資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
第二章 方程與不等式
第三節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程的相關(guān)概念 ☆☆ 本考點(diǎn)以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右。 預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考點(diǎn)3 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） ☆☆☆
考點(diǎn)4 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　一元二次方程的相關(guān)概念
一元二次方程的相關(guān)概念 概念：只含有 未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 次的 方程，叫做一元二次方程.
一般形式：，其中：a是 系數(shù)，b是 系數(shù)，c是 .
一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊 的未知數(shù)的值，就是該一元二次方程的解.
■考點(diǎn)二　一元二次方程的解法
1.直接開平方法：適合于或形式的方程．
2.配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為 ；
（3）方程兩邊同時(shí)加上 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）運(yùn)用直接開平方法解方程．
3.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 ．
4.公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，則將根據(jù)求得方程的解；若b2-4ac＜0，則方程無解．
根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的 來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式，記為△．
（1）當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè) 的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè) 的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△＜0時(shí)，方程 實(shí)數(shù)根．
■考點(diǎn)三　根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
1.根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中a，b，c為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則+= ；= ．
■考點(diǎn)四　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
1.利用一元二次方程解決實(shí)際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題步驟，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．
2.增長(zhǎng)率等量關(guān)系
設(shè)為原來量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則 ；
當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有 ．
3.利潤(rùn)等量關(guān)系：1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本；2）利潤(rùn)率=×100％；3）總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)×數(shù)量
4.面積問題：常用平移法解決面積問題
5.碰面問題（循環(huán)問題）
（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m；
則m= 。
（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次m。
則m= 。
■易錯(cuò)提示
1. 如果明確了是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）。
2. 利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項(xiàng),將方程右邊化為0。
3. 求根公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
■考點(diǎn)一　一元二次方程的相關(guān)概念
◇典例1：（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）寫出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，此方程可以為_______．
◇典例2：（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）若a是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是___________．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·山東泰安·一模）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
2.（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程，若，則該方程必有一個(gè)根是（ ）
A． B． C． D．
■考點(diǎn)二　一元二次方程的解法
◇典例3：（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.廣東九年級(jí)期中）（1）請(qǐng)用配方法解方程；
（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程．
◇典例4：（2022·四川涼山·中考真題）解方程：x2－2x－3＝0
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：
◇典例5：（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）用與教材中相同型號(hào)的計(jì)算器，依次按鍵 ，顯示結(jié)果為 ．借助顯示結(jié)果，可以將一元二次方程的正數(shù)解近似表示為 ．（精確到）
◆變式訓(xùn)練
1. （2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，若與的面積相等，則 ．

◇典例6：（2023·云南昆明·一模）已知，則的值為__________．
◆變式訓(xùn)練
1. ．（2020·湖北荊州市·中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．
問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），
解：設(shè)，則有，
原方程可化為：，
續(xù)解：
◇典例7：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是 （寫出一個(gè)即可）．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
◇典例8：（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．
∵ ∴
∴當(dāng)時(shí)，有最小值．
請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；
(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；
(3)求證：無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·四川涼山·中考真題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
2．（2023·重慶中考模擬）知識(shí)儲(chǔ)備
在求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值時(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的右邊配方，得
y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值為．
解決問題：（1）請(qǐng)你通過配方求函數(shù)y＝x2+的最小值．（2）你能否通過配方求函數(shù)y＝x+（x＞0）的最小值．
數(shù)學(xué)模型：已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最小？最小值是多少？
■考點(diǎn)三　根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
◇典例9：（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）已知一元二次方程的兩個(gè)根為、，則的值為（ ）
A．－3 B． C．1 D．
2．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ．
◇典例10：（2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù) ．
2．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為 ．
◇典例11：（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．
■考點(diǎn)四　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
◇典例12：（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；
(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？
◆變式訓(xùn)練
1.（2022·重慶·中考真題）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹，第一年共植樹400棵，第三年共植樹625棵．設(shè)該校植樹棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·江蘇常州·中考真題）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是，表示ICME-14的舉辦年份．
(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是_______；
(2)小華設(shè)計(jì)了一個(gè)進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求的值．
◇典例13：（2022·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.山東九年級(jí)期末）要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共要比賽90場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
2．（2023.湖北九年級(jí)期中）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時(shí)不必填空，只需按解答題的一般要求進(jìn)行解答．
參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)．
（Ⅰ）用含x的代數(shù)式表示：
每家公司與其他　　 家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．
◇典例14：（2022·青海·中考真題）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為的無蓋長(zhǎng)方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計(jì)）．設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為______．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在用長(zhǎng)為的材料砌墻，若設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為，則長(zhǎng)度為（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
◇典例15：（2023.廣西九年級(jí)期末）某菜農(nóng)在2022年11月底投資1600元種植大棚黃瓜，春節(jié)期間，共采摘黃瓜400千克，當(dāng)天就可以按6元/千克的價(jià)格售出．若將所采摘的黃瓜先儲(chǔ)藏起來，其質(zhì)量每天損失10千克，且每天需支付各種費(fèi)用共40元，但每天每千克的價(jià)格能上漲0.5元（儲(chǔ)藏時(shí)間不超過10天）．若該菜農(nóng)想獲得1175元的利潤(rùn)，需要將采摘的黃瓜儲(chǔ)藏____天．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.廣西九年級(jí)期中）某超市經(jīng)營(yíng)款新電動(dòng)玩具進(jìn)貨單價(jià)是15元．在1個(gè)月的試銷階段，售價(jià)是20元，銷售量是200件．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)若每再漲1元，1個(gè)月就會(huì)少售出5件．
（1）若商店在1個(gè)月獲得了2250元銷售利潤(rùn)，求這款玩具銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，顧客更容易接受？
（2）若玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價(jià)不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，設(shè)銷售單價(jià)為y（y為正整數(shù)）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤(rùn)最高？
1．（2022·湖南懷化·中考真題）下列一元二次方程有實(shí)數(shù)解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B． C． D．
4．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山東臨沂·中考真題）方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）已知a、b是方程的兩根，則 ．
7. （2022·湖北荊州·中考真題）一元二次方程配方為，則k的值是______．
8．（2023年山東省東營(yíng)市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由．
9.（2022·湖北宜昌·中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？
10．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料，解答問題：
材料1：為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；
(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求的值；
(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，且，求的值．
1．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）若是關(guān)于的一元二次方程的解，則的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
2．（2023·湖北鄂州市·中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，則m的值為（ ）
A． B． C． D．0
4．（2023·湖北·校聯(lián)考一模）如果方程的三根可作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023·安徽·中考模擬）若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A． B． C． D．無法確定
5．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”，以下說法不正確的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若關(guān)于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，則m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，則關(guān)于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，則關(guān)于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
6．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，且），此方程的解為，．則關(guān)于x的一元二次方程的解為______．
7. （2023·浙江·中考模擬）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則代數(shù)式的最小值等于_____．
8．（2023·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且x＞0，則的值為______．
9．（2023春·北京海淀·九年級(jí)專題練習(xí)）如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___．
10．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召開，某公司為了貫徹“發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗中國(guó)”的理念，對(duì)其生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了升級(jí)改造，不僅提高了產(chǎn)能，而且大幅降低了碳排放量．已知該公司七月份的產(chǎn)值為200萬元，第三季度的產(chǎn)值為720萬元，設(shè)公司每月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率相同且為，則根據(jù)題意列出的方程是______．
11．（2023·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的兩個(gè)根，則（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
12．（2022·福建福州·校考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況．
(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另兩邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
1．（2023·重慶·校考一模）對(duì)于二次三項(xiàng)式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①當(dāng)時(shí)，若，則
②無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，則
③若，，則
④滿足的整數(shù)解共有8個(gè)
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
2．（2023·廣東·校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，則k的取值范圍是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
3．（2023·四川綿陽(yáng)·二模）已知實(shí)數(shù)滿足．若，且，則的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
4．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．
（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．

5. （2023·浙江·中考模擬）小麗在解一個(gè)三次方程x3－2x＋1＝0時(shí)，發(fā)現(xiàn)有如下提示：觀察方程可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)根為1，所以原方程可以轉(zhuǎn)化為(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根據(jù)這個(gè)提示，請(qǐng)你寫出這個(gè)方程的所有的解______．
6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考三模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a、b、c為常數(shù)，且），我們規(guī)定：若該方程的兩根滿足，則稱該方程為“靈粹二次方程”，其中，、稱為該“靈粹二次方程”的一對(duì)“奮勇向前根”．
(1)判斷：下列方程中，為“靈粹二次方程”的是________（僅填序號(hào)）
① ② ③
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程為“靈粹二次方程”，求：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值．
(3)直線與直線相交于點(diǎn)A，并分別與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，若m、n是某“靈粹二次方程”的一對(duì)“奮勇向前根”，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)點(diǎn)D位于以A、B、C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形內(nèi)部時(shí)．①試求出m的取值范圍．②若m為整數(shù)，且“靈粹二次方程”的二次項(xiàng)系數(shù)為1，是否存在滿足此情況的“靈粹二次方程”？若存在，請(qǐng)直接寫出該“靈粹二次方程”；若不存在，請(qǐng)說明理由．
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第二章 方程與不等式
第三節(jié) 一元二次方程
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢(shì)
考點(diǎn)1 一元二次方程的相關(guān)概念 ☆☆ 本考點(diǎn)以考查一元二次方程的相關(guān)概念、解一元二次方程、根的判別式、韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）、一元二次方程的應(yīng)用題為主，既有單獨(dú)考查，也有和二次函數(shù)結(jié)合考察最值問題，年年考查，分值為15分左右。 預(yù)計(jì)2024年各地中考還將繼續(xù)考查，復(fù)習(xí)過程中要多注意各基礎(chǔ)考點(diǎn)的鞏固，特別是解法中公式法的公式，不要和后續(xù)二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)公式記混了。
考點(diǎn)2 一元二次方程的解法 ☆☆☆
考點(diǎn)3 根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理） ☆☆☆
考點(diǎn)4 一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用 ☆☆☆
■考點(diǎn)一　一元二次方程的相關(guān)概念
一元二次方程的相關(guān)概念 概念：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程，叫做一元二次方程.
一般形式：，其中：a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng).
一元二次方程的解：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，就是該一元二次方程的解.
■考點(diǎn)二　一元二次方程的解法
1.直接開平方法：適合于或形式的方程．
2.配方法：（1）化二次項(xiàng)系數(shù)為1；（2）移項(xiàng)，使方程左邊只含有二次項(xiàng)和一次項(xiàng)，右邊為常數(shù)項(xiàng)；
（3）方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方 ；（4）把方程整理成的形式；
（5）運(yùn)用直接開平方法解方程．
3.因式分解法：基本思想是把方程化成的形式，可得 或 ．
4.公式法：（1）把方程化為一般形式，即；（2）確定a，b，c的值；（3）求出的值；（4）若b2-4ac≥0，則將根據(jù)求得方程的解；若b2-4ac＜0，則方程無解．
根的判別式：一元二次方程是否有實(shí)數(shù)根，由的符號(hào)來確定，我們把叫做一元二次方程根的判別式，記為△．
（1）當(dāng)△＞0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
（3）當(dāng)△＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
■考點(diǎn)三　根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
1.根與系數(shù)關(guān)系：對(duì)于一元二次方程（其中為常數(shù)，），設(shè)其兩根分別為，，則， ．
■考點(diǎn)四　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
1.利用一元二次方程解決實(shí)際問題
列一元二次方程解應(yīng)用題步驟，即審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步．
2.增長(zhǎng)率等量關(guān)系
設(shè)為原來量，為平均增長(zhǎng)率，為增長(zhǎng)次數(shù)，為增長(zhǎng)后的量，則 ；
當(dāng)為平均下降率時(shí)，則有 ．
3.利潤(rùn)等量關(guān)系：1）利潤(rùn)=售價(jià)－成本；2）利潤(rùn)率=×100％；3）總利潤(rùn)=單位利潤(rùn)×數(shù)量
4.面積問題：常用平移法解決面積問題
5.碰面問題（循環(huán)問題）
（1）重疊類型（雙循環(huán)）：n支球隊(duì)互相之間都要打一場(chǎng)比賽，總共比賽場(chǎng)次為m；
則m=n（n－1） 。
（2）不重疊類型（單循環(huán)）：n支球隊(duì)，每支球隊(duì)要在主場(chǎng)與所有球隊(duì)各打一場(chǎng)，總共比賽場(chǎng)次m。
則m=n（n－1） 。
■易錯(cuò)提示
1. 如果明確了是一元二次方程，就隱含了a≠0這個(gè)條件（當(dāng)a=0時(shí)，不含有二次項(xiàng)，即不是一元二次方程）。
2. 利用因式分解法解方程時(shí)，含有未知數(shù)的式子可能為零，所以在解方程時(shí)，不能在兩邊同時(shí)除以含有未知數(shù)的式子，以免丟根，需通過移項(xiàng),將方程右邊化為0。
3. 求根公式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的使用條件：a≠0且△=b2-4ac≥0。
■考點(diǎn)一　一元二次方程的相關(guān)概念
◇典例1：（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程定義，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)項(xiàng)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程，逐項(xiàng)分析判斷即可．
【詳解】解：A、，兩個(gè)未知數(shù)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；
B、，當(dāng)時(shí)，是一元一次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；
C、整理后得，不含二次項(xiàng)，不是一元二次方程，故該選項(xiàng)不符合題意；
D、，是一元二次方程，故該選項(xiàng)符合題意；故選：D.
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）寫出一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，此方程可以為_______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，寫出方程，即可求解．
【詳解】解：此方程可以為． 故答案為：（答案不唯一）
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程，熟練掌握含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)2的整式方程是一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
◇典例2：（2022·四川資陽(yáng)·中考真題）若a是一元二次方程的一個(gè)根，則的值是___________．
【答案】6
【分析】將a代入，即可得出，再把整體代入，即可得出答案．
【詳解】∵a是一元二次方程的一個(gè)根，
∴，∴，∴，故答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，整體思想是本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023·山東泰安·一模）關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為0，則實(shí)數(shù)的值是（ ）
A．1 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】據(jù)一元二次方程解的定義得，再解關(guān)于a的方程，后根據(jù)一元二次方程定義確定a的值．
【詳解】解：把代入一元二次方程
得，解得，而，的值為，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解，也考查了一元二次方程的定義，解題的關(guān)鍵是注意．
2.（2023·福建福州·統(tǒng)考一模）關(guān)于x的一元二次方程，若，則該方程必有一個(gè)根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，結(jié)合即可判斷結(jié)果．
【詳解】解：∵，當(dāng)時(shí)，，∴該方程必有一個(gè)根是，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根的定義，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握方程的根的定義：方程的根就是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值．
■考點(diǎn)二　一元二次方程的解法
◇典例3：（2022·山東聊城·中考真題）用配方法解一元二次方程時(shí)，將它化為的形式，則的值為（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊，兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方式后，繼而得出答案．
【詳解】解：∵，∴，，
則，即，∴，，∴．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，能夠正確配方是解此題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.廣東九年級(jí)期中）（1）請(qǐng)用配方法解方程；
（2）請(qǐng)用配方法解一元二次方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；
（2）先將兩邊同時(shí)除以二次項(xiàng)系數(shù)；再移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到右邊；左右兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，將左邊寫成完全平方式，最后再直接開平方；
【詳解】解：（1）
兩邊同時(shí)除以2得：，
移項(xiàng)得：，
兩邊同時(shí)加上得：，
配方得：，
解得：；
（2）
兩邊同時(shí)除以得：，
移項(xiàng)得：，
兩邊同時(shí)加上得：，
配方得：，
當(dāng)時(shí)，解得：，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，該方程無實(shí)數(shù)根．
【點(diǎn)睛】本題主要考查用配方法解一元二次方程，解題時(shí)要注意解題步驟的準(zhǔn)確運(yùn)用，在含字母參數(shù)時(shí)要注意是否需要分類討論．
◇典例4：（2022·四川涼山·中考真題）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【詳解】解：，，
或，或，故方程的解為．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、換元法等）是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·云南·中考真題）方程2x2+1=3x的解為________．
【答案】
【分析】先移項(xiàng)，再利用因式分解法解答，即可求解．
【詳解】解：移項(xiàng)得：，∴，
∴或，解得：，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法，并靈活選用合適的方法解答是解題的關(guān)鍵．
2．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）解方程：
【答案】，
【分析】直接開方可得或，然后計(jì)算求解即可．
【詳解】解：∵
∴或 解得，．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程．解題的關(guān)鍵在于靈活選取適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?br/>◇典例5：（2023年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)真題）用與教材中相同型號(hào)的計(jì)算器，依次按鍵 ，顯示結(jié)果為 ．借助顯示結(jié)果，可以將一元二次方程的正數(shù)解近似表示為 ．（精確到）
【答案】
【分析】先利用公式法求出一元二次方程的解，再根據(jù)精確度的概念即可得．
【詳解】解：一元二次方程中的，
則，
所以這個(gè)方程的正數(shù)解近似表示為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)、解一元二次方程，熟練掌握一元二次方程的解法是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1. （2023年湖北省黃岡市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是我國(guó)漢代的趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形組成的一個(gè)大正方形．設(shè)圖中，，連接，若與的面積相等，則 ．

【答案】
【分析】根據(jù)題意得出，即，解方程得出（負(fù)值舍去）代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】解：∵圖中，，∴
∵與的面積相等，∴
∴∴∴ ∴解得：（負(fù)值舍去）
∴，故答案為：3．
【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，弦圖的計(jì)算，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程是解題的關(guān)鍵．
◇典例6：（2023·云南昆明·一模）已知，則的值為__________．
【答案】１
【分析】設(shè) ，原方程化為關(guān)于t的方程，解該方程求得t即的值
【詳解】解：設(shè) ，由原方程得，
解得，或（舍去）所以， 故答案為：1
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程.換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元，理論依據(jù)是等量代換，目的是變換研究對(duì)象，將問題移至新對(duì)象的知識(shí)背景中去研究，從而使非標(biāo)準(zhǔn)型問題標(biāo)準(zhǔn)化、復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，變得容易處理
◆變式訓(xùn)練
1. ．（2020·湖北荊州市·中考真題）閱讀下列問題與提示后，將解方程的過程補(bǔ)充完整，求出x的值．
問題：解方程（提示：可以用換元法解方程），
解：設(shè)，則有，
原方程可化為：，
續(xù)解：
【答案】，．
【分析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再解方程，然后進(jìn)行檢驗(yàn)確定原方程的解．
【詳解】續(xù)解：，，
解得，（不合題意，舍去），，
，，，經(jīng)檢驗(yàn)都是方程的解．
【點(diǎn)睛】本題考查了換元法解方程，涉及了無理方程及一元二次方程的解法．看懂提示是解決本題的關(guān)鍵．換元法的一般步驟：設(shè)元、換元、解元、還元．
◇典例7：（2023年山東省濟(jì)南市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，則的值可以是 （寫出一個(gè)即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】由于方程有實(shí)數(shù)根，則其根的判別式，由此可以得到關(guān)于的不等式，解不等式就可以求出的取值范圍，進(jìn)而得出答案．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，
∴，即，解得：，
∴的值可以是．故答案為：（答案不唯一）．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與判別式的關(guān)系，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年廣東廣州中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的化簡(jiǎn)結(jié)果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】首先根據(jù)關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，得判別式，由此可得，據(jù)此可對(duì)進(jìn)行化簡(jiǎn)．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴判別式，整理得：，
∴，∴，，∴．故選：A．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了一元二次方程根的判別式，二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)，理解一元二次方程根的判別式是解答此題的關(guān)鍵．
2．（2023年甘肅省蘭州市中考數(shù)學(xué)真題）關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則（ ）
A．－2 B．2 C．－4 D．4
【答案】A
【分析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．
【詳解】∵關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
∴∴，故選：A.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關(guān)鍵．
◇典例8：（2023·廣東·九年級(jí)專題練習(xí)）我們可以用以下方法求代數(shù)式的最小值．
∵ ∴
∴當(dāng)時(shí)，有最小值．
請(qǐng)根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)求代數(shù)式的最小值；
(2)求代數(shù)式的最大或最小值，并指出它取得最大值或最小值時(shí)x的值；
(3)求證：無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．
【答案】(1)-2(2)當(dāng)時(shí)，有最大值(3)證明見詳解
【分析】（1）根據(jù)題中所給方法進(jìn)行求解即可；
（2）由題中所給方法可得，然后問題可求解；
（3）由題意可得，進(jìn)而問題可求解．
(1)解：由題意得：，
∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最小值．
(2)解：由題意得：，
∵∴∴當(dāng)時(shí)，有最大值．
(3)解：由題意得：=
=；
∵∴，
∴無論x和y取任何實(shí)數(shù)，代數(shù)式的值都是正數(shù)．
【點(diǎn)睛】本題主要考查配方法的應(yīng)用及完全平方公式，熟練掌握配方法及完全平方公式是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·四川涼山·中考真題）已知實(shí)數(shù)a、b滿足a－b2＝4，則代數(shù)式a2－3b2＋a－14的最小值是________．
【答案】6
【分析】根據(jù)a－b2＝4得出，代入代數(shù)式a2－3b2＋a－14中，通過計(jì)算即可得到答案．
【詳解】∵a－b2＝4∴將代入a2－3b2＋a－14中
得：
∵ ∴ 當(dāng)a=4時(shí)，取得最小值為6 ∴的最小值為6
∵∴的最小值6答案為：6．
【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握代數(shù)式的性質(zhì)，從而完成求解．
2．（2023·重慶中考模擬）知識(shí)儲(chǔ)備
在求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值時(shí)，除了通過觀察圖象，還可以通過配方得到．把二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的右邊配方，得
y＝ax2+bx+c＝a（x2+x）+c＝a[x2+2 x+（）2﹣（）2]+c＝a（x+）2+
∵a（x+）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣時(shí)，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a＞0）的最小值為．
解決問題：（1）請(qǐng)你通過配方求函數(shù)y＝x2+的最小值．（2）你能否通過配方求函數(shù)y＝x+（x＞0）的最小值．
數(shù)學(xué)模型：已知矩形的面積為a（a為常數(shù)，a＞0），當(dāng)該矩形的長(zhǎng)為多少時(shí)，它的周長(zhǎng)最小？最小值是多少？
【答案】（1）當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)y＝x2+的最小值為2；（2）當(dāng)x＝1時(shí)，y＝x+（x＞0）的最小值為2；數(shù)學(xué)模型：該矩形的長(zhǎng)為時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．
【分析】(1)根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得，即可得到最小值；
(2) 根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得，即可得到最小值；數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2（x+）（x＞0），根據(jù)完全平方公式，進(jìn)行配方得到y(tǒng)＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，即可求出答案．
【詳解】（1）＝＝
∵，∴當(dāng)x＝±1時(shí)，函數(shù)y＝x2+的最小值為2；
（2）y＝x+＝＝（）2+（）2﹣2+2＝（﹣）2+2，
∵（﹣）2≥0，∴當(dāng)﹣＝0時(shí)，即x＝1時(shí)，y＝x+（x＞0）的最小值為2；
數(shù)學(xué)模型：設(shè)該矩形的長(zhǎng)為x，周長(zhǎng)為y，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝2（x+）（x＞0），
y＝2（x+）＝2[（﹣）2+2]＝2（﹣）2+4，
當(dāng)﹣＝0時(shí)，即x＝，y有最大值4，
∴該矩形的長(zhǎng)為時(shí)，它的周長(zhǎng)最小，最小值是4．
【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)完全平方公式，二次函數(shù)的最值，配方法的應(yīng)用，能熟練地運(yùn)用學(xué)過的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．
■考點(diǎn)三　根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）
◇典例9：（2022·四川遂寧·中考真題）已知m為方程的根，那么的值為（ ）
A． B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【分析】根據(jù)題意有，即有，據(jù)此即可作答．
【詳解】∵m為的根據(jù)，∴，且m≠0，∴，
則有原式=，故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用未知數(shù)是一元二次方程的根求解代數(shù)式的值，由m為得到是解答本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年西藏自治區(qū)中考數(shù)學(xué)真題）已知一元二次方程的兩個(gè)根為、，則的值為（ ）
A．－3 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得出兩根之和，兩根之積，然后把要求的式子變形，代入求值即可．
【詳解】解：由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得，，
∴，故選：D．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．
2．（2023年內(nèi)蒙古包頭市中考數(shù)學(xué)真題）若是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則 ．
【答案】/
【分析】由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，然后代入求解即可．
【詳解】解：由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系得，，，
∴，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，代數(shù)式求值．解題的關(guān)鍵在于熟練掌握：一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，滿足，．
◇典例10：（2023年四川省樂山市中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的一元二次方程兩根為，且，則m的值為（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，然后即可確定兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求解即可．
【詳解】解：∵關(guān)于x的一元二次方程兩根為，∴，
∵，∴，∴，故選：C．
【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握此關(guān)系是解題關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023年湖南省岳陽(yáng)市中考數(shù)學(xué)真題）已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則實(shí)數(shù) ．
【答案】3
【分析】利用一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根求出m的取值范圍，由根與系數(shù)關(guān)系得到，代入，解得的值，根據(jù)求得的m的取值范圍，確定m的值即可．
【詳解】解：∵關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，解得，
∵，，∴，
解得（不合題意，舍去），∴故答案為：3
【點(diǎn)睛】此題考查一元二次方程根的判別式和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
2．（2023年四川省宜賓中考數(shù)學(xué)真題）若關(guān)于x的方程兩根的倒數(shù)和為1，則m的值為 ．
【答案】2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可求出答案．
【詳解】解：設(shè)方程的兩個(gè)根分別為a，b，
由題意得：，，
∴，∴，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)：是分式方程的解，
檢驗(yàn)：，
∴符合題意，∴．故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◇典例11：（2022·四川涼山·中考真題）閱讀材料：
材料1：若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝，x1x2＝
材料2：已知一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，求m2n＋mn2的值．
解：∵一元二次方程x2－x－1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為m，n，
∴m＋n＝1，mn＝－1，則m2n＋mn2＝mn（m＋n）＝－1×1＝－1
根據(jù)上述材料，結(jié)合你所學(xué)的知識(shí)，完成下列問題：
(1)材料理解：一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，則x1＋x2＝ ；x1x2＝ ．
(2)類比應(yīng)用：已知一元二次方程2x2－3x－1＝0的兩根分別為m、n，求的值．
(3)思維拓展：已知實(shí)數(shù)s、t滿足2s2－3s－1＝0，2t2－3t－1＝0，且s≠t，求的值．
【答案】(1)；(2)(3)或
【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系直接進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后將進(jìn)行變形求解即可；（3）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系先求出，，然后求出s-t的值，然后將進(jìn)行變形求解即可．
【解析】 (1)解：∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根為x1，x2，
∴，．故答案為：；．
(2)∵一元二次方程2x2-3x-1＝0的兩根分別為m、n，
∴，，∴
(3)∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2-3s-1＝0，2t2-3t-1＝0，
∴s、t可以看作方程2x2-3x-1＝0的兩個(gè)根，∴，，
∵
∴或，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，綜上分析可知，的值為或．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的變形計(jì)算，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出或，是解答本題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022·湖北十堰·中考真題）已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；(2)若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為，，且，求的值．
【答案】(1)見解析 (2)
【分析】（1）根據(jù)根的判別式，即可判斷；（2）利用根與系數(shù)關(guān)系求出，由即可解出，，再根據(jù)，即可得到的值．
【解析】(1)，
∵，∴，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，，由根與系數(shù)關(guān)系可知，，，
∵，∴，∴，解得：，，
∴，即．
【點(diǎn)睛】本題考查了根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式以及根與系數(shù)的關(guān)系．
■考點(diǎn)四　一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用
◇典例12：（2022·四川眉山·中考真題）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬元，2021年投入資金1440萬元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．
(1)求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；
(2)2021年老舊小區(qū)改造的平均費(fèi)用為每個(gè)80萬元．2022年為提高老舊小區(qū)品質(zhì)，每個(gè)小區(qū)改造費(fèi)用增加15%．如果投入資金年增長(zhǎng)率保持不變，求該市在2022年最多可以改造多少個(gè)老舊小區(qū)？
【答案】(1)20%(2)18個(gè)
【分析】（1）先設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)2019年投入資金2021年投入的總資金，列出方程求解即可；
（2）由（1）得出的資金年增長(zhǎng)率求出2022年的投入資金，然后2022年改造老舊小區(qū)的總費(fèi)用要小于等于2022年投入資金，列出不等式求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為，
根據(jù)題意得：，解這個(gè)方程得，，，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合本題要求．
答：該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率為20%．
（2）設(shè)該市在2022年可以改造個(gè)老舊小區(qū)，
由題意得：，解得．
∵為正整數(shù)，∴最多可以改造18個(gè)小區(qū)．
答：該市在2022年最多可以改造18個(gè)老舊小區(qū)．
【點(diǎn)睛】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的等量關(guān)系和相應(yīng)的不等關(guān)系，列出正確的方程和不等式．
◆變式訓(xùn)練
1.（2022·重慶·中考真題）學(xué)校連續(xù)三年組織學(xué)生參加義務(wù)植樹，第一年共植樹400棵，第三年共植樹625棵．設(shè)該校植樹棵數(shù)的年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】第一年共植樹400棵，第二年植樹400（1+x）棵，第三年植樹400（1+x） 棵，再根據(jù)題意列出方程即可．
【詳解】第一年植樹為400棵，第二年植樹為400（1+x）棵，第三年400（1+x） 棵，根據(jù)題意列出方程：．故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，屬于增長(zhǎng)率的常規(guī)應(yīng)用題，解決此類題目要多理解、練習(xí)增長(zhǎng)率相關(guān)問題．
2.（2022·江蘇常州·中考真題）第十四屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME-14）會(huì)徽的主題圖案有著豐富的數(shù)學(xué)元素，展現(xiàn)了我國(guó)古代數(shù)學(xué)的文化魅力，其右下方的“卦”是用我國(guó)古代的計(jì)數(shù)符號(hào)寫出的八進(jìn)制數(shù)3745．八進(jìn)制是以8作為進(jìn)位基數(shù)的數(shù)字系統(tǒng)，有0~7共8個(gè)基本數(shù)字．八進(jìn)制數(shù)3745換算成十進(jìn)制數(shù)是，表示ICME-14的舉辦年份．
(1)八進(jìn)制數(shù)3746換算成十進(jìn)制數(shù)是_______；
(2)小華設(shè)計(jì)了一個(gè)進(jìn)制數(shù)143，換算成十進(jìn)制數(shù)是120，求的值．
【答案】(1)2022(2)9
【分析】（1）根據(jù)八進(jìn)制換算成十進(jìn)制的方法即可作答；
（2）根據(jù)n進(jìn)制換算成十進(jìn)制的方法可列出關(guān)于n的一元二次方程，解方程即可求解．
(1)，故答案為：2022；
(2)根據(jù)題意有：，整理得：，
解得n=9，（負(fù)值舍去），故n的值為9．
【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，根據(jù)題意列出關(guān)于n的一元二次方程是解答本題的關(guān)鍵．
◇典例13：（2022·黑龍江·中考真題）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（ ）
A．8 B．10 C．7 D．9
【答案】B
【分析】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程即可．
【詳解】設(shè)有x支隊(duì)伍，根據(jù)題意，得，解方程，得x1=10，x2=-9（舍去），故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.山東九年級(jí)期末）要組織一次足球聯(lián)賽，賽制為雙循環(huán)形式（每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽），共要比賽90場(chǎng)．設(shè)共有x個(gè)隊(duì)參加比賽，則x滿足的關(guān)系式為（　　）
A．x（x+1）＝90 B．x（x﹣1）＝90 C．x（x+1）＝90 D．x（x﹣1）＝90
【答案】D
【分析】設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，根據(jù)參加一次足球聯(lián)賽的每?jī)申?duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽，共要比賽90場(chǎng)，可列出方程．
【詳解】解：設(shè)有x個(gè)隊(duì)參賽，則x（x﹣1）＝90．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，關(guān)鍵是根據(jù)總比賽場(chǎng)數(shù)做為等量關(guān)系列方程求解．
2．（2023.湖北九年級(jí)期中）注意：為了使同學(xué)們更好地解答本題，我們提供了一種解題思路，你可以依照這個(gè)思路按下面的要求填空，完成本題的解答，也可以選用其他的解題方案，此時(shí)不必填空，只需按解答題的一般要求進(jìn)行解答．
參加一次商品交易會(huì)的每?jī)杉夜局g都簽訂了一份合同，所有公司共簽訂了45份合同，共有多少家公司參加商品交易會(huì)？設(shè)共有x家公司參加商品交易會(huì)．
（Ⅰ）用含x的代數(shù)式表示：
每家公司與其他　　 家公司都簽訂一份合同，由于甲公司與乙公司簽訂的合同和乙公司與甲公司簽訂的合同是同一份合同，所以所有公司共簽訂了　　 份合同；
（Ⅱ）列出方程并完成本題解答．
【答案】（Ⅰ）（x﹣1），x（x﹣1）；（Ⅱ）10家
【分析】（1）理解題意，列出代數(shù)式即可；
（2）根據(jù)“所有公司共簽訂了45份合同”得到等量關(guān)系，列出方程并求解即可．
【詳解】解：（Ⅰ）每家公司與其他（x﹣1）家公司都簽訂一份合同，
所有公司共簽訂了x（x﹣1）份合同，故答案為：（x﹣1），x（x﹣1）；
（Ⅱ）根據(jù)題意列方程得：x（x﹣1）＝45，
解得x1＝10，x2＝﹣9（舍去）檢驗(yàn)：x＝﹣9不合題意舍去，所以x＝10．
答：共有10家公司參加商品交易會(huì)．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，理解題意，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◇典例14：（2022·青海·中考真題）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為的無蓋長(zhǎng)方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計(jì)）．設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為______．
【答案】
【分析】設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意，列出方程，即可求解．
【詳解】解：設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，根據(jù)題意得：
．故答案為：
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確得到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
◆變式訓(xùn)練
1.（2023.江蘇九年級(jí)期中）如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)矩形花園（圍墻最長(zhǎng)可利用），現(xiàn)在用長(zhǎng)為的材料砌墻，若設(shè)計(jì)一種砌法，使矩形花園的面積為，則長(zhǎng)度為（ ）
A．15 B．10 C．10或15 D．12.5
【答案】A
【分析】根據(jù)可以砌50m長(zhǎng)的墻的材料，即總長(zhǎng)度是50米，AB=x米，則BC=（50-2x）米，再根據(jù)矩形的面積公式列方程，解一元二次方程即可．
【詳解】解：設(shè)AB=x米，則BC=（50-2x）米．根據(jù)題意可得，x（50-2x）=300，
解得：x1=10，x2=15，當(dāng)x=10，BC=50-10-10=30＞25，故x1=10（不合題意舍去），故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用．解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系求解，注意圍墻MN最長(zhǎng)可利用25m，舍掉不符合題意的數(shù)據(jù)．
◇典例15：（2023.廣西九年級(jí)期末）某菜農(nóng)在2022年11月底投資1600元種植大棚黃瓜，春節(jié)期間，共采摘黃瓜400千克，當(dāng)天就可以按6元/千克的價(jià)格售出．若將所采摘的黃瓜先儲(chǔ)藏起來，其質(zhì)量每天損失10千克，且每天需支付各種費(fèi)用共40元，但每天每千克的價(jià)格能上漲0.5元（儲(chǔ)藏時(shí)間不超過10天）．若該菜農(nóng)想獲得1175元的利潤(rùn)，需要將采摘的黃瓜儲(chǔ)藏____天．
【答案】5
【分析】設(shè)儲(chǔ)藏x天出售這批黃瓜可獲利1175元，則需要支付費(fèi)用40x元，損失10x千克，價(jià)格為（6+0.5x）元，根據(jù)獲利1175元，列方程求解．
【詳解】解：設(shè)儲(chǔ)藏x天出售這批黃瓜可獲利1175元，
由題意得（6+0.5x）×（400-10x）-(1600+40x)=1175，解得：x1=5，x2=15
∵儲(chǔ)藏時(shí)間不超過10天，∴x2=15舍去．故答案為：5．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程求解．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023.廣西九年級(jí)期中）某超市經(jīng)營(yíng)款新電動(dòng)玩具進(jìn)貨單價(jià)是15元．在1個(gè)月的試銷階段，售價(jià)是20元，銷售量是200件．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，銷售單價(jià)若每再漲1元，1個(gè)月就會(huì)少售出5件．
（1）若商店在1個(gè)月獲得了2250元銷售利潤(rùn)，求這款玩具銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，顧客更容易接受？
（2）若玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價(jià)不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，設(shè)銷售單價(jià)為y（y為正整數(shù)）元，求該超市銷售這款玩具有哪幾種方案？哪一種方案利潤(rùn)最高？
【答案】（1）30元；（2）有三種銷售方案：方案一：銷售價(jià)為22元；方案二：銷售價(jià)為23元；方案三，銷售價(jià)為24元，第三種方案利潤(rùn)最大．
【分析】（1）根據(jù)題意，可以列出相應(yīng)的一元二次方程，再根據(jù)考慮顧客更容易接受的價(jià)格，即可得到這款玩具的銷售單價(jià)；（2）根據(jù)題意可以得到利潤(rùn)與銷售單價(jià)的函數(shù)關(guān)系，再根據(jù)玩具生產(chǎn)廠家規(guī)定銷售單價(jià)不低于22元，且超市每月要完成不少于180件的銷售任務(wù)，可以得到單價(jià)的取值范圍，再根據(jù)銷售單價(jià)為整數(shù)，計(jì)算每種方案的實(shí)際利潤(rùn)，選取其中利潤(rùn)最大的方案即可．
【詳解】解：（1）設(shè)銷售單價(jià)為x元（），
，
解得，，，，
∴銷售單價(jià)定為30元時(shí)，顧客更容易接受；
（2）由題意得，解得：，
因?yàn)閥取正整數(shù)，所以y取22或23或24，所以有三種銷售方案：
方案一：銷售價(jià)為22元，銷售利潤(rùn)為（元），
方案二：銷售價(jià)為23元，銷售利潤(rùn)為（元），
方案三，銷售價(jià)為24元，銷售利潤(rùn)為（元），
，第三種方案利潤(rùn)最大．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用、一元一次不等式組的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答可以是解答變得簡(jiǎn)捷．
1．（2022·湖南懷化·中考真題）下列一元二次方程有實(shí)數(shù)解的是（　　）
A．2x2﹣x+1＝0 B．x2﹣2x+2＝0 C．x2+3x﹣2＝0 D．x2+2＝0
【答案】C
【分析】判斷一元二次方程實(shí)數(shù)根的情況用根的判別式進(jìn)行判斷．
【詳解】A選項(xiàng)中，，故方程無實(shí)數(shù)根；
B選項(xiàng)中，，故方程無實(shí)數(shù)根；
C選項(xiàng)中，，故方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
D選項(xiàng)中，，故方程無實(shí)數(shù)根；故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程實(shí)數(shù)根情況的判定方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考中考真題）若一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)分別是關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其面積為11，則該菱形的邊長(zhǎng)為（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到，根據(jù)菱形的面積得到，利用勾股定理以及完全平方公式計(jì)算可得答案．
【詳解】解：設(shè)方程的兩根分別為a，b，∴，
∵a，b分別是一個(gè)菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)，已知菱形的面積為11，∴，即，
∵菱形對(duì)角線垂直且互相平分，∴該菱形的邊長(zhǎng)為
，故C正確．故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及菱形的性質(zhì)，完全平方公式，利用根與系數(shù)的關(guān)系得出是解題的關(guān)鍵．
3．（2023年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題）某人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有36人患了流感．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則可得到方程（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】患流感的人把病毒傳染給別人，自己仍然患病，包括在總數(shù)中．設(shè)每一輪傳染中平均每人傳染了人，則第一輪傳染了個(gè)人，第二輪作為傳染源的是人，則傳染人，依題意列方程：．
【詳解】由題意得：，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)實(shí)際問題列一元二次方程．找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確地列出方程是解決問題的關(guān)鍵．
4．（2023年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)真題）某品牌新能源汽車2020年的銷售量為20萬輛，隨著消費(fèi)人群的不斷增多，該品牌新能源汽車的銷售量逐年遞增，2022年的銷售量比2020年增加了萬輛．如果設(shè)從2020年到2022年該品牌新能源汽車銷售量的平均年增長(zhǎng)率為x，那么可列出方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，根據(jù)2020年銷量為20萬輛，到2022年銷量增加了萬輛列方程即可．
【詳解】解：設(shè)年平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用—增長(zhǎng)率問題，準(zhǔn)確理解題意，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
5．（2022·山東臨沂·中考真題）方程的根是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】B
【分析】先把方程的左邊分解因式化為從而可得答案．
【詳解】解：，
或 解得： 故選B
【點(diǎn)睛】本題考查利用因式分解的方法解一元二次方程，掌握“十字乘法分解因式”是解本題的關(guān)鍵．
6．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）已知a、b是方程的兩根，則 ．
【答案】
【分析】利用一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，可得，從而得到，然后代入，即可求解．
【詳解】解：∵a，b是方程的兩根，
∴，∴，
∴．故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程的解的定義和根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
7. （2022·湖北荊州·中考真題）一元二次方程配方為，則k的值是______．
【答案】1
【分析】將原方程變形成與相同的形式，即可求解．
【詳解】解：；；；∴ 故答案為：1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查解一元二次方程中的配方法，掌握配方法的解題步驟是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023年山東省東營(yíng)市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，老李想用長(zhǎng)為的柵欄，再借助房屋的外墻（外墻足夠長(zhǎng)）圍成一個(gè)矩形羊圈，并在邊上留一個(gè)寬的門（建在處，另用其他材料）．

(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)和寬分別為多少米時(shí)，能圍成一個(gè)面積為640的羊圈？
(2)羊圈的面積能達(dá)到嗎？如果能，請(qǐng)你給出設(shè)計(jì)方案；如果不能，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈；(2)不能，理由見解析．
【分析】（1）設(shè)矩形的邊，則邊，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）同（1）的方法建立方程，根據(jù)方程無實(shí)根即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)矩形的邊，則邊．
根據(jù)題意，得．化簡(jiǎn)，得．解得，．
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，．
答：當(dāng)羊圈的長(zhǎng)為，寬為或長(zhǎng)為，寬為時(shí)，能圍成一個(gè)面積為的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：由題意，得．化簡(jiǎn)，得．
∵，∴一元二次方程沒有實(shí)數(shù)根．
∴羊圈的面積不能達(dá)到．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，解一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
9.（2022·湖北宜昌·中考真題）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大．該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸．(1)求4月份再生紙的產(chǎn)量；(2)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加．5月份每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加，則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬元．求的值；(3)若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了．求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？
【答案】(1)4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸(2)的值20(3)6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元
【分析】（1）設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，然后根據(jù)該廠3，4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，列出方程求解即可；
（2）根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；
（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，根據(jù)總利潤(rùn)=每一噸再生紙的利潤(rùn)×數(shù)量列出方程求解即可；
【解析】(1)解：設(shè)3月份再生紙產(chǎn)量為噸，則4月份的再生紙產(chǎn)量為噸，
由題意得：，解得：，∴，
答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸；
(2)解：由題意得：，
解得：或（不合題意，舍去） ∴，∴的值20；
(3)解：設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為，5月份再生紙的產(chǎn)量為噸，
∴
答：6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意，列出方程求解是解題的關(guān)鍵．
10．（2022·湖北黃石·統(tǒng)考中考真題）閱讀材料，解答問題：
材料1：為了解方程，如果我們把看作一個(gè)整體，然后設(shè)，則原方程可化為，經(jīng)過運(yùn)算，原方程的解為，．我們把以上這種解決問題的方法通常叫做換元法．
材料2：已知實(shí)數(shù)m，n滿足，，且，顯然m，n是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理可知，．
根據(jù)上述材料，解決以下問題：
(1)直接應(yīng)用：方程的解為_______________________；
(2)間接應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)a，b滿足：，且，求的值；
(3)拓展應(yīng)用：已知實(shí)數(shù)x，y滿足：，且，求的值．
【答案】(1)，，，(2)或(3)15
【分析】（1）利用換元法降次解決問題；（2）模仿例題解決問題即可；
（3）令=a，-n=b，則+a-7=0， +b=0，再模仿例題解決問題．
【詳解】（1）解：令y=，則有-5y+6=0，∴（y-2）（y-3）=0，∴=2，=3，∴=2或3，
∴，，，，故答案為：，，，；
（2）解：∵，∴或
①當(dāng)時(shí)，令，，∴則，，
∴，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
綜上：或
（3）解：令，，則，，
∵，∴即，∴，是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴，故．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，冪的乘方與積的乘方，換元法，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會(huì)模仿例題解決問題．
1．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）若是關(guān)于的一元二次方程的解，則的值等于( )
A．－2 B．－3 C．－1 D．－6
【答案】A
【分析】將x=1代入原方程即可求出答案．
【詳解】解：將x=1代入原方程可得：1+a+2b=0，∴a+2b=-1，
∴=2(a+2b)=2×(-1)=-2，故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是正確理解一元二次方程的解的概念，本題屬基礎(chǔ)題型．
2．（2023·湖北鄂州市·中考模擬）關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根分別為、，且，則m的值為（ ）
A． B． C． D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到x1+x2=4，代入代數(shù)式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵x1+x2=4，∴x1+3x2=x1+x2+2x2=4+2x2=5，∴x2=，
把x2=代入x2-4x+m=0得：（）2-4×+m=0，解得：m=，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2=-，x1 x2=是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北·校聯(lián)考一模）如果方程的三根可作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】方程的三根是一個(gè)三角形三邊的長(zhǎng)，則方程有一根是1，即方程的一邊是1，另兩邊是方程的兩個(gè)根，根據(jù)在三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．則方程的兩個(gè)根設(shè)是和，一定是兩個(gè)正數(shù)，且一定有，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，以及根的判別式即可確定m的范圍．
【詳解】解：∵方程有三根，
∴，有根，方程的，得．
又∵原方程有三根，且為三角形的三邊和長(zhǎng)．
∴有，，而已成立；
當(dāng)時(shí)，兩邊平方得：．
即：．解得．∴．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和三角形三邊關(guān)系，利用了：①一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，②根的判別式與根情況的關(guān)系判斷，③三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．
4．（2023·安徽·中考模擬）若方程中，滿足和，則方程的根是（ ）
A． B． C． D．無法確定
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的根的定義，將未知數(shù)的值代入方程，計(jì)算后即可得出結(jié)論．
【詳解】解：∵，把代入得：，即方程的一個(gè)解是，
把代入得：，即方程的一個(gè)解是；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查了方程的解的定義，掌握方程的解的定義并能準(zhǔn)確利用定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·浙江杭州·校聯(lián)考一模）若關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且其中一個(gè)根為另一個(gè)根的2倍，則稱這樣的方程為“2倍根方程”，以下說法不正確的是（ ）
A．方程x2－3x＋2＝0是2倍根方程
B．若關(guān)于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程，則m＋n＝0
C．若m＋n＝0且m≠0，則關(guān)于x的方程(x－2) (mx＋n)＝0是2倍根方程
D．若2m＋n＝0且m≠0，則關(guān)于x的方程x2＋(m－n)x－mn＝0 是2倍根方程
【答案】B
【分析】通過解一元二次方程可對(duì)A進(jìn)行判斷；先解方程得到x1=2，x2=-，然后通過分類討論得到m和n的關(guān)系，則可對(duì)B進(jìn)行判斷；先解方程，則利用m+n=0可判斷兩根的關(guān)系，則可對(duì)C進(jìn)行判斷；先解方程，則利用2m+n=0可判斷兩根的關(guān)系，則可對(duì)D進(jìn)行判斷．
【詳解】A. 解方程 3x+2=0得x1=1， x2=2，所以A選項(xiàng)的說法正確但不符合題意；
B. 解方程得x1=2，x2=-，當(dāng) =2×2，4m+n=0；當(dāng) =×2，則m+n=0所以B選項(xiàng)的說法錯(cuò)誤符合題意；C. 解方程得x1=2，x2= ，而m+n=0，則x2=1，所以C選項(xiàng)的說法正確但不符合題意；
D. 解方程得x1= m，x2=n，而2m+n=0，即n= 2m，所以x1=2x2，所以D選項(xiàng)的說法正確但不符合題意．故本題選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查根與系數(shù)的關(guān)系及一元二次方程的解，熟悉掌握上述知識(shí)點(diǎn)是解答本題關(guān)鍵.
6．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考二模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a，b，c為常數(shù)，且），此方程的解為，．則關(guān)于x的一元二次方程的解為______．
【答案】或##或
【分析】將和分別代入，可求得，，之間的等量關(guān)系，代入一元二次方程即可消去參數(shù)，從而解一元二次方程即可．
【詳解】解：一元二次方程的解為，，
，解得，一元二次方程可化為，
，，解得，．
一元二次方程的解為或．故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，解決本題的關(guān)鍵是利用一元二次方程的解求得，，之間的等量關(guān)系，從而代入求解．
7. （2023·浙江·中考模擬）已知實(shí)數(shù)m，n滿足，則代數(shù)式的最小值等于_____．
【答案】
【分析】由可得再代入，再利用配方法配方，從而可得答案.
【詳解】解： ，
所以的最小值是 故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查的是代數(shù)式的最值，配方法的應(yīng)用，熟練的運(yùn)用配方法求解代數(shù)式的最值是解本題關(guān)鍵.
8．（2023·廣東九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將關(guān)于x的一元二次方程變形為，就可以將表示為關(guān)于x的一次多項(xiàng)式，從而達(dá)到“降次”的目的，又如，我們將這種方法稱為“降次法”，通過這種方法可以化簡(jiǎn)次數(shù)較高的代數(shù)式．根據(jù)“降次法”，已知：，且x＞0，則的值為______．
【答案】
【分析】先利用得到，再利用的一次式表示出和，則化為，然后解方程得，從而得到的值．
【詳解】解：，
,
解得，
，故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了高次方程：通過適當(dāng)?shù)姆椒ǎ迅叽畏匠袒癁榇螖?shù)較低的方程求解，所以解高次方程一般要降次，即把它轉(zhuǎn)化成二次方程或一次方程，也有的通過因式分解來解，通過把一元二次方程變形為用一次式表示二次式，從而達(dá)到“降次”的目的，這是解決本題的關(guān)鍵．
9．（2023春·北京海淀·九年級(jí)專題練習(xí)）如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長(zhǎng)，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是___．
【答案】
【分析】首先根據(jù)題意得出方程的一個(gè)根為1，然后設(shè)另一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根為m和n，再根據(jù)根的判別式、完全平方公式、三角形三邊的關(guān)系m n<1＜m+n即可求得k的取值范圍．
【詳解】解：由題意得：， ∴
設(shè)的兩根分別是、；則，；∴；
根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理，得：，即；
，解得．故答案為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、完全平方公式、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵．
10．（2022·四川瀘州·四川省瀘縣第四中學(xué)校考一模）喜迎2022年10月16日“二十大”的召開，某公司為了貫徹“發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)，建設(shè)美麗中國(guó)”的理念，對(duì)其生產(chǎn)設(shè)備進(jìn)行了升級(jí)改造，不僅提高了產(chǎn)能，而且大幅降低了碳排放量．已知該公司七月份的產(chǎn)值為200萬元，第三季度的產(chǎn)值為720萬元，設(shè)公司每月產(chǎn)值的平均增長(zhǎng)率相同且為，則根據(jù)題意列出的方程是______．
【答案】
【分析】可先表示出八月份的營(yíng)業(yè)額，那么八月份的營(yíng)業(yè)額×（1+增長(zhǎng)率）=九月份的營(yíng)業(yè)額，等量關(guān)系為：七月份的營(yíng)業(yè)額+八月份的營(yíng)業(yè)額+九月份的營(yíng)業(yè)額=900，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：∵七月份的營(yíng)業(yè)額為200萬元，平均每月的增長(zhǎng)率為x，
∴八月份的營(yíng)業(yè)額為萬元，∴九月份營(yíng)業(yè)額為萬元，
∴可列方程為，故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，掌握求平均變化率的方法是解決問題的關(guān)鍵．注意本題的等量關(guān)系為3個(gè)月的營(yíng)業(yè)額之和．
11．（2023·四川成都·二模）已知m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的兩個(gè)根，則（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝__．
【答案】2020
【分析】由于m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以得到m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，并且m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，將所求的代數(shù)式變形后代入即可求出結(jié)果．
【詳解】解：∵m、n是方程x2+2019x﹣2＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n＝﹣2019，mn＝﹣2，m2+2019m﹣2＝0，n2+2019n﹣2＝0，
∴（m2+2018m﹣3）（n2+2020n﹣1）＝（m2+2019m﹣2﹣m﹣1）（n2+2019n﹣2+n+1）
＝（﹣m﹣1）（n+1）＝﹣mn﹣m﹣n﹣1＝2+2019﹣1＝2020，故答案為：2020．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根與系數(shù)的關(guān)系和正確計(jì)算．
12．（2022·福建福州·校考一模）已知關(guān)于x的一元二次方程．
(1)判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況．
(2)若等腰三角形的一邊長(zhǎng)為3，另兩邊的長(zhǎng)恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．
【答案】(1)一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根(2)或
【分析】（1）求出判別式的符號(hào)，進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，得到3是等腰三角形的腰長(zhǎng)，是方程的一個(gè)根，進(jìn)行求解即可．
【詳解】（1）解：；
∴一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（2）解：∵一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴是腰長(zhǎng)，是方程的一個(gè)根，
∴，整理，得：，解得：或，
當(dāng)時(shí)，，解得，
此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)：，周長(zhǎng)；
當(dāng)時(shí)，，解得，
此時(shí)等腰三角形的三邊長(zhǎng)：，周長(zhǎng)．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，以及一元二次方程與幾何的綜合應(yīng)用．熟練掌握一元二次方程的判別式與根的個(gè)數(shù)的關(guān)系，一元二次方程的解的定義，是解題的關(guān)鍵．
1．（2023·重慶·校考一模）對(duì)于二次三項(xiàng)式（m為常數(shù)），下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有（ ）
①當(dāng)時(shí)，若，則
②無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，則
③若，，則
④滿足的整數(shù)解共有8個(gè)
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解計(jì)算即可；②提取公因式x后根據(jù)恒成立找關(guān)系即可；
③兩個(gè)方程相加后因式分解即可解題；④去括號(hào)后因式分解判斷即可．
【詳解】①當(dāng)時(shí)，若，則
∴或者，故①錯(cuò)誤；
②等式化簡(jiǎn)后為
∵無論x取任何實(shí)數(shù)，等式都恒成立，
∴，即∴，故②正確；
③若，，則兩個(gè)方程相加得：，
∴ ∴ ，故③錯(cuò)誤；
④整理得：∴
∵整數(shù)解∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整數(shù)解共9對(duì)，故④錯(cuò)誤；綜上所述，結(jié)論正確的有②；故選：A．
【點(diǎn)睛】本題綜合考查因式分解的應(yīng)用，熟練的配方是解題的關(guān)鍵，題目還考查了因式分解法解一元二次方程．
2．（2023·廣東·校考模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于x的方程有兩個(gè)解，則k的取值范圍是（　　）
A．k＞﹣9 B．k≤3 C．﹣9＜k＜6 D．k
【答案】A
【分析】設(shè)，再把原方程化為，結(jié)合根的判別式可得，再由原方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，可得從而可得答案．
【詳解】解：∵∴∴
設(shè)t＝|x﹣3|，則原方程變形為，所以Δ＝1﹣4（﹣k﹣9）＞0，解得，
∵原方程有兩個(gè)解，∴方程有一正根和負(fù)根，
∴ 解得k＞﹣9，∴k的取值范圍是k＞﹣9．故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系，由原方程有兩個(gè)解得到方程有一個(gè)正根與一個(gè)負(fù)根是解本題的關(guān)鍵．
3．（2023·四川綿陽(yáng)·二模）已知實(shí)數(shù)滿足．若，且，則的最小值是（ ）
A．6 B． C．3 D．0
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出，將代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后整體代入求解即可
【詳解】解：∵實(shí)數(shù)滿足，
∴、是方程的兩個(gè)根，∴，
∴
∵，且，∴的最小值是，故選：A．
【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式及求代數(shù)式的值，熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
4．（2023年浙江省金華市中考數(shù)學(xué)真題）如圖是一塊矩形菜地，面積為．現(xiàn)將邊增加．
（1）如圖1，若，邊減少，得到的矩形面積不變，則的值是 ．
（2）如圖2，若邊增加，有且只有一個(gè)的值，使得到的矩形面積為，則的值是 ．

【答案】 6 /
【分析】（1）根據(jù)面積的不變性，列式計(jì)算即可．
（2）根據(jù)面積，建立分式方程，轉(zhuǎn)化為a一元二次方程，判別式為零計(jì)算即可．
【詳解】（1）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∵，邊減少，得到的矩形面積不變，
∴，解得，故答案為：6．
（2）根據(jù)題意，得，起始長(zhǎng)方形的面積為，變化后長(zhǎng)方形的面積為，
∴，，∴，∴，∴，
∵有且只有一個(gè)的值，∴，∴，
解得（舍去），故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的面積變化，一元二次方程的應(yīng)用，正確轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
5. （2023·浙江·中考模擬）小麗在解一個(gè)三次方程x3－2x＋1＝0時(shí)，發(fā)現(xiàn)有如下提示：觀察方程可以發(fā)現(xiàn)有一個(gè)根為1，所以原方程可以轉(zhuǎn)化為(x－1)(x2＋bx＋c)＝0．根據(jù)這個(gè)提示，請(qǐng)你寫出這個(gè)方程的所有的解______．
【答案】或1
【分析】由(x－1)(x2＋bx＋c)＝0變形為，根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的原則求得b、c的值，然后運(yùn)用因式分解和公式法求解即可．
【詳解】解：∵(x－1)(x2＋bx＋c)＝0，∴，
又由題意得：，∴解得：
∴，∴，，∴由求根公式得：，
則原方程所有的解為： 或1，故答案為：或1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了方程的解的定義和公式法求解一元二次方程，解題關(guān)鍵是根據(jù)一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系求出b、c的值．
6．（2023·湖南長(zhǎng)沙·校考三模）已知關(guān)于x的一元二次方程（a、b、c為常數(shù)，且），我們規(guī)定：若該方程的兩根滿足，則稱該方程為“靈粹二次方程”，其中，、稱為該“靈粹二次方程”的一對(duì)“奮勇向前根”．
(1)判斷：下列方程中，為“靈粹二次方程”的是________（僅填序號(hào)）
① ② ③
(2)已知關(guān)于x的一元二次方程為“靈粹二次方程”，求：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值．
(3)直線與直線相交于點(diǎn)A，并分別與x軸相交于B、C兩點(diǎn)，若m、n是某“靈粹二次方程”的一對(duì)“奮勇向前根”，設(shè)D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），當(dāng)點(diǎn)D位于以A、B、C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形內(nèi)部時(shí)．①試求出m的取值范圍．②若m為整數(shù)，且“靈粹二次方程”的二次項(xiàng)系數(shù)為1，是否存在滿足此情況的“靈粹二次方程”？若存在，請(qǐng)直接寫出該“靈粹二次方程”；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)② (2)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
(3)①或；②
【分析】（1）分別求出三個(gè)方程的根，根據(jù)“靈粹二次方程”的定義進(jìn)行判斷即可；
（2）先將t當(dāng)作已知數(shù)，解一元二次方程，得出，，根據(jù)此方程是“靈粹二次方程”，得出或，解得或，然后分別求出一元二次方程的最大值即可；
（3）①先求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，然后分或兩種情況，列出關(guān)于m的不等式組，然后解不等式組即可；②根據(jù)m為整數(shù)，先求出m的值，然后根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出b、c的值，即可得出一元二次方程．
(1)解：，
∵，∴此方程無解，不是“靈粹二次方程”；
，解方程得：，，
∵，∴此方程是“靈粹二次方程”；
，解方程得：，
∵，∴此方程不是“靈粹二次方程”；
綜上分析可知，是“靈粹二次方程”的為②．故答案為：②．
(2)解一元二次方程得：，，
∵是“靈粹二次方程”，
∴或，解得：或，
當(dāng)時(shí)，函數(shù)
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線， ∵，，
∴當(dāng)函數(shù)上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，
∴當(dāng)或時(shí)，函數(shù)最大，此時(shí)最大值為：；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)
∴函數(shù)的對(duì)稱軸為直線，∵，，
∴當(dāng)函數(shù)上的點(diǎn)距離對(duì)稱軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)，函數(shù)值越大，
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)最大，此時(shí)最大值為：；
綜上分析可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
(3)①聯(lián)立，解得：，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，
把分別代入和得：和，
解得：和，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,0），
直線AB的解析式為：，直線AC的解析式為
當(dāng)時(shí)，∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），∴點(diǎn)D在直線上，
∵點(diǎn)D位于以A、B、C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形內(nèi)部，
∴，解得：；
當(dāng)時(shí)，∵D點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），∴點(diǎn)D在直線上，
∵點(diǎn)D位于以A、B、C三點(diǎn)所構(gòu)成的三角形內(nèi)部，
∴，解得：；
綜上分析可知，m的取值范圍是：或；
②存在；∵m為整數(shù)，∴當(dāng)時(shí)，，
∴此時(shí)，解得：，“靈粹二次方程”的二次項(xiàng)系數(shù)a=1，
∴，即，，
∴，∴該“靈粹二次方程”；
當(dāng)時(shí)，沒有符合條件的值，不存在“靈粹二次方程”；
綜上分析可知，該“靈粹二次方程”為．
【點(diǎn)睛】本題是一道新定義類題目，求二次函數(shù)的最值，解一元二次方程，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，解不等式組，熟練掌握解一元二次方程的方法，理解新定義，是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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