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第四章 數(shù)列
4.2.2 等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
學(xué)案
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握等差數(shù)列五個量，n，d，，之間的關(guān)系.
2.掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及其應(yīng)用.
知識匯總
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式為或.
習(xí)題檢測
1.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則( ).
A.45 B.50 C.60 D.80
2.在各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列中，若，則( ).
A.-2 B.0 C.1 D.2
3.設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則( ).
A. B. C. D.
4.已知在等差數(shù)列中，，，，若，且，則k的值為( ).
A.9 B.10 C.11 D.12
5.記等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則( )
A.2 B.4 C.8 D.16
6.我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中說：“九百九十六斤棉，贈分八子做盤纏.次第每人多十七，要將第八數(shù)來言.務(wù)要分明依次第，孝和休惹外人傳.”意為：“996斤棉花，分別贈送給8個子女做旅費(fèi)，從第1個孩子開始，以后每人依次多17斤，直到第8個孩子為止.分配時一定要按照次序分，要順從父母，兄弟間和氣，不要引得外人說閑話.”在這個問題中，第8個孩子分到的棉花為( ).
A.184斤 B.176斤 C.65斤 D.60斤
7.（多選）設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，，則( ).
A. B. C. D.
8.（多選）是等差數(shù)列，公差為d，前n項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論正確的是( ).
A. B. C. D.
9.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則___________.
10.數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則它的前n項(xiàng)和__________.
11.已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，，，則__________.
12.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求的通項(xiàng)公式；
(2)若，求n.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，，所以，即，則.故選C.
2.答案：A
解析：由且，得，則.故選A.
3.答案：A
解析：由等差數(shù)列的求和公式可得，，化簡得，所以.故選A.
4.答案：C
解析：由等差中項(xiàng)得，解得，所以公差，則，解得(舍去)或.故選C.
5.答案：C
解析：由題知，即，，
.故選C.
6.答案：A
解析：依題意得，八個子女所得棉花斤數(shù)依次構(gòu)成等差數(shù)列，設(shè)該等差數(shù)列為，公差為d，前n項(xiàng)和為，第一個孩子所得棉花斤數(shù)為，則由題意得，，解得，則.故選A.
7.答案：AC
解析：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和為，，，所以，解得，，則，.故選AC.
8.答案：ABD
解析：B：由可得，故B正確；
A：由可得，由可得，所以，故等差數(shù)列是遞減數(shù)列，即，故A正確；
C：，所以，故C不正確；
D：因?yàn)榈炔顢?shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，且，所以，則，故D正確.故選ABD.
9.答案：4
解析：因，所以，即，所以.
10.答案：
解析：法一：由知數(shù)列是等差數(shù)列，又，故.
法二：由知數(shù)列是等差數(shù)列，所以.
11.答案：120
解析：已知數(shù)列是公差的等差數(shù)列，則，由等差數(shù)列的求和公式可得，所以，則有，解得，，則，因此.
12.解析：(1)設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為d，
因?yàn)?，，所以，，解得，?br/>則，，
故的通項(xiàng)公式為，.
(2)由(1)知，，
因?yàn)椋裕?br/>即，化簡得，解得.

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