資源簡介

第五章 統計與概率
單元復習
【知識梳理】
一、普查與抽樣調查
(1)普查
①定義：一般地，對總體中每個個體都進行考察的方法稱為普查(也稱為全面調查).
②優點：普查能夠了解總體中每個個體的情況，從而能準確地掌握總體的特征.
③適用條件：在總體包含的個體總數不大，或有特殊需要的情況下，可以采用普查的方法.
(2)抽樣調查
①定義：只抽取樣本進行考察的方法稱為抽樣調查.
②適用條件：普查的方法有時會因為各種原因而無法實施，例如成本太高、時間上不容許、考察方法具有破壞性等，此時就采用抽樣調查.
二、簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，簡單隨機抽樣就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等完全隨機地抽取個體.
(2)特點：總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到.
(3)適用范圍：
當總體中的個體之間差異程度較小和總體中個體數目較少時，通常采用這種方法.
(4)常見的簡單隨機抽樣方法有抽簽法、隨機數表法.
①抽簽法的優缺點
抽簽法的優點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，操作起來就比較麻煩，而且如果抽取之前攪拌不均勻，可能導致抽取的樣本不具有代表性.
②隨機數表法
用隨機數表進行簡單隨機抽樣的一般步驟為：
(ⅰ)對總體進行編號.
(ⅱ)在隨機數表中任意指定一個開始選取的位置.位置的確定可以隨機確定，也可用其他方式隨機確定.
(ⅲ)按照一定規則選取編號.例如，若編號是兩位，規則可以是每次從左往右選取兩個數字，也可以是每次只選取每一組的前兩個數字，還可以是每次只選取下面一行同一位置對應的兩個數字，等等.規則一經確定，就不能更改.在選取過程中，遇到超過編號范圍或已經選取了的數字，應該舍棄.
(ⅳ)按照得到的編號找出對應的個體.
三、分層抽樣
(1)定義：一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
(2)作用：通過分層抽樣所得到的樣本，一般更具有代表性，可以更準確地反映總體的特征.
四、最值、平均數、中位數、百分位數、眾數
(1)最值
一組數據的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數最極端的情況.
(2)平均數
①定義：如果給定的一組數是x1，x2，…，xn，則這組數的平均數為＝(x1＋x2＋…＋xn).這一公式在數學中常簡記為＝xi，
②性質：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均數為，且a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數為a＋b.
(3)中位數、百分位數
①中位數：一般地，如果一組數有奇數個數，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數的中位數；如果一組數有偶數個數，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱為這組數的中位數.
②百分位數：設一組數按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算i＝np%的值，如果i不是整數，設i0為大于i的最小整數，取xi0為p%分位數；如果i是整數，取為p%分位數.特別地，規定：0分位數是x1(即最小值)，100%分位數是xn(即最大值).
(4)眾數：一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數.
五、極差、方差與標準差
(1)極差：一組數的極差指的是這組數的最大值減去最小值所得的差.極差反映了一組數的變化范圍.
(2)方差
①定義：如果x1，x2，…，xn的平均數為，則方差可用求和符號表示為
②性質：如果a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
(3)標準差
①定義：方差的算術平方根稱為標準差.一般用s表示，即樣本數據x1，x2，…，xn的標準差為
②性質：如果a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的標準差為|a|s.
③作用：如果一組數中，各數據值都相等，則標準差為0，表明數據沒有波動，數據沒有離散性；若各數的值與平均數的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數據的波動幅度也較大，數據的離散程度較高，因此標準差(或方差)描述了數據相對于平均數的離散程度.
六、柱形圖、折線圖、扇形圖和莖葉圖
(1)柱形圖
①柱形圖(也稱為條形圖)可以形象地比較各種數據之間的數量關系.
②特點：柱形圖(也稱為條形圖)中，一條軸上顯示的是所關注的數據類型，另一條軸上對應的是數量、個數或者比例，柱形圖中每一矩形都是等寬的.
(2)折線圖
一般地，如果數據是隨時間變化的，想了解數據的變化情況，可將數據用折線圖來表示.
(3)扇形圖
扇形圖可以形象地表示出各部分數據在全部數據中所占的比例情況.扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數據大小成正比.
(4)莖葉圖
一般來說，莖葉圖中，所有的莖都豎直排列，而葉沿水平方向排列.莖葉圖也可以只表示一組數.“葉”是從“莖”的旁邊生長出來的數.莖葉圖通常用來記錄兩位數的數據，把兩位數的十位數字作為“莖”，個位數字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上往下排列.將一組數整理成莖葉圖后，如果每一行的數都是按從大到小(或從小到大)順序排列，則從中可以方便地看出這組數的最值、中位數等數字特征.
七、頻數分布直方圖與頻率分布直方圖
(1)頻數與頻率
①頻數：在一組數據中，數據出現的次數稱為頻數，某個區間內的數據的個數稱為區間對應的頻數.
②頻率：在一組數據中，數據的頻數與這組數據總個數的比稱為頻率，區間對應的頻數與這組數據總個數的比稱為區間對應的頻率.
(2)頻數、頻率分布直方圖及其折線圖
①頻率分布直方圖制作的方法步驟
②
③頻數分布直方圖與頻率分布直方圖的區別
頻數分布直方圖的縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形高度與頻數成正比；頻率分布直方圖的縱坐標是，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率．
④頻數分布折線圖和頻率分布折線圖的制作方法
把每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來．為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的．
八、用樣本估計總體
用樣本的分布估計總體的分布
（1）一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地，樣本平均數（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方差）與總體對應的值相差不會太大.
（2）在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數字特征去估計總體的數字特征.
（3）分層抽樣的平均數、方差
假設第一層有m個數，分別為x1，x2，…，xm，平均數為，方差為s2；第二層有n個數，分別為y1，y2，…，yn，平均數為，方差為t2.
如果記樣本均值為，樣本方差為b2，則＝＝，
b2＝＝.
九、概率
（1）必然現象與隨機現象
①一定條件下，發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象.
②發生的結果事先能夠確定的現象就是必然現象.
（2）樣本點和樣本空間
①隨機試驗
把在相同條件下，對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗Ｗ.
②樣本點和樣本空間
把隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.
（3）隨機事件、必然事件、不可能事件
①隨機事件：如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集.而且，若試驗的結果是A中的元素，則稱A發生；否則，稱A不發生.
②必然事件：任何一次隨機試驗的結果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發生 ，從而稱Ω為必然事件；
③不可能事件：因為空集 不包含任何樣本點，因此可以認為每次試驗中 一定不發生，從而稱 為不可能事件Ｗ.
④事件的表示與基本事件
（ⅰ）不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示.
（ⅱ）基本事件：只含有一個樣本點的事件稱為基本事件Ｗ.
（4）隨機事件發生的概率
①事件A發生的概率通常用P（A）表示.
②我們將不可能事件 發生的概率規定為0，將必然事件Ω發生的概率規定為1，
即P（ ）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.
③對于任意事件A來說，顯然應該有P（ ）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.
十、事件之間的包含、相等、和與積
(1)事件的包含與相等
定義 表示法 圖示
包含關系 一般地，如果事件A發生時，事件B一定發生，則稱A包含于B(或B包含A) A B (或B A)
相等關系 A B且B A A＝B
(2)事件的和與積
定義 表示法 圖示
和 由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并) A＋B (或A∪B)
積 由事件A，B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交) AB(或A∩B)
十一、事件的互斥與對立及概率加法公式
　(1)事件的互斥與對立
定義 表示法 圖示
互 斥 若事件A與B不能同時發生，則稱A與B互斥 AB＝ (或A∩B＝ )
對 立 由樣本空間Ω中所有不屬于事件A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件 事件A的對立事件 記為
如果B＝，則稱A與B相互對立.
(2)互斥事件的概率加法公式
①互斥事件的概率加法公式：當A與B互斥(即AB＝ )時，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
②一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
③P(A)＋P()＝1.
十二、古典概型
(1)古典概型
一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.
(2)古典概型概率公式
古典概型中，假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含有m個樣本點，則P(C)＝.
十三、頻率與概率
用頻率估計概率
(1)在大量重復的試驗過程中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且試驗的次數越多，頻率與概率之間的差距很小的可能性越大.
(2)一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，則當n很大時，可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為.此時也有0≤P(A)≤1.
十四、相互獨立事件的定義和性質
(1)定義：一般地，當P(AB)＝P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立).
(2)性質：如果事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)n個事件相互獨立
“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.
十五、獨立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互獨立， 則P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).
事件A，B的各種情形 概率公式
A，B同時發生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B都不發生 P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一個不發生 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一個發生 1－P( )＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰好有一個發生 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
十六、統計與概率的應用
概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量，它已經滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之間的一個數，它度量該事件發生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少發生，而大概率事件(概率接近1)則經常發生.
【熱考題型】
【考點1】統計
一、單選題
1．（2023上·貴州六盤水·高二統考期中）某校有教師360人，其中高級及以上職稱教師240人，一級職稱教師80人，其他職稱教師40人，現采用分層抽樣從中抽取18人參加某項調研活動，則高級及以上職稱教師應抽取的人數是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．12
【答案】D
【分析】根據分層抽樣的定義求解即可.
【詳解】由題意知，高級及以上職稱教師應抽取的人數為
人.
故高級及以上職稱教師應抽取的人數為12人.
故選：D.
2．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示．橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是（ ）

A．投資3天以內（含3天），采用方案一
B．投資4天，不采用方案三
C．投資6天，采用方案一
D．投資9天，采用方案三
【答案】D
【分析】由統計圖形，判斷投資期限內每天回報累積最大的方案.
【詳解】由圖可以看出，從每天回報看，投資3天以內（含3天），方案一每天的回報都最多，所以三天回報累積也最多，故A正確；
投資4天，方案三每天的回報都最少，所以三天回報累積也最少，故B正確；
投資6天，方案一每天回報累積約為元，方案二每天回報累積約為元，
方案三每天回報均少于40元，故每天回報累積小于元，所以方案一每天回報累積最多，故C正確；
投資9天，方案三前6天均小于20，第7天小于40，第8天小于60，第9天大約100，故每天回報累積小于，
方案一每天回報累積約為元，所以方案三9天累積回報不是最多，故D不正確.
故選：D
3．（2023上·全國·高三專題練習）工業生產者出廠價格指數(PPI)是反映工業企業產品第一次出售時的出廠價格的變化趨勢和變動幅度．根據下面提供的我國2020年1月－2021年12月的工業生產者出廠價格指數的月度同比(將上一年同月作為基期進行對比的價格指數)和月度環比(將上月作為基期進行對比的價格指數)漲跌情況的折線圖判斷，以下結論中正確的是（ ）
A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月減小
D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平
【答案】D
【分析】根據圖像可判斷AC，根據同比增長線與線的比較可判斷BD.
【詳解】由圖可看出，選項A，C指的是“環比”，
2020年各月不是逐月增大，2021年也不是逐月減小，故A，C錯誤；
選項B，D是指“同比”，由于2021年1～12月同比增長線均在0.0%的上方，
所以2021年1～12月各月的PPI均高于2020年同期水平，故D正確；
而2020年1～12月同比增長線不均在0.0%的上方，故B錯誤．
故選：D
4．（2023上·全國·高三專題練習）某校高一年級1 000名學生的血型情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關系，決定采用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本，則從高一年級A型血的學生中應抽取的人數是（　　）
A．11 B．22 C．110 D．220
【答案】A
【分析】根據扇形圖中A型血的學生占比進行求解即可.
【詳解】由圖中數據可知高一年級A型血的學生占高一年級學生總體的，
所以抽取一個容量為50的樣本，從A型血的學生中應抽取的人數是.
故選：A
5．（2023上·天津河北·高三統考期中）某班的全體學生參加數學測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，，，.若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是（ ）

A．40 B．45 C．50 D．60
【答案】C
【分析】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率，結合低于60分的人數即可求得答案.
【詳解】由頻率分布直方圖可得低于60分的人的頻率為，
由于低于60分的人數是15，則該班的學生人數是，
故選：C
6．（2023上·全國·高三專題練習）甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統計計算后填入下表：
班級 參加人數 中位數 方差 平均數
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列結論中，不正確的是（ ）
A．甲、乙兩班學生成績的平均水平相同
B．乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數（每分鐘輸入漢字數個為優秀）
C．甲班的成績比乙班的成績波動大
D．甲班成績的眾數小于乙班成績的眾數
【答案】D
【分析】根據平均數大小判斷選項A；根據中位數大小判斷選項B；根據方差大小判斷選項C；根據眾數定義，題中數據無法得出眾數，故選項D無法判斷.
【詳解】甲、乙兩班成績的平均數都是135，故兩班成績的平均水平相同，故A正確；
甲、乙兩班人數相同，但甲班成績的中位數為149，乙班成績的中位數為151，
則甲班每分鐘輸入漢字數個的人數至多為人，乙班每分鐘輸入漢字數個的人數人，
則乙班每分鐘輸入漢字數個的人數要多于甲班，故B正確；
，則甲班成績不如乙班穩定，即甲班成績波動較大，故C正確；
由題表看不出兩班學生成績的眾數，故D不正確.
故選：D.
二、多選題
7．（2023上·高一課時練習）下面的抽樣方法不是分層隨機抽樣的是（ ）
A．在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎
B．某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格
C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見
D．用抽簽法從10件產品中抽取3件進行質量檢驗
【答案】ABD
【分析】根據分層抽樣的定義逐個分析判斷
【詳解】對AB，不是分層隨機抽樣，因為抽取的個體間的間隔是固定的；
對于C，是分層隨機抽樣，因為總體的個體有明顯的層次；
對于D，是簡單隨機抽樣．
故選：ABD
8．（2023上·全國·高三專題練習）習近平總書記強調，要堅持健康第一的教育理念，加強學校體育工作，推動青少年文化學習和體育鍛煉協調發展．某學校對高一年級學生每周在校體育鍛煉時長(單位：小時)進行了統計，得到如下頻率分布表：
分組
頻率 0.25 0.30 0.20 0.25
則下列關于高一年級學生每周體育鍛煉時長的說法中正確的是（ ）
A．眾數約為2.5
B．中位數約為3.83
C．平均數為3.95
D．第80百分位數約為5.2
【答案】BCD
【分析】根據眾數的定義，中位數的定義，平均數的定義，百分位數的定義即可求解．
【詳解】對A，因為最大頻率的組的中點值為3.5，則眾數大約為3.5，故A錯誤；
對B，由表可知，中位數在第二組中，設其為，
則，解得，故B正確；
對C，因為平均數為，故C正確；
對D，因為前三組的頻率和為0.75，則第80百分位數位于第4組，設其為，
可得，解得，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題
9．（2023上·上海楊浦·高三復旦附中校考期中）已知某班全體學生在某次數學考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a所代表的數值是 .
【答案】0.015
【分析】根據頻率分布直方圖結合頻率和為1運算求解.
【詳解】由頻率分布直方圖可知每組頻率依次為：，
則，解得.
故答案為：0.015.
10．（2023下·上海·高二專題練習）已知甲、乙兩組數據如莖葉圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中m，n的比值 ．
【答案】
【分析】先分別計算甲組和乙組數據的中位數和平均數，再根據它們的中位數相同，平均數也相同，求出m，n，從而得解.
【詳解】由莖葉圖得到甲組數據的中位數為，乙組的中位數為，所以，解得；
甲組的平均數=乙組的平均數，所以，解得；
所以；
故答案為：.
11．（2023上·上海黃浦·高三統考期中）某校共有400名學生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學生的競賽成績均不低于90分．將這400名學生的競賽成績分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為 ．
【答案】
【分析】由頻率分布直方圖的面積和為求出，再計算出結果即可.
【詳解】由頻率分布直方圖可知，解得，
這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為，
故答案為：
四、解答題
12．（2023上·浙江杭州·高二校聯考期中）某市政府為了倡議市民節約用電，計劃對居民生活用電費用實施階梯式電價制度，即確定一戶居民月均用電量標準 a，用電量不超過 a的部分按照平價收費，超出部分按議價收費．為了確定一個合理的標準，從某小區抽取了100戶居民進行用電量調查單位，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求x的值：
(2)求被調查用戶的月用電量平均值：同一組數據用該區間的中點值作代表
(3)若使居民用戶的水費支出不受影響，應確定a值為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接根據概率和為1計算得到答案.
（2）直接根據平均值公式計算得到答案.
（3）確定分位數在之間，計算得到答案.
【詳解】（1），解得；
（2）
；
（3）；
；
故分位數在之間，設為，
，
解得.
13．（2023上·重慶北碚·高二西南大學附中校考期中）某研究小組發現某藥物X對神經沖動的產生有明顯的抑制作用，稱為“麻醉”.該研究小組進行大量實驗，刺激突觸前神經元時，記錄未加藥物X和加藥物X后突觸前神經元的動作電位（單位：mV），在大量實驗后，得到如下頻率分布直方圖.

利用動作電位的指標定一個判斷標準，需要確定一個臨界值c.當動作電位小于c時判定為“麻醉”，大于或等于c時判定為“未麻醉”.該檢測漏判率是將添加藥物X的被判定為“未麻醉”的概率，記為；誤判率是將未添加藥物X的被判定為“麻醉”的概率，記為.
(1)當漏判率為時，求臨界值c；
(2)令函數，當時，求的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根據題意由第二個頻率分布直方圖的頻率可求出；
（2）根據題意得出的解析式，再根據一次函數的單調性即可求解.
【詳解】（1）依題可知，漏判率為，
右邊第二個頻率分布直方圖圖形中后兩個小矩形的面積分別為，
因為，所以，所以，解得；
（2）當時，，
因為函數在上單調遞增，所以，
所以在區間的最小值為.
14．（2023上·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，，記.試驗結果如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率的中位數和極差；
(2)設的樣本平均數為z，樣本方差為.判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.
【答案】(1)中位數：546.5；極差：74
(2)有顯著提高
【分析】（1）根據中位數和極差的定義計算即可；
（2）根據平均數與方差公式計算z與，計算比較大小即可.
【詳解】（1）根據表格將這十次試驗中甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率按大小順序排列，可得中位數為，極差位；
（2）由表格可知
序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
9 6 8 -8 15 11 19 18 20 12
故，
，
所以，
顯然有顯著提高.
【考點2】概率
一、單選題
1．（2023下·北京通州·高一統考期中）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，該試驗的樣本空間中樣本點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】利用基本事件的定義，列舉即可．
【詳解】先后拋擲兩枚質地均勻的硬幣，有先后順序，
則此試驗的樣本空間為（正面，正面），（正面，反面），（反面，正面），（反面，反面）．
故選：C.
2．（2023·廣東·高三學業考試）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是紅球
C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D．至少有一個黑球與至少有一個紅球
【答案】C
【分析】先寫出從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球所包含的基本事件，再根據選項寫出各事件的基本事件，利用互斥事件與對立事件的定義判斷即可.
【詳解】根據題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，
則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；
B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab， 都是紅球的基本事件為AB，
兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；
C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，
兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；
D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb， 兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.
故選：C.
3．（2023上·四川·高三統考學業考試）某同學計劃在四大名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》中隨機選一本作為課外讀本，則《紅樓夢》恰好被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】直接計算概率即可.
【詳解】《紅樓夢》恰好被選中的概率為.
故選：D.
4．（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手機支付已經成為人們幾乎最常用的付費方式.某大型超市為調查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100名顧客進行調查，記錄結果整理如下表.從這100名顧客中隨機抽取1人，則該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為（ ）.
顧客年齡（歲） 20歲以下 70歲及以上
手機支付人數 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人數 0 0 2 9 5 5 1
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由題意，算出100名顧客中，顧客年齡在且未使用手機支付的的人數，結合古典概型的概率公式，進而可以得到未使用手機支付的概率.
【詳解】在隨機抽取的100名顧客中，顧客年齡在內且未使用手機支付的共有（人），
所以從該超市隨機抽取1名顧客，估計該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為.
故選：D.
5．（2023上·浙江·高二蕭山二中校聯考期中）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，設事件“第一次點數為偶數”，事件“第二次點數為3的倍數”，則（ ）
A．與是互斥事件 B．與是互為對立事件
C． D．
【答案】C
【分析】利用古典概型的概率公式，結合互斥事件與對立事件的定義即可得解.
【詳解】依題意，一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
事件的基本事件有件，事件的基本事件有件，
所以，
故，，
所以與不是互斥事件，更不是對立事件，故ABD錯誤，C正確.
故選：C.
6．（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實驗高中校考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．有一批產品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產品中必有10件是次品
B．拋100次硬幣，結果51次出現正面，則出現正面的概率是0.51
C．隨機事件發生的概率就是這個隨機事件發生的頻率
D．擲骰子100次，得點數為6的結果有20次，則出現6點的頻率為0.2
【答案】D
【分析】根據頻率與概率的區別，概率的定義和性質進行判斷．
【詳解】對于A，實驗中，出現的某種事件的頻率總在一個固定的值的附近波動，
并不是一個確定的值，一批產品次品率為0.05，
則從中任取200件，次品的件數在10件左右，而不一定是10件，A錯誤；
對于B，100次并不是無窮多次，
只能說明這100次試驗出現正面朝上的頻率為，故B錯誤；
對于C，根據定義，隨機事件的頻率只是概率的近似值，它并不等于概率，C錯誤；
對于D，頻率估計概率，頻率為出現的次數與重復試驗的次數的比值，
拋擲骰子100次，得點數是6的結果有20次，則出現1點的頻率是，D正確.
故選：D.
二、多選題
7．（2023·全國·模擬預測）下列說法中正確的是（ ）
A．用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1
B．已知一組數據1，2，m，6，7的平均數為4，則這組數據的方差是
C．數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數是23
D．若樣本數據的標準差為8，則數據的標準差為32
【答案】AB
【分析】A選項，根據分層抽樣的定義和概率性質得到答案；B選項，根據平均數公式得到方程，求出，再利用方差公式計算出結果；C選項，先對數據從小到大排序，再根據百分位數定義計算即可；D選項，先得到的方差，根據方差性質得到的方差，進而得到其標準差.
【詳解】A選項，個體m被抽到的概率為，A正確；
B選項，已知一組數據1，2，m，6，7的平均數為4，則，
解得，
，
則這組數據的方差是，B正確；
C選項，數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23共10個數，
從小到大排列為12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，
由于，故選擇第7和第8個數的平均數作為第70百分位數，
即，所以第70百分位數是23.5，C錯誤；
D選項，若樣本數據的標準差為8，則的方差為64，
設的平均數為，則，
，
又，
故，
則的標準差為，D錯誤．
故選：AB
8．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校校考期中）將一枚質地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數，設事件“記下的點數為3”，事件“記下的點數為偶數”，事件“記下的點數小于3”，事件“記下的點數大于2”，則（ ）
A．事件與互斥 B．事件與互斥
C．事件與對立 D．事件與對立
【答案】ABD
【分析】根據互斥事件、對立事件的定義判斷即可.
【詳解】依題意骰子面朝上的點數可能為、、、、、共個基本事件，
則事件“記下的點數為偶數”包含、、共個基本事件，
事件“記下的點數小于3” 包含、共個基本事件，
事件“記下的點數大于2”包含、、、共個基本事件，
所以事件與互斥，故A正確；
事件與互斥，故B正確；
事件與不互斥也不對立，故C錯誤；
事件與互斥且對立，故D正確；
故選：ABD
三、填空題
9．（2022上·高一單元測試）（1）隨機現象的發生能夠人為控制其發生或不發生；
（2）隨機現象的結果是可以預知的；
（3）不可能事件反映的是確定性現象；
（4）已經發生的事件一定是必然事件.以上說法正確的有 .
【答案】（3）
【分析】根據隨機事件、確定性事件的定義逐項判斷，可得出結果.
【詳解】隨機現象不能人為控制，結果無法預知，所以（1）（2）錯誤；
不可能事件反映的是確定性現象，所以（3）正確；
已經發生的事件以后不一定發生，所以（4）錯誤.
故答案為：（3）.
10．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機產生1~5之間的隨機數，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝 經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
據此估計甲獲得冠軍的概率為 .
【答案】
【分析】由13組數據表示甲獲得冠軍，從而估計出概率.
【詳解】20組數據中，共13組數據表示甲獲得冠軍，
故估計甲獲得冠軍的概率為.
故答案為：
11．（2023上·四川綿陽·高二綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）甲、乙兩名運動員進入男子羽毛球單打決賽，假設比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組，產生20組隨機數：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
據此估計甲獲得冠軍的概率為 ；
【答案】/
【分析】根據題意找出甲獲勝的情況，然后利用古典概型的概率公式求解.
【詳解】由題意得甲獲勝的情況有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共13種，
所以估計甲獲得冠軍的概率為.
故答案為：
四、解答題
12．（2023上·湖北鄂州·高二校聯考期中）一題多解是由多種途徑獲得同一數學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數學解題更加豐富而多彩．假設某題共存在4種常規解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．
(1)求的值；
(2)求小紅不能正確解答本題的概率；
(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．
【答案】(1)；
(2)；
(3).
【分析】（1）根據給定條件，利用相互獨立事件的概率公式計算得解.
（2）利用對立事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.
（3）利用互斥事件及相互獨立事件的概率公式計算得解.
【詳解】（1）記小紅使用解法一、二、三、四答對分別為事件，則，
因為各種解法能否答對互不影響，且全部答對的概率為，
于是，解得，
所以.
（2）若小紅不能正確解答本題，則說明小紅任何方法都不會，
所以小紅不能正確解答本題的概率是．
（3）記事件為小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對，
則
，
所以小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率為．
13．（2023·全國·模擬預測）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰國初期的魯班發明，它看似簡單，卻凝結著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣點，也是手工制作的關鍵．某玩具公司開發了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據銷售部市場調研分析，得到相關數據如下（單件成本利潤率＝利潤÷成本）：
甲款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 10% 8% 4%
頻數 10 60 30
乙款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 7.5% 5.5% 3%
頻數 50 30 20
(1)用頻率估計概率，從這200件產品中隨機抽取一件，求該產品是一等品的概率；
(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤．
【答案】(1)
(2)甲魯班鎖玩具所獲得的利潤1400元；乙魯班鎖玩具所獲得的利潤1200元
【分析】（1）用頻率估計概率,利用頻率公式即可求；
（2）分別求出甲、乙兩種魯班鎖一等品、二等品、三等品的利潤，進而得到兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤.
【詳解】（1）用頻率估計概率，從這200件產品中隨機抽取一件，該產品是一等品的概率為．
（2）甲款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），
二等品的利潤為（元），
三等品的利潤為（元），
故100件甲款魯班鎖玩具的利潤為（元）．
乙款魯班鎖玩具一等品的利潤為（元），
二等品的利潤為（元），
三等品的利潤為（元），
故100件乙款魯班鎖玩具的利潤為（元）．
14．（2023上·云南·高二校聯考期中）某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛三年后，公司將給予適當金額的購車補貼．某調研機構對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預期值進行了抽樣調查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．其中．
(1)估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預期值的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數；（精確到0.01）
(2)現在要從購車補貼金額的心理預期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行調查，求抽到2人中購車補貼金額的心理預期值都在間的概率．
【答案】(1)平均數的估計值為萬元，中位數的估計值為萬元；
(2)．
【分析】（1）由于，利用頻率分布直方圖中每組數據區間的中點值乘以相應頻率相加可求得平均數，判斷中位數對應的區間，求出頻率對應的值即為中位數；
（2）先算出從購車補貼金額的心理預期值在 的6人中，在 間的有4人，然后根據列舉法列出所有可能的基本事件15種，選出都在預期值間的情況6種，利用古典概型計算公式，即可求解．
【詳解】（1）解：根據題意，因為，結合頻率分布直方圖中的平均數的計算公式，
可得數據的平均數的估計值為：
萬元，
因為，則中位數在區間內，
設中位數為，則，解得，
所以中位數的估計值為萬元．
（2）解：從購車補貼金額的心理預期值在[3，5）間用分層抽樣的方法抽取6人，
則購車補貼金額的心理預期值在[3，4）間的有4人，記為a，b，c，d，
購車補貼金額的心理預期值在[4，5）間的有2人，記為A，B，
則基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，A），（a，B），（b，c），（b，d），（b，A），（b，B），（c，d），（c，A），（c，B）（d，A），（d，B），（A，B），共15種情況，
其中購車補貼金額的心理預期值都在[3，4）間有（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），共6種情況，
所以抽到2人中購車補貼金額的心理預期值都在間的概率．
【考點3】統計與概率的應用
一、單選題
1．（2023上·全國·高三專題練習）2022年7月15日，國家統計局發布了2022年上半年居民人均消費支出及構成情況如圖所示，根據圖中的信息，針對2022年上半年，下列結論不正確的是（　　）
A．居民在“教育文化娛樂”上的人均消費支出的占比為9.8%
B．居民人均消費支出為11440元
C．居民在“居住”“生活用品及服務”“醫療保健”上的人均消費支出之和大于在“食品煙酒”上的人均消費支出
D．居民在“衣著”上的人均消費支出比在“交通通信”上的人均消費支出的一半少
【答案】D
【分析】根據餅狀圖的信息可對各個選項進行分析運算即可判斷，從而得出結論.
【詳解】對于A，由題中餅狀圖可知，居民在“教育文化娛樂”上的人均消費支出的占比為：
，故A正確；
對于B，居民在“其他用品及服務”上的人均消費支出為286元，占比2.5%，
所以居民人均消費支出為 （元），故B正確；
對于C，居民在“居住”“生活用品及服務”“醫療保健”上的人均消費支出之和占比為 ，
在“食品煙酒”上的人均消費支出占比為30.8%， ，故C正確；
對于D，居民在“衣著”上的人均消費支出的占比為6.5%，在“交通通信”上的人均消費支出的占比為12.7%， ，故D錯誤.
故選：D.
2．（2023下·四川成都·高二校聯考期中）2023年2月28日國家統計局發布《2022年國民經濟和社會發展統計公報》，其中對近幾年國內生產總值及其增長速度（如圖1）和三次產業增加值占國內生產總值比重（如圖2）做了統計，下列說法錯誤的是（ ）


A．從2018年至2022年，國內生產總值逐年增加
B．從2018年至2022年，2021年的國內生產總值的增長速度最大
C．從2018年至2022年，第三產業增加值占國內生產總值比重逐年減少
D．從2018年至2022年，第三產業增加值逐年增加
【答案】C
【分析】根據已知的統計圖即可逐個選項判斷.
【詳解】根據圖1看出，
從2018年至2022年，國內生產總值逐年增加，A正確；
2021年的國內生產總值的增長速度最大且為8.4，B正確；
根據圖2看出，
從2018年至2020年，第三產業增加值占國內生產總值比重逐年增加，
從2020年至2022年，第三產業增加值占國內生產總值比重逐年減少，C錯；
第三產業增加值，從2018年至2022年依次為：
，，
，，
，第三產業增加值逐年增加，D正確.
故選：C
3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又稱七巧圖，智慧板，是一種古老的中國傳統智力玩具.據清代陸以湉《冷廬雜識》說：“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變為六十八名.明嚴澈蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯形，如蝶翅.其式三，其制六，其數十有三，其變化之式，凡一百有余.近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.”如圖是一個用七巧板拼成的三角形（其中①②為兩塊全等的小型等腰直角三角形；③為一塊中型等腰直角三角形；④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形；⑥為一塊正方形；⑦為一塊平行四邊形）.現從該三角形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】數形結合，通過對圖形的各點標記，以及各塊幾何圖的性質,進行邊長運算即可得出結論.
【詳解】如圖，

為等腰直角三角形， 連接,
由題可知， 分別為的中點，
設，則,, , ,
則,
陰影部分②的面積為,
陰影部分⑦的面積為
則從該三角形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為，
故選：B.
4．（2021·山西·統考一模）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學用邊長為4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先逐個求解所有5個三角形的面積，再根據要求計算概率.
【詳解】如圖所示，，，，，的面積分別為，，．
將，，，，分別記為，，，，，從這5個三角形中任取出2個，則樣本空間，共有10個樣本點．
記事件表示“從5個三角形中任取出2個，這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和”，則事件包含的樣本點為，，，共3個，所以．
故選：D．
5．（2021·高一課時練習）如圖所示是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】利用百分位數的定義即可得解；
【詳解】由折線圖可知，這10天的最低氣溫按照從小到大的順序排列為：，，，，0，0，1，2，2，2，
因為共有10個數據，所以是整數，
則這10天最低氣溫的第80百分位數是．
故選：D
6．（2019·福建·校聯考三模）為比較甲、乙兩名學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）
A．乙的數據分析素養優于甲 B．乙的數學建模素養優于數學抽象素養
C．甲的六大素養指標值波動性比乙小 D．甲的六大素養中直觀想象最差
【答案】C
【分析】根據所給的六大素養雷達圖逐個分析即可.
【詳解】A選項,甲的數據分析素養為分, 乙的數據分析素養為分, 乙的數據分析素養低于甲,選項錯誤;
B選項,乙的數學建模素養為分, 乙的數學抽象為素養分,選項錯誤;
C選項, 甲的六大素養指標值分別為,,,,,;乙的六大素養指標值分別為,,,,,,甲的六大素養指標值波動性比乙小,選項正確;
D選項,由C可知,甲的六大素養中,數學抽象,數學建模和數學運算最差,直觀想象最最好,選項錯誤;
故選C.
【點睛】本題考查了命題真假的判斷以及統計圖雷達圖的識別和應用,考查學生簡單的推理,屬于基礎題.
二、多選題
7．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）某校在開展的“體育節”活動中，為了解學生對“體育節”的滿意程度，組織學生給活動打分（分數為整數，滿分100分），發現分數均在內，從中隨機抽取一個容量為300的樣本，并將這些數據分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖所示），則下列說法中正確的是（ ）

A．樣本中分數落在的頻數為45人 B．樣本的眾數為75分
C．樣本的平均數為75分 D．樣本的80百分位數為85分
【答案】AB
【分析】根據頻率分布直方圖得到各組概率，根據概率和為1得到分數落在的頻率進而求解其頻數，從而判斷A；根據頻率最高的區間得到眾數，從而判斷B；根據頻率分布直方圖的平均數與百分位數求法計算，從而判斷C和D.
【詳解】設分數落在的頻率為，
由題意得，各組頻率依次為，，，，，，
所以，解得.
對于A，樣本中分數落在的頻數為人，故A正確；
對于B，由題意知，樣本中的頻率最高，所以眾數為75分，故B正確；
對于C，樣本的平均數為分，故C錯誤；
對于D，分數小于80的頻率為，分數小于90的頻率為，所以樣本的80百分位數位于，設為，
則，解得，故D錯誤.
故選：AB
8．（2021下·高一單元測試）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．甲獲勝的概率是 B．甲不輸的概率是
C．乙輸的概率是 D．乙不輸的概率是
【答案】BCD
【分析】由對立事件、互斥事件、并事件的概率計算公式代入計算，對選項逐一判斷.
【詳解】“甲獲勝”是“和棋或乙獲勝”的對立事件，所以“甲獲勝”的概率是，故A正確；設甲不輸為事件A，則事件A是“甲獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以，故B錯誤；“乙輸”的概率即“甲獲勝”的概率，為，故C錯誤；設乙不輸為事件B，則事件B是“乙獲勝”和“和棋”這兩個互斥事件的并事件，所以，故D錯誤；
故選：BCD
三、填空題
9．（2023·高一課時練習）口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一個，摸出紅球或白球的概率為，摸出白球或黑球的概率為，那么口袋中共有白球、紅球、黑球各 個．
【答案】35，40，25
【分析】先根據概率計算對應顏色球的個數，結合總數100可得.
【詳解】由題意，紅球和白球的個數為，
白球和黑球的個數為，
所以白球個數為，
紅球的個數為，
黑球的個數為，
故答案為：35，40，25
10．（2020·高一課時練習）設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球，我們可以認為這球是從 箱中取出的.
【答案】甲.
【解析】分別求出甲箱中取到白球的概率和乙箱中取到白球的概率，由此進行判斷．
【詳解】解：甲箱有99個白球1個黑球，
隨機地取出一球，得白球的可能性是，
乙箱中有1個白球和99個黑球，從中任取一球，得白球的可能性是，
由此看到，這一白球從甲箱中抽出的概率比從乙箱中抽出的概率大得多．
既然在一次抽樣中抽得白球，當然可以認為是由概率大的箱子中抽出的．
我們作出推斷是從甲箱中抽出的．
故答案為：甲
【點睛】本題考查概率的應用，屬于基礎題，解題時要認真審題，注意概率的計算．
11．（2023·四川自貢·統考二模）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則 .
【答案】/
【分析】通過計算三個半圓的面積，表示陰影部分的面積，利用幾何概型的概率計算公式即可得出答案.
【詳解】解：陰影部分面積為：
由圖可知：，所以
則，
因為在半圓О內隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，
所以，
，即，則
解得：，因為，
所以.
故答案為：.
四、解答題
12．（2022上·浙江·高二校聯考期中）某山村海拔較高，交通極為不便，被稱為“云端上的村莊”，系建檔立卡貧困村.民政部門為此組建了精準扶貧隊對該村進行定點幫扶，扶貧組在實地調研后，立足當地獨特優勢，大力發展鄉村經濟，帶動全村父老鄉親脫貧奔小康.為了解貧困戶的幫扶情況，該地民政部門從本村的貧困戶中隨機抽取100戶對去年的年收入進行了一個抽樣調查，得到如下表所示的頻數表：
收入（千元）
頻數 15 10 35 20 10 10
(1)估計本村的貧困戶的年收入的眾數、第75百分位數；
(2)用分層抽樣的方法從這100戶貧困戶抽取20戶貧困戶進行幫扶，若再從抽樣調查收入在和的貧困戶中隨機選取2戶作為重點幫扶對象，求至少有一戶來自收入在千元的概率；
【答案】(1)11，13.5；
(2).
【分析】（1）根據頻數表求眾數及百位數即可；
（2）根據分層抽樣可得在和范圍抽取的貧困戶數分別為3戶和2戶，再利用古典概型計算概率即可.
【詳解】（1）眾數為；
由于前三組的頻率之和為，
前四組的頻率之和為
∴第75百分位數在第4組中，
設第75百分位數為，則有：，解得：，
即第75百分位數為13.5；
（2）由頻數表及分層抽樣可知在收入范圍內抽取的戶數為，在收入范圍內抽取的戶數，
記年收入在的3名貧困戶分別為A，，，年收入在的2名貧困戶分別為，，
則從中隨機抽取2戶的所有可能結果為：，，，，，，，，，共10種，
其中抽到至少有一名在的貧困戶的可能結果：，，，，，，有7種，
故年收入在的貧困戶至少有1人被抽到的概率：.
13．（2023下·天津河東·高一統考期末）人類的四種血型與基因類型的對應為：O型的基因類型為ii，A型的基因類型為ai或aa，B型的基因類型為bi或bb，AB型的基因類型為ab.其中a和b是顯性基因，i是隱性基因.孩子分別繼承父母一個基因，組成一個基因類型，則
(1)若一對夫妻的血型一個是A型，一個是AB型，分析他們子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
(2)父母為哪種血型時，孩子的血型不可能為O型（寫出結論即可）
【答案】(1)；；；；
(2)父母有一方是AB血型時，孩子的血型不可能為O型.
【分析】（1）列舉所有基本事件，然后求出個事件包含的個數，利用古典概型概率公式求解即可；
（2）求出各個血型的概率，即可得出結論.
【詳解】（1）若一對夫妻的血型一個是A型，一個是AB型，
則他們子女血型的基因的可能結果如下：aa，ab，ai，bi，aa，ab，aa，ab共8個，
O型的基因類型有0個，A型的基因類型有4個，B型的基因類型有1個，AB型的基因類型有3個，
故他們子女的血型是O的概率為，他們子女的血型是A的概率為，
他們子女的血型是B型的概率為，他們子女的血型是AB型的概率為；
（2）當父母的血型一個是A型，一個是AB型時，孩子的血型不可能為O型；
當父母的血型都是AB型時，子女血型的基因的可能結果如下：aa，ab，ab，bb共4個，
O型的基因類型有0個，故子女的血型是O的概率為，即孩子的血型不可能為O型；
當父母的血型一個是B型，一個是AB型時，則子女血型的基因的可能結果如下：ab，bb，ai，bi，ab，bb，ab，bb共8個，
O型的基因類型有0個，故子女的血型是O的概率為，即孩子的血型不可能為O型；
當父母的血型一個是O型，一個是AB型時，則子女血型的基因的可能結果如下：ai，ai，ai，bi共4個，O型的基因類型有0個，
故子女的血型是O的概率為，即孩子的血型不可能為O型；
綜上，父母有一方是AB血型時，孩子的血型不可能為O型.
14．（2023下·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）某校為了解學生每日行走的步數，在全校3000名學生中隨機抽取200名，給他們配發了計步手環，統計他們的日行步數，按步數分組，得到頻率分布直方圖如圖所示，

(1)求的值，并求出這200名學生日行步數的樣本眾數、中位數、平均數；
(2)學校為了鼓勵學生加強運動，決定對步數大于或等于13000步的學生加1分，計入期末三好學生評選的體育考核分，估計全校每天獲得加分的人數.
【答案】(1)的值為0.1，眾數為千步，中位數為千步，平均數為9.44千步
(2)360
【分析】（1）結合頻率分布直方圖，根據概率之和為1求出的值，進而結合圖求解樣本眾數、中位數、平均數；
（2）根據已知條件求出步數大于或等于13000步的學生的頻率，從而估計全校每天獲得加分的人數即可.
【詳解】（1）根據頻率分布直方圖可知，各組頻率依次為，，，，，，，，
所以，
解得；
因為組頻率最高，所以樣本眾數為千步；
步數小于8的頻率為，步數小于10的頻率為，所以中位數在之間，記為x，
則，解得，
所以中位數為千步；
平均數為，
所以平均數為9.44千步.
（2）由表可知，大于或等于13000步的學生頻率為，
將頻率看作概率，
則全校每天獲得加分的人數約為（人），
所以估計全校每天獲得加分的人數為360.第五章 統計與概率
單元復習
【知識梳理】
一、普查與抽樣調查
(1)普查
①定義：一般地，對總體中每個個體都進行考察的方法稱為普查(也稱為全面調查).
②優點：普查能夠了解總體中每個個體的情況，從而能準確地掌握總體的特征.
③適用條件：在總體包含的個體總數不大，或有特殊需要的情況下，可以采用普查的方法.
(2)抽樣調查
①定義：只抽取樣本進行考察的方法稱為抽樣調查.
②適用條件：普查的方法有時會因為各種原因而無法實施，例如成本太高、時間上不容許、考察方法具有破壞性等，此時就采用抽樣調查.
二、簡單隨機抽樣
(1)定義：一般地，簡單隨機抽樣就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等完全隨機地抽取個體.
(2)特點：總體中的每一個個體都有相等的機會被抽到.
(3)適用范圍：
當總體中的個體之間差異程度較小和總體中個體數目較少時，通常采用這種方法.
(4)常見的簡單隨機抽樣方法有抽簽法、隨機數表法.
①抽簽法的優缺點
抽簽法的優點是簡單易行，缺點是當總體的容量非常大時，操作起來就比較麻煩，而且如果抽取之前攪拌不均勻，可能導致抽取的樣本不具有代表性.
②隨機數表法
用隨機數表進行簡單隨機抽樣的一般步驟為：
(ⅰ)對總體進行編號.
(ⅱ)在隨機數表中任意指定一個開始選取的位置.位置的確定可以隨機確定，也可用其他方式隨機確定.
(ⅲ)按照一定規則選取編號.例如，若編號是兩位，規則可以是每次從左往右選取兩個數字，也可以是每次只選取每一組的前兩個數字，還可以是每次只選取下面一行同一位置對應的兩個數字，等等.規則一經確定，就不能更改.在選取過程中，遇到超過編號范圍或已經選取了的數字，應該舍棄.
(ⅳ)按照得到的編號找出對應的個體.
三、分層抽樣
(1)定義：一般地，如果相對于要考察的問題來說，總體可以分成有明顯差別的、互不重疊的幾部分時，每一部分可稱為層，在各層中按層在總體中所占比例進行隨機抽樣的方法稱為分層隨機抽樣(簡稱為分層抽樣).
(2)作用：通過分層抽樣所得到的樣本，一般更具有代表性，可以更準確地反映總體的特征.
四、最值、平均數、中位數、百分位數、眾數
(1)最值
一組數據的最值指的是其中的最大值與最小值，最值反映的是這組數最極端的情況.
(2)平均數
①定義：如果給定的一組數是x1，x2，…，xn，則這組數的平均數為＝(x1＋x2＋…＋xn).這一公式在數學中常簡記為＝xi，
②性質：一般地，如果x1，x2，…，xn的平均數為，且a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均數為a＋b.
(3)中位數、百分位數
①中位數：一般地，如果一組數有奇數個數，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n＋1，則稱xn＋1為這組數的中位數；如果一組數有偶數個數，且按照從小到大排列后為x1，x2，…，x2n，則稱為這組數的中位數.
②百分位數：設一組數按照從小到大排列后為x1，x2，…，xn，計算i＝np%的值，如果i不是整數，設i0為大于i的最小整數，取xi0為p%分位數；如果i是整數，取為p%分位數.特別地，規定：0分位數是x1(即最小值)，100%分位數是xn(即最大值).
(4)眾數：一組數據中，某個數據出現的次數稱為這個數據的頻數，出現次數最多的數據稱為這組數據的眾數.
五、極差、方差與標準差
(1)極差：一組數的極差指的是這組數的最大值減去最小值所得的差.極差反映了一組數的變化范圍.
(2)方差
①定義：如果x1，x2，…，xn的平均數為，則方差可用求和符號表示為
②性質：如果a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差為a2s2.
(3)標準差
①定義：方差的算術平方根稱為標準差.一般用s表示，即樣本數據x1，x2，…，xn的標準差為
②性質：如果a，b為常數，則ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的標準差為|a|s.
③作用：如果一組數中，各數據值都相等，則標準差為0，表明數據沒有波動，數據沒有離散性；若各數的值與平均數的差的絕對值較大，則標準差也較大，表明數據的波動幅度也較大，數據的離散程度較高，因此標準差(或方差)描述了數據相對于平均數的離散程度.
六、柱形圖、折線圖、扇形圖和莖葉圖
(1)柱形圖
①柱形圖(也稱為條形圖)可以形象地比較各種數據之間的數量關系.
②特點：柱形圖(也稱為條形圖)中，一條軸上顯示的是所關注的數據類型，另一條軸上對應的是數量、個數或者比例，柱形圖中每一矩形都是等寬的.
(2)折線圖
一般地，如果數據是隨時間變化的，想了解數據的變化情況，可將數據用折線圖來表示.
(3)扇形圖
扇形圖可以形象地表示出各部分數據在全部數據中所占的比例情況.扇形圖中，每一個扇形的圓心角以及弧長，都與這一部分表示的數據大小成正比.
(4)莖葉圖
一般來說，莖葉圖中，所有的莖都豎直排列，而葉沿水平方向排列.莖葉圖也可以只表示一組數.“葉”是從“莖”的旁邊生長出來的數.莖葉圖通常用來記錄兩位數的數據，把兩位數的十位數字作為“莖”，個位數字作為“葉”，莖相同者共用一個莖，莖按從小到大的順序從上往下排列.將一組數整理成莖葉圖后，如果每一行的數都是按從大到小(或從小到大)順序排列，則從中可以方便地看出這組數的最值、中位數等數字特征.
七、頻數分布直方圖與頻率分布直方圖
(1)頻數與頻率
①頻數：在一組數據中，數據出現的次數稱為頻數，某個區間內的數據的個數稱為區間對應的頻數.
②頻率：在一組數據中，數據的頻數與這組數據總個數的比稱為頻率，區間對應的頻數與這組數據總個數的比稱為區間對應的頻率.
(2)頻數、頻率分布直方圖及其折線圖
①頻率分布直方圖制作的方法步驟
②
③頻數分布直方圖與頻率分布直方圖的區別
頻數分布直方圖的縱坐標是頻數，每一組數對應的矩形高度與頻數成正比；頻率分布直方圖的縱坐標是，每一組數對應的矩形高度與頻率成正比，而且每個矩形的面積等于這一組數對應的頻率．
④頻數分布折線圖和頻率分布折線圖的制作方法
把每個矩形上面一邊的中點用線段連接起來．為了方便看圖，折線圖都畫成與橫軸相交，所以折線圖與橫軸的左右兩個交點是沒有實際意義的．
八、用樣本估計總體
用樣本的分布估計總體的分布
（1）一般情況下，如果樣本的容量恰當，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征.特別地，樣本平均數（也稱為樣本均值）、方差（也稱為樣本方差）與總體對應的值相差不會太大.
（2）在容許一定誤差存在的前提下，可以用樣本的數字特征去估計總體的數字特征.
（3）分層抽樣的平均數、方差
假設第一層有m個數，分別為x1，x2，…，xm，平均數為，方差為s2；第二層有n個數，分別為y1，y2，…，yn，平均數為，方差為t2.
如果記樣本均值為，樣本方差為b2，則＝＝，
b2＝＝.
九、概率
（1）必然現象與隨機現象
①一定條件下，發生的結果事先不能確定的現象就是隨機現象.
②發生的結果事先能夠確定的現象就是必然現象.
（2）樣本點和樣本空間
①隨機試驗
把在相同條件下，對隨機現象所進行的觀察或實驗稱為隨機試驗Ｗ.
②樣本點和樣本空間
把隨機試驗中每一種可能出現的結果，都稱為樣本點，把由所有樣本點組成的集合稱為樣本空間.
（3）隨機事件、必然事件、不可能事件
①隨機事件：如果隨機試驗的樣本空間為Ω，則隨機事件A是Ω的一個非空真子集.而且，若試驗的結果是A中的元素，則稱A發生；否則，稱A不發生.
②必然事件：任何一次隨機試驗的結果，一定是樣本空間Ω中的元素，因此可以認為每次試驗中Ω一定發生 ，從而稱Ω為必然事件；
③不可能事件：因為空集 不包含任何樣本點，因此可以認為每次試驗中 一定不發生，從而稱 為不可能事件Ｗ.
④事件的表示與基本事件
（ⅰ）不可能事件、隨機事件、必然事件都可簡稱為事件，通常用大寫英文字母A，B，C，…來表示.
（ⅱ）基本事件：只含有一個樣本點的事件稱為基本事件Ｗ.
（4）隨機事件發生的概率
①事件A發生的概率通常用P（A）表示.
②我們將不可能事件 發生的概率規定為0，將必然事件Ω發生的概率規定為1，
即P（ ）＝0，P（Ω）＝1Ｗ.
③對于任意事件A來說，顯然應該有P（ ）≤P（A）≤P（Ω），即0≤P（A）≤1.
十、事件之間的包含、相等、和與積
(1)事件的包含與相等
定義 表示法 圖示
包含關系 一般地，如果事件A發生時，事件B一定發生，則稱A包含于B(或B包含A) A B (或B A)
相等關系 A B且B A A＝B
(2)事件的和與積
定義 表示法 圖示
和 由所有A中的樣本點與B中的樣本點組成的事件稱為A與B的和(或并) A＋B (或A∪B)
積 由事件A，B中的公共樣本點組成的事件稱為A與B的積(或交) AB(或A∩B)
十一、事件的互斥與對立及概率加法公式
　(1)事件的互斥與對立
定義 表示法 圖示
互 斥 若事件A與B不能同時發生，則稱A與B互斥 AB＝ (或A∩B＝ )
對 立 由樣本空間Ω中所有不屬于事件A的樣本點組成的事件稱為A的對立事件 事件A的對立事件 記為
如果B＝，則稱A與B相互對立.
(2)互斥事件的概率加法公式
①互斥事件的概率加法公式：當A與B互斥(即AB＝ )時，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B).
②一般地，如果A1，A2，…，An是兩兩互斥的事件，則P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).
③P(A)＋P()＝1.
十二、古典概型
(1)古典概型
一般地，如果隨機試驗的樣本空間所包含的樣本點個數是有限的(簡稱為有限性)，而且可以認為每個只包含一個樣本點的事件(即基本事件)發生的可能性大小都相等(簡稱為等可能性)，則稱這樣的隨機試驗為古典概率模型，簡稱為古典概型.
(2)古典概型概率公式
古典概型中，假設樣本空間含有n個樣本點，如果事件C包含有m個樣本點，則P(C)＝.
十三、頻率與概率
用頻率估計概率
(1)在大量重復的試驗過程中，一個事件發生的頻率會很接近于這個事件發生的概率，而且試驗的次數越多，頻率與概率之間的差距很小的可能性越大.
(2)一般地，如果在n次重復進行的試驗中，事件A發生的頻率為，則當n很大時，可以認為事件A發生的概率P(A)的估計值為.此時也有0≤P(A)≤1.
十四、相互獨立事件的定義和性質
(1)定義：一般地，當P(AB)＝P(A)P(B)時，就稱事件A與B相互獨立(簡稱獨立).
(2)性質：如果事件A與B相互獨立，則與B，A與，與也相互獨立.
(3)n個事件相互獨立
“A1，A2，…，An相互獨立”的充要條件是“其中任意有限個事件同時發生的概率都等于它們各自發生的概率之積”.
十五、獨立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互獨立，則P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互獨立， 則P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An).
事件A，B的各種情形 概率公式
A，B同時發生 P(AB)＝P(A)P(B)
A，B都不發生 P( )＝P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－P(A)－P(B)＋P(A)P(B)
A，B至少有一個不發生 1－P(AB)＝1－P(A)P(B)
A，B至少有一個發生 1－P( )＝1－P()P()＝P(A)＋P(B)－P(A)P(B)
A，B恰好有一個發生 P(A＋B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝P(A)＋P(B)－2P(A)P(B)
十六、統計與概率的應用
概率是描述隨機事件發生可能性大小的度量，它已經滲透到人們的日常生活中，成為一個常用的詞匯，任何事件的概率是0～1(包含0，1)之間的一個數，它度量該事件發生的可能性.小概率事件(概率接近0)很少發生，而大概率事件(概率接近1)則經常發生.
【熱考題型】
【考點1】統計
一、單選題
1．（2023上·貴州六盤水·高二統考期中）某校有教師360人，其中高級及以上職稱教師240人，一級職稱教師80人，其他職稱教師40人，現采用分層抽樣從中抽取18人參加某項調研活動，則高級及以上職稱教師應抽取的人數是（ ）
A．2 B．4 C．9 D．12
2．（2023上·湖南邵陽·高三校考階段練習）假設你有一筆資金用于投資，現有三種投資方案供你選擇，這三種方案每天的回報如圖所示．橫軸為投資時間，縱軸為每天的回報，根據以上信息，若使回報最多，下列說法錯誤的是（ ）

A．投資3天以內（含3天），采用方案一
B．投資4天，不采用方案三
C．投資6天，采用方案一
D．投資9天，采用方案三
3．（2023上·全國·高三專題練習）工業生產者出廠價格指數(PPI)是反映工業企業產品第一次出售時的出廠價格的變化趨勢和變動幅度．根據下面提供的我國2020年1月－2021年12月的工業生產者出廠價格指數的月度同比(將上一年同月作為基期進行對比的價格指數)和月度環比(將上月作為基期進行對比的價格指數)漲跌情況的折線圖判斷，以下結論中正確的是（ ）
A．2020年各月的PPI在逐月增大
B．2020年各月的PPI均高于2019年同期水平
C．2021年1月～12月各月的PPI在逐月減小
D．2021年1月～12月各月的PPI均高于2020年同期水平
4．（2023上·全國·高三專題練習）某校高一年級1 000名學生的血型情況如圖所示.某課外興趣小組為了研究血型與飲食之間的關系，決定采用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本，則從高一年級A型血的學生中應抽取的人數是（　　）
A．11 B．22 C．110 D．220
5．（2023上·天津河北·高三統考期中）某班的全體學生參加數學測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數據的分組依次為，，，.若低于60分的人數是15，則該班的學生人數是（ ）

A．40 B．45 C．50 D．60
6．（2023上·全國·高三專題練習）甲、乙兩班舉行電腦漢字錄入比賽，參賽學生每分鐘錄入漢字的個數經統計計算后填入下表：
班級 參加人數 中位數 方差 平均數
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
下列結論中，不正確的是（ ）
A．甲、乙兩班學生成績的平均水平相同
B．乙班優秀的人數多于甲班優秀的人數（每分鐘輸入漢字數個為優秀）
C．甲班的成績比乙班的成績波動大
D．甲班成績的眾數小于乙班成績的眾數
二、多選題
7．（2023上·高一課時練習）下面的抽樣方法不是分層隨機抽樣的是（ ）
A．在某年明信片銷售活動中，規定每100萬張為一個開獎組，通過隨機抽取的方式確定號碼的后四位為2709的為三等獎
B．某車間包裝一種產品，在自動包裝的傳送帶上，每隔30分鐘抽一包產品，稱其重量是否合格
C．某學校分別從行政人員、教師、后勤人員中抽取2人、14人、4人了解對學校機構改革的意見
D．用抽簽法從10件產品中抽取3件進行質量檢驗
8．（2023上·全國·高三專題練習）習近平總書記強調，要堅持健康第一的教育理念，加強學校體育工作，推動青少年文化學習和體育鍛煉協調發展．某學校對高一年級學生每周在校體育鍛煉時長(單位：小時)進行了統計，得到如下頻率分布表：
分組
頻率 0.25 0.30 0.20 0.25
則下列關于高一年級學生每周體育鍛煉時長的說法中正確的是（ ）
A．眾數約為2.5
B．中位數約為3.83
C．平均數為3.95
D．第80百分位數約為5.2
三、填空題
9．（2023上·上海楊浦·高三復旦附中校考期中）已知某班全體學生在某次數學考試中的成績（單位：分）的頻率分布直方圖如圖所示，則圖中a所代表的數值是 .
10．（2023下·上海·高二專題練習）已知甲、乙兩組數據如莖葉圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中m，n的比值 ．
11．（2023上·上海黃浦·高三統考期中）某校共有400名學生參加了趣味知識競賽（滿分：150分），且每位學生的競賽成績均不低于90分．將這400名學生的競賽成績分組如下：，得到的頻率分布直方圖如圖所示，則這400名學生中競賽成績不低于120分的人數為 ．
四、解答題
12．（2023上·浙江杭州·高二校聯考期中）某市政府為了倡議市民節約用電，計劃對居民生活用電費用實施階梯式電價制度，即確定一戶居民月均用電量標準 a，用電量不超過 a的部分按照平價收費，超出部分按議價收費．為了確定一個合理的標準，從某小區抽取了100戶居民進行用電量調查單位，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖：
(1)求x的值：
(2)求被調查用戶的月用電量平均值：同一組數據用該區間的中點值作代表
(3)若使居民用戶的水費支出不受影響，應確定a值為多少？
13．（2023上·重慶北碚·高二西南大學附中校考期中）某研究小組發現某藥物X對神經沖動的產生有明顯的抑制作用，稱為“麻醉”.該研究小組進行大量實驗，刺激突觸前神經元時，記錄未加藥物X和加藥物X后突觸前神經元的動作電位（單位：mV），在大量實驗后，得到如下頻率分布直方圖.

利用動作電位的指標定一個判斷標準，需要確定一個臨界值c.當動作電位小于c時判定為“麻醉”，大于或等于c時判定為“未麻醉”.該檢測漏判率是將添加藥物X的被判定為“未麻醉”的概率，記為；誤判率是將未添加藥物X的被判定為“麻醉”的概率，記為.
(1)當漏判率為時，求臨界值c；
(2)令函數，當時，求的最小值.
14．（2023上·上海楊浦·高三復旦附中校考階段練習）某廠為比較甲、乙兩種工藝對橡膠產品伸縮率的處理效應，進行10次配對試驗，每次配對試驗選用材質相同的兩個橡膠產品，隨機地選其中一個用甲工藝處理，另一個用乙工藝處理，測量處理后的橡膠產品的伸縮率.甲、乙兩種工藝處理后的橡膠產品的伸縮率分別記為，，記.試驗結果如下：
試驗序號i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸縮率 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸縮率 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
(1)求甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率的中位數和極差；
(2)設的樣本平均數為z，樣本方差為.判斷甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率是否有顯著提高（如果，則認為甲工藝處理后的橡膠產品的伸縮率較乙工藝處理后的橡膠產品的伸縮率有顯著提高，否則不認為有顯著提高）.
【考點2】概率
一、單選題
1．（2023下·北京通州·高一統考期中）拋擲兩枚硬幣，觀察它們落地時朝上的面的情況，該試驗的樣本空間中樣本點的個數為（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
2．（2023·廣東·高三學業考試）從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A．至少有一個黑球與都是黑球 B．至少有一個黑球與都是紅球
C．恰有一個黑球與恰有兩個黑球 D．至少有一個黑球與至少有一個紅球
3．（2023上·四川·高三統考學業考試）某同學計劃在四大名著《三國演義》《水滸傳》《西游記》《紅樓夢》中隨機選一本作為課外讀本，則《紅樓夢》恰好被選中的概率為（ ）
A． B． C． D．
4．（2023上·北京·高二北京五十五中校考期中）手機支付已經成為人們幾乎最常用的付費方式.某大型超市為調查顧客付款方式的情況，隨機抽取了100名顧客進行調查，記錄結果整理如下表.從這100名顧客中隨機抽取1人，則該顧客年齡在內且未使用手機支付的概率為（ ）.
顧客年齡（歲） 20歲以下 70歲及以上
手機支付人數 3 12 14 13 27 9 0
其他支付方式人數 0 0 2 9 5 5 1
A． B． C． D．
5．（2023上·浙江·高二蕭山二中校聯考期中）將一枚質地均勻的骰子連續拋擲2次，設事件“第一次點數為偶數”，事件“第二次點數為3的倍數”，則（ ）
A．與是互斥事件 B．與是互為對立事件
C． D．
6．（2023上·廣東佛山·高二華南師大附中南海實驗高中校考期中）下列命題中正確的是（ ）
A．有一批產品的次品率為0.05，則從中任意取出200件產品中必有10件是次品
B．拋100次硬幣，結果51次出現正面，則出現正面的概率是0.51
C．隨機事件發生的概率就是這個隨機事件發生的頻率
D．擲骰子100次，得點數為6的結果有20次，則出現6點的頻率為0.2
二、多選題
7．（2023·全國·模擬預測）下列說法中正確的是（ ）
A．用簡單隨機抽樣的方法從含有60個個體的總體中抽取一個容量為6的樣本，則個體m被抽到的概率是0.1
B．已知一組數據1，2，m，6，7的平均數為4，則這組數據的方差是
C．數據13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數是23
D．若樣本數據的標準差為8，則數據的標準差為32
8．（2023上·四川遂寧·高二四川省蓬溪中學校校考期中）將一枚質地均勻的骰子拋擲一次，記下骰子面朝上的點數，設事件“記下的點數為3”，事件“記下的點數為偶數”，事件“記下的點數小于3”，事件“記下的點數大于2”，則（ ）
A．事件與互斥 B．事件與互斥
C．事件與對立 D．事件與對立
三、填空題
9．（2022上·高一單元測試）（1）隨機現象的發生能夠人為控制其發生或不發生；
（2）隨機現象的結果是可以預知的；
（3）不可能事件反映的是確定性現象；
（4）已經發生的事件一定是必然事件.以上說法正確的有 .
10．（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考期中）在一次男子羽毛球單打比賽中，運動員甲和乙進入了決賽（比賽采用3局2勝制），假設每局比賽甲獲勝的概率為0.6，現采用隨機模擬方法估計甲獲得冠軍的概率，先由計算機產生1~5之間的隨機數，指定1，2，3表示一局比賽中甲勝，4，5表示一局比賽中乙勝 經隨機模擬產生了如下20組隨機數：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
據此估計甲獲得冠軍的概率為 .
11．（2023上·四川綿陽·高二綿陽南山中學實驗學校校考階段練習）甲、乙兩名運動員進入男子羽毛球單打決賽，假設比賽打滿3局，贏得2局或3局者勝出，用計算機產生1~5之間的隨機數，當出現隨機數1，2，3時，表示一局比賽甲獲勝；否則，乙獲勝.由于要比賽3局，所以每3個隨機數為一組，產生20組隨機數：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
據此估計甲獲得冠軍的概率為 ；
四、解答題
12．（2023上·湖北鄂州·高二校聯考期中）一題多解是由多種途徑獲得同一數學問題的最終結論，一題多解不但達到了解題的目標要求，而且讓學生的思維得以拓展，不受固定思維模式的束縛．學生多角度、多方位地去思考解題的方案，讓解題增添了新穎性和趣味性，并在解題中解放了解題思維模式，使得枯燥的數學解題更加豐富而多彩．假設某題共存在4種常規解法，已知小紅使用解法一、二、三、四答對的概率分別為，且各種方法能否答對互不影響，小紅使用四種解法全部答對的概率為．
(1)求的值；
(2)求小紅不能正確解答本題的概率；
(3)求小紅使用四種解法解題，其中有三種解法答對的概率．
13．（2023·全國·模擬預測）魯班鎖是一種廣泛流傳于中國民間的智力玩具，相傳由春秋末期到戰國初期的魯班發明，它看似簡單，卻凝結著不平凡的智慧，易拆難裝，十分巧妙，每根木條上的花紋是賣點，也是手工制作的關鍵．某玩具公司開發了甲、乙兩款魯班鎖玩具，各生產了100件樣品，樣品分為一等品、二等品、三等品，根據銷售部市場調研分析，得到相關數據如下（單件成本利潤率＝利潤÷成本）：
甲款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 10% 8% 4%
頻數 10 60 30
乙款魯班鎖玩具
一等品 二等品 三等品
單件成本利潤率 7.5% 5.5% 3%
頻數 50 30 20
(1)用頻率估計概率，從這200件產品中隨機抽取一件，求該產品是一等品的概率；
(2)若甲、乙兩款魯班鎖玩具的投資成本均為20000元，且每件的投資成本是相同的，分別求投資這兩款魯班鎖玩具所獲得的利潤．
故100件乙款魯班鎖玩具的利潤為（元）．
14．（2023上·云南·高二校聯考期中）某新能源汽車制造公司，為鼓勵消費者購買其生產的新能源汽車，約定從今年元月開始，凡購買一輛該品牌汽車，在行駛三年后，公司將給予適當金額的購車補貼．某調研機構對已購買該品牌汽車的消費者，就購車補貼金額的心理預期值進行了抽樣調查，得其樣本頻率分布直方圖如圖所示．其中．
(1)估計已購買該品牌汽車的消費群體對購車補貼金額的心理預期值的平均數（同一組數據用該區間的中點值作代表）和中位數；（精確到0.01）
(2)現在要從購車補貼金額的心理預期值在間用分層抽樣的方法抽取6人，再從這6人中隨機抽取2人進行調查，求抽到2人中購車補貼金額的心理預期值都在間的概率．
【考點3】統計與概率的應用
一、單選題
1．（2023上·全國·高三專題練習）2022年7月15日，國家統計局發布了2022年上半年居民人均消費支出及構成情況如圖所示，根據圖中的信息，針對2022年上半年，下列結論不正確的是（　　）
A．居民在“教育文化娛樂”上的人均消費支出的占比為9.8%
B．居民人均消費支出為11440元
C．居民在“居住”“生活用品及服務”“醫療保健”上的人均消費支出之和大于在“食品煙酒”上的人均消費支出
D．居民在“衣著”上的人均消費支出比在“交通通信”上的人均消費支出的一半少
2．（2023下·四川成都·高二校聯考期中）2023年2月28日國家統計局發布《2022年國民經濟和社會發展統計公報》，其中對近幾年國內生產總值及其增長速度（如圖1）和三次產業增加值占國內生產總值比重（如圖2）做了統計，下列說法錯誤的是（ ）


A．從2018年至2022年，國內生產總值逐年增加
B．從2018年至2022年，2021年的國內生產總值的增長速度最大
C．從2018年至2022年，第三產業增加值占國內生產總值比重逐年減少
D．從2018年至2022年，第三產業增加值逐年增加
3．（2023下·四川成都·高二期末）七巧板又稱七巧圖，智慧板，是一種古老的中國傳統智力玩具.據清代陸以湉《冷廬雜識》說：“宋黃伯思宴幾圖，以方幾七，長段相參，衍為二十五體，變為六十八名.明嚴澈蝶幾圖，則又變通其制，以勾股之形，作三角相錯形，如蝶翅.其式三，其制六，其數十有三，其變化之式，凡一百有余.近又有七巧圖，其式五，其數七，其變化之式多至千余.體物肖形，隨手變幻，蓋游戲之具，足以排悶破寂，故世俗皆喜為之.”如圖是一個用七巧板拼成的三角形（其中①②為兩塊全等的小型等腰直角三角形；③為一塊中型等腰直角三角形；④⑤為兩塊全等的大型等腰直角三角形；⑥為一塊正方形；⑦為一塊平行四邊形）.現從該三角形中任取一點，則此點取自陰影部分的概率為（ ）

A． B． C． D．
4．（2021·山西·統考一模）七巧板，又稱七巧圖、智慧板，是中國古代勞動人民的發明，其歷史至少可以追溯到公元前一世紀，到了明代基本定型，于明、清兩代在民間廣泛流傳．某同學用邊長為4 dm的正方形木板制作了一套七巧板，如圖所示，包括5個等腰直角三角形，1個正方形和1個平行四邊形．若該同學從5個三角形中任取出2個，則這2個三角形的面積之和不小于另外3個三角形面積之和的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·高一課時練習）如圖所示是根據某市3月1日至3月10日的最低氣溫(單位：℃)的情況繪制的折線統計圖，由圖可知這10天最低氣溫的第80百分位數是（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2019·福建·校聯考三模）為比較甲、乙兩名學生的數學素養，對課程標準中規定的數學六大素養進行指標測驗（指標值滿分為5分，分值高者為優），根據測驗情況繪制了如圖所示的六大素養指標雷達圖，則下面敘述正確的是（ ）
A．乙的數據分析素養優于甲 B．乙的數學建模素養優于數學抽象素養
C．甲的六大素養指標值波動性比乙小 D．甲的六大素養中直觀想象最差
二、多選題
7．（2023下·陜西寶雞·高一統考期末）某校在開展的“體育節”活動中，為了解學生對“體育節”的滿意程度，組織學生給活動打分（分數為整數，滿分100分），發現分數均在內，從中隨機抽取一個容量為300的樣本，并將這些數據分成6組并作出樣本的頻率分布直方圖，但不小心污損了部分圖形（如圖所示），則下列說法中正確的是（ ）

A．樣本中分數落在的頻數為45人 B．樣本的眾數為75分
C．樣本的平均數為75分 D．樣本的80百分位數為85分
8．（2021下·高一單元測試）甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，則下列說法錯誤的是（ ）
A．甲獲勝的概率是 B．甲不輸的概率是
C．乙輸的概率是 D．乙不輸的概率是
三、填空題
9．（2023·高一課時練習）口袋中裝有100個大小相同的紅球、白球和黑球，從中任意摸出一個，摸出紅球或白球的概率為，摸出白球或黑球的概率為，那么口袋中共有白球、紅球、黑球各 個．
10．（2020·高一課時練習）設有外形完全相同的兩個箱子，甲箱中有99個白球，1個黑球，乙箱中有1個白球，99個黑球.隨機地抽取一箱，再從取出的一箱中抽取一球，結果取得白球，我們可以認為這球是從 箱中取出的.
11．（2023·四川自貢·統考二模）《定理匯編》記載了諸多重要的幾何定理，其中有一些定理是關于鞋匠刀形的，即由在同一直線上同側的三個半圓所圍成的圖形，其被阿基米德稱為鞋匠刀形.如圖所示，三個半圓的圓心分別為，，，半徑分別為，，（其中），在半圓О內隨機取一點，此點取自圖中鞋匠刀形（陰影部分）的概率為，則 .
四、解答題
12．（2022上·浙江·高二校聯考期中）某山村海拔較高，交通極為不便，被稱為“云端上的村莊”，系建檔立卡貧困村.民政部門為此組建了精準扶貧隊對該村進行定點幫扶，扶貧組在實地調研后，立足當地獨特優勢，大力發展鄉村經濟，帶動全村父老鄉親脫貧奔小康.為了解貧困戶的幫扶情況，該地民政部門從本村的貧困戶中隨機抽取100戶對去年的年收入進行了一個抽樣調查，得到如下表所示的頻數表：
收入（千元）
頻數 15 10 35 20 10 10
(1)估計本村的貧困戶的年收入的眾數、第75百分位數；
(2)用分層抽樣的方法從這100戶貧困戶抽取20戶貧困戶進行幫扶，若再從抽樣調查收入在和的貧困戶中隨機選取2戶作為重點幫扶對象，求至少有一戶來自收入在千元的概率；
13．（2023下·天津河東·高一統考期末）人類的四種血型與基因類型的對應為：O型的基因類型為ii，A型的基因類型為ai或aa，B型的基因類型為bi或bb，AB型的基因類型為ab.其中a和b是顯性基因，i是隱性基因.孩子分別繼承父母一個基因，組成一個基因類型，則
(1)若一對夫妻的血型一個是A型，一個是AB型，分析他們子女的血型是O，A，B或AB型的概率；
(2)父母為哪種血型時，孩子的血型不可能為O型（寫出結論即可）
14．（2023下·湖北武漢·高一武漢外國語學校（武漢實驗外國語學校）校考期末）某校為了解學生每日行走的步數，在全校3000名學生中隨機抽取200名，給他們配發了計步手環，統計他們的日行步數，按步數分組，得到頻率分布直方圖如圖所示，

(1)求的值，并求出這200名學生日行步數的樣本眾數、中位數、平均數；
(2)學校為了鼓勵學生加強運動，決定對步數大于或等于13000步的學生加1分，計入期末三好學生評選的體育考核分，估計全校每天獲得加分的人數.

展開更多......

收起↑