資源簡介

2．1　導數的概念
2．2　導數的幾何意義
學習目標
1．了解導數的概念；理解導數的幾何意義．
2．會用導數的定義求導數．
3．根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．
核心素養
1．通過對導數的概念的學習，培養數學抽象素養．
2．借助根據導數的幾何意義求曲線上某點處的切線方程，培養數學運算素養.
知識點 1　導數的概念
設函數y＝f(x)，當自變量x從x0 變到x1 時：
(1)平均變化率：＝＝.
(2)瞬時變化率：Δx趨于0時，趨于一個_固定的值__.
(3)導數：函數y＝f(x)在x0點的_瞬時變化率__.
記作f′(x0)＝ ＝ 　.
[提醒]　(1)導數是一個局部概念，它只與函數y＝f(x)在x＝x0處及其附近的函數值有關，與Δx無關．
(2)f′(x0)是一個常數，即當Δx→0時，與這個固定常數無限接近．如果當Δx→0時， 不存在，則稱函數f(x)在x＝x0處不可導．
想一想：
f′(x)與f′(x0)相同嗎？它們之間有何關系？
提示：f′(x)與f′(x0)不相同．f′(x)是函數f(x)的導函數，f′(x0)是函數f(x)在x＝x0處的導數值，是函數f′(x)在x＝x0時的函數值．
練一練：
1．函數y＝x2在x＝1處的導數為( C )
A．2x B．2＋Δx
C．2 D．1
[解析]　y＝x2在x＝1處的導數為
f′(1)＝＝2.
2．設函數f(x)＝ax＋b，若f(1)＝f ′(1)＝2，則f(2)＝_4__.
[解析]　函數f(x)＝ax＋b在x＝1處的導數為
f ′(1)＝
＝＝＝a，
又f ′(1)＝2，得a＝2，而f(1)＝2，有a＋b＝2，于是b＝0，
所以f(x)＝2x，所以f(2)＝4.
知識點 2　導數的幾何意義
(1)割線的定義：過A(x0，f(x0))和B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))兩點的直線是曲線y＝f(x)在A點處的一條割線，其斜率為.
(2)切線的定義：當Δx趨于零時，點B將沿著曲線y＝f(x)趨于點A，割線AB將繞點A轉動趨于直線l，直線l和曲線y＝f(x)在點A處_相切__，稱直線l為曲線y＝f(x)在點A處的切線．
(3)幾何意義：函數y＝f(x)在x0處的導數f′(x0)，是曲線y＝f(x)在點(x0，f(x0))處的切線的_斜率__.
想一想：
如圖所示，直線l是曲線y＝f(x)在點P0處的切線，這與以前學習的直線與圓相切時，直線與圓有且僅有一個公共點是否相同？如何理解？
提示：不相同．曲線y＝f(x)在某點處的切線只是在切點P0附近區域上只有一個公共點，但該切線與這條曲線公共點可能不止一個，因此，直線l是曲線y＝f(x)在切點P0處的切線，但在點A處不是曲線的切線．
練一練：
1．函數y＝f(x)的圖象如圖所示，下列描述錯誤的是( D )
A．x＝－5處比x＝－2處變化快
B．x＝－4處呈上升趨勢
C．x＝1和x＝2處增減趨勢相反
D．x＝0處呈上升趨勢
[解析]　根據導數的幾何意義：f′(－5)>0，f′(－4)>0，f′(－2)＝0，f′(0)<0，f′(1)f′(2)<0，判斷可知D錯誤．
2．若函數f(x)在點A(1,2)處的導數是－1，那么過點A的切線方程是_x＋y－3＝0__.
[解析]　切線的斜率為k＝－1.
所以點A(1,2)處的切線方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
題型探究
題型一　導數概念的理解
典例1　若函數y＝f(x)在x＝x0處可導，則 等于( B )
A．f ′(x0) B．2f ′(x0)
C．－2f ′(x0) D．0
[分析]　本題考查對導數形式化定義的認識，根據導數的定義來求解， 需明確Δx，Δy的含義．
[解析]　方法一：
＝
＝ ＋
＝f ′(x0)＋
＝f ′(x0)＋f ′(x0)
＝2f ′(x0)．
方法二：
＝
＝2
＝2f ′(x0)．
[規律方法]　導數的形式化定義的本質
導數的形式化計算是大學數學中的一個重點內容，但在中學階段，特別是在對極限要求不高的前提下，不必深入研究，其本質就是對導數概念f ′(x0)＝ ＝ 的理解．需要說明的是導數是一個局部概念，它只與函數y＝f(x)在x＝x0及其附近的函數值有關，與Δx無關．
對點訓練 設f(x)是可導函數，且 ＝－2，則f ′(x0)＝( C )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
[解析]　f ′(x0)＝
＝－× ＝－×(－2)＝1.
題型二　導數幾何意義的應用
典例2　(1)已知函數y＝f(x)的圖象如圖所示，則其導函數y＝f′(x)的圖象可能是( B )
(2)某家電制造集團提出四種運輸方案，據預測，這四種方案均能在規定時間T內完成預期的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數關系如圖所示．在這四種方案中，運輸效率(單位時間內的運輸量)逐步提高的是( B )
[解析]　(1)由y＝f(x)的圖象及導數的幾何意義可知，當x<0時，f′(x)>0；當x＝0時，f′(x)＝0；當x>0時，f′(x)<0，故B符合．
(2)從函數圖象上看，要求圖象在[0，T]上越來越陡峭，在各選項中，只有B項中圖象的切線斜率在不斷增大，即運輸效率(單位時間內的運輸量)逐步提高．
[規律方法]　導數幾何意義理解中的兩個關鍵
關鍵點一：y＝f(x)在點x＝x0處的切線斜率為k，則k>0 f′(x0)>0; k<0 f′(x0)<0; k＝0 f′(x0)＝0.
關鍵點二：|f′(x0)|越大 在x0處瞬時變化越快；|f′(x0)|越小 在x0處瞬時變化越慢．
對點訓練 若函數y＝f(x)的導函數在區間[a，b]上是增函數，則函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象可能是( A )
[解析]　依題意，y＝f′(x)在[a，b]上是增函數，則在函數y＝f(x)的圖象上，各點的切線的斜率隨著x的增大而增大，觀察四個選項的圖象，只有A滿足．
題型三　求切線方程
典例3　已知曲線y＝x3＋.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．
[分析]　求函數在某點處的導數，一種方法是直接求函數在該點的導數；另一種方法是先求函數在x＝x0處的導數表達式，再把x的值代入求導數值．
[解析]　(1)∵P(2,4)在曲線y＝x3＋上，
∴曲線在點P(2,4)處切線的斜率為
k＝
＝
＝4.
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率為
k＝ ＝x，
∴切線方程為y－＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵點P(2,4)在切線上，
∴4＝2x－x＋，即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1，或x0＝2.
故所求的切線方程為x－y＋2＝0，或4x－y－4＝0.
[規律方法]　利用導數的幾何意義求切線方程的方法
(1)若已知點(x0，y0)在已知曲線上，求在點(x0，y0)處的切線方程，先求出函數y＝f(x)在點x0處的導數，然后根據直線的點斜式方程，得切線方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若點(x0，y0)不在曲線上，求過點(x0，y0)的切線方程，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程．
對點訓練 (1)曲線f(x)＝在點(－2，－1)處的切線方程為_x＋2y＋4＝0__.
(2)求曲線y＝x2＋1，x∈R過點P(1,0)的切線方程．
[解析]　(1)f′(－2)＝
＝ ＝ ＝－，所以切線方程為y＋1＝－(x＋2)，即x＋2y＋4＝0.
(2)設切點為Q(a，a2＋1)，
k＝ ＝ (2a＋Δx)＝2a.
所以在Q點處的切線方程為y－(a2＋1)＝2a(x－a)．(*)
把點(1,0)代入(*)式得－(a2＋1)＝2a(1－a)．
解得a＝1±.
再把a＝1±代入到(*)式中，即得切線方程為y＝(2＋2)x－(2＋2)或y＝(2－2)x－(2－2)．
易錯警示
求切線方程時忽視點是否在曲線上致誤
典例4　求經過點(2,0)，且與曲線y＝相切的直線方程．
[誤區警示]　將(2,0)誤認為是切點，直接由導數的幾何意義得切線斜率f ′(2)＝ ＝ ＝－，從而得切線方程為y－0＝－(x－2)，即x＋4y－2＝0.
[正解]　經驗證點(2,0)不在曲線y＝的圖象上，則設切點為P(x0，y0)，令f(x)＝.
∴f′(x0)＝
＝
＝ ＝－，
得所求直線方程為y－y0＝－(x－x0)．
因為點(2,0)在切線上，所以xy0＝2－x0.
又點P(x0，y0)在曲線f(x)＝上，所以x0y0＝1，
聯立可解得x0＝1，y0＝1，
故所求直線方程為x＋y－2＝0.
[點評]　錯解中沒有注意到點(2,0)根本不在曲線y＝上，直接求出函數在x＝2處的導數作為曲線切線的斜率，而導致錯誤．避免這種錯誤的方法是先判斷點是否在曲線上，如果點在曲線上，那么曲線在該點處的切線的斜率才等于函數在該點處的導數值，如果點不在曲線上，應先另設切點，再利用導數的幾何意義求解．
1.已知y＝f(x)的圖象如圖，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是( B )
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能確定
[解析]　由題圖可知，曲線在點A處的切線的斜率比曲線在點B處的切線的斜率小，結合導數的幾何意義知f′(xA)2．拋物線y＝x2在點Q(2,1)處的切線方程為( A )
A．x－y－1＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x＋y－1＝0
[解析]　f′(2)＝
＝＝1，
∴過點(2,1)的切線方程為y－1＝1×(x－2)，
即x－y－1＝0.故選A.
3．已知函數y＝f(x)在x＝x0處的導數為1，
則＝( B )
A．0 B．
C．1 D．2
[解析]　∵函數y＝f(x)在x＝x0處的導數為1，
則 ＝
＝f ′(x0)＝.
4．y＝ax2＋1的圖象與直線y＝x相切，則a＝ 　.
[解析]　∵＝
＝＝a(Δx)＋2ax， ＝2ax，
設切點為(x0，y0)，則2ax0＝1，
∴x0＝.∵切點在直線y＝x上，∴y0＝ .
代入y＝ax2＋1得＝＋1，∴a＝.§3　導數的計算
學習目標
1．能根據定義求函數y＝c，y＝x，y＝x2，y＝，y＝的導數．
2．掌握基本初等函數的導數公式，并能進行簡單的應用．
核心素養
通過基本初等函數的導數公式的應用，培養數學運算素養．
知識點 1　導函數的概念
一般地，如果一個函數y＝f(x)在區間(a，b)的每一點x處都有導數f′(x)＝ 　.
那么f′(x)是關于x的函數，稱f′(x)為y＝f(x)的導函數，也簡稱為導數，有時也將導數記作y′.
想一想：
若f ′(x)＝ex，則f(x)＝ex這種說法正確嗎？
提示：不正確．由導數定義可知f(x)＝ex＋C(其中C為任意實數)，都有f′(x)＝ex.
練一練：
1．已知f(x)＝x2，則f ′(3)等于( C )
A．0 B．2x
C．6 D．9
[解析]　因為f(x)＝x2，所以f ′(x)＝2x，
所以f ′(3)＝6.
2．已知函數f(x)及其導數f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，則稱x0是f(x)的一個“巧值點”．下列函數中，有“巧值點”的是_①②③④__.(填序號)
①f(x)＝x2　②f(x)＝ex　③f(x)＝ln x　④f(x)＝
[解析]　對于①，f(x)＝x2，f′(x)＝2x，由x2＝2x, 解得x＝0或x＝2，因此此函數有 “巧值點” ；
對于②，f(x)＝ex，f′(x)＝ex，由ex＝ex ，得 x∈R，因此此函數有“巧值點”；
對于③，f(x)＝ln x，f′(x)＝ ，分別畫出圖象y＝ln x，y＝(x>0) ，由圖象可知，兩函數圖象有交點，因此此函數有“巧值點” ；
對于④，f(x)＝，f′(x)＝－，
由 ＝－，解得 x＝－1，
因此此函數有 “巧值點”．
知識點 2　導數公式
函數 導數
y＝c(c是常數) y′＝_0__
y＝xα(α是實數) y′＝_αxα－1__
y＝ax(a>0，a≠1) y′＝_axln_a__特別地(ex)′＝ex
y＝logax(a>0，a≠1) y′＝ 　特別地(ln x)′＝
y＝sin x y′＝_cos_x__
y＝cos x y′＝_－sin_x__
y＝tan x y′＝ 　
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)′＝cos.( × )
(2)(cos x)′＝sin x．( × )
(3)′＝－.( √ )
(4)(x2 023)′＝2 023x2 022.( √ )
2．下列各式中，正確的是( A )
A.′＝cos x B.′＝sin x
C.′＝sin x D.′＝cos x
[解析]　先利用誘導公式化簡，再根據求導公式求導．
題型探究
題型一　公式法求導數
典例1　(1)求下列函數的導數：
①y＝；②y＝x·；③y＝3x；④y＝log5x.
(2)求下列函數的導數：①y＝sin；②y＝x；③y＝.
[解析]　(1)①y′＝′＝(x－4)′＝－4x－5＝－.
③y′＝(3x)′＝3xln 3.
④y′＝(log5x)′＝.
(2)①y′＝0.
②y′＝xln ＝－xln 2.
[規律方法]　運用基本初等函數的導數公式求導的注意事項
(1)對于簡單的函數，直接套用公式．
(2)對于較為復雜，不能直接套用公式的，可先把題中函數恒等變形為基本初等函數，再求導．
對點訓練 (1)f(x)＝a3(a>0，a≠1)，則f ′(2)＝( D )
A．8 B．12
C．8ln 3 D．0
(2)若函數f(x)＝10x，則f′(1)等于( C )
A. B．10
C．10ln 10 D．
(3)求下列函數的導數：
①y＝log8x；②y＝sincos.
[解析]　(1)f(x)＝a3(a>0，a≠1)是常數函數，
所以f ′(x)＝0.所以f ′(2)＝0.
(2)因為f′(x)＝10xln 10，
所以f′(1)＝10ln 10.
(3)①y′＝(log8x)′＝＝.
②因為y＝sincos＝sin x，
所以y′＝′＝cos x.
題型二　利用導數公式求切線方程
典例2　(1)函數y＝在點處的切線方程是( B )
A．y＝4x B．y＝－4x＋4
C．y＝4x＋4 D．y＝2x－4
(2)求曲線y＝ln x在x＝e處的切線方程．
[解析]　(1)∵y＝，
∴y′＝′＝－，
∴切線的斜率k＝－4，
∴切線方程為y－2＝－4，
即4x＋y－4＝0.
(2)函數y＝ln x的定義域為(0，＋∞)．
y′＝(ln x)′＝，
設切點坐標P(e，y0)，則y0＝ln e＝1，
所以切點為P(e,1)，
曲線y＝ln x在x＝e處的切線斜率k＝，所以所求切線方程為y－1＝(x－e)，即x－ey＝0.
[規律方法]　解決切線問題的步驟
(1)求函數f(x)的定義域；
(2)公式法求導函數f′(x)；
(3)設切點坐標P(x0，y0)；
(4)列方程(組)：
①切點在曲線上，即y0＝f(x0)；
②切線斜率等于函數在切點處的導數，即k＝f′(x0)；
③切點在切線上，即切線為y－y0＝k(x－x0)．
(5)解方程(組)．
對點訓練 (1)曲線f(x)＝3x在點(0,1)處的切線方程是_y＝xln_3＋1__.
(2)已知曲線y＝x3在點(2,8)處的切線方程為y＝kx＋b，則k－b＝( C )
A．4 B．－4
C．28 D．－28
(3)若曲線f(x)＝上某點處的切線的傾斜角為π，則該點的坐標為( D )
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(－1,1) D．(1,1)或(－1，－1)
[解析]　(1)∵f(x)＝3x，
∴f ′(x)＝3xln 3，
∴f ′(0)＝ln 3，
∴所求切線方程為y＝xln 3＋1.
(2)∵y′＝3x2，
∴點(2,8)處的切線斜率k＝f ′(2)＝12，
∴切線方程為y－8＝12(x－2)，即y＝12x－16，
∴k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.
(3)切線的斜率k＝tanπ＝－1，f ′(x)＝－，
設切點為(x0，y0)，則f ′(x0)＝－1，
∴－＝－1，
∴x0＝1或－1，
∴切點坐標為(1,1)或(－1，－1)．
題型三　與切線有關的問題
典例3　(1)函數f(x)＝ln x＋x2－bx＋a(b>0，a∈R)的圖象在點(b，f(b))處的切線斜率的最小值是( D )
A．2 B．
C．1 D．2
(2)設P是曲線y＝ex上任意一點，求點P到直線y＝x的最小距離．
[解析]　(1) ∵f′(x)＝＋2x－b，
∴f′(b)＝＋b≥2＝2，
當且僅當b＝1時取等號，因此切線斜率的最小值是2，選D.
(2)如圖，設l是與直線y＝x平行，且與曲線y＝ex相切的直線，則切點到直線y＝x的距離最小．
設直線l與曲線y＝ex相切于點P(x0，y0)．
因為y′＝ex，所以ex0＝1，所以x0＝0.
代入y＝ex，得y0＝1，所以P(0,1)．
所以點P到直線y＝x的最小距離為＝.
[規律方法]　利用導數的幾何意義解決切線問題的兩種情況
(1)若已知點是切點，則在該點處的切線斜率就是該點處的導數．
(2)若已知點不是切點，則應先設出切點，再借助兩點連線的斜率公式進行求解．
對點訓練 已知y＝kx是曲線f(x)＝ln x的一條切線，則k＝ 　.
[解析]　設切點坐標為(x0，y0)，
由題意得f′(x0)＝＝k，又y0＝kx0，而且y0＝ln x0，從而可得x0＝e，y0＝1，則k＝.
易錯警示
不能正確理解切點的實質而致誤
典例4　經過點P(2,8)作曲線y＝x3的切線，求切線方程．
[錯解]　設f(x)＝x3，由定義得f′(2)＝12，∴所求切線方程為y－8＝12(x－2)，
即12x－y－16＝0.
[誤區警示]　曲線過點P的切線與在點P處的切線不同．
[正解]　易知P點在曲線y＝x3上，當P點為切點時，由上面解法知切線方程為12x－y－16＝0.
當P點不是切點時，設切點為A(x0，y0)，由定義可求得切線的斜率為k＝3x.
∵A在曲線上，∴y0＝x，∴＝3x，
∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，∴x0＝－1或x0＝2(舍去)，
∴y0＝－1，k＝3，此時切線方程y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.
故經過點P的曲線的切線有兩條，方程分別為12x－y－16＝0和3x－y＋2＝0.
[點評]　在求切線方程的過程中，關鍵是尋找兩個條件：一是切點，二是切線的斜率．其中切點又是關鍵，需要找清切點，如本例中點P(2,8)不一定是切點，做題時要高度關注．
1.若f(x)＝sin x，則f′＝( D )
A．－ B．－
C. D．
[解析]　f′(x)＝cos x，∴f′＝cos＝.
2．曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為( D )
A.e2 B．2e2
C．e2 D．
[解析]　曲線y＝ex在點(2，e2)處的切線方程為y＝e2x－e2，所以該切線與坐標軸交點坐標分別為(1,0)，(0，－e2)，
所以，所圍三角形的面積為×1×e2＝.
3．過點(e，－e)作曲線y＝ex－x的切線，則切線方程為( C )
A．y＝(－1－e)x＋e2
B．y＝(e－1)x－e2
C．y＝(ee＋1－1)x－ee＋2
D．y＝(ee－1)x－ee＋1
[解析]　由y＝ex－x，得y′＝ex－1，設切點為(x0，－x0)，則－1，
∴切線方程為y－＋x0＝(－1)(x－x0)，
∵切線過點(e，－e)，
∴(e＋1)＝x0，解得x0＝e＋1，
∴切線方程為y－ee＋1＋e＋1＝(ee＋1－1)(x－e－1)，整理得y＝(ee＋1－1)x－ee＋2.
4．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x，則 f ′(x)－g′(x)＝ 3x2－　.
[解析]　∵f ′(x)＝3x2，g′(x)＝，
∴f ′(x)－g′(x)＝3x2－.4．1　導數的加法與減法法則
4．2　導數的乘法與除法法則
學習目標
1．掌握導數的四則運算法則．
2．能利用導數的四則運算法則求導函數．
核心素養
通過利用導數的四則運算法則求導函數，培養數學運算素養.
知識點　導數的四則運算法則
若兩個函數f(x)和g(x)的導數分別是f ′(x)和g′(x)，則
兩個函數的和的導數 [f(x)＋g(x)]′＝_f′(x)＋g′(x)__
兩個函數的差的導數 [f(x)－g(x)]′＝_f′(x)－g′(x)__
兩個函數的積的導數 [f(x)·g(x)]′＝f ′(x)g(x)＋f(x)g′(x)特別地，[kf(x)]′＝kf ′(x)，k∈R
兩個函數的商的導數 ′＝ 　(g(x)≠0)
[提醒]　注意區分兩個函數積與商的求導公式中符號的異同，積的導數公式中是“＋”，而商的導數公式中分子上是“－”．
想一想：
若兩個函數的導數存在，那么這兩個函數的和、差、積、商(商分母不為零)的導數是否存在？
提示：兩個函數的導數存在，則它們的和、差、積、商(商分母不為零)必存在；若兩個函數的導數不存在，則它們的和、差、積、商不一定不存在．
練一練：
1．已知函數f(x)＝ln x－f′(1)x2＋2x－1，則f(1)的值為( B )
A．－1 B．0
C．1 D．2
[解析]　求導得f′(x)＝－2f′(1)x＋2，
所以f′(1)＝1－2f′(1)＋2，解得f′(1)＝1，
則f(x)＝ln x－x2＋2x－1，
所以f(1)＝ln 1－1＋2－1＝0.
2．函數f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1處的導數等于( D )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.
3．若函數f(x)＝(2πx)2，則f′(－1)＝( B )
A．8π2 B．－8π2
C．4π2 D．－4π2
[解析]　f(x)＝(2πx)2＝4π2x2，
所以f′(x)＝8π2x，f′(－1)＝8π2×(－1)＝－8π2.
題型探究
題型一　利用導數的運算法則求函數的導數
典例1　求下列函數的導數．
(1)y＝(2x2－1)(3x＋1)；
(2)y＝；
(3)y＝3xex－2x＋e；
(4)y＝.
[分析]　若所給函數解析式較為復雜，可先對函數解析式進行適當的變化與化簡，再用相關公式和法則求導．
[解析]　(1)方法一：可以先展開后再求導：
y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，
∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝18x2＋4x－3.
方法二：可以利用乘法的求導法則進行求導：
y′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋3(2x2－1)＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.
(2)把函數的解析式整理變形可得：
y＝＝＝1－，
∴y′＝－
＝.
(3)根據求導法則進行求導可得：
y′＝(3xex)′－(2x)′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xln 3·ex＋3xex－2xln 2
＝(3e)xln(3e)－2xln 2.
(4)利用除法的求導法則，進行求導可得：
y′＝
＝＝.
[規律方法]　應用導數的四則運算法則的思路方法及注意事項
(1)熟記導數的四則運算法則，尤其是積、商的求導法則．
(2)應用和、差、積、商的求導法則求導數時，在可能的情況下，應盡量少用甚至不用積或商的求導法則，應在求導之前，先利用代數、三角恒等變形等知識對函數進行化簡，然后再求導，這樣可以減少運算量，提高運算速度，避免出錯．
(3)對于三個以上函數的積、商的導數，依次轉化為“兩個”函數的積、商的導數計算．
對點訓練 求下列函數的導數：
(1)y＝(x2＋1)(x－1)；
(2)y＝3x＋lg x；
(3)y＝.
[解析]　(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，
∴y′＝3x2－2x＋1.
(2)y′＝(3x)′＋(lg x)′＝3xln 3＋.
(3)y′＝
＝＝.
題型二　求導法則的綜合應用
典例2　已知曲線f(x)＝x3＋ax＋b在點P(2，－6)處的切線方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲線y＝f(x)的某一切線與直線l：y＝－x＋3垂直，求切點坐標與切線的方程．
[分析]　(1)由f(x)在點P處的切線方程可知f′(2)，及f(2)＝－6，得到a，b的方程組，解方程組可求出a，b；
(2)由曲線y＝f(x)的切線與l垂直，可得切線斜率k＝f′(x0)，從而解出x0，求得切點坐標和k.
[解析]　(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的導數f′(x)＝3x2＋a，
由題意可得f′(2)＝12＋a＝13, f(2)＝8＋2a＋b＝－6，
解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切線與直線y＝－＋3垂直，∴切線的斜率k＝4.
設切點的坐標為(x0，y0)，則f′(x0)＝3x＋1＝4，
∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，或y0＝－1－1－16＝－18.即切點坐標為(1，－14)或(－1，－18)．
則切線方程為y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
[規律方法]　1.導數的應用中，求導數是一個基本解題環節，應仔細分析函數解析式的結構特征，根據導數公式及運算法則求導數，不具備導數運算法則的結構形式時，先恒等變形，然后分析題目特點，探尋條件與結論的聯系，選擇解題途徑．
2．求參數的問題一般依據條件建立參數的方程求解．
對點訓練 已知a∈R，設函數f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為_1__.
[解析]　∵f ′(x)＝a－，∴f ′(1)＝a－1.
又∵f(1)＝a，
∴切線l的斜率為a－1，且過點(1，a)，
∴切線l的方程為y－a＝(a－1)(x－1)．
令x＝0，得y＝1，故l在y軸上的截距為1.
易錯警示
不能正確應用導數的運算法則而致誤
典例3　求函數y＝的導數．
[錯解]　y′＝′
＝
＝
＝12x－3x＋5.
[正解]　y′＝′
＝′
＝＋－1.
＝＋－1.
[點評]　本題錯解中，將商的導數公式誤記為′＝致誤.
1.函數f(x)＝x＋的導數f′(x)＝( A )
A．1－ B．1－
C．1＋ D．1＋
[解析]　f′(x)＝′＝x′＋′＝1－.
2．函數f(x)＝x＋ex的導數是( D )
A．f ′(x)＝ex B．f ′(x)＝1＋
C．f ′(x)＝1＋xex－1 D．f ′(x)＝1＋ex
[解析]　函數的導數為f ′(x)＝1＋ex，故選D.
3．若函數f(x)＝excos x，則此函數圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為( D )
A．0 B．銳角
C．直角 D．鈍角
[解析]　由已知得f ′(x)＝excos x－exsin x
＝ex(cos x－sin x)．
∴f ′(1)＝e(cos 1－sin 1)．
∵>1>，
而由正、余弦函數性質可得cos 1∴f ′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))處的切線的斜率k<0.∴切線傾斜角是鈍角．
4．若曲線y＝xln x上點P處的切線平行于直線2x－y＋1＝0，則點P的坐標為_(e，e)__.
[解析]　設P(x0，y0)，則y＝xln x在x＝x0處的導數為ln x0＋1＝2，
所以x0＝e，則y0＝e，則P點坐標為(e，e)．§5　簡單復合函數的求導法則
學習目標
1．了解復合函數的求導法則．
2．能求簡單復合函數的導數．
核心素養
通過求簡單復合函數的導數，培養數學運算素養.
知識點 1　復合函數的概念
對于兩個函數y＝f(u)和u＝φ(x)，給定x的一個值，就得到了u的值，進而確定了y的值，那么y可以表示成x的函數，稱這個函數為函數_y＝f(u)__和_u＝φ(x)__的復合函數，記作_y＝f(φ(x))__，其中u為中間變量．
[提醒]　討論復合函數的構成時，“內層”“外層”函數一般應是基本初等函數，如一次函數、二次函數、指數函數、對數函數、三角函數等．然后從外向內逐層求導．
想一想：
如何求復合函數y＝f(φ(x))的定義域？
提示：由內函數u＝φ(x)的值域包含于外函數y＝f(u)的定義域所求得的x的取值集合就是復合函數y＝f(φ(x))的定義域．
練一練：
思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)復合函數y＝f(φ(x))的定義域就是內函數u＝φ(x)的定義域．( × )
(2)復合函數y＝f(φ(x))的定義域就是內函數u＝φ(x)的值域．( × )
(3)復合函數y＝f(φ(x))的定義域就是外函數y＝f(u)的定義域．( × )
(4)(ln |x|)′＝.( √ )
知識點 2　復合函數的求導法則
復合函數y＝f(φ(x))的導數為：y′x＝_[f(φ(x))]′__＝_f_′(u)φ′(x)，其中u＝φ(x)__.
想一想：
任何兩個函數都能復合嗎？
提示：只有外函數y＝f(u)的定義域與內函數u＝φ(x)的值域的交集非空時才能復合．
練一練：
1．函數y＝的導數是( C )
A．y′＝ B．y′＝
C．y′＝－ D．y′＝－
[解析]　∵y＝＝(3x－1)－2，
∴y′＝－2(3x－1)－3·(3x－1)′
＝－6(3x－1)－3＝－.
2．已知函數f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，則a＝_1__.
[解析]　易得f′(x)＝4(2x＋a)，
又f′(2)＝20，即4(4＋a)＝20，
解得a＝1.
題型探究
題型一　復合函數的概念
典例1　函數y＝可以看成哪兩個函數的復合？
[解析]　函數y＝可以看成函數y＝與函數u＝(2x＋1)2的復合，也可以看成函數y＝2與函數u＝2x＋1的復合．
[規律方法]　1.不是任意兩個函數都能復合，只有內函數的值域與外函數的定義域的交集非空時，才能復合．
2．一個復合函數有不同的復合形式，要根據研究的需要進行選擇．
對點訓練 函數y＝e2x－1可以看成哪兩個函數的復合？
[解析]　函數y＝e2x－1可以看成函數y＝eu與函數u＝2x－1的復合．
題型二　復合函數的求導
典例2　求下列函數的導數：
(1)y＝(4－3x)2；
(2)y＝cos；
(3)y＝ln(4x－1)；
(4)y＝ex2.
[分析]　先分析每個復合函數的構成，再按照復合函數的求導法則進行求導．
[解析]　(1)設y＝u2，u＝4－3x，則yu′＝2u，ux′＝－3，于是yx′＝yu′·ux′＝－6(4－3x)＝18x－24，
即y′＝18x－24.
(2)設y＝cos u，u＝2x－，
則 yu′＝－sin u，ux′＝2，
于是yx′＝yu′·ux′＝－2sin，
即y′＝－2sin.
(3)設y＝ln u，u＝4x－1，則yu′＝，ux′＝4，
于是yx′＝yu′·ux′＝，
即y′＝.
(4)設y＝eu，u＝x2，則yu′＝eu，ux′＝2x，
于是yx′＝yu′·ux′＝ex2·2x，即y′＝2xex2.
[規律方法]　求復合函數導數的步驟
對點訓練 (1)函數y＝x2cos 2x的導數為( B )
A．y′＝2xcos 2x－x2sin 2x
B．y′＝2xcos 2x－2x2sin 2x
C．y′＝x2cos 2x－2xsin 2x
D．y′＝2xcos 2x＋2x2sin 2x
(2)若f(x)＝，且f ′(1)＝1，則a的值為( B )
A．1 B．2
C．3 D．4
(3)函數f(x)＝(2x＋1)5，則f ′(0)的值為_10__.
[解析]　(1)y′＝(x2)′cos 2x＋x2(cos 2x)′
＝2xcos 2x＋x2(－sin 2x)·(2x)′
＝2xcos 2x－2x2sin 2x.
(2)∵f ′(x)＝·(ax－1)′＝，
∴f ′(1)＝＝1，
解得a＝2.
(3)f ′(x)＝5(2x＋1)4·(2x＋1)′＝10(2x＋1)4，
∴f ′(0)＝10.
題型三　與復合函數有關的切線問題
典例3　(1)函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為( D )
A．0 B．
C． D．
(2)已知直線y＝x＋2與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a＝_3__.
[分析]　(1)先求出函數在切點處的導數值，即為切線的斜率，從而求得切線在此處的傾斜角．
(2)先設出切點坐標，再求函數在切點處的導數值，從而求得a的值．
[解析]　(1)∵f ′(x)＝，∴函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(1，f(1))處的切線的斜率k＝f ′(1)＝＝1.設函數f(x)＝ln(x2＋1)的圖象在點(1，f(1))處的切線的傾斜角為θ，則tan θ＝1，∴θ＝.
(2)設切點為(x0，y0)，
∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝(x＋a)′＝，
∴切線的斜率k＝＝1，
∴x0＋a＝1.
又∵y0＝ln(x0＋a)，∴y0＝0，
又∵y0＝x0＋2＝0，∴x0＝－2.∴a＝3.
[規律方法]　解決與復合函數有關的切線問題的關鍵有兩個：
(1)求復合函數的導數，這是正確解答的前提條件，要注意把復合函數逐層分解，求導時不要有遺漏．
(2)求切線方程，注意切線所過的點是否為切點．
對點訓練 已知f(x)為偶函數，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是_2x－y＝0__.
[解析]　設x>0，則－x<0，f(－x)＝ex－1＋x.
又f(x)為偶函數，f(x)＝f(－x)＝ex－1＋x.
所以當x>0時，f(x)＝ex－1＋x.
因此，當x>0時，f ′(x)＝ex－1＋1，f ′(1)＝e0＋1＝2.
則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線的斜率為f′(1)＝2，
所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.
易錯警示
對復合函數的求導不完全而致誤
在對復合函數求導時，恰當地選擇中間變量及分析函數的復合層次是關鍵．一般從最外層開始，由外及里，一層層地求導，最后要把中間變量變成自變量的函數．
典例4　函數y＝xe1－2x的導數為_(1－2x)e1－2x__.
[錯解]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x＝(1＋x)e1－2x.
[正解]　y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(－2)＝(1－2x)e1－2x.
[點評]　錯解中對e1－2x求導數，沒有按照復合函數的求導法則進行，導致求導不完全.
1.函數y＝(x2－1)n的復合過程正確的是( A )
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D．y＝(t－1)n，t＝x2－1
[解析]　將x2－1看作整體，記u＝x2－1，則y＝(x2－1)n由y＝un和u＝x2－1 復合而成．
2．已知f(x)＝ln(2x＋1)－ax，且f ′(2)＝－1，則a＝( A )
A. B．
C．－ D．－
[解析]　f ′(x)＝－a，
所以f ′(2)＝－a＝－1，解得a＝.
3．設f(x)＝cos 2x－3x，則f ′＝( B )
A．－5 B．－3
C．－4 D．－
[解析]　f ′(x)＝(cos 2x)′－3＝－2sin 2x－3，∴f ′＝－2sin π－3＝－3.
4．曲線f(x)＝e－2x＋3在(1，f(1))處的切線的斜率是_－2e__.
[解析]　f ′(x)＝e－2x＋3·(－2x＋3)′
＝－2e－2x＋3，
∴f ′(1)＝－2e，
∴所求切線的斜率k＝－2e.6．1　函數的單調性
學習目標
1．了解函數的單調性與導數的關系．
2．能利用導數研究函數的單調性．
3．會求函數的單調區間．
核心素養
1．借助對函數的單調性與導數的關系的探究，培養數學抽象與邏輯推理素養．
2．通過導數在研究函數的單調性中的應用，培養數學運算素養．
知識點 1　函數的單調性與導數
一般地，函數f(x)的單調性與導函數f ′(x)的正負之間具有如下關系：
單調遞增 在某個區間(a，b)上，如果_f_′(x)>0__，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞增
單調遞減 在某個區間(a，b)上，如果_f_′(x)<0__，那么函數y＝f(x)在區間(a，b)上單調遞減
想一想：
1．在某一區間上f ′(x)>0(或f ′(x)<0)是函數y＝f(x)在該區間上單調遞增(或單調遞減)的什么條件？
提示：充分不必要條件．
2．若在某個區間上有有限個(或無限個不連續)點使f ′(x)＝0，而其余點恒有f ′(x)>0(或f ′(x)<0)，該函數在這個區間上是否仍是單調遞增(或單調遞減)的？
提示：是．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)若在某個區間(a，b)內總有f ′(x)＝0，則函數是常函數．( √ )
提示： 由常函數的導數為0可知此說法正確．
(2)函數f(x)在定義域上都有f′(x)<0，則函數f(x)在定義域上單調遞減．( × )
提示： 如f(x)＝在定義域上都有f′(x)<0，但函數f(x)＝在定義域上不單調遞減．
(3)若函數f(x)的增區間是A，且f(x)在區間B上單調遞增，則A＝B.( × )
提示： 區間A和B應滿足B A.
(4)判斷函數單調性時，在區間內的個別點f′(x)＝0，不影響函數在此區間的單調性．( √ )
提示： 若在某區間上有有限個點使f′(x)＝0，其余的點恒有f′(x)>0，則f(x)仍為增函數(減函數的情形完全類似)．
2．函數f(x)＝3x－x3的單調遞增區間是( C )
A．(0，＋∞) B．(－∞，－1)
C．(－1,1) D．(1，＋∞)
[解析]　因為函數f(x)＝3x－x3，
所以f′(x)＝3－3x2＝－3(x＋1)(x－1)．
令f′(x)>0，解得－1所以函數y＝3x－x3的單調遞增區間是(－1,1)．
知識點 2　函數圖象的變化趨勢與導數值大小的關系
在某一范圍內一個函數f(x)導數的絕對值為|f′(x)|，則
|f′(x)| 函數值的變化 函數的圖象
越大 在這一_范圍__內變化得較快 比較“_陡峭__”(向上或向下)
越小 在這一范圍內變化得_較慢__ 比較“_平緩__”
練一練：
已知函數y＝f(x)的圖象是下列四個圖象之一，且其導函數y＝f ′(x)的圖象如圖所示，則該函數的圖象是( B )
[解析]　由導數的圖象可得，導函數f ′(x)的值在[－1,0]上逐漸增大，故函數f(x)在[－1,0]上增長速度逐漸增大，故函數f(x)的圖象是下凹型的．導函數f ′(x)的值在[0,1]上逐漸減小，故函數f(x)在[0,1]上增長速度逐漸減小，圖象是上凸型的，故選B.
題型探究
題型一　導數與原函數圖象的關系
典例1　(1)已知f(x)的導函數f ′(x)的圖象如圖所示，那么f(x)的圖象最有可能是圖中的( D )
(2)函數f(x)的定義域為[0,4]，函數f(x)與f′(x)的圖象如圖所示，則函數f(x)的單調遞增區間為_(2,4]__.
[解析]　(1)由題意可知，當x<0和x>2時，導函數f ′(x)<0，函數f(x)是減函數；當x∈(0,2)時，導函數f ′(x)>0，函數f(x)是增函數，故函數f(x)的圖象如圖D.
(2)若f′(x)的圖象為虛線，則f(x)的圖象為實線，由f′(x)>0，得x>3，則f(x)在(3,4]上單調遞增，與f(x)的實線圖象不符，故不成立；若f′(x)的圖象為實線，則f(x)的圖象為虛線，由f′(x)>0，得x>2，所以f(x)在(2,4]上單調遞增，與f(x)的虛線圖象相符，故成立，
綜上，f(x)在(2,4]上單調遞增．
[規律方法]　研究函數與導函數圖象之間關系的策略
(1)導函數的正負看原函數的增減
①觀察原函數的圖象，重在找出“上升”“下降”產生變化的點，分析函數值的變化趨勢；
②觀察導函數的圖象，重在找出導函數圖象與x軸的交點，分析導數的正負．
(2)導函數的絕對值大小決定原函數增減快慢．
某一范圍內導數的絕對值較大，那么函數在這個范圍內變化得較快，這時函數的圖象就比較“陡峭”(向上或向下)；反之，函數的圖象就比較“平緩”．
[提醒]　解決問題時，要分清是原函數圖象還是導函數圖象．
對點訓練 (1)(多選)設f′(x)是函數f(x)的導函數，將y＝f(x)和y＝f′(x)的圖象畫在同一個平面直角坐標系中，正確的是( ABC )
(2)已知函數y＝f(x)(x∈R)的圖象如圖所示，則不等式xf ′(x)>0的解集為 ∪(2，＋∞)　.
[解析]　(1)A，B，C均有可能；對于D，若C1為導函數，則y＝f(x)應為增函數，不符合；若C2為導函數，則y＝f(x)應為減函數，也不符合，D不可能．
(2)由y＝f(x)的圖象可知f(x)在和(2，＋∞)上單調遞增，在上單調遞減，
所以f′(x)>0的解集為∪(2，＋∞)，f′(x)<0的解集為，
由xf′(x)>0得或
所以xf′(x)>0的解集為∪(2，＋∞).
題型二　利用導數求函數的單調區間
典例2　(1)函數f(x)＝xex＋1的單調遞減區間是( C )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
(2)函數f(x)＝x－2sin x＋1在(0，π)上的單調遞增區間是( D )
A. B．
C. D．
[解析]　(1)f ′(x)＝(x＋1)ex，
當x<－1時，f ′(x)<0，函數單調遞減．
(2)f(x)＝x－2sin x＋1，令f ′(x)＝1－2cos x>0，
可得故f(x)在(0，π)上的單調遞增區間為.
[規律方法]　1.利用導數求函數f(x)的單調區間的一般步驟為：
(1)確定函數f(x)的定義域．
(2)求導數 f′(x)．
(3)在函數f(x)的定義域內解不等式f′(x)>0和f′(x)<0.
(4)根據(3)的結果確定函數f(x)的單調區間．
2．若y＝f(x)在(a，b)內可導，f′(x)≥0或f′(x)≤0且y＝f(x)在(a，b)內導數為0的點僅有有限個，則y＝f(x)在(a，b)內仍是單調函數，例如：y＝x3在R上f′(x)≥0，所以y＝x3在R上單調遞增．
對點訓練 求下列函數的單調區間：
(1)f(x)＝x3－3x＋1；
(2)f(x)＝x＋(b＞0)．
[解析]　(1)函數f(x)的定義域為R，
f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＞0，則3x2－3＞0.
即3(x＋1)(x－1)＞0，解得x＞1或x＜－1.
∴函數f(x)的單調遞增區間為(－∞，－1)和(1，＋∞)，
令f′(x)＜0，則3(x＋1)(x－1)＜0，解得－1＜x＜1.
∴函數f(x)的單調遞減區間為(－1,1)．
(2)函數f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f′(x)＝′＝1－，
令f′(x)＞0，則(x＋)(x－)＞0，
∴x＞，或x＜－.
∴函數的單調遞增區間為(－∞，－)和(，＋∞)．
令f′(x)＜0，則(x＋)(x－)＜0，
∴－＜x＜，且x≠0.
∴函數的單調遞減區間為(－，0)和(0，).
題型三　利用導數求含參數函數的單調性
典例3　討論函數f(x)＝ax2＋x－(a＋1)·ln x(a≥0)的單調性．
[解析]　函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f ′(x)＝ax＋1－＝.
①當a＝0時，f ′(x)＝，
由f ′(x)>0，得x>1，由f ′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數．
②當a>0時，f′(x)＝，
∵a>0，∴>0.
由f′(x)>0，得x>1，由f′(x)<0，得0∴f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數．
綜上所述，當a≥0時，f(x)在(0,1)內為減函數，在(1，＋∞)內為增函數．
[規律方法]　含有參數的函數單調性問題的處理方法
(1)在判斷含有參數的函數的單調性時，不僅要考慮到參數的取值范圍，而且要結合函數的定義域來確定f′(x)的符號，否則會產生錯誤．
(2)分類討論是把數學問題劃分為若干個局部問題，在每一個局部問題中，原先的不確定因素，就變成了確定性問題，當這些局部問題都解決了，整個問題就解決了．
對點訓練 求函數f(x)＝＋aln x(a∈R)的單調遞減區間．
[解析]　易得函數f(x)的定義域是(0，＋∞)，f′(x)＝－＋＝.
①當a≤0時，f′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上單調遞減．
②當a>0時，若0若x>，則f′(x)>0，
所以f(x)在上單調遞減，在上單調遞增．
綜上可知，當a≤0時，f(x)的單調遞減區間為(0，＋∞)，當a>0時，f(x)的單調遞減區間為.
題型四　已知函數的單調性，確定參數的取值范圍
典例4　若函數f(x)＝x3－x2＋(a－1)x＋1在區間(1,4)上是減函數，在區間(6，＋∞)上是增函數，試求實數a的取值范圍．
[分析]　根據函數的單調性與其導函數的正負關系進行求解．
[解析]　f′(x)＝x2－ax＋a－1，由題意知f′(x)≤0在區間(1,4)上恒成立，且f′(x)≥0在區間(6，＋∞)上恒成立．
由f′(x)≤0得x2－ax＋a－1≤0.
∵x∈(1,4)，∴x－1∈(0,3)，∴a≥＝x＋1.
∵x＋1∈(2,5)，而a≥x＋1恒成立，∴a≥5.
由f′(x)≥0得x2－ax＋a－1≥0.
∵x∈(6，＋∞)，∴x－1>5，
∴a≤＝x＋1.
∵x＋1∈(7，＋∞)，而a≤x＋1恒成立，∴a≤7.
經檢驗a＝5和a＝7都符合題意，
∴a的取值范圍是5≤a≤7.
[規律方法]　1.利用導數法解決取值范圍問題的兩個基本思路：
(1)將問題轉化為不等式在某區間上的恒成立問題，即f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立，利用分離參數或函數性質求解參數范圍，然后檢驗參數取“＝”時是否滿足題意．
(2)先令f′(x)>0(或 f′(x)<0)，求出參數的取值范圍后，再驗證參數取“＝”時f(x)是否滿足題意．
2．恒成立問題的重要思路
(1)m≥f(x)恒成立 m≥f(x)max.
(2)m≤f(x)恒成立 m≤f(x)min.
對點訓練 (1)若函數f(x)＝(x2－cx＋5)ex在區間 上單調遞增，則實數c的取值范圍是( B )
A．(－∞，2] B．(－∞，4]
C．(－∞，8] D．[－2,4]
(2)已知函數f(x)＝在上存在單調遞增區間，則實數b的取值范圍是( A )
A. B．(－∞，3)
C. D．(－∞，)
[解析]　(1)易得f ′(x)＝[x2＋(2－c)x－c＋5]ex.
∵函數f(x)在區間上單調遞增，等價于x2＋(2－c)x－c＋5≥0對任意x∈恒成立，
∴c≤對任意x∈恒成立．
∵x∈，∴＝x＋1＋≥4，當且僅當x＝1時等號成立，∴c≤4.
(2)易得f′(x)＝＋x－b＝.
根據題意，得f′(x)>0在上有解，令h(x)＝2x2－2bx＋1，
因為h(0)＝1>0，所以只需h(2)>0或h>0，
解得b<，故選A.
1.函數f(x)＝2x＋cos x在(－∞，＋∞)上( A )
A．是增函數 B．是減函數
C．單調性不確定 D．是奇函數
[解析]　f′(x)＝2－sin x>0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數．
2．函數y＝f(x)在定義域內可導，其函數圖象如圖所示，記y＝f(x)的導函數為y＝f′(x)，則不等式f′(x)≥0的解集為( C )
A.∪[2,3]
B.∪
C.∪[1,2]
D.∪∪
[解析]　由圖象可知在定義域內的遞增區間為，[1,2]，
則不等式f′(x)≥0的解集為∪[1,2]．
3．函數f(x)＝(x－4)e－x的單調遞增區間是( A )
A．(－∞，5) B．(5，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
[解析]　∵f(x)＝(x－4)e－x，
∴f′(x)＝e－x－(x－4)e－x＝e－x(5－x)．
由f′(x)>0得x<5，故選A.
4．已知函數f(x)＝在(－2，＋∞)內單調遞減，則實數a的取值范圍為 　.
[解析]　f ′(x)＝＝，
由函數f(x)在(－2，＋∞)內單調遞減知，f ′(x)≤0在(－2，＋∞)內恒成立，即≤0在(－2，＋∞)內恒成立，因此a≤.
又當a＝時，f(x)＝＝為常數函數，
所以不符合題意，所以a的取值范圍是.6．2　函數的極值
學習目標
1．通過實例了解極值的概念．
2．了解函數在某點取得極值的必要條件與充分條件．
3．會利用導數求函數的極大值、極小值．
核心素養
1．借助函數的導數與極值關系的探究，培養數學抽象與邏輯推理素養．
2．通過利用導數求函數的極大值、極小值，培養數學運算素養.
知識點 1　極值點與極值的概念
極值是函數的一種局部性質
(1)極大值：在包含x0的一個區間(a，b)內，函數y＝f(x)在任何不為x0的一點處的函數值都_小于__點x0處的函數值，稱x0為函數y＝f(x)的極大值點，其函數值f(x0)為函數的極大值．
(2)極小值：在包含x0的一個區間(a，b)內，函數y＝f(x)在任何不為x0的一點處的函數值都_大于__x0處的函數值．稱點x0為函數y＝f(x0)的極小值點，其函數值f(x0)為函數的極小值．函數的極大值點與極小值點統稱為_極值點__，極大值與極小值統稱為_極值__.
[提醒]　(1)極值點是指自變量x的值，即橫坐標，極值是指函數值y，即縱坐標．
(2)極值點一定在區間的內部，端點不可能為極值點．
想一想：
函數的極大值一定比極小值大嗎？
提示：不一定．
練一練：
1．函數y＝1＋3x－x3有( D )
A．極小值－2，極大值2
B．極小值－2，極大值3
C．極小值－1，極大值1
D．極小值－1，極大值3
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)．
令y′＝0得x1＝－1，x2＝1.
當x<－1時，y′<0，函數y＝1＋3x－x3在(－∞，－1)上單調遞減；當－10，函數y＝1＋3x－x3在(－1,1)上單調遞增；當x>1時，y′<0，函數y＝1＋3x－x3在(1，＋∞)上單調遞減．所以當x＝－1時，函數y＝1＋3x－x3有極小值－1；當x＝1時，函數y＝1＋3x－x3有極大值3.
2．下列函數中，存在極值的函數為( D )
A．y＝ex B．y＝ln x
C．y＝ D．y＝x2－2x
[解析]　A．因為函數y＝ex是實數集上的增函數，所以函數y＝ex沒有極值；B.因為函數y＝ln x是正實數集上的增函數，所以函數y＝ln x沒有極值；C.因為函數y＝在區間(0，＋∞)，(－∞，0)上是減函數，所以函數y＝沒有極值；D.因為y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以該函數在(1，＋∞)上是增函數，在(－∞，1)上是減函數，因此1是函數的極小值點，符合題意．
知識點 2　求函數y＝f(x)極值點的步驟
一般情況下，在極值點x0處，函數y＝f(x)的導函數 f ′(x0)＝0，因此可以通過如下步驟求出函數y＝f(x)的極值點．
(1)求出導數 f ′(x)．
(2)解方程 f ′(x)＝0.
(3)對于方程 f ′(x)＝0的每一個實數根x0分析 f ′(x)在x0附近的符號(即f(x)的單調性)確定極值點．
①若 f ′(x)在x0附近的符號“_左正右負__”，則x0為極大值點；
②若 f ′(x)在x0附近的符號“_左負右正__”，則x0為極小值點；
③若 f ′(x)在x0附近的符號“_相同__”，則x0不是極值點．設x0是f(x)的一個極值點，并求出了f(x)的導數 f ′(x)，則 f ′(x0)＝0，反之不一定成立．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)x＝0是函數y＝x3的極值點．( × )
(2)可導函數一定存在極值．( × )
(3)若f ′(x0)＝0，則x＝x0是函數y＝f(x)的極值點．( × )
(4)若x＝x0是可導函數y＝f(x)的極值點，則f ′(x0)＝0.( √ )
2．已知函數y＝3x－x3＋m的極大值為10，則m的值為_8__.
[解析]　y′＝3－3x2＝3(1＋x)(1－x)，令y′＝0得x1＝－1，x2＝1，經判斷知x＝1是極大值點，
故f(1)＝2＋m＝10，m＝8.
題型探究
題型一　求函數的極值(點)
典例1　(1)函數f(x)＝ln x－x有( B )
A．極小值為0，極大值為－1
B．極大值為－1，無極小值
C．極小值為－1，極大值為0
D．極小值為－1，無極大值
(2)(多選)設函數f(x)＝xln2x＋x的導函數為f′(x)，則( AD )
A．f′＝0
B.是f(x)的極值點
C．f(x)存在零點
D．f(x)在上單調遞增
[解析]　(1)由于f′(x)＝－1＝(x>0)，
令f′(x)>0，則0令f′(x)<0，則x>1，所以f(x)在(1，＋∞)上單調遞減；所以f(x)極大值為f(1)＝－1，無極小值．
(2)由題可知f(x)＝xln2x＋x的定義域為(0，＋∞)，對于A，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1，則f′＝ln2＋2ln＋1＝1－2＋1＝0，故A正確；對于B，D，f′(x)＝ln2x＋2ln x＋1＝(ln x＋1)2≥0，所以函數f(x)單調遞增，故無極值點，故B錯誤，D正確；對于C，f(x)＝xln2x＋x＝x(ln2x＋1)>0，故函數f(x)不存在零點，故C錯誤．
[規律方法]　利用導數求函數極值的步驟：
(1)確定函數的定義域．
(2)求導數 f′(x)．
(3)解方程 f′(x)＝0得方程的根．
(4)利用方程 f′(x)＝0的根將定義域分成若干個小開區間，列表，判定導函數在各個小開區間的符號．
(5)確定函數的極值，如果 f′(x)的符號在x0處由正(負)變負(正)，則f(x)在x0處取得極大(小)值．
對點訓練 (1) 當x＝1時，三次函數有極大值4，當x＝3時有極小值0，且函數過原點，則此函數是( B )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
(2)函數f(x)＝x3－3x2＋1的極小值點為_2__.
[解析]　(1)因為三次函數過原點，故可設為y＝x3＋bx2＋cx，所以y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1,3是y′＝0的兩個根，
所以即
所以y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，且當x＝1時，y極大值＝4，
當x＝3時，y極小值＝0，滿足條件．
(2)由f′(x)＝3x2－6x＝0，
解得x＝0或x＝2.
列表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
所以當x＝2時，f(x)取得極小值．
題型二　求含參數函數的極值
典例2　已知函數f(x)＝(x2＋ax－2a2＋3a)ex(x∈R)，當實數a≠時，求函數f(x)的單調區間與極值．
[解析]　f ′(x)＝[x2＋(a＋2)x－2a2＋4a]ex.
令f ′(x)＝0，解得x＝－2a或x＝a－2，
由a≠知－2a≠a－2.
分以下兩種情況討論：
①若a>，則－2a當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，－2a) －2a (－2a，a－2) a－2 (a－2，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
所以f(x)在(－∞，－2a)，(a－2，＋∞)上是增函數，在(－2a，a－2)上是減函數，函數f(x)在x＝－2a處取得極大值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a，函數f(x)在x＝a－2處取得極小值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2.
②若a<，則－2a>a－2.
當x變化時，f ′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，a－2) a－2 (a－2，－2a) －2a (－2a，＋∞)
f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ? 極大值 ? 極小值 ?
所以f(x)在(－∞，a－2)，(－2a，＋∞)上是增函數，在(a－2，－2a)上是減函數，函數f(x)在x＝a－2處取得極大值f(a－2)，且f(a－2)＝(4－3a)ea－2，函數f(x)在x＝－2a處取得極小值f(－2a)，且f(－2a)＝3ae－2a.
[規律方法]　求解析式中含有參數的函數極值時，有時需要用分類與整合的思想才能解決問題．討論的依據有兩種：一是看某數是否對f ′(x)的零點有影響，若有影響，則需要分類討論；二是看f ′(x)在其零點附近的符號的確定是否與參數有關，若有關，則需要分類討論．
對點訓練 已知函數f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x.討論函數f(x)的極值．
[解析]　由題意，函數f(x)＝ln x＋ax2＋(a＋1)x的定義域為(0，＋∞)，且f′(x)＝＋ax＋a＋1＝，
若a≥0，則當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，
故函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，函數f(x)無極值；若a<0，當x∈時，f′(x)>0；當x∈時，f′(x)<0，
故函數f(x)在上單調遞增，在上單調遞減，所以函數f(x)有極大值f＝ln－－1，無極小值．
綜上，當a≥0時，函數f(x)無極值；當a<0時，函數f(x)有極大值為ln－－1，無極小值.
題型三　利用函數極值求參數的值
典例3　已知函數f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1處取得極值，且f(1)＝－1.
(1)求常數a，b，c的值；
(2)判斷x＝±1是函數的極大值點還是極小值點，試說明理由，并求出極值．
[解析]　(1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
∵x＝±1是函數f(x)的極值點，
∴x＝±1是方程f′(x)＝3ax2＋2bx＋c＝0的兩根，
由根與系數的關系，得
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)，
當x<－1或x>1時，f ′(x)>0，
當－1∴函數f(x)在(－∞，－1)和(1＋∞)上是增函數，
在(－1,1)上是減函數，
∴當x＝－1時，函數取得極大值f(－1)＝1，
當x＝1時，函數取得極小值f(1)＝－1.
[規律方法]　已知函數極值，確定函數解析式中的參數時，注意以下兩點：
(1)根據極值點的導數為0和極值這兩個條件列方程組，利用待定系數法求解．
(2)因為導數值等于零不是此點為極值點的充要條件，所以利用待定系數法求解后必須驗證充分性．
對點訓練 若函數f(x)＝x3－3ax＋1在區間(0,1)內有極小值，則a的取值范圍為_(0,1)__.
[解析]　由f(x)＝x3－3ax＋1可得f′(x)＝3x2－3a，當a≤0時，f′(x)＝3x2－3a>0恒成立，所以f(x)在(0,1)上單調遞增，無極值；
當a>0時，令f′(x)＝3x2－3a>0可得x>或x<－；令f′(x)＝3x2－3a<0可得－0時，f(x)＝x3－3ax＋1在x＝處取得極小值，若函數f(x)＝x3－3ax＋1在區間(0,1)內有極小值，則0<<1，解得0綜上所述， a的取值范圍為(0,1)．
易錯警示
忽視極值存在的條件致誤
典例4　已知函數f(x)＝x3＋6mx2＋4nx＋8m2在x＝－2處取得極值，且極值為0，求m＋4n的值．
[誤區警示]　可導函數的極值點一定是導數為零的點．在某點導數為零僅是該點為極值點的必要條件，其充要條件是該點兩側的導數異號．
[正解]　f ′(x)＝3x2＋12mx＋4n，
依題意有
即
解得或
當m＝1，n＝3時，f ′(x)＝3x2＋12x＋12＝3(x＋2)2≥0，
所以f(x)在R上單調遞增，無極值，不符合題意；
當m＝2，n＝9時，f ′(x)＝3x2＋24x＋36＝3(x＋2)(x＋6)，當－6－2時f ′(x)>0，
故f(x)在x＝－2處取得極值，符合題意．
綜上所述，m＝2，n＝9，所以m＋4n＝38.
[點評]　由于“f ′(x0)＝0”是“f(x0)為極值”的必要不充分條件，因此由f ′(x0)＝0求得m，n的值后，要驗證在x＝x0左、右兩側導數值的符號是否相反，才能確定是否真正在點x0處取得極值，忽視了這一檢驗過程，就會導致錯解．
1.函數f(x)的定義域為開區間(a，b)，其導函數f ′(x)在(a，b)內的圖象如圖所示，則函數f(x)在開區間(a，b)內極小值點的個數為( A )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　由圖象可知，滿足f ′(x)＝0且導函數函數值左負右正的只有一個，故f(x)在(a，b)內的極小值點只有一個．
2．(多選)對于函數f(x)＝ex(x－1)2(x－2)，以下選項正確的是( BC )
A．有2個極大值 B．有2個極小值
C．1是極大值點 D．1是極小值點
[解析]　由題得f′(x)＝ex[(x－1)2(x－2)＋2(x－1)(x－2)＋(x－1)2]＝ex(x＋)(x－)(x－1)．
令f′(x)>0，解得x∈(－，1)∪(，＋∞)；
令f′(x)<0，解得x∈(－∞，－)∪(1，)，
即x∈(－，1)，(，＋∞)，f(x)單調遞增，
x∈(－∞，－)，(1，)，f(x)單調遞減．
于是±是極小值點，1是極大值點，則f(x)有2個極小值，1是極大值點．
3．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有極大值和極小值，則a的取值范圍為( D )
A．(－1,2)
B．(－3,6)
C．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－3)∪(6，＋∞)
[解析]　f ′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，
∵f(x)既有極大值又有極小值，
∴方程3x2＋2ax＋a＋6＝0有兩個不相等的實數根，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)>0，
解得a>6或a<－3.
4．如圖是函數y＝f(x)的導函數y＝f′(x)的圖象，對此圖象，有如下結論：
①在區間(－2,1)內f(x)是增函數；
②在區間(1,3)內f(x)是減函數；
③x＝2時，f(x)取到極大值；
④在x＝3時，f(x)取到極小值．
其中正確的是_③__(將你認為正確的序號填在橫線上)．
[解析]　由f′(x)的圖象可見在和(2,4)上f′(x)<0，f(x)單調減，在和(4，＋∞)上f′(x)>0，f(x)單調增，∴只有③正確．6．3　函數的最值
學習目標
1．能夠通過函數的圖象區分函數的極值與最值．
2．會求閉區間上函數的最大值、最小值．
核心素養
1．結合實例培養學生的直觀想象素養．
2．通過求閉區間上函數的最大值、最小值，培養數學運算素養.
知識點 1　最值點
(1)最大值點：函數y＝f(x)在區間[a，b]內的最大值點x0指的是：函數f(x)在這個區間內所有點處的函數值都_不超過__ f(x0)．
(2)最小值點：函數y＝f(x)在區間[a，b]內的最小值點x0指的是：函數f(x)在這個區間內所有點處的函數值都_不小于__ f(x0)．
(3)函數的_最值__或在極值點(也是導數的零點)取得，或者在區間的端點取得．
練一練：
設f(x)是區間[a，b]上的連續函數，且在(a，b)內可導，則下列結論中正確的是( C )
A．f(x)的極值點一定是最值點
B．f(x)的最值點一定是極值點
C．f(x)在區間[a，b]上可能沒有極值點
D．f(x)在區間[a，b]上可能沒有最值點
[解析]　根據函數的極值與最值的概念知，f(x)的極值點不一定是最值點，f(x)的最值點不一定是極值點，可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數f(x)在區間[a，b]上單調，則函數f(x)在區間[a，b]上沒有極值點，所以C正確．
知識點 2　最值
函數的_最大值__與_最小值__統稱為函數的最值．
想一想：
函數的極值與最值有何區別？
提示：極值是函數在極值點的一個小領域的性質，最值是函數在定義域上的性質．
練一練：
1．思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)一般地，連續函數f(x)在[a，b]上既有最大值，又有最小值．( √ )
(2)函數的極值可以有多個，但最大(小)值最多只能有一個．( √ )
(3)最大(小)值一定是函數的極大(小)值．( × )
(4)極大(小)值一定是函數的最大(小)值．( × )
2．函數f(x)＝x＋在區間[－3，－1]上的最大值為( A )
A．－2 B．－3
C．－ D．－
[解析]　f ′(x)＝1－，令f ′(x)＝0得，x＝－，
當－3≤x≤－時， f ′(x)≥0，函數f(x)單調遞增；
當－≤x≤－1時， f ′(x)≤0，函數f(x)單調遞減，
所以，函數f(x)的最大值是f(－)＝－2.
題型探究
題型一　求函數的最值
典例1　求下列各函數的最值．
(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
[解析]　(1)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，
∵f′(x)在[－1,1]內恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上為增函數．故當x＝－1時，f(x)min＝－12；
當x＝1時，f(x)max＝2.
即f(x)的最小值為－12，最大值為2.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，又x∈[0,2π]，解得x＝或x＝，計算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f＝＋，f＝－.所以當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0；當x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π.
[規律方法]　求函數最值的四個步驟：第一步求函數的定義域；第二步求f ′(x)，解方程f ′(x)＝0；第三步列出關于x，f(x)，f ′(x)的變化表；第四步求極值、端點值，確定最值．
特別警示：不要忽視將所求極值與區間端點的函數值比較．
對點訓練 求下列函數的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝e－x－ex，x∈[0，a]，a為正實數．
[解析]　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表
x －2 (－2,0) 0 (0,2) 2 (2,4) 4
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) －37 ? 極大值3 ? 極小值－5 ? 35
∴當x＝4時， f(x)取最大值35；
當x＝－2時， f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值為35，最小值為－37.
(2)f′(x)＝′－(ex)′＝－－ex＝－.
當x∈[0，a]時，f′(x)<0恒成立，
即f(x)在[0，a]上是減函數．
故當x＝a時，f(x)有最小值f(a)＝e－a－ea；
當x＝0時，f(x)有最大值f(0)＝e－0－e0＝0.
即f(x)的最小值為e－a－ea，最大值為0.
題型二　含參數的函數最值問題
典例2　已知函數f(x)＝ln x－ax2.
(1)討論f(x)的單調性；
(2)當a>0時，求f(x)在區間上的最大值．
[解析]　(1)由題意得： f(x)的定義域為(0，＋∞)，
f′(x)＝－2ax＝，
①當a≤0時，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；
②當a>0時，令f′(x)＝0得：x＝，
列表如下：
x
f′(x) ＋ 0 －
f(x) ? 極大值 ?
所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減；綜上所述：當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；當a>0時，f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
(2)當a>0時，由(1)知：①當≤1，即a≥時， f(x)在上單調遞減，則f(x)max＝f(1)＝－a；
②當1<<2，即所以f(x)max＝f＝－ln(2a)－；
③當≥2，即0綜上所述：f(x)max＝
[規律方法]　1.由于參數的取值范圍不同會導致函數在所給區間上的單調性的變化，從而導致最值的變化，故含參數時，需注意是否分類討論．
2．已知函數最值求參數，可先求出函數在給定區間上的極值及函數在區間端點處的函數值，通過比較它們的大小，判斷出哪個是最大值，哪個是最小值，結合已知求出參數，進而使問題得以解決．
對點訓練 已知函數g(x)＝ex－2ax－b，求g(x)在[0,1]上的最小值．
[解析]　因為g′(x)＝ex－2a，x∈[0,1]，ex∈[1，e]，所以
①若a≤，則2a≤1，g′(x)＝ex－2a≥0，
所以函數g(x)在區間[0,1]上單調遞增，g(x)min＝g(0)＝1－b.
②若于是當0當ln(2a)0，
所以函數g(x)在區間[0，ln(2a)]上單調遞減，在區間[ln(2a)，1]上單調遞增，
g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2aln(2a)－b.
③若a≥，則2a≥e，g′(x)＝ex－2a≤0，
所以函數g(x)在區間[0,1]上單調遞減，
g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
綜上所述，當a≤時，g(x)在區間[0,1]上的最小值為g(x)min＝g(0)＝1－b；
當當a≥時，g(x)在區間[0,1]上的最小值為g(x)min＝g(1)＝e－2a－b.
題型三　由函數的最值求參數的值或范圍問題
典例3　已知函數f(x)＝ax3－6ax2＋b，是否存在實數a，b，使f(x)在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由．
[分析]　若存在a，b滿足題設，則可利用導數求最值，列出關于a，b的方程組，從而解出a，b的值．求極值時，要注意對a的符號進行分類討論，否則容易漏解．
[解析]　存在．依題意，顯然a≠0，f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)．
令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)．
①若a>0，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f′(x) ＋ ＋ 0 － －
f(x) －7a＋b ? 極大值 ? －16a＋b
所以當x＝0時，f(x)取得最大值，
所以f(0)＝b＝3.
因為f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，
所以f(－1)>f(2)，
所以當x＝2時，f(x)取得最小值，
即－16a＋3＝－29，解得a＝2.
②若a<0，當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x －1 (－1,0) 0 (0,2) 2
f ′(x) － － 0 ＋ ＋
f(x) －7a＋b ? 極小值 ? －16a＋b
所以當x＝0時，f(x)取得最小值，
所以f(0)＝b＝－29.
因為f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，
所以f(2)>f(－1)，
所以當x＝2時，f(x)取得最大值，
即－16a－29＝3，解得a＝－2.
綜上所述，存在符合條件的a，b，且a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
[規律方法]　由函數的最值來確定參數的值或取值范圍是利用導數求函數最值問題的逆向運用，這類問題的解題步驟：
(1)求導數f′(x)，并求極值．
(2)利用單調性，將極值與端點處的函數值進行比較，確定函數的最值．若參數的變化影響著函數的單調性，要對參數進行分類討論．
(3)利用最值列關于參數的方程(組)，解方程(組)即可．
對點訓練 已知f(x)＝ln x＋a(1－x)．
(1)討論f(x)的單調性；
(2)當f(x)有最大值，且最大值大于2a－2時，求a的取值范圍．
[解析]　(1)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－a，若a≤0，則f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上單調遞增；若a>0，則當x∈時f′(x)>0，當x∈時f′(x)<0，
所以f(x)在上單調遞增，在上單調遞減．
(2)由(1)知當a≤0時，f(x)在(0，＋∞)上無最大值；當a>0時f(x)在x＝取得最大值，最大值為f＝ln＋a＝－ln a＋a－1.因此 f>2a－2 ln a＋a－1<0.令g(a)＝ln a＋a－1，則g(a)在(0，＋∞)上單調遞增，g(1)＝0，于是，當01時，g(a)>0，因此a的取值范圍是(0,1)．
易錯警示
沒有準確把握條件致誤
典例4　設l為曲線C：y＝在點(1,0)處的切線．
(1)求l的方程；
(2)證明：除切點(1,0)之外，曲線C在直線l的下方．
[錯解]　(1)設f(x)＝，則f′(x)＝.所以f′(1)＝1.所以l的方程為y＝x－1.
(2)證明：由(1)知y＝x－1是曲線f(x)＝在點(1,0)處的切線，又當x＝2時，有f(2)＝<1，故切線l上的對應點(2,1)，在曲線C上的點的上方，∴曲線C上除切點(1,0)外都在曲線l下方．
[誤區警示]　(1)正確；(2)中錯誤地認為直線l與曲線C相切，則C上所有點都在直線l的同側，從而導致解答錯誤．錯因是受直線與二次曲線相切的遷移影響，沒有準確地理解導數的幾何意義所致．
[正解]　(1)設f(x)＝，則f′(x)＝.
所以f′(1)＝1.所以l的方程為y＝x－1.
(2)證明：令g(x)＝x－1－f(x)，則除切點之外，曲線C在直線l的下方等價于g(x)>0( x>0，x≠1)．
g(x)滿足g(1)＝0，且g′(x)＝1－f′(x)＝.
當0當x>1時，x2－1>0，ln x>0，所以g′(x)>0，故g(x)單調遞增．
所以，g(x)>g(1)＝0( x>0，x≠1)．所以除切點之外，曲線C在直線l的下方．
[點評]　由直線與曲線相切的定義知，直線l與曲線C相切于某點P是一個局部定義，當l與C切于點P時，不能保證l與C無其他公共點，有可能還有其他切點，也有可能還有其他交點.
1.函數f(x)＝x3－3x2－9x＋6在區間[－4,4]上的最大值為( A )
A．11 B．－70
C．－14 D．21
[解析]　函數f(x)＝x3－3x2－9x＋6的導數為f ′(x)＝3x2－6x－9，
令f ′(x)＝0得x＝－1或x＝3，
由f(－4)＝－70；f(－1)＝11；
f(3)＝－21；f(4)＝－14；
所以函數y＝x3－3x2－9x＋6在區間[－4,4]上的最大值為11.
2．函數y＝xln x的最小值為( A )
A．－ B．－e
C．e2 D．－
[解析]　因為y＝xln x，定義域是(0，＋∞)，
所以y′＝1＋ln x，令y′>0，解得：x>，
令y′<0，解得：0所以函數在上遞減，在上遞增，
故x＝時，函數取最小值－.
3．使函數f(x)＝x＋cos x在上取得最大值的x為( B )
A．0 B．
C． D．
[解析]　因為f(x)＝x＋cos x，
所以f′(x)＝1－sin x.
因為x∈，
由f′(x)>0得x∈，由f′(x)<0得x∈，
所以f(x)在上單調遞增，f(x)在上單調遞減，所以f(x)在上取得最大值的x為，故A，C，D錯誤，B正確．
4．已知函數f(x)＝sin x－2x－a，若f(x)在[0，π]上的最大值為－1，則實數a的值是_1__.
[解析]　由f(x)＝sin x－2x－a，
得f ′(x)＝cos x－2<0，
所以函數f(x)在[0，π]上單調遞減，
所以f(x)的最大值是f(0)＝－a＝－1，故a＝1.7．1　實際問題中導數的意義
7．2　實際問題中的最值問題
學習目標
1．體會導數在解決實際問題中的作用．
2．能利用導數解決簡單的實際問題．
核心素養
通過導數在解決實際問題中的應用，培養數學建模及數學運算素養.
知識點 1　實際問題中導數的意義
(1)功與功率：在物理學中，通常稱力在單位時間內做的功為功率．它的單位是瓦特．
(2)降雨強度：在氣象學中，通常把單位時間內的降雨量稱作降雨強度，它是反映一次降雨大小的重要指標．
(3)邊際成本：在經濟學中，通常把生產成本y關于產量x的函數y＝f(x)的導函數稱為邊際成本，邊際成本f′(x0)指的是當產量為x0時，生產成本的增加速度也就是當產量為x0時，每增加一個單位的產量，需增加f′(x0)個單位的成本．
練一練：
1．一質點的運動方程為s＝5－3t2，則該質點在t＝2時的速度等于( A )
A．－12 B．12
C．2 D．－7
[解析]　因為s′＝－6t，所以s′(2)＝－12.
2．一次降雨過程中，降雨量y是時間t(單位：h)的函數，用y＝f(t)表示，則f′(10)表示( A )
A．t＝10時的降雨強度
B．t＝10時的降雨量
C．10小時的平均降雨量
D．t＝10時的溫度
[解析]　f′(t)表示t時刻的降雨強度．
知識點 2　最優化問題
在實際問題中，經常會遇到解決一些如面積最小，體積最大，成本最低，時間最少等問題，這些問題通稱為最優化問題，導數是解決最優化問題的一個重要工具．
想一想：
用導數求解生活中的優化問題時，應注意哪些問題？
提示：(1)在求實際問題的最大(小)值時，一定要考慮實際問題的意義，不符合實際意義的值應舍去．
(2)在解決實際優化問題時，不僅要注意將問題中涉及的變量關系用函數關系表示，還應確定出函數關系式中自變量的定義區間．
(3)在實際問題中，有時會遇到函數在區間內只有一個點使f ′(x)＝0的情形，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道這就是最大(小)值．
練一練：
某工廠要建造一個長方體狀的無蓋箱子，其容積為48 m3，高為3 m，如果箱底每平方米的造價為15元，箱壁每平方米的造價為12元，則箱子的最低總造價為( D )
A．900元 B．840元
C．818元 D．816元
[解析]　設箱底一邊的長度為x m，箱子的總造價為y元，根據題意，得y＝15×＋12×2＝240＋72(x>0)，y′＝72，令y′＝0解得x＝4或x＝－4(舍去)，當04時，y′>0.
故當x＝4時，y取得最小值為816.
題型探究
題型一　實際問題中導數的意義
典例1　一輛正在加速行駛的汽車在5 s內速度從0 km/h提高到了90 km/h，如下表給出了它在不同時刻的速度，為了方便起見，已將速度單位轉化成了m/s.時間單位為s.
時間t/s 0 1 2 3 4 5
速度v(m/s) 0 9 15 21 23 25
(1)分別計算當t從0 s變到1 s，從3 s變到5 s時，速度v關于時間t的平均變化率，并解釋它們的實際意義；
(2)根據上面的數據可以得到速度v關于時間t的函數，近似的表示式為v＝f(t)＝－t2＋10t.求f′(1)，并解釋它的實際意義．
[解析]　(1)當t從0 s變到1 s時，＝＝9 m/s2，所以速度v關于時間t的平均變化率為9 m/s2.
當t從3 s變到5 s時，＝＝2 m/s2，所以速度v關于時間t的平均變化率為2 m/s2.
它們分別表示在相應的時間內，每經過1 s速度增加9 m/s和2 m/s也就是加速度分別為9 m/s2和2 m/s2.
(2)∵f(t)＝－t2＋10t，∴f′(t)＝－2t＋10，
∴f′(1)＝8 m/s2，其實際意義是在t＝1 s這一時刻每經過1 s汽車的速度增加8 m/s.即這一時刻汽車的加速度為8 m/s2.
[規律方法]　在物理中速度是路程關于時間的導數，加速度是速度關于時間的導數，線密度是質量關于長度的導數，功率是功關于時間的導數．
對點訓練 某河流在x min內流過的水量為y m3，y是x的函數，且y＝f(x)＝.
(1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率是多少？
(2)求f′(27)，并解釋它的實際意義．
[解析]　(1)當x從1變到8時，y關于x的平均變化率為 ＝＝(m3/min)．
(2)f′(x)＝，于是f′(27)＝＝(m3/min)，實際意義為當時間為27 min時，水流量增加的瞬時速度為 m3/min，也就是當時間為27 min時，每增加1 min，水流量增加 m3.
題型二　利用導數解決成本最低問題
典例2　某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒，現準備在該廠附近建一職工宿舍，并對宿舍進行防輻射處理，建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠的距離有關．若建造宿舍的所有費用p(萬元)與宿舍到工廠的距離x(km)的關系為p＝(2≤x≤8)．為了交通方便，工廠與宿舍之間還要修一條簡易便道，已知修路的成本為每千米5萬元，工廠一次性補貼職工交通費(x2＋25)萬元．設f(x)為建造宿舍、修路費用與給職工的補貼之和．
(1)求f(x)的解析式；
(2)宿舍應建在離工廠多遠處，可使總費用f(x)最小？并求最小值．
[解析]　(1)由題意，得f(x)＝＋5x＋(x2＋25)，
整理，得f(x)＝(x＋5)2＋(2≤x≤8)．
(2)f′(x)＝(x＋5)－＝.
令f′(x)>0，得x>5，令f′(x)<0，得x<5，
所以f(x)在[2,5)上單調遞減，在(5,8]上單調遞增．
故當x＝5時，f(x)取得最小值，為150.
答：宿舍應建在離工廠5 km處，可使總費用f(x)最小，最小值為150萬元．
[規律方法]　解決優化問題應注意兩點：
(1)在列函數解析式時，要注意實際問題中變量的取值范圍，即函數的定義域．
(2)利用導數的方法解決實際問題，當在定義區間內只有一個點使f′(x)＝0時，如果函數在這點有極大(小)值，那么不與端點值比較，也可以知道在這個點取得最大(小)值．
對點訓練 甲、乙兩地相距400千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過100千米/時，已知該汽車每小時的運輸成本P(元)關于速度v(千米/時)的函數關系是P＝v4－v3＋15v.
(1)求全程運輸成本Q(元)關于速度v的函數解析式；
(2)為使全程運輸成本最少，汽車應以多大速度行駛？并求此時運輸成本的最小值．
[解析]　(1)Q＝P·
＝·
＝·400
＝－v2＋6 000(0(2)Q′＝－5v，
令Q′＝0，則v＝0(舍去)或v＝80，
當0當800，
所以v＝80千米/時時，全程運輸成本取得極小值，即最小值，且Qmin＝Q(80)＝(元)．
綜上，汽車以80千米/時速度行駛，可使全程運輸成本最少，運輸成本最小值為元.
題型三　利用導數解決利潤最大問題
典例3　從2023年1月份起的x個月，某商場顧客對某商品的需求總量p(x)(單位：件)與x的關系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(其中x∈N＋且x≤12)，該商品第x個月的進貨單價q(x)(單位：元)與x的近似關系是
q(x)＝
(1)寫出2023年第x個月的需求量f(x)(單位：件)與x的函數關系式；
(2)該商品每件的售價為185元，若不計其他費用且每月都能滿足市場需求，試問該商場2023年第幾個月銷售該商品的月利潤g(x)最大，最大月利潤為多少元？
[解析]　(1)當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37，
當2≤x≤12且x∈N＋時，f(x)＝p(x)－p(x－1)
＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x.
經驗證x＝1也符合上式，故f(x)＝－3x2＋40x(x∈N＋且1≤x≤12)．
(2)該商場第x個月銷售該商品的月利潤為
g(x)＝
即g(x)＝
當x∈N＋且1≤x≤6時，g′(x)＝18x2－370x＋1 400，
令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)，
∴當x∈N＋且1≤x≤6時，g(x)max＝g(5)＝3 125.
當x∈N＋且7≤x≤12時，g(x)＝－480x＋6 400單調遞減，
故g(x)max＝g(7)＝3 040<3 125.
答：該商場2023年第5個月的月利潤最大，最大月利潤為3 125元．
[規律方法]　解決利潤最大問題的思路及注意點：
(1)利潤最大問題是生活中常見的一類問題，一般根據“利潤＝收入－成本”建立函數關系式，再利用導數求最大值．
(2)求解此類問題需注意兩點：
①售價要大于或等于成本，否則就會虧本；②銷量要大于0，否則不會獲利．
對點訓練 某中學2022級高一年級一個學習興趣小組進行社會實踐活動，決定對某商場銷售的商品A進行市場銷售量調研，通過對該商品一個階段的調研，發現該商品每日的銷售量g(x)(單位：百件)與銷售價格x(元/件)近似滿足關系式g(x)＝＋2(x－5)2，其中2(1)求函數g(x)的解析式；
(2)若該商品A的成本為2元/件，根據調研結果請你試確定該商品銷售價格的值，使該商場每日銷售該商品所獲得的利潤(單位：百元)最大．
[解析]　(1)由題意，10＝＋2(3－5)2，
解得a＝2，故g(x)＝＋2(x－5)2(2(2)設商場每日銷售該商品所獲得的利潤為y＝h(x)＝(x－2)g(x)＝2＋2(x－5)2(x－2)(2x (2,3) 3 (3,5)
y′ ＋ 0 －
y ? 極大值 ?
由表可得，x＝3是函數h(x)在區間(2,5)內的極大值點，也是最大值點，所以該商品銷售價格的值為3元/件時，該商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大．
易錯警示
忽視實際應用問題中的定義域而致誤
典例4　現有一批貨物由海上A地運往B地，已知該輪船的最大航行速度為每小時30 n mile，A地與B地之間的航行距離約為500 n mile，每小時的運輸成本由燃料費和其余費用組成，輪船每小時的燃料費與輪船速度的平方成正比(比例系數為0.6)，其余費用為每小時960元．
(1)把全程運輸成本y表示為速度x的函數；
(2)為了使全程運輸成本最小，輪船應以多大速度行駛？
[誤區警示]　本題最易出現的錯誤是認為當x＝40時函數取得極小值，也是最小值，但實際上題目中給出了輪船的最大航行速度，因此x＝40是取不到的．
[解析]　(1)依題意得y＝(960＋0.6x2)＝＋300x，函數的定義域為(0,30]，
即y＝＋300x(0(2)∵y＝＋300x(0∴y′＝－＋300.
令y′＝0，解得x＝40或x＝－40(舍去)．
∵函數的定義域為(0,30]，當0∴函數y＝＋300x在區間(0,30]上單調遞減，
∴當x＝30時，函數y＝＋300x取得最小值，
∴為了使全程運輸成本最小，輪船應以每小時30 n mile的速度行駛．
1.某旅游者爬山的高度h(單位：m)關于時間t(單位：h)的函數關系式是h＝－100t2＋800t，則他在t＝2 h這一時刻的瞬時速度是( C )
A．500 m/h B．1 000 m/h
C．400 m/h D．1 200 m/h
[解析]　∵h′＝－200t＋800，∴當t＝2 h時，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．
2．已知某生產廠家的年利潤y(單位：萬元)與年產量x(單位：萬件)的函數關系式為y＝－x3＋81x－234，則使該生產廠家獲取最大年利潤的年產量為( C )
A．13萬件 B．11萬件
C．9萬件 D．7萬件
[解析]　∵y＝－x3＋81x－234，∴y′＝－x2＋81(x>0)．
令y′＝0得x＝9；令y′<0得x>9；令y′>0得0∴函數在(0,9)上單調遞增，在(9，＋∞)上單調遞減，
∴當x＝9時，函數取得最大值．故選C.
3．某產品的銷售收入y1(萬元)是產量x(千臺)的函數，y1＝17x2(x>0)，生產成本y2(萬元)是產量x(千臺)的函數，y2＝2x3－x2(x>0)，為使利潤最大，應生產_6__千臺．
[解析]　設利潤為y，則y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x>0)，所以y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．令y′＝0，解得x＝0或x＝6，經檢驗知x＝6既是函數的極大值點又是函數的最大值點．
4．某公司租地建倉庫，每月土地占用費y1(萬元)與倉庫到車站的距離成反比，而每月庫存貨物的運費y2(萬元)與到車站的距離成正比，如果在距離車站10千米處建倉庫，y1和y2分別為2萬元和8萬元．那么，要使這兩項費用之和最小，倉庫應建在離車站_5__千米處.
[解析]　設倉庫與車站相距x千米，依題意可設每月土地占用費y1＝，每月庫存貨物的運費y2＝k2x，其中x是倉庫到車站的距離，k1，k2是比例系數，于是由2＝得k1＝20；
由8＝10k2得k2＝.
所以兩項費用之和為y＝＋(x>0)，y′＝－＋，令y′＝0，得x＝5或x＝－5(舍去)．
當05時，y′>0.所以當x＝5時，y取得極小值，也是最小值．所以當倉庫建在離車站5千米處時，兩項費用之和最小．§8　數學探究活動(二)：探究函數性質
學習目標
1．能通過類比一次、二次函數圖象與性質的探究，探究三次函數的圖象與性質．
2．能利用導數分析三次函數的圖象與性質．
核心素養
通過應用導數分析三次函數的圖象與性質，培養直觀想象、邏輯推理及數學運算素養．
題型探究
題型一　三次函數的零點問題
典例1　(1)若x3＋ax2＋1＝0有一個實數根，則實數a的取值范圍為 (，＋∞)　；
(2)若x3＋ax＋1＝0有兩個不同的實數根，則實數a的取值范圍為 　.
[解析]　(1)令f(x)＝x3＋ax2＋1，則f ′(x)＝x2＋ax.由f(x)＝0有一個實數根，得Δ≤0(Δ是方程f ′(x)＝0的根的判別式)或f(x1)·f(x2)>0(x1，x2是f(x)的極值點)．
①由Δ≤0，得a＝0；
②令f ′(x)＝0，得x1＝0，x2＝－a(a≠0)，則f(x1)·f(x2)＝－a3＋a3＋1>0，即a3>－1，所以a>，且a≠0.綜上，實數a的取值范圍是(，＋∞)．
(2)令f(x)＝x3＋ax＋1，則f ′(x)＝x2＋a.
由f(x)＝0有兩個不同的實數根，得
由Δ>0，得a<0，令f ′(x)＝0，得x1＝，x2＝－，
所以f(x1)＝()3＋a＋1＝－＋1，
f(x2)＝(－)3－a＋1＝＋1，
則f(x1)·f(x2)＝＝1－(－a)3＝0，
解得a＝－.
綜上，實數a的取值范圍為.
對點訓練 設x3＋ax＋b＝0，其中a，b均為實數．下列條件中，使得該三次方程僅有一個實根的是_①③④⑤__.(寫出所有正確條件的編號)
①a＝－3，b＝－3；②a＝－3，b＝2；③a＝－3，b>2；④a＝0，b＝2；⑤a＝1，b＝2.
[解析]　方法一：令f(x)＝x3＋ax＋b，則f ′(x)＝3x2＋a.
對于①，由a＝b＝－3，得f(x)＝x3－3x－3，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝－1<0，f(x)極小值＝f(1)＝－5<0，函數f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；
對于②，由a＝－3，b＝2，得f(x)＝x3－3x＋2，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝4>0，f(x)極小值＝f(1)＝0，函數f(x)的圖象與x軸有兩個交點，故x3＋ax＋b＝0有兩個實根；
對于③，由a＝－3，b>2，得f(x)＝x3－3x＋b，f ′(x)＝3(x＋1)(x－1)，f(x)極大值＝f(－1)＝2＋b>0，f(x)極小值＝f(1)＝b－2>0，函數f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；
對于④，由a＝0，b＝2，得f(x)＝x3＋2，f ′(x)＝3x2≥0，f(x)在R上單調遞增，函數f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根；
對于⑤，由a＝1，b＝2，得f(x)＝x3＋x＋2，f ′(x)＝3x2＋1>0，f(x)在R上單調遞增，函數f(x)的圖象與x軸只有一個交點，故x3＋ax＋b＝0僅有一個實根．
方法二：根據題意，直線y＝－b和函數f(x)＝x3＋ax的圖象有且僅有一個公共點．先考慮a＝－3的情形，此時f ′(x)＝3x2－3，于是f(x)在x＝－1處取得極大值2，在x＝1處取得極小值－2，如圖所示．
于是當b<－2或b>2時符合題意，故①③符合題意．
再考慮a≥0的情形，此時f ′(x)＝3x2＋a≥0，f(x)單調遞增，且值域為R，必然符合題意，故④⑤符合題意．
題型二　與最值有關的恒成立問題
典例2　設函數f(x)＝tx2＋2t2x＋t－1(x∈R，t>0)．
(1)求f(x)的最小值h(t)；
(2)若h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，求實數m的取值范圍．
[解析]　(1)∵f(x)＝t(x＋t)2－t3＋t－1(x∈R，t>0)，
∴當x＝－t時，f(x)取最小值f(－t)＝－t3＋t－1，
即h(t)＝－t3＋t－1(t>0)．
(2)令g(t)＝h(t)－(－2t＋m)＝－t3＋3t－1－m，
由g′(t)＝－3t2＋3＝0得t＝1，t＝－1(不合題意，舍去)．
當t變化時，g′(t)，g(t)的變化情況如下表：
t (0,1) 1 (1,2)
g′(t) ＋ 0 －
g(t) 單調遞增 1－m 單調遞減
∴對t∈(0,2)，當t＝1時，g(t)max＝1－m，
h(t)<－2t＋m對t∈(0,2)恒成立，
也就是g(t)<0對t∈(0,2)恒成立，
只需g(t)max＝1－m<0，∴m>1.
故實數m的取值范圍是(1，＋∞)．
[規律方法]　(1)“恒成立”問題向最值問題轉化是一種常見的題型，一般地，可采用分離參數法進行轉化．λ≥f(x)恒成立 λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立 λ≤[f(x)]min.對于不能分離參數的恒成立問題，直接求含參函數的最值即可．
(2)此類問題特別要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等號”的情況，以此來確定參數的范圍能否取得“＝”．
對點訓練 設函數f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c.
(1)若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)(2)若對任意的x∈(0,3)，都有f(x)[解析]　(1)∵f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
∴當x∈(0,1)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增；
當x∈(1,2)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減；
當x∈(2,3)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增．
∴當x＝1時，f(x)取極大值f(1)＝5＋8c.
又f(3)＝9＋8c>f(1)，
∴x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.
∵對任意的x∈[0,3]，有f(x)∴9＋8c9.
∴實數c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
(2)由(1)知，f(x)∴9＋8c≤c2，即c≤－1或c≥9，
∴實數c的取值范圍為(－∞，－1]∪[9，＋∞)．
易錯警示
利用參變分離時忽視自變量的取值范圍
典例3　設函數f(x)＝ax3－3x＋1，若對任意的x∈[－1,1]，都有f(x)≥0成立，則實數a的值為_4__.
[錯解]　由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.
分離參數得a≥恒成立，
令t＝，易求得三次函數g(t)＝－t3＋3t2在[－1,1]上的最大值為g(0)＝0，∴a≥0.
[誤區警示]　本題上述解法中有兩處錯誤．(1)是在參數分離的過程中，要在不等式兩邊同時除以x3才能實現參數的分離，若x的取值范圍在正數區間上，可以避免討論；若x的取值范圍中包含零或負數，則需要進行分類討論．
(2)是換元后未求新元t的范圍，t的范圍不再是[－1,1]．
[正解]　由ax3－3x＋1≥0，得ax3≥3x－1.因為x∈[－1,1]，故分離參數a，需根據x的取值進行分類討論，討論如下：
(1)當x＝0時，1>0恒成立，a可以取任意實數；
(2)當0令t＝，t∈[1，＋∞)，易求得三次函數g(t)＝－t3＋3t2在[1，＋∞)上的最大值為g(2)＝4，所以a≥4.
(3)當－1≤x<0時，可得a≤－＋恒成立，故a≤min.
令t＝，t∈(－∞，－1]，易求得三次函數g(t)＝－t3＋3t2在(－∞，－1]上的最小值為g(－1)＝4，所以a≤4.綜上可得，a＝4.
1.(多選)已知函數f(x)＝－x2ln x，則( CD )
A．f(x)≤0恒成立
B．f(x)是(0，＋∞)上的減函數
C．f(x)在x＝得到極大值
D．f(x)只有一個零點
[解析]　因為f(x)＝－x2ln x，該函數的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝－2xln x－x＝－x(2ln x＋1)．
當00，此時函數f(x)單調遞增，當x>時，f′(x)<0，此時函數f(x)單調遞減，所以f(x)極大值＝f()＝－e－1ln ＝，故B選項錯誤，C選項正確；當00，A選項錯誤；由f(x)＝－x2ln x＝0，可得ln x＝0，解得x＝1，D選項正確．
2．函數f(x)＝x3－x2－2x＋5，若對于任意x∈[－1,2]，都有f(x)[解析]　f ′(x)＝3x2－x－2，令f ′(x)＝0，
得x＝－或x＝1.
可求得f(x)max＝f(2)＝7.
所以對于任意x∈[－1,2]，f(x)7.
3．給定函數f(x)＝ex－x.
(1)判斷函數f(x)的單調性，并求出f(x)的值域；
(2)畫出函數f(x)的大致圖象；
(3)求出方程f(x)＝m(m∈R)在區間[－1,2]的解的個數．
[解析]　(1)函數的定義域為R，f ′(x)＝ex－1，
令f ′(x)＝0，解得x＝0.
f ′(x)，f(x)的變化情況如表所示：
x (－∞，0) 0 (0，＋∞)
f ′(x) － 0 ＋
f(x) 單調遞減 1 單調遞增
所以，f(x)在區間(－∞，0)上單調遞減，在區間(0，＋∞)上單調遞增．當x＝0時，f(x)的極小值f(0)＝1.也是最小值，故函數f(x)的值域為[1，＋∞)．
(2)由(1)可知，函數的最小值為1.
函數的圖象經過特殊點f(－1)＝＋1，f(2)＝e2－2，f(0)＝1，
當x→＋∞時，f(x)→＋∞，f ′(x)→＋∞；
當x→－∞時，指數函數y＝ex越來越小，趨向于0，因此函數f(x)圖象上的點逐漸趨向于直線y＝－x.根據上述信息，畫出函數f(x)的大致圖象如圖所示．
(3)截取函數f(x)在區間[－1,2]上的圖象如圖所示．
由圖象得：當f(0)即m∈時，方程f(x)＝m在區間[－1,2]上恰有兩個不同的實根；同理，當m＝1或＋1當m<1或m>e2－2時，方程f(x)＝m在區間[－1，2]上無實根．章末整合提升
要點一　導數的幾何意義
典例1　(1)寫出曲線y＝ln|x|過坐標原點的切線方程 y＝x或y＝－x　.
(2)曲線y＝在點(－1，－3)處的切線方程為_5x－y＋2＝0__.
[解析]　(1)當x>0時，y＝ln x，設過坐標原點與y＝ln x相切的直線切于點(x0，y0)，
∴y′＝，∴切線斜率k＝，
又k＝，∴y0＝1，x0＝e.
∴k＝，∴切線方程為y＝x.
當x<0時，y＝ln(－x)，設過坐標原點與y＝ln(－x)相切的直線切于點(x′0，y′0)，
∴y′＝－＝，∴切線斜率k＝，又k＝，
∴y′0＝1，∴x′0＝－e.
∴k＝－，∴切線方程為y＝－x.
(2)由題，當x＝－1時，y＝－3，故點在曲線上．
求導得：y′＝＝，
所以y′|x＝－1＝5.
故切線方程為5x－y＋2＝0.
故答案為：5x－y＋2＝0.
[規律方法]　利用導數的幾何意義求切線方程的方法
(1)曲線f(x)在點P(x0，y0)處的切線：求出函數y＝f(x)在點x0處的導數f′(x0)，即為曲線y＝f(x)在x＝x0處的切線斜率，所求曲線的切線方程為y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)曲線f(x)過點P(x0，y0)的切線 ：可設切點為(x1，y1)，由解出x1，進而確定過點P的切線方程為y－y0＝f′(x1)(x－x0)，再化為一般式即可．特別地，如果曲線y＝f(x)在點(x0，y0)處的切線垂直于x軸，則此時導數f′(x0)不存在，由切線定義可知，切線方程為x＝x0.
[提醒]　切點坐標滿足三個等量關系：設切點(x0，y0)，則k＝f′(x0)，y0＝f(x0)，(x0，y0)滿足切線方程，在求解參數問題中經常用到.
要點二　函數的單調性與導數
典例2　已知函數f(x)＝(x－1)ex＋ax－1.
(1)若a＝0，求f(x)的極值；
(2)若f(x)在R上單調遞增，求實數a的取值范圍．
[解析]　(1)當a＝0時，f(x)＝(x－1)ex－1，f′(x)＝xex，
令f′(x)＝0，則x＝0，
又因為當x∈(－∞，0)時，f′(x)<0；
當x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0，
所以當x＝0時，f(x)極小值＝f(0)＝－2，無極大值．
(2)因為f(x)＝(x－1)ex＋ax－1，
所以f′(x)＝xex＋a，
若f(x)在R上單調遞增，
則f′(x)≥0在R上恒成立，
即－a≤xex在R上恒成立，
令g(x)＝xex，則g′(x)＝(x＋1)ex，
當x∈(－∞，－1)時，g′(x)<0，
當x∈(－1，＋∞)時，g′(x)>0，
所以當x＝－1時，g(x)取得極小值，也是最小值為g(－1)＝－，
所以－a≤－，即a≥，
故實數a的取值范圍為.
[規律方法]　1.求函數y＝f(x)單調區間的步驟
(1)確定函數y＝f(x)的定義域．
(2)求導數y′＝f′(x)．
(3)解不等式f′(x)>0，函數在單調區間上為增函數；解不等式f′(x)<0，函數在單調區間上為減函數．
2．知單調性求參數范圍的步驟
(1)對含參數的函數f(x)求導，得到f′(x)；
(2)若函數f(x)在(a，b)上單調遞增，則f′(x)≥0恒成立；若函數f(x)在(a，b)上單調遞減，則f′(x)≤0恒成立，得到關于參數的不等式，解出參數范圍；
(3)驗證參數范圍中取等號時，是否恒有f′(x)＝0.若f′(x)＝0恒成立，則函數f(x)在(a，b)上為常函數，舍去此參數值．
[提醒]　若f(x)在(a，b)上單調遞增(減)，則區間(a，b)是相應單調區間的子集.
要點三　函數的極值、最值與導數
典例3　(2022·新高考Ⅰ卷節選) 已知函數f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，求a.
[解析]　f(x)＝ex－ax的定義域為R，
而f′(x)＝ex－a，
若a≤0，則f′(x)>0，此時f(x)無最小值，
故a>0.g(x)＝ax－ln x的定義域為(0，＋∞)，而g′(x)＝a－＝.
當x故f(x)在(－∞，ln a)上單調遞減，
當x>ln a時，f′(x)>0，
故f(x)在(ln a，＋∞)上單調遞增，
故f(x)min＝f(ln a)＝a－aln a.
當0當x>時，g′(x)>0，故g(x)在上單調遞增，故g(x)min＝g＝1－ln .
因為f(x)＝ex－ax和g(x)＝ax－ln x有相同的最小值，故1－ln ＝a－aln a，
整理得到＝ln a，其中a>0，
設m(a)＝－ln a，a>0，
則m′(a)＝－＝<0，
故m(a)在(0，＋∞)上單調遞減，而m(1)＝0，
故m(a)＝0的唯一解為a＝1，故＝ln a的解為a＝1.綜上，a＝1.
[規律方法]　1.利用導數求函數極值的一般步驟
(1)確定函數f(x)的定義域；
(2)解方程f′(x)＝0的根；
(3)檢驗f′(x)＝0的根的兩側f′(x)的符號．
若左正右負，則f(x)在此根處取得極大值；
若左負右正，則f(x)在此根處取得極小值；
否則，此根不是f(x)的極值點．
2．求函數f(x)在閉區間[a，b]上的最大值、最小值的方法與步驟
(1)求f(x)在(a，b)內的極值；
(2)將(1)求得的極值與f(a)，f(b)相比較，其中最大的一個值為最大值，最小的一個值為最小值．
[提醒]　當f(x)在(a，b)內只有一個極值點時，若在這一點處f(x)有極大(或極小)值，則可以斷定f(x)在該點處取得最大(或最小)值， 這里(a，b)也可以是(－∞，＋∞).
要點四　利用函數的導數求參數的取值范圍
典例4　已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx在區間[0,1]上是增函數，在區間(－∞，0)，(1，＋∞)上是減函數，且f ′＝.
(1)求函數f(x)的解析式；
(2)若在區間[0，m](m>0)上恒有f(x)≤x成立，求m的取值范圍．
[分析]　(1)由單調區間知f ′(0)＝f ′(1)＝0，結合f ′＝，求出f(x)的解析式；
(2)f(x)≤x在[0，m]上恒成立 f(x)－x≤0在[0，m]上恒成立 [0，m]是f(x)≤x的解集的子區間，當f(x)－x的最值不易求時，可進行適當的轉化．
[解析]　(1)f ′(x)＝3ax2＋2bx＋c.
由已知得f ′(0)＝f ′(1)＝0，得
解得
∴f ′(x)＝3ax2－3ax.
∵f ′＝－＝－＝，
∴a＝－2，∴b＝3，
∴f(x)＝－2x3＋3x2.
(2)令f(x)≤x，即－2x3＋3x2－x≤0，
整理得x(2x－1)(x－1)≥0，
∴0≤x≤或x≥1.
又f(x)≤x在區間[0，m](m>0)上恒成立，
∴m的取值范圍是.
[規律方法]　利用函數的導數求參數范圍有三種思路：一是分析所給區間和單調區間的關系；二是轉化為恒成立問題；三是分離參數求解.
要點五　利用導數證明不等式
典例5　(2023·新高考Ⅱ卷)證明：當0[證明]　構建F(x)＝x－sin x，x∈(0,1)，則F′(x)＝1－cos x>0對 x∈(0,1)恒成立，
則F(x)在(0,1)上單調遞增，可得F(x)>F(0)＝0，所以x>sin x，x∈(0,1)；
構建G(x)＝sin x－(x－x2)＝x2－x＋sin x，x∈(0,1)，
則G′(x)＝2x－1＋cos x，x∈(0,1)，
構建g(x)＝G′(x)，x∈(0,1)，則g′(x)＝2－sin x>0對 x∈(0,1)恒成立，
則g(x)在(0,1)上單調遞增，可得g(x)>g(0)＝0，
即G′(x)>0對 x∈(0,1)恒成立，
則G(x)在(0,1)上單調遞增，可得G(x)>G(0)＝0，所以sin x>x－x2，x∈(0,1)；
綜上所述：x－x2[規律方法]　利用導數證明不等式問題時，一般根據要證明的不等式構造函數，轉化為函數的最值問題．具體的證明步驟為：
①將所給的不等式移項、整理、變形為求證不等式f(x)＞0(＜0)的形式；
②利用導數研究函數在給定區間上的單調性，得到函數的最值；
③將不等式問題轉化為函數的最值恒大于0或者小于0的問題．

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