資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二 三角形角中有關的幾何模型（一）
模型一　角的“8”字模型
如圖1-1所示,AC,BD相交于點O,連接AD,BC.
結論:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
圖1-1
模型結論的推導:
（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),
∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),
又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
AD①+②得:AD+BC模型結論的應用：
【例1-1】如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【例1-2】我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，，相交于點O，連接，得到“8”字圖形．

(1)如圖1，試說明的理由；
(2)如圖2，和的平分線相交于點E，利用（1）中的結論探索與、間的關系；
(3)如圖3，點E為延長線上一點，、分別是、的四等分線，且，，的延長線與交于點P，請探索與、的關系．
【例1-3】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數為 ．
【例1-4】如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
(1)求證：；
(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．
①若，求的度數；
②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數量關系．
針對練習1
1 .如圖所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　）
A．180° B．360° C．240° D．200°
2 .如圖①，線段，相交于點，連接，，我們把形如圖①的圖形稱為“字形”，試解答下列問題；
(1)在圖①中，請直接寫出，、，之間的數量關系；
(2)在圖②中，若、，和的平分線和相交于點，并且與，分別相交于點，，利用（1）的結論，試求的度數．
3 .圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：　 　；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：　 　個；
（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．
4 .閱讀材料，回答下列問題：
【材料提出】
“八字型”是數學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構成．
【探索研究】
探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系為 　 　；
探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數為 　 　；
探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數量關系為 　 　．
【模型應用】
應用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝　 　（用含有α和β的代數式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代數式表示）
應用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代數式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如圖6，若設∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為 　 　．（用x、y表示∠P）
拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論 　 　．
5 .已知線段，相交于點O，連接，，我們把形如圖1的圖形稱為“8字形”．試解答下列問題：
(1)在圖1中，，，，之間有何數量關系？直接寫出結論．
(2)如圖2，在（1）的結論下，與的平分線和相交于點P，并且與，分別相交于點M，N．與，之間有何數量關系？并說明理由．
5. 已知線段，相交于點O，連接，，我們把形如圖1的圖形稱為“8字形”．試解答下列問題：
(1)在圖1中，，，，之間有何數量關系？直接寫出結論．
(2)如圖2，在（1）的結論下，與的平分線和相交于點P，并且與，分別相交于點M，N．與，之間有何數量關系？并說明理由。
模型二　角的燕尾模型（飛鏢型）
如圖1-6所示,有結論:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
圖1--6
模型結論的推導:
如圖1-6,連接AD并延長到點E.
∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),
∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),
∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.
又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
模型結論的應用
【例2-1】如圖，已知，，，求和的度數．
【例2-2】如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【例2-3】在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【例2-4】如圖1，點P是兩外角平分線的交點．

(1)若，則 ；
(2)探究與的數量關系并說明理由；
(3)如圖2，點P是四邊形相鄰兩外角平分線的交點，請直接寫出與，的數量關系．
針對練習2
1.如圖1-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
2 .閱讀下面的材料，并解決問題．

(1)已知在中，，圖的的內角平分線或外角平分線交于點O，請直接求出下列角度的度數．
如圖1， ；如圖2， ；如圖3， ；
如圖4，，的三等分線交于點，，連接，則 ．
(2)如圖5，中，的三等分線分別與的平分線交于點，，若，，求的度數．
3.探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，
（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝　50　°；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數．
模型三　角的“A”字模型
如圖所示，BC交AD、AE與B、C，
結論：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
模型結論的應用
【例3-1】按如圖中所給的條件，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【例3-2】如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（ ）．
A． B． C． D．
【例3-3】如圖，已知在中，，現將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經過點，直角頂點D落在的內部，則（ ）．
A． B． C． D．
針對練習3
1 .（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；
（3）如圖2，根據（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關系是______________；
（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關系，并說明理由．
2 .如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
3 .如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們容易證明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
嘗試探究：
（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）
初步應用：
（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝　 　．
（3）解決問題：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案　 　．
（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結論探究∠P與∠A、∠D的數量關系．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題二 三角形角中有關的幾何模型（一）（解析版）
模型一　角的“8”字模型
如圖1-1所示,AC,BD相交于點O,連接AD,BC.
結論:（1）∠A+∠D=∠B+∠C.
（2）AD+BC BD+AC
圖1-1
模型結論的推導:
（1）∵∠A+∠D+∠AOD=180°(　　　　　　　　),
∠B+∠C+∠BOC=180°(　　　　　　　　),
又∠AOD=∠BOC(　　　　　　　　),
∴∠A+∠D=∠B+∠C.
AD①+②得:AD+BC模型結論的應用：
【例1-1】如圖，AB和CD相交于點O，∠A＝∠C，則下列結論中不能完全確定正確的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠1＝∠A＋∠D C．∠2＞∠D D．∠C＝∠D
【答案】D
【分析】利用三角形的外角性質，對頂角相等逐一判斷即可．
【詳解】∵∠A＋∠AOD＋∠D＝180°，∠C＋∠COB＋∠B＝180°，∠A＝∠C，∠AOD＝∠BOC，
∴∠B＝∠D，∵∠1＝∠2＝∠A＋∠D，∴∠2＞∠D，故選項A，B，C正確，故選D．
【點睛】本題考查了對頂角的性質，三角形外角的性質，熟練掌握并運用兩條性質是解題的關鍵．
【例1-2】我們把有一組對頂角的兩個三角形組成的圖形叫做“8”字圖形，如圖1，，相交于點O，連接，得到“8”字圖形．

(1)如圖1，試說明的理由；
(2)如圖2，和的平分線相交于點E，利用（1）中的結論探索與、間的關系；
(3)如圖3，點E為延長線上一點，、分別是、的四等分線，且，，的延長線與交于點P，請探索與、的關系．
【答案】．(1)詳見解析
(2)
(3)
【分析】本題考查了三角形內角和定理，角平分線定義：
（1）根據三角形的內角和定理，結合對頂角的性質可求解；
（2）根據角平分線的定義可得，，結合（1）的結論可得；
（3）運用（1）和（2）的結論即可求得答案；
熟練掌握三角形內角和定理是解題關鍵．
【詳解】（1）解：如圖1，
，，
．
（2）解：如圖2，
和的平分線相交于點E，
∴，，
由（1）可得：，，
∴，
．
（3）由（1）得：，
，
又，，，
，
設與的交點為點O，

則，
兩式相減可得：，
，
，
，
，
即．
【例1-3】如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度數為 ．
【答案】1080°
【分析】連KF，GI，根據n邊形的內角和定理得到7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，由三角形內角和定理可得到∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，即可得到∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數．
【詳解】解：連KF，GI，如圖，
∵7邊形ABCDEFK的內角和＝（7－2）×180°＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＝900°－（∠1＋∠2），
即∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠1＋∠2）＝900°，
∵∠1＋∠2＝∠3＋∠4，∠5＋∠6＋∠H＝180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＝900°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠K＋（∠3＋∠4）＋∠5＋∠6＋∠H＝900°＋180°，
∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K＝1080°．
故∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＋∠K的度數為1080°．
故答案為：1080°．
【點睛】本題考查了n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為（n－2）×180°（n≥3的整數）
【例1-4】如圖1，已知線段相交于點O，連接，則我們把形如這樣的圖形稱為“8字型”．
(1)求證：；
(2)如圖2，若和的平分線和相交于點P，且與分別相交于點．
①若，求的度數；
②若角平分線中角的關系改為“”，試探究與之間的數量關系．
【答案】(1)見解析(2)①；②
【分析】（1）利用三角形內角和定理和對頂角相等即可證明；
（2）①根據角平分線的定義得到，，再根據“8字形”得到，兩等式相減得到，即，即可求解．②根據，可得，，再由三角形內角和定理和對頂角相等，可得，即可求解．
【詳解】（1）證明：在中，，
在中，，
∵，∴；
（2）解：①∵和的平分線和相交于點P，∴，
∵①，②，
由，得：，即，
∵，∴；
②∵，∴，，
∵，，
∴，，
∴，∴），故答案為：．
【點睛】本題考查了三角形內角和、有關角平分線的計算，解題的關鍵是靈活運用“8字形”求解．
針對練習1
1 .如圖所示，已知∠1＝60°，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（　　）
A．180° B．360° C．240° D．200°
【答案】C
【分析】根據“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和”可知∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，根據三角形內角和可知∠A+∠F＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．
【解析】解：∵∠3＝∠B+∠D，∠2＝∠C+∠E，∠2+∠3＝180°﹣60°＝120°，
∴∠B+∠D+∠C+∠E＝180°﹣60°＝120°，
∵∠A+∠F＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝120°+120°＝240°．
故選：C．
【點評】主要考查了三角形的內角和外角之間的關系．（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和．（2）三角形的內角和是180度．求角的度數常常要用到“三角形的內角和是180°”這一隱含的條件．
2 .如圖①，線段，相交于點，連接，，我們把形如圖①的圖形稱為“字形”，試解答下列問題；
(1)在圖①中，請直接寫出，、，之間的數量關系；
(2)在圖②中，若、，和的平分線和相交于點，并且與，分別相交于點，，利用（1）的結論，試求的度數．
【答案】(1)
(2)
【分析】本題考查三角形內角和定理，角平分線的定義，
（1）根據三角形內角和定理計算，得到答案；
（2）根據（1）的結論列出算式，把、代入計算即可；
掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：．
理由：∵，，，
∴；
（2）由（1）可知，，，
∴，
∵和的平分線和相交于點，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3 .圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：
（1）在圖1中，請直接寫出∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系：　 　；
（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數：　 　個；
（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數．
（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數量關系．（直接寫出結果，不必證明）．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據三角形內角和定理即可得出∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）根據“8字形”的定義，仔細觀察圖形即可得出“8字形”共有6個；
（3）先根據“8字形”中的角的規律，可得∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，再根據角平分線的定義，得出∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，將①+②，可得2∠P＝∠D+∠B，進而求出∠P的度數；
（4）同（3），根據“8字形”中的角的規律及角平分線的定義，即可得出2∠P＝∠D+∠B．
【解析】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠C+∠B，
故答案為：∠A+∠D＝∠C+∠B；
（2）①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；
②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；
③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；
④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；
⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；
⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；
故“8字形”共有6個，
故答案為：6；
（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①
∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②
∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，
①+②得：
∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，
即2∠P＝∠D+∠B，
又∵∠D＝50度，∠B＝40度，
∴2∠P＝50°+40°，
∴∠P＝45°；
（4）關系：2∠P＝∠D+∠B．
∠D+∠1＝∠P+∠3①
∠B+∠4＝∠P+∠2②
①+②得：
∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，
∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4
∴2∠P＝∠D+∠B．
【點評】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義及閱讀理解與知識的遷移能力．（1）中根據三角形內角和定理得出“8字形”中的角的規律；（2）是考查學生的觀察理解能力，需從復雜的圖形中辨認出“8字形”；（3）（4）直接運用“8字形”中的角的規律解題．
4 .閱讀材料，回答下列問題：
【材料提出】
“八字型”是數學幾何的常用模型，通常由一組對頂角所在的兩個三角形構成．
【探索研究】
探索一：如圖1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之間的數量關系為 　 　；
探索二：如圖2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度數為 　 　；
探索三：如圖3，CP、AG分別平分∠BCE、∠FAD，AG反向延長線交CP于點P，則∠P、∠B、∠D之間的數量關系為 　 　．
【模型應用】
應用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線BP，CP相交于點P，則∠A＝　 　（用含有α和β的代數式表示），∠P＝　 　．（用含有α和β的代數式表示）
應用二：如圖5，在四邊形MNCB中，設∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四邊形的內角∠MBC與外角∠NCD的角平分線所在的直線相交于點P，∠P＝　 　．（用含有α和β的代數式表示）
【拓展延伸】
拓展一：如圖6，若設∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為 　 　．（用x、y表示∠P）
拓展二：如圖7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論 　 　．
【答案】探索一：∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：25°；
探索三：∠P．
應用一：α+β﹣180°，；
應用二：；
拓展一：∠P；
拓展二：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】探索一：根據三角形的內角和定理，結合對頂角的性質可求解；
探索二：根據角平分線的定義可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，結合（1）的結論可得2∠P＝∠B+∠D，再代入計算可求解；
探索三：運用探索一和探索二的結論即可求得答案；
應用一：如圖4，延長BM、CN，交于點A，利用三角形內角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再運用角平分線定義及三角形外角性質即可求得答案；
應用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，利用應用一的結論即可求得答案；
拓展一：運用探索一的結論可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再結合已知條件即可求得答案；
拓展二：運用探索一的結論及角平分線定義即可求得答案．
【解析】解：探索一：如圖1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案為∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如圖2，∵AP、CP分別平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案為25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，
由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P．
故答案為：∠P．
應用一：如圖4，由題意知延長BM、CN，交于點A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，
故答案為：α+β﹣180°，；
應用二：如圖5，延長MB、NC，交于點A，設T是CB的延長線上一點，R是BC延長線上一點，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由應用一得：∠P∠A，
故答案為：；
拓展一：如圖6，由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP∠CAB，∠CDP∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB∠CAB，∠PDB∠CDB，
∴∠P∠CAB＝∠B∠CDB，∠P∠CDB＝∠C∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y（x﹣y），
∴∠P，
故答案為：∠P；
拓展二：如圖7，
∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的鄰補角∠BCE，
∴∠PAD∠BAD，∠PCD＝90°∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案為：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【點評】本題考查了三角形內角和定理，三角形外角性質，角平分線定義，熟練掌握三角形內角和定理是解題關鍵．
(1)
(2)，理由見解析
【分析】本題考查了三角形的內角和定理、對頂角相等、角平分線，熟練掌握三角形的內角和定理是解題關鍵．
（1）根據三角形的內角和定理、對頂角相等即可得；
（2）先根據角平分線的定義可得，，再根據（1）的方法可得，，兩個式子相減即可得．
【詳解】（1）解：，求解過程如下：
由對頂角相等得：，
，，
．
（2）解：，理由如下：
與的平分線和相交于點，
，，
由“8字形”可知，，
由①②得：，
．
模型二　角的燕尾模型（飛鏢型）
如圖1-6所示,有結論:∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
圖1--6
模型結論的推導:
如圖1-6,連接AD并延長到點E.
∵∠BDE=∠B+∠BAD(　　　　　　　　　　),
∠CDE=∠C+∠CAD(　　　　　　　　　),
∴∠BDE+∠CDE=∠B+∠C+∠BAD+∠CAD.
又∵∠BDC=∠BDE+∠CDE,∠BAC=∠BAD+∠CAD,
∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C.
模型結論的應用
【例2-1】如圖，已知，，，求和的度數．

，
【分析】本題考查三角形外角的性質，根據三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，可直接得出答案．
【詳解】解：，，
，
，
．
【例2-2】如圖，平分，平分，與交于點，若，，則（ ）
A．80° B．75° C．60° D．45°
【答案】C
【分析】連接先求解 再求解 可得 再利用角平分線的定義可得： 從而可得： 再利用三角形的內角和定理可得的大小.
【詳解】解：連接
平分，平分，
故選：
【點睛】本題考查的是三角形的內角和定理的應用，角平分線的定義，熟練利用三角形的內角和定理求解與之相關的角的大小是解題的關鍵.
【例2-3】在社會實踐手工課上，小茗同學設計了一個形狀如圖所示的零件，如果，，那么的度數是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，根據三角形內角和定理求出再利用鄰補角的性質求出，再根據四邊形的內角和求出，根據鄰補角的性質即可求出的度數．
【詳解】延長BE交CF的延長線于O，連接AO，如圖，
∵ ∴
同理得∵
∴
∵ ∴
∴
∴,故選：B．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，多邊形內角和，三角形的外角的性質，鄰補角的性質，解題關鍵是會添加輔助線，將已知條件聯系起來進行求解．三角形外角的性質：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和；鄰補角性質：鄰補角互補；多邊形內角和：．
【例2-4】如圖1，點P是兩外角平分線的交點．

(1)若，則 ；
(2)探究與的數量關系并說明理由；
(3)如圖2，點P是四邊形相鄰兩外角平分線的交點，請直接寫出與，的數量關系．
【答案】(1)
(2)；
(3)．
【分析】本題是三角形綜合題，考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，三角形的內角和定理，角平分線的定義．
（1）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理即可得到結論；
（2）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理即可得到結論；
（3）根據角平分線的定義和三角形的內角和定理即可得到結論．
【詳解】（1）解：∵點P是兩外角平分線的交點，
∴
，
在中，，
∵，
∴；
故答案為：；
（2）解：由（1）知；
（3）解：如圖，

延長交于Q，
則，
∴．
∴
．
針對練習2
1.如圖1-9,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F.
【答案】270°
【解析】解:由模型可知∠BOF=∠A+∠B+∠F,①
∠EOC=∠D+∠E+∠C,②
①+②,得∠BOF+∠EOC=∠A+∠B+∠F+∠D+∠E+∠C.
又∵∠EOC=∠BOF=135°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=270°.
2 .閱讀下面的材料，并解決問題．

(1)已知在中，，圖的的內角平分線或外角平分線交于點O，請直接求出下列角度的度數．
如圖1， ；如圖2， ；如圖3， ；
如圖4，，的三等分線交于點，，連接，則 ．
如圖5，中，的三等分線分別與的平分線交于點，，若，，求的度數．
【答案】(1)，，，；
(2)
【分析】本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義，三角形外角的性質等知識：
（1）由的度數，在中，可得與的和，又、是內角平分線或外角平分線，利用角平分線的定義及三角形內角和定理、三角形的外角性質進而可求得答案；由的度數，在中，可得與的和，又、是角平分線，利用角平分線的定義及三角形內角和定理可證得結論；
（3）先分別求出與的度數，即可求得的度數．
熟練掌握三角形內角和定理，以及熟悉常考的基本圖形是解題的關鍵．
【詳解】（1）解：如圖1，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
如圖2，

∵平分，平分
∴，
∵
∴
∵
∴；
如圖3，

∵平分，平分
∴，
∴
∴；
如圖4，

∵，的三等分線交于點，
∴，
∵平分，平分，平分
∴
∴
∴；
（2）證明：如圖5

∵，，
∴
∵的三等分線分別與的平分線交于點，，
∴，，
∴
∴
∴．
3.探究與發現：如圖1所示的圖形，像我們常見的學習用品﹣﹣圓規．我們不妨把這樣圖形叫做“規形圖”，
（1）觀察“規形圖”，試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關系，并說明理由；
（2）請你直接利用以上結論，解決以下三個問題：
①如圖2，把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經過點B、C，∠A＝40°，則∠ABX+∠ACX＝　50　°；
②如圖3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度數；
③如圖4，∠ABD，∠ACD的10等分線相交于點G1、G2…、G9，若∠BDC＝133°，∠BG1C＝70°，求∠A的度數．
【分析】（1）首先連接AD并延長至點F，然后根據外角的性質，即可判斷出∠BDC＝∠A+∠B+∠C．
（2）①由（1）可得∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，然后根據∠A＝40°，∠BXC＝90°，求出∠ABX+∠ACX的值是多少即可．
②由（1）可得∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，再根據∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求出∠ADB+∠AEB的值是多少；然后根據∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE，求出∠DCE的度數是多少即可．
③根據∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，∠BG1C＝70°，設∠A為x°，可得∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°，解方程，求出x的值，即可判斷出∠A的度數是多少．
【解答】解：（1）如圖（1），連接AD并延長至點F，
，
根據外角的性質，可得
∠BDF＝∠BAD+∠B，∠CDF＝∠C+∠CAD，
又∵∠BDC＝∠BDF+∠CDF，∠BAC＝∠BAD+∠CAD，
∴∠BDC＝∠A+∠B+∠C；
（2）①由（1），可得
∠ABX+∠ACX+∠A＝∠BXC，
∵∠A＝40°，∠BXC＝90°，
∴∠ABX+∠ACX＝90°﹣40°＝50°，
故答案為：50．
②由（1），可得
∠DBE＝∠DAE+∠ADB+∠AEB，
∴∠ADB+∠AEB＝∠DBE﹣∠DAE＝130°﹣40°＝90°，
∴（∠ADB+∠AEB）＝90°÷2＝45°，
∴∠DCE＝（∠ADB+∠AEB）+∠DAE
＝45°+40°
＝85°；
③∠BG1C＝（∠ABD+∠ACD）+∠A，
∵∠BG1C＝70°，
∴設∠A為x°，
∵∠ABD+∠ACD＝133°﹣x°
∴（133﹣x）+x＝70，
∴13.3﹣x+x＝70，
解得x＝63，
即∠A的度數為63°．
【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理，利用三角形的內角和定理和外角的性質是解答此題的關鍵．
模型三　角的“A”字模型
如圖所示，BC交AD、AE與B、C，
結論：①∠3+∠4=∠D+∠E ；②∠1+∠2=∠A+180° 。
模型結論的應用
【例3-1】按如圖中所給的條件，的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據鄰補角求得，然后根據三角形外角的性質即可求解．
【詳解】解：如圖，
∵，∴，故選：A．
【點睛】本題考查了求鄰補角，三角形的外角的性質，掌握三角形的外角的性質是解題的關鍵．
【例3-2】如圖，中，，直線交于點D，交于點E，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據三角形內角和定理求出，根據平角的概念計算即可．
【詳解】解：，，
，故選：D．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理的應用，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
【例3-3】如圖，已知在中，，現將一塊直角三角板放在上，使三角板的兩條直角邊分別經過點，直角頂點D落在的內部，則（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形內角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再說明∠DBC+∠DCB=90°，進而完成解答．
【詳解】解：∵在△ABC中，∠A=40°∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°
∵在△DBC中，∠BDC=90°∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90°
∴40°-90°=50° 故選C．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理，靈活運用三角形內角和定理成為解答本題的關鍵．
針對練習3
1 .（1）如圖1，為直角三角形，，若沿圖中虛線剪去，則__________；

（2）如圖2，在中，，剪去后成為四邊形，則__________；
（3）如圖2，根據（1）和（2）的求解過程，請歸納與的關系是______________；
（4）若沒有剪去，而是將折成如圖3的形狀，試探究與的關系，并說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由見解析
【分析】（1）根據三角形的內角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；（2）根據三角形的內角和為，三角形的外角和定理，則，，，即可；
（3）根據（1）和（2）可知，，根據，即可；
（4）根據折疊的性質，則，根據全等三角形的性質，三角形內角和，平角的性質，則，，，再根據等量代換，即可．
【詳解】（1）為直角三角形，，∴，
∵，，∴，
∴，故答案為：．

（2）∵，∴，
∵，，∴，
∴，故答案為：．
（3）由（1）和（2）得，，
∵，∴，∴．
（4），理由見下：由題意得，，∴，，
∴，，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴．
【點睛】本題考查三角形的知識，解題的關鍵是掌握全等三角形的性質，三角形的內角和和三角形的外角和定理．
2 .如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【分析】首先根據直角三角形的兩個銳角互余，求得∠ABE的度數，再根據三角形的內角和定理的推論進行求解．
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故選：B．
【點評】此題主要考查了三角形的內角和定理以及三角形的外角性質．
3 .如圖1，已知∠ACD是△ABC的一個外角，我們容易證明∠ACD＝∠A+∠B，即三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和．那么，三角形的一個內角與它不相鄰的兩個外角的和之間存在怎樣的數量關系呢？
嘗試探究：
（1）如圖2，∠DBC與∠ECB分別為△ABC的兩個外角，則∠DBC+∠ECB　 　∠A+180°（橫線上填＞、＜或＝）
初步應用：
（2）如圖3，在△ABC紙片中剪去△CED，得到四邊形ABDE，∠1＝135°，則∠2﹣∠C＝　 　．
（3）解決問題：如圖4，在△ABC中，BP、CP分別平分外角∠DBC、∠ECB，∠P與∠A有何數量關系？請利用上面的結論直接寫出答案　 　．
（4）如圖5，在四邊形ABCD中，BP、CP分別平分外角∠EBC、∠FCB，請利用上面的結論探究∠P與∠A、∠D的數量關系．
【分析】（1）根據三角形外角的性質得：∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，兩式相加可得結論；
（2）利用（1）的結論：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，將∠1＝135°代入可得結論；
（3）根據角平分線的定義得：∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，根據三角形內角和可得：∠P的式子，代入（1）中得的結論：∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，可得：∠P＝90°﹣∠A；
（4）根據平角的定義得：∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，由角平分線得：∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，相加可得：∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），再由四邊形的內角和與三角形的內角和可得結論．
【解答】解：（1）∠DBC+∠ECB﹣∠A＝180°，
理由是：∵∠DBC＝∠A+∠ACB，∠ECB＝∠A+∠ABC，
∴∠DBC+∠ECB＝2∠A+∠ACB+∠ABC＝180°+∠A，
∴∠DBC+∠ECB＝∠A+180°．
故答案為：＝．
（2）∠2﹣∠C＝45°．
理由是：∵∠2+∠1﹣∠C＝180°，∠1＝135°，
∴∠2﹣∠C+135°＝180°，
∴∠2﹣∠C＝45°．
故答案為：45°；
（3）∠P＝90°﹣∠A，
理由是：∵BP平分∠DBC，CP平分∠ECB，
∴∠CBP＝∠DBC，∠BCP＝∠ECB，
∵△BPC中，∠P＝180°﹣∠CBP﹣∠BCP＝180°﹣（∠DBC+∠ECB），
∵∠DBC+∠ECB＝180°+∠A，
∴∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．
故答案為：∠P＝90°﹣∠A，
（4）∠P＝180°﹣（∠A+∠D）．
理由是：∵∠EBC＝180°﹣∠1，∠FCB＝180°﹣∠2，
∵BP平分∠EBC，CP平分∠FCB，
∴∠3＝∠EBC＝90°﹣∠1，∠4＝∠FCB＝90°﹣∠2，
∴∠3+∠4＝180°﹣（∠1+∠2），
∵四邊形ABCD中，∠1+∠2＝360°﹣（∠A+∠D），
又∵△PBC中，∠P＝180°﹣（∠3+∠4）＝（∠1+∠2），
∴∠P＝×[360°﹣（∠A+∠D）]＝180°﹣（∠A+∠D）．
【點評】本題是四邊形和三角形的綜合問題，考查了三角形和四邊形的內角和定理、三角形外角的性質、角平分線的定義等知識，難度適中，熟練掌握三角形外角的性質是關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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