資源簡介

高一 數學 課型：新課
單元名稱：第六章 統計 課時名稱：§3　用樣本估計總體的分布
課時目標： 1. 結合實例,能用樣本估計總體的取值規律,會列頻率分布表,會畫頻率分布直方圖. 2. 能根據頻率分布表和頻率分布直方圖觀測數據的分布規律,了解不同的統計圖在表示數據上有不同的特點.
學養目標： 1. 通過對頻率分布表及頻率分布直方圖,頻率折線圖的理解,提升直觀想象,數學抽象素養. 2. 通過對頻率,頻數及頻率分布直方圖的應用,提升數學運算,數據分析素養.
學習過程：
任務/環節1: 教材梳理填空:
(一)頻數與頻率
1．頻率的定義
頻率表示頻數與總數的比值，能更好地反映樣本和總體的相應特征，頻率反映了相對總數而言的相對強度，其所攜帶的總體信息遠超過頻數．
2．頻率的作用
在統計中，經常要用樣本數據的頻率去估計總體中相應的頻率，即對總體分布進行估計．
(二)頻率分布直方圖
1．頻率分布直方圖
在頻率分布直方圖中，每個小矩形的底邊長是該組的組距，每個小矩形的高是該組的頻率與組距的比，從而每個小矩形的面積等于該組的頻率，即每個小矩形的面積＝組距×＝頻率．各小矩形的面積總和等于.
2．頻率折線圖
(1)通常，在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區間．從所加的左邊區間的中點開始，用線段依次連接各個矩形的頂端中點，直至右邊所加區間的中點，就可以得到一條折線，稱之為頻率折線圖．
(2)隨著樣本容量的增大，所劃分的區間數也可以隨之增多，而每個區間的長度則會相應隨之減小，相應的頻率折線圖就會越接近于一條光滑曲線．
[即時小練]
1．已知樣本7,8,10,14,9,7,12,11,10,8,13,10,8,11,10,9,12,9,13,11.那么這組樣本數據落在8.5～11.5內的頻率是________．
答案：0.5
2．一個容量為1 000的樣本分成若干組，已知某組的頻率為0.4，則該組的頻數是________．
答案：400
3．判斷正誤
(1)一般樣本容量越大，所分組數越多；樣本容量越小，所分組數越小．(　　)
(2)頻率分布直方圖的縱坐標表示頻率．(　　)
(3)頻率分布直方圖中小矩形的面積表示該組的頻數．(　　)
(4)一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布估計總體的分布就越精確．(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
任務/環節2: 頻數與頻率
自主學習課本P161例1和P162例2,小組討論,合作交流.
2.（2023·廣東省惠州市期末）從一堆蘋果中任取10個，稱得它們的質量如下（單位：克）：125 120 122 105 130 114 116 95 120 134.則樣本數據落在 [114.5,124.5) 內的頻率為( )
A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.5
解析：依題意，樣本數據落在 [114.5,124.5)內的頻數為4，故對應頻率為 4÷10=0.4 .
任務/環節3: 頻率分布直方圖
自主學習課本P163例3,小組討論,合作交流.
對某公司員工的年薪（單位：萬元）進行調查統計，得到了一個容量為100的樣本，樣本數據如下表所示：
年薪/萬元 [13,14) [14,15) [15,16) [16,17)
頻數 7 11 26 23
年薪/萬元 [17,18) [18,19) [19,20) [20,21]
頻數 15 8 4 6
列出樣本的頻率分布表；
畫出頻率分布直方圖和頻率折線圖;
若該公司共有1050人，試估計該公司年薪低于20萬元的人數.
解析：(1)樣本的頻率分布表為:
年薪分組 頻數 頻率
[13,14) 7 0.07
[14,15) 11 0.11
[15,16) 26 0.26
[16,17) 23 0.23
[17,18) 15 0.15
[18,19) 8 0.08
[19,20) 4 0.04
[20,21] 6 0.06
合計 100 1
(2)頻率分布直方圖和頻率折線圖如圖所示．
(3)年薪低于20萬元的頻率為 1 0.06=0.94 ，因此可估計該公司年薪低于20萬元的人數為 1050×0.94=987 .
當堂檢測:
1.將容量為 n 的樣本中的數據分成6組，繪制頻率分布直方圖.若第一組至第六組數據的頻率之比為 2:3:4:6:4:1 ，且前三組數據的頻數之和等于27，則 n 等于____.
解析：由落在各組中的數據的頻數與頻率的關系可知頻數之比即頻率之比，故可設第一組至第六組的樣本數據的頻數分別為 2x , 3x , 4x , 6x , 4x , x ,則 2x+3x+4x=27 ,解得 x=3 ，故 n=2x+3x+4x+6x+4x+x=20x=60 .
2.(多選)(2020·新高考全國卷Ⅱ)我國新冠肺炎疫情進入常態化，各地有序推進復工復產，下面是某地連續11天復工復產指數折線圖，下列說法正確的是(　　)
A．這11天復工指數和復產指數均逐日增加
B．這11天期間，復產指數增量大于復工指數的增量
C．第3天至第11天復工復產指數均超過80%
D．第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量
解析：選CD　由圖可知，第1天到第2天復工指數減少，第8天到第9天復產指數減少，故A錯誤；由圖可知，第一天的復產指數與復工指數的差大于第11天的復產指數與復工指數的差，所以這11天期間，復產指數增量小于復工指數的增量，故B錯誤；由圖可知，第3天至第11天復工復產指數均超過80%，故C正確；由圖可知，第9天至第11天復產指數增量大于復工指數的增量，故D正確．
3.(2021·全國甲卷)為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：
根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是(　　)
A．該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%
B．該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%
C．估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元
D．估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間
解析：選C　由頻率分布直方圖可知，該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率約為0.02＋0.04＝0.06，所以A正確；該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率約為0.02＋0.02＋0.02＋0.04＝0.10，所以B正確；由頻率分布直方圖可知，該地農戶家庭年收入的平均值約為3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68＞6.5，所以C不正確；該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比率約為0.1＋0.14＋0.2＋0.2＝0.64＞0.5，所以D正確．故選C.
4.從某企業生產的某種產品中抽取100件，測量這些產品的一項質量指標值，由測量結果得如下頻數分布表：
質量指標值分組 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125]
頻數 6 26 38 22 8
(1)在下圖中作出這些數據的頻率分布直方圖；
(2)根據以上抽樣調查數據，能否認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的 80% ”的規定？
解析：作出頻率分布直方圖如圖所示.
(2)質量指標值不低于95的產品所占比例的估計值為 0.38+0.22+0.08=0.68 .
由于該估計值小于 0.8 ，故不能認為該企業生產的這種產品符合“質量指標值不低于95的產品至少要占全部產品的 80% ”的規定.
反思作業小結:
談一談本節課你的收獲以及不足.(學生自我反思小結,主動發言交流,教師相機評價)
2.
繪制頻率分布直方圖的步驟
(1)計算極差：一組數據中最大值與最小值的差；
(2)確定組距與組數：組數k＝，若k∈Z，則組數 為k；若k Z，則組數為不小于k的最小整數；
(3)分組：通常對組內數值所在的區間取左閉右開區間，最后一組是閉區間；
(4)列表：一般分四列：分組、頻數、頻率、；
(5)畫頻率分布直方圖：在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數據落在各小組內的頻率用各小矩形的面積來表示，各小矩形的面積的總和等于1.　　
3.
用樣本分布估計總體分布的一般方法
一般是利用樣本在某一范圍內的頻率近似地估計總體在該范圍內的頻率．因此，首先樣本抽取要合理科學，其次要正確繪制頻率分布表(或頻率分布直方圖)或者準確找出題目所給頻率分布表(或頻率分布直方圖)中的相關信息，最后由樣本的分布估計出總體的分布情況．　
4.反思:
5.作業:課本P166頁 練習1及課本P167頁習題6-3 A組1

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