資源簡介

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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題五 《全等三角形》考點知識梳理專題訓練
知識點歸納
知識點 1： 全等圖形
全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
（一）全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關。
（二）兩個全等形的面積一定相等，但面積相等的兩個圖形不一定是全等形。
（三）一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，形狀、大小都沒有改變，只是位置發生了變化，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
知識點2：全等多邊形
（1）定義：能夠完全重合的兩個多邊形叫做全等多邊形.相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角.
（2）性質：全等多邊形的對應邊相等，對應角相等.
（3）判定：邊、角分別對應相等的兩個多邊形全等.
知識點3： 全等三角形
（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的對應元素
1、概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
對應頂點：點A與點D，點B與點E，點C與點F。對應邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF。對應角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。
2、對應元素的確定方法
（1）字母順序確定法∶根據書寫規范，按照對應頂點確定對應邊、對應角。
（2）圖形位置確定法
①公共邊一定是對應邊；
②公共角一定是對應角；
③對頂角一定是對應角;
（3）圖形大小確定法∶兩個全等三角形的最大的邊（角）是對應邊（角），最小的邊（角）是對應邊（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
知識點4 ：全等三角形的性質
（一）全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
（二）全等三角形對應邊上的高、中線分別相等，對應角的平分線相等，面積相等，周長相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的對應邊相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應角相等）。
知識點 5 判定全等三角形（邊邊邊）
1、三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。
知識點6 判定全等三角形（邊角邊）
1、用直尺和圓規作一個角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D。
②畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C'。
③以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點D';
④過點D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。
2、兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。
知識點7 判定全等三角形（角邊角）
兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。
知識點8 判定全等三角形（角角邊）
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。
知識點9 判定全等三角形（直角邊、斜邊）
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。
注意：用“HL”證明兩個直角三角形全等，書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”。
知識點10 角的平分線的性質
（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）
1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。
2、分別以M,N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C。
3、畫射線OC，射線OC即為所求。
（二）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE。
知識點11 角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
幾何表示：
∵點P是∠AOB內的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，
∴點P在∠AOB的平分線OC上。
重要拓展：
1、三角形的三條角平分線相交于三角形內一點，且該點到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點。
2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比。
∵AD是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
高頻考點：
【考點1】全等圖形．
【例1-1】下列4個圖形中，屬于全等的2個圖形是_________.（填序號）
【例1-2】下列四個選項圖中，與題圖中的圖案完全一致的是（ ）
A． B． C． D．
針對練習1
1.下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（　　）
B．
C． D．
2.下列說法正確的是（　　）
A．兩個形狀相同的圖形稱為全等圖形
B．兩個圓是全等圖形
C．全等圖形的形狀、大小都相同
D．面積相等的兩個三角形是全等圖形
3 .如圖，四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'，則∠A的度數是 　 　°．

【考點2】全等三角形的性質．
【例2-1】下列說法中，正確的有（ ）
①形狀相同的兩個圖形是全等形 ②面積相等的兩個圖形是全等形 ③全等三角形的周長相等，面積相等 ④若，則，
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【例2-2】如圖，△ABC≌△DEC，點E在AB上，AC與DE相交于點F，∠BCE＝40°．則∠AED的度數為（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【例2-3】如圖，△ABC 中，點 A（0，1），點 C（4，3），如果要使△ABD 與△ABC 全等，那么符合條件的點 D 的坐標為　 　.
針對練習2
1 .若△ABC≌△DEF，則根據圖中提供的信息，可得出x的值為（　　）
A．30 B．27 C．35 D．40
2 .如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網格的格點上，則∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．72° C．45° D．90°
3.如圖，△AOB≌△DOC，△AOB的周長為10，且BC＝4，則△DBC的周長為（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【考點3】全等三角形的判定
【例3-1】如圖，點在一條直線上，，求證：．

【例3-2】如圖，在中，D是延長線上一點，滿足，過點C作，且，連接并延長，分別交，于點F，G．

(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
【例3-3】如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【例3-4】如圖，∠A＝∠D＝90°，添加下列條件中的一個后，能判定△ABC與△DCB全等的有（　　）
①∠ABC＝∠DCB；
②∠ACB＝∠DBC；
③AB＝DC；
④AC＝DB．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
針對練習3
1.如圖，已知點是線段上一點，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
2 .如圖，，，連接交于點O，點E，F在線段上，且．求證：．

3 .已知：如圖，、是的高，且．求證：．

4.如圖，，和是對應角．在中，是最長邊．在中，是最長邊，，，．

(1)寫出其他對應邊及對應角；
(2)求線段及線段的長度．
【考點4】全等三角形的判定與性質
【例4-1】如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點B，D，E在同一直線上，若∠1＝25°，∠2＝35°，則∠3的度數是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【例4-2】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（3，0），B（0，﹣1），點C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，則點C的坐標是（　　）

A．（﹣4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）
【例4-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E為AC邊上一點，連接BE與AD交于點F，G為△ABC外一點，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．
（1）求證：△ABF≌△ACG；
（2）求證：BE＝CG+EG．
針對練習4
1.如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O．
（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．
2 .如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點F，且AD＝CD．
（1）求證：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．
3 .如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度數；
（3）求證：CD＝2BF+DE．
如圖，CD＝BE，∠C＝∠B，∠1＝∠2．
（1）求證：△ABE≌△ACD．
（2）若ME＝5，求DN的長度．
【考點5】全等三角形的應用
【例5-1】如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻的兩側，已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的寬度DF相等，則這兩個滑梯與墻面的夾角∠ACB與∠DEF的度數和為（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【例5-2】如圖，把兩根鋼條AA′、BB′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），若測得AB＝5米，則槽寬為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【例5-3】如圖，為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側選擇了一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
針對練習5
1 .如圖，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上（如圖），可以說明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此測得DE的長就是AB的長，判定△ABC≌△EDC，最恰當的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
2 如圖，某人將一塊三角形玻璃打碎成兩塊，帶　②　塊（填序號）能到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，用到的數學道理是　 　．
3 .王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為　 　cm．
【考點6】角平分線的性質
【例6-1】如圖，已知，射線平分，過點E作于點H，作于點F，并延長交于點G，連接．若，則的長為 ．

【例6-2】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，則DE的長（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【例6-3】如圖，中，，的平分線交于點D，若，則點D到的距離是 cm．

針對練習6
如圖，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，則△ABC的面積是（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
2 .如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△OAB：S△OBC：S△OAC的值為（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
3.如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．
（1）求∠PAD的度數；
（2）求證：P是線段CD的中點．
【考點7】角平分線的判定
【例7-1】如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．
（1）求證：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．
【例7-2】如圖，已知垂足為，垂足為，，．

(1)求證：平分；
(2)丁丁同學觀察圖形后得出結論：，請你幫他寫出證明過程．
【例7-3】已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．
(1)求證：平分；
(2)若，求的度數．
針對練習7
1 .如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點，于點，于點．

(1)若，求點到直線的距離；
(2)求證：點在的平分線上．
2.求證：三角形兩外角的平分線的交點到三角形三邊（或所在的直線）距離相等．
要求：畫圖，寫出已知，求證，然后寫出證明過程．
【考點8】尺規作圖：（1）作一個角等于已知角（2）作已知角的平分線
【例8-1】下面是小明同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線“的尺規作圖過程．
已知：如圖，直線和直線外一點．
求作：直線，使直線直線．
作法：如圖，
①在直線上任取一點，作射線；
②以為圓心，為半徑作弧，交直線于點，連接；
③以為圓心，長為半徑作弧，交射線于點；分別以為圓心，大于長為半徑作弧，在的右側兩弧交于點；
④作直線；
所以直線就是所求作的直線．
根據上述作圖過程，回答問題：
（1）用直尺和圓規，補全圖中的圖形；
（2）完成下面的證明：
證明：由作圖可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依據1)．
，
．
，∴直線直線．(______________________)(填依據2)．
【例8-2】如圖，已知銳角，．
（1）尺規作圖：求作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）點在邊上且，請連接，求證：．
針對練習8
1.如圖，在中，，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
2．如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規作圖痕跡可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題五 《全等三角形》考點知識梳理專題訓練
知識點歸納
知識點 1： 全等圖形
全等形：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等形。
（一）全等形的形狀相同，大小相等，與圖形所在的位置無關。
（二）兩個全等形的面積一定相等，但面積相等的兩個圖形不一定是全等形。
（三）一個圖形經過平移、翻折、旋轉后，形狀、大小都沒有改變，只是位置發生了變化，即平移、翻折、旋轉前后的圖形全等。
知識點2：全等多邊形
（1）定義：能夠完全重合的兩個多邊形叫做全等多邊形.相互重合的頂點叫做對應頂點，相互重合的邊叫做對應邊，相互重合的角叫做對應角.
（2）性質：全等多邊形的對應邊相等，對應角相等.
（3）判定：邊、角分別對應相等的兩個多邊形全等.
知識點3： 全等三角形
（一）全等三角形：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。
（二）全等三角形中的對應元素
1、概念：把兩個全等的三角形重合到一起，重合的頂點叫做對應頂點，重合的邊叫做對應邊，重合的角叫做對應角。
對應頂點：點A與點D，點B與點E，點C與點F。對應邊：AB與DE，AC與DF，BC與EF。對應角：∠A與∠D，∠B與∠E，∠C與∠F。
2、對應元素的確定方法
（1）字母順序確定法∶根據書寫規范，按照對應頂點確定對應邊、對應角。
（2）圖形位置確定法
①公共邊一定是對應邊；
②公共角一定是對應角；
③對頂角一定是對應角;
（3）圖形大小確定法∶兩個全等三角形的最大的邊（角）是對應邊（角），最小的邊（角）是對應邊（角）。
（三）全等三角形的表示：全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，記作△ABC≌△DEF。記兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應的位置上。
知識點4 ：全等三角形的性質
（一）全等三角形的對應邊相等，全等三角形的對應角相等。
（二）全等三角形對應邊上的高、中線分別相等，對應角的平分線相等，面積相等，周長相等。
∵△ABC≌△DEF∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的對應邊相等）。∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的對應角相等）。
知識點 5 判定全等三角形（邊邊邊）
1、三邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊邊邊”或“SSS”）。
知識點6 判定全等三角形（邊角邊）
1、用直尺和圓規作一個角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B')
①以點O為圓心，任意長為半徑畫弧，分別交OA，OB于點C、D。
②畫一條射線O'A'，以點O'為圓心，OC長為半徑畫弧，交O'A'于點C'。
③以點C'為圓心，CD長為半徑畫弧，與第2步中所畫的弧相交于點D';
④過點D'畫射線O'B'，則∠A'O'B'=∠AOB。
2、兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“邊角邊”或“SAS”）。
知識點7 判定全等三角形（角邊角）
兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫成“角邊角”或“ASA”）。
知識點8 判定全等三角形（角角邊）
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫成"角角邊"或"AAS"）。
知識點9 判定全等三角形（直角邊、斜邊）
斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等（簡寫成"斜邊、直角邊"或"HL"）。
注意：用“HL”證明兩個直角三角形全等，書寫時兩個三角形符號前面要加上“Rt”。
知識點10 角的平分線的性質
（一）作已知角的平分線（已知：∠AOB。求作：∠AOB的平分線）
1、以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N。
2、分別以M,N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C。
3、畫射線OC，射線OC即為所求。
（二）角的平分線的性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等。
幾何表示：∵OC是∠AOB的平分線，P是OC上一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E。∴PD=PE。
知識點11 角的平分線的判定
角的內部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上。
幾何表示：
∵點P是∠AOB內的一點，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，且PD=PE，
∴點P在∠AOB的平分線OC上。
重要拓展：
1、三角形的三條角平分線相交于三角形內一點，且該點到三角形三邊的距離相等。反之，三角形內部到三邊距離相等的點是該三角形三條角平分線的交點。
2、三角形的角平分線與三角形一邊交于一點，這條角平分線把三角形分成兩個小三角形，它們的面積比等于另外兩邊的長度的比。
∵AD是∠BAC的角平分線；∴DF=DE；∵；；∴ = ；
高頻考點：
【考點1】全等圖形．
【考點1】全等圖形．
【例1-1】下列4個圖形中，屬于全等的2個圖形是_________.（填序號）
【答案】①③
【分析】先求出的度數，然后分析求解即可.
【詳解】解：在③中，，
∴與①中的相等，并且兩夾邊對應相等，
∴屬于全等的2個圖形是①③
故答案為①③.
【點評】本題考查了三角形全等的條件，熟悉全等三角形的判定定理是解題的關鍵.
【例1-2】下列四個選項圖中，與題圖中的圖案完全一致的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據全等形是能夠完全重合的兩個圖形進行分析判斷．
【詳解】解：將原圖繞其中心順時針旋轉144度后，可以和A中的圖形重合；
原圖通過旋轉變換不能得到與B、C、D中的圖形重合，
故選：A．
【點睛】本題考查的是全等形的識別，通過旋轉找出原圖與選項中的圖形重合是解題的關鍵。
針對練習1
1.下列各組中的兩個圖形屬于全等圖形的是（　　）
B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據全等圖形的定義，逐一判斷選項，即可．
【詳解】解：A、兩個圖形不能完全重合，不屬于全等圖形，故此選項不符合題意；
B、兩個圖形能完全重合，屬于全等圖形，故此選項符合題意；
C、兩個圖形不能完全重合，不屬于全等圖形，故此選項不符合題意；
D、兩個圖形不能完全重合，不屬于全等圖形，故此選項不符合題意．
故選：B．
【點評】本題主要考查全等圖形的定義，熟練掌握“能完全重合的兩個圖形，是全等圖形”是解題的關鍵．
2.下列說法正確的是（　　）
A．兩個形狀相同的圖形稱為全等圖形
B．兩個圓是全等圖形
C．全等圖形的形狀、大小都相同
D．面積相等的兩個三角形是全等圖形
【答案】C
【解答】解：A、兩個形狀相同、大小相同的圖形是全等圖形，故原命題錯誤，不符合題意；
B、兩個圓的形狀相同但大小不相同，不是全等圖形，故原命題錯誤，不符合題意；
C、全等圖形的形狀、大小都相同，正確，符合題意；
D、面積相等的兩個三角形不一定是全等圖形，故原命題錯誤，不符合題意．
故選：C．
3 .如圖，四邊形ABCD≌四邊形A'B'C'D'，則∠A的度數是 　 　°．

【答案】95．
【分析】利用相似多邊形對應角相等即可求解．
【解答】解：∵四邊形ABCD∽四邊形A′B′C′D′，
∴∠D＝∠D′＝130°，
∴∠C′＝360°﹣130°﹣60°﹣75°＝95°
∴∠α＝∠C′＝95°，
故答案為：95．
【考點2】全等三角形的性質．
【例2-1】下列說法中，正確的有（ ）
①形狀相同的兩個圖形是全等形 ②面積相等的兩個圖形是全等形 ③全等三角形的周長相等，面積相等 ④若，則，
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】A
【分析】根據全等的定義和性質判斷即可．
【詳解】①形狀大小都相同的兩個圖形是全等形，故①錯誤；
②面積相等的兩個圖形不一定是全等形，故②錯誤；
③全等三角形的周長相等，面積相等，是對的，故③正確；
④若，則，，故④錯誤；
故正確的有1個．
故選：A
【點睛】此題考查全等三角形的定義和性質，解題關鍵是掌握全等三角形的定義．
【例2-2】如圖，△ABC≌△DEC，點E在AB上，AC與DE相交于點F，∠BCE＝40°．則∠AED的度數為（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【分析】由△ABC≌△DEC，得∠DEC＝∠B＝73°，BC＝EC，再求出∠CEB＝∠B，最后根據平角的性質即可得答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEC，
∴BC＝EC，∠CED＝∠B，
∴∠CEB＝∠B，
∵∠BCE＝40°，
∴∠CEB＝∠B＝＝70°，
∴∠AED＝180°﹣∠DEC﹣∠CEB＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
故選：A．
【例2-3】如圖，△ABC 中，點 A（0，1），點 C（4，3），如果要使△ABD 與△ABC 全等，那么符合條件的點 D 的坐標為　 　.
【答案】 或 或（-1，3）
【解析】【解答】解：因為 與 的一條邊 重合
當點D在 的下方時，滿足條件的坐標有 和 ；
當點D在 的上方時，滿足條件的坐標是 .
故滿足條件的為 或 或（-1，3）
針對練習2
1 .若△ABC≌△DEF，則根據圖中提供的信息，可得出x的值為（　　）
A．30 B．27 C．35 D．40
【答案】A
【分析】直接利用全等三角形的性質得出對應邊相等進而得出答案．
【解答】解：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF＝30，
故選：A．
2 .如圖，圖形的各個頂點都在3×3正方形網格的格點上，則∠1+∠2＝（　　）
A．60° B．72° C．45° D．90°
【答案】C
【解答】解：如圖所示，∵AB＝AD＝1，BC＝DE＝2，∠ABC＝∠ADE＝90°，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠AED＝∠1，
∴∠1+∠2＝∠2+∠AED＝∠BEF，
∵EF＝BF＝1，∠BFE＝90°，
∴∠BEF＝45°，
∴∠1+∠2＝∠BEF＝45°．
故選：C．
3.如圖，△AOB≌△DOC，△AOB的周長為10，且BC＝4，則△DBC的周長為（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】由全等三角形的性質得出△DOC的周長為10，進而得出△DBC的周長＝△DOC的周長+BC即可．
【解答】解：∵△AOB≌△DOC，△AOB的周長為10，
∴△DOC的周長為10，OB＝OC，
∴△DBC的周長＝DO+OB+DC+BC
＝DO+OC+DC+BC
＝△DOC的周長+BC
＝10+4
＝14．
故選：C．
【考點3】全等三角形的判定
【例3-1】如圖，點在一條直線上，，求證：．

【答案】見解析
【分析】根據題意，運用“邊邊邊”的方法證明三角形全等．
【詳解】證明：∵，
∴，即，
在和中
∴．
【點睛】本題主要考查三角形全等的判定，掌握全等三角形的判定方法解題的關鍵．
【例3-2】如圖，在中，D是延長線上一點，滿足，過點C作，且，連接并延長，分別交，于點F，G．

(1)求證：；
(2)若，，求的長度．
【答案】(1)見解析
(2)4
【分析】（1）根據證明即可；
（2）根據全等三角形的性質解答即可．
【詳解】（1）∵，
∴，
在與中，
，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
【點睛】此題考查全等三角形的判定和性質，關鍵是掌握全等三角形的判定和性質．
【例3-3】如圖，小明書上的三角形被墨跡污染了一部分，他根據所學的知識很快就畫出了一個與書上完全一樣的三角形，那么小明畫圖的依據是（　　）
A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA
【答案】D
【分析】根據圖象，三角形有兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以根據“角邊角”畫出即可．
【解答】解：根據題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角邊角”定理作出完全一樣的三角形．
故選：D．
【例3-4】如圖，∠A＝∠D＝90°，添加下列條件中的一個后，能判定△ABC與△DCB全等的有（　　）
①∠ABC＝∠DCB；
②∠ACB＝∠DBC；
③AB＝DC；
④AC＝DB．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】D
【分析】根據題意和圖形，可以得到∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，然后根據各個選項中的條件，結合全等三角形的判定定理即可求解．
【解答】解：①添加條件∠ABC＝∠DCB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC與△DCB全等，故①符合題意；
②添加條件∠ACB＝∠DBC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由AAS能判定△ABC與△DCB全等，故②符合題意；
③添加條件AB＝DC，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC與△DCB全等，故③符合題意；
④添加條件AC＝DB，又∠A＝∠D＝90°，BC＝CB，由HL能判定△ABC與△DCB全等，故④符合題意．
故選：D．
針對練習3
1.如圖，已知點是線段上一點，，．
(1)求證：；
(2)求證：．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】（1）由得，即，從而即可證得；
（2）由可得，，即可得到，從而即可得證．
【詳解】（1）證明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：，
，，
，
．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解題的關鍵．
2 .如圖，，，連接交于點O，點E，F在線段上，且．求證：．

【分析】利用已知條件證明，推出，由，得到，即．
【詳解】證明：∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即．
【點睛】此題考查全等三角形的性質與判定，解題的關鍵是證明．
3 .已知：如圖，、是的高，且．求證：．

【分析】根據、是的高得到直角，再證明≌即可得到結論．
【詳解】證明：、是的高，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【點睛】本題考查全等三角形的性質和判定，利用證明直角三角形全等是本題關鍵．
4.如圖，，和是對應角．在中，是最長邊．在中，是最長邊，，，．

(1)寫出其他對應邊及對應角；
(2)求線段及線段的長度．
【答案】(1)對應邊：和，和；對應角：和，和.
(2)，
【分析】（1）由和是對應角可知F和M點是對應點，結合最長邊對應關系可知和相對應，再由對應邊所對的角也是對應關系可知和是對應角，據此進行逐一判斷即可；
（2）由（1）所得對應關系可知，，由，可得.
【詳解】（1）解：對應邊：和，和；對應角：和，和.
（2）∵，
∴，，
∵，
∴.
【點睛】本題考查了全等三角形的性質，熟練掌握全等三角形的對應邊相等，對應角相等是解題的關鍵.
【考點4】全等三角形的判定與性質
【例4-1】如圖，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，點B，D，E在同一直線上，若∠1＝25°，∠2＝35°，則∠3的度數是（　　）
A．50° B．55° C．60° D．70°
【答案】C
【分析】先證明△BAD≌△CAE（SAS），根據全等三角形的性質可得∠1＝∠ABD，再根據外角的性質，即可求出∠3．
【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠1＝∠ABD，
∵∠1＝25°，∠2＝35°，
∴∠3＝∠2+∠ABD＝60°，
故選：C．
【例4-2】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A（3，0），B（0，﹣1），點C在第四象限，且AB＝BC，∠ABC＝90°，則點C的坐標是（　　）

A．（﹣4，1） B．（1，﹣4） C．（﹣1，4） D．（4，﹣1）
【答案】B
【分析】過點C作CE⊥y軸于E，根據AAS證明△AOB與△BEC全等，進而解答即可．
【解答】解：過點C作CE⊥y軸于E，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠AOB＝90°，
∴∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠BAO＝∠CBE，
在△AOB與△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴OB＝EC＝1，BE＝OA＝3，
∴OE＝OB+BE＝1+3＝4，
∴點C坐標（1，﹣4），
故選：B．
【例4-3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，E為AC邊上一點，連接BE與AD交于點F，G為△ABC外一點，滿足∠ACG＝∠ABE，∠FAG＝∠BAC，連接EG．
（1）求證：△ABF≌△ACG；
（2）求證：BE＝CG+EG．
【分析】（1）根據已知條件可得∠BAD＝∠CAG，然后利用ASA即可證明△ABF≌△ACG；
（2）結合（1）的結論，再證明△AEF≌△AEG，即可解決問題．
【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠FAG，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠FAG﹣∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAG，
在△ABF和△ACG中，
，
∴△ABF≌△ACG（ASA）；
（2）證明：∵△ABF≌△ACG，
∴AF＝AG，BF＝CG，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵∠BAD＝∠CAG，
∴∠CAD＝∠CAG，
在△AEF和△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS）．
∴EF＝EG，
∴BE＝BF+FE＝CG+EG．
針對練習4
1.如圖，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC與EF交于點O．
（1）求證：Rt△ABC≌Rt△DEF；
（2）若∠A＝51°，求∠BOF的度數．
【答案】（1）證明見解答；
（2）78°．
【分析】（1）根據HL證明兩個三角形全等；
（2）根據三角形全等的性質和三角形外角的性質可得結論．
【解答】（1）證明：∵AE＝DB，
∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，
在Rt△ACB和Rt△DFE中，
，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；
（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝51°，
∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣51°＝39°，
由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，
∴∠ABC＝∠DEF．
∴∠DEF＝39°，
∴∠BOF＝∠ABC+∠BEF＝39°+39°＝78°．
2 .如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD與CE交于點F，且AD＝CD．
（1）求證：△ABD≌△CFD；
（2）已知BC＝7，AD＝5，求AF的長．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）由ASA證明△ABD≌△COD即可；
（2）理由全等三角形的性質即可解決問題；
【解答】（1）證明：∵AD⊥BC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠CDF＝∠CEB＝90°，
∴∠BAD+∠B＝∠FCD+∠B＝90°，
∴∠BAD＝∠FCD，
在△ABD和CFD中，
，
∴△ABD≌△CFD（ASA），
（2）解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD＝DF，
∵BC＝7，AD＝DC＝5，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∴AF＝AD﹣DF＝5﹣2＝3．
3 .如圖，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足為F．
（1）求證：△ABC≌△ADE；
（2）求∠FAE的度數；
（3）求證：CD＝2BF+DE．
【答案】見試題解答內容
【分析】（1）根據題意和題目中的條件可以找出△ABC≌△ADE的條件；
（2）根據（1）中的結論和等腰直角三角形的定義可以得到∠FAE的度數；
（3）根據題意和三角形全等的知識，作出合適的輔助線即可證明結論成立．
【解答】證明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，
∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，
，
∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，
∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，
∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，
∴∠CFA＝90°，
∴∠CAF＝45°，
∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延長BF到G，使得FG＝FB，
∵AF⊥BG，
∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，
，
∴△AFB≌△AFG（SAS），
∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，
∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，
∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，
∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，
在△CGA和△CDA中，
，
∴△CGA≌△CDA（AAS），
∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，
∴CD＝2BF+DE．
如圖，CD＝BE，∠C＝∠B，∠1＝∠2．
（1）求證：△ABE≌△ACD．
（2）若ME＝5，求DN的長度．
【答案】（1）證明見解答；
（2）DN＝5．
【分析】（1）根據已知條件利用AAS證明△ABE≌△ACD；
（2）先根據△ABE≌△ACD得出AB＝AC，∠E＝∠D，再利用ASA證明△ABM≌△ACD，然后得出AM＝AN，再證明△ADN≌△AEM，從而得出DN＝ME．
【解答】（1）證明∵∠1＝∠2，
∴∠BAE＝∠CAD，
∵CD＝BE，∠C＝∠B，
∴△ABE≌△ACD（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△ACD，
∴AB＝AC，∠E＝∠D，
∵∠C＝∠B，∠1＝∠2，
∴△ABM≌△ACD（ASA），
∴AM＝AN，
∵∠DAN＝∠EAM，∠E＝∠D，
∴△ADN≌△AEM（AAS），
∴DN＝ME＝5．
【考點5】全等三角形的應用
【例5-1】如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻的兩側，已知左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向的寬度DF相等，則這兩個滑梯與墻面的夾角∠ACB與∠DEF的度數和為（　　）
A．60° B．75° C．90° D．120°
【分析】先根據BC＝EF，AC＝DF判斷出Rt△ABC≌Rt△DEF，再根據全等三角形的性質可知，∠1＝∠4，再由直角三角形的兩銳角互余即可解答．
【解答】解：∵滑梯、墻、地面正好構成直角三角形，
∵BC＝EF，AC＝DF，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），
∴∠1＝∠4，
∵∠3+∠4＝90°，
∴∠ACB+∠DEF＝90°．
故選：C．
【例5-2】如圖，把兩根鋼條AA′、BB′的中點連在一起，可以做成一個測量工件內槽寬的工具（卡鉗），若測得AB＝5米，則槽寬為（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】連接AB，如圖，利用“SAS”證明△OAB≌△OA′B′，從而得到A′B′＝AB＝5m．
【解答】解：連接AB，如圖，
在△OAB和△OA′B′中
∴△OAB≌△OA′B′（SAS），
∴A′B′＝AB＝5（m）．
答：槽寬為5m．
故選：C．
【例5-3】如圖，為了測量B點到河對面的目標A之間的距離，在B點同側選擇了一點C，測得∠ABC＝75°，∠ACB＝35°，然后在M處立了標桿，使∠CBM＝75°，∠MCB＝35°，得到△MBC≌△ABC，所以測得MB的長就是A，B兩點間的距離，這里判定△MBC≌△ABC的理由是（　　）
A．SAS B．AAA C．SSS D．ASA
【分析】利用全等三角形的判定方法進行分析即可．
【解答】解：在△ABC和△MBC中，
∴△MBC≌△ABC（ASA），
故選：D．
針對練習5
1 .如圖，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂線DE，使點A、C、E在同一條直線上（如圖），可以說明△ABC≌△EDC，得AB＝DE，因此測得DE的長就是AB的長，判定△ABC≌△EDC，最恰當的理由是（　　）
A．SAS B．HL C．SSS D．ASA
【分析】根據全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據已知選擇判斷方法．
【解答】解：因為證明在△ABC≌△EDC用到的條件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD，
所以用到的是兩角及這兩角的夾邊對應相等即ASA這一方法．
故選：D．
2 如圖，某人將一塊三角形玻璃打碎成兩塊，帶　②　塊（填序號）能到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，用到的數學道理是　 　．
【分析】已知三角形破損部分的邊角，得到原來三角形的邊角，根據三角形全等的判定方法，即可求解．
【解答】解：第①塊只保留了原三角形的一個角和部分邊，根據這兩塊中的任一塊不能配一塊與原來完全一樣的；
第②塊不僅保留了原來三角形的兩個角還保留了一邊，則可以根據ASA來配一塊一樣的玻璃．應帶②去．
故答案為：②，ASA．
3 .王強同學用10塊高度都是2cm的相同長方體小木塊，壘了兩堵與地面垂直的木墻，木墻之間剛好可以放進一個等腰直角三角板（AC＝BC，∠ACB＝90°），點C在DE上，點A和B分別與木墻的頂端重合，則兩堵木墻之間的距離為　 　cm．
【分析】根據題意可得AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，進而得到∠ADC＝∠CEB＝90°，再根據等角的余角相等可得∠BCE＝∠DAC，再證明△ADC≌△CEB即可，利用全等三角形的性質進行解答．
【解答】解：由題意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
由題意得：AD＝EC＝6cm，DC＝BE＝14cm，
∴DE＝DC+CE＝20（cm），
答：兩堵木墻之間的距離為20cm．
故答案是：20．
【考點6】角平分線的性質
【例6-1】如圖，已知，射線平分，過點E作于點H，作于點F，并延長交于點G，連接．若，則的長為 ．

【答案】2
【分析】先根據平行線的性質可得，再根據角平分線的定義和“等角的余角相等”可得，再由，可得，由角平分線的性質可得，即可求出的長．
【詳解】，
，
即．
，
，
．
∵平分，
，
，
∴平分．
，
．
，
，
∴．
故答案為：2
【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質，“等角對等邊”．熟練掌握以上知識，且證明平分是解題的關鍵．
【例6-2】如圖，在△ABC中，AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面積是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，則DE的長（　　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】A
【分析】根據角平分線的性質得到DE＝DF，根據三角形的面積公式計算即可．
【解答】解：∵AD為∠BAC的平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3cm，
故選：A．
【例6-3】如圖，中，，的平分線交于點D，若，則點D到的距離是 cm．

【答案】3
【分析】過D作于E．根據角平分線性質求解即可．
【詳解】解：過D作于E．如圖，

∵是的平分線，，，
∴．
∵，
∴．
故答案為：3．
【點睛】本題主要考查角平分線的性質；作出輔助線是正確解答本題的關鍵．
針對練習6
如圖，已知△ABC的周長是18，OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝2，則△ABC的面積是（　　）
A．6 B．9 C．18 D．36
【答案】C
【分析】由角平分線的性質得到OM＝OD＝ON，由△ABC的面積＝△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，得到△ABC的面積＝（AB+BC+AC） OD，由△ABC的周長＝18，OD＝2，即可求出△ABC的面積＝×18×2＝18．
【解答】解：過O作OM⊥AB于M，ON⊥AC于N，
∵OB，OC分別平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，
∴OM＝OD，ON＝OD，
∵△ABC的面積＝△AOB的面積+△OBC的面積+△OAC的面積，
∴△ABC的面積＝AB OM+BC OD+AC ON＝（AB+BC+AC） OD，
∵△ABC的周長＝18，OD＝2，
∴△ABC的面積＝×18×2＝18．
故選：C．
2 .如圖，△ABC的三邊AC、BC、AB的長分別是8、12、16，點O是△ABC三條角平分線的交點，則S△OAB：S△OBC：S△OAC的值為（　　）
A．4：3：2 B．5：3：2 C．2：3：4 D．3：4：5
【答案】A
【分析】過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥BC于點E，OF⊥AC于點F，根據角平分線的性質定理可知OD＝OE＝OF．再由三角形的面積公式計算，作比即可．
【解答】解：如圖，過點O作OD⊥AB于點D，OE⊥BC于點E，OF⊥AC于點F，
∵點O是△ABC三條角平分線的交點，
∴OD＝OE＝OF，
∵，
，
，
∴S△OAB：S△OBC：S△OAC＝8OD：6OE：4OF＝4：3：2．
故選：A．
3.如圖，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分線與∠CBA的角平分線相交于點P，且D，P，C在同一條直線上．
（1）求∠PAD的度數；
（2）求證：P是線段CD的中點．
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【答案】（1）30°；
（2）見解答．
【分析】（1）根據平行線的性質得到∠C＝180°﹣∠D＝90°，∠DAB+∠ABC＝180°，再計算出∠PBC＝60°，則利用角平分線的定義得到∠ABC＝120°，所以∠DAB＝60°，然后利用角平分線的定義得到∠PAD的度數；
（2）過P點作PE⊥AB于E點，如圖，根據角平分線的性質得到PE＝PD，PE＝PC，從而得到PD＝PC．
【解答】（1）解：∵AD∥BC，
∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°，
∵∠CPB＝30°，
∴∠PBC＝90°﹣∠B＝60°，
∵PB平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠PBC＝120°，
∵AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠PAD＝∠DAB＝30°；
（2）證明：過P點作PE⊥AB于E點，如圖，
∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，
∴PE＝PD，
∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，
∴PE＝PC，
∴PD＝PC，
∴P是線段CD的中點．
【考點7】角平分線的判定
【例7-1】如圖，A、B兩點分別在射線OM，ON上，點C在∠MON的內部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分別為D，E，且AD＝BE．
（1）求證：OC平分∠MON；
（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的長．
【分析】（1）根據全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根據全等三角形的性質得出CD＝CE，再得出答案即可；
（2）根據全等三角形的性質得出AD＝BE＝3，根據全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，根據全等三角形的性質得出OD＝OB，再求出答案即可．
【解答】（1）證明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
，
∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），
∴CD＝CE，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴OC平分∠MON；
（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，
∴BE＝AD＝3，
∵BO＝4，
∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，
∵CD⊥OM，CE⊥ON，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°，
在Rt△DOC和Rt△EOC中，
，
∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），
∴OD＝OE＝7，
∵AD＝3，
∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．
【例7-2】如圖，已知垂足為，垂足為，，．

(1)求證：平分；
(2)丁丁同學觀察圖形后得出結論：，請你幫他寫出證明過程．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）首先用判斷出，根據全等三角形的對應邊相等得，進而根據到角兩邊距離相等的點在這個角的角平分線上可得平分；
（2）首先用判斷出，根據全等三角形的對應邊相等得，結合，根據線段的和差即可得出結論．
【詳解】（1）證明：，，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
平分；
（2）解：，
在和中
，
，
，
，
．
【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質，角平分線的判定定理，能正確根據全等三角形的判定和性質定理進行推理是解此題的關鍵．
【例7-3】已知：如圖，在中，，D是上一點，于E，且．
(1)求證：平分；
(2)若，求的度數．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】（1）根據已知條件結合角平分線判定定理即可證明．
（2）根據直角三角形的兩個銳角互余求得度數．
【詳解】（1）證明：，，，
點D在的平分線上，
平分．
（2）解：，，
，
平分，
．
【點睛】本題主要考查了角平分線的判定與性質運用，和直角三角形性質的運用，熟練掌握角平分線的判定定理是解答的關鍵．
針對練習7
1 .如圖，在中，的平分線與的外角平分線交于點，于點，于點．

(1)若，求點到直線的距離；
(2)求證：點在的平分線上．
【答案】(1)8cm
(2)見解析
【分析】（1）利用角平分線上一點到角兩邊距離相等即可求解；
（2）利用如果一點到角的兩邊距離相等，則這個點在角的角平分線上．
【詳解】（1）解：作于，如圖，

又∵平分，，
∴，
即點到直線的距離為8cm；
（2）證明：∵平分，且于點，，
∴，
又，
∴，
∴點在的平分線上．
【點睛】本題考查角平分線性質定理以及逆定理，熟練掌握角平分性質的逆用是解決本題的關鍵。
2.求證：三角形兩外角的平分線的交點到三角形三邊（或所在的直線）距離相等．
要求：畫圖，寫出已知，求證，然后寫出證明過程．
【詳解】解；已知：如圖，的外角平分線與外角平分線相交于點P．
求證：；
證明：如圖，過點P作于F，于G，于H，
∵的外角平分線與相交于點P，
∴，，
∴．
即點P到三邊、、所在直線的距離相等
∴三角形兩外角的平分線的交點到三角形三邊（或所在直線）的距離相等．
【考點8】尺規作圖：（1）作一個角等于已知角（2）作已知角的平分線
【例8-1】下面是小明同學設計的“過直線外一點作已知直線的平行線“的尺規作圖過程．
已知：如圖，直線和直線外一點．
求作：直線，使直線直線．
作法：如圖，
①在直線上任取一點，作射線；
②以為圓心，為半徑作弧，交直線于點，連接；
③以為圓心，長為半徑作弧，交射線于點；分別以為圓心，大于長為半徑作弧，在的右側兩弧交于點；
④作直線；
所以直線就是所求作的直線．
根據上述作圖過程，回答問題：
（1）用直尺和圓規，補全圖中的圖形；
（2）完成下面的證明：
證明：由作圖可知平分，
．
又，
．(_______________________________)(填依據1)．
，
．
，∴直線直線．(______________________)(填依據2)．
【答案】（1）作圖見解析；（2）等邊對等角；同位角相等，兩直線平行
【解析】解：（1）根據題中畫圖過程可得：
如圖，PQ即為所作圖形；
（2）由作圖可知平分，
．
又，
．（等邊對等角）．
，
．
，
∴直線直線．（同位角相等，兩直線平行）．
【點評】本題考查了尺規作圖，等腰三角形的性質，平行線的判定，解題的關鍵是根據題意作圖，然后再進行推理論證.
【例8-2】如圖，已知銳角，．
（1）尺規作圖：求作的角平分線；（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2）點在邊上且，請連接，求證：．
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】（1）作圖如圖所示，
（2）證明：∵平分，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
【點評】此題考查了基本作圖--角平分線的畫法，以及三角形全等的判定及性質．解題關鍵是掌握基本作圖．
針對練習8
1.如圖，在中，，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則的度數為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵在中，，
∴，
∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-50°=130°，
由作圖痕跡可知CE為∠ACD的平分線，
∴，
故選：B．
2．如圖，已知AB=AC，BC=6，尺規作圖痕跡可求出BD=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由作圖痕跡可知AD為∠BAC的角平分線，
而AB=AC，
由等腰三角形的三線合一知D為BC重點，
BD=3，
故選B
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