資源簡介

全等三角形創新題賞析
隨著課程改革的不斷深入，一大批格調清新、設計獨特的開放型、探究型、操作型等創新題紛紛在各地中考試卷上閃亮登場。近年來，有關全等三角形的創新題更令人耳目一新、目不暇接；試題以它的新穎性、思辨性摒棄模式、推陳出新，創造性地描繪了一個絢麗多姿的圖形世界。現采擷近兩年中考試題歸類分析，希望對大家有所幫助和啟發。
一、條件開放型
例1 （2006年浙江金華卷）如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC相交于O點，∠1=∠2，請你添加一個條件（不再添加其它線段，不再標注或使用其他字母），使AC=BD，并給出證明。
你添加的條件是：__________。
證明：
分析：此題答案不唯一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD。
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，要由已知條件結合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性。
二、結論開放型
例2 （2005年福建）如圖，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E。由這些條件可以得到若干結論，請你寫出其中三個正確的結論。
（不要添加字母和輔助線，不要求證明）
結論1：
結論2：
結論3：
分析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCB且垂直平分DB等。以上是解決本題的關鍵所在，也都可以作為最后結論。
點評：本題是源于課本而高于課本的一道基本題，可解題思路具有多項發散性，體現了新課程下對雙基的考查毫不動搖，且更具有靈活性。
三、綜合開放型
例3 （2006年攀枝花市）如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明。
所添條件____________。
你得到的一對全等三角形是△________≌△________。
證明：
分析：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊。因此只要添加以下條件之一：①CE=DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基礎上又可以進一步得到△CEB≌△DEB。
點評：本題屬于條件和結論同時開放的一道好題目，題目本身并不復雜，但開放程度較高，能激起學生的發散思維，值得重視。
四、構造命題型
例4 （2006年內江市）如圖（4），在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：
①AB=AC ②AD=AE ③∠1=∠2 ④BD=CE。
請你以其中三個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知、求證及證明過程）
分析：根據三角形全等的條件和全等三角形的特征，本題有以下兩種組合方式：
組合一：條件 ①②③ 結論：④
組合二：條件 ①②④ 結論：③
值得一提的是，若以②③④或①③④為條件，此時屬于SSA的對應關系，則不能證得△ABC≌△DEF，也就不能組成真命題。
評析：幾何演繹推理論證該如何考？一直是大家所關注的。本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓學生自主構造問題，自行設計命題并加以論證，給學生創造了一個自主探究的機會，具有一定的挑戰性。這種考查的形式值得重視。
五、猜想證明型
例5 （2006年大連市）如圖，E、F分別是平行四邊形ABCD對角線BD所在直線上兩點，DE=BF，請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需研究一組線段相等即可）。
（1）連結_________；
（2）猜想：_________；
（3）證明：
（說明：寫出證明過程的重要依據）
分析：連接FC，猜想：AC=CF。
由平行四邊形對邊平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；再加上DE=BF，因此，只要連接FC，根據全等三角形的判定定理SAS，容易證得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，從而得到AE=CF。
點評：此題為探索、猜想、并證明的試題。猜想是一種高層次的思維活動，在先觀察的基礎上，提出一個可能性的猜想，再嘗試能夠證明它，符合學生的認知規律。本題難度不大，但結構較新，改變了傳統的固有模式。
六、判斷說理型
例6 （2006年山東棗莊市大綱卷）兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME，MC。試判斷△EMC的形狀，并說明理由。
分析：△EMC是等腰直角三角形。由已知條件可以得到：
DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°
∠DAB=90°。連接AM。由DM=MB可知
MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°
從而∠MDE=∠MAC=105°即△EDM≌△CAM。
因此EM=MC，∠DME=∠AMC
又易得∠EMC=90°
所以△EMC是等腰直角三角形。
點評：本題以三角板為載體，沒有采取原有的那種過于死板的形式，在一定程度上能激發學生的解題欲望——先判斷，再說理，試題平中見奇，奇而不怪，獨具匠心，堪稱好題。
七、拼圖證明型
例7 （2005江西省）一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上。
（1）求證AB⊥ED；
（2）若PB=BC。請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明。
分析：（1）在已知條件的背景下，顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D；又∠ANP=∠DNC，因而不難得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED。
（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°
又PB=BC及∠PBD=∠CBA
根據ASA有△PBD≌△CBA，在此基礎上，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB。
點評：本題將幾何證明融入到剪紙活動中，讓學生在剪、拼等操作中去發現幾何結論，較好地體現了新課程下“做數學”的理念。（2）題結論開放，而且結論豐富，學生可以從不同的角度去進行探索，在參與圖形的變化過程及探究活動中創造性地激活了思維，令人回味。
八、閱讀歸納型
例8 （2006浙江省紹興市）我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等。那么在什么情況下，它們會全等？
（1）閱讀與證明：
對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們全等。
對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們全等（證明略）
對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：
已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1。
求證：△ABC≌△A1B1C1。
（請你將下列證明過程補充完整）
證明：分別過點B，B1作BD⊥CA于D，
B1D1⊥C1A1于D1
則∠BDC=∠B1D1C1=90°
∵BC=B1C1，∠C=∠C1
∴△BCD≌△B1C1D1
∴BD=B1D1
（2）歸納與敘述：
由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論。
分析：（1）由條件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，
又由∠C=∠C1，BC=B1C1
從而得到△ABC≌△A1B1C1。
（2）歸納為：兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形）是全等的。
點評：邊邊角問題是全等三角形判定中的難點，也是學生易出錯的內容，要涉及三角形形狀的分類。本題構思新穎，創造性地設計了閱讀情境，引領學生跨越障礙，引導學生合情推理并總結概括，考查了學生閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時也培養了學生靈活、精細、嚴謹的數學思維品質。
九、作圖證明型
例9 （2006浙江省湖州市改編）已知Rt△ABC中，∠C=90°
（1）根據要求作圖（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）
①作∠BAC的平分線AD交BC于D；
②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；
③連接ED。
（2）在（1）的基礎上寫出一對全等三角形：
△_______≌△_______并加以證明。
分析：（1）按照要求用尺規作∠BAC的平分線AD、作線段AD的垂直平分線，并連接相關線段。
（2）由AD平分∠BAC，
可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分線段AD，
可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=AD，
從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，
從而有△AEH≌△AFH≌△DEH。以上三組中任選一組即可。
點評：作角平分線和線段的垂直平分線是新課標中明確提出的基本作圖之一，動手作圖，使學生在操作活動的過程中感受知識的自然呈現，體驗數學的神秘與樂趣，并實現數學的再創造，從而進一步感受數學的無限魅力，促進數學學習。
全等三角形中的熱點問題
一：條件開放與探索
給出問題的結論，讓解題者分析探索使結論成立應具備的條件，而滿足結論的條件往往不是惟一的，這樣的問題是條件開放性問題。它要求解題者善于從問題的結論出發，逆向追求，多途尋求，這類題常以基礎知識為背景加以設計而成，主要考查解題者對基礎知識的掌握程度和歸納能力。
例1、（2005年玉溪）．如圖8，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，還需添加的條件是（只需填一個） 。
解：∠B＝∠D或∠C＝∠E或AC＝AE
例2、（2005年長沙）．如圖，AB＝AC ，要使，
應添加的條件是____________ (添加一個條件即可)
解：AD=AE 或∠B=∠C 或∠ADC=∠AEB
例3、（2005年金華）
如圖，在△ＡＢＣ中，點Ｄ在ＡＢ上，點Ｅ在ＢＣ上，ＢＤ＝ＢＥ。
請你再添加一個條件，使得△ＢＥＡ≌△ＢＤＣ，并給出證明。
你添加的條件是：___________
根據你添加的條件，再寫出圖中的一對全等三角形：______________（只要求寫出一對全等三角形，不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母，不必寫出證明過程）
提示：（1）∠BAE=∠BCD或∠AEB=∠CDB或AE=CD ，證明略 ；（2）△ADC≌△AEC
例4（2005年福州課改卷）
已知：如圖7，點C、D在線段AB上，PC＝PD。
請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形并給予證明。
所加條件為＿＿＿＿＿＿＿，你得到的一對全等三角形是△＿＿＿≌△＿＿＿。
提示： 所添條件為： ∠A＝∠B（或PA＝PB或AC＝BD或AD＝BC或∠APC＝∠BPD或∠APD＝∠BPC等）
全等三角形為：△PAC≌△PBD（或△APD≌△BPC）
證明：（略）
二：結論開放與探索
給定問題的條件，讓解題者根據條件探索相應的結論，并且符合條件的結論往往呈現多樣性，或者相應的結論的“存在性”需要解題者景象推斷，甚至要求解題者探索條件在變化中的結論，這些問題都是結論開放性的問題，它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想，發現規律，得出結論，這類題主要考查解題者的發散性思維和所學基本知識的應用能力
例5（2005年安徽）. 如圖, 已知AB∥DE, AB=DE, AF=DC, 請問圖中有哪幾對全等三角形? 并任選其中一對給予證明.
解：圖中有3對全等三角形，分別：△ABF≌△DEC。
ABC≌△DEF，△BCF≌△EFC。
證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D，
又∵AB=DE, AF=DC，
∴△ABF≌△DEC。
例6（2005年寧波）.如圖,△ABC中,AB=AC,過點A作GE∥BC,角平分線BD、CF相交于點H,它們的延長線分別交GE于點E、G.試在圖中找出3對全等三角形,并對其中一對全等三角形給出證明.
提示：△AGC≌△AFB。△AGF≌△DFD。△HBF≌△HDC。△AFC≌△ADB。證明略
例7．（2005年常州）
如圖，已知為等邊三角形，、、
分別在邊、、上，且也是等邊三角形．
（1）除已知相等的邊以外，請你猜想還有哪些相等線段，
并證明你的猜想是正確的；
（2）你所證明相等的線段，可以通過怎樣的變化相互得到？
寫出變化過程．
提示：（1）AE=BF=CD ；AF=BD=CE；證明：（略）
（2）繞E、D、F進行旋轉，然后對折。
例8．（2005年馬尾）用兩個全等的等邊三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD.把一個含60°角的三角尺與這個菱形疊合，使三角尺的60°角的頂點與點A重合，兩邊分別與AB，AC重合.將三角尺繞點A按逆時針方向旋轉.
（1）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD相交于點E，F時，（如圖13—1），通過觀察或測量BE，CF的長度，你能得出什么結論？并證明你的結論；
（2）當三角尺的兩邊分別與菱形的兩邊BC，CD的延長線相交于點E，F時（如圖13—2），你在（1）中得到的結論還成立嗎？簡要說明理由.
解：（1）BE=CF.
證明：在△ABE和△ACF中， ∵∠BAE+∠EAC=∠CAF+∠EAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF.
∵AB=AC，∠B=∠ACF=60°，∴△ABE≌△ACF（ASA）.
∴BE=CF.
（2）BE=CF仍然成立. 根據三角形全等的判定公理，同樣可以證明△ABE和△ACF
例9．如圖，A、B、C、D在同一直線上，AB＝CD，DE∥AF，且DE＝AF，求證：△AFC≌△DEB．如果將BD沿著AD邊的方向平行移動，如圖，B點與C點重合時，如圖，B點在C點右側時，其余條件不變，結論是否仍成立，如果成立，請予證明；如果不成立，請說明理由．
證明：∵DE∥AF，∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，即AC＝DB，
在△AFC和△DEB中，
∵AC＝DB，∠A＝∠D，AF＝DE，
∴△AFC≌△DEB．
例11．如圖(1)，已知AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝CD，BC＝DE，求證：AC⊥CE．若將CD沿CB方向平移得到圖(2)(3)(4)(5)的情形，其余條件不變，結論AC1⊥C2E還成立嗎？請說明理由．
?
提示：可證△ABC≌△CDE，得∠ACB＝∠E，
∵∠ACB＋∠ECD＝∠E＋∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝180°－90°＝90°，∴AC⊥CE．
圖(2)(3)(4)(5)四種情況，結論AC1⊥C2E仍然成立，證明同上．
例12．已知如圖(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過A的一條直線，且B、C在AE的異側，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求證：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直線AE繞A點旋轉到(2)位置時(BD＜CE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何?請予證明．(3)若直線AE繞A點旋轉到圖(3)位置時，(BD＞CE)，其余條件不變，問BD與DE、CE的關系如何?請直接寫出結果，不須證明．(4)歸納(1)、(2)、(3)，請用簡捷語言表述BD、DE、CE的關系．
?
證明：(1)∵BD⊥AE，CE⊥AE(已知)，∴∠BDA＝∠AEC＝90°(垂直定義)
∵∠BAD＋∠CAE＝90°，∠BAD＋∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD(同角的余角相等)
在△ABD和△CAE中
∴△ABD≌△CAE(AAS)，
∴BD＝AE，AD＝CE(全等三角形的對應邊相等)
∵AE＝AD＋DE，∴AE＝CE＋DE，
∴BD＝CE＋DE．
(2)BD＝DE－CE，證明方法與(1)相同．
(3)BD＝DE－CE．
(4)歸納(1)(2)(3)可知結論表述為：
當B、C在AE異側時，BD＝DE＋CE；當B、C在AE同側時，BD＝DE－CE；
說明：本題考查動態幾何中的量的關系，其關鍵是猜想規律，再運用幾何知識予以證明．
?
22．(本題6分)如圖，在10×5的正方形網格中，每個小正方形的邊長均為單位1．將△ABC向右平移4個單位，得到△A'B'C'，再把△A'B'C'繞點A'逆時針旋轉90°，得到△A'B"C"．請你畫出△A'B'C'和△A'B"C"(不要求寫畫法)．
22．如圖所示，正確畫出A A'B'c'
正確畫出△'B"C"
(說明：若畫出的A A'B'C'，的位置不正確，但在△'B'C'的基礎上畫出正確的△A’B"C"得3分)
三：策略開放與探索
策略開放性問題，一般指解題者發不惟一或解題路徑不明確的問題，這類問題要求解題者不因循守舊，不墨守成規，善于標新立異，追求一題多解，同時給解題者以廣闊的思維空間，通過積極思考，創新求索、探索解題策略和思路，活用解題思路和方法，優化解題方案和過程。
例13（2005年十堰課改卷）如圖，已知△ABC，請你增加一個條件，寫出一個結論，并證明你寫出的結論。
增加的條件為：
已知：
求證：
證明：增加條件為BD=CE。結論為∠B=∠C。
證明：在Rt△BEC和Rt△CDB中
∵BD=CE BC=BC；
∴Rt△BEC≌Rt△CDB。
∴∠B=∠C
例14．（2005年揚州）如圖，在△ABC和△DEF中，D、E、C、F在同一直線上，下面有四個條件，請你在其中選3個作為題設，余下的1個作為結論，寫一個真命題，并加以證明。
①AB＝DE，②AC＝DF，③∠ABC＝∠DEF，④BE＝CF。
已知：
求證：
證明：
提示：答案不唯一，如 已知：①②④；求證：③或已知：①③④；求證：②。
24（2005年漳州）．如圖，給出五個等量關系：①AD=BC、②AC=BD、③CE=DE、④∠D=∠C、
⑤∠DAB=∠CBA。請你以其中兩個為條件，另三個中的一個為結論，寫出一個正確命題(只需寫出一種情況)，并加以證明。
27．(本題9分)
如圖，四邊形ABCD中，點E在邊CD上，連結AE、BE．給出下列五個關系式：①AD∥BC；②DE=CE；③∠1=∠2；④∠3=∠4；⑤AD+BC=AB．將其中的三個關系式作為題設，另外兩個作為結論，構成一個命題．(1)用序號寫出一個真命題(書寫形式如：如果×××，那么××)，并給出證明：
(2)用序號再寫出三個真命題(不要求證明)；
(3)加分題：真命題不止以上四個，想一想，就能夠多寫出幾個真命題，每多寫出一個真命題就給你加1分，最多加2分．
27．解：(1)如果①②③，那么④⑤
證明：如圖，延長AE交BC的延長線于F
∵AD∥BC ∴∠1=∠F
又∵∠AED=∠CEF，DE=EC∴△ADE≌△FCE
∴AD=CF，AE=EF
∵∠l=∠F，∠1=∠2．∠2=∠F
∴AB=BF∴∠3=∠4
∴AD+BC=CF+BC=BF=AB
(說明：其它真命題的證明可參照上述過程相應給分)
(2)如果①②④，那么③⑤
如果①③④，那么②⑤
如果①③⑤，那么②④
(3)若(1)(2)中四個命題含假命題(“如果②③④，那么①⑤’’)，則不加分；若(3)中含假命題，也不加分．
21-(本題滿分8分)如圖，下面四個條件中，請你以其中兩個為已知條件，第三個為結論，推出一個正確的命題(只需寫出一種情況)．
21．證明：條件①AE=AD AB=AC ②AB=AC ∠B=∠C ③AE=AD ∠B=∠C
例15如圖，已知AD＝BC，AB＝DC，DE＝BF，試探究：BE與DF是否相等？．
剖析：欲證BE＝DF，需證△ABE≌△CDF，要證這兩個三角形全等．已經具備了兩組條件，AB＝CD．AD＋DE＝CB＋BF即AE＝CF．只要再證∠A＝∠C即可．那么再觀察∠A、∠C還是哪兩個全等三角形的對應角．
由條件AD＝CB，AB＝CD，很明顯看出，若連結BD，那么△ABD與△CDB全等的條件已經具備，結論即可得證．
解：相等。理由：
連結BD在△ABD和△CDB中
∴△ABD≌△CDB(SSS)
∴∠A＝∠C(全等三角形的對應角相等)．
∵AD＝CB、DE＝BF(已知)，∴AD＋DE＝CB＋BF ，即 AE＝CF．
在△ABE和△CDF中
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴BE＝DF(全等三角形的對應邊相等)．
說明：(1)在解決有關問題時，經常遇到已知條件與結論無法溝通的狀況，這時，便需添加輔助線，創造條件，為推出結論服務．(2)利用全等三角形證明線段相等或角相等，常需添輔助線構造三角形，構造時有下面兩種情況：①待證的線段或角，在圖形上不在兩個可能全等的三角形中，需添輔助線構造三角形，使它們分別包括一個所要證的線段或角；②有些條件具備的全等三角形，圖形中沒能直接顯示出來，需添輔助線才能發現，如本題中的△ABD和△CDB．
?
例16．已知：如圖，AB＝AC，DB＝DC，
(1)若E、F、G、H分別是各邊中點，求證：EH＝FG．
(2)若連結AD、BC交于點P，問AD、BC有何關系？證明你的結論．
解：(1)證明：連結AD．
在△ABD和△ACD中，
∴△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD．
在△BEH和△CFG中，
∴△BEH≌△CFG
∴EH＝FG．
(2)AD垂直于BC，且平分BC，
設AD、BC交于P．
由(1)得∠BAP＝∠CAP，
易證△BAP≌△CAP，∴PB＝PC，∠APB＝∠APC，
又∠APB＋∠APC＝180°，
∴∠APB＝90°，故AD⊥BC且AD平分BC
說明：(1)全等三角形除可得到等角、等邊，還可根據等角、等邊進一步推出圖形還具有的一些性質，如兩線平行，兩線垂直，此例中第一次全等為第三次全等提供了條件．由此可以看出全等三角形這一知識所起的工具性作用．
(2)通過前面的學習我們可以看到，在有關全等三角形證明的問題中，常常涉及到以下兩類基本圖形：
第一類是有關角的，如圖，這三個圖形的共同特征是兩個三角形的一組對應角有“公共部分”．
第二類是關于邊的，如圖．
這三個圖形的共同特征是兩個三角形的一組對應邊有“公共部分”．
熟練掌握這些基本圖形的特征，并能從比較復雜的圖形中分離出這些基本圖形，充分利用公共邊或公共角的關系，能幫助我們很快找到證明思路．
?
例18．某溫室有一塊三角形玻璃損壞后，只剩下如圖的陰影部分，你對圖中作哪些數據度量后，就可到建材門市部裁剪符合規格的三角玻璃，并說明其中的道理。
提示：度量∠ABC，∠DCB和線段BC，兩角和夾邊確定了三角形的形狀和大小
例19．如圖，已知：△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，分別過B，C向過A的直線作垂線，垂足為E，F。
（1）證明：過A的直線與斜邊BC不相交時，則有EF=BE+CF，如圖1。
（2）如圖2，過A的直線與斜邊BC相交時，其他條件不變，你能得到什么結論？請給出證明。
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?19．（1）證△BAE≌△CAF；（2）EF=BE－CF。
?
例19已知零件的外徑為a，要求出它的厚度x，需先求出內孔的直徑AB，動手制作一個簡單工具，利用三角形全等，求出AB．?
點撥：對于AB，是內孔的直徑，無法直接測得，而作垂直也不容易，則可利用SAS的取中點的方法，這樣就讓人聯想到剪子、鉗子一類的東西，可用此方法測AB如圖所示．
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解：可設計如圖5－70所示的類似鉗子的工具，則CD的長就是A、B間的距離．
AB＝a－2x．
四：情景開放與探索
給出問題的實際情景，要求解題者建立數學模型，尋求切合實際的多種途徑，解決實際問題，或運用數學設計各種方案提供決策依據。這類問題我們稱之為情景開放性問題，它常常以實際情景或現實生活為背景，涉及社會生產、科技、經濟以及數學本身等各個方面，解答這類問題的本身就是創新，讓同學在創造中養成應用數學意識。
例20 如圖，A，B兩點位于一個池塘的兩端，小麗想用繩子測量A、B間距離，但是繩不夠長．你能幫她設計測量方案嗎?如不能，說明困難在哪里；如果能，寫出方案，并說明其中的道理．
點悟：找到一根足夠長的繩子就可以直接測量，如果沒有足夠長的繩子，我們在湖岸上構造出全等三角形，把AB“搬”到陸地測量，短繩子多量幾次也就可以了．
解法一：能．
測量方案：(1)先在陸地取一點可以直接到A點和B點的點C；
(2)連結AC并延長到點D，使CD＝CA；
(3)連結BC并延長到點E，使CE＝CB；
(4)連結DE，并測出它的長度．
∴ 如圖5—105中，DE的長度就是A、B間距離．
理由：在△ABC和△DCE中
∴ △ABC≌△DCE(SAS)．
∴ AB＝DE．
解法二：能．
測量方案：(1)在AB的垂線AF上取兩點C、D，使CD＝AC；
(2)過點D作AF的垂線DG，并在DG上取一點E，使點B，C，E在同一條直線上；
(3)這時測得DE的長，就是A、B間的距離．如圖所示．
理由：連結B、C、E，
∵ 點B、C、E在同一條直線上，
∴ ∠1＝∠2，
∵ AB⊥AF，DG⊥AF，
∴ ∠BAC＝90°＝∠GDC．
在△ABC和△DEC中
∴ △ABC≌△DEC(ASA)．
∴ AB＝DE．
解法三：能．
測量方案：(1)派一名同學戴一頂太陽帽，在A點立正站好；
(2)讓該同學自己調整帽子，使視線通過“帽檐”正好落在湖對面的B點；
(3)該同學轉過一個角度，保持剛才的姿態，“帽檐”不動，這時再望出去，仍讓視線通過“帽檐”，視線所落的位置為C點；
(4)連結AC，測出AC的長，就是A、B間的距離．如圖所示是側面示意圖．
理由：根據測量知：∠BDA＝∠CDA
∵ DA⊥BC，
∴ ∠DAB＝∠DAC＝90°．
在△ADB和△ADC中
∴ △ADB≌△ADC(ASA)．
∴ AB＝AC．
點撥：生活中的實際問題的解決辦法往往不止于一種，具體選用方法時，應考慮具體情況，同樣是利用三角形全等測距離，解法三較簡易，但是要重復2～3次后求平均數，以避免較大的誤差．
例21某鐵路施工隊在建設鐵路的過程中，需要打通一座小山，設計時要測量隧道的長度．小山前面恰好是一塊空地，利用這樣的有利地形，測量人員是否可以利用三角形全等的知識測量出需要開挖的隧道的長度？說明道理．?
點撥：A、B兩點直接測量有難度，因此，可利用山前面的空地，構造全等的兩個三角形，使含AB的一對對應邊相等，則測量出對應邊的長，即得出AB的長．?
解：方法：可在空地上取一個能直接到達A點、B點的點O，連結AO延長到D，使OD＝OA；連接BO延長到E，使OE＝OB。連結DE并測出它的長度，則DE的長就是A、B間的距離．如圖所示：?
∴△AOB≌△DOE（SAS）?
∴AB＝DE（全等三角形，對應邊相等）．?
例22（2005年河南課改卷）、如圖是一條河，點A為對岸一棵大樹，點B是該岸一根標桿，且AB與河岸大致垂直，現有如下器材：一個卷尺，若干根標桿，根據所學的數學知識，設計出一個測量A、B兩點間距離的方案，在圖上畫出圖形，寫出測量方法。
點撥：直接測量A、B間的距離有困難，而若用上題中的方法，則會出現這種情況：
得到的O點在河中間，很難取到；即使O點取好，而尋找的全等三角形中AB的對應邊CD的兩點仍然在河的兩岸，與A、B的位置相同，因此此法不可取．要尋求另一種使對應邊在岸上的方法．利用下面圖示的方法就行了．?
解：方法：在AB的垂線BE上取兩點C、D，使CD＝BC。過點D作BE的垂線DG，并在DG上取一點F，使A、C、F在一條直線上，這時測得的DF的長就是A、B間的距離．?
理由：∵AB⊥BE，DG⊥BE ∴∠B＝∠BDF＝90°
∴△ABC≌△FDC（ASA）
∴AB＝DF（全等三角形對應邊相等）．?
注意：要注意區分這兩種情況，根據具體情況或題目的語言敘述來判斷方法．最明顯的區別是第一種沒有垂直的情況，利用SAS證全等；而第二種有垂直的情況，會用ASA證明三角形全等．當然，若特殊情況，需具體分析．?
?
例23如圖所示，河里有一條小船A，在岸邊定一線段BC，再定出兩條射線BA′和CA′，使∠CBA′＝∠CBA，∠BCA′＝∠BCA，于是量A′B的長，就知道船跟岸邊B點的距離AB的長，為什么?
?
提示：證△BCA′≌△BCA， 得A′B＝AB．
?
例24．(2005年淮安市金湖實驗區)
已知：如圖，Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE=900，試以圖中標有字母的點為端點，連結兩條線段，如果你所連結的兩條線段滿足相等、垂直或平行關系中的一種，那么請你把它寫出來并證明．
解： 第一種：連結CD、BE，得：CD=BE。
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，AC=AE
∠CAB=∠EAD；
∴∠CAD=∠EAB；
∴△ABE≌△ADC 。
∴CD=BE。
第二種：連結DB、CE得：DB∥CE，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE ，
∴∠ADB=∠ABD，∴∠BDF=∠FBD
同理：∠FCE=∠FEC ，
∴∠FCE=∠DBF ，
∴DB∥CE 。
第三種：連結DB、AF；得AF⊥B D，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，∠ABC=∠ADE=90°。
又AF=AF，∴△ADF≌△ABF ，
∴∠DAF=∠BAF。
∴AF⊥BD 。
第四種：連結CE、AF；得AF⊥CE，
∵△ABC≌△ADE，∴AD=AB，AC=AE
∠ABC=∠ADE=90° 。
又AF=AF，∴△ADF≌△ABF ，
∴∠DAF=∠BAF ，∴∠CAF=∠EAF 。
∴AF⊥BD 。
例25．（2005年南京）如果將點P繞定點M旋轉180°后與點Q重合，那么稱點P與點Q關于點M對稱，定點M叫做對稱中心。此時，M是線段PQ的中點。
如圖，在直角坐標系中，⊿ABO的頂點A、B、O的坐標分別為（1，0）、（0，1）、（0，0）。點列P1、P2、P3、…中的相鄰兩點都關于⊿ABO的一個頂點對稱：
點P1與點P2關于點A對稱，點P2與點P3關于點B對稱，
點P3與P4關于點O對稱，點P4與點P5關于點A對稱，點P5
與點P6關于點B對稱，點P6與點P7關于點O對稱，…。對稱
中心分別是A、B，O，A，B，O，…，且這些對稱中心依次循
環。已知點P1的坐標是（1，1），試求出點P2、P7、P100的坐標。
提示：P2(1,-1) P7(1,1) P100=(1,-3)
例26（2005年沈陽）．⑴如圖6，在方格紙中如何通過平移或旋轉這兩種變換，由圖形A得到圖形B，再由圖形B得到圖形C（對于平移變換要求回答出平移的方向和平移的距離；對于旋轉變換要求回答出旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度）；
⑵如圖6，如果點P、P3的坐標分別為（0，0）、（2，1），寫出點P2的坐標；
⑶圖7是某設計師設計圖案的一部分，請你運用旋轉變換的方法，在方格紙中將圖形繞點O順時針依次旋轉90°、180°、270°，依次畫出旋轉后所得到的圖形，你會得到一個美麗的圖案，但涂陰影時不要涂錯了位置，否則不會出現理想的效果，你來試一試吧！
注：方格紙中的小正方形的邊長為1個單位長度.
幾何問題中,若出現角平分線這一條件時,可聯想角平分線的特性,靈活利用角平分線的特性來解決問題.1.顯“距離”, 用性質 很多時候,題意中只給角平分線這個條件,圖上并沒有出現“距離”,而角平分線性質的運用又離不開這個“距離”,所以同學們應大膽地讓“距離”現身（過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線段） 例：三角形的三條角平分線交于一點，你知道這是為什么嗎？分析：我們知道兩條直線是交于一點的，因此可以想辦法證明第三條角平分線通過前兩條角平分線的交點．已知：如圖，△ABC的角平分線AD與BE交于點I，求證：點I在∠ACB的平分線上．
證明：過點I作IH⊥AB、IG⊥AC、IF⊥BC，垂足分別是點H、G、F．∵點I在∠BAC的角平分線AD上，且IH⊥AB、IG⊥AC∴IH=IG（角平分線上的點到角的兩邊距離相等）同理 IH=IF ∴IG=IF（等量代換）又IG⊥AC、IF⊥BC∴點I在∠ACB的平分線上（到一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上）.即：三角形的三條角平分線交于一點．
【例2】已知：如圖，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC和∠NCA的平分線，它們交于點P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F． 求證：BP為∠MBN的平分線．
【分析】要證BP為∠MBN的平分線，只需證PD=PF，而PA、PC為外角平分線，故可過P作PE⊥AC于E．根據角平分線性質定理有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問題得證． 【證明】過P作PE⊥AC于E． ∵PA、PC分別為∠MAC與∠NCA的平分線．且PD⊥BM，PF⊥BN∴PD=PE，PF=PE,∴PD=PF又∵PD⊥BM，PF⊥BN,∴點P在∠MBN的平分線上， 即BP是∠MBN的平分線． 2.構距離,造全等 有角平分線時常過角平分線上的點向角兩邊引垂線，根據角平分線上的點到角兩邊距離相等,可構造處相應的全等三角形而巧妙解決問題． 例3．△ABC中，∠C=90°，AC=BC，DA平分∠CAB交BC于D點，問能否在AB上確定一點E使△BDE的周長等于AB的長．請說明理由． 解：過D作DE⊥AB，交AB于E點，則E點即可滿足要求． 因為∠C=90°，AC=BC， 又DE⊥AB，∴DE=EB． ∵AD平分∠CAB且CD⊥AC、ED⊥AB， ∴CD=DE． 由“HL”可證Rt△ACD≌Rt△AED． ∴AC=AE． ∴L△BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB． 例4．如圖，∠B=∠C=90°，M是BC上一點，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB． 求證：AD=CD+AB． 證明：過M作ME⊥AD，交AD于E． ∵DM平分∠ADC，∠C=90°． MC=ME． 根據“HL”可以證得Rt△MCD≌Rt△MED，∴CD=ED． 同理可得AB=AE．∴CD+AB=ED+AE=AD． 即AD=CD+AB． 3.巧翻折, 造全等 以角平分線為對稱軸，構造兩三角形全等．即在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形． 例5.如圖，已知△ABC中∠BAC=90°，AB=AC，CD垂直于∠ABC的平分線BD于D，BD交AC于E，求證：BE=2CD．分析：要證BE=2CD，想到要構造等于2CD的線段，結合角平分線，利用翻折的方法把△CBD沿BD翻折，使BC重疊到BA所在的直線上，即構造全等三角形（△BCD≌△BFD），然后證明BE和CF（2CD）所在的三角形全等．
證明：延長BA、CD交于點F∵BD⊥CF（已知） ∴∠BDC=∠BDF=90°∵BD平分∠ABC（已知） ∴∠1=∠2在△BCD和△BFD中∴△BCD≌△BFD（ASA）∴CD=FD， 即CF=2CD∵∠5=∠4=90°，∠BDF=90° ∴∠3+∠F=90°，∠1+∠F=90°。∴∠1=∠3。在△ABE和△ACF中∴△ABE≌△ACF（ASA）∴BE=CF， ∴BE=2CD。例6.如圖，已知AC∥BD、EA、EB分別平分∠CAB和△DBA，CD過點E，則AB與AC+BD相等嗎？請說明理由． 【分析】要證明兩條線段的和與一條線段相等時常用的兩種方法．
1．可在長線段上截取與兩條線段中一條相等的一段，然后證明剩余的線段與另一條線段相等．（割） 2．把一個三角形移到另一位置，使兩線段補成一條線段，再證明它與長線段相等．（補） ? 證法一：如圖（1）在AB上截取AF=AC，連結EF．在△ACE和△AFE中 ∴△ACE≌△AFE（SAS）
在△EFB和△BDE中 ∴△EFB≌△EDB（AAS） ∴FB=DB ∴AC+BD=AF+FB=AB證法二：如圖（2），延長BE，與AC的延長線相交于點F
∠F=∠3在△AEF和△AEB中 ∴△AEF≌△AEB（AAS）, ∴AB=AF，BE=FE在△BED和△FEC中 ∴△BED≌△FEC（ASA） ∴BD=FC, ∴AB=AF=AC+CF=AC+BD．

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