資源簡介

第二十章 數據的分析
20.1 數據的集中趨勢
20.1.1 平均數
第1課時 平均數
目標展示
教學目標
1．在實際情境中理解平均數的概念和意義．
2．會計算一組數據的算術平均數和加權平均數．
重點難點
重點：知道算術平均數和加權平均數的意義，會求一組數據的算術平均數和加權平均數.
難點：理解“權”的差異對平均數的影響，算術平均數與加權平均數的聯系與區別，并能利用它們解決實際問題．
教學過程
一、新知鏈接
下表給出了某戶居民2010年全年的水費繳納情況（每兩個月計費一次），請你幫這戶居民算一算：平均每月繳納多少水費？
某戶居民2010年繳納水費統計表
月份 2 4 6 8 10 12
水費（元） 50.60 34.60 41.40 46.00 39.20 27.60
師生活動：師出示問題后，由學生利用小學已經學過的平均數的知識獨立完成解答．
結論：19.95元．
二、新知探究
探究點一：算術平均數
1．設n個數x1，x2，…，xn，你能根據小學階段學過的平均數的定義，求出這組數據的平均數嗎？該怎樣表示，與同學交流．
師生活動：師引導學生回憶下小學階段學過的平均數的定義，根據定義，由學生獨立寫出這組數據的平均數．
結論：這組數據的平均數是（x1＋x2＋…＋xn）．
2．下面的兩個表是北京和廣東兩支籃球隊隊員的身高、年齡統計表：
（1）通過表格，你能說出哪支球隊隊員的身材更為高大嗎？
（2）通過表格，你能說出哪支球隊隊員更為年輕嗎？
師生活動：師引導學生讀懂圖表中各數據的意義，引導學生利用平均數來解決問題，讓學生在組內討論求解，選代表回答．
結論：（1）北京金隅隊隊員的平均身高為：＝198（cm）
廣東東莞銀行隊隊員的平均身高為：＝200（cm）
通過平均身高的比較可知，廣東東莞銀行隊隊員的身材更為高大．
（2）北京金隅隊隊員的平均年齡為
＝25.4（歲），
廣東東莞銀行隊隊員的平均年齡為
＝24.1（歲），
通過平均年齡的比較可知，廣東東莞銀行隊隊員更為年輕．
3．通過問題2的解決，你能解釋“平均身高”“平均年齡”在實際問題中的作用嗎？與同學交流．
師生活動：在解決問題2的基礎上，由學生通過組內討論的方式，嘗試解答．通過學生的回答，師引導學生體會平均數與該組數據之間的關系．
結論：平均數反映了一組數據的平均水平，也反映了一組數據的集中情況．
平均身高大，則說明身高普遍較高；反之，平均身高小，則說明身高普遍較矮．
平均年齡越小，說明年齡普遍較小，整體比較年輕；反之，平均年齡越大，說明年齡普遍較大，整體比較年長．
因而通過比較“平均身高”“平均年齡”即可對兩隊的基本情況作出判斷．
探究點二：加權平均數
1．商店里有兩種蘋果，一種單價為3.50元/千克，另一種單價為6元/千克．小明媽媽買了單價為3.50元/千克的蘋果1千克，單價為6元/千克的蘋果3千克，那么媽媽所買蘋果的平均價格是多少元？
小亮認為，混合后每千克蘋果的價格是兩種蘋果單價的平均數，即
＝4.75（元）．
小明認為，在總體中兩種蘋果的質量不相等，計算每千克蘋果的售價時，應求出混合后兩種蘋果的總價格，再除以它們的總質量數，即
＝5.375≈5.38（元）．
你同意上面誰的算法？與同學交流．
師生活動：引導學生說出自己的想法，通過交流，讓學生認識小亮算法的錯誤所在．
結論：小亮的算法是錯誤的，因為小亮沒有考慮兩種蘋果在蘋果總質量4千克中所占份額的不同，而小明的算法是按照公式單價＝計算的，故而小明的算法是正確的．
2．問題1中小明列出的算式還可以作以下變形：
＝3.5×＋6×＝5.375≈5.38（元）
由這個算式可以看出，數據3.5、6對購買的蘋果單價影響的“重要程度”是不一樣的．你發現這兩個數據影響平均數大小的重要程度是通過哪兩個比值反映出來的嗎？
師生活動：師引導學生探索購買蘋果的平均價格受什么因素的影響，學生相互交流各自的發現．
結論：通過混合后兩種蘋果的質量在購買的蘋果總質量中所占的比值反映出來．
3．老師在計算學生每學期的總評成績時，并不是簡單地將一個學生的平時成績與考試成績相加除以2，而是按照“平時成績占40％，考試成績占60％”的比例計算，如圖所示，
其中考試成績更為重要．
如果一個學生的平時成績為70分，考試成績為90分，那么你能仿照問題2中計算平均數的方法，計算出這名學生的學期總評成績嗎？你能歸納一下這種計算平均數的方法嗎？與同學交流．
師生活動：這是與學生生活實際緊密相關的而例子，可以讓學生更好的地體會加權平均數的意義．師可讓學生在小組內討論嘗試求解，選代表回答，師給予點評指正．
結論：這名同學的學期總評成績應該為
70×40％＋90×60％＝82（分）．
歸納概念：一般地，在k個數據x1，x2，……，xk中，如果各個數據出現的次數分別為w1，w2，……wk，記w1＋w2＋…＋wk＝n，那么比值，，…，分別是這k個數據的權重，把＋＋…＋叫做這k個數據的加權平均數．
4．在加權平均數的計算公式中，所有數據的權重的和是多少？對比加權平均數與以前學過的平均數的意義，你能說出二者有什么聯系嗎？
師生活動：師引導學生通過加權平均數的概念，獨立發現所有數據的權的和為1的結論，并引導學生通過對比加權平均數與以前學過的平均數的意義，發現二者的聯系，并相互交流．
結論：
①因為＋＋…＋＝＝＝1．
所以所有數據的權重的和是1．
②在一組數據中，把每個數據出現的次數都看作1時，這組數據的加權平均數就是過去學過的平均數．
三、典例精講
類型1 已知一組數據的平均數，求某一個數據
例1如果一組數據3，7，2，a，4，6的平均數是5，則a的值是(　　)
A．8　　　B．5　　　C．4　　　D．3
【解析】∵數據3，7，2，a，4，6的平均數是5，∴(3＋7＋2＋a＋4＋6)÷6＝5，解得a＝8.故選A.
【答案】A
方法歸納
解決此類問題的關鍵是根據算術平均數的計算公式和已知條件列出方程求解．
類型2 已知一組數據的平均數，求新數據的平均數
例2 已知一組數據x1、x2、x3、x4、x5的平均數是5，則另一組新數據x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均數是(　　)
A．6　　　B．8　　　C．10　　　D．無法計算
【解析】∵x1、x2、x3、x4、x5的平均數為5，∴x1＋x2＋x3＋x4＋x5＝5×5，∴x1＋1、x2＋2、x3＋3、x4＋4、x5＋5的平均數為(x1＋1＋x2＋2＋x3＋3＋x4＋4＋x5＋5)÷5＝(5×5＋15)÷5＝8.故選B.
【答案】B
跟蹤訓練
已知5個正數m1，m2，m3，m4，m5的平均數為m，且m1＜m2＜m3＜m4＜m5，則數據m1，m2，0，m3，m4，m5的平均數是（ C ）
A．m B．m3
C．m D．m3
類型3 平均數的實際應用
例3 某同學在本學期的前四次數學測驗中得分依次是95，82，76，88，馬上要進行第五次測驗了，他希望五次成績的平均分能達到85，那么這次測驗他應得多少分呢？
解：設第五次測驗得x分，則
＝85．
解得x＝84．
所以這次測驗他應得84分．
跟蹤訓練
1．某校舉行運動會，按年級設獎，第一名得5分，第二名得3分，第三名得2分，第四名得1分，某班8名同學參加比賽，共得2個第一，1個第三，4個第四，則該班8名同學的平均得分為2分．
2．評定學生的學科期末成績由期末考試分數、作業分數、課堂參與分數三部分組成，并按3∶3∶4的比例確定．已知小軍的數學期末考試80分，作業90分，課堂參與85分，則他的數學期末成績為85分．
四、課堂小結
1.算術平均數
平均數是一組數據的代表，主要描述一組數據的平均水平，平均數是應用較多的一種量，在利用平均數解決問題時要注意以下兩點：
（1）平均數計算要用到所有的數據，它能夠充分利用所有的數據信息，但它受極端值的影響較大．
（2）平均數的大小與一組數據中的每個數據均有關系，任何一個數據的變動都會相應引起平均數的變動．
2．加權平均數
一般地，在k個數據x1，x2，……，xk中，如果各個數據出現的次數分別為w1，w2，……wk，記w1＋w2＋…＋wk＝n，那么比值，，…，分別叫做這k個數據的權重，把
＋＋…＋
叫做這k個數據的加權平均數．
3．加權平均數與算術平均數的聯系
在一組數據中，把每個數據出現的次數都看作1時，這組數據的加權平均數就是過去學過的算術平均數．
第二十章 數據的分析
20.1 數據的集中趨勢
20.1.1 平均數
第2課時 用樣本平均數估計總體平均數
目標展示
教學目標
1. 掌握用樣本平均數去估計總體平均數的統計方法.
2．在實際情景中會用樣本平均數去估計總體平均數、體會樣本代表性的重要意義．
重點難點
重點：掌握用樣本平均數去估計總體平均數的統計方法.
難點：在實際情景中會用樣本平均數去估計總體平均數、體會樣本代表性的重要意義．
教學過程
一、新課導入
生活中的“小笑話”：
一天，爸爸叫兒子去買一盒火柴．臨出門前，爸爸囑咐兒子要買能劃燃的火柴．兒子拿著錢出門了，過了好一會兒，兒子才回到家．爸爸：“火柴能劃燃嗎？”兒子：“都能劃燃．”爸爸：“你這么肯定？”兒子遞過一盒劃過的火柴，興奮地說：“我每根都試過啦．”爸爸：“?。　?br/>今天我就學習用樣本平均數估計總體平均數．
二、新知探究
探究點：用樣本平均數估計總體平均數
為了估計某礦區鐵礦石的含鐵量,抽取了15塊礦石,測得它們的含鐵量如下:(單位:%)
26 24 21 28 27 23 23 25
26 22 21 30 26 20 30
則樣本的平均數是多少 估計這個礦區鐵礦石的平均含鐵量約為多少
議一議
為了了解黃巖區某次數學統考8260名考生的平均成績，你會采用什么樣的行之有效的做法？
為了解5路公共汽車的營運情況，公交部門統計了某天5路公共汽車每個運行班次的載客量，得到下表：
載容最/人 組中值 頻數
1≤X<21 11 3
21≤X<41 31 5
41≤X<61 51 20
61≤X<81 71 22
81≤X<101 91 18
1011≤X<121 111 15
這天5路公共汽車平均每班的載客量是多少？
【教學說明】老師提問后，先讓學生自主探究，相互交流，然后教師給予指導，說明在不知道原始數據情況下，可以利用組中值和頻數近似地計算一組數據的平均數.如在1≤x＜21情況下，有3個班次，那么這3個班次的平均數為=11，從而可以估計這天5路公共汽車的載客量在1≤x＜21情況下的總數為11×3=33人；類似地可得到這天5路公共汽車載客總量應約為11×3+31×5+51×20+71×22+91×18+111×15,因而平均每個班次的載客量約為人.
三、典例精講
類型1 結合條形圖來估計總體情況
例1為宣傳節約用水，小明隨機調查了某小區部分家庭5月份的用水情況，并將收集的數據整理成如下統計圖．
(1)小明一共調查了多少戶家庭？
(2)求所調查家庭5月份用水量的平均數；
(3)若該小區有400戶居民，請你估計這個小區5月份的用水量．
解：(1)1＋1＋3＋6＋4＋2＋2＋1＝20(戶)，
答：小明一共調查了20戶家庭；
(2)(1×1＋1×2＋3×3＋4×6＋5×4＋6×2＋7×2＋8×1)÷20＝4.5(噸)，
答：所調查家庭5月份用水量的平均數為4.5噸；
(3)400×4.5＝1800(噸)，
答：估計這個小區5月份的用水量為1800噸．
方法歸納
讀懂統計圖，從統計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統計圖能清楚地表示出每個項目的數據．
類型2 結合頻數分布直方圖來估計總體情況
例2 統計武漢園博會前20天日參觀人數，得到如下頻數分布表和頻數分布直方圖(部分未完成)：
武漢園博會前20天日參觀人數的頻數分布表
組別(萬人) 組中值(萬人) 頻數 頻率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 6 0.3
21.5～28.5 25 0.3
28.5～35.5 32 3
(1)請補全頻數分布表和頻數分布直方圖；
(2)求出日參觀人數不低于21.5萬的天數和所占的百分比；
(3)利用以上信息，試估計武漢園博會(會期247天)的參觀總人數．
解：(1)14.5～21.5小組的組中值是(14.5＋21.5)÷2＝18，3÷20＝0.15.
武漢園博會前20天日參觀人數的頻數分布表：
組別(萬人) 組中值(萬人) 頻數 頻率
7.5～14.5 11 5 0.25
14.5～21.5 18 6 0.3
21.5～28.5 25 6 0.3
28.5～35.5 32 3 0.15
(2)依題意得日參觀人數不低于21.5萬有6＋3＝9(天)，所占百分比為9÷20＝45%；
(3)∵園博會前20天的平均每天參觀人數約為＝＝20.45(萬人)，∴武漢園博會(會期247天)的參觀總人數約為20.45×247＝5051.15(萬人)．
答：武漢園博會(會期247天)的參觀總人數約為5051.15萬人．
四、課堂小結
在實際生活中，可用樣本的平均數來估計總體的平均數．樣本容量越大時，這種估計越準確．
第二十章 數據的分析
20.1 數據的集中趨勢
20.1.2 中位數和眾數
目標展示
教學目標
理解中位數、眾數的概念和意義，會求一組數據的中位數、眾數．
重點難點
重點：理解中位數、眾數的概念和意義，會求一組數據的中位數、眾數．
難點：求一組數據的中位數、眾數．
教學過程
一、新課導入
師用多媒體展示如下漫畫
師提出問題：
經理所說的公司的平均月薪2700元是否欺騙了應聘者？
平均月薪2700元能客觀反映公司員工的平均收入嗎？若不能，你認為用哪個數據表示該公司員工收入的平均水平更合適？
怎樣說明這些問題呢？我們需要學習新的數據代表——中位數和眾數．
二、新知探究
探究點一：中位數
根據中央電視臺2011年10月20日19時30分預報，我國大陸各直轄市和省會城市21日的最高氣溫（℃）如下表所示：
各地21日最高氣溫（℃）預報
北京 17 天津 22 石家莊 21 太原 21 呼和浩特 18 沈陽 22 長春 20 哈爾濱 19
上海 23 南京 23 杭州 24 合肥 22 福州 27 南昌 26 濟南 23 鄭州 22
武漢 25 長沙 26 廣州 30 海口 30 南寧 29 成都 21 重慶 20 貴陽 17
昆明 20 拉薩 20 西安 21 蘭州 18 銀川 20 西寧 16 烏魯木齊 9
思考下面的問題，并與同學交流．
（1）這組數據中，共有多少個數據？
師生活動：引導學生通過獨立思考和交流，自己得出答案．
結論：這組數據中，共有31個數據．
（2）將我國大陸直轄市和省會城市21日的最高氣溫數據按照由小到大的順序加以排列，排在中間位置的數據是哪一個？如果按照從大到小的順序加以排列呢？你發現了什么？
師生活動：引導學生通過獨立思考和交流，自己得出答案．
結論：按照由小到大的順序排列為
9，16，17，17，18，18，19，20，20，20，20，20，21，21，21，21，22，22，22，22，23，23，23，24，25，26，26，27，29，30，30．
排在中間位置的是21℃．
按照由大到小的順序排列為
30，30，27，26，26，25，24，23，23，23，22，22，22，22，21，21，21，21，20，20，20，20，20，19，18，18，17，17，16，9．
排在中間位置的是21℃．
所以，不論將這組數據按照從大到小還是從小到大的順序排列，排在中間的數據只有一個，且都是21℃．
（3）如果再加入一個城市青島21日的最高氣溫22℃，那么新的一組最高氣溫的數據中有多少個數據？如果將這組新數據按照從小到大的順序加以排列，那么排在正中間位置的數據是哪幾個數？如果按照由大到小的順序加以排列呢？
師生活動：引導學生通過獨立思考和交流，自己得出答案．
結論：數據的個數是32，不論按照從大到小，還是從小到大的順序將這組數據加以排列，排在正中間的數據總有兩個，分別是21℃和22℃．這兩個數據的平均數是21.5℃．
歸納定義：一般地，將一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數叫做這組數據的中位數．如果數據的個數為奇數，那么處于中間位置的一個數據是這組數據的中位數；如果數據的個數為偶數，那么處于中間位置的兩個數據的平均數，是這組數據的中位數．
師強調：當一組數據的個數為偶數時，它的中位數不一定是這組數據中的一個．
（4）觀察你在（2）和（3）中重新排列的兩組數據，你認為中位數21℃和21.5℃具有什么實際意義？
師生活動：引導學生通過獨立思考并相互交流，師生共同探討中位數的實際意義．
結論：在上面的兩個問題中，21℃和21.5℃分別處于排列后該組數據的中間的位置，從而我們可以用21℃和21.5℃分別代表著兩組城市21日最高氣溫的一般溫度．由此可見，在按大小順序排列后的一組數據中，由于中位數的位置居中，因而它能夠反映這組數據的集中趨勢和一般水平，因此，通常也把中位數作為這組數據的代表．
探究點二：眾數
（1）根據上面的“各地21日最高氣溫（℃）預報”表，你能說出每個溫度數據出現的次數分別是多少嗎？其中，出現次數最多的數據有哪幾個？與同學交流．
師生活動：師引導學生先熟悉問題的實際情境，然后讓學生通過觀察和思考作出解答．
結論：各溫度出現次數的統計表如下：
氣溫 （℃） 9 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 29 30
頻數 1 1 2 2 1 5 4 4 3 1 1 2 1 1 2
由表可知，出現次數最多的數據是20℃，出現了5次．
歸納概念：一組數據中出現次數最多的數據，叫做這組數據的眾數．
（2）若有兩個氣溫值（如20℃和22℃）的頻數并列最多，那怎樣確定眾數呢？
師生活動：師可讓學生在組內展開討論，選代表回答，師給予指正．
結論：這時，不能取20℃和22℃這兩個數的平均數作為眾數，而是說這兩個氣溫值都是眾數．
在一組數據中，如果有較多的重復數據，它的眾數可能是1個，也有可能是2個或更多個．眾數是出現次數最多的數據，而不是重復出現的次數．當一組數據中沒有重復出現的數據時，這組數據便沒有眾數，但不能說眾數為0．
（3）通過學習平均數、中位數、眾數，我們知道它們都是反映一組數據集中趨勢的代表，那你能歸納一下它們之間有什么不同嗎？與同學交流．
師生活動：學生通過獨立思考和交流，自己歸納結論．
結論：平均數、眾數和中位數是三種從不同途徑獲得的刻畫數據集中程度的統計量．平均數是通過計算得到的，它的大小由這組數據中所有的數據決定，因而能刻畫一組數據的集中程度和一般水平．平均數的應用最為廣泛，但是它的值容易受到個別極端數據的影響．中位數是由這組數據處于中間位置的數據決定的，當數據按照大小順序排列時，個別極端數據只能排在這組數據的最前或最后，因而中位數不容易受個別極端數據的影響．眾數是一組數據中重復出現次數最多的數據，也不容易受個別極端數據的影響．所以在實際問題中，應根據具體情況，從平均數、中位數和眾數中選擇最為合適的統計量，代表一組數據的集中程度．
三、典例精講
類型1 中位數與眾數的實際應用
例1某商場本月1—10日的日營業額（單位：萬元）如下表所示：
日 期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
日營業額/萬元 5.3 6.2 3.6 4.5 8.6 6.8 4.5 6.3 6.5 6.6
（1）求這10天日營業額的平均數和中位數；
（2）請對該商場本月2日的營業情況作出評價．
解：（1）這10天日營業額的平均數為
＝5.89（萬元）；
將這組數據按由小到大的順序排列為：
3.6，4.5，4.5，5.3，6.2，6.3，6.5，6.6，6.8，8.6．
這組數據的中位數為處于中間位置的兩個數據6.2，6.3的平均數，即
＝6.25（萬元）．
所以，這10天營業額的平均數為5.89萬元，中位數為6.25萬元．
（2）該商場本月2日的營業額為6.2萬元，高于該月1—10日的日平均營業額，因而營業額情況還是不錯的．但是，該天的營業額略低于1—10日營業額的中位數，這說明該天的營業額在這10天中，處于中等稍偏下水平．
跟蹤訓練
下圖是某籃球隊隊員年齡結構統計圖，根據圖中信息解答下列問題．
（1）該隊隊員年齡的平均數；
（2）該隊隊員年齡的眾數和中位數．
解：（1）隊員年齡的平均數為（17×1＋18×2＋21×3＋23×2＋24×2）÷10＝21（歲）．
（2）眾數為21歲，中位數為21歲．
類型2 平均數、眾數和中位數的選擇
例2 某公司有15名工作人員，他們的月工資情況如下表所示，
職務 經理 副經理 職員
人數 1 2 12
月工資/元 8000 5000 2000
（1）求該公司工作人員月工資的平均數、中位數和眾數；
（2）假設經理的月工資由8000元提升到12000元，副經理的月工資由5000元提升到6000元，職員的月工資仍為2000元，求工資變動后所得一組新的數據的平均數、中位數和眾數；
（3）由（1）（2）你認為在這一問題中，哪個統計量更能反映出這個公司員工的月工資水平？結合統計量的實際意義加以解釋．
解：（1）該公司工作人員月工資的平均數為
（元）．
把15名工作人員的月工資按從小到大排列，可得該公司的月工資的中位數為2000元，眾數也為2000元．
（2）該公司工資變動后，月工資的平均數為
（元）．
該公司月工資的中位數和眾數仍為2000元．
（3）由于經理和副經理的工資偏高，使該公司的原月平均工資2800與絕大多數員工的差距較大．該公司經理和副經理的工資變動后，月平均工資由2800升至3200，但中位數和眾數仍為2000元．由此可見，在這一問題中，要反映該公司工作人員月工資水平，用中位數和眾數要比用平均數更客觀一些．
四、課堂小結
1．中位數
一般地，將一組數據按大小順序排列后，處于中間位置的數叫做這組數據的中位數．如果數據的個數為奇數，那么處于中間位置的一個數據是這組數據的中位數；如果數據的個數為偶數，那么處于中間位置的兩個數據的平均數，是這組數據的中位數．
2．眾數
一組數據中出現次數最多的數據，叫做這組數據的眾數．在一組數據中，如果有較多的重復數據，它的眾數可能是1個，也有可能是2個或更多個．眾數是出現次數最多的數據，而不是重復出現的次數．當一組數據中沒有重復出現的數據時，這組數據便沒有眾數，但不能說眾數為0．
3．對平均數、中位數和眾數三個統計量的理解
平均數、眾數和中位數是三種從不同途徑獲得的刻畫數據集中程度的統計量．平均數是通過計算得到的，它的大小由這組數據中所有的數據決定，因而能刻畫一組數據的集中程度和一般水平．平均數的應用最為廣泛，但是它的值容易受到個別極端數據的影響．中位數是由這組數據處于中間位置的數據決定的，當數據按照大小順序排列時，個別極端數據只能排在這組數據的最前或最后，因而中位數不容易受個別極端數據的影響．眾數是一組數據中重復出現次數最多的數據，也不容易受個別極端數據的影響．所以在實際問題中，應根據具體情況，從平均數、中位數和眾數中選擇最為合適的統計量，代表一組數據的集中程度．

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