資源簡介

第六章 平面向量初步
單元復習
【知識梳理】
一、向量的有關概念
(1)向量及向量的模
一般地，我們把既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量)，向量的大小也稱為向量的模(或長度).
(2)向量及其模的表示法、記法、寫法
我們用有向線段來直觀地表示向量，其中有向線段的長度表示向量的大小，有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.始點為A終點為B的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為，此時向量的模用||表示.
通常用加粗的斜體小寫字母如a，b，c等來表示向量；在書寫時，用帶箭頭的小寫字母如，，等來表示向量.此時，向量a的模也用|a|或||來表示.
(3)零向量與單位向量
①零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量.記作0.可以認為零向量的方向是不確定的.
②單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.
二、向量的相等與平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量.
(2)向量平行(向量共線)
如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行.通常規定零向量與任意向量平行.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.
三、向量加法法則
圖示 幾何意義
三角形法則 平面上任意給定兩個向量a，b，在該平面內任取一點A，作＝a，＝b，作出向量，則向量稱為a與b的和(也稱為向量a與b的和向量)，記作a＋b，a＋b＝＋＝
平行四 邊形 法則 平面上任意給定兩個不共線的向量a，b，在該平面內任取一點A，作＝a，＝b，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，作出向量，＝＋＝＋
四、向量加法的運算律及模之間的不等式
(1)向量a，b的模與a＋b的模之間滿足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)向量加法的運算律
①加法交換律對于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
②加法結合律對于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
五、向量的減法
(1)向量的減法法則
定義 平面上任意給定兩個向量a，b，如果向量x滿足b＋x＝a，則稱x為向量a與b的差，記作x＝a－b
向量減法的 三角形法則 在平面內任取一點O，作＝a，＝b，作出向量，因此向量就是向量a和b的差(也稱為向量a與b的差向量)，即－＝
結論 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
(2)相反向量
定義 給定一個向量，我們把這個向量方向相反，大小相等的向量稱為它的相反向量，向量a的相反向量記作－a
性質 (1)零向量的起點與終點相同，于是－0＝0； (2)任何一個向量與它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量
六、數乘向量
(1)數乘向量
一般地，給定一個實數λ與任意一個向量a，規定它們的乘積是一個向量，記作λa，當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λa|＝|λ||a|，若a≠0，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反.當λ＝0或a＝0時，λa＝0.數乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.
(2)數乘向量的運算律
設λ，μ為實數，則①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
七、向量的線性運算
(1)向量的線性運算
向量的加法、減法和數乘向量以及它們的混合運算，通常叫作向量的線性運算.
(2)向量共線
一般地，如果存在實數λ，使得＝λ，則與平行且有公共點A，從而A，B，C三點一定共線.
八、共線向量基本定理
(1)共線向量基本定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數λ，使得b＝λa.
(2)三點共線的性質
已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，平面內任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數t，使得＝(1－t)＋t，即存在實數x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1).
九、平面向量基本定理
(1)基底：平面內不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數對(x，y)，使得c＝xa＋yb.
十、直線上向量的坐標及運算
　(1)直線上向量的坐標
名稱 定義
數軸 在直線l上指定一點O作為原點，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數軸
a在軸l上的坐標 如果a＝xe，則x稱為向量a在軸l上的坐標
(2)直線上向量的坐標運算
法則(或公式) 文字語言 符號語言
直線上兩個向量相等 直線上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標相等 設a＝x1e，b＝x2e，則a＝b x1＝x2
直線上求兩個向量的和 直線上兩個向量和的坐標等于兩個向量的坐標的和 設a＝x1e，b＝x2e，則a＋b＝(x1＋x2)e
直線上兩點間的距離 設A(x1)，B(x2)是數軸上兩點，O為坐標原點 AB＝||＝|x2－x1|
數軸上的中點坐標公式 設A(x1)，B(x2)，M(x)是線段AB的中點 x＝
十一、平面向量的坐標及運算
(1)平面向量的坐標
①向量垂直：平面上兩個非零向量a與b，如果它們所在直線互相垂直，就稱向量a與b垂直，記作a⊥b.規定零向量與任意向量都垂直.
②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.
③向量的坐標：給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a＝(x，y).
(2)向量的坐標運算
向量的加、減法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個向量和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差.
實數與向量的積 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即數乘向量的積的坐標等于數乘以向量相應坐標的積.
向量的數乘、 加、減混合 運算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，則ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)
向量的模 若a＝(x，y)，則|a|＝
(3)平面上兩點之間的距離公式與中點坐標公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)為平面直角坐標系中的兩點，則AB＝||＝
，線段AB的中點坐標為.
(4)向量平行的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b x1y2＝x2y1.
十三、平面向量線性運算的應用
(1)向量在平面幾何中的應用
①證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(a≠0) b＝λa x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
②求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝.
③要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數λ≠0，使＝λ，或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.
(2)向量在物理中的應用
①力向量
力向量與自由向量不同，它包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法則進行計算.
②速度向量
一質點在運動中每一時刻都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.
【熱考題型】
【考點1】平面向量及其線性運算
一、單選題
1．（2023上·黑龍江·高三校聯考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023下·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，點分別為的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高二專題練習）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學校聯考期中）在中，，，與交于點，且，則（ ）
A． B． C． D．1
6．（2023上·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？茧A段練習）如圖，在中，，E為線段AD上的動點，且，則的最小值為（ ）

A．8 B．12 C．32 D．16
二、多選題
7．（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個有公共終點的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
8．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校校考階段練習）在中，D，E，F分別是邊，，中點，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則是在的投影向量
D．若點P是線段上的動點，且滿足，則的最大值為
9．（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知，若點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點一定在內部 B．
C． D．
三、填空題
10．（2023上·江蘇南通·高三統考期中）設為實數，若向量，，且與共線，則 .
11．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯考期中）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
12．（2023下·四川自貢·高一統考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為 ．
四、解答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．

(1)試用，表示．
(2)試用，，表示．
15．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷三點是否共線.
(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點共線.
(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點之間的位置關系，并說明理由.
【考點2】向量基本定理與向量的坐標
一、單選題
1．（2023下·廣東佛山·高一?？茧A段練習）若，，則（ ）．
A． B． C． D．
2．（2023·全國·高三專題練習）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
3．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）若，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·山東濟寧·高三統考期中）在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
5．（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習）已知向量，若，則實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
6．（2023上·河北滄州·高三校聯考期中）如圖，與的面積之比為2，點P是區域內任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023上·高二課時練習）設一次函數（c為常數）的圖象為直線l，那么直線l的一個方向向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023下·貴州·高一校聯考階段練習）在直角梯形中，，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
三、填空題
9．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學校考期中）如圖，在平面四邊形中，，，延長交的延長線于點，若，則 .

10．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
11．（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯考階段練習）已知向量，且，則 .
四、解答題
12．（2022下·湖北荊州·高一沙市中學校考期中）在直角梯形中，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心的圓弧上運動，若，求的取值范圍．
13．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）如圖，點E，F分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.
(1)若，求實數x，y的值；
(2)求線段EF的長度.
14．（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知是不共線的三點，且滿足，直線與交于點，若.
(1)求的值；
(2)過點任意作一條動直線交射線于兩點，，求的最小值.
【考點3】平面向量線性運算的應用
一、單選題
1．（2023下·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學?？计谥校┮阎校?，，則此三角形為（　　）
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2023·江蘇·高一專題練習）若向量， 與的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
4．（2023上·北京海淀·高三統考期中）在等腰直角三角形中，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·廣東佛山·高二統考期中）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
6．（2023下·廣東清遠·高一?？茧A段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
二、多選題
7．（2023下·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┫铝忻}為真命題的是（ ）
A．是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值為
B．已知的三個內角分別為，動點滿足，，則動點的軌跡一定經過的重心
C．在中，若，則為銳角三角形
D．為內部一點，，則，，的面積比為
8．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┰O點O是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則O為的重心；
B．若，則O為的垂心；
C．若，則為等邊三角形；
D．若，則△BOC與△ABC的面積之比為．
三、填空題
9．（2023下·湖南懷化·高一統考期末）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為
10．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第四中學校考階段練習）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為 .
11．（2020上·天津北辰·高三統考期中）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為 .
四、解答題
12．（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學校考階段練習）如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．
(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．
13．（2023上·河南鄭州·高二校考階段練習）向量是研究幾何的一個重要工具，在證明某些幾何結論時會大大簡化證明過程.
(1)已知矩形ABCD，M為平面內任意一點，請用向量法證明：
(2)如圖，已知圓
，A，B；是圓O上兩個動點，點
，則矩形PACB的頂點C的軌跡方程.
14．（2023下·江西九江·高一統考期末）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，P為平面ABCD內一點，AC與BP相交于點Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．第六章 平面向量初步
單元復習
【知識梳理】
一、向量的有關概念
(1)向量及向量的模
一般地，我們把既有大小又有方向的量稱為向量(也稱為矢量)，向量的大小也稱為向量的模(或長度).
(2)向量及其模的表示法、記法、寫法
我們用有向線段來直觀地表示向量，其中有向線段的長度表示向量的大小，有向線段箭頭所指的方向表示向量的方向.始點為A終點為B的有向線段表示的向量，可以用符號簡記為，此時向量的模用||表示.
通常用加粗的斜體小寫字母如a，b，c等來表示向量；在書寫時，用帶箭頭的小寫字母如，，等來表示向量.此時，向量a的模也用|a|或||來表示.
(3)零向量與單位向量
①零向量：始點和終點相同的向量稱為零向量.記作0.可以認為零向量的方向是不確定的.
②單位向量：模等于1的向量稱為單位向量.
二、向量的相等與平行
(1)相等向量
一般地，把大小相等、方向相同的向量稱為相等的向量.
(2)向量平行(向量共線)
如果兩個非零向量的方向相同或者相反，則稱這兩個向量平行.通常規定零向量與任意向量平行.兩個向量平行也稱為兩個向量共線.
三、向量加法法則
圖示 幾何意義
三角形法則 平面上任意給定兩個向量a，b，在該平面內任取一點A，作＝a，＝b，作出向量，則向量稱為a與b的和(也稱為向量a與b的和向量)，記作a＋b，a＋b＝＋＝
平行四 邊形 法則 平面上任意給定兩個不共線的向量a，b，在該平面內任取一點A，作＝a，＝b，以AB，AC為鄰邊作一個平行四邊形ABDC，作出向量，＝＋＝＋
四、向量加法的運算律及模之間的不等式
(1)向量a，b的模與a＋b的模之間滿足不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(2)向量加法的運算律
①加法交換律對于任意的向量a，b，都有a＋b＝b＋a.
②加法結合律對于任意a，b，c，都有(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).
五、向量的減法
(1)向量的減法法則
定義 平面上任意給定兩個向量a，b，如果向量x滿足b＋x＝a，則稱x為向量a與b的差，記作x＝a－b
向量減法的 三角形法則 在平面內任取一點O，作＝a，＝b，作出向量，因此向量就是向量a和b的差(也稱為向量a與b的差向量)，即－＝
結論 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|
(2)相反向量
定義 給定一個向量，我們把這個向量方向相反，大小相等的向量稱為它的相反向量，向量a的相反向量記作－a
性質 (1)零向量的起點與終點相同，于是－0＝0； (2)任何一個向量與它的相反向量的和等于零向量，即a＋(－a)＝0，＋(－)＝0； (3)一個向量減去另一個向量，等于第一個向量加上第二個向量的相反向量
六、數乘向量
(1)數乘向量
一般地，給定一個實數λ與任意一個向量a，規定它們的乘積是一個向量，記作λa，當λ≠0且a≠0時，λa的模為|λa|＝|λ||a|，若a≠0，當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反.當λ＝0或a＝0時，λa＝0.數乘向量的幾何意義是，把向量沿著它的方向或反方向放大或縮小.
(2)數乘向量的運算律
設λ，μ為實數，則①(λ＋μ)a＝λa＋μa；
②λ(μa)＝(λμ)a；
③λ(a＋b)＝λa＋λb.
七、向量的線性運算
(1)向量的線性運算
向量的加法、減法和數乘向量以及它們的混合運算，通常叫作向量的線性運算.
(2)向量共線
一般地，如果存在實數λ，使得＝λ，則與平行且有公共點A，從而A，B，C三點一定共線.
八、共線向量基本定理
(1)共線向量基本定理：如果a≠0且b∥a，則存在唯一的實數λ，使得b＝λa.
(2)三點共線的性質
已知平面上點O是直線l外一點，A，B是直線l上給定的兩點，平面內任意一點P在直線l上的充要條件是：存在實數t，使得＝(1－t)＋t，即存在實數x，y，使得＝x＋y(x＋y＝1).
九、平面向量基本定理
(1)基底：平面內不共線的兩個向量a與b組成的集合{a，b}，常稱為該平面上向量的一組基底，如果c＝xa＋yb，則稱xa＋yb為c在基底{a，b}下的分解式.
(2)平面向量基本定理
如果平面內兩個向量a與b不共線，則對該平面內任意一個向量c，存在唯一的實數對(x，y)，使得c＝xa＋yb.
十、直線上向量的坐標及運算
　(1)直線上向量的坐標
名稱 定義
數軸 在直線l上指定一點O作為原點，以e的方向為正方向，e的模為單位長度建立數軸
a在軸l上的坐標 如果a＝xe，則x稱為向量a在軸l上的坐標
(2)直線上向量的坐標運算
法則(或公式) 文字語言 符號語言
直線上兩個向量相等 直線上兩個向量相等的充要條件是它們的坐標相等 設a＝x1e，b＝x2e，則a＝b x1＝x2
直線上求兩個向量的和 直線上兩個向量和的坐標等于兩個向量的坐標的和 設a＝x1e，b＝x2e，則a＋b＝(x1＋x2)e
直線上兩點間的距離 設A(x1)，B(x2)是數軸上兩點，O為坐標原點 AB＝||＝|x2－x1|
數軸上的中點坐標公式 設A(x1)，B(x2)，M(x)是線段AB的中點 x＝
十一、平面向量的坐標及運算
(1)平面向量的坐標
①向量垂直：平面上兩個非零向量a與b，如果它們所在直線互相垂直，就稱向量a與b垂直，記作a⊥b.規定零向量與任意向量都垂直.
②正交基底：如果平面向量的基底{e1，e2}中，e1⊥e2，就稱這組基底為正交基底；在正交基底下向量的分解稱為向量的正交分解.
③向量的坐標：給定平面內兩個相互垂直的單位向量e1，e2，對于平面內的向量a，如果a＝xe1＋ye2，則稱(x，y)為向量a的坐標，記作a＝(x，y).
(2)向量的坐標運算
向量的加、減法 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，即兩個向量和與差的坐標等于兩個向量相應坐標的和與差.
實數與向量的積 若a＝(x，y)，λ∈R，則λa＝(λx，λy)，即數乘向量的積的坐標等于數乘以向量相應坐標的積.
向量的數乘、 加、減混合 運算 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，u，v∈R，則ua±vb＝(ux1±vx2，uy1±vy2)
向量的模 若a＝(x，y)，則|a|＝
(3)平面上兩點之間的距離公式與中點坐標公式
若A(x1，y1)，B(x2，y2)為平面直角坐標系中的兩點，則AB＝||＝
，線段AB的中點坐標為.
(4)向量平行的坐標表示
設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b x1y2＝x2y1.
十三、平面向量線性運算的應用
(1)向量在平面幾何中的應用
①證明線線平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價條件：a∥b(a≠0) b＝λa x1y2＝x2y1(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)).
②求線段的長度或證明線段相等，可以利用向量的線性運算、向量模的公式：|a|＝.
③要證A，B，C三點共線，只要證明存在一實數λ≠0，使＝λ，或若O為平面上任一點，則只需要證明存在實數λ，μ(其中λ＋μ＝1)，使＝λ＋μ.
(2)向量在物理中的應用
①力向量
力向量與自由向量不同，它包括大小、方向、作用點三個要素.在不考慮作用點的情況下，可利用向量運算法則進行計算.
②速度向量
一質點在運動中每一時刻都有一個速度向量，該速度向量可以用有向線段表示.
【熱考題型】
【考點1】平面向量及其線性運算
一、單選題
1．（2023上·黑龍江·高三校聯考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據非零向量的方向是否相同分別判斷各個選項即可.
【詳解】因為，故同向.
對于A:，方向相反,A選項錯誤；
對于B:，得出,不能得出方向，B選項錯誤；
對于C:,方向向相同,則成立，C選項正確；
對于D:,不能確定的方向，D選項錯誤.
故選：C．
2．（2023下·甘肅天水·高二天水市第一中學?？茧A段練習）如圖，四邊形是平行四邊形，點分別為的中點，若以向量為基底表示向量，則下列結論正確的是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】先表示出，聯立，反解出即可
【詳解】點分別為的中點，
，
，
，
，
，
故選：C
3．（2023·全國·高二專題練習）在正方體ABCD－A1B1C1D1中，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據空間向量線性運算計算即可.
【詳解】
.
故選：A.
4．（2023上·湖北黃石·高二陽新縣第一中學校聯考期中）如圖，在四邊形ABCD中，，設，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據平面向量的線性運算，結合圖形可得.
【詳解】因為，
所以
.
故選：C
5．（2023上·安徽亳州·高三蒙城第一中學校聯考期中）在中，，，與交于點，且，則（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】根據題意結合三點共線的判定定理和結論分析可得和，運算求解即可.
【詳解】因為，則為的中點，可得，
注意到三點共線，可得，
又因為三點共線，則∥，
則存在實數，使得，即，
則，可得，
綜上所述：，解得，可得.
故選：B.
6．（2023上·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中?？茧A段練習）如圖，在中，，E為線段AD上的動點，且，則的最小值為（ ）

A．8 B．12 C．32 D．16
【答案】C
【分析】由已知條件結合平面向量基本定理可得，，然后利用基本不等式中的常數代換技巧求解即可.
【詳解】因為，所以，因為，所以，
因為三點共線，所以，，
所以，
當且僅當，即時取等號，所以的最小值是32.
故選：C
二、多選題
7．（2023下·貴州遵義·高一校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．有向線段與表示同一向量
B．兩個有公共終點的向量是平行向量
C．零向量與單位向量是平行向量
D．單位向量都相等
【答案】ABD
【分析】根據向量的概念以及平行向量的概念判斷求解.
【詳解】對A, 有向線段與表示相反向量，不是同一向量，A錯誤；
對B，兩個有公共終點的向量不一定是平行向量，B錯誤；
對C，我們規定：零向量與任意向量是平行向量，C正確；
對D，單位向量僅是模長相等，方向不確定，D錯誤；
故選:ABD.
8．（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校?？茧A段練習）在中，D，E，F分別是邊，，中點，下列說法正確的是（ ）
A．
B．
C．若，則是在的投影向量
D．若點P是線段上的動點，且滿足，則的最大值為
【答案】BCD
【分析】對選項A，B，用平面向量的加減法即可；對C，首先根據已知得到AD為的平分線，即，再利用平面向量投影的概念判斷即可；對D，首先根據A，P，D三點共線，設，再根據已知得到，從而得到，再利用二次函數的性質即可.
【詳解】
如圖所示：對選項A，，
故A錯誤；
對選項B，
，
故B正確；
對選項C，，，分別表示平行于，，的單位向量，
由平面向量加法可知：為的平分線表示的向量.
因為，
所以為的平分線，
又因為為的中線，所以，
如上圖所示：在的投影為，
所以是在的投影向量，故選項C正確；
對選項D，
如上圖所示： 因為在上，即三點共線，
設，.
又因為，所以.
因為，則，.
令，
當時，取得最大值為.故選項D正確；
故選：BCD
9．（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知，若點滿足，則下列說法正確的是（ ）
A．點一定在內部 B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】設、分別是、的中點，依題意可得，從而得到點是中位線上靠近點的三等分點，即可判斷A，再根據面積關系判斷C、D，又平面向量線性運算法則判斷B.
【詳解】由，所以，
設、分別是、的中點，所以，
于是點是中位線上靠近點的三等分點，則點一定在內部，故A正確；
又，所以，則，故B正確；
由A可知，，且，
所以，，即，故C正確；
所以，故D錯誤；
故選：ABC
三、填空題
10．（2023上·江蘇南通·高三統考期中）設為實數，若向量，，且與共線，則 .
【答案】/
【分析】根據共線向量的坐標公式，可得答案.
【詳解】，，與共線，
則，則.
故答案為：.
11．（2023上·遼寧鐵嶺·高三校聯考期中）在中，D為CB上一點，E為AD的中點，若，則 ．
【答案】/0.1
【分析】由平面向量的線性運算和三點共線的充分必要條件得出結果.
【詳解】因為E為AD的中點，所以，
因為B，D，C三點共線，所以，
所以，解得．
故答案為：
12．（2023下·四川自貢·高一統考期末）已知非零向量滿足，則與的夾角為 ．
【答案】/
【分析】根據向量減法的幾何意義分析求解.
【詳解】如圖，設，
因為，即，可知為等邊三角形，
所以與的夾角為.
故答案為：.
四、解答題
13．（2023·全國·高一隨堂練習）如圖，已知向量，，不共線，求作向量．

【答案】答案見解析
【分析】根據向量的減法運算法則及幾何意義作圖即可.
【詳解】如圖，作，則即為，
再作，則向量即為．

14．（2023·全國·高一課堂例題）如圖，中，AB邊的中點為P，重心為G．在外任取一點O，作向量，，，，．

(1)試用，表示．
(2)試用，，表示．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據平面向量線性運算的性質進行求解即可；
（2）根據平面向量線性運算的性質，結合三角形重心的性質進行求解即可.
【詳解】（1）
．
（2）
．

15．（2023·全國·高一隨堂練習）判斷三點是否共線.
(1)已知兩個非零向量和不共線，，，.求證：A，B，D三點共線.
(2)已知任意兩個非零向量，，求作，，.試判斷A，B，C三點之間的位置關系，并說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)A，B，C三點共線，理由見解析
【分析】根據向量共線定理判斷.
【詳解】（1），
所以，
又因為有公共起點，故A，B，D三點共線.
（2） ，
所以，
又因為有公共起點，故A，B，C三點共線.
【考點2】向量基本定理與向量的坐標
一、單選題
1．（2023下·廣東佛山·高一校考階段練習）若，，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據平面向量的線性運算即可求解.
【詳解】由，可得，
，
故選：B.
2．（2023·全國·高三專題練習）設為平面內的一個基底，則下面四組向量中不能作為基底的是（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
【答案】C
【分析】根據基底的概念確定正確答案.
【詳解】平面向量的基底由兩個不共線的非零向量組成，
C選項中，，即和為共線向量，
所以它們不能作為基底.
其它選項中的兩個向量都沒有倍數關系，所以可以作為基底.
故選：C
3．（2023下·新疆烏魯木齊·高一校考期中）若，點的坐標為，則點的坐標為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量的坐標計算公式可求點的坐標.
【詳解】設，故，而，
故，故，故，
故選：A.
4．（2023上·山東濟寧·高三統考期中）在中，點是線段上的兩個動點，且，則的最小值為（ ）．
A． B． C．2 D．8
【答案】C
【分析】畫出圖形，通過向量線性運算分析得到，從而利用乘“1”法以及基本不等式即可求解，注意驗證取等條件是否滿足.
【詳解】如圖所示：
不妨設，則，
同理設，則，
所以
又由題意，
所以，
從而，
當時，由基本不等式可得，
等號成立當且僅當.
綜上所述：的最小值為2.
故選：C.
5．（2023上·天津和平·高三天津一中?？茧A段練習）已知向量，若，則實數的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】A
【分析】先得到，根據向量平行得到方程，求出答案.
【詳解】，
又，故，解得.
故選：A
6．（2023上·河北滄州·高三校聯考期中）如圖，與的面積之比為2，點P是區域內任意一點（含邊界），且，則的取值范圍是（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據題意，將圖形特殊化，設垂直平分于點，的，當點與點重合和點與點重合時，分別求得的最值，即可求解.
【詳解】根據題意，將圖形特殊化，設垂直平分于點，
因為與的面積之比為2，則，
當點與點重合時，可得，此時，即的最小值為；
當點與點重合時，可得，
此時，即，此時為最大值為，
所以的取值范圍為.
故選：C.

二、多選題
7．（2023上·高二課時練習）設一次函數（c為常數）的圖象為直線l，那么直線l的一個方向向量可以為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】先確定一個方向向量，再比較每個選項是否與該向量平行即可.
【詳解】在直線l上取兩點，則直線l的一個方向向量為 ，
對于A，，所以A選項不是l的方向向量；
對于B，顯然是方向向量；
對于C，，C選項不是方向向量；
對于D，，D選項是方向向量；
故選：BD.
8．（2023下·貴州·高一校聯考階段練習）在直角梯形中，，為中點，分別為線段的兩個三等分點，點為線段上任意一點，若，則的值可能是（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】ABC
【分析】建立平面直角坐標系，設，用坐標表示出，再根據列方程可得，然后可得.
【詳解】如圖，以A為坐標原點建立平面直角坐標系，
不妨設，則，
則
設，則
∵，
∴，
∴整理得，
因為，所以
故選：ABC
三、填空題
9．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第十七中學?？计谥校┤鐖D，在平面四邊形中，，，延長交的延長線于點，若，則 .

【答案】/
【分析】根據相似比以及平面向量基本定理求得的值.
【詳解】由于，，
所以，所以，所以，
過作，垂足為，則，
由于，所以，
所以.
故答案為：

10．（2023下·四川自貢·高一統考期中）已知點，點在線段的延長線上，且，則點P的坐標是 .
【答案】
【分析】根據題意轉化為，設，結合向量的坐標表示，列出方程組，即可求解.
【詳解】因為點，點在線段的延長線上，且，
可得，
設，則，即 ，
解得，即點的坐標為.
故答案為：.
11．（2023上·遼寧葫蘆島·高三校聯考階段練習）已知向量，且，則 .
【答案】12
【分析】根據向量共線的坐標運算即可求解.
【詳解】由，可得，解得.
故答案為：12
四、解答題
12．（2022下·湖北荊州·高一沙市中學校考期中）在直角梯形中，，，，，，分別為，的中點，點在以為圓心的圓弧上運動，若，求的取值范圍．
【答案】
【分析】設，根據得出，最后由正弦函數的性質得出的取值范圍
【詳解】設，
則
因為，所以
即，解得，
所以
因為，所以
即
13．（2023下·河南省直轄縣級單位·高一河南省濟源第一中學?？茧A段練習）如圖，點E，F分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，，，與所成角是.
(1)若，求實數x，y的值；
(2)求線段EF的長度.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由題意，可得，化簡得到，再結合條件得到的值；
（2）由，結合條件，求出線段EF的長度即可.
【詳解】（1）由題意，可得．
∵E，F分別是四邊形ABCD的邊AD，BC的中點，
∴，，
∴①+②得，，
∴，又，
∴，．
（2）∵，，，所成角為，
∴，
∴，
∴線段EF的長度為.
14．（2023上·安徽·高三校聯考階段練習）已知是不共線的三點，且滿足，直線與交于點，若.
(1)求的值；
(2)過點任意作一條動直線交射線于兩點，，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意畫出圖象，再利用平面向量基本定理列出方程組即可求解.
（2）利用已知條件和的共線得出關系，再利用基本不等式求的最小值.
【詳解】（1）由題意畫出圖像，
因為，
所以且，
注意到共線且共線，所以
解得.
（2）由（1）和圖象可知，結合.
于是，所以.
所以，
當且僅當，即，時等號成立.
于是的最小值為.
【考點3】平面向量線性運算的應用
一、單選題
1．（2023下·陜西西安·高一西北工業大學附屬中學?？计谥校┮阎?，，，則此三角形為（　?。?br/>A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】根據即可得為等腰三角形，又因為可知，所以為等邊三角形.
【詳解】如下圖所示：

設M為AC中點，則，
所以，即為等腰三角形，
又，所以，
即，
所以，可得，
綜上可知三角形為等邊三角形.
故選：B.
2．（2023·江蘇·高一專題練習）若向量， 與的夾角為鈍角，則實數λ的取值范圍是（　?。?br/>A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據數量積為負以及共線情況，即可求解.
【詳解】當與共線時，此時，當時，，此時與方向相反，
當與的夾角為鈍角時，則需且與不反向，所以且，解得，
故選：A
3．（2023·全國·高三專題練習）已知是平面內兩個互相垂直的單位向量，若向量滿足，則的最大值是（ ）
A．1 B．2
C． D．
【答案】C
【分析】設，且，為線段的中點，根據題意得到，進而得到點在半徑為的圓，即可得到的最大值.
【詳解】設，且，為線段的中點，
因為，所以，
則，所以，
所以點在以為圓心，半徑為的圓，所以的最大值即為該圓的直徑，
所以的最大值為.
故選：C.
4．（2023上·北京海淀·高三統考期中）在等腰直角三角形中，為斜邊的中點，以為圓心，為半徑作，點在線段上，點在上，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據向量的坐標運算即可得，進而將可看作是點到點的距離，即可求解.
【詳解】以為圓心，以為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
由于所以，
由于點在，不妨設 ，,
，其中，
,
所以，
可看作是上的點到點的距離，
由于點在線段上運動，
故當點運動到點時，此時距離最大，為,
當點運動到點時，此時距離最小為0，
綜上可知：，
故選：A

5．（2023上·廣東佛山·高二統考期中）如圖為某種禮物降落傘的示意圖，其中有8根繩子和傘面連接，每根繩子和水平面的法向量的夾角均為，已知禮物的質量為，每根繩子的拉力大小相同．求降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小為（ ）（重力加速度）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據降落傘在勻速下落的過程中力的平衡可列式求解，即得答案.
【詳解】設降落傘在勻速下落的過程中每根繩子拉力的大小，
則，故，
故選：C
6．（2023下·廣東清遠·高一校考階段練習）一條東西方向的河流兩岸平行，河寬250m，河水的速度為向東km/h.一艘小貨船準備從河的這一邊的碼頭A處出發，航行到位于河對岸B(AB與河的方向垂直)的正西方向并且與B相距m的碼頭C處卸貨.若水流的速度與小貨船航行的速度的合速度的大小為6km/h，則當小貨船的航程最短時，求此時小貨船航行速度為多少. （ ）
A．km/h B．km/h
C．km/h D．km/h
【答案】B
【分析】根據平面向量的性質，結合平面向量數量積的運算性質進行求解即可.
【詳解】如圖所示：

，，
，
設合速度為，小貨船航行速度為，水流的速度為，
則有所以有
，
故選：B.
二、多選題
7．（2023下·海南?？凇じ咭缓？谝恢行？计谥校┫铝忻}為真命題的是（ ）
A．是邊長為2的等邊三角形，為平面內一點，則的最小值為
B．已知的三個內角分別為，動點滿足，，則動點的軌跡一定經過的重心
C．在中，若，則為銳角三角形
D．為內部一點，，則，，的面積比為
【答案】ABD
【分析】對于A，建立平面直角坐標系，利用平面向量數量積的坐標運算求出的最小值可判斷A正確；對于B，取的中點為，過作直線的垂線，垂足為，將化為，可得B正確；對于C，推出為銳角，根據銳角三角形的定義可判斷C不正確；對于D，取的中點為，的中點為，由，推出為的中點，可判斷D正確.
【詳解】對于A，取的中點，以為原點，為軸建立平面直角坐標系，如圖：

則，，，設，
則，，，則，
所以
，當且僅當時，等號成立.
故的最小值為，故A正確；
對于B，取的中點為，過作直線的垂線，垂足為，

則，，
因為，
所以，
所以，
所以與共線，因為，所以動點的軌跡為射線（不含點），一定經過三角形的重心，故B正確；
對于C，在中，若，則，則，
則為銳角，一個銳角不能推出三角形為銳角三角形，故C不正確；
對于D，取的中點為，的中點為，連接，如圖：

因為，所以，
所以，所以，
所以，所以，即，
所以為的中點，
所以，，，
所以，故D正確.
故選：ABD
8．（2023下·江蘇連云港·高一連云港高中?？计谥校┰O點O是所在平面內一點，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則O為的重心；
B．若，則O為的垂心；
C．若，則為等邊三角形；
D．若，則△BOC與△ABC的面積之比為．
【答案】ACD
【分析】A由向量關系可以判斷出為中線的三等分點，可知為重心；B由向量關系可以判斷出為邊與邊垂直平分線的交點，可知不是垂心；C由判斷出三角形為等腰三角形，由判斷出，可知為等邊三角形；D令，，則為的重心，由此求出面積比即可.
【詳解】對于A，如圖，取邊中點，連接邊上的中線，則，
又∵，∴，∴，
∴為的重心，故選項A正確；
對于B，如圖，取邊中點，邊中點，連接，，
則，，
∵，∴，
∴，∴，，∴，，
∴，分別是，邊上的垂直平分線，
∴，為的外心，故選項B錯誤；
對于C，作角的內角平分線與邊交于點，
∵為方向的單位向量，為方向的單位向量，
∴（），∴（），
∴，∴，∴，為等腰三角形，
又∵，且，∴，
∴為等邊三角形，故選項C正確；
對于D，設，，由得，
則由選項A可知，為的重心，設的面積，
∴，
又∵，，
∴，，，
∴，
∴，故選項D正確.
故選：ACD.
三、填空題
9．（2023下·湖南懷化·高一統考期末）在中，已知，，，和邊上的兩條中線，相交于點，則的余弦值為
【答案】/
【分析】由已知結合向量的線性表示及向量數量積的性質即可求解.
【詳解】
由已知得即為向量與的夾角.
因為M、N分別是，邊上的中點，
所以，.
又因為，
所以
，
,
,
所以.
故答案為：
10．（2023下·河北石家莊·高一石家莊市第四中學校考階段練習）已知的夾角為，則三角形的邊上中線的長為 .
【答案】
【分析】設D為的中點，則，再由向量數量積的運算性質求解即可.
【詳解】設D為的中點，則，
所以，
所以，
所以.
故答案為：
11．（2020上·天津北辰·高三統考期中）在等腰梯形ABCD中，已知，，，，動點E和F分別在線段BC和DC上，且，，則的最小值為 .
【答案】
【分析】由題意可得，，進一步化為，再利用條件以及基本不等式，求得它的最小值．
【詳解】由題意，，，
所以，，
又動點和分別在線段和上，且，，所以，解得，
，
當且僅當時，即時取等號，故的最小值為，
故答案為：．
四、解答題
12．（2023下·廣東東莞·高一東莞市厚街中學?？茧A段練習）如圖，正方形的邊長為是的中點，是邊上靠近點的三等分點，與交于點．

(1)求的余弦值．
(2)若點自點逆時針沿正方形的邊運動到點，在這個過程中，是否存在這樣的點，使得？若存在，求出的長度，若不存在，請說明理由．
【答案】(1)
(2)存在．
【分析】（1）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系，由于就是的夾角，從而利用向量夾角的坐標表示即可求解；
（2）根據向量的共線表示聯立方程組可求解，分點在上、點在上，結合向量垂直的坐標表示即可求解.
【詳解】（1）如圖所示，建立以點為原點的平面直角坐標系．
則．
由于就是的夾角．

的余弦值為．
（2）設
．
．
由題得．
①當點在上時，設，
；
②當點在上時，設，
，舍去．
綜上，存在．
13．（2023上·河南鄭州·高二校考階段練習）向量是研究幾何的一個重要工具，在證明某些幾何結論時會大大簡化證明過程.
(1)已知矩形ABCD，M為平面內任意一點，請用向量法證明：
(2)如圖，已知圓
，A，B；是圓O上兩個動點，點
，則矩形PACB的頂點C的軌跡方程.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以A點為原點建立平面直角坐標系，記，，，，設，利用向量的模求解；
（2）利用（1）的結論由求解.
【詳解】（1）解：以A點為原點建立平面直角坐標系：
記，，，，設，
則有：，
，
故：；
（2）設，由（1）可得：，
得：，
化簡得M軌跡方程為：.
14．（2023下·江西九江·高一統考期末）已知四邊形ABCD是邊長為2的菱形，，P為平面ABCD內一點，AC與BP相交于點Q．
(1)若，，求x，y的值；
(2)求最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）建立直角坐標系，利用向量的線性運算的坐標表示即可求解，
（2）根據向量數量積的坐標運算，結合二次型多項式的特征即可求解最值.
【詳解】（1）當時，則為的中點，
由于,所以,
所以

（2）由于四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且，建立如圖所示的直角坐標系，
則,
取中點為，連接,則,
設
，
，
故當時，取最小值，

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