資源簡介

1.1　數(shù)列的概念
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解數(shù)列、通項公式的概念，能根據(jù)通項公式確定數(shù)列中的項．
2．能根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式．
核心素養(yǎng)
1．通過對數(shù)列有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助通項公式的確定與應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
知識點 1　數(shù)列的有關(guān)概念
1．?dāng)?shù)列：按一定_次序__排列的一列數(shù)叫作數(shù)列．
2．項：數(shù)列中的_每一個數(shù)__叫作這個數(shù)列的項．
3．?dāng)?shù)列的表示：數(shù)列的一般形式可以寫成a1，a2，a3，…，an，…或簡記為_{an}__.數(shù)列的第1項，也叫數(shù)列的_首項__，an是數(shù)列的第n項，也叫數(shù)列的_通項__.
[提醒]　{an}和an是不同的概念，{an}表示一個數(shù)列，而an表示數(shù)列中的第n項．
想一想：
數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,4,3,2,1是同一個數(shù)列嗎？
提示：數(shù)列1,2,3,4,5和數(shù)列5,4,3,2,1不是同一個數(shù)列，因為二者的項的排列次序不同．
練一練：
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}．( × )
(2)數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列．( × )
(3)數(shù)列中的項可以相等．( √ )
[解析]　(1) {1,3,5,7}不表示數(shù)列．
(2) 數(shù)列具有有序性，順序不同一定不是相同數(shù)列．
(3) 數(shù)列中的各項數(shù)可能相等．
知識點 2　數(shù)列的分類
1．項數(shù)_有限__的數(shù)列稱為有窮數(shù)列．
2．項數(shù)_無限__的數(shù)列稱為無窮數(shù)列．
練一練：
(多選)下列四個數(shù)列中，是無窮數(shù)列的是( AC )
A．1，，，，…
B．1,2,3,4，…，2n
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
[解析]　B、D是有窮數(shù)列，A、C是無窮數(shù)列．
知識點 3　數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列{an}的第n項an與n之間的函數(shù)關(guān)系可以用_一個式子__表示成an＝f(n)，那么這個式子叫作這個數(shù)列的通項公式．
[提醒]　1.并不是所有的數(shù)列都有通項公式．
2．同一數(shù)列的通項公式表達形式不是唯一的．例如，數(shù)列－1,1，－1,1，－1,1，…的通項公式可以寫成an＝(－1)n，an＝(－1)n＋2或an＝cos nπ等．
3．?dāng)?shù)列的通項公式的定義域是正整數(shù)集N＋或它的有限子集．
練一練：
1．?dāng)?shù)列2,3,4,5，…的一個通項公式為( B )
A．a(chǎn)n＝n B．a(chǎn)n＝n＋1
C．a(chǎn)n＝n＋2 D．a(chǎn)n＝2n
[解析]　這個數(shù)列的前4項都比序號大1，所以它的一個通項公式為an＝n＋1.
2．?dāng)?shù)列{an}中，若an＝，則a4＝ 　.
[解析]　因為an＝，
所以a4＝＝.
題型探究
題型一　數(shù)列的概念及分類
典例1　(多選)下列說法正確的是( AC )
A．?dāng)?shù)列4,7,3,4的首項是4
B．?dāng)?shù)列{an}中，若a1＝3，則從第2項起，各項均不等于3
C．?dāng)?shù)列1,2,3，…是無窮數(shù)列
D．a(chǎn)，－3，－1,1，b,5,7,9,11能構(gòu)成數(shù)列
[解析]　根據(jù)數(shù)列的相關(guān)概念，可知數(shù)列4,7,3,4的第1項就是首項，即4，故A正確；同一個數(shù)在一個數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)，故B錯誤；由無窮數(shù)列的概念可知C正確；當(dāng)a，b都代表數(shù)時，能構(gòu)成數(shù)列，當(dāng)a，b中至少有一個不代表數(shù)時，不能構(gòu)成數(shù)列，因為數(shù)列是按確定的順序排列的一列數(shù)，故D錯誤．
[規(guī)律方法]　數(shù)列概念的三個注意點
(1)數(shù)列{an}表示數(shù)列a1，a2，a3，…，an，…，不是表示一個集合，與集合表示有本質(zhì)的區(qū)別．
(2)從數(shù)列的定義可以看出，如果組成數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；在定義中，并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．
(3)數(shù)列中各項的次序揭示了數(shù)列的規(guī)律性，是理解、把握數(shù)列的關(guān)鍵．
對點訓(xùn)練 下列說法正確的是( C )
A．1,4,2，，不是數(shù)列
B．?dāng)?shù)列的第k項為1＋
C．－1,1,3,5，…是數(shù)列
D．?dāng)?shù)列0,2,4,6,8，…可記為{2n}
[解析]　A中，1,4,2，，是數(shù)列；B中，數(shù)列的第k項為1＋；D中，數(shù)列應(yīng)記為{2n－2}，所以D不正確；很明顯C正確.
題型二　根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式
典例2　寫出下面各數(shù)列{an}的一個通項公式：
(1)9,99,999,9 999，…
(2)1，－3,5，－7,9，…
(3)，2，，8，，…
(4)3,5,9,17,33，…
[分析]　觀察給出的前幾項，歸納、猜想出通項公式．
[解析]　(1)各項加1后，變?yōu)?0,100,1 000，10 000，…，新數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝10n，可得原數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝10n－1.
(2)數(shù)列各項的絕對值為1,3,5,7,9，…，是連續(xù)的正奇數(shù)，新數(shù)列{bn}的通項公式為bn＝2n－1，考慮到(－1)n＋1具有轉(zhuǎn)換正負(fù)號的作用，所以原數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝(－1)n＋1(2n－1)．
(3)數(shù)列的項有的是分?jǐn)?shù)，有的是整數(shù)，可將各項統(tǒng)一成分?jǐn)?shù)再觀察，各項變?yōu)椋詳?shù)列{an}的一個通項公式為an＝.
(4)3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…，所以數(shù)列{an}的一個通項公式為an＝2n＋1.
[規(guī)律方法]　由數(shù)列的前幾項求通項公式的思路
(1)先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分?jǐn)?shù)、根式等，然后通過觀察、分析、聯(lián)想、比較，去發(fā)現(xiàn)項與序號之間的關(guān)系；
(2)如果關(guān)系不明顯，可將各項同時加上或減去一個數(shù)，或分解、還原等，將規(guī)律呈現(xiàn)，便于找通項公式；
(3)要借助一些基本數(shù)列的通項，如正整數(shù)數(shù)列、正整數(shù)的平方數(shù)列、奇數(shù)列、偶數(shù)列等；
(4)符號用(－1)n或(－1)n＋1來調(diào)整；
(5)分式的分子、分母分別找通項，還要充分借助分子、分母的關(guān)系；
(6)對于周期出現(xiàn)的數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等求通項．
對點訓(xùn)練 根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的一個通項公式．
(1)，，，，…
(2)1,0,1,0，…
(3)－1,2，－3,4，…
(4)2,22,222,2222，…
[解析]　(1)分子均為偶數(shù)，分母分別為1×3,3×5,5×7,7×9，…是兩個相鄰奇數(shù)的乘積．
故an＝.
(2)奇數(shù)項為1，偶數(shù)項為0，
故an＝.
(3)該數(shù)列的前4項的絕對值與序號相同，且奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故an＝(－1)n·n.
(4)數(shù)列各項可化為×9，×99，×999，…，所以通項公式為an＝(10n－1).
題型三　數(shù)列中的項的求解與判斷
典例3　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n2－28n.
(1)寫出數(shù)列的第4項和第6項．
(2)－49是否為該數(shù)列的一項？如果是，是哪一項？68是否為該數(shù)列的一項呢？
(3)數(shù)列{an}中有多少個負(fù)數(shù)項？
[分析]　(1)分別將n＝4，n＝6代入通項公式，即可求得a4，a6；(2)令an＝－49，an＝68，分別求得n的值，若n∈N*，則是數(shù)列的項，否則不是該數(shù)列的項；(3)令an<0，求出n的范圍，范圍內(nèi)正整數(shù)的個數(shù)即數(shù)列{an}中負(fù)數(shù)項的個數(shù)．
[解析]　(1)a4＝3×16－28×4＝－64，a6＝3×36－28×6＝－60.
(2)令3n2－28n＝－49，
解得n＝7或n＝(舍去)，
所以n＝7，即－49是該數(shù)列的第7項．
令3n2－28n＝68，解得n＝或n＝－2.
因為 N*，－2 N*，
所以68不是該數(shù)列的項．
(3)an＝n(3n－28)，令an<0，
又n∈N*，解得n＝1,2,3,4,5,6,7,8,9，
即數(shù)列{an}中有9個負(fù)數(shù)項．
[規(guī)律方法]　判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程解為正整數(shù)，則是數(shù)列中的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列中的一項．
對點訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝.
試判斷和是否是該數(shù)列中的項？若是，求出它是第幾項；若不是，說明理由．
[解析]　令＝，得n2＝9，
所以n＝3(n＝－3舍去)，
故是該數(shù)列中的項，并且是第3項；
令＝，得n2＝，
所以n＝±，
由于與－都不是正整數(shù)，
因此不是數(shù)列中的項．
易錯警示
忽略數(shù)列有序性致誤
典例4　寫出由集合{x|x∈N＋且x≤4}中的所有元素構(gòu)成的所有數(shù)列(要求首項為1，且集合的元素只出現(xiàn)一次)．
[誤區(qū)警示]　數(shù)列的記法{an}只是“借用”集合的符號{　}表示數(shù)列，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：(1)集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的．(2)集合中的元素是無序的，而數(shù)列中的項必須按一定順序排列．
[解析]　集合可表示為{1,2,3,4}，由集合中的元素組成的數(shù)列要求首項為1，且集合中的元素只出現(xiàn)一次，故所求數(shù)列有6個：1,2,3,4；1,2,4,3；1,3,2,4；1,3,4,2；1,4,2,3；1,4,3,2.
1．?dāng)?shù)列1,3,6,10，x,21,28，…中，由給出的數(shù)之間的關(guān)系可知x的值是( B )
A．12 B．15
C．17 D．18
[解析]　各項乘2，變?yōu)?×2,2×3,3×4，…，可得原數(shù)列的通項公式為an＝，
故x＝a5＝＝15.
2．有下列命題：
①數(shù)列，，，，…的一個通項公式是an＝；
②數(shù)列的圖象是一群孤立的點；
③數(shù)列1，－1,1，－1，…與數(shù)列－1,1，－1,1，…是同一數(shù)列．
其中正確命題的個數(shù)為( A )
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析]　②正確，其余均不對．
3．把1,3,6,10,15,21這些數(shù)叫作三角形數(shù)，這是因為這些數(shù)目的點可以排成正三角形(如圖所示)，則第七個三角形數(shù)是( B )
A．27 B．28
C．29 D．30
[解析]　觀察三角形數(shù)的增長規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)每一項比它的前一項多的點數(shù)正好是本身的序號，所以根據(jù)這個規(guī)律計算即可，根據(jù)三角形數(shù)的增長規(guī)律可知第七個三角形數(shù)是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.
4．323是數(shù)列{n(n＋2)}(n∈N＋)的第_17__項．
[解析]　令n(n＋2)＝323，∴n2＋2n－323＝0，
∴(n＋19)(n－17)＝0，∵n∈N＋，∴n＝17.1.2　數(shù)列的函數(shù)特性
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解數(shù)列的幾種簡單表示方法．
2．了解遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列的概念．
3．掌握判斷數(shù)列的增減性的方法．
核心素養(yǎng)
1．通過對遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列等概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助數(shù)列的增減性的判斷，提升邏輯推理素養(yǎng)．
知識點 1　數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系
數(shù)列可以看作是定義域為 正整數(shù)集N＋　(或它的有限子集{1,2，…，n})的函數(shù)，當(dāng)自變量_從小到大__依次取值時，該函數(shù)對應(yīng)的一列函數(shù)值就是這個數(shù)列．
[提醒]　數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，特殊在它的定義域是離散型的，所以圖象是一些分散的點．并且數(shù)列有序，函數(shù)值域是集合，具有無序性．
想一想：
在數(shù)列{an}中，an＝，請說出數(shù)列{an}與函數(shù)f(x)＝(x>0)的圖象的區(qū)別與聯(lián)系？
提示：數(shù)列{an}的圖象是一群孤立的點，而函數(shù)f(x)的圖象是一條光滑的曲線，表示數(shù)列圖象的點分布在函數(shù)圖象上．
練一練：
在數(shù)列{an}中，an＝n2－9n(n∈N＋)，則此數(shù)列最小項的值是_－20__.
[解析]　an＝n2－9n＝2－，
∵n∈N＋，
∴當(dāng)n＝4或n＝5時，an取最小值－20.
知識點 2　數(shù)列的三種表示法
(1)列表法．(2)圖象法．(3)_通項公式法__.
練一練：
對于數(shù)列{an}，a1＝4，an＋1＝f(an)，n∈N＋，依照下表，則a2 023＝_5__.
x 1 2 3 4 5
f(x) 5 4 3 1 2
[解析]　a1＝4，a2＝f(4)＝1，a3＝f(1)＝5，a4＝f(5)＝2，a5＝f(2)＝4，…，
該數(shù)列是周期為4的周期數(shù)列，
所以a2 023＝a3＝5.
知識點 3　遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列
名稱 定義 表達式 圖象特點
遞增數(shù)列 從第2項起，每一項都_大于__它的前一項 an＋1>an(n∈N＋) _上升__
遞減數(shù)列 從第2項起，每一項都_小于__它的前一項 an＋1常數(shù)列 各項都_相等__ an＋1＝an(n∈N＋) 不升不降
擺動數(shù)列 從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項 an與an＋1(n∈N＋)大小不確定 上下擺動
練一練：
已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝，則這個數(shù)列是( B )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列
[解析]　數(shù)列{an}的通項公式是an＝＝＝1＋，則當(dāng)n∈N＋時為遞減數(shù)列．
題型探究
題型一　數(shù)列的表示方法
典例1　在數(shù)列{an}中，an＝n2－8n.
(1)畫出數(shù)列{an}的圖象；
(2)根據(jù)圖象判定數(shù)列{an}的增減性．
[解析]　(1)列表
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 …
an －7 －12 －15 －16 －15 －12 －7 0 9 …
描點：在平面直角坐標(biāo)系中描出下列各點即得數(shù)列{an}的圖象：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…
圖象如圖所示．
(2)數(shù)列{an}的圖象既不是上升的，也不是下降的，則數(shù)列{an}既不是單調(diào)遞增的，也不是單調(diào)遞減的．
[規(guī)律方法]　畫數(shù)列的圖象的方法
數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，因此也可以用圖象來表示，以位置序號n為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的項為縱坐標(biāo)，即坐標(biāo)為(n，an)描點畫圖，就可以得到數(shù)列的圖象．因為它的定義域是正整數(shù)集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其圖象是一群孤立的點，這些點的個數(shù)可以是有限的，也可以是無限的．
對點訓(xùn)練 若數(shù)列{an}的通項公式為an＝－n2＋7n(n∈N＋)，求an的最大值，并與函數(shù)f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的最大值作比較．
[解析]　作出函數(shù)f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的圖象與數(shù)列{an}的圖象．
從圖象上看，表示數(shù)列{an}的各點都在拋物線f(x)＝－x2＋7x(x∈R)的圖象上，
由數(shù)列{an}的圖象，得an的最大值為a3＝a4＝12，
由函數(shù)f(x)的圖象，得f(x)的最大值為f＝，
因此，an的最大值小于f(x)的最大值.
題型二　根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍
典例2　已知數(shù)列{an}滿足：an＝(n∈N＋)，且數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是( D )
A． B．
C．(1,3) D．(2,3)
[解析]　因為數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，所以由n≤7時，an＝(3－a)n－3知3－a>0，即a<3；由n>7時，an＝an－6知a>1.又a72或a<－9.綜上，得2[規(guī)律方法]　利用數(shù)列的單調(diào)性確定變量的取值范圍，解決此類問題常用以下等價關(guān)系
數(shù)列{an}遞增 an＋1>an(n∈N＋)，數(shù)列{an}遞減 an＋1對點訓(xùn)練 通項公式為an＝λn2＋n的數(shù)列{an}，若滿足a1an＋1對n≥8恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　∵a1－，而an>an＋1對任意的n≥8恒成立，故λ<0，且－<，即λ<－，故選A．
題型三　求數(shù)列的最大項與最小項
典例3　已知數(shù)列{an}的通項公式是an＝(n＋2)×n(n∈N＋)，數(shù)列{an}是否有最大項？若有，求出最大項；若沒有，說明理由．
[解析]　數(shù)列{an}有最大項．
方法一：an＋1－an＝(n＋3)×n＋1－(n＋2)×n＝n×.
當(dāng)n<5(n∈N＋)時，an＋1－an>0，即an＋1>an；
當(dāng)n＝5時，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
當(dāng)n>5(n∈N＋)時，an＋1－an<0，即an＋1故a1a7>a8>…，
∴數(shù)列{an}有最大項，且最大項為a5或a6，且a5＝a6＝.
方法二：＝＝，
令>1，即>1，解得n<5(n∈N＋)；
令＝1，即＝1，解得n＝5，∴a6＝a5；
令<1，即<1，解得n>5(n∈N＋)．
故a1a7>…，
∴數(shù)列{an}有最大項，且最大項為a5或a6，且a5＝a6＝.
方法三：假設(shè){an}中有最大項，且最大項為第n項(n≥2)，則
即
解得5≤n≤6.
故數(shù)列{an}有最大項a5或a6，且a5＝a6＝.
[規(guī)律方法]　求數(shù)列中的最大(最小)項問題的兩種方法
(1)構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最大項或最小項．
(2)利用(n≥2)，求數(shù)列中的最大項an，利用(n≥2)，求數(shù)列中的最小項an.當(dāng)解不唯一時，比較各解大小即可確定．
對點訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝－2n2＋21n，則該數(shù)列中的數(shù)值最大的項是( A )
A．第5項 B．第6項
C．第4項或第5項 D．第5項或第6項
[解析]　an＝－2n2＋21n＝－22＋，
因為n∈N*,5<<6，且a5＝55，a6＝54，
所以數(shù)值最大的項為第5項．
易錯警示
用函數(shù)思想解題時忽略數(shù)列的特征而致錯
典例4　已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝n2＋tn，若數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，則t的取值范圍是_(－3，＋∞)__.
[錯解]　[－2，＋∞)
[誤區(qū)警示]　在錯解中，忽略了數(shù)列的特征，即n的取值的離散性，常會得出－≤1，即t∈[－2，＋∞)錯誤結(jié)果．事實上，由拋物線的對稱性知，函數(shù)f(x)＝x2＋tx在[1，＋∞)上不單調(diào)照樣可以使得數(shù)列{an}單調(diào)，當(dāng)對稱軸位于區(qū)間內(nèi)時，a1[正解]　正解一：由數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，知an＋1－an＝(n＋1)2＋t(n＋1)－(n2＋tn)＝2n＋1＋t>0恒成立，即t>－(2n＋1)恒成立．
而n∈N*，所以t>－3，故t的取值范圍是(－3，＋∞)．
正解二：an＝n2＋tn＝2－，
由于n∈N*，且數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得－<，解得t>－3，
故t的取值范圍是(－3，＋∞).
1．已知an＋1－an＝3，則數(shù)列{an}是( A )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．?dāng)[動數(shù)列
[解析]　∵an＋1－an＝3>0，∴an＋1>an.
2．已知數(shù)列{an}滿足：任意m，n∈N＋，都有an·am＝an＋m，且a1＝，那么a5＝( A )
A． B．
C． D．
[解析]　由題意，得a2＝a1a1＝，a3＝a1·a2＝，則a5＝a3·a2＝.
3．已知表示數(shù)列{an}的圖象的點在函數(shù)y＝的圖象上，則其通項公式為 an＝(n∈N＋)　.
[解析]　數(shù)列{an}對應(yīng)的點列為(n，an)，即有an＝(n∈N＋)．
4．已知數(shù)列2a－1，a－3,3a－5為遞減數(shù)列，則a的取值范圍為_(－2,1)__.
[解析]　∵數(shù)列：2a－1，a－3,3a－5為遞減數(shù)列，
∴解得－2∴a的取值范圍為(－2,1)．2.1　等差數(shù)列的概念及其通項公式
第1課時　等差數(shù)列
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解等差數(shù)列的概念．
2．掌握等差數(shù)列的判定方法．
3．掌握等差數(shù)列的通項公式及通項公式的應(yīng)用．
核心素養(yǎng)
1．通過對等差數(shù)列的有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助等差數(shù)列通項公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
知識點 1　等差數(shù)列的定義
文字語言 對于一個數(shù)列，如果從第_2__項起，每一項與它的前一項的_差__都是_同一個常數(shù)__，稱這樣的數(shù)列為等差數(shù)列
符號語言 若_an－an－1＝d(n≥2)__，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列
[提醒]　“每一項與前一項的差”的含義有兩個：其一是強調(diào)作差的順序，即后面的項減前面的項；其二是強調(diào)這兩項必須相鄰．
想一想：
若把等差數(shù)列概念中“同一個”去掉，那么這個數(shù)列還是等差數(shù)列嗎？
提示：一個數(shù)列從第2項起，每一項與它前一項的差都等于常數(shù)，若這些常數(shù)相等，則這個數(shù)列是等差數(shù)列；若這些常數(shù)不相等，則這個數(shù)列不是等差數(shù)列．
練一練：
(多選)下列數(shù)列是等差數(shù)列的是( AC )
A．0,0,0,0,0，…
B．1,11,111,1111，…
C．－5，－3，－1,1,3，…
D．1,2,3,5,8，…
[解析]　根據(jù)等差數(shù)列的定義可知A，C中的數(shù)列是等差數(shù)列，而B，D中，從第2項起，后一項與前一項的差不是同一個常數(shù)．
知識點 2　等差數(shù)列的通項公式
若首項是a1，公差是d，則等差數(shù)列{an}的通項公式為an＝_a1＋(n－1)d__.
練一練：
1．已知等差數(shù)列{an}，a1＝2，a3＝5，則公差d等于( B )
A． B．
C．3 D．－3
[解析]　由已知等差數(shù)列{an}，a1＝2，a3＝5可得等差數(shù)列{an}的公差d＝＝＝.
2．等差數(shù)列{an}中，首項a1＝3，公差d＝4，如果an＝2 023，則序號n＝( D )
A．503 B．504
C．505 D．506
[解析]　由an＝a1＋(n－1)d得2 023＝3＋4(n－1)，解得n＝506.
題型探究
題型一　等差數(shù)列的通項公式
典例1　(1)已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且a1＝1，a2＋a4＝10.求數(shù)列{an}的通項公式．
(2)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝11，a8＝5，求通項公式an.
[解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則2a1＋4d＝10，即2＋4d＝10，解得d＝2，所以an＝2n－1.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，由a5＝11，a8＝5，得
即解得a1＝19，d＝－2，
所以數(shù)列{an}的通項公式an＝19＋(n－1)×(－2)＝21－2n.
[規(guī)律方法]　基本量法求通項公式
(1)根據(jù)已知量和未知量之間的關(guān)系，列出方程求解的思想方法，稱為方程思想．
(2)等差數(shù)列{an}中的每一項均可用a1和d表示，這里的a1和d就稱為基本量．
(3)如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成有關(guān)a1，d的關(guān)系列方程組求解，但是要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．
對點訓(xùn)練 (1)在等差數(shù)列{an}中，已知a2＝2，a5＝8，則a9＝( C )
A．8　　　　　　　 B．12
C．16 D．24
(2)等差數(shù)列{an}中，
①已知a3＝－2，d＝3，求an的值；
②若a5＝11，an＝1，d＝－2，求n的值．
[解析]　(1)設(shè)公差為d，首項為a1，
則解得
∴a9＝a1＋8d＝16.
(2)①由a3＝a1＋(3－1)d，得a1＝a3－2d＝－8，
an＝－8＋(n－1)×3＝3n－11.
②an＝a1＋(n－1)d，
所以a5＝a1＋4d，
所以11＝a1－4×2，所以a1＝19，
所以an＝19＋(n－1)×(－2)
＝－2n＋21，
令－2n＋21＝1，得n＝10.
題型二　等差數(shù)列的判斷與證明
典例2　(1)判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列？
①an＝3n＋2；
②an＝n2＋n.
(2)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，bn＝(n∈N*)．
求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求出首項和公差．
[解析]　(1)①an＋1－an＝3(n＋1)＋2－(3n＋2)＝3(常數(shù))，n為任意正整數(shù)，所以此數(shù)列為等差數(shù)列．
②因為an＋1－an＝(n＋1)2＋(n＋1)－(n2＋n)＝2n＋2(不是常數(shù))，所以此數(shù)列不是等差數(shù)列．
(2)證明：方法一：因為＝，
所以＝＋3，所以－＝3，
又因為bn＝(n∈N*)，所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，且b1＝＝.所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為，公差為3.
方法二：因為bn＝，且an＋1＝，
所以bn＋1＝＝＝＋3＝bn＋3，
所以bn＋1－bn＝3(n∈N*)，b1＝＝.
所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，首項為，公差為3.
[規(guī)律方法]　1．用定義證明一個數(shù)列是等差數(shù)列，即證明an＋1－an＝d(d為常數(shù)).
2．說明一個數(shù)列不是等差數(shù)列，只需說明存在p，q使ap＋1－ap≠aq＋1－aq(p，q∈N＋)即可．
對點訓(xùn)練 已知數(shù)列{xn}滿足xn＝(n≥2，且n∈N＋)．
(1)求證：是等差數(shù)列；
(2)當(dāng)x1＝時，求x100.
[解析]　(1)證明：當(dāng)n≥2時，＝＝＋，
∴－＝，
∴是等差數(shù)列，公差為.
(2)由(1)知，＝2＋(n－1)，
∴＝2＋×(100－1)＝35，
∴x100＝.
題型三　等差數(shù)列的實際應(yīng)用
典例3　某市出租車的計價標(biāo)準(zhǔn)為1.2元/km，起步價為10元，即最初的4 km(不含4 km)計費10元，如果某人乘坐該市的出租車去往14 km處的目的地，且一路暢通，等候時間為0，那么需要支付多少車費？
[解析]　根據(jù)題意，當(dāng)該市出租車的行程大于或等于4 km時，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．
所以，可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費．
令a1＝11.2，表示4 km處的車費，公差d＝1.2，
那么當(dāng)出租車行至14 km處時，n＝11，
此時需要支付車費a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．
即需要支付車費23.2元．
[規(guī)律方法]　在實際問題中，若一組數(shù)依次成等數(shù)額增長或下降，則可考慮利用等差數(shù)列方法解決．在利用數(shù)列方法解決實際問題時，一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵問題．
對點訓(xùn)練 高一某班有位學(xué)生第1次考試數(shù)學(xué)考了69分，他計劃以后每次考試比上一次提高5分(如第2次計劃達到74分)，則按照他的計劃該生數(shù)學(xué)以后要達到優(yōu)秀(120分以上，包括120分)至少還要經(jīng)過的數(shù)學(xué)考試的次數(shù)為_11__.
[解析]　設(shè)經(jīng)過n次考試后該學(xué)生的成績?yōu)閍n，
則an＝5n＋69，由5n＋69≥120，得n≥＝10，所以至少要經(jīng)過11次考試．
易錯警示
求等差數(shù)列的公差時因考慮不周致誤
典例4　首項為－24的等差數(shù)列從第10項起開始為正數(shù)，則公差的取值范圍是( D )
A．d> B．d<3
C．≤d<3 D．[錯解]　a10＝a1＋9d＝－24＋9d>0，解得d>.故選A．
[誤區(qū)警示]　該等差數(shù)列的首項為負(fù)數(shù)，從第10項起開始為正數(shù)，說明公差為正數(shù)，且第9項為非正數(shù)，第10項為正數(shù)，解決此類問題時容易忽視第9項的要求．
[正解]　由題意知解得1．?dāng)?shù)列{an}的通項公式an＝2n＋5，則此數(shù)列( A )
A．是公差為2的等差數(shù)列
B．是公差為5的等差數(shù)列
C．是首項為5的等差數(shù)列
D．是公差為n的等差數(shù)列
[解析]　∵an＝2n＋5，∴an－1＝2n＋3(n≥2)，
∴an－an－1＝2n＋5－2n－3＝2(n≥2)，
∴數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列．
2．等差數(shù)列－3,1,5，…的第15項的值是( B )
A．40 B．53
C．63 D．76
[解析]　設(shè)這個等差數(shù)列為{an}，
其中a1＝－3，d＝4，∴a15＝a1＋14d＝－3＋4×14＝53.
3．等差數(shù)列1，－1，－3，－5，…，－89，它的項數(shù)為( C )
A．92 B．47
C．46 D．45
[解析]　a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，
由－89＝－2n＋3，得n＝46.
4．已知等差數(shù)列{an}中，a1＋a2＝a4，a10＝11，則a12＝_13__.
[解析]　設(shè)公差為d，由題意得
解得∴an＝a1＋(n－1)d，∴a12＝2＋11＝13.第2課時　等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解等差數(shù)列通項與一次函數(shù)的關(guān)系，理解公差d的幾何意義．
2．掌握等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用．
3．掌握等差中項的概念及應(yīng)用．
核心素養(yǎng)
1．通過對等差中項概念及公差d的幾何意義的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
知識點 1　等差數(shù)列的單調(diào)性與圖象
(1)等差數(shù)列的圖象
由an＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些_等間隔的點__，其中_公差d__是該直線的斜率.
(2)從函數(shù)角度研究等差數(shù)列的性質(zhì)與圖象
由an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，可知其圖象是直線y＝dx＋(a1－d)上的一些_等間隔的點__，這些點的橫坐標(biāo)是正整數(shù)，其中公差d是該直線的_斜率__，即自變量每增加1，函數(shù)值增加d.
當(dāng)d>0時，{an}為_遞增數(shù)列__；當(dāng)d<0時，{an}為_遞減數(shù)列__；當(dāng)d＝0時，{an}為_常數(shù)列__.
[提醒]　等差數(shù)列通項公式的變形及推廣
①an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)，
②an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，
③d＝(m，n∈N*，且m≠n)．
其中①的幾何意義是點(n，an)均在直線y＝dx＋(a1－d)上．
②可以利用任意項及公差直接得到通項公式，不必求a1.
③即斜率公式k＝，可用來由等差數(shù)列任兩項求公差．
想一想：
已知等差數(shù)列{an}的兩項am，an，如何用am，an表示公差d？并解釋公差d的幾何意義．
提示：d＝.d是直線y＝dx＋(a1－d)的斜率．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若A＝，則a，A，b成等差數(shù)列．( √ )
(2)若{an}是等差數(shù)列，則an＝am＋(n－m)d.( √ )
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( √ )
2．在等差數(shù)列{an}中，a3＝5，a7＝1，則數(shù)列{an}的公差d＝_－1__.
[解析]　因為a3＝5，a7＝1，故d＝＝－1.
知識點 2　等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)等差中項
如果在a與b之間插入一個數(shù)A，使a，A，b成_等差數(shù)列__，那么A叫作a與b的等差中項，A＝ 　.
(2)如果{an}是等差數(shù)列，正整數(shù)m，n，p，q，t滿足m＋n＝p＋q＝2t，則有am＋an＝ap＋aq＝2at.
[提醒]　在一個等差數(shù)列中，從第2項起，每一項an(有窮數(shù)列的末項除外)都是它的前一項an－1與后一項an＋1的等差中項，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
練一練：
1．若等差數(shù)列{an}的公差為d，則{3an＋2}是( C )
A．公差為d的等差數(shù)列
B．公差為2d的等差數(shù)列
C．公差為3d的等差數(shù)列
D．非等差數(shù)列
[解析]　設(shè)bn＝3an＋2，則bn＋1－bn＝3an＋1＋2－3an－2＝3(an＋1－an)＝3d.
2．在等差數(shù)列{an}中，若a3＝2，a5＝7，則a7＝_12__.
[解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)得a7＋a3＝2a5，則a7＋2＝2×7，得a7＝12.
題型探究
題型一　等差數(shù)列通項公式的推廣an＝am＋(n－m)d的應(yīng)用
典例1　若{an}為等差數(shù)列，a15＝8，a60＝20，求a75.
[解析]　方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∵a15＝a1＋14d，a60＝a1＋59d，
∴解得
∴a75＝a1＋74d＝＋74×＝24.
方法二：∵{an}為等差數(shù)列，
∴a15，a30，a45，a60，a75也為等差數(shù)列．
設(shè)其公差為d，則a15為首項，a60為第4項，
∴a60＝a15＋3d，即20＝8＋3d，解得d＝4.
∴a75＝a60＋d＝20＋4＝24.
方法三：∵a60＝a15＋(60－15)d，
∴d＝＝.
∴a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
[規(guī)律方法]　若{an}是等差數(shù)列，則公差d＝，p，q∈N*；an＝ap＋(n－p)，p，q，n∈N*.
對點訓(xùn)練 等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a8＝6，則a10＝_7__.
[解析]　方法一：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由題意，得
∴
∴a10＝a1＋9d＝＋＝7.
方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
∴a8－a2＝6d＝3，∴d＝.
∴a10＝a8＋2d＝6＋2×＝7.
題型二　用性質(zhì)am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N＋，且m＋n＝p＋q)解題
典例2　(1)在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝3，a9＝6，則a13＝( A )
A．9 B．12
C．15 D．18
(2)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，若a1＋b1＝7，a3＋b3＝21，則a5＋b5＝_35__；
(3)在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，則a2＋a8＝( D )
A．150 B．160
C．200 D．300
[分析]　(1)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得出2a9＝a5＋a13，然后將值代入即可求出結(jié)果．
(2)方法一：求a5＋b5 各設(shè)出公差 利用通項公式；
方法二：求a5＋b5 {an}，{bn}都是等差數(shù)列 {an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列．
(3)求a2＋a8的值 a3＋a7＝a4＋a6＝2a5 a5 a2＋a8＝2a5.
[解析]　(1)∵{an}是等差數(shù)列，∴2a9＝a5＋a13，故a13＝2×6－3＝9.
(2)方法一：設(shè)數(shù)列{an}，{bn}的公差分別為d1，d2，因為a3＋b3＝(a1＋2d1)＋(b1＋2d2)＝(a1＋b1)＋2(d1＋d2)＝7＋2(d1＋d2)＝21，
所以d1＋d2＝7，所以a5＋b5＝(a3＋b3)＋2(d1＋d2)＝21＋2×7＝35.
方法二：因為數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列．
所以數(shù)列{an＋bn}也構(gòu)成等差數(shù)列，所以2(a3＋b3)＝(a1＋b1)＋(a5＋b5)，所以2×21＝7＋a5＋b5，所以a5＋b5＝35.
(3)方法一：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴5a5＝750，
∴a5＝150，∴a2＋a8＝2a5＝300.
方法二：∵a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝750，
∴a1＋2d＋a1＋3d＋a1＋4d＋a1＋5d＋a1＋6d＝750，
∴a1＋4d＝150，∴a2＋a8＝a1＋d＋a1＋7d＝2(a1＋4d)＝300.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列運算的兩條常用思路
(1)根據(jù)已知條件，列出關(guān)于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．
(2)利用性質(zhì)巧解，觀察等差數(shù)列中的項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
特別提醒：遞增等差數(shù)列d>0，遞減等差數(shù)列d<0，解題時要注意數(shù)列的單調(diào)性對d取值的限制．
對點訓(xùn)練 (1)在等差數(shù)列{an}中，a1＋a4＋a7＝58，a2＋a5＋a8＝44，則a3＋a6＋a9的值為( A )
A．30 B．27
C．24 D．21
(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，則2a9－a10＝_24__.
[解析]　(1)(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝2(a2＋a5＋a8)，
即58＋(a3＋a6＋a9)＝88，
所以a3＋a6＋a9＝30.
(2)方法一：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴5a8＝120，
∴a8＝24，∴2a9－a10＝(a8＋a10)－a10＝a8＝24.
方法二：∵a1＋3a8＋a15＝120，∴a1＋3(a1＋7d)＋(a1＋14d)＝120，
∴a1＋7d＝24，
∴2a9－a10＝a1＋7d＝24.
題型三　等差數(shù)列中的對稱設(shè)項
典例3　成等差數(shù)列的四個數(shù)之和為26，第二個數(shù)和第三個數(shù)之積為40，求這四個數(shù)．
[分析]　已知四個數(shù)成等差數(shù)列，有多種設(shè)法，但如果四個數(shù)的和已知，常常設(shè)為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d更簡單．再通過聯(lián)立方程組求解．
[解析]　設(shè)四個數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則：
由①，得a＝.代入②，得d＝±.∴四個數(shù)為2,5,8,11或11,8,5,2.
[規(guī)律方法]　三個數(shù)或四個數(shù)成等差數(shù)列時，設(shè)未知量的技巧如下：
(1)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為奇數(shù)時，可設(shè)中間一項為a，再用公差為d向兩邊分別設(shè)項：…，a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，….
(2)當(dāng)?shù)炔顢?shù)列{an}的項數(shù)n為偶數(shù)時，可設(shè)中間兩項為a－d，a＋d，再以公差為2d向兩邊分別設(shè)項：…，a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，…，這樣可減少計算量．
對點訓(xùn)練 (2023·龍巖高二檢測)設(shè)三個數(shù)成單調(diào)遞減的等差數(shù)列，三個數(shù)的和為12，三個數(shù)的積為48，求這三個數(shù)．
[解析]　設(shè)這三個數(shù)為a＋d，a，a－d(d>0)，
則解得所以這三個數(shù)是6,4,2.
易錯警示
對等差數(shù)列的定義理解不透徹而致誤
典例4　已知數(shù)列{an}是無窮數(shù)列，則“2a2＝a1＋a3”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的( B )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[錯解]　C
[誤區(qū)警示]　應(yīng)用定義法判斷或證明一個數(shù)列是等差數(shù)列時，必須要判定或證明an＋1－an或an－an－1(n≥2)等于一個常數(shù)，不能只對數(shù)列的部分項進行說明，對部分項說明不能保證數(shù)列中的每一項都滿足等差的要求．
[正解]　B
1．在等差數(shù)列{an}中，a3，a10是方程x2－3x－5＝0的兩個實根，則a5＋a8＝( A )
A．3 B．5
C．－3 D．－5
[解析]　a5＋a8＝a3＋a10＝3.
2．在等差數(shù)列{an}中，a2＋a3＝4，a5＋a6＝8，則a4＝( C )
A．4 B．
C．3 D．2
[解析]　因為(a2＋a3)＋(a5＋a6)＝(a2＋a6)＋(a3＋a5)＝4a4＝12，所以a4＝3.
3．(多選)已知四個數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為28，中間兩項的積為40，則這四個數(shù)依次為( AB )
A．－2,4,10,16 B．16,10,4，－2
C．2,5,8,11 D．11,8,5,2
[解析]　設(shè)這四個數(shù)分別為a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，則
解得或
所以這四個數(shù)依次為－2,4,10,16或16,10,4，－2.
4．?dāng)?shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝15，b1＝35，a2＋b2＝70，則a3＋b3＝_90__.
[解析]　因為數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，所以{an＋bn}也構(gòu)成了等差數(shù)列，所以(a2＋b2)－(a1＋b1)＝(a3＋b3)－(a2＋b2)，所以a3＋b3＝90.
5．已知b是a，c的等差中項，且lg(a＋1)，lg(b－1)，lg(c－1)成等差數(shù)列，同時a＋b＋c＝15，求a，b，c的值．
[解析]　因為2b＝a＋c，a＋b＋c＝15，所以3b＝15，b＝5.設(shè)等差數(shù)列a，b，c的公差為d，則a＝5－d，c＝5＋d.由2lg(b－1)＝lg(a＋1)＋lg(c－1)知：
2lg 4＝lg(6－d)＋lg(4＋d)．
從而16＝(6－d)(4＋d)，即d2－2d－8＝0.
所以d＝4或d＝－2.
所以a，b，c三個數(shù)分別為1,5,9或7,5,3.2.2　等差數(shù)列的前n項和
第1課時　等差數(shù)列的前n項和
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．理解等差數(shù)列前n項和的推導(dǎo)方法．
2．掌握等差數(shù)列的前n項和公式．
核心素養(yǎng)
1．借助教材實例了解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程．培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．
2．借助教材掌握a1，an，d，n，Sn的關(guān)系，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
知識點　等差數(shù)列的前n項和公式
已知量 首項，末項與項數(shù) 首項，公差與項數(shù)
求和公式 Sn＝ 　 Sn＝ na1＋d　
[提醒]　在等差數(shù)列前n項和公式中已知其中三個量可求另外兩個量，即“知三求二”
想一想：
求等差數(shù)列的前n項和時，如何根據(jù)已知條件選擇等差數(shù)列的前n項和公式？
提示：求等差數(shù)列的前n項和時，若已知首項、末項和項數(shù)，則選用公式Sn＝；若已知首項、公差和項數(shù)，則選用公式Sn＝na1＋d.
練一練：
1．已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝15，a7＝35，則S9＝( D )
A．450 B．400
C．350 D．225
[解析]　設(shè)公差為d，由解得a1＝d＝5，
所以S9＝9a1＋×d＝225.
2．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，首項a1＝2，公差d＝4，前n項和Sn＝200，則n＝( C )
A．8 B．9
C．10 D．11
[解析]　由題意及等差數(shù)列前n項和公式知Sn＝na1＋＝2n2＝200，所以n＝10.
3．已知等差數(shù)列{an}滿足a5＋a6＝28，則其前10項的和為_140__.
[解析]　由等差數(shù)列的性質(zhì)得a1＋a10＝a5＋a6＝28，故其前10項之和S10＝＝5×28＝140.
題型探究
題型一　有關(guān)等差數(shù)列前n項和公式的計算
典例1　已知等差數(shù)列{an}中：
(1)a1＝，d＝－，Sm＝－15，求m及am；
(2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求d；
(3)S5＝24，求a2＋a4.
[分析]　(1)Sm＝ma1＋d，解方程求得m，再利用通項公式am＝a1＋(m－1)d，求am.
(2)解方程組求d.
(3)可以利用Sn＝na1＋d求解，也可以利用Sn＝，求得a1＋a5，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)求得a2＋a4.
[解析]　(1)∵a1＝，d＝－，
∴Sm＝m－×＝－15，
∴m2－7m－60＝0，解得m＝12或m＝－5(舍去)．
∴am＝a12＝－×11＝－4.
(2)Sn＝＝＝－1 022，解得n＝4.
又an＝a1＋(n－1)d，∴－512＝1＋3d，∴d＝－171.
(3)方法一：S5＝5a1＋d＝24，
∴5a1＋10d＝24，
∴a1＋2d＝，
∴a2＋a4＝2a1＋4d＝2(a1＋2d)＝.
方法二：∵S5＝＝24，
∴a1＋a5＝，
∴a2＋a4＝a1＋a5＝.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列中基本量計算的兩個技巧
(1)利用基本量求值．等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題．解題時注意整體代換的思想．
(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題．等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N＋)，則am＋an＝ap＋aq，常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．
對點訓(xùn)練 (1)在等差數(shù)列{an}中，已知a3＋a4＝12，則數(shù)列{an}的前6項之和為( C )
A．12 B．32
C．36 D．72
(2)設(shè)一個等差數(shù)列的前4項和為3，前8項和為11，則這個等差數(shù)列的公差為( A )
A． B．
C． D．
[解析]　(1)等差數(shù)列{an}中，a3＋a4＝12，所以等差數(shù)列{an}的前6項之和為：S6＝＝＝＝36.
(2)設(shè)這個等差數(shù)列的公差為d，首項為a1，則S4＝4a1＋d＝3，S8＝8a1＋d＝11，解得d＝.
題型二　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
典例2　(1)已知等差數(shù)列{an}前n項和為Sn，S4＝40，Sn＝210，Sn－4＝130，則n＝( B )
A．12　　　　 B．14　　　　
C．16　　　　 D．18
(2)兩個等差數(shù)列{an}，{bn}，若＝，則＝( C )
A． B．
C． D．
(3)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S10＝100，S100＝10，試求S110.
[分析]　(1)求n想到Sn＝＝ Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3，a1＋a2＋a3＋a4 a1＋an.
(2)求值想到Sn＝ 若m＋n＝p＋q則am＋an＝ap＋aq ＝.
(3)求S110想到Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…構(gòu)成公差為n2d的等差數(shù)列 S10＝100，S100＝10 項數(shù)和公差．
[解析]　(1)Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80.
S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40.
兩式相加得4(a1＋an)＝120，∴a1＋an＝30.
由Sn＝＝210，∴n＝14.
(2)由已知＝，＝＝.
(3)方法一：因為S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，前10項的和為：10×100＋d＝10，所以d＝－22，
所以前11項的和S110＝11×100＋d＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法二：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則＝(n－1)＋a1，所以數(shù)列成等差數(shù)列．
所以＝，
即＝，
所以S110＝－110.
方法三：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
S110＝a1＋a2＋…＋a10＋a11＋a12＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)＋[(a1＋10d)＋(a2＋10d)＋…＋(a100＋10d)]＝S10＋S100＋100×10d，
又S100－10S10＝d－d＝10－10×100，
即100d＝－22，所以S110＝－110.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)
(1)等差數(shù)列{an}中，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…也構(gòu)成等差數(shù)列．
(2)若{an}與{bn}均為等差數(shù)列，且前n項和分別為Sn與S′n，則＝.
(3)若等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則數(shù)列是等差數(shù)列，且首項為a1，公差為 .
(4)項的個數(shù)的“奇偶”性質(zhì)．
{an}為等差數(shù)列，公差為d.
①若共有2n項，則S2n＝n(an＋an＋1)；
S偶－S奇＝nd；＝；
②若共有2n＋1項，則S2n＋1＝(2n＋1)an＋1；
S偶－S奇＝－an＋1；＝.
(5)等差數(shù)列{an}中，若Sn＝m，Sm＝n(m≠n)，則Sm＋n＝－(m＋n)．
(6)等差數(shù)列{an}中，若Sn＝Sm(m≠n)，則Sm＋n＝0.
對點訓(xùn)練 (1)已知等差數(shù)列{an}滿足：a2＝2，Sn－Sn－3＝54(n>3)，Sn＝100，則n＝( D )
A．7　　　　 B．8
C．9 D．10
(2)等差數(shù)列{an}共2n＋1項，其中奇數(shù)項和為319，偶數(shù)項和為290，則an＋1＝_29__.
[解析]　(1)∵等差數(shù)列{an}滿足：a2＝2，
Sn－Sn－3＝54(n>3)
Sn＝100，
∴an＋an－1＋an－2＝54(n>3)
又{an}為等差數(shù)列，
∴3an－1＝54(n≥2)，
∴an－1＝18(n≥2)，
又a2＝2，Sn＝100，
∴Sn＝＝＝100.
∴n＝10，故選D.
(2)因為等差數(shù)列{an}共2n＋1項，其中奇數(shù)項和為319，偶數(shù)項和為290，記奇數(shù)項之和為S1，偶數(shù)項之和為S2，則S1－S2＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1)－(a2＋a4＋a6＋…＋a2n)＝a1＋nd＝an＋1＝319－290＝29.
題型三　等差數(shù)列前n項和的最值
典例3　(1)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝_8__時，{an}的前n項和最大．
(2)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a3＝8，S4＝36.
①求{an}的通項公式；
②當(dāng)n為何值時，Sn有最大值？并求其最大值．
[分析]　求Sn的最大值，可以利用數(shù)列的通項公式求解，也可以利用前n項和的函數(shù)特性求解．
[解析]　(1)8　由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a7＋a8＋a9＝3a8>0，a8>0.
又因為a7＋a10<0，所以a8＋a9<0，所以a9<0，所以S8>S7，S8>S9，即數(shù)列{an}的前8項和最大．
(2)①設(shè)公差為d，由題意得
即解得∴an＝－2n＋14.
②由①得Sn＝＝－n2＋13n
＝－2＋.
當(dāng)n取與最接近的整數(shù)，即6或7時，Sn有最大值，最大值為S6＝S7＝－72＋13×7＝42.
[規(guī)律方法]　等差數(shù)列前n項和最值的兩種求法
(1)轉(zhuǎn)折項法．
①當(dāng)a1>0，d<0時，由不等式組
可求得Sn取最大值時的n值．
②當(dāng)a1<0，d>0時，由不等式組
可求得Sn取最小值時的n值．
(2)利用二次函數(shù)求Sn的最值．
知道公差不為0的等差數(shù)列的前n項和Sn可以表示成Sn＝an2＋bn(a≠0)的形式，我們可將其變形為Sn＝a2－.
①若a>0，則當(dāng)2最小時，Sn有最小值；
②若a<0，則當(dāng)2最小時，Sn有最大值．
對點訓(xùn)練 (1)設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，若對任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，則k的值為_20__.
(2)已知等差數(shù)列{an}中，a1＝13，S3＝S11.那么當(dāng)n＝_7__，Sn取最大值．
[解析]　(1)方法一：對任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立，即Sk為Sn的最大值．因為a1＋a4＋a7＝99，a2＋a5＋a8＝93，所以a4＝33，a5＝31，故公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，當(dāng)Sn取得最大值時，對任意n∈N*滿足解得n＝20.
即滿足對任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立的k的值為20.
方法二：同方法一可得公差d＝－2，an＝a4＋(n－4)d＝41－2n，則n＝1時，a1＝39，所以Sn＝n2＋n＝－n2＋40n＝－(n－20)2＋400，即當(dāng)n＝20時，Sn取得最大值，從而滿足對任意n∈N*，都有Sn≤Sk成立的k的取值為20.
(2)S3＝S11，所以其對稱軸為n＝＝7，知n＝7時Sn取最大值．
易錯警示
由和求項注意驗證首項
典例4　已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋3n＋2，判斷{an}是否為等差數(shù)列．
[錯解]　∵an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2.
an＋1－an＝[2(n＋1)＋2]－(2n＋2)＝2(常數(shù))，
∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
[誤區(qū)警示]　an＝Sn－Sn－1是在n≥2的條件下得到的，a1是否滿足需另外計算驗證．
[正解]　a1＝S1＝6，
n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2＋3n＋2)－[(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝2n＋2，
∴an＝顯然a2－a1＝6－6＝0，a3－a2＝2，∴{an}不是等差數(shù)列．
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a4＋a8＝16，則該數(shù)列前11項的和S11＝( B )
A．58　　　 B．88　　　
C．143　　　 D．176
[解析]　S11＝＝＝＝88.
2．設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項和為Sn，若a6＝2且S5＝30，則S8等于( B )
A．31 B．32
C．33 D．34
[解析]　由已知可得
解得
∴S8＝8a1＋d＝32.
3．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，則m＝( C )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析]　am＝Sm－Sm－1＝2，am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，公差d＝am＋1－am＝3－2＝1.由Sm＝＝0，得a1＝－am＝－2.
∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，解得m＝5.
4．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若2S3＝3S2＋6，則公差d＝ 2　.
[解析]　由題意得2＝3＋6，
化簡得3d＝6，
∴d＝2.第2課時　等差數(shù)列習(xí)題課
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．會利用數(shù)列的前n項和Sn求數(shù)列的通項公式an.
2．會使用裂項相消法求數(shù)列的前n項和．
3．掌握各項含有絕對值的等差數(shù)列前n項和的計算方法．
核心素養(yǎng)
1．等差數(shù)列前n項和公式Sn求an.培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．借助裂項相消法求和的方法學(xué)習(xí)，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng).
知識點 1　知Sn求an
已知數(shù)列的前n項和Sn，若a1適合an，則通項公式an＝_Sn－Sn－1__，若a1不適合an，則 an＝　.
練一練：
若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－7n，則{an}的通項公式是an＝_2n－8__.
[解析]　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(n2－7n)－[(n－1)2－7(n－1)]＝2n－8，
而a1＝S1＝－6，也符合上式，
所以an＝2n－8.
知識點 2　裂項相消法求和
形如 　(bn－an＝d，d為常數(shù))的數(shù)列適合用裂項求和，其裂項形式為＝ 　.
練一練：
數(shù)列{an}中，an＝，其前n項和是Sn，則S6＝( D )
A． B．
C． D．
[解析]　因為an＝＝－，
所以S6＝a1＋a2＋a3＋…＋a6＝1－＋－＋－＋－＋－＋－＝1－＝.
題型探究
題型一　已知數(shù)列的前n項和Sn求通項an
典例1　(1)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2－1，則a4＝( A )
A．7　　　　　 B．8　　　　　
C．9　　　　　 D．17
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋n－1，求數(shù)列{an}的通項公式；
(3)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn滿足a1＝，an＋2Sn·Sn－1＝0(n≥2，n∈N*)，求數(shù)列{an}的通項公式．
[分析]　(1)求a4 Sn＝n2－1 a4＝S4－S3.
(2)求{an}的通項公式 Sn＝－n2＋n－1 分n＝1與n≥2 檢驗 結(jié)論．
(3)當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1，消去式中an，得到Sn的遞推關(guān)系 {Sn}的通項公式 an.
[解析]　(1)a4＝S4－S3＝42－1－32＋1＝7.
(2)n＝1時，a1＝S1＝－＋1－1＝－，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－n2＋n－1－＝－3n＋，因為a1＝－不適合an＝－3n＋，
所以an＝
(3)因為an＋2Sn·Sn－1＝0，
所以an＝－2Sn·Sn－1.
當(dāng)n＝1時，a1＝.
當(dāng)n≥2，n∈N*時，an＝Sn－Sn－1，
所以Sn－Sn－1＝－2SnSn－1①.
因為a1＝，所以SnSn－1≠0，
①式的兩邊同除以SnSn－1得：
－＝－2，即：－＝2，
所以數(shù)列是首項為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以＝2＋2(n－1)＝2n，即：Sn＝，
則an＝－2SnSn－1＝－(n≥2)．
因為a1＝不滿足an＝－(n≥2)，所以數(shù)列的通項公式為an＝
[規(guī)律方法]　1.由Sn求通項公式an的步驟：
第一步：令n＝1，則a1＝S1，求得a1；
第二步：令n≥2，則an＝Sn－Sn－1；
第三步：驗證a1與an的關(guān)系；
(1)若a1適合an，則an＝Sn－Sn－1.
(2)若a1不適合an，則an＝
2．Sn與an的關(guān)系式的應(yīng)用
(1)“和”變“項”．
首先根據(jù)題目條件，得到新式(與條件相鄰)，然后作差將“和”轉(zhuǎn)化為“項”之間的關(guān)系，最后求通項公式．
(2)“項”變“和”．
首先將an轉(zhuǎn)化為Sn－Sn－1，得到Sn與Sn－1的關(guān)系式，然后求Sn.
對點訓(xùn)練 (1)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n，則a8＝( B )
A．64 B．128
C．32 D．216
(2)正項數(shù)列{an}，a1＝1，前n項和Sn滿足Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，則a10＝( A )
A．72 B．80
C．90 D．82
(3)設(shè)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝－n2＋1，那么此數(shù)列的通項公式an＝ 　.
[解析]　(1)an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，
又S1＝21＝2，a1＝21－1＝1.不符．
∴an＝
∴a8＝28－1＝27＝128.
(2)由Sn·－Sn－1·＝2(n≥2)，兩邊同除以，得－＝2；而S1＝a1＝1，∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝4n2－4n＋1；再根據(jù)an＝Sn－Sn－1(n≥2)，得an＝8n－8(n≥2)，所以a10＝8×10－8＝72.
(3)由題意知，當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝0，
當(dāng)n≥2時，Sn＝－n2＋1①，
Sn－1＝－(n－1)2＋1②
所以①－②，得an＝Sn－Sn－1＝－2n＋1.
∵a1＝0不適合an＝－2n＋1.
∴an＝
題型二　裂項求和
典例2　在數(shù)列{an}中，an＝＋＋…＋.又bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項和．
[分析]　首先化簡{an}的通項公式，求出bn后再利用裂項相消法求出數(shù)列{bn}的前n項和．
[解析]　因為an＝＋＋…＋＝＝，
所以bn＝＝＝＝8.
因此數(shù)列{bn}的前n項和為Sn＝8＋8＋…＋8＝8＝.
[規(guī)律方法]　裂項相消求和
(1)適用數(shù)列：形如(bn－an＝d，d為常數(shù))的數(shù)列可以用裂項求和．
(2)裂項形式：＝.
(3)規(guī)律發(fā)現(xiàn)：一是通項公式特征不明顯的要對通項公式變形，如分離常數(shù)、有理化等；二是裂項后不是相鄰項相消的，要寫出前兩組、后兩組觀察消去項、保留項．
(4)特殊裂項：
①＝＝.
②＝－.
③＝.
④＝1＋.
對點訓(xùn)練 (1)已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，且a2＝2，a6＝6，則＋＋…＋＝( C )
A． B．
C． D．
(2)已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5與a7的等差中項為13，{an}的前n項和為Sn.
①求an以及Sn；
②若bn＝(n∈N*)，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.
[解析]　(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，
由已知得，解得a1＝1，d＝1，
所以an＝1＋(n－1)×1＝n，所以＝＝ －，
因此 ＋＋…＋＝1－ ＋ － ＋…＋ －＝1－＝.
(2)①設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
由得
∴an＝a1＋(n－1)d＝2n＋1，Sn＝na1＋d＝n2＋2n.
②由題意可得bn＝＝＝
＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn
＝＋＋＋…＋
＝＝.
題型三　含絕對值的數(shù)列的前n項和
典例3　(2023·全國乙卷)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a2＝11，S10＝40.
(1)求{an}的通項公式；
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.
[解析]　(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d，
由題意可得
即解得
所以an＝13－2(n－1)＝15－2n.
(2)因為Sn＝＝14n－n2，
令an＝15－2n>0，解得n<，且n∈N*，
當(dāng)n≤7時，則an>0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝14n－n2；
當(dāng)n≥8時，則an<0，可得Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a7)－(a8＋…＋an)
＝S7－(Sn－S7)＝2S7－Sn＝2(14×7－72)－(14n－n2)＝n2－14n＋98；
綜上所述：Tn＝
[規(guī)律方法]　已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項和的步驟：
第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項分界點；
第二步，求和，①若an各項均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù))，則{|an|}各項的和等于{an}的各項的和(或其相反數(shù))；
②若a1>0，d<0(或a1<0，d>0)，這時數(shù)列{an}只有前面有限項為正數(shù)(或負(fù)數(shù))可分段求和再相加．
對點訓(xùn)練 已知Sn是數(shù)列{an}的前n項和，且Sn＝n2－10n.
(1)求an；
(2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Tn.
[解析]　(1)①當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝－9；
②當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝n2－10n－(n－1)2＋10n－10＝2n－11，
對n＝1也成立，所以an＝2n－11(n∈N*)；
(2)當(dāng)1≤n≤5時，an<0，即Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝－(a1＋a2＋…＋an)＝－Sn＝10n－n2.
當(dāng)n≥6時，an>0，Tn＝－(a1＋a2＋…＋a5)＋(a6＋…＋an)＝－S5＋Sn－S5＝n2－10n＋50，
綜上，Tn＝
易錯警示
裂項求和要找準(zhǔn)相加相消的規(guī)律
典例4　求數(shù)列的前n項和．
[錯解]　∵＝，
∴數(shù)列的前n項和Sn＝＝＝＋.
[誤區(qū)警示]　錯誤的原因在于裂項相消時，沒有搞清剩余哪些項．
[正解]　∵＝，
∴數(shù)列的前n項和
Sn＝
＝
＝－.
[點評]　運用裂項相消法求和時，要弄清消去的項是與它后面的哪一項相加消去的，找出規(guī)律，然后確定首尾各剩余哪些項，切勿出現(xiàn)添項或漏項、錯項的錯誤．
1．?dāng)?shù)列{an}的前n項和Sn＝n2＋n＋1，則a8＋a9＋a10＋a11＋a12的值為( A )
A．100 B．99
C．120 D．130
[解析]　a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S7
＝122＋12＋1－72－7－1＝100.
2．一個凸多邊形的內(nèi)角成等差數(shù)列，其中最小的內(nèi)角為120°，公差為5°，那么這個多邊形的邊數(shù)n等于( C )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[解析]　an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n邊形內(nèi)角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9，
∵n<13，∴n＝9.
3．等差數(shù)列{an}中，公差d≠0，a1≠d，若前20項的和S20＝10M，則M的值為( D )
A．a(chǎn)3＋a5 B．a(chǎn)2＋2a10
C．a(chǎn)20＋d D．a(chǎn)12＋a9
[解析]　∵S20＝×20＝10(a1＋a20)，∴M＝a1＋a20＝a12＋a9.故選D.
4．已知數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n－30，Sn是{|an|}的前n項和，則S10＝_190__.
[解析]　令an＝2n－30≥0，即n≥15，故前14項都是負(fù)數(shù)，
所以S10＝－(a1＋a2＋…＋a10)
＝－＝190.3.1　等比數(shù)列的概念及其通項公式
第1課時　等比數(shù)列
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．掌握等比數(shù)列的概念、判定方法和通項公式．
2．理解等比數(shù)列通項公式的推導(dǎo)過程．
3．掌握等比數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用．
核心素養(yǎng)
1．通過對等比數(shù)列的有關(guān)概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．
2．借助等比數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).
知識點 1　等比數(shù)列
(1)文字語言：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于_同一個常數(shù)__，那么這個數(shù)列叫作等比數(shù)列，這個常數(shù)叫作等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．
(2)符號語言：在數(shù)列{an}中，若＝q(q為常數(shù)，且q≠0)對任意n∈N*都成立，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
[提醒]　“從第2項起”是因為首項沒有“前一項”．“每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)”，即比值相等，同時還要注意公比是每一項與其前一項之比，防止前后次序顛倒．
想一想：
1．為什么等比數(shù)列的每一項均不為零？
提示：若存在一項為零，設(shè)這一項為ak，則
(1)若ak不是最后一項，它將不能與ak＋1作比；
(2)若ak是最后一項，可推知公比q等于零，從而a2＝0，它將不能與a3作比．
故等比數(shù)列的每一項均不能為零．
2．常數(shù)列一定是等比數(shù)列嗎？
提示：不一定，當(dāng)常數(shù)列各項均為零時，該常數(shù)列不是等比數(shù)列；當(dāng)常數(shù)列各項均不為零時，該常數(shù)列是等比數(shù)列．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)等比數(shù)列的任意一項均不為零．( √ )
(2)等比數(shù)列{an}的公比q＝.( × )
(3)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.( × )
(4) n∈N*，an＋1＝qan，其中q是常數(shù)且不為零，則{an}是等比數(shù)列．( × )
2．下面四個數(shù)列中，一定是等比數(shù)列的是( D )
A．q,2q,4q,6q B．q，q2，q3，q4
C．q,2q,4q,8q D．，，，
[解析]　對于A，B，C：當(dāng)q＝0時不是等比數(shù)列，故A，B，C錯誤；對于D：由已知可得q≠0，且符合等比數(shù)列的定義，公比是，故D正確．
知識點 2　等比數(shù)列的通項公式
首項為a1，公比是q(q≠0)的等比數(shù)列的通項公式為_an＝a1qn－1__.
[提醒]　(1)已知首項a1和公比q的前提下，利用通項公式可求出等比數(shù)列中的任意一項．
(2)在通項公式中，有an，a1，q，n四個量，如果已知任意三個，那么可求出第四個量．
想一想：
等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1與指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax(a>0，a≠1)有什么聯(lián)系？
提示：an＝a1·qn－1＝·qn，當(dāng)q>0且q≠1時，等比數(shù)列{an}的第n項an是指數(shù)型函數(shù)f(x)＝·qx(x∈R)在x＝n時的值，即an＝f(n)．?dāng)?shù)列{an}圖象上的點(n，an)都在指數(shù)函數(shù)f(x)的圖象上．反之指數(shù)函數(shù)f(x)＝ax＝a·ax－1(a>0，a≠1)可以構(gòu)成一個首項為a，公比為a的等比數(shù)列{a·an－1}．
練一練：
1．已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，若a3a9＝2a，a2＝2，則a1＝( C )
A． B．
C． D．2
[解析]　設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，q>0，
a3a9＝2a a2·q·a2·q7＝2(a2q3)2 q2＝2，
因為q>0，所以q＝，而a2＝2，
所以a1＝＝＝.
2．已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且a1＝，a4＝－1，則數(shù)列{an}的公比q為_－2__.
[解析]　q3＝＝－8，所以q＝－2.
題型探究
題型一　等比數(shù)列通項公式及應(yīng)用
典例1　在等比數(shù)列{an}中，
(1)a1＝3，a3＝27，求an；
(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
[分析]　(1)已知等比數(shù)列的通項公式an＝a1qn－1代入a1，a3，求出q，最后求出an.
(2)已知項的和，代入等比數(shù)列的通項公式，求出a1，q，由an＝1求n.
[解析]　(1)設(shè)公比為q，則a3＝a1·q2，
所以27＝3q2，所以q＝±3，
an＝3n或an＝－(－3)n.
(2)設(shè)公比為q，由題意，得
由得q＝，∴a1＝32.
又an＝1，∴32×n－1＝1，
即26－n＝20，∴n＝6.
[規(guī)律方法]　與等比數(shù)列通項有關(guān)的基本量計算
(1)常規(guī)方法：根據(jù)已知條件，建立關(guān)于a1，q的方程組，求出a1，q，再求an；
(2)整體法：利用各項之間的關(guān)系，直接求出q后，再求a1，最后求an，這里體現(xiàn)了整體思想的應(yīng)用．
對點訓(xùn)練 在等比數(shù)列{an}中：
(1)已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
(2)已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
[解析]　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由題意得解得q＝.
∴a3＋a6＝a3＋a3q3＝a3(1＋q3)＝36，
∴a3＝32.
∴an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，
∴n－8＝1，∴n＝9.
(2)∵a7＝a5q2，∴q2＝，
∵an>0，∴q＝.
∴an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8.
題型二　等比數(shù)列的判定與證明
角度1　等比數(shù)列的判定
典例2　(1)已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝an，若a4＝8，則a1等于( C )
A．1 B．2
C．64 D．128
(2)在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( B )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[解析]　(1)因為數(shù)列{an}滿足an＋1＝an，
所以該數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，
又a4＝8，所以＝8，即a1＝64.
(2)an＝2an－1，n＝2,3,4，有可能數(shù)列每一項都是零，此時數(shù)列不是等比數(shù)列，反過來{an}是公比為2的等比數(shù)列，則一定滿足an＝2an－1.故為必要不充分條件．
[規(guī)律方法]　判斷一個數(shù)列{an}是等比數(shù)列的方法
(1)定義法：若數(shù)列{an}滿足＝q(q為常數(shù)且不為零)或＝q(n≥2，q為常數(shù)且不為零)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(2)通項公式法：若數(shù)列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
對點訓(xùn)練 (1)數(shù)列{an}滿足a4＝1，an＋1－2an＝0(n∈N*)，則a1等于( B )
A． B．
C． D．
(2)已知數(shù)列{an}，則“{an}為等比數(shù)列”是“a＝an－1·an＋1，n＝2,3,4…，”的( B )
A．充分必要條件
B．充分不必要條件
C．必要不充分條件
D．既不充分也不必要條件
[解析]　(1)由an＋1－2an＝0，得數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比為2，
又a4＝1，則8a1＝1，即a1＝.
(2)若{an}成等比數(shù)列，則a＝an－1·an＋1成立，當(dāng)an－1＝an＝an＋1＝0時，滿足a＝an－1·an＋1成立，但{an}成等比數(shù)列不成立，故“{an}為等比數(shù)列”是“a＝an－1·an＋1，n＝2,3,4，…”的充分不必要條件．
角度2　等比數(shù)列的證明
典例3　已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋1.
(1)證明：數(shù)列{an－2}為等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項公式．
[解析]　(1)證明：因為an＋1＝an＋1，
所以an＋1－2＝(an－2)，
又a1－2＝－1≠0，所以＝，
所以{an－2}是首項為－1，公比為的等比數(shù)列．
(2)由(1)得an－2＝－1×n－1＝－，
所以an＝2－.
[規(guī)律方法]　1.證明一個數(shù)列是等比數(shù)列，可考慮用定義證明，即證明＝q(q為常數(shù)，且n≥2)．
2．說明一個數(shù)列不是等比數(shù)列，只需說明存在兩個相鄰兩項的比不等即可．
對點訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的首項a1＝，an＋1＝，n∈N*.求證：數(shù)列為等比數(shù)列．
[證明]　因為＝＋，
所以－2＝－＝，
又因為－2＝－≠0，
所以是首項為－，公比為的等比數(shù)列．
易錯警示
忽視等比中項的符號致錯
典例4　等比數(shù)列{an}的前三項的和為168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中項．
[錯解]　設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，
∵a2－a5＝42，
∴q≠1，由已知，得
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由②除以①，得q(1－q)＝.
∴q＝，∴a1＝＝96.
∴a6＝a1q5＝96×5＝3.
∵a5，a7的等比中項為a6，
∴a5，a7的等比中項為3.
[誤區(qū)警示]　錯誤的原因在于認(rèn)為a5，a7的等比中項是a6，忽略了同號兩數(shù)的等比中項有兩個且互為相反數(shù)．
[正解]　設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，首項為a1，
∵a2－a5＝42，∴q≠1，
由已知，得，
∴
∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2)，
∴由得q(1－q)＝，
∴q＝，∴a1＝＝96.
令G是a5，a7的等比中項，則應(yīng)有G2＝a5a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962×10＝9，
∴a5，a7的等比中項是±3.
1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于( A )
A．64　　　　　　　　 B．81
C．128 D．243
[解析]　設(shè)等比數(shù)列的公比為q，
∵a1＋a2＝3，a2＋a3＝q(a1＋a2)＝6，∴q＝2.
又a1＋a2＝a1＋a1q＝3，∴3a1＝3.∴a1＝1，
∴a7＝26＝64.
2．(多選)若{an}是等比數(shù)列，則下列是等比數(shù)列的是( ACD )
A．{－2an} B．{an＋an＋1}
C． D．{4anan＋1}
[解析]　設(shè){an}的公比為q，則＝q，＝＝q(常數(shù))，故A正確；若q＝－1，則an＋1＋an＝0.(等比數(shù)列的各項不能為0)，故B錯誤；＝＝(常數(shù))，故C正確；＝·＝q2(常數(shù))，故D正確．
3．若等比數(shù)列的首項為4，末項為128，公比為2，則這個數(shù)列的項數(shù)為( C )
A．4 B．8
C．6 D．32
[解析]　設(shè)這個數(shù)列有n項，則128＝4×2n－1，∴2n－1＝32，∴n＝6.
4．等比數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，則公比q等于_1或－2__.
[解析]　∵在等比數(shù)列{an}中，a3＋a4＝4，a2＝2，∴a3＋a4＝a2q＋a2q2＝2q＋2q2＝4，即q2＋q－2＝0.解得q＝1或q＝－2.第2課時　等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，理解等比數(shù)列的性質(zhì)．
2．掌握等比中項的概念，會求同號兩數(shù)的等比中項．
3．理解等比數(shù)列的單調(diào)性與a1，q的關(guān)系．
核心素養(yǎng)
1．通過等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．借助等比數(shù)列的判定，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng).
知識點 1　等比中項
在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，G，b成_等比數(shù)列__，那么稱G為a，b的等比中項．
[提醒]　(1)只有兩個正數(shù)或兩個負(fù)數(shù)才有等比中項；
(2)注意：若G2＝ab，G不一定是a與b的等比中項，例如02＝5×0，但0,0,5不是等比數(shù)列．
練一練：
1．在等比數(shù)列{an}中，a2＝1，a4＝3，則a6等于( D )
A．－5 B．5
C．－9 D．9
[解析]　方法一：由題設(shè)，q2＝＝3，
所以a6＝a4q2＝9.
方法二：由等比數(shù)列性質(zhì)，a2a6＝a，
所以1×a6＝32，即a6＝9.
2．1與9的等比中項為_±3__.
[解析]　1與9的等比中項為±＝±3.
知識點 2　等比數(shù)列的單調(diào)性
已知等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則
(1)當(dāng)或 　時，等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列；
(2)當(dāng)或 　時，等比數(shù)列{an}為遞減數(shù)列；
(3)當(dāng)q＝1時，等比數(shù)列{an}為_常數(shù)列__(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；
(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{an}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號)．
練一練：
在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，要使數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都有an＋1>an.則公比q應(yīng)滿足( B )
A．q>1 B．0C．[解析]　在等比數(shù)列{an}中，首項a1<0，
若an＋1>an，即a1qn>a1qn－1，
因為a1<0，所以qn因為數(shù)列{an}對任意正整數(shù)n都有an＋1>an，所以q>0，
所以q－1<0，解得0知識點 3　等比數(shù)列的性質(zhì)
1．等比數(shù)列的項之間的關(guān)系
(1)兩項關(guān)系
通項公式的推廣：
an＝am·_qn－m__(m，n∈N*)．
(2)多項關(guān)系
項的運算性質(zhì)
若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，
則am·an＝_ap·aq__.
特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，
則am·an＝_a__.
2．等比數(shù)列的項的對稱性
有窮等比數(shù)列中，與首末兩項“等距離”的兩項之積等于首末兩項的積(若有中間項則等于中間項的平方)，即 a1·an＝a2·_an－1__＝ak·_an－k＋1__＝a(n為正奇數(shù))．
練一練：
1．在等比數(shù)列{an}中，a5a14＝5，則a8·a9·a10·a11＝( B )
A．10 B．25
C．50 D．75
[解析]　a8·a11＝a9·a10＝a5·a14，∴a8·a9·a10·a11＝(a5·a14)2＝25.
2．在由正數(shù)組成的等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，則a5＋a6＝_16__.
[解析]　∵{an}成等比數(shù)列，
∴a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比數(shù)列，
∴(a3＋a4)2＝(a1＋a2)(a5＋a6)，
∴a5＋a6＝＝16.
題型探究
題型一　等比數(shù)列的單調(diào)性
典例1　在等比數(shù)列{an}中，已知a1>0,8a2－a5＝0，則數(shù)列{an}為( A )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性
[解析]　由8a2－a5＝0，可知＝q3＝8，解得q＝2.
又a1>0，所以數(shù)列{an}為遞增數(shù)列．
[規(guī)律方法]　由等比數(shù)列的通項公式可知，公比影響數(shù)列各項的符號：一般地，q>0時，等比數(shù)列各項的符號相同；q<0時，等比數(shù)列各項的符號正負(fù)交替．
對點訓(xùn)練 在等比數(shù)列{an}中，如果公比為q，且q<1，那么等比數(shù)列{an}是( D )
A．遞增數(shù)列 B．遞減數(shù)列
C．常數(shù)列 D．無法確定單調(diào)性
[解析]　如等比數(shù)列{(－1)n}的公比為－1，為擺動數(shù)列，不具有單調(diào)性；等比數(shù)列的公比為，是遞減數(shù)列；等比數(shù)列的公比為，是遞增數(shù)列.
題型二　等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用
典例2　已知{an}為等比數(shù)列．
(1)若an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5；
(2)若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
[分析]　→
[解析]　(1)∵a2a4＝a，a4a6＝a，
∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝a＋2a3a5＋a
＝(a3＋a5)2＝25，
∵an>0，∴a3＋a5>0，
∴a3＋a5＝5.
(2)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，得
a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95，
∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10
＝log3(a1a2·…·a9a10)
＝log3(a5a6)5＝log3310＝10.
[規(guī)律方法]　等比數(shù)列性質(zhì)的作用
1．利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題，會起到化繁為簡的效果．
2．等比數(shù)列中的項的序號若成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項依次成等比數(shù)列，有關(guān)等比數(shù)列的計算問題，應(yīng)充分發(fā)揮“下標(biāo)”的“指引”作用．
對點訓(xùn)練 (1)在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝_25__；
(2)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且a1a9＝64，a3＋a7＝20，則a11＝_1或64__；
(3)若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝_50__.
[解析]　(1)方法一：∵a7a12＝a8a11＝a9a10＝5，
∴a8a9a10a11＝52＝25.
方法二：由已知得a1q6·a1q11＝aq17＝5，
∴a8a9a10a11＝a1q7·a1q8·a1q9·a1q10＝a·q34＝(a·q17)2＝25.
(2)∵a1a9＝a3a7＝64，∴a3，a7是方程x2－20x＋64＝0的兩根．
解得或.
①若a3＝4，a7＝16，則由a7＝a3q4得，q4＝4，
∴a11＝a7q4＝16×4＝64.
②若a7＝4，a3＝16，則由a7＝a3q4得，q4＝，
∴a11＝a7q4＝4×＝1.故a11＝64，或a11＝1.
(3)由a10a11＋a9a12＝2e5，可得a10a11＝e5.
令S＝ln a1＋ln a2＋…＋ln a20，則2S＝(ln a1＋ln a20)＋(ln a2＋ln a19)＋…＋(ln a20＋ln a1)＝20ln(a1a20)＝20ln(a10a11)＝20ln e5＝100，所以S＝50.
題型三　等比數(shù)列的實際應(yīng)用
典例3　光圈是一個用來控制光線透過鏡頭，進入機身內(nèi)感光面的光量的裝置．表達光圈的大小我們可以用光圈的F值表示，光圈的F值系列如下：F1，F(xiàn)1.4，F(xiàn)2，F(xiàn)2.8，F(xiàn)4，F(xiàn)5.6，F(xiàn)8，……，F(xiàn)64.光圈的F值越小，表示在同一單位時間內(nèi)進光量越多，而且上一級的進光量是下一級的2倍，如光圈從F8調(diào)整到F5.6，進光量是原來的2倍．若光圈從F4調(diào)整到F1.4，則單位時間內(nèi)的進光量為原來的 ( C )
A．2倍 B．4倍
C．8倍 D．16倍
[解析]　單位時間內(nèi)的進光量形成公比為的等比數(shù)列{an}，則F4對應(yīng)單位時間內(nèi)的進光量為a5，F(xiàn)1.4對應(yīng)單位時間內(nèi)的進光量為a2，從F4調(diào)整到F1.4，則單位時間內(nèi)的進光量為原來的＝8倍．
[規(guī)律方法]　關(guān)于等比數(shù)列在應(yīng)用問題中的應(yīng)用
首先根據(jù)題意判斷是否是等比數(shù)列模型，其次分析等比數(shù)列的首項、公比、項數(shù)，最后利用等比數(shù)列的通項公式計算解題．
對點訓(xùn)練 (1)計算機的價格不斷降低，若每臺計算機的價格每年降低，現(xiàn)在價格為8 100元的計算機3年后的價格可降低為( C )
A．300元　　 B．900元
C．2 400元　　 D．3 600元
(2)生物學(xué)指出：生態(tài)系統(tǒng)中，在輸入一個營養(yǎng)級的能量中，大約10%的能量能夠流到下一個營養(yǎng)級，在H1→H2→H3這個生物鏈中，若能使H3獲得10 kJ的能量，則需H1提供的能量為( D )
A．10－2 kJ B．10－1 kJ
C．102 kJ D．103 kJ
[解析]　(1)第一年價格為：8 100×＝5 400；
第二年價格為：5 400×＝3 600；
第三年價格為：3 600×＝2 400.
(2)能量流動法則表明能量的效率大約是10%，如果要使H3獲得10 kJ能量，則H1×(10%)2＝H3，解得H1＝103 kJ.
易錯警示
忽略等比數(shù)列中的項的符號致錯
典例4　在等比數(shù)列{an}中，a3a4a6a7＝81，則a1a9的值為( A )
A．9 B．－9
C．±9 D．18
[錯解]　∵a3a7＝a4a6＝a1a9，
∴(a1a9)2＝81，∴a1a9＝±9，故選C．
[誤區(qū)警示]　本題易忽略在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(或偶數(shù)項)符號相同這一條件，而得到a1a9＝±9.
[正解]　因為{an}為等比數(shù)列，所以a3a7＝a4a6＝a1a9.
所以(a1a9)2＝81，即a1a9＝±9.
因為在等比數(shù)列{an}中，奇數(shù)項(或偶數(shù)項)的符號相同，
所以a1，a9同號，所以a1a9＝9.
1．在等比數(shù)列{an}中，a4＝6，a8＝18，則a12＝( C )
A．24 B．30
C．54 D．108
[解析]　∵a8＝a4q4，∴q4＝＝＝3，∴a12＝a8·q4＝18×3＝54.
2．在等比數(shù)列{an}中，a2，a18是方程x2＋6x＋4＝0的兩根，則a4a16＋a10＝( B )
A．6 B．2
C．2或6 D．－2
[解析]　由題意知，a2＋a18＝－6，a2a18＝4，∴a2<0，a18<0，∴a10<0，又∵a＝a2·a18＝4，∴a10＝－2.又a4a16＝a2·a18＝4，∴a4a16＋a10＝4－2＝2.故選B.
3．設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，且bn＝log2an，則“{bn}為遞減數(shù)列”是“0A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
[解析]　由題設(shè)an＝a1qn－1>0且q>0，則bn＝log2a1＋(n－1)log2q＝nlog2q＋log2，
若{bn}為遞減數(shù)列，故log2q<0，則0若0所以“{bn}為遞減數(shù)列”是“04．在《九章算術(shù)》中“衰分”是按比例遞減分配的意思．今共有糧98石，甲、乙、丙按序衰分，乙分得28石，則衰分比例為 　.
[解析]　設(shè)衰分比例為q，則甲、乙、丙各分得，28,28q石，∴＋28＋28q＝98，∴q＝2或.
∵0第1課時　等比數(shù)列的前n項和
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．探索并掌握等比數(shù)列的前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系．
2．能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題．
核心素養(yǎng)
1．通過等比數(shù)列的前n項和公式的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)．
2．能利用等比數(shù)列的通項公式、前n項和公式解決實際問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).
知識點　等比數(shù)列前n項和公式及推導(dǎo)
已知量 首項、公比與項數(shù) 首項、公比與末項
求和公式 Sn＝ Sn＝
[提醒]　若題目中q為字母參數(shù)，不確定具體數(shù)值，則求等比數(shù)列的前n項和時，應(yīng)分q＝1與q≠1兩種情況進行討論．
想一想：
當(dāng)q≠1時，等比數(shù)列{an}的前n項和Sn是n的函數(shù)，該函數(shù)的解析式有什么特點？
提示：Sn＝＝－qn＋，Sn是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)，其中指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)互為相反數(shù)．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)所有等比數(shù)列的前n項和都可以直接使用公式Sn＝.( × )
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn＝aqn＋b(q≠1)，則數(shù)列{an}一定是等比數(shù)列．( × )
(3)等比數(shù)列的前n項和不可以為0.( × )
提示：(1) 當(dāng)q＝1時，Sn＝na1.
(2) 只有當(dāng)a與b互為相反數(shù)時，數(shù)列{an}才是等比數(shù)列．
(3) 例如1，－1,1，－1，….
2．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a2＝3,2a1＋a2＝4，則S6＝( D )
A．128 B．127
C．64 D．63
[解析]　由
解得所以公比q＝2，
所以S6＝＝63.
3．設(shè)等比數(shù)列{an}中，前n項和為Sn，已知S3＝8，S6＝7，則a7＋a8＋a9等于( A )
A． B．－
C． D．
[解析]　因為a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比數(shù)列，
因為S3＝8，S6＝7，所以S6－S3＝－1，所以8，－1，S9－S6成等比數(shù)列，
則8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝ ，
所以a7＋a8＋a9＝ .
4．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝8，q＝，an＝，則Sn的值是 　.
[解析]　在等比數(shù)列{an}中，因為a1＝8，q＝，an＝，所以an＝a1·qn－1＝8×n－1＝n－4＝，所以n－4＝1，n＝5，
所以Sn＝S5＝＝.
題型探究
題型一　與等比數(shù)列前n項和有關(guān)的基本運算
典例1　(1)已知正項等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝2且S3＝2a3－2，則公比q＝( B )
A． B．2
C．3 D．
(2)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列．若a4－a2＝24，a2＋a3＝6，an＝125，求Sn.
[解析]　(1)由S3＝2a3－2得a3－a2－a1－2＝0，
又a1＝2，所以q2－q－2＝0，
即(q－2)(q＋1)＝0，
所以q＝2或q＝ －1(舍去)．
(2)設(shè)該等比數(shù)列的公比為q，
由a4－a2＝24，a2＋a3＝6，
得a2q2－a2＝24，a2＋a2q＝6，
解得a2＝1，q＝5，
所以a1＝＝，
所以an＝a1qn－1＝5n－2，
令an＝125，解得n＝5，
所以S5＝＝.
[規(guī)律方法]　等比數(shù)列前n項和運算的技巧
(1)在等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式中，共涉及五個量：a1，an，n，q，Sn，其中首項a1和公比q為基本量，且“知三求二”，常常列方程組來解答．
(2)對于基本量的計算，列方程組求解是基本方法，通常用約分或兩式相除的方法進行消元，有時會用到整體代換．
提醒：兩式相除是解決等比數(shù)列基本量運算常用的運算技巧．
對點訓(xùn)練 (1)設(shè){an}是正項等比數(shù)列，Sn為其前n項和，已知a1a5＝1，S3＝7，則S6＝( B )
A． B．
C． D．
(2)在正項等比數(shù)列{an}中，a2＝4，a6＝64，Sn＝510，則n＝( C )
A．6 B．7
C．8 D．9
[解析]　(1)因為{an}是正項等比數(shù)列，
所以an>0，q>0，
由等比中項得a1a5＝a＝1，解得a3＝1，
所以S3＝a1＋a2＋a3＝＋＋1＝7，
解得q＝或q＝－(舍去)，a1＝＝4，
所以S6＝＝.
(2)由題意知q4＝＝16且q>0，則q＝2，a1＝2，所以Sn＝＝510，解得n＝8.
題型二　等比數(shù)列前n項和公式的函數(shù)特征
典例2　已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，其前n項和為Sn＝3n－1＋k(n∈N*)，則常數(shù)k＝ －　.
[解析]　方法一：由已知得，a1＝S1＝1＋k，a2＝S2－S1＝2，a3＝S3－S2＝6.
因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故a＝a1a3，
即22＝6(1＋k)，解得k＝－.
方法二：因為數(shù)列{an}是等比數(shù)列，
故Sn＝＝－qn＋.
又因為Sn＝3n－1＋k＝3n×＋k，
故可得k＝－.
[規(guī)律方法]　等比數(shù)列前n項和公式的特征
數(shù)列{an}是非常數(shù)數(shù)列的等比數(shù)列 Sn＝－Aqn＋A(A≠0，q≠0,1，n∈N*)．
即指數(shù)式的系數(shù)與常數(shù)項互為相反數(shù)，其中A＝.
對點訓(xùn)練 設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝k·2n－3，則ak＝( C )
A．4 B．8
C．12 D．16
[解析]　當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝k·2n－1；
當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝2k－3＝k·21－1，
解得k＝3，∴ak＝a3＝3·23－1＝12.故選C．
題型三　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)應(yīng)用
典例3　(1)在等比數(shù)列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n；
(2)一個項數(shù)為偶數(shù)的等比數(shù)列，全部項之和為偶數(shù)項之和的4倍，前3項之積為64，求該等比數(shù)列的通項公式．
[分析]　運用等比數(shù)列的前n項和公式，要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關(guān)的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．
[解析]　(1)方法一：∵S2n≠2Sn，∴q≠1.
由題意得，
②÷①得1＋qn＝，
∴qn＝，把qn＝代入①得＝64，
∴S3n＝＝64＝63.
方法二：由題意知，公比q≠－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數(shù)列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
(2)設(shè)數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，
由題意得S奇＋S偶＝4S偶，
即S奇＝3S偶．
∵數(shù)列{an}的項數(shù)為偶數(shù)，
∴q＝＝.
又∵a1a2a3＝aq3＝64，
∴a1＝12，
∴an＝a1·qn－1＝12×n－1.
[規(guī)律方法]　等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)
(1){an}是公比不為－1的等比數(shù)列，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為qn.
(2)在等比數(shù)列{an}中，當(dāng)項數(shù)為2n(n∈N*)時，＝q.
對點訓(xùn)練 (1)設(shè)等比數(shù)列{an}前n項和為Sn，若S3＝8，S6＝24，則a10＋a11＋a12＝( B )
A．32 B．64
C．72 D．216
(2)一個等比數(shù)列的首項是1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項的和為85，偶數(shù)項的和為170，求此數(shù)列的公比和項數(shù)．
[解析]　(1)由于S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9成等比數(shù)列，S3＝8，S6－S3＝16，故其公比為2，所以S9－S6＝32，S12－S9＝64，即a10＋a11＋a12＝S12－S9＝64.
(2)方法一：設(shè)原等比數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n(n∈N＋)．
由已知a1＝1，q≠1，有
由②÷①，得q＝2，
∴＝85,4n＝256，∴n＝4.
故公比為2，項數(shù)為8.
方法二：∵S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)q＝S奇·q，
∴q＝＝＝2.
又Sn＝85＋170＝255，據(jù)Sn＝，得＝255，
∴2n＝256，∴n＝8.即公比q＝2，項數(shù)n＝8.
題型四　等比數(shù)列前n項和公式的實際應(yīng)用
典例4　中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細(xì)算相還．”其大意為：“有一個人走了378里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．”則此人第4天走了( D )
A．60里 B．48里
C．36里 D．24里
[解析]　記每天走的路程里數(shù)為{an}，可知
{an}是公比為q＝的等比數(shù)列，
因為S6＝378，所以＝378，
解得a1＝192，
所以a4＝192×＝24.
[規(guī)律方法]　求解數(shù)列應(yīng)用問題應(yīng)明確以下幾個問題：
(1)是哪一類數(shù)列模型；
(2)是否能直接求出通項公式，否則先建立遞推公式；
(3)是求和還是求項；
(4)數(shù)列的項數(shù)．
對點訓(xùn)練 中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟. 羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各償還多少？該問題中，1斗為10升，則羊主人應(yīng)償還粟( C )
A．升 B．升
C．升 D．升
[解析]　設(shè)牛、馬、羊所吃禾苗分別為a1，a2，a3，則{an}是公比為的等比數(shù)列，
所以S3＝＝50，
解得a1＝，所以羊主人應(yīng)償還：
a3＝×＝升粟．
易錯警示
忽略對公比q的討論致誤
典例5　已知等比數(shù)列{an}中，a1＝2，S3＝6，求a3和q.
[錯解]　由等比數(shù)列的前n項和公式得S3＝＝＝6，
∴＝3，
∴1＋q＋q2＝3，∴q2＋q－2＝0.
∴q＝－2或q＝1(舍去)∴a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
[誤區(qū)警示]　錯解中由于沒討論公比q是否為1，就直接使用了等比數(shù)列的前n項和公式Sn＝，從而導(dǎo)致漏解．
[正解]　若q＝1，則S3＝3a1＝6，符合題意．此時，q＝1，a3＝a1＝2.
若q≠1，則由等比數(shù)列的前n項和公式，得S3＝＝＝6，
解得q＝1(舍去)或q＝－2.
此時，a3＝a1q2＝2×(－2)2＝8.
綜上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.
1．在等比數(shù)列{an}中，若a1＝1，a4＝，則該數(shù)列的前10項和S10＝( B )
A．2－ B．2－
C．2－ D．2－
[解析]　∵a1＝1，a4＝，∴q3＝，∴q＝.
∴S10＝＝2－.故選B.
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，且a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，則S3＋T5＝( C )
A．13 B．25
C．37 D．41
[解析]　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q，因為a1＝b1＝1，b4＝2a4＝8，
所以
解得
所以S3＋T5＝3a1＋3d＋＝3＋3＋＝37.
3．已知在等比數(shù)列{an}中，a1＝3，an＝96，Sn＝189，則n的值為( C )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　由an＝a1qn－1，得96＝3qn－1，∴qn－1＝32＝25.
令n＝6，q＝2，這時S6＝＝189，符合題意，
故選C．
4．等比數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n－1，則通項an＝_2n－1__.
[解析]　當(dāng)n＝1時，a1＝1，
當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n－1)－(2n－1－1)＝2n－1，
又a1＝1也適合上式，
所以an＝2n－1.5　數(shù)學(xué)歸納法
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解數(shù)學(xué)歸納法的原理．
2．能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題．
核心素養(yǎng)
通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的學(xué)習(xí)與應(yīng)用，提升邏輯推理素養(yǎng).
知識點　數(shù)學(xué)歸納法
一般地，證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值_n0__(n0是一個確定的正整數(shù)，如n0＝1或2等)時，命題成立；
(2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng) n＝k(k∈N＋，k≥n0)　時命題成立，證明當(dāng)_n＝k＋1__時，命題也成立．
根據(jù)(1)(2)可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立．
上述證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法．
[提醒]　在第二個步驟證明“當(dāng)n＝k＋1時命題也成立”的過程中，必須利用歸納假設(shè)，即必須用上“假設(shè)當(dāng)n＝k時命題成立”這一條件．
想一想：
1．驗證的第一個值n0一定是1嗎？
提示：不一定，如證明“凸n邊形對角線的條數(shù)f(n)＝”時，第一步應(yīng)驗證n＝3是否成立．
2．在第二步證明中，必須從歸納假設(shè)用綜合法證明嗎？
提示：不是，在歸納遞推中，可以應(yīng)用綜合法、分析法、反證法、放縮法等各種證明方法．
練一練：
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n>n2對于n≥n0的正整數(shù)n都成立”時，第一步證明中的初始值n0應(yīng)取( D )
A．2 B．3
C．4 D．5
[解析]　顯然當(dāng)n＝1時，21>12，而當(dāng)n＝2時，22＝22，A錯誤；當(dāng)n＝3時，23<32，B錯誤；當(dāng)n＝4時，24＝42，C錯誤；當(dāng)n＝5時，25>52，符合要求，D正確．
2．在用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋2＋3＋…＋2n＝(n∈N*)的過程中，則當(dāng)n＝k＋1時，左端應(yīng)在n＝k的基礎(chǔ)上加上_(2k＋1)＋(2k＋2)__.
[解析]　假設(shè)當(dāng)n＝k時，1＋2＋3＋…＋2k＝，當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝1＋2＋3＋…＋2k＋2k＋1＋2k＋2，顯然是在n＝k的基礎(chǔ)上加上(2k＋1)＋(2k＋2)．
題型探究
題型一　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式
典例1　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.
[證明]　①當(dāng)n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，
那么當(dāng)n＝k＋1時，
1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]
＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，
即當(dāng)n＝k＋1時等式也成立．
根據(jù)①和②可知等式對任何n∈N＋都成立．
[規(guī)律方法]　用數(shù)學(xué)歸納法證明等式的規(guī)則
(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式要充分利用定義，其中兩個步驟缺一不可，缺第一步，則失去了遞推基礎(chǔ)，缺第二步，則失去了遞推依據(jù)．
(2)證明等式時要注意等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，兩邊各有多少項，并注意初始值n0是多少，同時第二步由n＝k到n＝k＋1時要充分利用假設(shè)，不利用n＝k時的假設(shè)去證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法．
對點訓(xùn)練 用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋…＋＝(n∈N*)．
[證明]　①當(dāng)n＝1時，左邊＝＝，右邊＝＝，左邊＝右邊，等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時等式成立，即有＋＋…＋＝，
則當(dāng)n＝k＋1時，
＋＋…＋＋＝＋＝，
即當(dāng)n＝k＋1時等式成立．
由①②可得，對于任意的n∈N*等式都成立.
題型二　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
典例2　用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．
[分析]　按照數(shù)學(xué)歸納法的步驟證明，由n＝k到n＝k＋1的推證過程可應(yīng)用放縮技巧，使問題簡單化．
[證明]　①當(dāng)n＝2時，1＋＝<2－＝，命題成立．
②假設(shè)n＝k時命題成立，即1＋＋＋…＋<2－.
當(dāng)n＝k＋1時，1＋＋＋…＋＋<
2－＋<2－＋＝2－＋－＝2－命題成立．
由①②知原不等式在n≥2時均成立．
[規(guī)律方法]　用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式和證明恒等式注意事項大致相同，需要注意的是：
(1)在應(yīng)用歸納假設(shè)證明過程中，方向不明確時，可采用分析法完成，經(jīng)過分析找到推證的方向后，再用綜合法、比較法等其他方法證明．
(2)在推證“n＝k＋1時不等式也成立”的過程中，常常要將表達式作適當(dāng)放縮變形，以便于應(yīng)用歸納假設(shè)，變換出要證明的結(jié)論．
對點訓(xùn)練 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1＋＋＋…＋<2(n∈N*)．
[證明]　①當(dāng)n＝1時，左邊＝1，右邊＝2.左邊<右邊，不等式成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.
則當(dāng)n＝k＋1時，
1＋＋＋…＋＋<2＋
＝<
＝＝2.
所以當(dāng)n＝k＋1時，不等式成立．
由①②可知，原不等式對任意n∈N*都成立.
題型三　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題
典例3　證明：n3＋5n(n∈N＋)能夠被6整除．
[證明]　①當(dāng)n＝1時，n3＋5n＝6，顯然能夠被6整除，命題成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k時，命題成立，即n3＋5n＝k3＋5k能夠被6整除，
當(dāng)n＝k＋1時，n3＋5n＝(k＋1)3＋5(k＋1)＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6，
由假設(shè)知：k3＋5k能夠被6整除，
而k(k＋1)為偶數(shù)，故3k(k＋1)能夠被6整除，
故(k＋1)3＋5(k＋1)＝(k3＋5k)＋3k(k＋1)＋6能夠被6整除，
即當(dāng)n＝k＋1時，命題成立，
由①②可知，命題對一切正整數(shù)成立，
即n3＋5n(n∈N＋)能夠被6整除．
[規(guī)律方法]　用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題的方法及關(guān)鍵
用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題時，首先從要證的式子中拼湊出使假設(shè)成立的式子，然后證明剩余的式子也能被某式(數(shù))整除．其中的關(guān)鍵是“湊項”，可采用增項、減項、拆項和因式分解等方法，從而利用歸納假設(shè)使問題得到解決．
對點訓(xùn)練 證明：當(dāng)n∈N＋時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．
[證明]　①當(dāng)n＝1時，f(1)＝34－8－9＝64能被64整除．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，f(k)＝32k＋2－8k－9能被64整除，則當(dāng)n＝k＋1時，f(k＋1)＝32(k＋1)＋2－8(k＋1)－9＝9×32k＋2－8k－17＝9×(32k＋2－8k－9)＋64k＋64.
故f(k＋1)也能被64整除．
綜合①②，知當(dāng)n∈N＋時，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除.
題型四　數(shù)學(xué)歸納法在數(shù)列中的應(yīng)用
典例4　已知數(shù)列{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，其前n項和為Sn，對于一切n∈N*均有an與2的等差中項等于Sn與2的等比中項．
(1)計算a1，a2，a3，并由此猜想數(shù)列{an}的通項公式；
(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中你的猜想．
[分析]　(1)由題意Sn＝，令n＝1，因為S1＝a1，可求出a1的值，再反復(fù)代入，分別求出a2，a3，總結(jié)出規(guī)律寫出通項公式；
(2)根據(jù)(1)中的猜想，利用歸納法進行證明，假設(shè)當(dāng)n＝k時成立，然后利用已知條件驗證n＝k＋1時也成立，從而求證．
[解析]　(1)由＝得Sn＝，由Sn可求得a1＝2，a2＝6，a3＝10，由此猜想{an}的通項公式an＝4n－2，n∈N*.
(2)①當(dāng)n＝1時，a1＝2，等式成立；
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，等式成立，即ak＝4k－2，
∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝－，
∴(ak＋1＋ak)(ak＋1－ak－4)＝0.
又ak＋1＋ak≠0，∴ak＋1－ak－4＝0，
∴ak＋1＝ak＋4＝4k－2＋4＝4(k＋1)－2，
∴當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
由①②可知，an＝4n－2對任何n∈N*都成立．
[規(guī)律方法]　用數(shù)學(xué)歸納法求數(shù)列通項公式的一般步驟：
(1)由已知條件求出數(shù)列的前幾項；
(2)依據(jù)求出的前幾項猜想數(shù)列的通項；
(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明上面的猜想是正確的．
對點訓(xùn)練 已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1－nan(n∈N*)．
(1)計算a1，a2，a3，a4；
(2)猜想an的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．
[解析]　(1)依題設(shè)可得，當(dāng)n＝1時，S1＝a1.
即a1＝S1＝1－a1，即a1＝，
由Sn＝1－nan分別求得a2＝，a3＝，a4＝，
故a1＝＝，a2＝＝，
a3＝＝，a4＝＝.
(2)猜想：an＝.
證明如下：①當(dāng)n＝1時，猜想顯然成立．
②假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N*)時，猜想成立，
即ak＝，
當(dāng)n＝k＋1時，Sk＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
即Sk＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1.
又Sk＝1－kak＝，
所以＋ak＋1＝1－(k＋1)ak＋1，
從而ak＋1＝＝.
即n＝k＋1時，猜想也成立．由①②可知，猜想成立．
易錯警示
未用歸納假設(shè)而致誤
典例5　用數(shù)學(xué)歸納法證明：2＋22＋…＋2n－1＝2(2n－1－1)(n>2，n∈N*)．
[錯解]　①當(dāng)n＝3時，左邊＝2＋22＝6，右邊＝2(22－1)＝6，等式成立．
②假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，那么由等比數(shù)列的前n項和公式，得2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2(2k－1)．
所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
由①②可知，等式對任意n>2，n∈N*都成立．
[誤區(qū)警示]　錯解中的第二步?jīng)]用到歸納假設(shè)，直接使用了等比數(shù)列的求和公式．由于未用歸納假設(shè)，造成使用數(shù)學(xué)歸納法失誤．
[正解]　①當(dāng)n＝3時，左邊＝2＋22＝6，右邊＝2(22－1)＝6，等式成立；
②假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，即2＋22＋…＋2k－1＝2(2k－1－1)，
那么n＝k＋1時，2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2(2k－1－1)＋2k＝2·2k－2＝2(2k－1)＝2[2(k＋1)－1－1]．
所以當(dāng)n＝k＋1時，等式也成立．
由①②可知，等式對任意n>2，n∈N*都成立．
1．用數(shù)學(xué)歸納法證明“凸n邊形的內(nèi)角和等于(n－2)·π”時，歸納奠基中n0的取值應(yīng)為( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　根據(jù)凸n邊形至少有3條邊，知n≥3，故n0的值應(yīng)為3.
2．一個關(guān)于自然數(shù)n的命題，如果證得當(dāng)n＝1時命題成立，并在假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1且k∈N*)時命題成立的基礎(chǔ)上，證明了當(dāng)n＝k＋2時命題成立，那么綜合上述，對于( B )
A．一切正整數(shù)命題成立
B．一切正奇數(shù)命題成立
C．一切正偶數(shù)命題成立
D．以上都不對
[解析]　本題證明了當(dāng)n＝1,3,5,7，…時，命題成立，即命題對一切正奇數(shù)成立．
3．用數(shù)學(xué)歸納法證明“＋＋…＋>”時，由k到k＋1，不等式左邊的變化是( C )
A．增加一項
B．增加和兩項
C．增加和兩項，同時減少一項
D．以上結(jié)論都不正確
[解析]　當(dāng)n＝k時，左邊＝＋＋…＋，
當(dāng)n＝k＋1時，左邊＝＋＋…＋
＋＋，故不等式左邊的變化是增加和兩項，同時減少一項．
4．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*)，計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，由此推測，當(dāng)n>2時，有 f(2n)>　.
[解析]　自變量的取值依次為2,4＝22,8＝23,16＝24,32＝25，…，故為2n.右邊分母全為2，分子依次為3,4,5,6,7，…，故右邊為，即f(2n)>.

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