｈ簟螦PC為鈍角，則為鈍角，因此
即 …………3分
化簡得
解得 …………2分
23．【必做題】．請先閱讀：
在等式（）的兩邊求導(dǎo)，得：，
由求導(dǎo)法則，得，化簡得等式：．
（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式 （，正整數(shù)），證明：．
（2）對于正整數(shù)，求證：
（i）； （ii）； （iii）．
本題主要考查組合數(shù)、二項(xiàng)式定理、導(dǎo)數(shù)、積分等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力與分析問題、解決問題的能力。滿分10分。
證明：（1）在等式兩邊對求導(dǎo)得
…………4分
移項(xiàng)得 （*）
（2）（i）在（*）式中，令，整理得
所以 …………2分
（ii）由（1）知
兩邊對求導(dǎo)，得
在上式中，令

即 ，
亦即 （1）
又由（i）知 （2）
由（1）+（2）得 …………2分
（iii）將等式兩邊在上對積分
由微積分基本定理，得
所以 …………2分
解法二：（1） …………2分
…………2分
（2）（i）由得
…………2分
（ii）時(shí)，
所以 …………2分
（iii）由得
…………2分
2008年江蘇高考數(shù)學(xué)每題得分情況統(tǒng)計(jì)
題號
1-5
6-11
11-14
15
16
17
18
19
20
得分率
88%
68%
45%
79%
86%
39%
34%
19%
14%
內(nèi)容
三角
立幾
導(dǎo)數(shù)應(yīng)用
解析幾何
數(shù)列
函數(shù)
1—5題 22/25=88%
6—10題 17/25=68%
11—14題 9/20=45%
15題 11/14=79%
16題 12/14=86%
17題 5.5/14=39%
18題 5.5/16=34%
19題 3.03/16=19%
20題 2.17/16=14%

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