資源簡介

人教A版（2019）高一數學必修第一冊課時同步學案　
5.2.1三角函數的概念(2)
【知識梳理】
【知識點一】三角函數值的符號
如圖所示：
正弦：一二象限正；三四象限負；
余弦：一四象限正，二三象限負；
正切：一三象限正，二四象限負．
【知識點二】誘導公式一
由三角函數的定義，可以知道：終邊相同的角的同一三角函數的值相等．由此得到一組公式(公式一)：
作用：利用公式一，可以把求任意角的三角函數值，轉化為求0到2π(或0°～360°)角的三角函數值.
【題型探究】
【類型一】三角函數值的符號確定
【例1】(1)若sinα·tanα<0，且<0，則角α是(　　)
A．第一象限角　　　　　 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
(2)判斷下列各式的符號：
①sin105°·cos230°；②cos3·tan.
【方法歸納】
判斷三角函數值的符號時，準確確定角的終邊所在的位置是前提，準確記憶三角函數值在各象限的符號是關鍵.
1若已知角α的終邊所在的象限，可直接利用口訣“一全正、二正弦、三正切、四余弦”來判斷其三角函數值的符號；
2若已知角α為【0，2π內的角，則需先判斷角α的終邊所在的位置，然后再判斷其三角函數值的符號；,3若已知角α為任意角，則可以利用公式一將角α的三角函數轉化為【0，2π內的角的三角函數，判斷其終邊所在的位置，然后再判斷其三角函數值的符號；
4若角α的終邊所在的位置不確定，則需要對角α的終邊的位置進行分類討論注意終邊落在坐標軸上的角.
【變式訓練1】(1)若cosα<0，則角α是(　 　)
A．第二象限角
B．第三象限角
C．第二或第三象限角
D．第二或第三象限角，或終邊在x軸的非正半軸上的角
(2)設θ是第三象限角，且滿足＝－sin，則角為第_____象限角．
【類型二】誘導公式一的應用
【例2】計算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos1 110°＋cos(－1 020°)sin750°；
(2)sin(－)＋costan4π.
【方法歸納】
利用誘導公式求解任意角的三角函數值的步驟
1定形：將已知的任意角寫成2kπ＋α的形式，其中α∈【0，2π，k∈Z；
2轉化：根據誘導公式，轉化為求角α的某個三角函數值；
3求值：若角為特殊角，可直接求出該角的三角函數值.
【變式訓練2】求下列各式的值：
(1)sin＋tan；
(2)sin810°＋cos360°－tan1 125°.
【類型三】三角函數概念的綜合應用
【例3】在平面直角坐標系中，，，，是圓x2＋y2＝1上的四段弧(如圖所示)，點P在其中一段上，角α以Ox為始邊，OP為終邊．若tanαA. B.
C. D.
【方法歸納】
解答與三角函數定義相關的綜合問題時要充分理解三角函數的定義，并充分挖掘題目所給條件，將二者有效綜合.結合給出的問題，采用數形結合、分類討論、邏輯推理等思想方法來求解.如本例主要采用了分類討論思想來解題.
【變式訓練3】若sin2α>0，且cosα<0，試確定角α的終邊所在的象限．
【課堂練習】
1．cos450°等于(　 　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．0 D.
2．若tanθ·sin2θ<0，則角θ在(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第二象限或第四象限 D．第二象限或第三象限
解析：因為tanθ·sin2θ<0，所以tanθ<0，于是角θ在第二象限或第四象限．
3．若－<α<0，則點Q(cosα，sinα)位于(　 　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．sin＋cos－tan的值為______.
5．判斷下列各式的符號：
(1)tan120°·sin269°；
(2)cos4·tan.
【參考答案】
【例1】(1)C　(2)見解析
【解析】(1)由sinαtanα<0可知sinα，tanα異號，從而α為第二或第三象限角．由<0可知cosα，tanα異號，從而α為第三或第四象限角．綜上可知，α為第三象限角，故選C.
(2)解：①∵105°，230°分別為第二，第三象限角，
∴sin105°>0，cos230°<0.∴sin105°·cos230°<0.
②∵<3<π，∴3是第二象限角，∴cos3<0.
又－是第三象限角，
∴tan>0.∴cos3·tan<0.
【變式訓練1】(1)D
解析：∵cosα<0 x<0，∴α是第二或第三象限角，或終邊在x軸的非正半軸上的角．
(2)四．
解析：因為θ是第三象限角，
所以π＋2kπ<θ<π＋2kπ，k∈Z，
所以＋kπ<<π＋kπ，k∈Z，
所以角為第二或第四象限角，
又因為＝－sin，所以sin<0，所以為第四象限角．
【例2】【解】(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°
＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin(－2π＋)＋cos(2π＋)·
tan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
【變式訓練2】解：(1)sin＋tan
＝sin＋tan
＝sin＋tan＝＋1.
(2)sin810°＋cos360°－tan1 125°＝sin(2×360°＋90°)＋cos(360°＋0°)－tan(3×360°＋45°)＝sin90°＋cos0°－tan45°＝1＋1－1＝1.
【例3】C
【解析】設點P的坐標為(x，y)，已知tanα1，則x|x|，則<－1，所以0，則x【變式訓練3】解：∵sin2α>0，∴2kπ<2α<2kπ＋π(k∈Z)，
∴kπ<α當k為偶數時，設k＝2m(m∈Z)，
有2mπ<α<2mπ＋(m∈Z)；
當k為奇數時，設k＝2m＋1(m∈Z)，
有2mπ＋π<α<2mπ＋(m∈Z)．
∴角α的終邊可能位于第一或第三象限．
又cosα<0，∴角α的終邊可能位于第二或第三象限或x軸的非正半軸上．
綜上可知，角α的終邊位于第三象限.
【課堂練習】
1．C
解析：cos450°＝cos90°＝0.故選C.
2．C
解析：因為tanθ·sin2θ<0，所以tanθ<0，于是角θ在第二象限或第四象限．
3．D
解析：因為－<α<0，所以cosα>0，且sinα<0，所以點Q(cosα，sinα)在第四象限，故選D.
4．0.
解析：原式
＝sin＋cos－tan
＝sin＋cos－tan＝＋－1＝0.
5．解：(1)∵120°是第二象限角，∴tan120°<0.
∵269°是第三象限角，∴sin269°<0.
∴tan120°·sin269°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，
∴cos4<0.∵－＝－6π－，
∴－是第四象限角．∴tan<0.
∴cos4·tan>0.

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