資源簡介

“函數的單調性(1)”一節說課
紹興市第一中學 楊國仁
一.說教材
地位及重要性
函數的單調性一節屬高中數學第一冊(上)的必修內容，在高考的重要考查范圍之內。函數的單調性是函數的一個重要性質，也是在研究函數時經常要注意的一個性質，并且在比較幾個數的大小、對函數的定性分析以及與其他知識的綜合應用上都有廣泛的應用。通過對這一節課的學習，既可以讓學生掌握函數單調性的概念和證明函數單調性的步驟，又可加深對函數的本質認識。也為今后研究具體函數的性質作了充分準備，起到承上啟下的作用。
教學目標
(1)了解能用文字語言和符號語言正確表述增函數、減函數、單調性、單調區間的概念；
(2)了解能用圖形語言正確表述具有單調性的函數的圖象特征；
(3)明確掌握利用函數單調性定義證明函數單調性的方法與步驟；并能用定義證明某些簡單函數的單調性；
(4)培養學生嚴密的邏輯思維能力、用運動變化、數形結合、分類討論的方法去分析和處理問題，以提高學生的思維品質；同時讓學生體驗數學的藝術美，養成用辨證唯物主義的觀點看問題。
教學重難點
重點是對函數單調性的有關概念的本質理解。
難點是利用函數單調性的概念證明或判斷具體函數的單調性。
二.說教法
根據本節課的內容及學生的實際水平，我嘗試運用“問題解決”與“多媒體輔助教學”的模式。力圖通過提出問題、思考問題、解決問題的過程，讓學生主動參與以達到對知識的“發現”與接受，進而完成對知識的內化，使書本知識成為自己知識；同時也培養學生的探索精神。
三.說學法
在教學過程中，教師設置問題情景讓學生想辦法解決；通過教師的啟發點撥，學生的不斷探索，最終把解決問題的核心歸結到判斷函數的單調性。然后通過對函數單調性的概念的學習理解，最終把問題解決。整個過程學生學生主動參與、積極思考、探索嘗試的動態活動之中；同時讓學生體驗到了學習數學的快樂，培養了學生自主學習的能力和以嚴謹的科學態度研究問題的習慣。
四.說過程
通過設置問題情景、課堂導入、新課講授及終結階段的教學中，我力求培養學生的自主學習的能力，以點撥、啟發、引導為教師職責。
設置問題情景
[引例]學校準備建造一個矩形花壇，面積設計為16平方米。由于周圍環境的限制，其中一邊的長度長不能超過10米，短不能少于4米。記花壇受限制的一邊長為x米，半周長為y米。
寫出y與x的函數表達式；
求(1)中函數的最大值。
（用多媒體出示問題，并讓學生思考）
通過問題情景的設置主要是為了達到以下兩個目的：
⑴第一問為了復習回顧函數的表達式；
⑵通過第二問激發學生對探索研究、學習新知識的熱情，為導人新課及順利完成教學任務做了思想上的準備。
揭示課題，導入新課
通過對第二問的分析知，要解決問題只要搞清函數的函數值y隨x的變化情況即可。接著用多媒體給出函數的圖象,讓學生利用初中所學的知識,結合圖象觀察得出函數值y隨x的變化情況,初步概括出增函數與減函數的概念。但僅從圖象看顯然不過嚴密，我們必須對它進行系統的、科學的研究。(板書課題)
講授新課
在上述的基礎上進一步啟發學生，讓學生用數學語言歸納出增函數、減函數的概念，教師進行補充，接著用多媒體顯示增函數、減函數的定義。
緊接著引導學生結合教材中的圖2－9（或用多媒體給出的屏幕）仔細體會定義中的兩個簡單不等關系“”和“或”，它刻劃了函數遞增或遞減的性質。這就是數學魅力！
對定義作了初步分析以后，指導學生再次閱讀和分析定義，同時教師提出以下問題：定義中的關鍵詞語是哪些？（學生思索）教師在學生思索過程中進行一次有感情地朗讀定義，并在關鍵詞語處加重語氣，學生感到困難時，給以適當的提示。
（這一環節是學生正確地、深入地理解概念的關鍵，教師應該啟發引導學生如何深入理解一個概念，以培養學生分析問題、認識問題的能力）
通過學生的分析討論得出以下幾個關鍵詞語：
(1)“定義域內某個區間”（多媒體中對這八個字用紅色顯示）。這里包含兩層意思：第一函數的單調性只能在定義域內討論；第二函數的單調性是對定義域內的某個區間而言的，否則無法討論其單調性。（教師舉例說明）
(2)“任意兩個”和“都有”。就是說這里的在給定區間上具有任意性，不能用特殊值來判斷函數的單調性（要特別強調），而且只要，則 （或）恒成立。
以上兩點讓學生通過構造反例來進一步說明。
（通過學生的積極思維探索，從抽象到具體，并通過反例反襯，使學生對概念有了本質的認識，同時也鍛煉了學生的邏輯思維能力）
接著教師作以下闡述：反過來，如果我們已知在某個區間上是增函數或減函數，那么，我們就可以通過自變量的大小去判斷函數值的大小，也可以有函數值的大小去判斷自變量的大小，即一般成立則特殊成立，反之不然，這恰是辨證法中一般和特殊的關系。
（用辯證法的原理來解釋數學知識的同時，用數學知識去理解辯證法的原理，這樣分析有助于深入地理解和掌握概念，培養學生自主學習的能力）
學生看書了解單調性與單調區間的有關概念。
知識的應用
例1：（用多媒體給出書中P59頁例1）
通過對本例的解答達到以下目的：
（1）會根據圖象寫單調區間；
（2）明確區間的端點值不影響函數在這一區間上的單調性。
例2：（書P59例2多媒體給出）
借助函數的圖象看單調性既形象又直觀，是一個好辦法，但是在理論上不夠嚴密，尤其是不易畫出圖像的函數，因此我們還必須學會根據解析式和定義從數量上分析辨認，這才是我們研究函數單調性的基本途徑。（指出用定義證明的必要性）
提問：怎樣用定義來證明呢？
學生思索并動筆，教師不斷點撥啟發，最后師生共同完成（教師認真規范地板書證明過程，以對學生起到示范作用）
回顧解題過程達到以下要求：
總結歸納出用定義證明函數單調性的步驟（用多媒體給出）。
變式訓練：討論函數（為常數，且）。
通過變式訓練使學生認識到一次函數的單調性決定于一次項系數，同時訓練了學生進行分類討論的重要數學思想。
經過以上兩例使學生鞏固定義，初步具備解決相關問題的能力。
終結階段
課堂練習,鞏固概念,強化學生對這節課的掌握。練習為書本中P60頁第一、二題，其中第一題學生口答，第二題叫一位中等學生板演。教師及時點評。
與學生一起解決引例中的第二問。
并作以下變式：求函數的值域。（學生課后思考，為下節課作鋪墊）
課堂小結（內容由多媒體給出）
通過小結使學生理清本節課的重難點。
布置作業
書本P64頁第2題,P65頁的第6題的第1小題。通過作業反饋學生對所學知識掌握的效果，以利課后解決學生尚有疑難的地方。
課件26張PPT。函數的單調性江蘇省通州高級中學
張春明數與形,本是相倚依
焉能分作兩邊飛
數無形時少直覺
形少數時難入微
數形結合百般好
隔離分家萬事休
切莫忘,幾何代數統一體
永遠聯系莫分離
—— 華羅庚
姚明數據統計表能用圖象上動點P（x，y）的橫、縱坐標關系來說明上升或下降趨勢嗎？函數的這種性質稱為函數的單調性局部上升或下降下降上升對區間I內 x1，x2 ，
當x1當x1當x1MN任意兩個自變量的值x1,x2，區間I內隨著x的增大，y也增大圖象在區間I逐漸上升I 那么就說在f(x)這個區間上是單調
減函數，I稱為f(x)的單調 減 區間.類比單調增函數的研究方法定義單調減函數.x設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A. 如果對于屬于定義域A內某個區間I上
的任意兩個自變量的值x1,x2，設函數y=f(x)的定義域為A,區間I A. 如果對于屬于定義域A內某個區間I上
的任意兩個自變量的值x1,x2， 那么就說在f(x)這個區間上是單調增 函數，I稱為f(x)的單調 區間.增當x1單調區間（2）函數單調性是針對某個區間而言的，是一個局部性質;（1）如果函數 y =f(x)在區間I是單調增函數或單調減函數，那么就說函數 y =f(x)在區間I上具有單調性。
在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。注意：判斷1：函數 f (x)= x2 在 是單調增函數；（2）函數單調性是針對某個區間而言的，是一個局部性質;（1）如果函數 y =f(x)在區間I是單調增函數或單調減函數，那么就說函數 y =f(x)在區間I上具有單調性。
在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。注意：判斷2：定義在R上的函數 f (x)滿足 f (2)> f(1)，則函數 f (x)在R上是增函數；（3） x 1, x 2 取值的任意性例1、下圖為函數 , 的圖像，指出它的單調區間。123-2-3-2-1o-4-1y-1.5[-1.5，3]，[5，6][-4，-1.5]，[3，5]，[6，7]例2.畫出下列函數圖像，并寫出單調區間：數缺形時少直觀_____________ ,討論1：根據函數單調性的定義， 2試討論　　　　　　　在　　　和　　　上的單調性？？變式2：討論 的單調性成果交流變式1：討論 的單調性_______;_______.例2.畫出下列函數圖像，并寫出單調區間：例3.判斷函數 在定義域 上的單調性.
（教材P43/7(4))描點作圖練一練 試用定義法證明函數 　
在區間 上是單調增函數。
小結
1.函數單調性的定義中有哪些關鍵點？
2.判斷函數單調性有哪些常用方法？
3.你學會了哪些數學思想方法？數與形,本是相倚依,
焉能分作兩邊飛;
數無形時少直覺,
形少數時難入微;
數形結合百般好,
隔離分家萬事休;
切莫忘,幾何代數統一體,
永遠聯系莫分離.
——華羅庚謝謝指導!的對稱軸為返回證明：在區間 上任取兩個值 且 則，且所以函數 在區間上 是增函數. 取值作差變形定號結論返回返回 是定義在R上的單調函數，且 的圖
象過點A（0，2）和B（3，0）
（1）解方程
（2）解不等式
（3）求適合 的 的取值范圍思考成果運用若二次函數 的單調增區間是 ， 則a的取值情況是 （ ） 變式1若二次函數 在區間 上單調遞增，求a的取值范圍。 A. B. C. D. (2)在區間（0，+∞）上是增函數的是 （ ）成果運用若二次函數 在區間 上單調遞增，求a的取值范圍。 解：二次函數 的對稱軸為 ,
由圖象可知只要 ，即 即可. 課件39張PPT。§2.1.3 函數的簡單性質
(函數的單調性)主講人:吳江市青云中學 水菊芳引例1：圖示是某市一天24小時內的氣溫變化圖。氣溫θ是關于時間 t 的函數，記為θ＝ f (t) ，觀察這個氣溫變化圖，說明氣溫在哪些時間段內是逐漸升高的或下降的？ 引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = xxyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = xxyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減??；xyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減??；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減小；x1f(x1)xyy = xO11··引例2：畫出下列函數的圖象（1）y = x 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 y隨x的增大而減小；x1f(x1)（-∞, +∞ ）（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1·Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。x1f(x1)Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1Oxyy = x2（2）y = x2引例2：畫出下列函數的圖象1·1· 此函數在區間 內y隨x的增大而增大，在區間 內y隨x的增大而減小。f(x1)x1（-∞, 0 ][0, +∞ )0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····函數的單調性定義：函數的單調性定義： 設函數y= f (x)的定義域為A，區間I A函數的單調性定義： 設函數y= f (x)的定義域為A，區間I A如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2 ，
當x1< x2時，都有f(x1) < f(x2),
那么就說y= f (x) 在區間I上是增函數,
I稱為y= f (x)單調增區間。函數的單調性定義： 設函數y= f (x)的定義域為A，區間I A如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2 ，
當x1< x2時，都有f(x1) < f(x2),
那么就說y= f (x) 在區間I上是增函數,
I稱為y= f (x)單調增區間。如果對于區間I內的任意兩個值x1，x2 ，
當x1< x2時，都有f(x1) > f(x2),那么
就說y= f (x)在區間I上是減函數,
I稱為y= f (x)單調減區間。探索題 判斷下列說法是否正確。2. 定義在R上的函數 f (x) 滿足 f (-1) 函數的單調增區間為（0，2）；(×)(×)例1 求證：函數 f (x) = – – 1在區間（－∞，0）
上是單調增函數。1x例2 試判斷函數y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函數還是減函數？并給予證明。解：函數y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函數下面給予證明：設 x1，x2 為區間(0,＋∞)上的任意兩個值，且x1 = (x1 – x2) (x1 + x2) + (x1 – x2)
= (x1 – x2) (x1 + x2 +1)又 x2 ＞ x1 ＞ 0，所以x1 – x2< 0， x1 + x2 +1 ＞0，
所以f (x1)– f (x2)<0所以函數y= x2 + x 在（0，＋∞）上是增函數小結：在區間I內0yx1x2f(x2)f(x1)0yx1x2f(x2)f(x1)xx····判斷函數單調性的方法：1、圖象法 2、代數論證法證明函數的單調性常用步驟：(1)取值 (2)作差變形(3)定號 (4)結論思考題: 討論函數y=x + (x ＞ 0)的單調性。1x作業：課本第37頁
練習5、6謝謝，再見！課件35張PPT。
函數的單調性德國著名心理學家艾賓浩斯研究數據 1、艾賓浩斯遺忘曲線2、某市一天24小時的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高或下降的?問題1、 作出下列函數的圖象,并指出圖象的變化趨勢:問題2、你能明確地說出“圖象呈逐漸上升趨勢”的意思嗎？在某一區間內，圖象在該區間呈上升趨勢圖象在該區間呈下降趨勢函數的這種性質稱為函數的單調性。 問題3、如何用數學語言表述一個函數是增函數呢？ 0 X
（1）對于某函數，若在區間(0，+∞)上，當x＝1時， y＝1；當 x＝2時，y＝3 ，能否說在該區間上 y 隨 x 的增大而增大呢?問題3：思考（2）若x＝1，2，3，4，時，相應地 y＝1，3，4，6，能否說在區間(0，+∞)上，y 隨x 的增大而增大呢？
（3）若有n個正數x1< x2 如果函數y=f(x)在區間I是單調增函數或單調減函數,那么就說函數y=f(x)在區間I上具有單調性.
單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.單調區間y＝f(x)，x∈[0，24]例1、根據圖象說出函數的單調區間[0，4][4，14][14，24]
例2、畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：
兩區間之間用和或用逗號隔開.能否寫成演示x1x2例３、求證：函數 在區間
上是單調增函數．（1）怎樣證明？（2）
練習：填表函數單調區間k >0k <0k >0k <0增函數減函數減函數增函數單調性
函數單調區間單調性增函數增函數練習2：填表（二）減函數減函數2、函數單調性的定義；4、證明函數單調性的步驟. 回顧小結本節課主要學習了以下內容：3、判斷單調性的方法：圖象、定義;1、單調函數的圖象特征；布置作業必做： P43 習題 2.1（3） 1、4、7 （2） 研究 的單調性，
并給出證明，試求出該函數的值域。選做（1）判斷函數
在區間 上的單調性。 謝謝各位老師與同學們 ！再見Good bye……
證明：設 是（0，+∞）上的任意
兩個實數，且 ． 小結 1、函數單調性是對定義域的某個區間而言的，反映的是在這一區間上函數值隨自變量變化的性質.
2、判斷函數單調性的方法：
（1）利用圖象：
在單調區間上，增函數圖象從左向右是上升的，減函數圖象是下降的.
（2）利用定義：
用定義證明函數單調性的一般步驟：
任意取值→作差變形→判斷符號→ 得出結論.七、小結回顧　練習1：證明函數
　在區間 上是減函數．證明：（設量）（比較）（結論）（定號） 這節課主要學習了函數的單調性。通過本節課的學習，同學們要知道什么是增函數，什么是減函數，以及單調函數和單調區間的概念，如何從圖象判斷一個函數在它的定義域內的某區間上的增減性，如何從理論上去證明等等。3、某水文站汛期水位漲落曲線圖y＝f(x)，x∈[1，12]設量定大小；作差定符號；判斷定結論。課件27張PPT。
函 數 的 單 調 性德國著名心理學家艾賓浩斯研究數據 1、艾賓浩斯遺忘曲線2、某市一天24小時的氣溫變化圖y＝f(x)，x∈[0，24]說出氣溫在哪些時間段內是逐漸升高或下降的?畫出下列函數圖象，指出其變化趨勢．問題1：
（1）對于函數y= f(x) ，若在區間 I 上，
當x＝1時, y＝1; 當 x＝2時, y＝3 , 能說在區間 I 上函數值 y 隨自變量 x的增大而增大嗎?問題2：（2）對于函數y= f(x) ，若在區間 I 上，當x＝1, 2, 3, 4, 時, 相應地 y＝1, 3, 4, 5，能說在區間 I 上函數值y 隨自變量x 的增大而增大嗎？
(3) 對于函數y= f(x)若 區間I 上有n個數x1< x2函數值 y 隨 自變量x的增大而增大呢?問題４：如何定義一個函數是單調減函數？減函數定義
如果函數y=f(x)在區間I是單調增函數或單調減函數,那么就說函數y=f(x)在區間I上具有單調性.
單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.單調性、單調區間y＝f(x)，x∈[0，24]例1、根據圖象說出函數的單調區間[0，4][4，14][14，24]例2、畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：
例2、畫出下列函數圖象，并寫出單調區間：
兩區間之間用和或用逗號隔開.能否寫成演示（1）若把區間改為 ,結論變化嗎 ? 例３、求證：函數 在區間
上是單調增函數．
練習：填表函數單調區間k >0k <0k >0k <0增函數減函數減函數增函數單調性
函數單調區間單調性增函數增函數練習：填表減函數減函數2、函數單調性的定義；3、證明函數單調性的步驟. 回顧小結本節課主要學習了以下內容：1、單調函數的圖象特征；減函數定義返回證明函數單調性的四步驟：布置作業必做： P43 習題 2.1（3） 1、4、7 （2） 研究 的單調性，
并給出證明，試求出該函數的值域。選做（1）判斷函數
在區間 上的單調性。 謝謝各位專家蒞臨指導！再見課件12張PPT。蘇教版普通高中課程標準實驗教科書（必修）第一冊函數的單調性授課教師: 江蘇省宿遷中學 陸 威
通過實驗研究，專家發現：中學生聽課的注意力指標是隨著老師講課時間的變化而變化的。講課開始時，學生的興趣激增，中間有一段時間，學生的興趣保持平穩的狀態，隨后開始分散。學生注意力指標數隨時間變化的函數圖象如圖所示（指標數越大表示學生注意力越集中）。
——摘自2004年“TRULY信利杯”全國數學競賽試題第11題

問題探究x（時間：分） y(注意力指標數) 02010204548。 請你說出注意力指標數與時間在［0，45］內的變化規律.問題探究x（時間：分） 0201048y(注意力指標數) xyx1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2x1x2y1y2問題探究一般地，設函數y=f(x)定義域為A，區間
如果對于區間I內的任意兩個值x1、x2，當x1f(x2) ，那么就說y=f(x)在區間I上是單調減函數(decreasing fun_ction),I稱為y=f(x)的單調減區間(decreasing interval)。任意x1f(x2) 如果函數y=f(x)在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區間I上具有單調性.單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.都有都有(1)定義在R上的函數f(x)滿足f(2)>f(1)，則函數f(x)是R上的增函數. ( )
(2)函數f(x)是R上的增函數,則必有f(2)>f(1) .( )
(3)定義在R上的函數f(x)滿足f(2)>f(1) ，則函數f(x) 在R上不是減函數. ( )×√辨一辨： √ 設函數y=f(x)定義域為A，區間
如果對于區間I內的任意兩個值x1、x2，當x1 如果對于區間內的任意兩個值x1、x2 ，當x1 如果函數y=f(x)在區間I上是單調增函數或單調減函數，那么就說函數y=f(x)在區間I上具有單調性.單調增區間和單調減區間統稱為單調區間.
證明函數單調性的一般步驟：
① 取 值
② 作 差
③ 變 形
④ 定 號
⑤ 結 論這節課我的收獲是什么？股票國家統計局數學因運用而美麗!三峽課后作業1.課本P.37 第5題、第6題
2.用函數定義討論下列函數的單調性。
(1)y=kx+b (k≠0)
(2)y=ax2+bx+c (a≠0)歡迎各位專家批評指正！

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