資源簡介

解直角三角形及其應用 應用舉例
【知識點撥】
1．如下左圖，在視線與水平線所成的角中，視線在水平上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角。
2．如上右圖，坡面的鉛直高度h與水平寬度l的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即：i＝。
坡面與水平面的夾角叫做坡角。用字母α表示，
即：i＝＝tanα。
【學法指導】
使學生會把實際問題轉化為解直角三角形問題，從而會把實際問題轉化為數學問題來解決。
【學習過程】
疑難解析：
例1 甲、乙兩樓相距80米，從乙樓樓底望甲樓樓頂的仰角為45°，從甲樓樓頂望乙樓樓頂的俯角為30°，試求兩樓的高。
解：設AB為乙樓，CD為甲樓（如圖）
在Rt△ACD中，∠DAC＝45°，
∴CD＝AC＝80
過B作BE⊥CD于點E，設AB＝x
則DE＝（80-x）米
在Rt△BED中，∠DBE＝30°，BE＝AC＝80米
tan∠DBE＝ 即＝
解得：x＝80（1-）
則AB＝80（1-）（米）
CD＝80米
答：甲樓高為80米，乙樓高為80（1-）米。
說明：本例構造了兩個直角三角形，通過解直角三角形來求解。
例2 如圖，一水壩橫斷面為等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度為1∶，坡面AB的水平寬度為3米，上底寬AD為4米，求坡角B，壩高AE和壩底寬BC各是多少？
分析：將實際問題轉化為數學問題，如圖所示，實際已知i＝1∶，即知＝，BE＝3 AD＝4，求∠B、AE、BC．此題實質轉化為解直角三角形的問題。
解：∵tanB＝i＝＝
又∵∠B是銳角 ∴∠B＝30°
又∵＝i＝
又∵BE＝3
∴AE＝3×＝3
BC＝2BE+AD＝2×3+4
＝4+6
答：坡角B為30°，壩高AE為3米，壩底寬為（6+4）米。
注意：（1）解應用題時，解題過程中可以不寫各數量的單位，但最后作答時務必寫清單位名稱。
（2）應用問題盡管題型千變萬化，但關鍵是設法化歸為解直角三角形同題，必要時應添加輔助線，構造出直角三角形。梯形也是通過作底面高線來構造直角三角形。
（3）本題主要應用坡度是坡角的正切函數而求出坡角，運用坡度的概念求出梯形高，運用等腰梯形性質求出底邊。
例3 如圖一輪船自西向東航行，在A處測得某島C，在北偏東60°的方向上，船前進8海里后到達B，再測C島，在北偏東30°的方向上，問船再前進多少海里與C島最近？最近距離是多少？
分析：將實際問題轉化為數學問題，并構造出與實際問題有關的直角三角形，如圖所示，船沿AB方向繼續前進至D處與C島最近，此問題實質就是已知∠A＝90°-60°＝30°，∠ABC＝90°+30°＝120°，AB＝8海里，求BD和CD的解直角三角形問題。
解：根據題設可知△ABC中，∠CAB＝30° ∠ABC＝120°，AB＝BC＝8
∴最近距離即為C到AB所在直線的垂線段CD的長度。
在Rt△CBD中，BC＝8，∠BCD＝60°
于是，BD＝BC·cos60°＝8×＝4（海里）
CD＝BC·sin60°＝8×＝4 （海里）
答：船再前進4海里就與C最近，最近距離是4海里。
注意：根據題意準確畫出示意圖是解這類題的前提和保障。
典例精評
例1 如圖，在山頂B處有一鐵塔AB，在A處測得地面上一點C的俯角為60°，在塔底B測得C俯角為45°，已知AB＝30米，求山高DB的值。
分析 本題圖形中有兩個直角三角形，它們有公共邊DC，所以用含有BD的代數式表示DC和AD，而DC和AD在Rt△ADC中，可利用三角函數關系式列出DC的方程，由BD＝DC，得到結論。
解：由已知條件得：
BD＝DC，AD＝30+BD，∠ACD＝60°
在Rt△ADC中，tan60°＝＝＝
∴DC＝15（+1）（米）
∴BD＝15（+1）（米）
答：山高DB為15（+1）米
例2 一段河壩的橫斷面為等腰梯形ABCD，試根據圖中數據求出坡角α和壩底寬AD（如圖所示）。
分析 此題應正確理解，應用坡度、坡角的概念及聯系，即i＝tanα＝，將梯形問題，添加高線把梯形轉化為兩個直角三角形及矩形來解。
解：過C作CF⊥AD于F
∵AB＝CD，BC∥AD
∴CF＝BE＝6，EF＝BC＝4
又∵i＝1∶
∴AE＝FD＝·CF＝×6＝6（米）
∴AD＝AE+EF+FD＝4+12（米）
∵tanα＝＝i＝＝
∴α＝30°
答：坡角α＝30°，壩底寬AD＝（4+12）米。
考點預測
利用三角函數知識解決實際問題在每年的中考題中都有可能出現，并且多以綜合題形式出現。
例1 如圖，在平地D處測得樹頂A的仰角為30°，向樹前進10米，到達C處，再測得樹頂A的仰角為45°，求樹高AB．（結果保留根號）
分析：先將實際問題轉化為數學問題，構造出直角三角形
已知∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，∠ADB＝30°，CD＝10米，求AB．
由于AB所在的Rt△ABC和Rt△ABD都不夠解三角形的條件，所以需設AB＝x，同時解兩個直角三角形，得到關于x的方程再求出x的值。
解：設AB＝x米，則在Rt△ABC和Rt△ABD中
BC＝ABcot45° BD＝AB·cot30°
∴CD＝BD-BC＝x（-1）
又∵CD＝10 ∴x（-1）＝10
∴x＝＝5（+1）＝5+5（米）
答：樹高為5+5米。
此題為1998年遼寧省的中考試題，這實際上是利用三角板組合的圖形題，類似這種類型題每年中考題選上都有幾道，望多加注意。
例2 如圖，在一座山的山頂B處用高為1米的測傾器望地面C、D兩點，測得的俯角分別為60°和45°，若已知DC的長是20米，求山高BE。（結果可用根式表示）
解 在Rt△ACE中，有CE＝AE·tan30°，
在Rt△ADE中，有DE＝AE·tan45°，
∴DC＝DE-CE＝AE（tan45°-tan30°）
∴AE＝＝（30+10）米
∴BE＝AE-AB＝（29+10）米
答：山高為（29+10）米。
例3 如圖，上午8時，一條船從A處出發以15海里/時的速度向正北航行，9時45分到達B處，從A處測得燈塔C在北偏西26°，從B處測得燈塔C在北偏西52°，求B處到燈塔C的距離。
解 ∵∠CBN＝∠C+∠BAC
∴∠C＝52°-26°＝26°
∴∠C＝∠BAC，∴AB＝BC
又∵AB＝15×（1+）＝26．25海里
∴B處到燈塔C的距離CB為26．25海里。
例4 如圖，從20米高的甲樓頂A處望乙樓頂C處的仰角是30°，望乙樓底D處的俯角是45°，求乙樓的高度。（精確到0.1米，≈1．414，≈1．732）
解 過A點作AE⊥CD，垂足是E，
∵AB∥CD，AE∥BD
∴DE＝AB＝20米
在Rt∠ADE中，∠DAE＝45°，DE＝20米，
∴AE＝20米
在Rt△ACE中，∠CAE＝30°，AE＝20米
∴CE＝AE·tan30°＝米
∴CD＝CE+ED＝ +20＝20（+1）
≈31．5米
答：乙樓的高約是31．5米。
同步達綱練習
知識強化：
一、填空題
1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝30°，AB＝2，則BC＝ ，AC＝ 。
2．在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠A＝60°，則BC＝ 。
3．在△ABC中，∠A＝120°，b＝5，c＝8，則S△ABC＝ 。
4．已知△ABC中，AB＝2，AC＝8，BC＝6，BD是中線，則BD＝ 。
5．已知斜坡AB長為60米，AB的坡度i＝1∶，則斜坡AB的高度為 米。
6．如圖，從樓A處望地面C、D兩點的俯角分別為45°和30°，若CD距離為100米，則樓AB高為 。
7．等腰直角三角形一腰上的中線與底邊夾角的余弦值為 。
8．在△ABC中，∠A＝120°，AB＝10，AC＝5，則sinB·sinC＝ 。
二、選擇題
1．Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝2，那么下面結論中不正確的是（ ）
A．c＝4 B、CotA＝ C．sinA+cosB＝1 D．∠B＝30°
2．在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝8，則BC的長為（ ）
A．4 B．4 C．4 D．4
3．如圖，從山頂A望地面C、D兩點，它們的俯角分別為45°、30°，如果測得CD為100米，那么山高AB等于（ ）
A．100米 B． ×100米 C．50 D．50（+1）米
4．某個水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內斜坡的坡度i＝1∶，壩外斜坡的坡度i＝1∶1，那么兩個坡角的和為（ ）
A．90° B．75° C．60° D．105°
素質優化：
1． 一船以每小時20千米的速度向正東航行，起初船在A處看見一燈塔B在船的北偏東60°，2小時后，船在C處看見這個燈塔在船的北偏東45°，求燈塔B到船的航線AC的距離。
2．如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬8m，壩高25m，斜坡AB的坡度i=1∶2．8，斜坡CD的坡度i′＝1∶2．4，求斜坡AB的坡角α，壩底寬AD和斜坡AB的長（精確到0.1m）。
創新深化：
如圖，敵人在某島周圍20海里的區域內布設了水雷，某艦由西向東航行，起初在O點處觀察此島的北偏東60°處，航行30海里到達B時，再觀察此島，在北偏東30°處，如果不改變航向，繼續向東航行，此艦有沒有觸雷的危險。
參考答案
知識強化：
一、1．2-2，- 2．2
3．30 4．
5．30 6．50（+1）
7． 8．
二、1．D 2．B 3．D 4．B
素質優化：
1．（80 +120）千米
2．AD＝138米，AB＝74．3米
創新深化：
∵AC＝15＞0 ∴沒有觸雷的危險
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