資源簡(jiǎn)介

8．1　成對(duì)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．結(jié)合實(shí)例了解樣本相關(guān)系數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．
2．了解樣本相關(guān)系數(shù)與“標(biāo)準(zhǔn)化”成對(duì)數(shù)據(jù)向量夾角的關(guān)系．
3．結(jié)合實(shí)例，會(huì)通過(guò)相關(guān)系數(shù)比較多組成對(duì)數(shù)據(jù)的相關(guān)性．
核心素養(yǎng)
1．通過(guò)畫(huà)散點(diǎn)圖來(lái)判斷變量的相關(guān)關(guān)系，提升數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．
2．通過(guò)樣本相關(guān)系數(shù)的計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　變量的相關(guān)關(guān)系
(1)兩個(gè)變量的關(guān)系
分類(lèi) 函數(shù)關(guān)系 相關(guān)關(guān)系
特征 兩變量有_確定__的關(guān)系 兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去_精確地決定__另一個(gè)的程度
(2)散點(diǎn)圖：將樣本中的每一個(gè)序號(hào)下的成對(duì)數(shù)據(jù)用_直角坐標(biāo)系__中的點(diǎn)表示出來(lái)得到的統(tǒng)計(jì)圖．
(3)正相關(guān)與負(fù)相關(guān)
正相關(guān) 負(fù)相關(guān)
當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)_增加的趨勢(shì)__ 當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)_減少的趨勢(shì)__
(4)線性相關(guān)：如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在_一條直線__附近，則稱(chēng)這兩個(gè)變量線性相關(guān)．
想一想：正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是對(duì)所有具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量而言的，對(duì)嗎？
提示：不對(duì)，正相關(guān)與負(fù)相關(guān)是針對(duì)線性相關(guān)關(guān)系而言的．
練一練：
下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是( D )
A．正方體的棱長(zhǎng)和體積
B．單位圓中角的弧度數(shù)和所對(duì)弧長(zhǎng)
C．當(dāng)畝產(chǎn)量為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量
D．日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量
[解析]　選項(xiàng)A，B，C中兩個(gè)變量之間是函數(shù)關(guān)系，選項(xiàng)D中兩個(gè)變量之間是相關(guān)關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn) 2　樣本的相關(guān)系數(shù)
(1)相關(guān)系數(shù)：統(tǒng)計(jì)學(xué)里一般用r＝＝來(lái)衡量y與x的_線性相關(guān)性的強(qiáng)弱__，這里的r稱(chēng)為樣本相關(guān)系數(shù)(簡(jiǎn)稱(chēng)相關(guān)系數(shù))．
(2)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)
1 _r>0__時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)；_r<0__時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)，－1≤r≤1.
2 |r|越小，兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越_弱__，|r|越大，兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越_強(qiáng)__.
3 |r|＝1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)構(gòu)成的點(diǎn)都在_一條確定的直線__上.
練一練：
對(duì)四組不同數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得如圖所示的散點(diǎn)圖，對(duì)它們的樣本相關(guān)系數(shù)進(jìn)行比較，正確的是( A )
①樣本相關(guān)系數(shù)r1
②樣本相關(guān)系數(shù)r2
③樣本相關(guān)系數(shù)r3
④樣本相關(guān)系數(shù)r4
A．r2C．r4[解析]　由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，圖①和圖③中的成對(duì)數(shù)據(jù)是正相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)大于0，圖②和圖④中的成對(duì)數(shù)據(jù)是負(fù)相關(guān)的，樣本相關(guān)系數(shù)小于0，圖①和圖②中的點(diǎn)相對(duì)更加集中于一條直線附近，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以r1接近于1，r2接近于－1，由此可得r2題|型|探|究
題型一　相關(guān)關(guān)系的判斷
典例1　(多選)下列選項(xiàng)中，兩變量間具有相關(guān)關(guān)系的是( ACD )
A．一個(gè)人的身高與他(她)的體重之間的關(guān)系
B．曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系
C．蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系
D．森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系
[分析]　直接利用相關(guān)關(guān)系的定義逐一判斷即可．
[解析]　選項(xiàng)A，一般地，人的身高與體重是一種相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)B，曲線上的點(diǎn)與該點(diǎn)的坐標(biāo)是一種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)C，蘋(píng)果的產(chǎn)量與氣候之間的關(guān)系是一種相關(guān)關(guān)系；選項(xiàng)D，森林中的同一種樹(shù)木，其橫斷面直徑與高度之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系．
[規(guī)律方法]　對(duì)相關(guān)關(guān)系的理解
(1)相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系是兩種不同的變量關(guān)系，函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，可以用一個(gè)變量確切地表示另一個(gè)變量；相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，兩個(gè)變量雖然有關(guān)系，但又沒(méi)有確切到可由其中一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度．
(2)根據(jù)變量變化趨勢(shì)可將相關(guān)關(guān)系分為正相關(guān)和負(fù)相關(guān)；根據(jù)變量分布特征可將相關(guān)關(guān)系分為線性相關(guān)和非線性相關(guān)(曲線相關(guān))．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 下列五組變量：
①勻速行駛的汽車(chē)行駛的路程和行駛的時(shí)間；②學(xué)生的平均日學(xué)習(xí)時(shí)間和平均學(xué)習(xí)成績(jī)；③某人每日吸煙量和其身體健康情況；④正方形的邊長(zhǎng)和面積；⑤汽車(chē)的重量和百公里耗油量．
其中兩個(gè)變量正相關(guān)的是( C )
A．①③ B．②④
C．②⑤ D．④⑤
[解析]　①④中兩個(gè)變量是確定的函數(shù)關(guān)系，③中兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，只有②⑤中兩個(gè)變量正相關(guān)．
題型二　由散點(diǎn)圖判斷相關(guān)關(guān)系
典例2　如圖所示的散點(diǎn)圖分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是( D )
A．正相關(guān)，負(fù)相關(guān)，不相關(guān)
B．負(fù)相關(guān)，不相關(guān)，正相關(guān)
C．負(fù)相關(guān)，正相關(guān)，不相關(guān)
D．正相關(guān)，不相關(guān)，負(fù)相關(guān)
[分析]　分別分析三個(gè)散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布情況，可得第一個(gè)圖中兩個(gè)變量正相關(guān)，第二個(gè)圖中兩個(gè)變量不相關(guān)，第三個(gè)圖中兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．
[解析]　對(duì)于圖(1)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右上升，兩個(gè)變量正相關(guān)；對(duì)于圖(2)，圖中的點(diǎn)雜亂無(wú)章，沒(méi)有明顯的規(guī)律，兩個(gè)變量不相關(guān)；對(duì)于圖(3)，圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且從左到右下降，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．故選D.
[規(guī)律方法]　判斷兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的方法
(1)根據(jù)直觀感覺(jué)或生活經(jīng)驗(yàn)等判斷；(2)根據(jù)成對(duì)數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)判斷；(3)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：若散點(diǎn)圖中各點(diǎn)分布在一條直線或曲線附近，則變量具有相關(guān)關(guān)系．
由散點(diǎn)圖判斷兩個(gè)變量正、負(fù)相關(guān)的方法
如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)落在從左下角到右上角的區(qū)域，兩個(gè)變量正相關(guān)；如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)落在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．
由散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)程度強(qiáng)弱的方法
在散點(diǎn)圖中，散點(diǎn)在某條直線附近越集中，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；散點(diǎn)在某條直線附近越分散，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度越弱．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 (1)對(duì)變量x，y由觀測(cè)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖①；對(duì)變量u，v由觀測(cè)數(shù)據(jù)(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散點(diǎn)圖②.由這兩個(gè)散點(diǎn)圖可以判斷( C )
A．變量x與y正相關(guān)，u與v正相關(guān)
B．變量x與y正相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
C．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v正相關(guān)
D．變量x與y負(fù)相關(guān)，u與v負(fù)相關(guān)
[解析]　由圖①可以看出，散點(diǎn)圖在從左上角到右下角的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以變量x與y負(fù)相關(guān)；由圖②可知，散點(diǎn)圖在從左下角到右上角的帶狀區(qū)域內(nèi)，所以變量u與v正相關(guān)．
(2)下列散點(diǎn)圖中，兩個(gè)變量線性相關(guān)程度最強(qiáng)的是( A )
[解析]　對(duì)于A選項(xiàng)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)成帶狀分布，且集中分布在一條直線附近，所以兩個(gè)變量具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系；對(duì)于B，C，D選項(xiàng)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)成片狀分布，兩個(gè)變量的線性相關(guān)程度較弱或不具有線性相關(guān)關(guān)系．故選A.
題型三　樣本相關(guān)系數(shù)
典例3　(1)對(duì)于樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)說(shuō)，下列說(shuō)法正確的是( C )
A．|r|≤1，|r|越接近0，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近1，相關(guān)程度越弱
B．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越大，相關(guān)程度越弱
C．|r|≤1，|r|越接近1，相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，相關(guān)程度越弱
D．|r|≥1，|r|越接近1，相關(guān)程度越弱；|r|越大，相關(guān)程度越強(qiáng)
[解析]　用樣本相關(guān)系數(shù)r可以衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，|r|≤1，|r|越接近1，表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；|r|越接近0，表示兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)程度越弱．故選C.
(2)為了對(duì)2023年某校月考成績(jī)進(jìn)行分析，在60分以上的全體同學(xué)中隨機(jī)抽取8位，他們的數(shù)學(xué)、物理成績(jī)對(duì)應(yīng)如下表：
學(xué)生編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8
數(shù)學(xué)成績(jī)x 68 72 78 81 85 88 91 93
物理成績(jī)y 70 66 81 83 79 80 92 89
用變量y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r(精確到0.01)說(shuō)明物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，并說(shuō)明它們的變化趨勢(shì)特征．
參考數(shù)據(jù)：iyi＝52 957，≈545.82.
[分析]　分別計(jì)算出，，然后求出樣本相關(guān)系數(shù)r，用樣本相關(guān)系數(shù)說(shuō)明物理成績(jī)與數(shù)學(xué)成績(jī)的相關(guān)程度．
[解析]　(2)＝＝82，
＝＝80，
r＝≈＝≈0.87>0.
所以物理成績(jī)y與數(shù)學(xué)成績(jī)x的線性相關(guān)程度較強(qiáng)，且呈正相關(guān)，它們的變化趨勢(shì)相同．
[規(guī)律方法]　在統(tǒng)計(jì)中常用樣本相關(guān)系數(shù)r來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱．r的范圍為[－1,1]，r為正時(shí)，兩個(gè)變量正相關(guān)；r為負(fù)時(shí)，兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)；|r|越接近1，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越強(qiáng)；r越接近0，兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度越弱．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 為了解某地區(qū)足球特色學(xué)校的發(fā)展?fàn)顩r，某調(diào)查小組得到統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
年份x 2014 2015 2016 2017 2018
足球特色學(xué)校y(百個(gè)) 0.30 0.60 1.00 1.40 1.70
根據(jù)上表數(shù)據(jù)，計(jì)算y與x的樣本相關(guān)系數(shù)r，并說(shuō)明y與x的線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱．
參考公式和數(shù)據(jù)：
r＝，
(xi－)(yi－)≈3.6，
(xi－)2＝10，(yi－)2＝1.3，
≈3.605 6.
[解析]　由題意得r＝＝≈≈0.998.
∵r＝0.998非常接近1，∴y與x線性相關(guān)程度很強(qiáng)．
易|錯(cuò)|警|示
概念不清致誤
典例4　在一組成對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，…，xn不全相等)的散點(diǎn)圖中，若所有樣本點(diǎn)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)都在直線y＝x＋1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為( D )
A．－1 B．0
C． D．1
[錯(cuò)解]　∵所有樣本點(diǎn)都在直線y＝x＋1上，x的系數(shù)為，故選C.
[正解]　因?yàn)樗袠颖军c(diǎn)(xi，yi)(i＝1,2，…，n)都在直線y＝x＋1上，且x，y的變化趨勢(shì)相同，所以樣本相關(guān)系數(shù)為1.
1．有以下五組變量：
①某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量；
②學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)；
③堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)；
④氣溫與冷飲銷(xiāo)售量；
⑤電瓶車(chē)的重量和行駛每千米的耗電量．
其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的是( D )
A．①③ B．②④
C．②⑤ D．④⑤
[解析]　對(duì)于①，一般情況下，某商品的銷(xiāo)售價(jià)格與銷(xiāo)售量成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于②，學(xué)生的學(xué)籍號(hào)與學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)沒(méi)有相關(guān)關(guān)系；對(duì)于③，一般情況下，堅(jiān)持每天吃早餐的人數(shù)與患胃病的人數(shù)成負(fù)相關(guān)關(guān)系；對(duì)于④，一般情況下，氣溫與冷飲銷(xiāo)售量成正相關(guān)關(guān)系；對(duì)于⑤，一般情況下，電瓶車(chē)的重量和行駛每千米的耗電量成正相關(guān)關(guān)系．綜上所述，其中兩個(gè)變量成正相關(guān)的序號(hào)是④⑤.
2．兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，散點(diǎn)圖的特征是( D )
A．點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)
B．點(diǎn)散布在某帶形區(qū)域內(nèi)
C．點(diǎn)散布在某圓形區(qū)域內(nèi)
D．點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)
[解析]　有負(fù)相關(guān)關(guān)系的各點(diǎn)整體呈遞減趨勢(shì)，因此點(diǎn)應(yīng)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)．
3．已知兩個(gè)變量的3對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)(0,1)，(1,0)，(2，－0.9)，則它們的樣本相關(guān)系數(shù)的大小可能是( A )
A．－0.98 B．0
C．0.02 D．0.97
[解析]　由3對(duì)觀測(cè)數(shù)據(jù)可知兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)，所以樣本相關(guān)系數(shù)r<0.
4．某公司欲知詩(shī)詞日歷費(fèi)用x(十萬(wàn)元)與詩(shī)詞日歷銷(xiāo)售量y(千本)之間的關(guān)系，從其所發(fā)行的詩(shī)詞日歷中隨機(jī)抽取了10張，得到如下的資料：i＝28，＝303.4，i＝75，y＝598.5，iyi＝237，則y與x的相關(guān)系數(shù)r為_(kāi)__0.3__.
[解析]　由題中數(shù)據(jù)可知
r＝＝0.3.8.2　一元線性回歸模型及其應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．了解最小二乘法原理．掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)方法，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件．
2．針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)．
3．了解隨機(jī)誤差、殘差、殘差圖的概念．
核心素養(yǎng)
1．通過(guò)對(duì)散點(diǎn)圖、線性回歸的分析，培養(yǎng)數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)．
2．借助回歸模型的建立，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　一元線性回歸模型
一元線性回歸模型的完整表達(dá)式為其中Y稱(chēng)為_(kāi)因變量__或 _響應(yīng)變量__，x稱(chēng)為自變量或_解釋__變量；a，b為模型的未知參數(shù)，e是Y與bx＋a之間的_隨機(jī)誤差__.
想一想：具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量，其樣本點(diǎn)散布在某一條直線y＝bx＋a的附近，可以用一次函數(shù) y＝bx＋a來(lái)描述兩個(gè)變量之間的關(guān)系嗎？
提示：不能．
練一練：
下列說(shuō)法不正確的是( C )
A．在回歸模型中，變量間的關(guān)系是非確定性關(guān)系，因變量不能由自變量唯一確定
B．在函數(shù)模型中，變量間的關(guān)系是確定性關(guān)系，因變量由自變量唯一確定
C．在回歸模型中，變量x和y都是普通變量
D．在回歸模型中，回歸系數(shù)可能是正的也可能是負(fù)的
[解析]　在回歸模型中，x是解釋變量，y是響應(yīng)變量，當(dāng)解釋變量取值一定時(shí)，響應(yīng)變量的取值帶有一定的隨機(jī)性．
知識(shí)點(diǎn) 2　最小二乘法與經(jīng)驗(yàn)回歸方程
(1)最小二乘法
＝x＋稱(chēng)為Y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為_(kāi)經(jīng)驗(yàn)回歸直線__.這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)．
(2)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的系數(shù)計(jì)算公式
經(jīng)驗(yàn)回歸方程 的計(jì)算公式 的計(jì)算公式
＝　x＋　 ＝ ＝ ＝－
(3)經(jīng)驗(yàn)回歸方程的性質(zhì)
①經(jīng)驗(yàn)回歸方程一定過(guò)點(diǎn) (，)?。?br/>②一次函數(shù)＝x＋的單調(diào)性由的符號(hào)決定，函數(shù)遞增的充要條件是　>0??；
③的實(shí)際意義：當(dāng)x增大一個(gè)單位時(shí)， 增大　個(gè)單位．
練一練：
如果記錄了x，y的幾組數(shù)據(jù)分別為(0,1)，(1,3)，(2,5)，(3,7)，那么y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過(guò)點(diǎn)( D )
A．(2,2) B．(1.5,2)
C．(1,2) D．(1.5,4)
[解析]　因?yàn)椋剑?.5，＝＝4，
所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程必過(guò)點(diǎn)(1.5,4)．
知識(shí)點(diǎn) 3　殘差與殘差分析
(1)殘差
對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為_(kāi)觀測(cè)值__，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱(chēng)為_(kāi)預(yù)測(cè)值__，_觀測(cè)值__減去_預(yù)測(cè)值__稱(chēng)為殘差．
(2)殘差分析
_殘差__是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等，這方面工作稱(chēng)為_(kāi)殘差分析__.
(3)對(duì)模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)效果的分析
①殘差圖法：在殘差圖中，如果殘差比較均勻地集中在以_橫軸為對(duì)稱(chēng)軸的水平帶狀區(qū)域內(nèi)__，則說(shuō)明經(jīng)驗(yàn)回歸方程較好地刻畫(huà)了兩個(gè)變量的關(guān)系；
②殘差平方和法：殘差平方和 (yi－i)2　越小，模型的擬合效果越好；
③R2法：可以用R2＝1－來(lái)比較兩個(gè)模型的擬合效果，R2越_大__，模型擬合效果越好，R2越_小__，模型擬合效果越差．
練一練：
甲、乙、丙、丁四位同學(xué)在建立變量x，y的回歸模型時(shí)，分別選擇了4種不同模型，計(jì)算可得它們的決定系數(shù)R2分別如表：
甲 乙 丙 丁
R2 0.98 0.78 0.50 0.85
哪位同學(xué)建立的回歸模型擬合效果最好( A )
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
[解析]　決定系數(shù)R2越大，表示回歸模型的擬合效果越好.
題|型|探|究
題型一　求經(jīng)驗(yàn)回歸方程
典例1　隨著網(wǎng)絡(luò)的普及，網(wǎng)上購(gòu)物的方式已經(jīng)受到越來(lái)越多年輕人的青睞，某家網(wǎng)絡(luò)店鋪商品的成交量x(單位：件)與店鋪的瀏覽量y(單位；次)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如下表所示：
x/件 2 4 5 6 8
y/次 30 40 50 60 70
(1)根據(jù)表中數(shù)據(jù)畫(huà)出散點(diǎn)圖；
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)當(dāng)這種商品的成交量突破100件(含100 件)時(shí)，預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為多少？
[分析]　以橫軸表示成交量，縱軸表示瀏覽量，畫(huà)出散點(diǎn)圖，若散點(diǎn)圖顯示兩變量線性相關(guān)，則依據(jù)公式求解經(jīng)驗(yàn)回歸方程，再利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行估計(jì)．
[解析]　(1)散點(diǎn)圖如圖所示．
(2)根據(jù)散點(diǎn)圖可得，變量x與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系．
根據(jù)數(shù)據(jù)可知，＝5，＝50，xiyi＝1 390，x＝145，代入公式得＝＝＝7，＝－＝50－7×5＝15.
故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程是＝7x＋15.
(3)根據(jù)上面求出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，當(dāng)成交量突破100件(含100件)，即x＝≥100時(shí)，≥715，所以預(yù)測(cè)這家店鋪的瀏覽量至少為715次．
[規(guī)律方法]　經(jīng)驗(yàn)回歸分析的步驟
(1)收集樣本數(shù)據(jù)，設(shè)為(xi，yi)(i＝1,2，…，n)(數(shù)據(jù)一般由題目給出)．
(2)作出散點(diǎn)圖，確定x，y具有線性相關(guān)關(guān)系．
(3)計(jì)算，，x，xiyi.
(4)代入公式計(jì)算相關(guān)系數(shù)，確定相關(guān)性的強(qiáng)弱．
(5)代入公式計(jì)算，，寫(xiě)出經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋.
(6)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 佩戴頭盔是一項(xiàng)對(duì)家庭與社會(huì)負(fù)責(zé)的表現(xiàn)，某市對(duì)此不斷進(jìn)行安全教育．下表是該市某主干路口連續(xù)4年監(jiān)控設(shè)備抓拍到的駕駛員不戴頭盔的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：
年度 2020 2021 2022 2023
年度序號(hào)x 1 2 3 4
不戴頭盔人數(shù)y 1 250 1 050 1 000 900
(1)請(qǐng)利用所給數(shù)據(jù)求不戴頭盔人數(shù)y與年度序號(hào)x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋；
(2)估算該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)．
[解析]　(1)由表中數(shù)據(jù)知，＝＝，＝＝1 050，
所以＝＝＝－110，所以＝－＝1 050－(－110)×＝1 325，
故所求回歸直線方程為＝－110x＋1 325.
(2)令x＝5，則＝－110×5＋1 325＝775，
則估算該路口2024年不戴頭盔的人數(shù)為775人．
題型二　R2的求解與回歸模型的擬合
典例2　我國(guó)在第七十五屆聯(lián)合國(guó)大會(huì)上提出：“中國(guó)將提高國(guó)家自主貢獻(xiàn)力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力爭(zhēng)于2030年前達(dá)到峰值，努力爭(zhēng)取2060年前實(shí)現(xiàn)碳中和．”減少碳排放，實(shí)現(xiàn)碳中和，人人都可出一份力．某中學(xué)數(shù)學(xué)教師組織開(kāi)展了題為“家庭燃?xì)庠钚o的最佳角度”的數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)．
實(shí)驗(yàn)假設(shè)：
①燒開(kāi)一壺水有諸多因素，本建模的變量設(shè)定為燃?xì)庥昧颗c旋鈕的旋轉(zhuǎn)角度，其他因素假設(shè)一樣；
②由生活常識(shí)知，旋轉(zhuǎn)角度很小或很大，一壺水甚至不能燒開(kāi)或造成燃?xì)饫速M(fèi)，因此旋轉(zhuǎn)角度設(shè)定在10°到90°之間，建模實(shí)驗(yàn)中選取5個(gè)代表性數(shù)據(jù)：18°，36°，54°，72°，90°.
某數(shù)學(xué)建模小組收集了“燒開(kāi)一壺水”的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，如表：
項(xiàng)目旋轉(zhuǎn)角度 開(kāi)始燒水時(shí)燃?xì)獗矶葦?shù)/dm3 水燒開(kāi)時(shí)燃?xì)獗矶葦?shù)/dm3
18° 9 080 9 210
36° 8 958 9 080
54° 8 819 8 958
72° 8 670 8 819
90° 8 498 8 670
以x表示旋轉(zhuǎn)角度，y表示燃?xì)庥昧浚?br/>(1)用列表法整理數(shù)據(jù)(x，y)；x(旋轉(zhuǎn)角度：度) 18 36 54 72 90
y(燃?xì)庥昧浚篸m3)
(2)假定x，y線性相關(guān)，試求經(jīng)驗(yàn)回歸方程＝x＋；(注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后三位)
(3)計(jì)算(2)中所求模型的決定系數(shù)，評(píng)價(jià)此模型的擬合效果．(注：計(jì)算結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位)
參考數(shù)據(jù)：i＝712，(xi－)(yi－)＝1 998，(xi－)2＝3 240，(yi－)2＝1 501.2，
(yi－i)2≈269.1.
[解析]　(1)整理數(shù)據(jù)如表：
x(旋轉(zhuǎn)角度：度) 18 36 54 72 90
y(燃?xì)庥昧浚篸m3) 130 122 139 149 172
(2)＝54，＝142.4，＝＝≈0.617，
≈142.4－0.617×54＝109.082，
故回歸直線方程為＝0.617x＋109.082.
(3)計(jì)算(2)中所求模型的決定系數(shù)
R2＝1－＝1－≈0.82.
此模型的擬合效果較好．
[規(guī)律方法]　決定系數(shù)R2、殘差圖在回歸分析中的作用
(1)決定系數(shù)R2是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，由R2＝可知，R2越大，意味著殘差平方和越小，也就是說(shuō)模型的擬合效果就越好；
(2)殘差圖也是用來(lái)刻畫(huà)回歸效果的，判斷依據(jù)是殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域中，帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，回歸方程預(yù)測(cè)的精度也越高．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 某運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)與訓(xùn)練成績(jī)之間的數(shù)據(jù)關(guān)系如表：
次數(shù)(x) 30 33 35 37 39 44 46 50
成績(jī)(y) 30 34 37 39 42 46 48 51
(1)作出散點(diǎn)圖；
(2)求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程；
(3)作出殘差圖；
(4)計(jì)算R2，并說(shuō)明運(yùn)動(dòng)員的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成績(jī)的影響占百分之幾．
[解析]　(1)作出該運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)x與成績(jī)y的散點(diǎn)圖，如圖所示．由散點(diǎn)圖可知，它們之間具有相關(guān)關(guān)系．
(2)＝39.25，＝40.875，＝12 656，iyi＝13 180，
所以＝≈1.041 5，
＝－＝－0.003 875，
所以經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝1.041 5x－0.003 875.
(3)殘差分析：下面的表格列出了運(yùn)動(dòng)員訓(xùn)練次數(shù)和成績(jī)的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù).
x y ＝y(tǒng)－
30 30 －1.241 1
33 34 －0.365 6
35 37 0.551 4
37 39 0.468 4
39 42 1.385 4
44 46 0.177 9
46 48 0.094 9
50 51 －1.071 1
作殘差圖如圖所示．
由圖可知，殘差點(diǎn)比較均勻地分布在水平帶狀區(qū)域內(nèi)，說(shuō)明選擇的模型比較合適．
(4)計(jì)算R2≈0.985 5，說(shuō)明了該運(yùn)動(dòng)的訓(xùn)練次數(shù)對(duì)成績(jī)的影響占98.55%.
題型三　非線性經(jīng)驗(yàn)回歸問(wèn)題
典例3　某公交公司推出掃碼支付優(yōu)惠乘車(chē)活動(dòng)，活動(dòng)設(shè)置了一段時(shí)間的推廣期，由于推廣期內(nèi)優(yōu)惠力度較大，吸引了越來(lái)越多的人開(kāi)始使用掃碼支付．某線路公交車(chē)隊(duì)統(tǒng)計(jì)了活動(dòng)剛推出一周內(nèi)每一天使用掃碼支付的人次，用x表示推出的天數(shù)，y表示每天使用掃碼支付的人次(一人次等于十人)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：
x 1 2 3 4 5 6 7
y 6 11 21 34 66 101 196
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的散點(diǎn)圖．
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，在推廣期內(nèi)，＝x＋與＝c·dx(c，d均為大于零的常數(shù))哪一個(gè)適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中的數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，并預(yù)測(cè)活動(dòng)推出后第8天使用掃碼支付的人數(shù)．
參考數(shù)據(jù)：
iyi ivi 100.54
62.14 1.54 2 535 50.12 3.47
其中vi＝lg yi，＝i.
[分析]　由散點(diǎn)圖可判斷x，y之間的關(guān)系符合指數(shù)型函數(shù)模型，選擇＝c·dx進(jìn)行擬合，然后取對(duì)數(shù)，進(jìn)而求出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
[解析]　(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷＝c·dx適宜作為掃碼支付的人次y關(guān)于活動(dòng)推出天數(shù)x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程類(lèi)型．
(2)＝c·dx，兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)得lg ＝lg(c·dx)＝lg c＋lg d·x.
設(shè)lg ＝v.
∴v＝lg c＋lg d·x.
∴＝4，＝1.54，＝140，ivi＝50.12.
∴l(xiāng)g d＝＝＝＝0.25.
把點(diǎn)(4,1.54)代入v＝lg c＋lg d·x，得lg c＝0.54，
∴v＝0.54＋0.25x，
∴l(xiāng)g ＝0.54＋0.25x，
∴y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝100.54＋0.25x＝100.54×100.25x＝3.47×100.25x.
把x＝8代入，得＝3.47×102＝347(人次)．
故預(yù)測(cè)活動(dòng)推出后第8天使用掃碼支付的人數(shù)為3 470.
[規(guī)律方法]　求非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法
(1)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程的求解，一般可以根據(jù)散點(diǎn)圖選取合適的非線性回歸模型，或根據(jù)已知條件選取擬合程度較好的非線性回歸模型，再通過(guò)變換，轉(zhuǎn)化為求線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程，最后還原即可．
(2)非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程常見(jiàn)形式有以下幾種：＝a＋b(x－c)2，＝a＋bln(x－c)，＝a＋b，＝a＋和＝abcx.其中＝a＋b(x－c)2，＝a＋bln(x－c)，＝a＋b，＝a＋可通過(guò)變量替換(換元)求解；＝abcx可通過(guò)先兩邊取對(duì)數(shù)，再變量替換(換元)求解．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)x(單位：千元)對(duì)年銷(xiāo)售量y(單位：t)和年利潤(rùn)z(單位：千元)的影響．對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)xi和年銷(xiāo)售量yi(i＝1,2，…，8)的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．
(xi－)2 (wi－)2 (xi－)(yi－) (wi－)(yi－)
46.6 563 6.8 289.8 1.6 1 469 108.8
表中wi＝，＝i.
(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，y＝a＋bx與y＝c＋d哪一個(gè)適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型？(給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)
(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；
(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x，y的關(guān)系為z＝0.2y－x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問(wèn)題：
①年宣傳費(fèi)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？
②年宣傳費(fèi)x為何值時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大？
附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回歸直線＝＋u的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為＝，＝－.
[解析]　(1)由散點(diǎn)圖可以判斷，y＝c＋d適宜作為年銷(xiāo)售量y關(guān)于年宣傳費(fèi)x的回歸方程類(lèi)型．
(2)令w＝，先建立y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
由于＝＝＝68，＝－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y關(guān)于w的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝100.6＋68w，
因此y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝100.6＋68.
(3)①由(2)知，當(dāng)x＝49時(shí)，年銷(xiāo)售量y的預(yù)報(bào)值＝100.6＋68＝576.6(t)，
年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值＝576.6×0.2－49＝66.32(千元)．
②根據(jù)(2)的結(jié)果知，年利潤(rùn)z的預(yù)報(bào)值
＝0.2(100.6＋68)－x＝－x＋13.6＋20.12.
所以當(dāng)＝＝6.8，
即x＝46.24時(shí)，取得最大值．
故年宣傳費(fèi)為46.24千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．
1．關(guān)于回歸分析，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( D )
A．回歸分析是研究?jī)蓚€(gè)具有相關(guān)關(guān)系的變量的方法
B．散點(diǎn)圖中，解釋變量在x軸，響應(yīng)變量在y軸
C．回歸模型中一定存在隨機(jī)誤差
D．散點(diǎn)圖能明確反映變量間的關(guān)系
[解析]　用散點(diǎn)圖反映兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，存在誤差．
2．關(guān)于殘差圖的描述錯(cuò)誤的是( C )
A．殘差圖的橫坐標(biāo)可以是樣本編號(hào)
B．殘差圖的橫坐標(biāo)也可以是解釋變量或預(yù)報(bào)變量
C．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄相關(guān)指數(shù)越小
D．殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄殘差平方和越小
[解析]　殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說(shuō)明模型擬合精度越高，則殘差平方和越小，此時(shí)，相關(guān)指數(shù)R2的值越大．
3．根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)：
x 2 3 4 5 6
y 4 2.5 －0.5 －2 －3
得到的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝x＋，則( B )
A.>0，>0 B．>0，<0
C.<0，>0 D．＜0，＜0
[解析]　由題干表中的數(shù)據(jù)可得，變量y隨著x的增大而減小，則＜0，又回歸方程為＝x＋經(jīng)過(guò)(2,4)，(3,2.5)，可得＞0.
4．某種產(chǎn)品的廣告支出費(fèi)用x(單位：萬(wàn)元)與銷(xiāo)售額y(單位：萬(wàn)元)的數(shù)據(jù)如表：
x 2 4 5 6 8
y 30 40 60 50 70
已知y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為＝6.5x＋17.5，則當(dāng)廣告支出費(fèi)用為5萬(wàn)元時(shí)，殘差為_(kāi)10__.
[解析]　當(dāng)x＝5時(shí)，＝6.5×5＋17.5＝50，表格中對(duì)應(yīng)y＝60，于是殘差為60－50＝10.8．3　列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．基于2×2列聯(lián)表，通過(guò)實(shí)例了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想．
2．掌握獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本步驟．
3．能利用條形圖、列聯(lián)表探討兩個(gè)分類(lèi)變量的關(guān)系．
4．了解χ2的含義及其應(yīng)用．
5．會(huì)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
核心素養(yǎng)
1．通過(guò)學(xué)習(xí)獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想，提升邏輯推理素養(yǎng)．
2．借助χ2公式，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
3．借助條形圖，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．
4．通過(guò)利用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)據(jù)分析能力.
知識(shí)點(diǎn) 1　分類(lèi)變量與列聯(lián)表
(1)分類(lèi)變量：用來(lái)區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì)的_隨機(jī)變量__，其取值可以用實(shí)數(shù)表示．
(2)2×2列聯(lián)表：如果隨機(jī)事件X與Y的樣本數(shù)據(jù)如下表格形式
Y＝0 Y＝1 合計(jì)
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d
在這個(gè)表格中，核心的數(shù)據(jù)是中間的4個(gè)格子，所以這樣的表格通常稱(chēng)為2×2列聯(lián)表．
練一練：
下面是一個(gè)2×2列聯(lián)表：
X Y 合計(jì)
Y＝0 Y＝1
X＝0 a 21 73
X＝1 8 25 33
合計(jì) b 46
則表中a，b處的值分別為( C )
A．94,96 B．52,50
C．52,60 D．54,52
[解析]　因?yàn)閍＋21＝73，所以a＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.
知識(shí)點(diǎn) 2　獨(dú)立性檢驗(yàn)
(1)零假設(shè)：設(shè)X和Y為定義在Ω上，取值于{0,1}的成對(duì)分類(lèi)變量．由于{X＝0}和{X＝1}，{Y＝0}和{Y＝1}都是互為對(duì)立事件，故要判斷事件{X＝1}和{Y＝1}之間是否有關(guān)聯(lián)，需要判斷假定關(guān)系_H0：P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)__是否成立．通常稱(chēng)H0為零假設(shè)．
(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)：利用隨機(jī)變量χ2來(lái)判斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”的方法稱(chēng)為獨(dú)立性檢驗(yàn)．
(3)公式：χ2＝ 　　，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量．
(4)對(duì)照表及檢驗(yàn)規(guī)則：
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
當(dāng)χ2≥xα?xí)r就推斷“X與Y不獨(dú)立”，這種推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)α；當(dāng)χ2＜xα?xí)r，可以認(rèn)為“X與Y獨(dú)立”．
練一練：
根據(jù)表格計(jì)算：
性別 不看電視 看電視
男 37 85
女 35 143
χ2≈_4.514__(保留3位小數(shù))．
[解析]　χ2＝≈4.514.
題|型|探|究
題型一　列聯(lián)表與等高堆積條形圖
典例1　某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生做了一項(xiàng)調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的學(xué)生426人中有332人在考前心情緊張．性格外向的學(xué)生594人中有213人在考前心情緊張，作出等高堆積條形圖，利用圖形判斷考前心情緊張與性格類(lèi)別是否有關(guān)系．
[解析]　作列聯(lián)表如下：
性格內(nèi)向 性格外向 合計(jì)
考前心情緊張 332 213 545
考前心情不緊張 94 381 475
合計(jì) 426 594 1 020
相應(yīng)的等高條形圖如圖所示：
圖中陰影部分表示考前心情緊張與考前心情不緊張中性格內(nèi)向的人數(shù)所占的比例，從圖中可以看出考前心情緊張的樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例比考前心情不緊張樣本中性格內(nèi)向的人數(shù)占的比例高，可以認(rèn)為考前緊張與性格類(lèi)型有關(guān)．
[規(guī)律方法]　1.利用2×2列聯(lián)表分析兩變量間關(guān)系的步驟
(1)根據(jù)題中數(shù)據(jù)獲得2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)頻率特征，即將與
的值相比，直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響．
2．利用等高條形圖判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是否相關(guān)的步驟
微提醒：等高堆積條形圖的缺點(diǎn)是不能給出推斷“兩個(gè)分類(lèi)變量有關(guān)系”犯錯(cuò)誤的概率．
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 為了解鉛中毒病人是否有尿棕色素增加現(xiàn)象，分別對(duì)病人組和對(duì)照組的尿液做尿棕色素定性檢查，結(jié)果如下表．問(wèn)：鉛中毒病人組和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有無(wú)差別？
尿棕色素 合計(jì)
陽(yáng)性數(shù) 陰性數(shù)
鉛中毒病人組 29 7 36
鉛中毒對(duì)照組 9 28 37
合計(jì) 38 35 73
[解析]　由上述列聯(lián)表可知，在鉛中毒病人組中尿棕色素為陽(yáng)性的約占80.56%，而鉛中毒對(duì)照組僅約占24.32%.說(shuō)明它們之間有較大差別．
畫(huà)出等高堆積條形圖如圖所示．
由列聯(lián)表及等高堆積條形圖可知，鉛中毒病人組與對(duì)照組相比較，尿棕色素為陽(yáng)性數(shù)差別明顯，因此鉛中毒病人組和對(duì)照組的尿棕色素陽(yáng)性數(shù)有明顯差別．
題型二　獨(dú)立性檢驗(yàn)
典例2　某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：
滿意 不滿意
男顧客 40 10
女顧客 30 20
(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；
(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？
附：χ2＝，
P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
[分析]　(1)根據(jù)列聯(lián)表，用頻率代替概率，可分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率；(2)求出χ2的值，與臨界值表對(duì)比可得結(jié)論．
[解析]　(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)知，男顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為0.8；女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率的估計(jì)值為＝0.6.
(2)χ2＝≈4.762.
由于4.762>3.841，故有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異．
[規(guī)律方法]　解決獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的基本步驟
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 2024年春季，某出租汽車(chē)公司決定更換一批小汽車(chē)以代替原來(lái)報(bào)廢的出租車(chē)，現(xiàn)有A，B兩款車(chē)型的使用壽命(單位：年)頻數(shù)表如下：
使用壽命/年 5 6 7 8 總計(jì)
A型出租車(chē)/輛 10 20 45 25 100
B型出租車(chē)/輛 15 35 40 10 100
(1)填寫(xiě)下表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為出租車(chē)的使用壽命與汽車(chē)車(chē)型有關(guān)；
使用壽命不高于6年 使用壽命不低于7年 總計(jì)
A型
B型
總計(jì)
(2)司機(jī)師傅小李準(zhǔn)備在一輛開(kāi)了4年的A型車(chē)和一輛開(kāi)了4年的B型車(chē)中選擇，為了盡最大可能實(shí)現(xiàn)3年內(nèi)(含3年)不換車(chē)，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他應(yīng)如何選擇？
[解析]　(1)根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)得到如下2×2的列聯(lián)表：
使用壽命不高于6年 使用壽命不低于7年 總計(jì)
A型 30 70 100
B型 50 50 100
總計(jì) 80 120 200
所以χ2＝≈8.333.
查表可得P(χ2≥6.635)＝0.01，
由于8.333>6.635，
所以有99%的把握認(rèn)為出租車(chē)的使用壽命與汽車(chē)車(chē)型有關(guān)．
(2)記事件A為“小李選擇A型車(chē)，3年內(nèi)(含3年)不換車(chē)”，事件B為“小李選擇B型車(chē)，3年內(nèi)(含3年)不換車(chē)”，所以P(A)＝＝0.25，P(B)＝＝0.1，因?yàn)镻(A)>P(B)，所以小李應(yīng)選擇A型車(chē)．
題型三　獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合應(yīng)用
典例3　某校鼓勵(lì)即將畢業(yè)的大學(xué)生到西部偏遠(yuǎn)地區(qū)去支教，校學(xué)生就業(yè)部針對(duì)即將畢業(yè)的男、女生是否愿意到西部支教進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，得到的情況如下表所示：
性別 支教 合計(jì)
愿意去支教 不愿意去支教
女生 20
男生 40
合計(jì) 70 100
(1)完成上述2×2列聯(lián)表；
(2)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析愿意去西部支教是否與性別有關(guān)？
(3)若在接受調(diào)查的所有男生中按照“是否愿意去支教”進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取10人，再在10人中抽取3人進(jìn)行面談，記面談的男生中，不愿意去支教的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列以及數(shù)學(xué)期望．
[分析]　(2)根據(jù)列聯(lián)表求出χ2和相應(yīng)的頻率，從而分析是否與性別有關(guān)；(3)由超幾何分布公式求出相應(yīng)的分布列，計(jì)算出數(shù)學(xué)期望．
[解析]　(1)2×2列聯(lián)表如下：
性別 支教 合計(jì)
愿意去支教 不愿意去支教
女生 30 20 50
男生 40 10 50
合計(jì) 70 30 100
(2)零假設(shè)H0：支教與性別相互獨(dú)立，即是否愿意去西部支教與性別無(wú)關(guān)．根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得χ2＝≈4.762>3.841＝x0.05，
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，
即認(rèn)為是否愿意去西部支教與性別有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05.
根據(jù)2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，
女生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為＝0.6，＝0.4；
男生愿意去支教與不愿意去支教的頻率分別為＝0.8，＝0.2.
由＝2可見(jiàn)，女生不愿意去支教的頻率是男生不愿意去支教的頻率的2倍．
于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為女生不愿意去支教的概率明顯大于男生不愿意去支教的概率，即是否愿意去西部支教明顯與性別有關(guān)．
(3)由題意，抽取的10人中有8人愿意去西部支教，2人不愿意去西部支教，于是ξ＝0,1,2，
∴P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，
∴ξ的分布列為
ξ 0 1 2
P
∴E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝.
[規(guī)律方法]　解決一般的獨(dú)立性檢驗(yàn)問(wèn)題的步驟：
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練 某地為了調(diào)查市民對(duì)“一帶一路”倡議的了解程度，隨機(jī)選取了100名年齡在20歲至60歲的市民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并通過(guò)問(wèn)卷的分?jǐn)?shù)把市民劃分為了解“一帶一路”倡議與不了解“一帶一路”倡議兩類(lèi)，數(shù)據(jù)如表所示.
年齡/歲 [20,30) [30,40) [40,50) [50,60]
調(diào)查人數(shù) 30 30 25 15
了解“一帶一路”倡議人數(shù) 12 28 15 5
(1)完成下面的2×2列聯(lián)表，并判斷是否有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異；(結(jié)果精確到0.001)
年齡低于40歲的人數(shù) 年齡不低于40歲的人數(shù) 合計(jì)
了解
不了解
合計(jì)
(2)以頻率估計(jì)概率，若在該地選出4名市民(年齡在20歲至60歲)，記4名市民中了解“一帶一路”倡議的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列、數(shù)學(xué)期望和方差．附：
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635
χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
[分析]　(1)由表格讀取信息，年齡低于40歲的共60人，年齡不低于40歲的共40人，填寫(xiě)2×2列聯(lián)表，再把數(shù)據(jù)代入χ2公式計(jì)算；
(2)在總體未知的市民中選取4人，由頻率估計(jì)概率得出選出的每位市民是了解“一帶一路”倡議的概率，可知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布．
[解析]　(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得到2×2列聯(lián)表：
年齡低于40歲的人數(shù) 年齡不低于40歲的人數(shù) 合計(jì)
了解 40 20 60
不了解 20 20 40
合計(jì) 60 40 100
χ2＝≈2.778>2.706，
故有90%的把握認(rèn)為以40歲為分界點(diǎn)對(duì)“一帶一路”倡議的了解有差異．
(2)由(1)知市民了解“一帶一路”倡議的概率為＝，X～B.
X的所有可能取值為0,1,2,3,4，則
P(X＝0)＝C4＝，
P(X＝1)＝C××3＝，
P(X＝2)＝C2×2＝，
P(X＝3)＝C3×＝，
P(X＝4)＝C4＝，則X的分布列為
X 0 1 2 3 4
P
E(X)＝4×＝，D(X)＝4××＝.
1．判斷兩個(gè)分類(lèi)變量是彼此相關(guān)還是相互獨(dú)立的常用的方法中，最為精確的是( B )
A．殘差 B．獨(dú)立性檢驗(yàn)
C．等高堆積條形圖 D．回歸分析
[解析]　用獨(dú)立性檢驗(yàn)考查兩個(gè)分類(lèi)變量是否有關(guān)系時(shí)，算出隨機(jī)變量χ2的值越大，說(shuō)明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大．
2．下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的敘述：
①常用等高堆積條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征；
②獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理；
③獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果是完全正確的；
④對(duì)分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，χ2越小，X與Y有關(guān)系的把握程度就越大．
其中敘述正確的個(gè)數(shù)為( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　因?yàn)楠?dú)立性檢驗(yàn)常用等高堆積條形圖表示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，故①正確；獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理，故②正確；獨(dú)立性檢驗(yàn)的結(jié)果不是完全正確的，故③不正確；對(duì)分類(lèi)變量X與Y的隨機(jī)變量χ2的觀測(cè)值來(lái)說(shuō)，χ2越大，X與Y有關(guān)系的把握程度才越大，故④不正確．所以正確的個(gè)數(shù)為2，故選B.
3．一個(gè)2×2列聯(lián)表如下：
y1 y2 總計(jì)
x1 a 35 45
x2 7 b n
總計(jì) m 73 s
則表中m，n的值分別是( B )
A．10,38 B．17,45
C．10,45 D．17,38
[解析]　由a＋35＝45，得a＝10.由a＋7＝m，得m＝17.由m＋73＝s，得s＝90.由45＋n＝s，得n＝45.
4．在一項(xiàng)打鼾與患心臟病的調(diào)查中，共調(diào)查了1 671人，經(jīng)過(guò)計(jì)算χ2的值χ2≈27.63，根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，我們有理由認(rèn)為打鼾與患心臟病是_有關(guān)__的(填“有關(guān)”或“無(wú)關(guān)”)．
[解析]　由χ2≈27.63與臨界值比較，在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下，說(shuō)明打鼾與患心臟病有關(guān)．章末知識(shí)梳理
知識(shí)點(diǎn) 1　變量的相關(guān)關(guān)系
1．散點(diǎn)圖
為了直觀地描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)中兩個(gè)變量間的關(guān)系，用橫軸表示其中的一個(gè)變量，縱軸表示另一個(gè)變量，則每一對(duì)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)都可以用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來(lái)，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖．
2．線性相關(guān)與非線性相關(guān)
(1)線性相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量線性相關(guān)．
(2)非線性相關(guān)
一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱(chēng)這兩個(gè)變量非線性相關(guān)．
知識(shí)點(diǎn) 2　樣本相關(guān)系數(shù)
1．樣本相關(guān)系數(shù)
(1)計(jì)算公式：
r＝
＝
(2)取值范圍：[－1,1]．
2．樣本相關(guān)系數(shù)的意義
樣本相關(guān)系數(shù)r是一個(gè)描述成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，r的符號(hào)反映了相關(guān)關(guān)系的正負(fù)性；|r|的大小反映了兩個(gè)變量相關(guān)的程度，具體如下：
(1)r的正負(fù)
當(dāng)r>0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，稱(chēng)成對(duì)數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān)．
(2)r的絕對(duì)值
當(dāng)|r|越接近于1時(shí)，成對(duì)數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；
|r|越接近于0，成對(duì)數(shù)據(jù)線性相關(guān)程度越弱．
3．判斷相關(guān)關(guān)系的兩種方法
(1)通過(guò)作散點(diǎn)圖，觀察由所給的數(shù)據(jù)描出的點(diǎn)是否在一條直線附近來(lái)判定，直觀方便．
(2)利用相關(guān)系數(shù)．
知識(shí)點(diǎn) 3　一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)
1．最小二乘估計(jì)
設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，當(dāng)a，b的取值為
時(shí)，Q(隨機(jī)誤差的平方和)達(dá)到最?。覀儗ⅲ絰＋稱(chēng)為y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程，也稱(chēng)經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱(chēng)為經(jīng)驗(yàn)回歸直線．這種求經(jīng)驗(yàn)回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估計(jì)．
2．殘差分析
對(duì)于響應(yīng)變量y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱(chēng)為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的稱(chēng)為預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱(chēng)為殘差．殘差是隨機(jī)誤差的估計(jì)結(jié)果，通過(guò)對(duì)殘差的分析可以判斷模型刻畫(huà)數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等．殘差分析的一般方法有以下兩種：
(1)殘差圖
(2)R2的表達(dá)式及其意義
①計(jì)算公式R2＝1－.
②對(duì)于已獲取的樣本數(shù)據(jù)，R2表達(dá)式中的(yi－)2為確定的數(shù)，因此R2越大，殘差平方和(yi－i)2越小，即模型的擬合效果越好；R2越小，殘差平方和越大，即模型的擬合效果越差．
知識(shí)點(diǎn) 4　分類(lèi)變量與列聯(lián)表
(1)分類(lèi)變量
(2)2×2列聯(lián)表
如下表所示，我們將給出成對(duì)分類(lèi)變量數(shù)據(jù)的交叉分類(lèi)頻數(shù)的表格，稱(chēng)為2×2列聯(lián)表.
y1 y2 合計(jì)
x1 a b a＋b
x2 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d a＋b＋c＋d
(3)等高堆積條形圖
與表格相比，圖形更能直觀地反映出兩個(gè)分類(lèi)變量間是否相互影響，常用等高條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征．分別計(jì)算出中間四個(gè)數(shù)各自的頻率，可以用等高堆積條形圖直觀展示上述計(jì)算結(jié)果．
注意：(1)在等高堆積條形圖中，列聯(lián)表的行對(duì)應(yīng)的是高度，兩行的數(shù)據(jù)不相等，但對(duì)應(yīng)的條形圖的高度是相同的；同一行中兩列數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)不同的顏色．
(2)等高堆積條形圖中有兩個(gè)高度相同的矩形，每一個(gè)矩形中都有兩種顏色，如果兩個(gè)高度相差比較明顯，就判斷兩個(gè)分類(lèi)變量之間有關(guān)聯(lián)．
知識(shí)點(diǎn) 5　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想
1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義
一般地，假設(shè)有兩個(gè)分類(lèi)變量X和Y，其樣本頻數(shù)
X Y 合計(jì)
Y＝0 Y＝1
X＝0 a b a＋b
X＝1 c d c＋d
合計(jì) a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d
依據(jù)上述2×2列聯(lián)表構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量
χ2＝，利用隨機(jī)變量χ2的取值推斷分類(lèi)變量是否獨(dú)立的方法稱(chēng)為χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，簡(jiǎn)稱(chēng)獨(dú)立性檢驗(yàn)．
2．臨界值表
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
3.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的主要環(huán)節(jié)
(1)提出零假設(shè)H0：分類(lèi)變量X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋?zhuān)?br/>(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較．
(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論．
(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.
要點(diǎn)一　回歸分析
回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，也是本章的重點(diǎn)、高考的熱點(diǎn)，主要考查線性回歸分析．題型既有選擇、填空題，也有解答題．
典例1　連鎖經(jīng)營(yíng)公司所屬5個(gè)零售店某月的銷(xiāo)售額利潤(rùn)資料如表：
商店名稱(chēng) A B C D E
銷(xiāo)售額x/千萬(wàn)元 3 5 6 7 9
利潤(rùn)額y/百萬(wàn)元 2 3 3 4 5
(1)畫(huà)出銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額的散點(diǎn)圖；
(2)若銷(xiāo)售額和利潤(rùn)額具有相關(guān)關(guān)系，試計(jì)算利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程；
(3)估計(jì)要達(dá)到1 000萬(wàn)元的利潤(rùn)額，銷(xiāo)售額約為多少萬(wàn)元．
參考公式：＝＝，＝－
[分析]　(1)根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖即可；(2)求出對(duì)應(yīng)的數(shù)值，，以及n　，iyi，和n2，代入公式即可求出經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程的系數(shù)與方程；(3)根據(jù)題意，令＝10(注意單位)，求出x的值即可．
[解析]　(1)根據(jù)表中所給的5對(duì)數(shù)據(jù)，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出散點(diǎn)圖，如圖所示．
(2)∵＝＝6，
＝＝，
∴n?。?×6×＝102，
iyi＝3×2＋5×3＋6×3＋7×4＋9×5＝112，
＝32＋52＋62＋72＋92＝200，
n2＝5×62＝180，
＝＝＝0.5，
＝－＝－0.5×6＝＝0.4，
∴利潤(rùn)額y對(duì)銷(xiāo)售額x的經(jīng)驗(yàn)回歸直線方程是＝0.5x＋0.4.
(3)根據(jù)題意，令＝0.5x＋0.4＝10，
解得x＝19.2(千萬(wàn)元)，
故銷(xiāo)售額約為19 200萬(wàn)元．
[規(guī)律方法]　1.建立經(jīng)驗(yàn)回歸模型的步驟
(1)確定研究對(duì)象，明確變量x，y.
(2)畫(huà)出變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系．
(3)確定經(jīng)驗(yàn)回歸方程的類(lèi)型．
(4)按一定規(guī)則估計(jì)經(jīng)驗(yàn)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)．
(5)得出經(jīng)驗(yàn)回歸方程．
2．分析兩個(gè)變量線性相關(guān)的常用方法
(1)散點(diǎn)圖法，該法主要是用來(lái)直觀地分析兩變量間是否存在相關(guān)關(guān)系．
(2)相關(guān)系數(shù)法，該法主要是從量上分析兩個(gè)變量間相互聯(lián)系的密切程度，|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越?。?br/>要點(diǎn)二　獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與方法
獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想是：先作出零假設(shè)H0，即假設(shè)兩個(gè)分類(lèi)變量沒(méi)有關(guān)系，再根據(jù)這個(gè)假設(shè)應(yīng)用統(tǒng)計(jì)的方法進(jìn)行分析，得到一個(gè)統(tǒng)計(jì)量χ2的值，再由統(tǒng)計(jì)學(xué)得到的各臨界值，確定我們的假設(shè)是否成立，以及假設(shè)的不合理程度．
典例2　某校為了探索一種新的教學(xué)模式， 進(jìn)行了一項(xiàng)課題實(shí)驗(yàn)，乙班為實(shí)驗(yàn)班，甲班為對(duì)比班，甲、乙兩班均有50人，一年后對(duì)兩班進(jìn)行測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦卤?總分：150分)．
甲班
成績(jī) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130]
頻數(shù) 4 20 15 10 1
乙班
成績(jī) [80,90) [90,100) [100,110) [110,120) [120,130]
頻數(shù) 1 11 23 13 2
(1)現(xiàn)從甲班成績(jī)位于[90,120)內(nèi)的試卷中抽取9份進(jìn)行試卷分析，請(qǐng)問(wèn)用什么抽樣方法更合理，并寫(xiě)出最后的抽樣結(jié)果；
(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)可估計(jì)在這次測(cè)試中，甲班的平均分是101.8，請(qǐng)你估計(jì)乙班的平均分，并計(jì)算兩班平均分相差幾分；
(3)完成下面2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析這兩個(gè)班在這次測(cè)試中成績(jī)的差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)是否有關(guān)，并說(shuō)明理由.
成績(jī)小于100分 成績(jī)不小于 100分 總計(jì)
甲班26 50
乙班 12 50
總計(jì) 36 64 100
[分析]　→→
(2)→→
(3)
[解析]　(1)用分層抽樣的方法更合理．甲班成績(jī)位于[90,120)內(nèi)的試卷共有20＋15＋10＝45(份)，從中抽取9份，抽樣比為＝，故在[90,100)，[100,110)，[110,120)各分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取試卷20×＝4(份)，15×＝3(份)，10×＝2(份)．
(2)估計(jì)乙班的平均分為乙＝85×＋95×＋105×＋115×＋125×＝105.8,105.8－101.8＝4，即兩班的平均分相差4分．
(3)補(bǔ)全列聯(lián)表如下：
成績(jī)小于100分 成績(jī)不小于100分 總計(jì)
甲班 24 26 50
乙班 12 38 50
總計(jì) 36 64 100
零假設(shè)H0：兩個(gè)班的成績(jī)差異與實(shí)施課題實(shí)驗(yàn)無(wú)關(guān)．
由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，得χ2的觀測(cè)值為
χ2＝＝6.25>3.841＝x0.05，根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為這兩個(gè)班在這次測(cè)試中成績(jī)的差異與實(shí)施課題有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤率不超過(guò)0.05.
[規(guī)律方法]　使用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)：
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制2×2列聯(lián)表，并檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合要求．
(2)由公式χ2＝，計(jì)算 出χ2的值．
(3)將χ2的數(shù)值與臨界值進(jìn)行對(duì)比．
(4)作出統(tǒng)計(jì)判斷．
要點(diǎn)三　概率、統(tǒng)計(jì)與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問(wèn)題
概率、統(tǒng)計(jì)與獨(dú)立性檢驗(yàn)的綜合問(wèn)題在高考中常常出現(xiàn)，一般為解答題，難度中等．有時(shí)古典概型與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合，有時(shí)樣本的分布與獨(dú)立性檢驗(yàn)綜合，更有三者融合在一起的綜合性較強(qiáng)的題目出現(xiàn)．
典例3　某電視傳媒公司為了解某地區(qū)電視觀眾對(duì)某體育節(jié)目的收視情況，隨機(jī)抽取了100名觀眾進(jìn)行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示：
將日均收看該體育節(jié)目的時(shí)間不低于40分鐘的觀眾稱(chēng)為“體育迷”．
(1)根據(jù)已知條件完成下面的2×2列聯(lián)表，試根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析“體育迷”是否與性別有關(guān)；
性別 電視觀眾 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男
女 10 55
合計(jì)
(2)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中，采用隨機(jī)抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求X的分布列，期望E(X)和方差D(X)．
附χ2＝
P(χ2≥k) 0.05 0.01
k 3.841 6.635
[解析]　(1)由頻率分布直方圖可知，在抽取的100名觀眾中，“體育迷”有25名，從而2×2列聯(lián)表如下：
性別 電視觀眾 合計(jì)
非體育迷 體育迷
男 30 15 45
女 45 10 55
合計(jì) 75 25 100
零假設(shè)H0：“體育迷”與性別無(wú)關(guān)．
將2×2列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算，得
χ2＝≈3.030<3.841＝x0.05.
根據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為“體育迷”與性別無(wú)關(guān)．
(2)由頻率分布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25，將頻率視為概率，即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為.由題意知X～B，從而X的分布列為
X 0 1 2 3
P
E(X)＝np＝3×＝，
D(X)＝np(1－p)＝3××＝.
[規(guī)律方法]　使用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制2×2列聯(lián)表，并檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否符合要求．
(2)由公式χ2＝，計(jì)算出χ2的值．
(3)將χ2的數(shù)值與臨界值進(jìn)行對(duì)比．
(4)作出統(tǒng)計(jì)判斷.

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