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人教A版（2019）高一數學必修第一冊課時同步學案　
5.2.1三角函數的概念(1)
【知識梳理】
【知識點一】三角函數的定義(坐標法)
1．銳角三角函數定義
如圖所示，設銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，那么它的終邊在第一象限．在它的終邊上任取一點P(a，b)(與原點不重合)，點P到原點的距離是r(r＝)．過點P作x軸的垂線，垂足為M，則線段OM的長度為a，線段MP的長度為b.我們有sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
特別地，當r＝1時，sinα＝＝b，cosα＝＝a，tanα＝＝.
2．利用角終邊上任意一點的坐標定義角的三角函數
一般地，設α是一個任意角，它的終邊上有任意一點P(x，y)(不與原點重合)，點P到原點的距離是r(r＝)，如圖所示．
那么：sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)．
【知識點二】三角函數的定義(單位圓法)
在平面直角坐標系中，設α是一個任意角，α∈R，它的終邊OP與單位圓相交于點P(x，y)，那么：
(1)把點P的縱坐標y叫做α的正弦函數，記作sinα，即y＝sinα；
(2)把點P的橫坐標x叫做α的余弦函數，記作cosα，即x＝cosα；
(3)把點P的縱坐標與橫坐標的比值(x≠0)叫做α的正切，記作tanα，
即＝tanα(x≠0)．
可以看出，當α＝＋kπ(k∈Z)時，α的終邊在y軸上，這時點P的橫坐標x等于0，所以＝tanα無意義．除此之外，對于確定的角α，的值也是唯一確定的．所以，＝tanα(x≠0)也是以角為自變量，以單位圓上點的縱坐標與橫坐標的比值為函數值的函數，稱為正切函數．
我們將正弦函數、余弦函數和正切函數統稱為三角函數，通常將它們記為
正弦函數　y＝sinx，x∈R；
余弦函數　y＝cosx，x∈R；
正切函數　y＝tanx，x≠＋kπ(k∈Z)．
【題型探究】
【類型一】坐標法求三角函數值
【例1】(1)在平面直角坐標系中，已知角α始邊與x軸非負半軸重合，頂點與原點重合，且α終邊上有一點P坐標為(－2,3)，則2sinα＋cosα＝(　　)
A.　　　　B．－ C. D．1
(2)已知角α的終邊經過點P(－x，－6)，且cosα＝－，則＋＝________.
【方法歸納】
1．已知角α的終邊上一點P(x，y)，先計算r＝|OP|＝；第二步，求值：由sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)求值．在含有參數的問題時，要注意分類討論思想的運用．
2．當角α的終邊上點的坐標以參數形式給出時，要根據問題的實際情況對參數進行分類討論．
【變式訓練1】已知角α的終邊過點(a,2a)(a≠0)，求角α的正弦、余弦、正切值．
【類型二】單位圓法求三角函數值
【例2】利用定義求π的正弦，余弦和正切值．
【方法歸納】
1．若已知角α的大小，只需確定出角α的終邊與以坐標原點為圓心的單位圓的交點坐標，即可求出角α的各三角函數值．
2．若已知角α終邊上一點P(x，y)(x≠0)是以坐標原點為圓心的單位圓上的點，則sinα＝y，cosα＝x，tanα＝.
【變式訓練2】(1)在平面直角坐標系中，以x軸的非負半軸為角的始邊，如果角α，β的終邊分別與單位圓交于點和，那么sinαcosβ＝(　 　)
A．－ B．－
C. D.
(2)若角α的終邊與單位圓的交點是P，則sinα＝______，cosα＝______，tanα＝______.
【類型三】三角函數概念的綜合應用
【例3】已知角α的終邊落在直線x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．
【方法歸納】
在解決有關角的終邊在直線上的問題時，應注意到角的終邊為射線，所以應分兩種情況處理，取射線上異于原點的任意一點的坐標a，b，則對應角的三角函數值分別為sinα＝
【變式訓練3】已知角α的終邊在直線y＝x上，求sinα，cosα，tanα的值．
【限時訓練】
1．已知角α的終邊與單位圓交于點(－，－)，則sinα的值為(　 　)
A．－ B．－
C. D.
2．已知角θ的終邊過點(4，－3)，則cosθ＝(　 　)
A. B．－
C. D．－
3．已知sinα＝，cosα＝－，則角α的終邊與單位圓的交點坐標是____________.
4．已知角α的終邊經過點P(m，－3)，且cosα＝－，則m＝________.
5．已知角α的終邊在直線y＝3x上，求sinα＋cosα的值．
【參考答案】
【例1】(1)C　(2)－
【解析】(1)已知角α始邊與x軸非負半軸重合，頂點與原點重合，且α終邊上有一點P坐標為(－2,3)，則sinα＝＝，cosα＝＝－，
2sinα＋cosα＝－＝.
(2)∵角α的終邊經過點P(－x，－6)，且cosα＝－，
∴cosα＝＝－，
解得x＝，∴P，
∴sinα＝－，tanα＝，
則＋＝－＋＝－.
【變式訓練1】解：因為角α的終邊過點(a,2a)(a≠0)，
所以r＝|a|，x＝a，y＝2a.
當a>0時，sinα＝＝＝＝，
cosα＝＝＝，tanα＝＝＝2；
當a<0時，
sinα＝＝＝＝－，
cosα＝＝＝－，tanα＝＝＝2.
【例2】【解】如圖所示，的終邊與單位圓的交點為P，過P作PB⊥x軸于點B，在△OPB中，|OP|＝1，∠POB＝，則|PB|＝，|OB|＝，則P.所以sin＝，cos＝－，tan＝＝－.
【變式訓練2】（1）B.
解析：由三角函數定義可知sinα＝，cosβ＝－，
所以sinαcosβ＝－，故選B.
(2)解析：依題意，x2＋2＝1，解得x＝±，
于是sinα＝，cosα＝±，tanα＝＝±.
【例3】【解】方法一：(一般解法)設角α終邊上任意一點為P(k，－k)(k≠0)，則r＝＝2|k|.
(1)當k>0時，r＝2k，α是第四象限角，
則sinα＝＝－，cosα＝＝，
tanα＝＝－.
(2)當k<0時，r＝－2k，α是第二象限角，
則sinα＝＝，cosα＝＝－，
tanα＝＝－.
方法二：(特殊解法)直線x＋y＝0，即y＝－x，
經過第二、四象限，在第二象限取直線上的點(－1，)，
則r＝＝2，
所以sinα＝，cosα＝－，tanα＝－；
在第四象限取直線上的點(1，－)，
則r＝＝2，
所以sinα＝－，cosα＝，tanα＝－.
【變式訓練3】解：方法一：(一般解法)因為角α的終邊在直線y＝x上，所以可設P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點，則
r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，則α為第一象限角，r＝2a，
所以sinα＝＝，cosα＝＝，tanα＝＝.
若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a，
所以sinα＝＝－，
cosα＝＝－，tanα＝＝.
方法二：(特殊解法)y＝x經過第一、三象限，在第一象限取點(1，)，則r＝2，
所以sinα＝，cosα＝，tanα＝；
在第三象限取點(－1，－)，則r＝2，
所以sinα＝－，cosα＝－，tanα＝.
【限時訓練】
1．B
解析：根據三角函數的定義可知sinα＝y＝－.
2．A
解析：由已知得x＝4，y＝－3，所以
r＝＝5，故cosθ＝.
3．
解析：由三角函數的定義易得角α的終邊與單位圓的交點坐標是.
4．－4.
解析：由題意，cosα＝＝－，解得m＝－4.
5．解：在直線y＝3x上任取一點P(x,3x)(x≠0)，
則r＝＝|x|.
①若x>0，則r＝x，從而sinα＝＝，
cosα＝＝，∴cosα＋sinα＝.
②若x<0，則r＝－x，
從而sinα＝＝－，
cosα＝＝－，
∴cosα＋sinα＝－.

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