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第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)
單元復(fù)習(xí)
【知識(shí)梳理】
一、n次方根與根式
(1)a的n次方根的概念
一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a，則x稱為a的n次方根.
(2)根式的概念
當(dāng)有意義的時(shí)候，稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).
(3)根式的性質(zhì)
①()n＝a(n>1且n∈N*).
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|.
二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
①規(guī)定正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a＝()m＝(有意義).
②規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－＝＝＝(有意義且a≠0).
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.
三、實(shí)數(shù)指數(shù)冪
(1)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
①asat＝as＋t；
②(as)t＝ast；
③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.
(2)拓展：＝as－t，＝，
其中a>0，b>0，s，t∈R.
四、指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.
五、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a>1 0圖像
性 質(zhì) 定義域 定義域?yàn)镽
值域 值域?yàn)?0，＋∞)，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有ax>0
過定點(diǎn) 過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
函數(shù)值 的變化 當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，00時(shí)，01
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)
對(duì)稱性 y＝ax與y＝的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
六、指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0，＋∞).
七、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝af(x)的性質(zhì)
函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律：“同增異減”.當(dāng)a＞1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，當(dāng)a＜1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相反.
八、對(duì)數(shù)的概念
在表達(dá)式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)，N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù).
九、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式
(1)對(duì)數(shù)的有關(guān)結(jié)論
①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；
②1的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；
③底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；
④對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
⑤對(duì)數(shù)恒等式：logaab＝b(a>0且a≠1).
(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)
①以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，即log10N是常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便起見，把log10N簡(jiǎn)寫為lg N.
②以無理數(shù)e＝2.718 28…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，自然對(duì)數(shù)logeN通常簡(jiǎn)寫為ln N.
十、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMα＝αlogaM；
(3)loga＝logaM－logaN.
十一、換底公式
對(duì)數(shù)換底公式：logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)
特別地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).
十二、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.
十三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a>1 0圖像
性 質(zhì) 定義域 定義域?yàn)?0，＋∞)，圖像在y軸的右邊
值域 值域?yàn)镽
過定點(diǎn) 過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0
函數(shù)值的變化 當(dāng)01時(shí)，y>0 當(dāng)00， 當(dāng)x>1時(shí)，y<0
單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù)
對(duì)稱性 y＝logax與y＝logx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱
十四、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像變換
常見的函數(shù)圖像的變換技巧
①y＝f(x)y＝f(|x|).
②y＝f(x)y＝|f(x)|.
③y＝f(x)y＝f(－x).
④y＝f(x)y＝－f(x)
十五、對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)的性質(zhì)
對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)性質(zhì)的研究
(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.
(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中先確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定).
(4)奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.
十六、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
(1)反函數(shù)的概念
①定義：一般地，如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中任意一個(gè)y的值，只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù).
②記法：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)x＝f－1(y)，習(xí)慣上反函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)記作y＝f－1(x).
(2)互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)
①圖像間的關(guān)系
y＝f(x)與y＝f－1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.
②互為反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
(ⅰ)y＝f(x)的定義域與y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域與y＝f－1(x)的定義域相同.
(ⅱ)如果y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)，那么它的反函數(shù)y＝f－1(x)一定存在.此時(shí)，如果y＝f(x)是增函數(shù)，則y＝f－1(x)也是增函數(shù)；如果y＝f(x)是減函數(shù)，則y＝f－1(x)也是減函數(shù).
十七、冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α是常數(shù).
十八、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖像
在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖像如圖.
(2)五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù) 在R上是增函數(shù) 在[0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)
公共點(diǎn) (1，1)
(3)冪函數(shù)y＝xα隨著α的不同，定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性也不盡相同，要根據(jù)α的值判斷.
十九、增長(zhǎng)速度的比較
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1x2時(shí))上的平均變化率為＝.它的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，也可理解為：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值將增加個(gè)單位.因此可以用平均變化率來比較函數(shù)值變化的快慢.
【熱考題型】
【考點(diǎn)1】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
一、單選題
1．（2023上·北京大興·高一校考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用根式和指數(shù)冪的運(yùn)算求解,
【詳解】解：，
故選：A
2．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中學(xué)校考期中）函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再由及當(dāng)時(shí)函數(shù)值的特征判斷即可.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?br/>故為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對(duì)稱，
因?yàn)椋逝懦鼵、D；
當(dāng)時(shí)，故排除A.
故選：B
3．（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，，都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關(guān)系是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，確定，，，與的關(guān)系，再由時(shí)，函數(shù)值的大小判斷.
【詳解】因?yàn)楫?dāng)?shù)讛?shù)大于時(shí)，指數(shù)函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，
當(dāng)?shù)讛?shù)大于且小于時(shí)，指數(shù)函數(shù)是定義域上的減函數(shù)，
所以，大于，，大于且小于，
由圖知： ，即， ，即，
所以.
故選：B
4．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，求出其過的定點(diǎn)．
【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，無論取何值，，
所以函數(shù)且的圖象必經(jīng)過定點(diǎn)，
故選：A.
5．（2023上·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)校考期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】函數(shù)的定義域滿足，解得答案.
【詳解】函數(shù)的定義域滿足，解得且.
故答案為：D
6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷其奇偶性，利用所構(gòu)造函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】依題意，函數(shù)的定義域?yàn)镽，
令，則，即為奇函數(shù)，
由于函數(shù)有最大值為M，最小值為N，則函數(shù)有最大值，最小值，
由奇函數(shù)的性質(zhì)知，所以.
故選：B
二、多選題
7．（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．的最小值為9 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
【答案】CD
【分析】A應(yīng)用基本不等式“1”的代換求最值，注意取值條件；B由，應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值；C、D利用基本不等式及指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求最值，注意取值條件.
【詳解】A：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，取得最小值，錯(cuò)；
B：，二次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)，時(shí)取得最小值，錯(cuò)；
C：因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，對(duì)；
D：，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，對(duì).
故選：CD
8．（2023上·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱與是“同象函數(shù)”，已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中與是“同象函數(shù)”的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AD
【分析】求出的值域，根據(jù)“同象函數(shù)”的定義逐項(xiàng)判斷可得答案.
【詳解】函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>對(duì)于A，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故A正確；
對(duì)于B，函數(shù)，，所以函數(shù)，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，函數(shù)，，所以，與的值域不一樣，所以與不是“同象函數(shù)”，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，函數(shù)，，所以，與的值域一樣，所以與是“同象函數(shù)”，故D正確.
故選：AD.
三、填空題
9．（2023上·上海·高一上海市第二中學(xué)校考期中）化簡(jiǎn)： .
【答案】
【分析】根據(jù)根式的定義求解．
【詳解】.
故答案為：.
10．（2023上·重慶·高一重慶一中校考期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，使成立，則的最小值為 ．
【答案】4
【分析】設(shè)，根據(jù)單調(diào)性的定義法證明在上單調(diào)遞增，進(jìn)而得出在上單調(diào)遞增.根據(jù)已知范圍，結(jié)合不等式的性質(zhì)得出，結(jié)合已知，將不等式轉(zhuǎn)化為.根據(jù)已知推得，即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出不等式.換元根據(jù)的單調(diào)性，即可得出答案.
【詳解】設(shè)，
，且，
則
.
因?yàn)椋?br/>所以，，，
所以，，，
所以，在上單調(diào)遞增.
因?yàn)椋裕?br/>根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，在上單調(diào)遞增.
又，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以，.
又，所以.
所以，當(dāng)時(shí)，.
因?yàn)椋裕?br/>所以，，
所以，.
由已知，可得，
所以，.
所以由可得，
.
又，
所以，，
所以，.
因?yàn)椋?
又，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知，，
所以，.
令，則，所以.
設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)與在均為增函數(shù)，
所以，在也是增函數(shù)，
所以，.
所以，，所以的最小值為4.
故答案為：4.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解抽象函數(shù)不等式時(shí)，一般需要考慮函數(shù)的奇偶性（或?qū)ΨQ性）以及單調(diào)性.根據(jù)函數(shù)的奇偶性（或?qū)ΨQ性），將不等式轉(zhuǎn)化為的形式（或），即可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，得出不等式.
11．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】或
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及單調(diào)性，即可得到關(guān)于的不等式，求解不等式即可得到結(jié)果.
【詳解】由已知可得，且.
又時(shí)，，
即 ，
所以有，即，
解得或.
故答案為：或.
四、解答題
12．（2023上·江蘇無錫·高一錫東高中校考期中）（1）計(jì)算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
【答案】（1）-1；
（2）①，②.
【分析】（1）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的關(guān)系化簡(jiǎn)求值即可；
（2）①：由求解；
②：由，結(jié)合隱含的條件即可求解.
【詳解】（1）原式=；
（2）①：，所以；
②：，由題意知，所以.
13．（2023上·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)校考期中）對(duì)于函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？證明你的結(jié)論．
【答案】(1)函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，證明見解析
(2)，證明見解析
【分析】（1）利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性的定義分析運(yùn)算即可得解得證.
（2）利用指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)奇偶性的定義分析運(yùn)算即可得解得證.
【詳解】（1）解：由題意，函數(shù)，，
函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
證明：設(shè)，則
，
由指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)知，，則，
∴，即，
∴函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.
（2）解：當(dāng)時(shí)函數(shù)為奇函數(shù).
∵函數(shù)為奇函數(shù)，
∴由奇偶性的定義知，，
解得：.
證明：當(dāng)時(shí)，，，
∵，
∴函數(shù)為奇函數(shù)，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù).
14．（2023上·重慶榮昌·高一重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)試判斷的單調(diào)性， 并用定義證明；
(3)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)函數(shù)在上為增函數(shù)，證明見解析；
(3)
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義和恒等式的性質(zhì)，可得所求值；
（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，由單調(diào)性的定義和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)可得證明；
（3）由奇函數(shù)在上為增函數(shù)，可將原不等式的兩邊的“”去掉，從而利用基本不等式即可得解.
【詳解】（1）由定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，
可得，即有，
即恒成立，
所以；
（2）由于，可得函數(shù)在上為增函數(shù)．
證明：任取，，且，
則，
因?yàn)椋裕郑?br/>所以，即，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)．
（3）由（2）得，奇函數(shù)在上為增函數(shù)，
則等價(jià)于，
即，
令，則在上有解，
因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，
所以，即.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第3小問解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性，將問題轉(zhuǎn)化為在上有解的問題，從而得解.
【考點(diǎn)2】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
一、單選題
1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以從而求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，
所以，故C項(xiàng)正確.
故選：C.
2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；
函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；
函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.
故選：C
3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
【答案】C
【分析】由題設(shè)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求即可.
【詳解】由題設(shè)，可得且，又是偶函數(shù)，
∴.
故選：C.
4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到不等式，解得答案.
【詳解】定義域滿足，解得且.
故選：D.
5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.
【詳解】的定義域是，
令，其在定義域上單調(diào)遞增，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.
故選：A.
6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計(jì)算的值域.
【詳解】當(dāng)時(shí),，
∴，
當(dāng)時(shí),，
∴，
∴函數(shù)的值域?yàn)?
故選:B.
二、多選題
7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．若，則 D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于，所以，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：AD
8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br/>B．為奇函數(shù)
C．在定義域上是減函數(shù)
D．的值域?yàn)?br/>【答案】ABC
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，舉反例依次判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，由，解得，即的定義域?yàn)椋蔄正確；
對(duì)于B，，即為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，
而在上單調(diào)遞減，在其定義域上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br/>所以的值域不可能為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
【答案】AC
【分析】函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r(jià)于恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可判斷A；若函數(shù)的值域?yàn)榈葍r(jià)于的值域有子集，即可求出實(shí)數(shù)的值，從而判斷B；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)且恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而判斷C；若，，即可解出不等式；即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>當(dāng)時(shí)，顯然不恒成立，故，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋院瘮?shù)的值域有子集，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋项}意；
當(dāng)時(shí)，解得，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得；綜上可得，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，即，可得，
解得，即不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象找出實(shí)數(shù)a，b，c的范圍，求出，對(duì)不成立的結(jié)論可舉反例,對(duì)恒成立的結(jié)論結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證.
【詳解】畫出函數(shù)圖象，如圖，

因?yàn)椋遥?
所以.且即.
對(duì)A，因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)B，因?yàn)椋裕蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)椋裕郑瑒t，令解得，即時(shí)，,
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有，故C不正確；
對(duì)D，因?yàn)椋裕蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，則.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為 ；
【答案】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出解集.
【詳解】即，解得：
故答案為：
12．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)（其中m，， 且）的圖象恒過定點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)求得正確答案.
【詳解】由題意，函數(shù)恒過定點(diǎn)，
可得，解得，，所以．
故答案為：
13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則 .
【答案】8
【分析】直接代入即可得到答案.
【詳解】.
故答案為：8.
四、解答題
14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求值；
（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可直接計(jì)算出答案.
（2）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及換底公式得出x,y,z，然后代入已知條件即可求出答案.
【詳解】（1）
.
（2）為正實(shí)數(shù)，，
.
故的值為1.
15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.
(1)若的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋鶕?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）分，和三個(gè)大類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，判斷是否存在實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋项}意.
當(dāng)時(shí)，由，解得.
綜上，的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋圆环项}意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
下面只討論的情況.
若，則在上單調(diào)遞增，由，
解得，
此時(shí)，
得，即當(dāng)時(shí)，存在，符合題意，當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.
若，則在上單調(diào)遞減，
由，解得，
此時(shí)，
得，則當(dāng)，即時(shí)，存在，符合題意.
綜上，當(dāng)或時(shí)，存在，符合題意；當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，最值的綜合應(yīng)用問題，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性的討論，可由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.
16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)且．
(1)解關(guān)于的不等式；
(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域?qū)懗霾坏仁浇M，由此求解出解集；
（2）根據(jù)已知條件分析函數(shù)單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解出結(jié)果.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br/>所以，解得；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br/>所以，解得；
所以不等式解集為；
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
又恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闀r(shí)，恒有，
所以時(shí)，恒有，即恒成立，
所以，
令，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，，時(shí)，，所以，所以，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件.
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一、單選題
1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】C
【分析】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以從而求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，
所以，故C項(xiàng)正確.
故選：C.
2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用對(duì)數(shù)函數(shù)定義，逐項(xiàng)判斷作答.
【詳解】函數(shù)，的真數(shù)不是自變量，它們不是對(duì)數(shù)函數(shù)，AB不是；
函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，C是；
函數(shù)的底數(shù)含有參數(shù)，而的值不能保證是不等于1的正數(shù)，D不是.
故選：C
3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
【答案】C
【分析】由題設(shè)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求即可.
【詳解】由題設(shè)，可得且，又是偶函數(shù)，
∴.
故選：C.
4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)定義域得到不等式，解得答案.
【詳解】定義域滿足，解得且.
故選：D.
5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出函數(shù)的定義域，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性得到答案.
【詳解】的定義域是，
令，其在定義域上單調(diào)遞增，
，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，.
故選：A.
6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)高斯函數(shù)的定義，分段討論的取值，計(jì)算的值域.
【詳解】當(dāng)時(shí),，
∴，
當(dāng)時(shí),，
∴，
∴函數(shù)的值域?yàn)?
故選:B.
二、多選題
7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．若，則 D．
【答案】AD
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可根據(jù)選項(xiàng)逐一求解.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A正確；
對(duì)于B，，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由于，所以，所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，故D正確.
故選：AD
8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br/>B．為奇函數(shù)
C．在定義域上是減函數(shù)
D．的值域?yàn)?br/>【答案】ABC
【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，奇函數(shù)的定義，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，舉反例依次判斷各選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>對(duì)于A，由，解得，即的定義域?yàn)椋蔄正確；
對(duì)于B，，即為奇函數(shù)，故B正確；
對(duì)于C，，
而在上單調(diào)遞減，在其定義域上單調(diào)遞增，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知在定義域上是減函數(shù)，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?br/>所以的值域不可能為，故D錯(cuò)誤.
故選：ABC．
9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
【答案】AC
【分析】函數(shù)的定義域?yàn)榈葍r(jià)于恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，即可判斷A；若函數(shù)的值域?yàn)榈葍r(jià)于的值域有子集，即可求出實(shí)數(shù)的值，從而判斷B；函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)等價(jià)于函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)且恒成立，由此即可列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍，從而判斷C；若，，即可解出不等式；即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A：因?yàn)榈亩x域?yàn)椋院愠闪ⅲ?br/>當(dāng)時(shí)，顯然不恒成立，故，
所以，解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故A正確；
對(duì)于B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋院瘮?shù)的值域有子集，
當(dāng)時(shí)，此時(shí)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)椋项}意；
當(dāng)時(shí)，解得，
綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，解得；綜上可得，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，由，即，可得，
解得，即不等式的解集為，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象找出實(shí)數(shù)a，b，c的范圍，求出，對(duì)不成立的結(jié)論可舉反例,對(duì)恒成立的結(jié)論結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行論證.
【詳解】畫出函數(shù)圖象，如圖，

因?yàn)椋遥?
所以.且即.
對(duì)A，因?yàn)椋裕蔄正確；
對(duì)B，因?yàn)椋裕蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知函數(shù)在上為單調(diào)減函數(shù)，則，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)椋裕郑瑒t，令解得，即時(shí)，,
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則當(dāng)時(shí)，有，故C不正確；
對(duì)D，因?yàn)椋裕蓪?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，則.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，故D正確.
故選：ABD
三、填空題
11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為 ；
【答案】
【分析】利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式，求出解集.
【詳解】即，解得：
故答案為：
12．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)（其中m，， 且）的圖象恒過定點(diǎn)，則 ．
【答案】
【分析】根據(jù)所過定點(diǎn)求得正確答案.
【詳解】由題意，函數(shù)恒過定點(diǎn)，
可得，解得，，所以．
故答案為：
13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則 .
【答案】8
【分析】直接代入即可得到答案.
【詳解】.
故答案為：8.
四、解答題
14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求值；
（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.
【答案】（1）；（2）1
【分析】（1）根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)即可直接計(jì)算出答案.
（2）根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式的互化及換底公式得出x,y,z，然后代入已知條件即可求出答案.
【詳解】（1）
.
（2）為正實(shí)數(shù)，，
.
故的值為1.
15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.
(1)若的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）首先設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋鶕?jù)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域和值域的關(guān)系，可得，討論的取值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；
（2）分，和三個(gè)大類討論函數(shù)的單調(diào)性和最值，判斷是否存在實(shí)數(shù)的值.
【詳解】（1）設(shè)函數(shù)的值域?yàn)椋驗(yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?
當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋项}意.
當(dāng)時(shí)，由，解得.
綜上，的取值范圍為.
（2）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋圆环项}意，舍去.
當(dāng)時(shí)，，不符合題意.
下面只討論的情況.
若，則在上單調(diào)遞增，由，
解得，
此時(shí)，
得，即當(dāng)時(shí)，存在，符合題意，當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.
若，則在上單調(diào)遞減，
由，解得，
此時(shí)，
得，則當(dāng)，即時(shí)，存在，符合題意.
綜上，當(dāng)或時(shí)，存在，符合題意；當(dāng)時(shí)，不存在符合題意的.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的值域，單調(diào)性，最值的綜合應(yīng)用問題，結(jié)合對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，以及二次函數(shù)單調(diào)性的討論，可由函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的最值.
16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)且．
(1)解關(guān)于的不等式；
(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)分析函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合定義域?qū)懗霾坏仁浇M，由此求解出解集；
（2）根據(jù)已知條件分析函數(shù)單調(diào)性，然后結(jié)合單調(diào)性將問題轉(zhuǎn)化為，借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求解出結(jié)果.
【詳解】（1）的定義域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br/>所以，解得；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋?br/>所以，解得；
所以不等式解集為；
（2）設(shè)存在實(shí)數(shù)滿足條件，
因?yàn)椋?br/>當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào)，
又恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)闀r(shí)，恒有，
所以時(shí)，恒有，即恒成立，
所以，
令，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又時(shí)，，時(shí)，，所以，
所以，
綜上所述，存在實(shí)數(shù)滿足條件.
【考點(diǎn)4】?jī)绾瘮?shù)
一、單選題
1．（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由冪函數(shù)的定義可判斷各選項(xiàng).
【詳解】由冪函數(shù)的定義,形如，叫冪函數(shù)，
對(duì)A，，故A正確；B，C，D均不符合.
故選：A．
2．（2023上·重慶·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】首先代入求出的值，即可得到函數(shù)解析式，再代入求值即可.
【詳解】因?yàn)椋遥矗獾茫?br/>所以，則.
故選：A
3．（2023上·重慶·高一重慶八中校考階段練習(xí)）若，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．3 C．或3 D．
【答案】C
【分析】由冪函數(shù)定義結(jié)合冪函數(shù)單調(diào)性知識(shí)可得答案.
【詳解】由為冪函數(shù)有，即或，又由在上單調(diào)遞減得，經(jīng)驗(yàn)證或均成立.
故選：.
4．（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)校考期中）冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設(shè)出冪函數(shù)，代入點(diǎn)坐標(biāo)得到函數(shù)解析式，確定函數(shù)定義域，得到，解得答案.
【詳解】設(shè)冪函數(shù)為，則，故，，
則的定義域?yàn)椋?br/>故滿足，解得.
故選：A
5．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵? ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域、冪函數(shù)的性質(zhì)、以及基本不等式可直接求得選項(xiàng)中各函數(shù)的值域進(jìn)行判斷即可.
【詳解】由已知值域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；
時(shí)，等號(hào)成立，所以的值域是，B錯(cuò)誤；
因?yàn)槎x域?yàn)椋?，函數(shù)值域?yàn)椋蔆正確；
，，，所以，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
【答案】A
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，討論的范圍，明確方程，解出即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，得，
所以的值是2或．
故選：
二、多選題
7．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．所有冪函數(shù)的圖象均過點(diǎn)
B．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則解析式為
C．冪函數(shù)一定具有奇偶性
D．任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限
【答案】BD
【分析】根據(jù)冪函數(shù)特例可對(duì)A項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)過點(diǎn)，可求出解析式對(duì)B項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)的特例可對(duì)C項(xiàng)判斷；根據(jù)冪函數(shù)的特性可知圖像不過第四象限，從而對(duì)D項(xiàng)判斷.
【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：比如，圖象不過點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)：設(shè)冪函數(shù)為，冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的解析式為，解得，整理得，故B正確；
對(duì)于C項(xiàng)：對(duì)于，無奇偶性，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D項(xiàng)：任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限，故D正確；
故選：BD.
8．（2023下·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減
C．的值域?yàn)?D．的值域?yàn)?br/>【答案】ABD
【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷A；去絕對(duì)值分離常數(shù)可得函數(shù)的單調(diào)性即可判斷B；根據(jù)單調(diào)性與奇偶性可判斷C、D.
【詳解】由題意,為偶函數(shù)，選項(xiàng)A正確．
當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，選項(xiàng)B正確．
當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞減函數(shù)，則，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)D正確，C不正確．
故選：ABD．
三、填空題
9．（2023上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）實(shí)數(shù)x，y滿足，則 .
【答案】2
【分析】將方程組中的方程，形式化成相同，構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，即可求得結(jié)論．
【詳解】方程組可化為
設(shè)，由于均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)
,
故答案為：2
10．（2023上·四川成都·高一校考期中）有四個(gè)冪函數(shù)：①，②；③；④．某同學(xué)研究了這幾個(gè)函數(shù)，并給出函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是；（3）在上是增函數(shù)．如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則滿足條件的函數(shù)是 （填序號(hào)）．
【答案】④
【分析】分別討論這四個(gè)冪函數(shù)的奇偶性、值域和單調(diào)性，對(duì)照性質(zhì)判斷結(jié)論.
【詳解】?jī)绾瘮?shù)，是奇函數(shù)，值域?yàn)椋谏鲜菧p函數(shù)，三個(gè)性質(zhì)都錯(cuò)誤，不符合條件；
冪函數(shù)，是偶函數(shù)，值域?yàn)椋谏鲜菧p函數(shù)，三個(gè)性質(zhì)有一個(gè)正確，兩個(gè)錯(cuò)誤，不符合條件；
冪函數(shù)，沒有奇偶性，值域?yàn)椋谏鲜窃龊瘮?shù)，三個(gè)性質(zhì)有一個(gè)正確，兩個(gè)錯(cuò)誤，不符合條件；
冪函數(shù)，是奇函數(shù)，值域?yàn)椋谏鲜窃龊瘮?shù)，三個(gè)性質(zhì)有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，符合條件.
故答案為：④
11．（2021上·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若函數(shù)在上有最小值5，則在上的最大值是 ．
【答案】1
【分析】構(gòu)造奇函數(shù)，利用奇函數(shù)性質(zhì)求解出對(duì)應(yīng)最大值.
【詳解】設(shè)，定義域?yàn)殛P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
又，所以為奇函數(shù)，
記為在上的最小值，為在上的最大值，
又在上的最小值為，在上的最大值為，
所以，所以，
故答案為：.
四、解答題
12．（2023上·河北石家莊·高一石家莊一中校考期中）已知冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接根據(jù)冪函數(shù)的定義及性質(zhì)列方程求解即可；
（2）利用冪函數(shù)的單調(diào)性去掉，結(jié)合函數(shù)定義域列不等式求解即可.
【詳解】（1）由已知得， 解得或，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是減函數(shù)，不滿足題意；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上是增函數(shù)，滿足題意；
所以；
（2）易知的定義域?yàn)椋以谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以由，得，解得，
所以的取值范圍為.
13．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)運(yùn)算求解；
（2）根據(jù)的定義域以及單調(diào)性分析求解.
【詳解】（1）因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，
則，即，解得或1，
又因?yàn)楹瘮?shù)關(guān)于軸對(duì)稱，
當(dāng)時(shí)，則為偶函數(shù)，滿足題意；
當(dāng)時(shí)，則為奇函數(shù)，不滿足題意；
綜上所述：實(shí)數(shù)的值為.
（2）函數(shù)，則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，
由可得:，解得，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.
14．（2023上·重慶·高一重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）己知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào).
(1)求m的值．
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）由冪函數(shù)的定義可得或，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性排除增根；
（2）先判斷為奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質(zhì)化簡(jiǎn)不等式，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性通過討論化簡(jiǎn)不等式求其解.
【詳解】（1）由題意，解得或，
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，不合題意；
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br/>函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
但，
所以函數(shù)在定義域上不單調(diào)，符合題意，
所以.
（2）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且，
所以為奇函數(shù)，
因?yàn)椋傻茫?br/>即，
而在上遞減且恒負(fù)，在上遞減且恒正，
所以或或，
解得或．
【考點(diǎn)5】函數(shù)的應(yīng)用與增長(zhǎng)速度
一、單選題
1．（2023上·上海·高三校考期中）了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】通過分析不同函數(shù)的增減性快慢，即可進(jìn)行得到結(jié)果.
【詳解】根據(jù)題意，對(duì)于①，，即函數(shù)的定義域?yàn)?值域?yàn)椋珹、B、C、D均符合；
對(duì)于②隨的增加而增加，且增加的速度越來越快，即函數(shù)為增函數(shù)，且增加的速度越來越快，A符合，B、C、D均不符合.
故選：A.
2．（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（ ）
A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍
【答案】A
【分析】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化可求得的值.
【詳解】設(shè)里氏級(jí)、級(jí)地震所釋放的能量分別為、，則，
上述兩個(gè)等式作差可得，則，故.
故選：A.
3．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
【答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)，則，解出后驗(yàn)證即可.
【詳解】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，
，
則有，
解得，
經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，符合條件，
故選：B.
4．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）給出下列命題：對(duì)于定義在上的函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（ ）
①若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
②若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
③若函數(shù)滿足，則；
④若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性與周期性即可判斷①；根據(jù)奇函數(shù)的圖象即可判斷②；根據(jù)分析即可判斷③；關(guān)于的方程有解，即函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，作出函數(shù)的圖象，即可判斷④.
【詳解】對(duì)于①，若，則，
所以函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，無法得出其對(duì)稱軸，故①錯(cuò)誤；
對(duì)于②，若是奇函數(shù)，則函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
而函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到的，
是以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故②正確；
對(duì)于③，若函數(shù)滿足，
令，
則，
所以，
即，故③正確；
對(duì)于④，關(guān)于的方程有解，
即函數(shù)的圖象有交點(diǎn)，
如圖，作出函數(shù)的圖象，

由圖可知，，故④錯(cuò)誤.
故選：D.
5．（2010·浙江·高考真題）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】轉(zhuǎn)化是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)為是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，利用圖像判斷即可
【詳解】因?yàn)槭呛瘮?shù)的一個(gè)零點(diǎn)，則是函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，畫出函數(shù)圖像，如圖所示，
則當(dāng)時(shí)，在下方，即；
當(dāng)時(shí)，在上方，即，
故選：B
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想
6．（2023上·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，
C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表格中的數(shù)據(jù)判斷AB；利用零點(diǎn)存在性定理判斷CD.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以，正確；
對(duì)于B，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，正確；
對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)是上的增函數(shù)，且，即，所以函數(shù)有且僅有一個(gè)在區(qū)間的零點(diǎn)，正確；
對(duì)于D，因?yàn)楹瘮?shù)連續(xù)，且，即，所以函數(shù)在區(qū)間上一定存在零點(diǎn)，錯(cuò)誤，
故選：D.
二、多選題
7．（2023·上海·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，，，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（ ）
A．在上，隨著的逐漸增大，的增長(zhǎng)速度越來越快于
B．在上，隨著的逐漸增大，的增長(zhǎng)速度越來越快于
C．當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度一直快于
D．當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度有時(shí)快于
【答案】BD
【分析】在同一坐標(biāo)系中畫出三個(gè)函數(shù)的圖像，觀察即可判斷.
【詳解】解：在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)，，的圖象，如圖所示．

對(duì)于、B，在上，隨著的逐漸增大，的增長(zhǎng)速度越來越快于，故A錯(cuò)誤，B正確
對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度不是一直快于的，故C錯(cuò)誤
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度有時(shí)快于，故D正確．
故選:BD．
8．（2023上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）若二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)恰落在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】BC
【分析】變換，計(jì)算二次函數(shù)值域得到答案.
【詳解】，則，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)，，BC滿足.
故選：BC
三、填空題
9．（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】根據(jù)給定條件，討論當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，確定函數(shù)零點(diǎn)只可能在且的情況，再分析含絕對(duì)值符號(hào)的二次函數(shù)即可得解.
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)镽，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，若，則，于是，
若，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸，此函數(shù)在上單調(diào)遞增，
，，
即當(dāng)且時(shí)，，函數(shù)無零點(diǎn)；
于是只有當(dāng)且時(shí)，函數(shù)才有零點(diǎn)，
當(dāng)，即時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，而當(dāng)時(shí)，，
顯然當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，
要函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，必有，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象對(duì)稱軸，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
顯然，
而，
因此函數(shù)在、上各有一個(gè)零點(diǎn)，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.
10．（2010上·福建廈門·高三階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
【答案】
【分析】由零點(diǎn)存在性定理求解
【詳解】∵ 函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)
∴，即
∴
∴或
故答案為：
11．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．若方程有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
【答案】
【分析】為二次函數(shù)，當(dāng)，方程兩解，問題等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)根，結(jié)合二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)列不等式求解.
【詳解】考慮方程，由的圖象得：

當(dāng)時(shí)，方程無解；當(dāng)或時(shí)，方程一解；
當(dāng)，方程兩解．
故方程有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，等價(jià)于方程在區(qū)間上有兩個(gè)不同實(shí)根，
則，解得：，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
故答案為：．
四、解答題
12．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：
時(shí)間月 1 2 3 4
浮萍的面積 3 5 9 17
現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①，②，③，其中均為常數(shù)，且.
(1)直接選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別為，寫出一種滿足的等量關(guān)系式，并說明理由.
【答案】(1)模型②，
(2)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)選擇函數(shù)模型，然后求解析式；
（2）根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算.
【詳解】（1）應(yīng)選擇函數(shù)模型②.
依題意，得，
解得，
所以關(guān)于的函數(shù)解析式為.
（2）.
理由：依題意，得，，，
所以，，，
所以，
所以，
所以.
13．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）在上最大值和最小值的和為12．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)令，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求k的取值范圍．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）利用給定函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，列出方程求解即得.
（2）探討函數(shù)單調(diào)性，求出在給定區(qū)間上的最值，再利用零點(diǎn)存在性定理列式求解即可.
【詳解】（1）依題意，函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，由在上最大值和最小值的和為12，得，
而且，解得，
所以實(shí)數(shù)a的值是3.
（2）由（1）知，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
由在區(qū)間上有零點(diǎn)，得且，解得，
所以k的取值范圍是.
14．（2023上·浙江·高二路橋中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【答案】(1)
(2)答案見解析
【分析】（1）代入分別利用基本不等式和函數(shù)單調(diào)性求出兩段函數(shù)值域即可得出結(jié)論；
（2）對(duì)參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用基本不等式以及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性分別對(duì)兩函數(shù)的最值的符號(hào)作出判斷，結(jié)合圖象特征即可得函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)可得；
顯然當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以可得，
即時(shí)，；
綜上可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>（2）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
且當(dāng)趨近于0時(shí)，，當(dāng)趨近于時(shí)，，即函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；
而函數(shù)在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，恒成立，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上存在兩個(gè)零點(diǎn)；
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有3個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上存在一個(gè)零點(diǎn)；
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)；
即當(dāng)時(shí), 函數(shù)僅有2個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)時(shí)，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
此時(shí)最小值為，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，且當(dāng)趨近于時(shí)，，其最大值為，即函數(shù)在上無零點(diǎn)；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；
綜上可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有1個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)僅有3個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí), 函數(shù)僅有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有零點(diǎn)；第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)
單元復(fù)習(xí)
【知識(shí)梳理】
一、n次方根與根式
(1)a的n次方根的概念
一般地，給定大于1的正整數(shù)n和實(shí)數(shù)a，如果存在實(shí)數(shù)x，使得xn＝a，則x稱為a的n次方根.
(2)根式的概念
當(dāng)有意義的時(shí)候，稱為根式，n稱為根指數(shù)，a稱為被開方數(shù).
(3)根式的性質(zhì)
①()n＝a(n>1且n∈N*).
②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|.
二、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
①規(guī)定正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a＝()m＝(有意義).
②規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a－＝＝＝(有意義且a≠0).
(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
asat＝as＋t，(as)t＝as__t，(ab)s＝asbs，其中s，t∈Q.
三、實(shí)數(shù)指數(shù)冪
(1)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則
①asat＝as＋t；
②(as)t＝ast；
③(ab)s＝asbs.其中s，t∈R.
(2)拓展：＝as－t，＝，
其中a>0，b>0，s，t∈R.
四、指數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝ax稱為指數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.
五、指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a>1 0圖像
性 質(zhì) 定義域 定義域?yàn)镽
值域 值域?yàn)?0，＋∞)，即對(duì)任何實(shí)數(shù)，都有ax>0
過定點(diǎn) 過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1
函數(shù)值 的變化 當(dāng)x>0時(shí)，y>1； 當(dāng)x<0時(shí)，00時(shí)，01
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)
對(duì)稱性 y＝ax與y＝的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱
六、指數(shù)型函數(shù)的定義域和值域
指數(shù)函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的定義域?yàn)镽,值域?yàn)?0，＋∞).
七、指數(shù)型復(fù)合函數(shù)y＝af(x)的性質(zhì)
函數(shù)y＝af(x)與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上單調(diào)性的關(guān)系：由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的一般規(guī)律：“同增異減”.當(dāng)a＞1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相同，當(dāng)a＜1時(shí)，y＝af(x)的單調(diào)性與函數(shù)f(x)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性相反.
八、對(duì)數(shù)的概念
在表達(dá)式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，當(dāng)a與N確定之后，只有唯一的b能滿足這個(gè)式子，此時(shí)，冪指數(shù)b稱為以a為底N的對(duì)數(shù)，記作b＝logaN，其中a稱為對(duì)數(shù)的底數(shù)，N稱為對(duì)數(shù)的真數(shù).
九、對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)及對(duì)數(shù)恒等式
(1)對(duì)數(shù)的有關(guān)結(jié)論
①零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)；
②1的對(duì)數(shù)為零，即loga1＝0(a>0且a≠1)；
③底數(shù)的對(duì)數(shù)為1，即logaa＝1(a>0且a≠1)；
④對(duì)數(shù)恒等式：alogaN＝N(a>0且a≠1，N>0)；
⑤對(duì)數(shù)恒等式：logaab＝b(a>0且a≠1).
(2)常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)
①以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)，即log10N是常用對(duì)數(shù)，為了簡(jiǎn)便起見，把log10N簡(jiǎn)寫為lg N.
②以無理數(shù)e＝2.718 28…為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)，自然對(duì)數(shù)logeN通常簡(jiǎn)寫為ln N.
十、對(duì)數(shù)運(yùn)算法則
如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：
(1)loga(MN)＝logaM＋logaN；
(2)logaMα＝αlogaM；
(3)loga＝logaM－logaN.
十一、換底公式
對(duì)數(shù)換底公式：logab＝(a>0且a≠1，b>0，c>0且c≠1).
拓展：logamMn＝logaM(a>0且a≠1，M>0，n∈R，m≠0)
特別地：logab·logba＝1(a>0且a≠1，b>0，且b≠1).
十二、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝logax稱為對(duì)數(shù)函數(shù)，其中a是常數(shù)，a>0且a≠1.
十三、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)
a>1 0圖像
性 質(zhì) 定義域 定義域?yàn)?0，＋∞)，圖像在y軸的右邊
值域 值域?yàn)镽
過定點(diǎn) 過定點(diǎn)(1，0)，即x＝1時(shí)，y＝0
函數(shù)值的變化 當(dāng)01時(shí)，y>0 當(dāng)00， 當(dāng)x>1時(shí)，y<0
單調(diào)性 增函數(shù) 減函數(shù)
對(duì)稱性 y＝logax與y＝logx的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱
十四、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像變換
常見的函數(shù)圖像的變換技巧
①y＝f(x)y＝f(|x|).
②y＝f(x)y＝|f(x)|.
③y＝f(x)y＝f(－x).
④y＝f(x)y＝－f(x)
十五、對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)的性質(zhì)
對(duì)數(shù)型函數(shù)y＝logaf(x)性質(zhì)的研究
(1)定義域：由f(x)>0解得x的取值范圍，即為函數(shù)的定義域.
(2)值域：在函數(shù)y＝logaf(x)的定義域中先確定t＝f(x)的值域，再由y＝logat的單調(diào)性確定函數(shù)的值域.
(3)單調(diào)性：在定義域內(nèi)考慮t＝f(x)與y＝logat的單調(diào)性，根據(jù)同增異減法則判定(或運(yùn)用單調(diào)性定義判定).
(4)奇偶性：根據(jù)奇偶函數(shù)的定義判定.
十六、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
(1)反函數(shù)的概念
①定義：一般地，如果在函數(shù)y＝f(x)中，給定值域中任意一個(gè)y的值，只有唯一的x與之對(duì)應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱為y＝f(x)的反函數(shù).
②記法：一般地，對(duì)于函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)x＝f－1(y)，習(xí)慣上反函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)y＝f(x)的反函數(shù)記作y＝f－1(x).
(2)互為反函數(shù)的圖像與性質(zhì)
①圖像間的關(guān)系
y＝f(x)與y＝f－1(x)的圖像關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.
②互為反函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)
(ⅰ)y＝f(x)的定義域與y＝f－1(x)的值域相同，y＝f(x)的值域與y＝f－1(x)的定義域相同.
(ⅱ)如果y＝f(x)是單調(diào)函數(shù)，那么它的反函數(shù)y＝f－1(x)一定存在.此時(shí)，如果y＝f(x)是增函數(shù)，則y＝f－1(x)也是增函數(shù)；如果y＝f(x)是減函數(shù)，則y＝f－1(x)也是減函數(shù).
十七、冪函數(shù)的概念
一般地，函數(shù)y＝xα稱為冪函數(shù)，其中α是常數(shù).
十八、冪函數(shù)的圖像與性質(zhì)
(1)冪函數(shù)的圖像
在同一平面直角坐標(biāo)系中，冪函數(shù)y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1的圖像如圖.
(2)五個(gè)冪函數(shù)的性質(zhì)
y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x y＝x－1
定義域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0}
值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0}
奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù)
單調(diào)性 在R上是增函數(shù) 在[0，＋∞)上是增函數(shù)，在(－∞，0]上是減函數(shù) 在R上是增函數(shù) 在[0，＋∞)上是增函數(shù) 在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是減函數(shù)
公共點(diǎn) (1，1)
(3)冪函數(shù)y＝xα隨著α的不同，定義域，值域，奇偶性，單調(diào)性也不盡相同，要根據(jù)α的值判斷.
十九、增長(zhǎng)速度的比較
函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[x1，x2](x1x2時(shí))上的平均變化率為＝.它的實(shí)質(zhì)是函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比，也可理解為：自變量每增加1個(gè)單位，函數(shù)值將增加個(gè)單位.因此可以用平均變化率來比較函數(shù)值變化的快慢.
【熱考題型】
【考點(diǎn)1】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)
一、單選題
1．（2023上·北京大興·高一校考階段練習(xí)）已知，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·福建漳州·高一福建省漳州第一中學(xué)校考期中）函數(shù)的圖象是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·湖北·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）設(shè)，，，都是不等于1的正數(shù)，函數(shù)在同一直角坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則，，，的大小關(guān)系是（ ）

A． B． C． D．
4．（2023上·山東·高一校聯(lián)考期中）函數(shù)的圖象必經(jīng)過點(diǎn)（ ）
A． B． C． D．
5．（2023上·四川成都·高一四川省成都市鹽道街中學(xué)校考期中）函數(shù)的定義域?yàn)椋? ）
A． B．
C． D．
6．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈九中校考階段練習(xí)）若關(guān)于x的函數(shù)的最大值為M，最小值為N，且，則實(shí)數(shù)t的值為（ ）
A．2 B．4 C． D．
二、多選題
7．（2023上·遼寧朝陽·高三建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，，則（ ）
A．的最小值為9 B．的最小值為
C．的最大值為 D．的最小值為
8．（2023上·黑龍江大慶·高一大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若函數(shù)與的值域相同，但定義域不同，則稱與是“同象函數(shù)”，已知函數(shù)，，則下列函數(shù)中與是“同象函數(shù)”的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空題
9．（2023上·上海·高一上海市第二中學(xué)校考期中）化簡(jiǎn)： .
10．（2023上·重慶·高一重慶一中校考期中）已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，.若，使成立，則的最小值為 ．
11．（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）若時(shí)，指數(shù)函數(shù)的值總大于1，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題
12．（2023上·江蘇無錫·高一錫東高中校考期中）（1）計(jì)算:．
（2）若，求下列式子的值：
①
②
13．（2023上·福建廈門·高一廈門市海滄中學(xué)校考期中）對(duì)于函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并用定義證明；
(2)是否存在實(shí)數(shù)使函數(shù)為奇函數(shù)？證明你的結(jié)論．
14．（2023上·重慶榮昌·高一重慶市榮昌中學(xué)校校考階段練習(xí)）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù).
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)試判斷的單調(diào)性， 并用定義證明；
(3)若關(guān)于的不等式在上有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【考點(diǎn)2】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)
一、單選題
1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
【答案】C
【分析】由題設(shè)求的解析式，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)求即可.
【詳解】由題設(shè)，可得且，又是偶函數(shù)，
∴.
故選：C.
4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．若，則 D．
8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br/>B．為奇函數(shù)
C．在定義域上是減函數(shù)
D．的值域?yàn)?br/>9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為 ；
12．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)（其中m，， 且）的圖象恒過定點(diǎn)，則 ．
13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則 .
四、解答題
14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求值；
（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.
15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.
(1)若的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.
16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)且．
(1)解關(guān)于的不等式；
(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)3】指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系
一、單選題
1．（2023上·黑龍江齊齊哈爾·高一校考階段練習(xí)）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．（2023上·高一課時(shí)練習(xí)）下列函數(shù)，其中為對(duì)數(shù)函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020上·湖南郴州·高一嘉禾縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．6
4．（2023上·重慶·高一統(tǒng)考期末）函數(shù)的定義域是（ ）
A． B．
C．且 D．且
5．（2023·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）設(shè)，用表示不超過x的最大整數(shù)，則稱為高斯函數(shù)，例如:，．已知函數(shù)，若，，則函數(shù)的值域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
二、多選題
7．（2023上·江蘇徐州·高一徐州高級(jí)中學(xué)校考期中）下列運(yùn)算中正確的是（ ）
A．當(dāng)時(shí)， B．
C．若，則 D．
8．（2023上·云南昆明·高二云南師大附中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br/>B．為奇函數(shù)
C．在定義域上是減函數(shù)
D．的值域?yàn)?br/>9．（2022上·四川攀枝花·高一攀枝花市第三高級(jí)中學(xué)校校考期中）已知函數(shù)，，則下列說法正確的是（ ）
A．若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
B．若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是
C．若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是
D．若，則不等式的解集為
10．（2023下·山西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且.則下列結(jié)論恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空題
11．（2022·上海閔行·統(tǒng)考二模）不等式的解集為 ；
12．（2023上·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春外國(guó)語學(xué)校校考期中）已知函數(shù)（其中m，， 且）的圖象恒過定點(diǎn)，則 ．
13．（2023上·黑龍江哈爾濱·高一哈師大附中校考期中）若函數(shù)，則 .
四、解答題
14．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）（1）求值；
（2）已知為正實(shí)數(shù)，，求的值.
15．（2023上·河北邢臺(tái)·高一邢臺(tái)市第二中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)且.
(1)若的值域?yàn)椋蟮娜≈捣秶?
(2)試判斷是否存在，使得在上單調(diào)遞增，且在上的最大值為1.若存在，求的值（用表示）；若不存在，請(qǐng)說明理由.
16．（2023上·廣東佛山·高一石門中學(xué)校考期中）設(shè)函數(shù)且．
(1)解關(guān)于的不等式；
(2)若恒成立，則是否存在實(shí)數(shù)，令時(shí)，恒有？若存在，求實(shí)數(shù)的范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【考點(diǎn)4】?jī)绾瘮?shù)
一、單選題
1．（2023下·湖北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）下列函數(shù)是冪函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023上·重慶·高一重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期中）已知冪函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)（ ）
A． B． C． D．
3．（2023上·重慶·高一重慶八中校考階段練習(xí)）若，冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．3 C．或3 D．
4．（2023上·廣東廣州·高一廣州市第二中學(xué)校考期中）冪函數(shù)圖象過點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋? ）
A． B． C． D．
5．（2023上·湖北襄陽·高一統(tǒng)考期末）下列函數(shù)中，值域?yàn)榈氖牵? ）
A． B．
C． D．
6．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，若，則的值為（ ）
A．2或 B．2或 C．或 D．1或
二、多選題
7．（2023上·吉林四平·高一四平市第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）下列說法正確的是（ ）
A．所有冪函數(shù)的圖象均過點(diǎn)
B．若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則解析式為
C．冪函數(shù)一定具有奇偶性
D．任何冪函數(shù)的圖象都不經(jīng)過第四象限
8．（2023下·山東煙臺(tái)·高二萊州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）下列關(guān)于函數(shù)，下列說法正確的是（ ）
A．為偶函數(shù) B．在上單調(diào)遞減
C．的值域?yàn)?D．的值域?yàn)?br/>三、填空題
9．（2023上·廣東茂名·高一統(tǒng)考期中）實(shí)數(shù)x，y滿足，則 .
10．（2023上·四川成都·高一校考期中）有四個(gè)冪函數(shù)：①，②；③；④．某同學(xué)研究了這幾個(gè)函數(shù)，并給出函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：（1）偶函數(shù)；（2）值域是；（3）在上是增函數(shù)．如果給出的三個(gè)性質(zhì)中，有兩個(gè)正確，一個(gè)錯(cuò)誤，則滿足條件的函數(shù)是 （填序號(hào)）．
11．（2021上·山東濟(jì)南·高一山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）若函數(shù)在上有最小值5，則在上的最大值是 ．
四、解答題
12．（2023上·河北石家莊·高一石家莊一中校考期中）已知冪函數(shù)，且在上是增函數(shù)．
(1)求的解析式；
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
13．（2023上·安徽阜陽·高一安徽省臨泉第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知函數(shù)是冪函數(shù)，且函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱.
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)若不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
14．（2023上·重慶·高一重慶南開中學(xué)校考階段練習(xí)）己知冪函數(shù)在定義域上不單調(diào).
(1)求m的值．
(2)若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【考點(diǎn)5】函數(shù)的應(yīng)用與增長(zhǎng)速度
一、單選題
1．（2023上·上海·高三校考期中）了解某些細(xì)菌、病毒的生存條件、繁殖習(xí)性等對(duì)于預(yù)防該細(xì)菌、病毒引起的疾病傳播有重要的意義．科研團(tuán)隊(duì)在培養(yǎng)基中放入一定量某種菌落進(jìn)行研究，設(shè)經(jīng)過時(shí)間x（單位：min），菌落的覆蓋面積為y（單位：）．團(tuán)隊(duì)提出如下假設(shè)：①當(dāng)時(shí)，；②y隨x的增加而增加，且增加的速度越來越快．則下列選項(xiàng)中，符合團(tuán)隊(duì)假設(shè)的模型是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023上·四川涼山·高一統(tǒng)考期末）涼山州地處川西南橫斷山系東北緣，地質(zhì)構(gòu)造復(fù)雜，時(shí)常發(fā)生有一定危害程度的地震，盡管目前我們還無法準(zhǔn)確預(yù)報(bào)地震，但科學(xué)家通過多年研究，已經(jīng)對(duì)地震有了越來越清晰的認(rèn)識(shí)與了解．例如：地震時(shí)釋放出的能量（單位：）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為，年月日，我州會(huì)理市發(fā)生里氏級(jí)地震，它所釋放出來的能量是年年初云南省麗江市寧蒗縣發(fā)生的里氏級(jí)地震所釋放能量的約多少倍（ ）
A．倍 B．0.56倍 C．倍 D．0.83倍
3．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中學(xué)校考階段練習(xí)）若函數(shù)為偶函數(shù)，則（ ）
A．-1 B．0 C． D．1
4．（2023上·四川綿陽·高三綿陽南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）給出下列命題：對(duì)于定義在上的函數(shù)，下述結(jié)論正確的是（ ）
①若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
②若是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
③若函數(shù)滿足，則；
④若關(guān)于的方程有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
5．（2010·浙江·高考真題）已知是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)，若，則（ ）
A．， B．，
C．， D．，
6．（2023上·北京西城·高一北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期中）已知函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的，并且是上的增函數(shù)，有如下的對(duì)應(yīng)值表
x 1 2 3 4
y 1.21 3.79 10.28
以下說法中錯(cuò)誤的是（ ）
A． B．當(dāng)時(shí)，
C．函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn) D．函數(shù)可能無零點(diǎn)
二、多選題
7．（2023·上海·高一專題練習(xí)）（多選）已知函數(shù)，，，則下列關(guān)于這三個(gè)函數(shù)的描述中，正確的是（ ）
A．在上，隨著的逐漸增大，的增長(zhǎng)速度越來越快于
B．在上，隨著的逐漸增大，的增長(zhǎng)速度越來越快于
C．當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度一直快于
D．當(dāng)時(shí)，的增長(zhǎng)速度有時(shí)快于
8．（2023上·河南鄭州·高一統(tǒng)考期中）若二次函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)恰落在內(nèi)，則實(shí)數(shù)的值可以是（ ）
A． B． C． D．1
三、填空題
9．（2023上·天津和平·高三天津一中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 ．
10．（2010上·福建廈門·高三階段練習(xí)）函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是 ．
11．（2023上·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，．若方程有4個(gè)不相同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .
四、解答題
12．（2023上·陜西安康·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）某公園池塘里浮萍的面積（單位：）與時(shí)間（單位：月）的關(guān)系如下表所示：
時(shí)間月 1 2 3 4
浮萍的面積 3 5 9 17
現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型可供選擇：①，②，③，其中均為常數(shù)，且.
(1)直接選出你認(rèn)為最符合題意的函數(shù)模型，并求出關(guān)于的函數(shù)解析式；
(2)若該公園池塘里浮萍的面積蔓延到所經(jīng)過的時(shí)間分別為，寫出一種滿足的等量關(guān)系式，并說明理由.
13．（2023上·廣東深圳·高一深圳外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）已知函數(shù)（且）在上最大值和最小值的和為12．
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)令，若在區(qū)間上有零點(diǎn)，求k的取值范圍．
14．（2023上·浙江·高二路橋中學(xué)校考期中）已知函數(shù)，
(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域；
(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

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