資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題一 三角形考點(diǎn)知識(shí)梳理專題訓(xùn)練
一、三角形相關(guān)概念
1．三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形
要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．
2．三角形的表示
通常用三個(gè)大寫字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用A、B、C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此三角形可記作△ABC，其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊，∠A、∠B、∠C分別表示三角形的三個(gè)內(nèi)角．
3．三角形中的三種重要線段 三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段．
（1）三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．
注意：①三角形的角平分線是一條線段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過角的頂點(diǎn)且平分此角的一條射線．
②三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．
③三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法相同，可以用量角器畫，也可通過尺規(guī)作圖來畫．
（2）三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．
注意：①三角形有三條中線，且它們相交三角形內(nèi)部一點(diǎn)．
②畫三角形中線時(shí)只需連結(jié)頂點(diǎn)及對(duì)邊的中點(diǎn)即可．
（3）三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．
注意：①三角形的三條高是線段
②畫三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊上的高．
二、三角形三邊關(guān)系定理
①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．
②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．
注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段即可
三、三角形的穩(wěn)定性
三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性．例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理．
四、三角形的內(nèi)角
結(jié)論1：三角形的內(nèi)角和為180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
結(jié)論2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．
五、三角形的外角
1．定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．
2．性質(zhì)：
①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)
3．外角個(gè)數(shù)
過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角（相等），可見一個(gè)三角形共有六個(gè)外角．
六、多邊形
①多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線；
②n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°；
③多邊形的外角和為360°
高頻考點(diǎn)
【考點(diǎn)1】三角形的分類
【典例1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示( )
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【典例1-2】關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤
C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤
【例1-3】圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個(gè)三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上都有可能
【考點(diǎn)2】三角形的三邊關(guān)系
【例2-1】由下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(1) (2) (3)．
【例2-2】下列幾組數(shù)中，不能作為三角形的三邊長(zhǎng)的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
【例2-3】若三角形三邊長(zhǎng)為3，2x+1，10，則x的取值范圍是　3＜x＜6　．
【考點(diǎn)3】三角形的中線
【例3-1】如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長(zhǎng)．
【例3-2】如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【例3-3】 如圖，AD是的中線，CE是的中線，若，則等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
．
【考點(diǎn)4】三角形的高線
【例4-1】畫中邊上的高，下列畫法中正確的是( )
A. B.
C. D.
【例4-2】下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)
B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)
C．直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)
D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)
【例4-3】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的邊BC上的高AD與邊AB上的高CE的比值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【考點(diǎn)5】三角形的角平分線：
【例5-1】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則下列說法中，正確的是（　　）
A．AD是△ABE的中線 B．AE是△ABC的角平分線
C．AF是△ACE的高線 D．AE是△DAF的中線
【例5-2】如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且CF⊥AD于點(diǎn)H，下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①BG是△ABD的邊AD上的中線；
②AD既是△ABC的角平分線，也是△ABE的角平分線；
③CH既是△ACD的邊AD上的高，也是△ACH的邊AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【例5-3】如圖，在中，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，則______．
【考點(diǎn)6】三角形的穩(wěn)定性
【例6-1】如圖是一個(gè)起重機(jī)的示意圖，在起重架中間增加了很多斜條，它所運(yùn)用的幾何原理是（ ）
A．三角形兩邊之和大于第三邊
B．三角形具有穩(wěn)定性
C．三角形兩邊之差小于第三邊
D．直角三角形的性質(zhì)
【例6-2】如圖是位于汾河之上的通達(dá)橋，是山西省首座獨(dú)塔懸索橋，是連接二青會(huì)的水上運(yùn)動(dòng)、沙灘排球等項(xiàng)目及場(chǎng)館的主要通道，被譽(yù)為“時(shí)代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（　　）
A．三角形具有穩(wěn)定性
B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．兩點(diǎn)之間，線段最短
D．三角形的兩邊之和大于第三邊
【例6-3】下列生活中的實(shí)例利用到三角形的穩(wěn)定性的是（　　）
A．自行車的三角車架 B．用兩顆釘子把木條固定在墻上
C．學(xué)校大門口的伸縮門 D．四條腿的方桌
【考點(diǎn)7】三角形的內(nèi)角和
【例7-1】若一個(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的4倍，則稱這樣的三角形為“和諧三角形”，例如，三個(gè)內(nèi)角分別為，，的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角形中，，，D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是“和諧三角形”時(shí)，的度數(shù)是_________．
【例7-2】如圖，在中，，，平分，平分，則的大小是（　　）

A． B． C． D．
【例7-3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，DE∥AC，點(diǎn)E在BC上，若∠BAC＝80°，則∠BDE的度數(shù)是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．135°
【考點(diǎn)8】直角三角形的判定和性質(zhì)
【例8-1】直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是（ ）
A． B． C． D．
【例8-2】如圖，，若，則______°.
【例8-3】在下列條件中：①；②；③，能確定為直角三角形的條件有_________個(gè)．
【考點(diǎn)9】三角形的外角
【例9-1】 如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，連接DE．∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系為（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【例9-2】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為　　度．
【例9-3】如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).
【考點(diǎn)10】 多邊形的內(nèi)角與外角：
【例10-1】（1）每個(gè)內(nèi)角都相等的十邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為 _____；
（2）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是 _____．
【例10-2】如圖，將等邊三角形、正方形和正五邊形按如圖所示的位置擺放．，則＝___．
【例10-3】看圖回答問題：
(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？
(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？
【考點(diǎn)11】正多邊形
【例11-1】如圖，正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五邊形的外角∠EDF，則∠G＝（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【例11-2】如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的邊CD重合，DH的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)是（　　）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【例11-3】已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n．
(1)若這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的比外角和多，求n的值．
(2)若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為，求n的值．
八年級(jí)數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題一 三角形考點(diǎn)知識(shí)梳理專題訓(xùn)練（解析版）
一、三角形相關(guān)概念
1．三角形的概念 由不在同一直線上的三條線段首尾順次連結(jié)所組成的圖形叫做三角形
要點(diǎn)：①三條線段；②不在同一直線上；③首尾順次相接．
2．三角形的表示
通常用三個(gè)大寫字母表示三角形的頂點(diǎn)，如用A、B、C表示三角形的三個(gè)頂點(diǎn)時(shí)，此三角形可記作△ABC，其中線段AB、BC、AC是三角形的三條邊，∠A、∠B、∠C分別表示三角形的三個(gè)內(nèi)角．
3．三角形中的三種重要線段 三角形的角平分線、中線、高線是三角形中的三種重要線段．
（1）三角形的角平分線：三角形一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線．
注意：①三角形的角平分線是一條線段，可以度量，而角的平分線是經(jīng)過角的頂點(diǎn)且平分此角的一條射線．
②三角形有三條角平分線且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)一定在三角形的內(nèi)部．
③三角形的角平分線畫法與角平分線的畫法相同，可以用量角器畫，也可通過尺規(guī)作圖來畫．
（2）三角形的中線：在一個(gè)三角形中，連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線．
注意：①三角形有三條中線，且它們相交三角形內(nèi)部一點(diǎn)．
②畫三角形中線時(shí)只需連結(jié)頂點(diǎn)及對(duì)邊的中點(diǎn)即可．
（3）三角形的高線：從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊作垂線，頂點(diǎn)和垂足間的限度叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高．
注意：①三角形的三條高是線段
②畫三角形的高時(shí)，只需要向?qū)吇驅(qū)叺难娱L(zhǎng)線作垂線，連結(jié)頂點(diǎn)與垂足的線段就是該邊上的高．
二、三角形三邊關(guān)系定理
①三角形兩邊之和大于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a+b>c，b+c>a，c+a>b．
②三角形兩邊之差小于第三邊，故同時(shí)滿足△ABC三邊長(zhǎng)a、b、c的不等式有：a>b-c，b>a-c，c>b-a．
注意：判定這三條線段能否構(gòu)成一個(gè)三角形，只需看兩條較短的線段的長(zhǎng)度之和是否大于第三條線段即可
三、三角形的穩(wěn)定性
三角形的三邊確定了，那么它的形狀、大小都確定了，三角形的這個(gè)性質(zhì)就叫做三角形的穩(wěn)定性．例如起重機(jī)的支架采用三角形結(jié)構(gòu)就是這個(gè)道理．
四、三角形的內(nèi)角
結(jié)論1：三角形的內(nèi)角和為180°．表示： 在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
結(jié)論2：在直角三角形中，兩個(gè)銳角互余．
注意：①在三角形中，已知兩個(gè)內(nèi)角可以求出第三個(gè)內(nèi)角
如：在△ABC中，∠C=180°－（∠A+∠B）
②在三角形中，已知三個(gè)內(nèi)角和的比或它們之間的關(guān)系，求各內(nèi)角．
如：△ABC中，已知∠A：∠B：∠C=2：3：4，求∠A、∠B、∠C的度數(shù)．
五、三角形的外角
1．定義：三角形一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角叫做三角形的外角．
2．性質(zhì)：
①三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
②三角形的一個(gè)外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
③三角形的一個(gè)外角與與之相鄰的內(nèi)角互補(bǔ)
3．外角個(gè)數(shù)
過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)有兩個(gè)外角，這兩個(gè)角為對(duì)頂角（相等），可見一個(gè)三角形共有六個(gè)外角．
六、多邊形
①多邊形的對(duì)角線條對(duì)角線；
②n邊形的內(nèi)角和為（n－2）×180°；
③多邊形的外角和為360°
高頻考點(diǎn)
【考點(diǎn)1】三角形的分類
【典例1-1】三角形按邊分類可以用集合來表示，如圖所示，圖中小橢圓圈里的表示( )
A. 直角三角形 B. 銳角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等邊三角形
【答案】D
【解析】
【分析】
此題主要考查了三角形的分類，關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形底和腰不等的等腰三角形、底和腰相等的等腰三角形即等邊三角形根據(jù)三角形的分類可直接得到答案．
【解答】
解：三角形根據(jù)邊分類，
圖中小橢圓圈里的表示等邊三角形．
故選：．
【典例1-2】關(guān)于三角形的分類，有如圖所示的甲、乙兩種分法，則（ ）
A．甲、乙兩種分法均正確 B．甲、乙兩種分法均錯(cuò)誤
C．甲的分法錯(cuò)誤，乙的分法正確 D．甲的分法正確，乙的分法錯(cuò)誤
【答案】D
【分析】三角形的分類：按邊分有普通三角形(三條邊都不相等)，等腰三角(腰與底不等的等腰三角形、腰與底相等的等腰三角形即等邊三角形)；按角分有直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形等，其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱斜三角形.據(jù)此判斷即可.
【詳解】解：甲分法正確，乙正確的分類應(yīng)該為：
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的分類，解答的關(guān)鍵是熟知三角形的分類標(biāo)準(zhǔn)，易忽略等腰三角形包含等邊三角形.
【例1-3】圖中的三角形被木板遮住了一部分，這個(gè)三角形是（　　）
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．以上都有可能
【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形．
【解答】解：從圖中，只能看到一個(gè)角是銳角，其它的兩個(gè)角中，可以都是銳角或有一個(gè)鈍角或有一個(gè)直角．
故選：D．
【考點(diǎn)2】三角形的三邊關(guān)系
【例2-1】由下列長(zhǎng)度的三條線段能組成三角形嗎？請(qǐng)說明理由．
(1) (2) (3)．
【答案】(1) 這三條線段不能構(gòu)成三角形，理由見分析；(2) 這三條線段不能構(gòu)成三角形，理由見分析；(3) 這三條線段能構(gòu)成三角形，理由見分析
【分析】根據(jù)構(gòu)成三角形的條件進(jìn)行逐一判斷即可．
（1）解：這三條線段不能構(gòu)成三角形，理由如下：
∵，
∴這三條線段不能構(gòu)成三角形；
（2）解：這三條線段不能構(gòu)成三角形，理由如下：
∵，
∴這三條線段不能構(gòu)成三角形；
（3）解：這三條線段能構(gòu)成三角形，理由如下：
∵，
∴這三條線段能構(gòu)成三角形．
【點(diǎn)撥】本題主要考查了構(gòu)成三角形的條件，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．
【例2-2】下列幾組數(shù)中，不能作為三角形的三邊長(zhǎng)的是（　　）
A．1，1，2 B．2，3，4 C．2，4，5 D．6，8，10
【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判斷即可．
【解答】解：A、∵1+1＝2，
∴1，1，2不能作為三角形的三邊長(zhǎng)，符合題意；
B、∵2+3＞4，
∴2，3，4能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
C、∵2+4＞5，
∴2，4，5能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
D、∵6+8＞10，
∴6，8，10能作為三角形的三邊長(zhǎng)，不符合題意；
故選：A．
【例2-3】若三角形三邊長(zhǎng)為3，2x+1，10，則x的取值范圍是　3＜x＜6　．
【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系：“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”即可求x的取值范圍．
【解答】解：由三角形三邊關(guān)系定理得：10﹣3＜2x+1＜10+3，且2x+1＞0
解得：3＜x＜6，
即x的取值范圍是3＜x＜6．
故答案為：3＜x＜6．
【考點(diǎn)3】三角形的中線
【例3-1】如圖所示，CD為△ABC的AB邊上的中線，△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，BC＝8cm，求邊AC的長(zhǎng)．
【答案與解析】
解：依題意：△BCD的周長(zhǎng)比△ACD的周長(zhǎng)大3cm，
故有：BC+CD+BD-(AC+CD+AD)＝3．
又∵ CD為△ABC的AB邊上的中線，
∴ AD＝BD，即BC-AC＝3．
又∵ BC＝8，∴ AC＝5．
答：AC的長(zhǎng)為5cm．
【總結(jié)升華】運(yùn)用三角形的中線的定義得到線段AD＝BD是解答本題的關(guān)鍵，另外對(duì)圖形中線段所在位置的觀察，找出它們之間的聯(lián)系，這種數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解幾何題常用的方法．
【例3-2】如圖，是的中線，E是的中點(diǎn)，連結(jié)，．若的面積是8，則圖中陰影部分的面積為（ ）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
【答案】A
【詳解】∵是的中線，
∴，
∵E是的中點(diǎn)，
∴，，
∴，
∴，
【例3-3】 如圖，AD是的中線，CE是的中線，若，則等于（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的中線把三角形的面積平分來解題即可．
【詳解】解：∵AD是△ABC的中線，CE是△ACD的中線，
∴S△ADC＝S△ABC，S△ACE＝S△ADC，
∵S△ABC＝24，
∴S△ACE＝S△ABC＝×24＝6．
故選：A．
【點(diǎn)睛】考查三角形中線與三角形的面積關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形中線把三角形面積平分．
【考點(diǎn)4】三角形的高線
【例4-1】畫中邊上的高，下列畫法中正確的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本題主要考查的是三角形的高線的有關(guān)知識(shí)，直接利用三角形的高線的畫法進(jìn)行求解即可．
【解答】
解：從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線畫垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段，叫三角形的一條高線，
由此可知：中邊上的高畫法正確的是選項(xiàng)，
故選C．
【例4-2】下列判斷錯(cuò)誤的是（ ）
A．三角形的三條高的交點(diǎn)在三角形內(nèi)
B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)
C．直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)
D．三角形的三條角平分線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)
【答案】A
【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線、中線的定義對(duì)各選項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．
【詳解】解．A．三角形的三條高所在的直線交于一點(diǎn)，三條高的交點(diǎn)不一定在三角形內(nèi)，說法錯(cuò)誤，符合題意；
B．三角形的三條中線交于三角形內(nèi)一點(diǎn)，說法正確，不符合題意；
C．直角三角形的三條高的交點(diǎn)在直角頂點(diǎn)，說法正確，不符合題意；
D．三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，是三角形的內(nèi)心，說法正確，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的角平分線、中線和高，解題的關(guān)鍵是掌握各性質(zhì)定義．
【例4-3】如圖，在△ABC中，AB=2，BC=4，△ABC的邊BC上的高AD與邊AB上的高CE的比值是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根據(jù)面積相等列出比例求解即可．
【詳解】
解：∵的邊上的高為，邊上的高為，
，，
∴，
即：，
∴，
故選：A．
【點(diǎn)睛】
本題考查了三角形的高，根據(jù)面積相等列出等式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)5】三角形的角平分線：
【例5-1】如圖，在△ABC中，∠1＝∠2＝∠3＝∠4，則下列說法中，正確的是（　　）
A．AD是△ABE的中線 B．AE是△ABC的角平分線
C．AF是△ACE的高線 D．AE是△DAF的中線
【分析】利用已知條件可得∠BAE＝∠CAE，然后可得AE是△ABC的角平分線．
【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4，
即∠BAE＝∠CAE，
∴AE是△ABC的角平分線，
故選：B．
【例5-2】如圖，△ABC中，∠1＝∠2，G為AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且CF⊥AD于點(diǎn)H，下列判斷中，正確的個(gè)數(shù)是（　　）
①BG是△ABD的邊AD上的中線；
②AD既是△ABC的角平分線，也是△ABE的角平分線；
③CH既是△ACD的邊AD上的高，也是△ACH的邊AH上的高．
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷即可．
【解答】解：∵G為AD的中點(diǎn)，
∴BG是△ABD的邊AD上的中線，①說法正確；
∵∠1＝∠2，
∴AD既是△ABC的角平分線，AG是△ABE的角平分線，②說法錯(cuò)誤；
∵CF⊥AD，
∴CH既是△ACD的邊AD上的高，也是△ACH的邊AH上的高，③說法正確；
故選：C．
【例5-3】如圖，在中，平分交于點(diǎn)，過點(diǎn)作交于點(diǎn)．若，，則______．
【答案】39°．
【詳解】解：，，
，
平分，
，
，
，
【考點(diǎn)6】三角形的穩(wěn)定性
【例6-1】如圖是一個(gè)起重機(jī)的示意圖，在起重架中間增加了很多斜條，它所運(yùn)用的幾何原理是（ ）
A．三角形兩邊之和大于第三邊
B．三角形具有穩(wěn)定性
C．三角形兩邊之差小于第三邊
D．直角三角形的性質(zhì)
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的穩(wěn)定性即可求解．
【詳解】
由圖可知它所運(yùn)用的幾何原理是三角形具有穩(wěn)定性
故選B．
【例6-2】如圖是位于汾河之上的通達(dá)橋，是山西省首座獨(dú)塔懸索橋，是連接二青會(huì)的水上運(yùn)動(dòng)、沙灘排球等項(xiàng)目及場(chǎng)館的主要通道，被譽(yù)為“時(shí)代之門”．橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是（　　）
A．三角形具有穩(wěn)定性
B．兩點(diǎn)確定一條直線
C．兩點(diǎn)之間，線段最短
D．三角形的兩邊之和大于第三邊
【分析】由三角形具有穩(wěn)定性，即可得到答案．
【解答】解：橋身通過吊索與主纜拉拽著整個(gè)橋面，形成懸索體系使其更加穩(wěn)固．其中運(yùn)用的數(shù)學(xué)原理是：三角形具有穩(wěn)定性．
故選：A．
【例6-3】下列生活中的實(shí)例利用到三角形的穩(wěn)定性的是（　　）
A．自行車的三角車架 B．用兩顆釘子把木條固定在墻上
C．學(xué)校大門口的伸縮門 D．四條腿的方桌
【答案】A
【分析】分別利用三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性等知識(shí)進(jìn)行判斷即可．
【詳解】A、自行車的三角車架是利用了三角形的穩(wěn)定性，符合題意；
B、用兩顆釘子把木條固定在墻上是利用了兩點(diǎn)確定一條直線，不符合題意；
C、學(xué)校大門口的伸縮門利用了四邊形的不穩(wěn)定性，不符合題意；
D、四條腿的方桌不是利用了三角形的穩(wěn)定性，不符合題意．
故選：A．
【點(diǎn)睛】考查了三角形的穩(wěn)定性，解題的關(guān)鍵是了解三角形具有穩(wěn)定性和四邊形具有不穩(wěn)定性，難度不大
【考點(diǎn)7】三角形的內(nèi)角和
【例7-1】若一個(gè)三角形中一個(gè)角的度數(shù)是另一個(gè)角的度數(shù)的4倍，則稱這樣的三角形為“和諧三角形”，例如，三個(gè)內(nèi)角分別為，，的三角形是“和諧三角形”，如圖，直角三角形中，，，D是邊上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)是“和諧三角形”時(shí)，的度數(shù)是_________．
【答案】或．
【分析】分四種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)∠B＝4∠ADB時(shí)；②當(dāng)∠ADB＝4∠BAD時(shí)；③當(dāng)∠BAD＝4∠ADB時(shí)；④當(dāng)∠B＝4∠DAB時(shí)；⑤當(dāng)∠ADB＝4∠B時(shí)；⑥當(dāng)∠BAD＝4∠B時(shí)．根據(jù)“和諧三角形”的定義求解即可．
【詳解】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
當(dāng)△ADC是“和諧三角形”時(shí)，分四種情況：
①當(dāng)∠B＝4∠ADB時(shí)；
∠ADB==15°<30°；
不符合題意；
②當(dāng)∠ADB＝4∠BAD時(shí)；
,
解得；
③當(dāng)∠BAD＝4∠ADB時(shí)；
解得：，不符合題意；
④當(dāng)∠B＝4∠DAB時(shí)；
；
解得．
⑤當(dāng)∠ADB＝4∠B時(shí)；
∠ADB＝4∠B；不符合題意；
⑥當(dāng)∠BAD＝4∠B時(shí)．
∠BAD＝4∠B；不符合題意；
綜上所述，∠DAB的度數(shù)是或．
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查新定義，三角形內(nèi)角和定理，理解“和諧三角形”的定義并且能夠應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．
【例7-2】如圖，在中，，，平分，平分，則的大小是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用角平分線的定義先求得和的大小，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可得到答案．
【詳解】解：∵平分，平分，
∴，．
由三角形的內(nèi)角和定理可知：
．
故選；B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是角平分線的定義、三角形的內(nèi)角和定理，掌握角平分線的定義和三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【例7-3】如圖，△ABC中，點(diǎn)D在△ABC的內(nèi)部，AD平分∠BAC，∠ADB＝90°，DE∥AC，點(diǎn)E在BC上，若∠BAC＝80°，則∠BDE的度數(shù)是（　　）
A．110° B．120° C．130° D．135°
【分析】先根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠CAD的度數(shù)，再由平行線的性質(zhì)得出∠ADE的度數(shù)，由∠ADB＝90°即可得出結(jié)論．
【解答】解：∵∠BAC＝80°，AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAC＝40°，
∵DE∥AC，
∴∠ADE＝180°﹣∠CAD＝180°﹣40°＝140°，
∵∠ADB＝90°，
∴∠BDE＝360°﹣∠ADB﹣∠ADE＝360°﹣90°﹣140°＝130°．
故選：C．
【考點(diǎn)8】直角三角形的判定和性質(zhì)
【例8-1】直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】解：直角三角形的一銳角是，那么另一銳角是
【例8-2】如圖，，若，則______°.
【答案】59
【分析】根據(jù)對(duì)頂角相等，直角三角形的兩銳角互余即可求解．
【詳解】解：∵，,
∴
故答案為：59
【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的兩銳角互余，對(duì)頂角相等，掌握直角三角形的兩銳角互余是解題的關(guān)鍵．
【例8-3】在下列條件中：①；②；③，能確定為直角三角形的條件有_________個(gè)．
【答案】3
【分析】利用三角形的內(nèi)角和定理，即可分別進(jìn)行判斷．
【詳解】解：①∵，
又∵，
∴，
∴；故①符合題意；
②∵，
又；
∴，
∴；故②符合題意；
③∵，
又，
∴，
故③符合題意；
∴能確定為直角三角形的條件有3個(gè)；
故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的內(nèi)角和定理進(jìn)行判斷．
【考點(diǎn)9】三角形的外角
【例9-1】 如圖，在△ABC中，E為邊AC上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)F，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，連接DE．∠1，∠2，∠3的大小關(guān)系為（　　）
A．∠2＞∠1＞∠3 B．∠1＞∠3＞∠2 C．∠1＞∠2＝∠3 D．∠1＞∠2＞∠3
【答案】D
【解答】解：∵∠2是△CDE的外角，
∴∠2＝∠3+∠CED，
∴∠2＞∠3，
∵∠1是△ABC的外角，
∴∠1＝∠2+∠A，
∴∠1＞∠2，
∴∠1＞∠2＞∠3．
故選：D．
【例9-2】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度數(shù)為　　度．
【答案】如圖連接CE，
根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得∠1=∠A+∠B=∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED=180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED=180°．
【例9-3】如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).
思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題.
解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD=51°+20°+30°=101°.
解法三：連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過程同解法二）
【考點(diǎn)10】 多邊形的內(nèi)角與外角：
【例10-1】（1）每個(gè)內(nèi)角都相等的十邊形的一個(gè)外角的度數(shù)為 _____；
（2）一個(gè)多邊形過頂點(diǎn)剪去一個(gè)角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720°，則原多邊形的邊數(shù)是 _____．
【答案】 36°##36度 6或7
【分析】（1）根據(jù)正多邊形的每一個(gè)外角相等且所有的外角的度數(shù)和為360度求解即可．
（2）求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形．
【詳解】解：（1）一個(gè)十邊形的每個(gè)外角都相等，
∴十邊形的一個(gè)外角為360÷10＝36°．
故答案為：36°；
（2）設(shè)內(nèi)角和為720°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）×180＝720，
解得：n＝6．
∵多邊形過頂點(diǎn)截去一個(gè)角后邊數(shù)不變或減少1，
∴原多邊形的邊數(shù)為6或7．
故答案為：6或7．
【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形外角和多邊形的內(nèi)角和；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，熟知正多邊形外角與邊數(shù)的關(guān)系式．
【例10-2】如圖，將等邊三角形、正方形和正五邊形按如圖所示的位置擺放．，則＝___．
【答案】##42度
【解析】
【分析】
利用多邊形的外角和定理，即減去等邊三角形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，減去正五邊形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，減去正方形的一個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，再減去和的度數(shù)，最后得出答案．
【詳解】
等邊三角形的內(nèi)角的度數(shù)是，正方形的內(nèi)角的度數(shù)為，正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)是，
則．
故答案為：
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了多邊形外角和定理，正多邊形內(nèi)角和公式，熟練掌握相關(guān)知識(shí)及正確運(yùn)算是解題關(guān)鍵．
【例10-3】看圖回答問題：
(1)內(nèi)角和為2014°，小明為什么說不可能？
(2)小華求的是幾邊形的內(nèi)角和？
【答案】(1)理由見詳解
(2)
【分析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解；
（2）根據(jù)題意設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．
【詳解】（1）解：∵設(shè)多邊形的邊數(shù)為，則邊形的內(nèi)角和是，
∴內(nèi)角和一定是度的倍數(shù)，
∵，
∴內(nèi)角和為不可能．
（2）解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為，
∴，解得，，
∴多邊形的邊數(shù)是，
∴小華求的是十三邊形的內(nèi)角和．
【點(diǎn)睛】本題主要考查多邊形的內(nèi)角和定理，掌握多邊形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)11】正多邊形
【例11-1】如圖，正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五邊形的外角∠EDF，則∠G＝（　　）
A．36° B．54° C．60° D．72°
【分析】根據(jù)正五邊形的軸對(duì)稱性以及多邊形的外角和等于360度解答即可．
【解答】解：如圖：
由正五邊形ABCDE，BG平分∠ABC，可得∠DPG＝90°，
∴∠G+∠EDG＝90°，
∵，DG平分正五邊形的外角∠EDF，
∴，
∴∠G＝90°﹣∠EDG＝54°．
故選：B．
【例11-2】如圖，正六邊形ABCDEF和正五邊形GHCDL的邊CD重合，DH的延長(zhǎng)線與AB交于點(diǎn)P，則∠BPD的度數(shù)是（　　）
A．83° B．84° C．85° D．86°
【分析】利用多邊形的內(nèi)角和與正多邊形的性質(zhì)分別求得∠BCD，∠B，∠DCH的度數(shù)，然后利用等邊對(duì)等角及三角形內(nèi)角和定理求得∠CDH的度數(shù)，再結(jié)合四邊形的內(nèi)角和為360°進(jìn)行計(jì)算即可．
【解答】解：∵六邊形ABCDEF為正六邊形，
∴∠BCD＝∠B＝（6﹣2）×180°÷6＝120°，
∵五邊形GHCDL為正五邊形，
∴CD＝CH，∠DCH＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
∴∠CDH＝∠CHD＝＝36°，
∵四邊形BCDP的內(nèi)角和為360°，
∴∠BPD＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°，
故選：B．
【例11-3】已知一個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n．
(1)若這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和的比外角和多，求n的值．
(2)若這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為，求n的值．
【答案】(1)n的值為12；(2)n的值為5．
【分析】（1）根據(jù)多邊形內(nèi)角和公式列式計(jì)算即可解答；
（2）先求得這個(gè)正多邊形的每個(gè)外角為，根據(jù)多邊形外角和定理解答即可．
（1）解：依題意，得，
解得，即n的值為12；
（2）解：∵正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為，
∴這個(gè)正多邊形的外角為．
∵多邊形的外角和為，
∴，即n的值為5．
【點(diǎn)撥】本題考查了正多邊形的內(nèi)角與外角，解題的關(guān)鍵是牢記正多邊形的內(nèi)角和公式與外角和等于360°．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
HYPERLINK "http://21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)
" 21世紀(jì)教育網(wǎng)(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑