資源簡介

1．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數
定義：稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函數f(x)的導函數
稱函數為f(x)的導函數．
1. 基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax f′(x)＝axlna
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．導數的運算法則
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 復合函數的導數
復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
1.函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2.特別提醒：區分在點處的切線與過點處的切線
（1）曲線y＝f (x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為f ′(x0)的切線，是唯一的一條切線．
（2）曲線y＝f (x)過點P(x0，y0)的切線，點P不一定是切點，切線至少有一條，切線可能有多條．
3．幾類重要的切線方程
(1)y＝x－1是曲線y＝ln x的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.
(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.
(3)y＝x是曲線y＝sin x與y＝tan x的切線，如圖3.
(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切線，如圖4.
由以上切線方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等．
1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2.可導函數y＝f (x)的導數為f ′(x)，若f ′(x)為增函數，則f (x)的圖象是下凹的；反之，若f ′(x)為減函數，則f (x)的圖象是上凸的．
3．熟記以下結論：
(1) ；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
考點01 導數的概念
【典例01】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學校考階段練習）某種新產品的社會需求量是時間的函數，記作：．若，社會需求量的市場飽和水平估計為500萬件，經研究可得，的導函數滿足：（k為正的常數），則函數的圖像可能為（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②④
【答案】B
【分析】由得，，即單調遞增，再結合基本不等式，即可求.
【詳解】因為，依題知，所以，
即函數單調遞增，④不合，
又，
當且僅當，即時，等號成立，
則若，則等號可以取得，即導函數在處取得最大值，
即在該處函數的變化最大，則③滿足題意，②不合題意；
當時，等號取不了，但是單調遞增的，①符合題意；
只有①③符合題意.
故選：B
【典例02】（2023上·北京·高二清華附中校考期中）已知函數，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】畫出函數的圖象，觀察與連線的斜率即得.
【詳解】作出函數的圖象，如圖所示.

由圖可知曲線上各點與坐標原點的連線的斜率隨著的增大而減小.
由，得，即，
故選：C
【規律方法】
1.根據導數的定義求函數在點處導數的方法：
①求函數的增量；
②求平均變化率；
③得導數，簡記作：一差、二比、三極限.
2.函數y＝f (x)的導數f ′(x)反映了函數f (x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f ′(x)|反映了變化的快慢，|f ′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．
3.瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數．
考點02 導數的運算
【典例03】（2023上·江蘇揚州·高二統考階段練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【分析】根據導數的計算公式以及導數運算法則，逐項判斷即可得出結果.
【詳解】由基本初等函數的求導公式以及導數運算法則可得：
對A，，A正確；
對B，，B錯誤；
對C，，C錯誤；
對D，，D正確.
故選：AD
【典例04】（2022下·廣東揭陽·高二校考階段練習）若函數，則的值為
【答案】/
【分析】求導后令可得，再求解即可
【詳解】因為，令，則，
所以，則
故答案為：
【總結提升】
1.求函數導數的一般原則如下：
（1）連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導；
（2）根式形式：先化為分數指數冪，再求導；
（3）復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導；
（4）不能直接求導：適當恒等變形，轉化為能求導的形式再求導．
2.復合函數的求導方法
求復合函數的導數，一般是運用復合函數的求導法則，將問題轉化為求基本函數的導數解決.
①分析清楚復合函數的復合關系是由哪些基本函數復合而成的，適當選定中間變量；
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量；
③根據基本函數的 導數公式及導數的運算法則，求出各函數的導數，并把中間變量轉換成自變量的函數；
④復合函數的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數的 復合過程.
3.函數的導數與導數值的區間與聯系：導數是原來函數的導函數，而導數值是導函數在某一點的函數值，導數值是常數.
考點03 曲線切線的斜率、傾斜角問題
【典例05】（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯考階段練習）奇函數在點處的切線斜率為（ ）
A．12 B． C．8 D．
【答案】A
【分析】根據奇函數的定義以及導數的運算求解.
【詳解】因為為奇函數，
所以，即，所以，
所以，則.
故選:A.
【典例06】（2023上·重慶渝中·高三統考期中）曲線在處的切線的傾斜角為，則 ．
【答案】/
【分析】求導，根據導數的幾何意義可得，再結合齊次式問題運算求解.
【詳解】因為，可得，
由題意可知：，
所以
，
即.
故答案為：.
考點04 求在曲線上一點的切線方程（斜率）
【典例07】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則函數的圖象在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先求出導函數，然后利用導數幾何意義求出切線斜率，代入點斜式方程即可求解.
【詳解】對求導，
得，
∴的圖象在處的切線斜率為，又，
∴的圖象在處的切線方程為，
即.
故選：C
【典例08】（2023上·山東·高三濟南一中校聯考期中）已知函數，則在點處切線方程為 ．
【答案】
【分析】對求導可得計算出得，再根據題意利用導數的幾何意義求解即可.
【詳解】對求導可得，則，
解得，
，
，
切線方程為，整理得.
故答案為：.
【規律方法】
以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：
①求出函數f(x)的導數f′(x)；
②求切線的斜率f′(x0)；
③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．
考點05 求過一點的切線方程（斜率）
【典例09】（2023·全國·模擬預測）過原點與曲線相切的一條切線的方程為 .
【答案】或或(寫出其中一條即可)
【分析】根據曲線表示拋物線的一部分，設其切線方程為，利用判別式法求解；設的切線的切點為，利用導數法求解.
【詳解】解：設曲線表示拋物線的一部分，
設其切線方程為，代入，
得.由，得.
當時，，符合題意，
當時，，均符合題意，
所以切線方程.
設的切線的切點為.
由，得，，
得切線方程為.
將的坐標代入切線方程，得，
所以，所以切線方程為.
故答案為：或或(寫出其中一條即可)
【典例10】（2023下·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知函數.
(1)求曲線在處的切線的方程；
(2)求過原點O與曲線相切的直線的方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據切點和斜率求得切線方程.
（2）設出切點坐標，根據切線斜率和導數列方程，求得切點坐標，進而求得切線方程.
【詳解】（1）因為，所以.
，，
所以曲線在處的切線方程為，
即直線的方程為.
（2）設過原點的直線與曲線切于點.
則的斜率，
所以，整理得，所以，
所以，
所以直線的方程為，即.
【總結提升】
如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個．
考點06 求切點坐標
【典例11】（2023·高二課時練習）曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為 ．
【答案】或
【分析】求導得到，解得或，得到坐標.
【詳解】由已知得，令，則，解得或，
所以或．經檢驗，點與均符合題意．
故答案為：或
【典例12】（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是____.
【答案】.
【解析】
【分析】
設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值可得切點坐標.
【詳解】
設點，則.又，
當時，，
點A在曲線上的切線為，
即，
代入點，得，
即，
考查函數，當時，，當時，，
且，當時，單調遞增，
注意到，故存在唯一的實數根，此時，
故點的坐標為.
【總結提升】
已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
考點07 切線的平行與垂直
【典例13】（2023下·江西·高二校聯考期中）設曲線在點處的切線與直線平行，則實數（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據導數求解，由兩直線平行斜率相等即可求解.
【詳解】由得，故，
由于點處的切線與直線平行，且直線的斜率為，所以，
故選：C
【典例14】（2023上·江西吉安·高三統考期末）已知函數圖像在點和點處的兩條切線互相垂直，若，則實數a的范圍是 ．
【答案】
【分析】假設兩切點坐標，得出對應的切線的斜率，分析題意可得，即可解得a的范圍.
【詳解】解：由題意，則
不妨設，點和點，兩切線的斜率分別為，
∴，∴，
∴等價于，
等價于或
解得，或．故a的范圍是．
故答案為：.
考點08 曲線的公切線問題
【典例15】（2023下·四川綿陽·高二校考期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
【答案】A
【分析】設切點分別為、，根據導數幾何意義及公切線列方程求參數值即可.
【詳解】若，則，且，
若，則，且，
又是、的公切線，
設切點分別為、，則，
，則，即.
故選：A
【典例16】（2023·全國·模擬預測）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程 .
【答案】或（寫出一個即可）
【分析】設出切點坐標，根據切線斜率相等，建立等式，解出即可.
【詳解】設公切線與曲線切于點，
與曲線切于點.
由，得.由，得.
令，即，則，
且，
即，
化為，
所以，解得或.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
當時，，，
此時切線的方程為，即.
綜上可知，切線的方程為或，寫出任意一個即可.
故答案為：或，寫出任意一個即可.
【規律總結】
1.解決此類問題通常有兩種方法
一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；
二是設公切線l在y＝f (x)上的切點P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f ′(x1)＝g′(x2)＝.
2.處理與公切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數，建立方程(組)的依據主要是：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
考點09 求參數問題
【典例17】（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數，過點作曲線的兩條切線，切點分別為和，若，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本題考查導數的計算及幾何意義．
【詳解】由題意知，
因為與曲線相切，
所以，整理得，
同理，
則，是方程的兩個實數根，
所以，
所以．
故選：.
【典例18】（2023下·廣東汕頭·高二統考期末）已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為 .
【答案】2
【分析】由求得切線方程，結合該切線也是的切線列方程，求得切點坐標以及斜率，進而求得直線，從而求得正確答案.
【詳解】設是圖像上的一點，，
所以在點處的切線方程為，①，
令，解得，
，所以，
，所以或（此時①為，，不符合題意，舍去），
所以，此時①可化為，
所以.
故答案為：
【規律方法】
已知曲線的切線條數求參數范圍問題時，需要明確的是，曲線存在幾條切線，就會相應的有幾個切點，因此就可以將切線條數問題轉化為切點個數問題；也就是說抓住“切點”這個“牛鼻子”，將問題進一步轉化為關于相應函數零點個數問題．
考點10 導數幾何意義相關的應用問題
【典例19】（2022·全國·高三專題練習）已知，直線與曲線相切，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用導數的幾何意義，求出a，b的關系，再結合均值不等式逐項分析、計算并判斷作答.
【詳解】
設直線與曲線相切的切點為，
由求導得：，則有，解得，
因此，，即，而，
對于A，，當且僅當時取“=”，A正確；
對于B，，當且僅當，即時取“=”，B不正確；
對于C，因，則有，即，
當且僅當，即時取“=”，由得，所以當時，，C正確；
對于D，由，得，，，而函數在R上單調遞增，
因此，，D不正確.
故選：AC
【典例20】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 .
【答案】/
【分析】根據與互為反函數，的最小值為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍，求其最小值即可得出答案.
【詳解】由，得：，.
所以與互為反函數．
則它們的圖象關于對稱．
要使的距離最小，則線段垂直直線.
點在曲線上，點Q在曲線上，
設，.
又P，Q的距離為P或Q中一個點到的最短距離的兩倍．
以Q點為例，Q點到直線的最短距離
所以當，即時，d取得最小值，
則的最小值等于.
故答案為：
【規律方法】
求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍．
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
1．（2023·全國·統考高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由切點設切線方程，再求函數的導數，把切點的橫坐標代入導數得到切線的斜率，代入所設方程即可求解.
【詳解】設曲線在點處的切線方程為，
因為，
所以，
所以
所以
所以曲線在點處的切線方程為.
故選：C
2．（2020·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改，設企業的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.
給出下列四個結論：
①在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
③在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；
④甲企業在這三段時間中，在的污水治理能力最強．
其中所有正確結論的序號是____________________．
【答案】①②③
【解析】
【分析】
根據定義逐一判斷，即可得到結果
【詳解】
表示區間端點連線斜率的負數，
在這段時間內，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反數比乙的大，因此甲企業的污水治理能力比乙企業強；①正確；
甲企業在這三段時間中，甲企業在這段時間內，甲的斜率最小，其相反數最大，即在的污水治理能力最強．④錯誤；
在時刻，甲切線的斜率比乙的小，所以甲切線的斜率的相反數比乙的大，甲企業的污水治理能力比乙企業強；②正確；
在時刻，甲、乙兩企業的污水排放量都在污水打標排放量以下，所以都已達標；③正確；
故答案為：①②③
3.（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
設出切點橫坐標，利用導數的幾何意義求得切線方程，根據切線經過原點得到關于的方程，根據此方程應有兩個不同的實數根，求得的取值范圍.
【詳解】
∵，∴，
設切點為,則,切線斜率,
切線方程為：,
∵切線過原點，∴,
整理得：,
∵切線有兩條，∴,解得或,
∴的取值范圍是,
故答案為：
一、單選題
1．（2022下·安徽滁州·高二統考期末）已知函數，為的導函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】直接利用導數的定義，即可解出．
【詳解】由題意可得，，所以
故選：．
2.（2023上·山東濟寧·高三統考期中）若曲線在點處的切線方程是，則（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】求出函數在點處的切線斜率即可得出的值.
【詳解】由題意，
在中，，
在點處，，
∵在點處的切線方程是，
∴在點處的斜率為，
∴，解得：，
故選：C.
3．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數a的值為（ ）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
【答案】D
【分析】根據導數的運算公式以及切線的幾何意義求解.
【詳解】因為，所以，
當時，，
所以曲線在點處的切線的斜率等于3，
所以直線的斜率等于，
即，解得，
故選:D.
4．（2023下·湖北·高二武漢市第四十九中學校聯考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
【答案】D
【分析】先由，利用切線斜率為-1求得切點，再將切點代入切線方程求得a，然后設切線與的切點為，利用切線斜率為-1和切點在切線上求解.
【詳解】解：因為，
所以，由，解得或（舍去），
所以切點為，
因為切點在切線上，解得，
所以切線方程為，
設切點為，
由題意得，解得，
所以，
故選：D
二、多選題
5．（2023下·湖南·高二期中）過點作曲線的切線，則切線方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】AB
【分析】先設出切點的坐標，求出導函數，再將切點橫坐標代入導函數求出切線的斜率，結合切點坐標寫出切線方程，再將點P的坐標代入切線方程，進而解出切點橫坐標，最后得到答案.
【詳解】
∵.設曲線的切點為，則，.
∴切線方程為.
又切線經過點，則，解得或，
∴切點為時，切線方程為；切點為時，切線方程為.
故選：AB.
三、填空題
6．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若直線與曲線相切，則實數的值為 ．
【答案】/
【分析】根據切點在曲線和直線上，切點處的導數等于切線的斜率求解.
【詳解】設切點坐標為，因為直線的斜率為2，且，
所以，解得，故實數a的值為．
故答案為: .
7．（2022上·四川廣安·高三廣安二中校考期中）曲線在處的切線的傾斜角為，則 .
【答案】
【分析】由導數的幾何意義求得，再結合同角三角函數基本關系即可求解.
【詳解】由，得，
，即，又，
由同角三角函數的基本關系式，
，解得.
故答案為：.
8．（2022上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）二次函數與在它們的一個交點處切線互相垂直，則的最小值為 .
【答案】
【分析】根據交點處切線垂直得到，再利用基本不等式中的乘1法即可得到最值.
【詳解】解：設該交點為，
因為，則，
因為，則，
因為兩函數在交點處切線互相垂直，
所以，，
分別化簡得，，
上述兩式相加得，又，
其中，
當且僅當，且即時取等號.
故所求最小值為，
故答案為：.
9．（2023上·江蘇常州·高三常州高級中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，若過點且同時與曲線，曲線都相切的直線有兩條，則點的坐標為 ．
【答案】
【分析】根據導數的幾何意義，結合直線的點斜式方程進行求解即可.
【詳解】設點的坐標為，
顯然這兩條曲線的公切線存在斜率，設為，
因此切線方程為，
設曲線的切點為，即，
由，所以過該切點的切線的斜率為，
則有，
設的切點為，即，
由，所以過該切點的切線的斜率為，
則有，
由題意可知：，于是有：
，得，或，
當時，則有，
當時，則有，
由可解，.
故答案為：
10．（2023下·安徽亳州·高三蒙城第一中學統考開學考試）若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為 ．
【答案】
【分析】曲線與曲線存在公切線等價于導函數相等有解，求導后列出方程求解即可.
【詳解】由，則，設切點為，切線斜率為，
所以，切線為，即，
由，則，設切點為，切線斜率為，
所以，切線為，即，
根據題設，若它們切線為公切線，則有，即，
又，即且，即，
由上關系式并消去并整理得在上有解，
令，則，
當，則，即，此時遞增；
當，則或，即或，此時遞減；
又，，
所以，即.
故答案為：.
四、解答題
11．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，圓C和直角三角形AOB的兩邊相切，射線OP從OA處開始，繞點O勻速旋轉(到OB處為止)時，所掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，它的圖象大致為（ ）

A． B．C． D．
若把圖中的圓改成如圖（1）所示的半圓，正確的答案是哪個？如果改成圖（2）中的三角形呢？

【答案】D；把圖中的圓改為圖（1）半圓時，選B；把圖中的圓改為圖（2）三角形時，選C.
【分析】觀察得出陰影部分面積的變換規律即可選出答案．
【詳解】
當直線轉動時，若某時刻直線被圓所截得的弦較長，S的瞬時變化率就較大，此處的導數也較大，圖象中這里的切線較陡，曲線就較陡. 所以曲線開始由平緩變陡；到過程進行到一半時，截得的弦最大，曲線最陡；以后弦又漸漸變短，曲線由陡變緩，4個圖中只有D具有上述特點. 故選D.

將原題中的圓改為如圖（1）半圓時，當射線勻速旋轉時，射線被半圓截得的弦長逐漸變長，所以掃過的半圓內陰影部分面積S的瞬時變化率逐漸變大，即曲線的切線逐漸變陡，曲線也變陡，故選項B符合；

將原題中的圓改為如圖（2）三角形時，當射線勻速旋轉時，射線掃過的三角形內陰影部分面積在開始時段的增速和最后時段的增速比中間時段快，即圖像上切線的斜率先逐漸減小后又逐漸增大，故選項C符合.
12．（2010上·黑龍江雙鴨山·高三階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．
【答案】(1)
(2)，切點為
【分析】（1）根據導數的幾何意義求解即可；
（2）根據導數的幾何意義求出切線方程，再將原點代入即可求解.
【詳解】（1）由，得，
所以，
所以曲線在點處的切線方程為，即.
（2）設切點為，由（1）得，
所以切線方程為，
因為切線經過原點，
所以，
所以，．
則，
所以所求的切線方程為，切點為．1．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數
定義：稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率
為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即.
2．函數f(x)的導函數
稱函數為f(x)的導函數．
1. 基本初等函數的導數公式
原函數 導函數
f(x)＝c(c為常數) f′(x)＝0
f(x)＝xn(n∈Q*) f′(x)＝nxn－1
f(x)＝sin x f′(x)＝cosx
f(x)＝cos x f′(x)＝－sinx
f(x)＝ax f′(x)＝axlna
f(x)＝ex f′(x)＝ex
f(x)＝logax f′(x)＝
f(x)＝ln x f′(x)＝
2．導數的運算法則
（1） [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
（2） [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
（3）(g(x)≠0)．
(4) 復合函數的導數
復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝yu′·ux′，即y對x的導數等于y對u的導數與u對x的導數的乘積．
1.函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處的切線的斜率(瞬時速度就是位移函數s(t)對時間t的導數)．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
2.特別提醒：區分在點處的切線與過點處的切線
（1）曲線y＝f (x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，斜率為f ′(x0)的切線，是唯一的一條切線．
（2）曲線y＝f (x)過點P(x0，y0)的切線，點P不一定是切點，切線至少有一條，切線可能有多條．
3．幾類重要的切線方程
(1)y＝x－1是曲線y＝ln x的切線，y＝x是曲線y＝ln(x＋1)的切線，…，y＝x＋n是曲線y＝ln(x＋n＋1)的切線，如圖1.
(2)y＝x＋1與y＝ex是曲線y＝ex的切線，如圖2.
(3)y＝x是曲線y＝sin x與y＝tan x的切線，如圖3.
(4)y＝x－1是曲線y＝x2－x，y＝xln x及y＝1－的切線，如圖4.
由以上切線方程可得重要不等式，如ln x≤x－1，x＋1≤ex等．
1．奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數，周期函數的導數還是周期函數．
2.可導函數y＝f (x)的導數為f ′(x)，若f ′(x)為增函數，則f (x)的圖象是下凹的；反之，若f ′(x)為減函數，則f (x)的圖象是上凸的．
3．熟記以下結論：
(1) ；
(2) (f (x)≠0)；
(3)[af (x)±bg(x)]′＝af ′(x)±bg′(x)．
考點01 導數的概念
【典例01】（2023上·北京·高三北京市第三十五中學校考階段練習）某種新產品的社會需求量是時間的函數，記作：．若，社會需求量的市場飽和水平估計為500萬件，經研究可得，的導函數滿足：（k為正的常數），則函數的圖像可能為（ ）
A．①② B．①③ C．②④ D．①②④
【典例02】（2023上·北京·高二清華附中校考期中）已知函數，則的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【規律方法】
1.根據導數的定義求函數在點處導數的方法：
①求函數的增量；
②求平均變化率；
③得導數，簡記作：一差、二比、三極限.
2.函數y＝f (x)的導數f ′(x)反映了函數f (x)的瞬時變化趨勢，其正負號反映了變化的方向，其大小|f ′(x)|反映了變化的快慢，|f ′(x)|越大，曲線在這點處的切線越“陡”．
3.瞬時速度是位移函數S(t)對時間的導數．
考點02 導數的運算
【典例03】（2023上·江蘇揚州·高二統考階段練習）下列求導運算正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例04】（2022下·廣東揭陽·高二校考階段練習）若函數，則的值為
【總結提升】
1.求函數導數的一般原則如下：
（1）連乘積的形式：先展開化為多項式的形式，再求導；
（2）根式形式：先化為分數指數冪，再求導；
（3）復雜公式：通過分子上湊分母，化為簡單分式的和、差，再求導；
（4）不能直接求導：適當恒等變形，轉化為能求導的形式再求導．
2.復合函數的求導方法
求復合函數的導數，一般是運用復合函數的求導法則，將問題轉化為求基本函數的導數解決.
①分析清楚復合函數的復合關系是由哪些基本函數復合而成的，適當選定中間變量；
②分步計算中的每一步都要明確是對哪個變量求導，而其中特別要注意的是中間變量；
③根據基本函數的 導數公式及導數的運算法則，求出各函數的導數，并把中間變量轉換成自變量的函數；
④復合函數的求導熟練以后，中間步驟可以省略，不必再寫出函數的 復合過程.
3.函數的導數與導數值的區間與聯系：導數是原來函數的導函數，而導數值是導函數在某一點的函數值，導數值是常數.
考點03 曲線切線的斜率、傾斜角問題
【典例05】（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯考階段練習）奇函數在點處的切線斜率為（ ）
A．12 B． C．8 D．
【典例06】（2023上·重慶渝中·高三統考期中）曲線在處的切線的傾斜角為，則 ．
考點04 求在曲線上一點的切線方程（斜率）
【典例07】（2023·全國·模擬預測）已知函數，則函數的圖象在處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
【典例08】（2023上·山東·高三濟南一中校聯考期中）已知函數，則在點處切線方程為 ．
【規律方法】
以曲線上的點(x0，f(x0))為切點的切線方程的求解步驟：
①求出函數f(x)的導數f′(x)；
②求切線的斜率f′(x0)；
③寫出切線方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化簡．
考點05 求過一點的切線方程（斜率）
【典例09】（2023·全國·模擬預測）過原點與曲線相切的一條切線的方程為 .
【典例10】（2023下·江西萍鄉·高二校聯考階段練習）已知函數.
(1)求曲線在處的切線的方程；
(2)求過原點O與曲線相切的直線的方程.
【總結提升】
如果已知點(x1，y1)不在曲線上，則設出切點(x0，y0)，解方程組得切點(x0，y0)，進而確定切線方程．求切線方程時，要注意判斷已知點是否滿足曲線方程，即是否在曲線上；與曲線只有一個公共點的直線不一定是曲線的切線，曲線的切線與曲線的公共點不一定只有一個．
考點06 求切點坐標
【典例11】（2023·高二課時練習）曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為 ．
【典例12】（2019·江蘇·高考真題）在平面直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1)(e為自然對數的底數），則點A的坐標是____.
【總結提升】
已知斜率求切點：已知斜率k，求切點(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
考點07 切線的平行與垂直
【典例13】（2023下·江西·高二校聯考期中）設曲線在點處的切線與直線平行，則實數（ ）
A． B．
C． D．
【典例14】（2023上·江西吉安·高三統考期末）已知函數圖像在點和點處的兩條切線互相垂直，若，則實數a的范圍是 ．
考點08 曲線的公切線問題
【典例15】（2023下·四川綿陽·高二校考期中）若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則（ ）
A．2 B．3 C．1 D．1.5
【典例16】（2023·全國·模擬預測）試寫出曲線與曲線的一條公切線方程 .
【規律總結】
1.解決此類問題通常有兩種方法
一是利用其中一曲線在某點處的切線與另一曲線相切，列出關系式求解；
二是設公切線l在y＝f (x)上的切點P1(x1，f (x1))，在y＝g(x)上的切點P2(x2，g(x2))，則f ′(x1)＝g′(x2)＝.
2.處理與公切線有關的參數問題，通常根據曲線、切線、切點的三個關系列出參數的方程(組)并解出參數，建立方程(組)的依據主要是：①切點處的導數是切線的斜率；②切點在切線上；③切點在曲線上．
考點09 求參數問題
【典例17】（2023·海南·校聯考模擬預測）已知函數，過點作曲線的兩條切線，切點分別為和，若，則實數（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【典例18】（2023下·廣東汕頭·高二統考期末）已知直線是曲線與曲線的公切線，則的值為 .
【規律方法】
已知曲線的切線條數求參數范圍問題時，需要明確的是，曲線存在幾條切線，就會相應的有幾個切點，因此就可以將切線條數問題轉化為切點個數問題；也就是說抓住“切點”這個“牛鼻子”，將問題進一步轉化為關于相應函數零點個數問題．
考點10 導數幾何意義相關的應用問題
【典例19】（2022·全國·高三專題練習）已知，直線與曲線相切，則下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【典例20】（2024·全國·高三專題練習）設點在曲線上，點在曲線上，則的最小值為 .
【規律方法】
求解與導數的幾何意義有關問題時應注意的兩點
(1)注意曲線上橫坐標的取值范圍．
(2)謹記切點既在切線上又在曲線上．
1．（2023·全國·統考高考真題）曲線在點處的切線方程為（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·北京·高考真題）為滿足人民對美好生活的向往，環保部門要求相關企業加強污水治理，排放未達標的企業要限期整改，設企業的污水排放量W與時間t的關系為，用的大小評價在這段時間內企業污水治理能力的強弱，已知整改期內，甲、乙兩企業的污水排放量與時間的關系如下圖所示.
給出下列四個結論：
①在這段時間內，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
②在時刻，甲企業的污水治理能力比乙企業強；
③在時刻，甲、乙兩企業的污水排放都已達標；
④甲企業在這三段時間中，在的污水治理能力最強．
其中所有正確結論的序號是____________________．
3.（2022·全國·高考真題）若曲線有兩條過坐標原點的切線，則a的取值范圍是________________．
一、單選題
1．（2022下·安徽滁州·高二統考期末）已知函數，為的導函數，則的值為（ ）
A． B． C． D．
2.（2023上·山東濟寧·高三統考期中）若曲線在點處的切線方程是，則（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
3．（2023上·陜西西安·高二長安一中校考期末）若曲線在點處的切線與直線垂直，則實數a的值為（ ）
A．－4 B．－3 C．4 D．3
4．（2023下·湖北·高二武漢市第四十九中學校聯考期中）若直線是曲線與曲線的公切線，則（ ）．
A．26 B．23 C．15 D．11
二、多選題
5．（2023下·湖南·高二期中）過點作曲線的切線，則切線方程可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空題
6．（2023·全國·模擬預測）已知函數，若直線與曲線相切，則實數的值為 ．
7．（2022上·四川廣安·高三廣安二中校考期中）曲線在處的切線的傾斜角為，則 .
8．（2022上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）二次函數與在它們的一個交點處切線互相垂直，則的最小值為 .
9．（2023上·江蘇常州·高三常州高級中學校考開學考試）在平面直角坐標系中，若過點且同時與曲線，曲線都相切的直線有兩條，則點的坐標為 ．
10．（2023下·安徽亳州·高三蒙城第一中學統考開學考試）若曲線與曲線存在公切線，則a的取值范圍為 ．
四、解答題
11．（2023·全國·高二隨堂練習）如圖，圓C和直角三角形AOB的兩邊相切，射線OP從OA處開始，繞點O勻速旋轉(到OB處為止)時，所掃過的圓內陰影部分的面積S是時間t的函數，它的圖象大致為（ ）

A． B．C． D．
若把圖中的圓改成如圖（1）所示的半圓，正確的答案是哪個？如果改成圖（2）中的三角形呢？

12．（2010上·黑龍江雙鴨山·高三階段練習）已知函數．
(1)求曲線在點處的切線方程；
(2)直線為曲線的切線，且經過原點，求直線的方程及切點坐標．

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