資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題三 三角形角中有關的幾何模型（二）
模型四　雙角平分線模型
.模型1 三角形兩內角平分線的夾角
如圖，點P為△ABC的內角平分線BP與CP的交點，
結論：∠BPC＝90°∠A；
模型證明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分線，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的應用1:
【例4-1】如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數，并說明理由．
（2）題（1）中，如將“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改為“∠A＝70°”，求∠BOC的度數．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度數．
【例4-2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝（ ）
A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α
【例4-3】已知中，．在圖1中、的平分線交于點，則可計算得；在圖2中，設、的兩條三等分角線分別對應交于、，則_______________．
模型2 三角形一內角平分線和一外角平分線的夾角
2 .如圖，點P為△ABC內角平分線BP與外角平分線CP交點，
結論：∠BPC∠A；
模型證明：∵△ABC的內角平分線BP與外角平分線CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的應用2
【例4-4】如圖，中，，BD平分，平分的外角，、交于點，則的度數（　　）
A． B． C． D．
【例4-5】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例4-6】.如圖，△ABC中，∠B內角平分線和∠C外角平分線交于一點A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線交于A2，繼續作∠A2BC與∠A2CD的平分線可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，當∠A＝64°時，∠A2的度數為　 　．
模型3 三角形兩外角平分線夾角
3.如圖，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，
結論：∠P＝90°∠A
模型證明：∵BP、CP是△ABC的外角平分線，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的應用3
【例4-7】如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則∠BPC= °；
(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，直接寫出∠Q與∠BPC之間滿足的數量關系 ；
(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點E，若∠Q=∠E，求∠A的度數．
【例4-8】如圖1，在△ABC中，∠CBM和∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D．
(1)若，求∠BDC的度數：
(2)過點D作DE⊥BD，垂足為D，過點B作BFDE交DC的延長線于點F（如圖2），求證：BF是∠ABC的平分線．
【例4-9】【問題背景】
（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；
【簡單應用】
（2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數；
【問題探究】
（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數，并說明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為： （用α、β表示∠P）；
②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．
針對練習4
1 .如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設∠A=m，則∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
2 .如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，點C在BA的延長線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
3 .如圖，已知△ABC，點D，F分別在邊AB，AC上運動，點E為平面上的一個動點．當∠DEF＝∠A且點E恰在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點處，若∠1+∠2＝140°，則∠BEC為（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
4 .如圖，△ABC的角平分線相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度數；（2）設△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度數
（3）設△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分線相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度數
模型五 角的折疊模型
折紙中的角度
如圖1-11,將一張三角形紙片沿DE折疊,設∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
結論:(1)如圖①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如圖②,2∠A=∠1-∠2.
圖1-11
模型結論的推導:
結論(1):由折疊可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,
即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,
∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A.
自己試著推導結論(2).∠1—∠2=2∠A
模型的應用:
【例4-1】.如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內部，若∠2＝50°，則∠1＝　 　．
【例4-2】如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點C落在外的點處．若，則的度數為 ．
【例4-3】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數為（ ）．
A． B． C． D．
針對練習5
1 .如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數為（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
2.如圖，在中，，將沿直線翻折，點落在點的位置，則的度數是( )
A. B. C. D.
3 .（1）如圖，將沿折疊，使點 A落在的內部的點 M處，當，時，求的度數；
（2）如圖，將沿 折疊，使點 A 落在的外部的點 M 處．求圖中，，之間的數量關系；
（3）如圖 ，將、一起沿折疊，使點 A、點B的對應點 M、N 分別落在射線 的左右兩側，，，、的數量關系 ． (直接寫結果，不需要過程）
模型六　雙垂直模型
【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【結論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得證.
【例6-1】如圖，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，點C為線段BD上一點，則∠ACE的度數為（ ）
A．94° B．92° C．90° D．88°
【例6-2】AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點，∠C＝50°，求∠BHD．
如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【例6-3】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點．求∠ABE和∠BHC的度數．
針對練習6
1 .如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B．
（1）求證：CD⊥AB
證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形兩銳角互余　）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）
∴∠ADC＝90° （　三角形內角和定理　）
∴CD⊥AB．
（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點E，F，求證：∠AEC＝∠CFE；
（3）如圖③，若E為BC上一點，AE交CD于點F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四邊形BDFE的面積是　21　．
2 .已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC邊上的高，AE平分∠BAC，分別交BC、BD于點E、F．求證：∠BFE＝∠BEF．
3 .（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD、CE相交于點H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關系；
（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直線相交于點H，把圖②補充完整，并指出此時（1）中的等量關系是否仍然成立？
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題三 三角形角中有關的幾何模型（二）
模型四　雙角平分線模型
1.模型1 三角形兩內角平分線的夾角
如圖，點P為△ABC的內角平分線BP與CP的交點，
結論：∠BPC＝90°∠A；
模型證明：∵∠PBC+∠BCP+∠BPC＝180°，
∵BP、CP是角平分線，
∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠BCP，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴∠BPC＝90°∠A；
模型的應用1:
【例4-1】如圖所示，在△ABC中，BO、CO是角平分線．
（1）∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度數，并說明理由．
（2）題（1）中，如將“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改為“∠A＝70°”，求∠BOC的度數．
（3）若∠A＝n°，求∠BOC的度數．
【分析】如圖，由BO、CO是角平分線得∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，再利用三角形內角和得到∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，則2∠1+2∠2+∠A＝180°，接著再根據三角形內角和得到∠1+∠2+∠BOC＝180°，利用等式的性質進行變換可得∠BOC＝90°∠A，然后根據此結論分別解決（1）、（2）、（3）．
【解答】解：如圖，∵BO、CO是角平分線，
∴∠ABC＝2∠1，∠ACB＝2∠2，
∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°，
∴2∠1+2∠2+∠A＝180°，
∵∠1+∠2+∠BOC＝180°，
∴2∠1+2∠2+2∠BOC＝360°，
∴2∠BOC﹣∠A＝180°，
∴∠BOC＝90°∠A，
（1）∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣60°＝70°，
∴∠BOC＝90°70°＝125°；
（2）∠BOC＝90°∠A＝125°；
（3）∠BOC＝90°n°．
【點評】本題考查了三角形內角和定理：三角形內角和是180°．主要用在求三角形中角的度數：①直接根據兩已知角求第三個角；②依據三角形中角的關系，用代數方法求三個角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．
【例4-2】如圖，在四邊形ABCD中，∠A+∠D＝α，∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點P，則∠P＝（ ）
A．90°﹣α B．α C．90°+α D．360°﹣α
【答案】B
【分析】先求出∠ABC＋∠BCD的度數，然后根據角平分線的定義以及三角形的內角和定理求∠P的度數．
【詳解】解：在四邊形ABCD中，∠ABC＋∠BCD＝360° （∠A＋∠D）＝360° α，
∵BP和CP分別為∠ABC、∠BCD的平分線，
∴∠PBC＋∠PCB＝∠ABC＋∠BCD＝（∠ABC＋∠BCD）＝（360° α）＝180° α，
∴∠P＝180° （∠PBC＋∠PCB）＝180° （180° α）＝α．
故選：B．
【點睛】本題考查了多邊形的內角和以及三角形的內角和定理，關鍵是先求出∠ABC＋∠BCD的度數．
【例4-3】已知中，．在圖1中、的平分線交于點，則可計算得；在圖2中，設、的兩條三等分角線分別對應交于、，則_______________．
【答案】
【分析】首先根據三角形內角和定理求得，再由三等分角線可得，由三角形內角和定理即可求得．
【詳解】解：，
，
、的兩條三等分角線分別對應交于、，
，
，
故答案為：．
【點睛】本題考查三角形內角和定理，解題的關鍵是熟練運用三等分角線求解．
模型2 三角形一內角平分線和一外角平分線的夾角
2 .如圖，點P為△ABC內角平分線BP與外角平分線CP交點，
結論：∠BPC∠A；
模型證明：∵△ABC的內角平分線BP與外角平分線CP交于P，
∴∠PBC∠ABC，∠PCD∠ACD，
∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠PBC+∠P，
∴（∠A+∠ABC）＝∠PBC+∠P∠ABC+∠P，
∴∠P∠A；
模型的應用2
【例4-4】如圖，中，，BD平分，平分的外角，、交于點，則的度數（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】設，根據外角性質得出，再由角平分線的性質得出，，最后根據外角性質得出，將，的值代入式子中進而得出結果．
【詳解】解：設，
根據外角性質可知：，
平分，平分的外角，
，．
根據外角性質：，
．
故選：A．
【點睛】本題考查角平分線、外角的性質的理解與運用能力．主要涉及以下知識點：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角和；角平分線分得的兩個角相等，都等于該角的一半．靈活運用相關知識點是解本題的關鍵．
【例4-5】如圖，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分別平分△ABC的外角∠EAC、內角∠ABC、外角∠ACF．以下結論：①；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC．其中正確的結論有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】利用AD平分∠EAC，推出∠EAD=∠CAD，結合等腰三角形的性質及三角形的外角性質判斷①正確；根據，得到∠ADB=∠DBC，再由BD平分∠ABC，得到∠ABC=2∠DBC，由此判斷②正確；根據兩直線平行，內錯角相等可得∠ADC=∠DCF，再根據三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和，角平分線的定義整理可得∠ADC=90°﹣∠ABD，判斷出③正確；根據∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，得出∠BAC＝2∠BDC，判斷出④錯誤．
【詳解】解：∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠CAD，
∵∠EAC=∠ABC+∠ACB，∠ABC＝∠ACB，
∴∠EAD=∠CAD=∠ABC=∠ACB，
∴，故①正確；
∵，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠DBC，
∴∠ACB＝2∠ADB，故②正確；
∵，
∴∠ADC=∠DCF，
∵CD是∠ACF的平分線，
∴∠ADC=∠ACF
=（∠ABC+∠BAC）
=（180°﹣∠ACB）
=（180°﹣∠ABC）
=90°﹣∠ABD
故③正確；
∵∠ACF＝2∠DCF，∠ACF＝∠BAC＋∠ABC，∠ABC＝2∠DBC，∠DCF＝∠DBC＋∠BDC，
∴∠BAC＝2∠BDC，故④錯誤；
綜上分析可知，正確的結論有3個，故C正確．
故選：C．
【點睛】本題考查了三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，平行線的判定與性質，熟記各性質并綜合分析，理清圖中各角度之間的關系，是解題的關鍵．
【例4-6】.如圖，△ABC中，∠B內角平分線和∠C外角平分線交于一點A1，∠A1BC與∠A1CD的平分線交于A2，繼續作∠A2BC與∠A2CD的平分線可得∠A3，如此下去可得∠A4…，∠An，當∠A＝64°時，∠A2的度數為　 　．
【分析】依據∠B內角平分線和∠C外角平分線交于一點A1，即可得到∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，再根據∠A1CD是△A1BC的外角，即可得到∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A，同理可得∠A2∠A1．
【解答】解：∵△ABC中，∠B內角平分線和∠C外角平分線交于一點A1，
∴∠A1BC∠ABC，∠A1CD∠ACD，
∵∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC（∠ACD﹣∠ABC）∠A＝32°，
同理可得，∠A2∠A132°＝16°，
故答案為：16°．
【點評】本題主要考查了三角形外角性質以及角平分線的運用，解決問題的關鍵是掌握：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和．
模型3 三角形兩外角平分線夾角
3.如圖，點P是△ABC的外角平分線BP與CP的交點，
結論：∠P＝90°∠A
模型證明：∵BP、CP是△ABC的外角平分線，
∴∠PBC（∠A+∠ACB），∠PCB（∠A+∠ABC），
又∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，
∴∠P＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）
＝180°（180+∠A）
＝90°∠A．
模型的應用3
【例4-7】如圖①，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點P．
(1)如果∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，則∠BPC= °；
(2)如圖②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分線交于點Q，直接寫出∠Q與∠BPC之間滿足的數量關系 ；
(3)如圖③，延長線段BP、QC交于點E，若∠Q=∠E，求∠A的度數．
【答案】(1)125
(2)∠Q+∠BPC=180°
(3)∠A＝72°
【分析】（1）依據∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，可得∠2+∠4的度數，依據三角形內角和定理，即可得到∠BPC的度數；
（2）根據角平分線的定義和平角的定義可得出，再由四邊形的內角和定理可得結論；
（3）根據題意求出∠Q=54°，從而得∠QBC+∠QCB=126°，∠MBC+∠NCB=252°，∠ABC+∠ACB=108°，最后由三角形內角和定理可得結論．
（1）
如圖，
∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∠ABC和∠ACB的平分線相交于點P，
∴∠2+∠4=25°+30°=55°，
∴△BCP中，∠P=180°-55°=125°，
故答案為：125；
（2）
∵BP平分∠ABC，
∴
∵BQ平分
∴
又
∴，
同理可得，
∵
∴
（3）
∵∠EBQ＝90°．且∠Q＝∠E，
∴∠E+∠E=90°,
∴∠E=36°，,
∴∠Q=54°
∴∠QBC+∠QCB=126°，
∴∠MBC+∠NCB=252°
∴∠ABC+∠ACB=108°，
∴∠A＝180°-（∠ABC+∠ACB）=72°．
【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形內角和定理、外角的性質，角平分線定義等知識；靈活運用三角形的內角和定理、外角的性質是解題的關鍵．
【例4-8】如圖1，在△ABC中，∠CBM和∠BCN是△ABC的外角，∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D．
(1)若，求∠BDC的度數：
(2)過點D作DE⊥BD，垂足為D，過點B作BFDE交DC的延長線于點F（如圖2），求證：BF是∠ABC的平分線．
【答案】(1)59°
(2)見解析
【分析】(1)依據三角形內角和定理可得，∠ABC+∠ACB＝118°，進而得出∠CBM+∠BCN＝360°﹣118°＝242°，再根據∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D，即可得到，∠DBC+∠BCD＝121°，即可得出∠D＝180°﹣121°＝59°；
(2)依據DE⊥BD，BFDE，即可得出∠2+∠3＝90°，∠1+∠4＝90°，再根據∠3＝∠4，可得∠1＝∠2，進而得到BF是∠ABC的平分線．
（1）
解：∵△ABC中，∠A＝62°，
∴∠ABC+∠ACB＝118°，
又∵∠ABM＝∠ACN＝180°，
∴∠CBM+∠BCN＝360°﹣118°＝242°，
又∵∠CBM，∠BCN的平分線BD，CD交于點D，
∴∠CBD＝∠CBM，∠BCD＝∠BCN，
∴△BCD中，∠DBC+∠BCD＝(∠CBM+∠BCN)＝×242°＝121°，
∴∠BDC＝180°﹣121°＝59°；
（2）
如圖2，∵DE⊥BD，BFDE，
∴∠DBF＝180°﹣90°＝90°，
即∠2+∠3＝90°，
∴∠1+∠4＝90°，
又∵∠3＝∠4，
∴∠1＝∠2，
∴BF是∠ABC的平分線．
【點睛】本題考查了三角形的外角性質，平行線的性質與內角和定理，熟記三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵
【例4-9】【問題背景】
（1）如圖1的圖形我們把它稱為“8字形”，請說明∠A+∠B=∠C+∠D；
【簡單應用】
（2）如圖2， AP、CP分別平分∠BAD． ∠BCD，若∠ABC=46°，∠ADC=26°，求∠P的度數；
【問題探究】
（3）如圖3，直線AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，若∠ABC=36°，∠ADC=16°，請猜想∠P的度數，并說明理由．
【拓展延伸】
（4） ①在圖4中，若設∠C=α，∠B=β，∠CAP=∠CAB，∠CDP=∠CDB，試問∠P與∠C、∠B之間的數量關系為： （用α、β表示∠P）；
②在圖5中，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE， 猜想∠P與∠B、∠D的關系，直接寫出結論．
【答案】（1）見解析；（2）36°；（3）26°，理由見解析；（4）①∠P=②∠P=
【分析】（1）根據三角形內角和定理即可證明；
（2）直接利用（1）中的結論兩次，兩式相加，然后根據角平分線的性質求解即可；
（3）由AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，推出∠1=∠2，∠3=∠4，推出∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3，由∠P+（180°﹣∠1）=∠D+（180°﹣∠3），∠P+∠1=∠B+∠4，推出2∠P=∠B+∠D，即可解決問題．
（4）①同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．
②同法利用（1）種的結論列出方程即可解決問題．
【詳解】（1）在△AEB中，∠A+∠B+∠AEB=180°．
在△CED中，∠C+∠D+∠CED=180°．
∵∠AEB=∠CED，
∴∠A+∠B=∠C+∠D；
（2）由（1）得：∠1+∠B=∠3+∠P，∠4+∠D=∠2+∠P，
∴∠1+∠B+∠4+∠D =∠3+∠P+∠2+∠P．
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∴2∠P=∠B+∠D=46°+26°=72°，
∴∠P=36°．
（3）∠P=26°，理由是：如圖3：
∵AP平分∠BAD的外角∠FAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠PAD=180°﹣∠2，∠PCD=180°﹣∠3．
∵∠PAB=∠1，∠P+∠PAB =∠B+∠4，
∴∠P+∠1=∠B+∠4．
∵∠P+（180°﹣∠2）=∠D+（180°﹣∠3），
∴2∠P=∠B+∠D，
∴∠P=（∠B+∠D）=×（36°+16°）=26°．
（4）①設∠CAP=m，∠CDP=n，則∠CAB=3m，，∠CDB=3n，
∴∠PAB=2m，∠PDB=2n．
∵∠C+∠CAP=∠P+∠PDC，∠P+∠PAB=∠B+∠PDB，
∵∠C=α，∠B=β，
∴α+m=∠P+n，∠P+2m=β+2n，
∴α－∠P = n－m，∠P－β=2n－2m=2（n－m），
∴2α+β=3∠P
∴∠P=．
故答案為：∠P=．
②設∠BAP=x，∠PCE=y，則∠PAO=x，∠PCB=y．
∵∠PAO+∠P=∠PCD+∠D，∠B+∠BAO=∠OCD+∠D，
∴x+∠P=180°－y+∠D，∠B+2x=180°－2y+∠D，
∴∠P=．
故答案為：∠P=．
【點睛】本題考查了三角形內角和，三角形的外角的性質、多邊形的內角和等知識，解題的關鍵是學會用方程的思想思考幾何問題，屬于中考常考題型．
針對練習4
1 .如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，設∠A=m，則∠BOC =（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】
試題分析：如圖，
∵∠ABC和∠ACB的外角平分線交于點O，∴∠1=180°-2∠3，∠2=180°-2∠4，∴∠1+∠2=180°-2∠3+180°-2∠4，根據圖形可得：∠A=180°-∠1-∠2=m，∴∠1+∠2=180°-m，∴180°-2∠3+180°-2∠4=180°-m，∴2（∠3+∠4）=180°+m，∴∠3+∠4=，又∵在△BOC中，∠BOC=180°-（∠3+∠4），∴∠BOC=180°-=，故選B．
2 .如圖，在平面直角坐標系中，直線AB與y軸在正半軸、x軸正半軸分別交A、B兩點，點C在BA的延長線上，AD平分∠CAO，BD平分∠ABO，則∠D的度數是（ ）
A．30° B．45° C．55° D．60°
【答案】B
【分析】由OA⊥OB即可得出∠OAB+∠ABO=90°、∠AOB=90°，再根據角平分線的定義以及三角形內角和定理即可求出∠D的度數．
【詳解】解：∵OA⊥OB，∴∠OAB+∠ABO=90°，∠AOB=90°．
∵DA平分∠CAO，∴∠DAO=∠OAC=（180°-∠OAB）．∵DB平分∠ABO，∴∠ABD=∠ABO，
∴∠D=180°-∠DAO-∠OAB-∠ABD=180°-（180°-∠OAB）-∠OAB-∠ABO=90°-（∠OAB+∠ABO）=45°．
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理，解題的關鍵是找出∠D=90°-（∠OAB+∠ABO）．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟練運用三角形內角和定理解決問題是關鍵．
3 .如圖，已知△ABC，點D，F分別在邊AB，AC上運動，點E為平面上的一個動點．當∠DEF＝∠A且點E恰在∠ABC與∠ACB的角平分線的交點處，若∠1+∠2＝140°，則∠BEC為（　　）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【分析】連接AE，根據三角形的外角性質得到∠DEF+∠A＝140°，根據題意求出∠A＝70°，根據角平分線的定義、三角形內角和定理計算，得到答案．
【解答】解：連接AE，
則∠1＝∠DAE+∠DEA，∠2＝∠FAE+∠FEA，
∵∠1+∠2＝140°，
∴∠DAE+∠DEA+∠FAE+∠FEA＝140°，
∴∠DEF+∠A＝140°，
∵∠DEF＝∠A，
∴∠DEF＝∠A＝70°，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠EBC∠ABC，∠ECB∠ACB，
∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）
＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）
＝180°（180°﹣70°）
＝125°．
故選：B．
【點評】本題考查的是三角形的外角性質、三角形內角和定理、角平分線的定義，掌握三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和是解題的關鍵．
4 .如圖，△ABC的角平分線相交于P，∠A=m°,（1）若∠A=40°,求∠BPC的度數；（2）設△ABC的外角∠CBD、∠BCE的平分線相交于Q， 且∠A=m°，求∠BQC的度數
（3）設△ABC的外角∠CBD、∠BCE的n等分線相交于R，且∠A=m°，∠CBR=∠CBD，∠BCR=∠BCE，求∠BRC的度數
【答案】（1）110°（2）90°+m°（3）×180°-（此結果形式可以不同，只要正確皆可）
【詳解】試題分析：（1）根據三角形內角和定理和角平分線的性質解答即可；
（2）（3）根據三角形內角和定理和三角形外角的性質解答即可．
試題解析：解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°．∵BP、CP是角平分線，∴∠ABC=2∠PBC，∠ACB=2∠PCB，∴∠PBC+∠PCB=（∠ABC+∠ACB）==×140°=70°，∴∠P=180°－70°=110°．
（2）∵∠DBC=∠A+∠ACB，∠BCE=∠A+∠ABC，∴∠DBC+∠BCD=2∠A+∠ABC+∠ACB=∠A+180°=m+180°．∵BQ，CQ是角平分線，∴∠DBC=2∠QBC，∠BCE=2∠BCQ，∴∠QBC+∠BCQ=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）=90°+m．在△BCQ中，∠Q=180°－（∠QBC+∠BCQ）=180°-（90°+m）=90°-m．
（3）由（2）得：∠DBC+∠BCD=m+180°，∠RBC+∠BCR=（∠DBC+∠ECB）=（m+180°）．在△BCR中，∠R=180°－（∠RBC+∠BCR）=180°-（m+180°）= ．
點睛：本題主要考查了三角形內角和定理，角平分線的定義以及三角形外角性質的運用，解題時注意：三角形內角和等于180°．根據角的和差關系進行計算是解決問題的關鍵．
模型五 角的折疊模型
折紙中的角度
如圖1-11,將一張三角形紙片沿DE折疊,設∠BDA'=∠1,∠CEA'=∠2.
結論:(1)如圖①,2∠A=∠1+∠2;
(2)如圖②,2∠A=∠1-∠2.
圖1-11
模型結論的推導:
結論(1):由折疊可知,∠ADE=　　　　,∠AED=　　　　,而∠ADE+∠A'DE+∠1=　　　　,∠AED+∠A'ED+∠2=　　　　,
即∠1=180°-　　　　,∠2=180°-　　　　,
∴∠1+∠2=360°-2∠ADE-2∠AED=2∠A.
自己試著推導結論(2).∠1—∠2=2∠A
模型的應用:
【例5-1】.如圖，三角形紙片ABC中∠A＝63°，∠B＝77°，將紙片一角折疊，使點C落在△ABC的內部，若∠2＝50°，則∠1＝　 　．
【答案】30°
【解答】解：設折痕為EF，連接CC′．
∵∠2＝∠ECC′+∠EC′C，∠1＝∠FCC′+∠FC′C，∠ECF＝∠EC′F，
∴∠1+∠2＝2∠ECF，
∵∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣63°﹣77°＝40°，
∴∠1＝80°﹣50°＝30°，
故答案為：30°
【例5-2】如圖，三角形紙片中，，將沿翻折，使點C落在外的點處．若，則的度數為 ．
【答案】
【分析】根據三角形內角和定理求出，根據折疊的性質求出，根據三角形的外角的性質計算，得到答案．
【詳解】解：，，
，
由折疊的性質可知，，
，
，
故答案是：．
【點睛】本題考查的是三角形內角和定理、折疊的性質，掌握三角形內角和等于是解題的關鍵．
【例5-3】如圖，把△ABC沿EF對折，疊合后的圖形如圖所示．若∠A＝55°，∠1＝95°，則∠2的度數為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據三角形內角和定理和平角定義證得∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，再根據折疊性質得出∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，進而求得∠1＋∠2=110°即可求解．
【詳解】解：∵∠A＝55°，
∴∠AEF＋∠AFE＝180°－55°＝125°，
∴∠FEB＋∠EFC＝360°－125°＝235°，
由折疊可得：∠B′EF＋∠EFC′＝∠FEB＋∠EFC＝235°，
∴∠1＋∠2＝235°－125°＝110°，
∵∠1＝95°，
∴∠2＝110°－95°＝15°，
故選：B．
【點睛】本題考查折疊性質、三角形的內角和定理、平角定義，熟練掌握折疊性質是解答的關鍵．
針對練習5
1 .如圖，將△ABC紙片沿DE折疊，使點A落在點A'處，且A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，若∠BA'C＝120°，則∠1+∠2的度數為（　　）
A．90° B．100° C．110° D．120°
【答案】D
【分析】連接A'A，先求出∠BAC，再證明∠1+∠2=2∠BAC即可解決問題．
【詳解】解：如圖，連接AA'，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，
∴∠A'BC=∠ABC，∠A'CB=∠ACB，
∵∠BA'C=120°，
∴∠A'BC+∠A'CB=180°-120°=60°，
∴∠ABC+∠ACB=120°，
∴∠BAC=180°-120°=60°，
∵沿DE折疊，
∴∠DAA'=∠DA'A，∠EAA'=∠EA'A，
∵∠1=∠DAA'+∠DA'A=2∠DAA'，∠2=∠EAA'+∠EA'A=2∠EAA'，
∴∠1+∠2=2∠DAA'+2∠EAA'=2∠BAC=2×60°=120°，
故選：D．
【點睛】本題考查了三角形內角和定理、角平分線定義、三角形外角的性質、折疊變換等知識，解題的關鍵是正確添加輔助線，靈活應用所學知識，屬于中考常考題型．
2.如圖，在中，，將沿直線翻折，點落在點的位置，則的度數是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
本題考查三角形外角性質，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．
由題意得到，再利用外角性質得出，即可求解．
【解答】
解：如圖所示：
由題意得：，
根據外角性質得：，，
，
．
故選：．
3 .（1）如圖，將沿折疊，使點 A落在的內部的點 M處，當，時，求的度數；
（2）如圖，將沿 折疊，使點 A 落在的外部的點 M 處．求圖中，，之間的數量關系；
（3）如圖 ，將、一起沿折疊，使點 A、點B的對應點 M、N 分別落在射線 的左右兩側，，，、的數量關系 ． (直接寫結果，不需要過程）
【答案】（1），（2），（3）
【分析】（1）根據翻折的性質表示出、，再根據三角形的內角和定理列式整理即可得 ，問題隨之得解；（2）先根據翻折的性質以及平角的定義表示出、，再根據三角形的內角和定理列式整理即可得解；（3）先根據翻折的性質表示出、，再根據四邊形的內角和定理列式整理即可得解．
【詳解】解：（1）如圖，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，，，
∴，整理得，，
∵，，∴，即；
（2）如圖，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即；故答案為：；
（3）如圖，，，，，
∵翻折，∴，，
∵，∴，
整理得，，即．
【點睛】本題主要考查了三角形的內角和定理，翻折的性質，熟練掌握折痕是角平分線，三角形的內角和是，是解題的關鍵．
模型六　雙垂直模型
【條件】∠B=∠D=∠ACE=90°.
【結論】∠BAC=∠DCE，∠ACB=∠CED.
【證明】∵∠B=∠D=∠ACE=90°；∴∠BAC+∠ACB=90°；又∠ECD+∠ACB=90°；∴∠BAC=∠DCE
同理,∠ACB+∠DCE =90°，且∠CED+∠DCE =90°；∴∠ACB=∠CED，得證.
【例6-1】如圖，已知△ABC≌△CDE，∠B＝90°，點C為線段BD上一點，則∠ACE的度數為（ ）
A．94° B．92° C．90° D．88°
【答案】C
【分析】由全等三角形的性質得出∠ACB＝∠CED，則可得出答案．
【詳解】解：∵△ABC≌△CDE，
∴∠ACB＝∠CED，∠B＝∠D＝90°，
∵∠CED+∠ECD＝90°，
∴∠ACB+∠ECD＝90°，
∵∠ACB+∠ECD+∠ACE＝180°，
∴∠ACE＝90°．
故選：C．
【點睛】本題考查了全等三角形的性質；熟練掌握三角形全等的性質定理是解題的關鍵．
【例6-2】AD、BE為△ABC的高，AD、BE相交于H點，∠C＝50°，求∠BHD．
【答案】見試題解答內容
【解答】解：∵AD是△ABC的高，
∴∠BHD+∠HBD＝90°，
∵BE是△ABC的高，
∴∠HBD+∠C＝90°，
∴∠BHD＝∠C，
∵∠C＝50°，
∴∠BHD＝50°．
如圖所示，在△ABC中，CD、BE分別是AB、AC邊上的高，并且CD、BE交于點P，若∠A＝60°，則∠BPC等于（　　）
A．90° B．120° C．150° D．160°
【答案】B
【解答】解：∵∠A＝60°，BE⊥AC，
∴∠ABE＝90°﹣60°＝30°，
又∵CD⊥AB，
∴∠BDP＝90°，
∴∠BPC＝90°+∠ABE＝120°．
故選：B．
【例6-3】在△ABC中，已知∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交點．求∠ABE和∠BHC的度數．
【答案】20°，110°．
【解答】解：∵BE是AC上的高，
∴∠AEB＝90°，
∵∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，
∴∠A＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∴∠ABE＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵CF是AB上的高，
∴∠AFC＝90°，
∴∠ACF＝180°﹣90°﹣70°＝20°，
∵∠ABE＝20°，
∴∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°，
∵∠ACF＝20°，∠ACB＝60°，
∴∠BCH＝40°，
∴∠BHC＝180°﹣40°﹣30°＝110°．
針對練習6
1 .如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一點，且∠ACD＝∠B．
（1）求證：CD⊥AB
證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（　直角三角形兩銳角互余　）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）
∴∠ADC＝90° （　三角形內角和定理　）
∴CD⊥AB．
（2）如圖②，若∠BAC的平分線分別交BC，CD于點E，F，求證：∠AEC＝∠CFE；
（3）如圖③，若E為BC上一點，AE交CD于點F，BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36．
①求S△CEF﹣S△ADF的值；
②四邊形BDFE的面積是　21　．
【分析】（1）根據直角三角形的性質、三角形內角和定理解答即可；
（2）根據角平分線的定義得到∠CAE＝∠BAE，根據三角形的外角性質計算，證明結論；
（3）①根據三角形的面積公式分別求出S△ACD、S△ACE，結合圖形計算即可；
②連接BF，設S△ADF＝x，根據三角形的面積公式列出方程，求出x，把x代入計算得到答案．
【解答】（1）證明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°（已知）
∴∠A+∠B＝90°（直角三角形兩銳角互余）
又∵∠ACD＝∠B（已知）
∴∠A+∠ACD＝90°（等量代換）
∴∠ADC＝90° （三角形內角和定理），∴CD⊥AB．
故答案為：直角三角形兩銳角互余；三角形內角和定理；
（2）證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠AEC＝∠BAE+∠B，∠CFE＝∠ACD+∠CAE，
∴∠AEC＝∠CFE；
（3）解：①∵BC＝3CE，AB＝4AD，S△ABC＝36，
∴S△ACDS△ABC＝9，S△ACES△ABC＝12，
∴S△CEF﹣S△ADF＝S△ACE﹣S△ACD＝12﹣9＝3；
②連接BF，
設S△ADF＝x，則S△CFE＝3+x，
∵AB＝4AD，
∴S△BDF＝3x，
∵BC＝3CE，
∴S△BEF＝2（x+3）＝2x+6，
∴x+3+2x+6+3x36，
解得，x＝3，
∴四邊形BDFE的面積＝3x+2x+6＝21，
故答案為：21．
2 .已知△ABC中，∠ABC＝90°，BD是AC邊上的高，AE平分∠BAC，分別交BC、BD于點E、F．求證：∠BFE＝∠BEF．
【分析】根據角平分線的定義可得∠BAE＝∠CAE，再根據等角的余角相等求出∠BEF＝∠AFD，然后根據對頂角相等可得∠BFE＝∠AFD，等量代換即可得解．
【解答】證明：∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE，
∵BD⊥AC，∠ABC＝90°，
∴∠BAE+∠BEF＝∠CAE+∠AFD＝90°，
∴∠BEF＝∠AFD，
∵∠BFE＝∠AFD（對頂角相等），
∴∠BEF＝∠BFE
3 .（1）如圖①，△ABC是銳角三角形，高BD、CE相交于點H，找出∠BHC和∠A之間存在何種等量關系；
（2）如圖②，若△ABC是鈍角三角形，∠A＞90°，高BD、CE所在的直線相交于點H，把圖②補充完整，并指出此時（1）中的等量關系是否仍然成立？
【分析】（1）根據對頂角的性質，可得∠BHC與∠EHD的關系，根據四邊形的內角和定理，可得答案；
（2）根據對頂角的性質，可得∠BHC與∠EHD的關系，根據四邊形的內角和定理，可得答案．
【解答】解：（1）由∠BHC與∠EHD是對頂角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于點H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四邊形內角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠A+∠EHD＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠A＝180°；
（2）如圖，由∠BHC與∠EHD是對頂角，得
∠BHC＝∠EHD．
由高BD、CE相交于點H，得
∠ADH＝∠AEH＝90°．
由四邊形內角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA＝360°，
∠H+∠DAE＝360°﹣∠AEH﹣∠HDA＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∴∠BHC+∠BAC＝180°．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
HYPERLINK "http://21世紀教育網(www.21cnjy.com)
" 21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑