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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題六 全等三角形的常見輔助線（一）
類型一 半角模型構造全等三角形
過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。
思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現線段的轉化。
解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。半角模型（題中出現角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.
半角模型
方法：①利用旋轉構造全等三角形； ②利用翻折構造全等三角形。
典例剖析1
【例1-1】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關系是　 　；（不需要證明）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．
【例1-2】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，FD之間的數量關系．
小明同學探究的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論是　 　（直接寫結論，不需證明）；
（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點，且2∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．
針對練習1
1 .已知：邊長為1的正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點．
（1）若MN＝BM+ND，求證：∠MAN＝45°；
（2）若△MNC得周長為2，求∠MAN的度數．
2 .綜合與實踐
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數量關系為 　 　．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數量關系為 　 　．
類型二 對角互補模型構造全等三角形
對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。
思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋轉的構造，構造手拉手全等。
常見的對角互補模型含90°-90°對角互補模型、120°-60° 對角互補模型、 2α-（180°-2α）對角互補模型。
方法：通過做垂線或者利用旋轉構造全等三角形解決問題。
典例剖析2
【例2-1】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA＝PE．
（1）求證：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度數；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關系，并說明理由．
【例2-2】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明；
（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．
【例2-3】（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：
延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系可判斷線段AE的取值范圍是 　 　；則中線AD的取值范圍是 　　 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，此時：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，此時：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結論仍然成立，則∠BCD＝　 　（用含α的代數式表示）.
針對練習2
1 .如圖，，，，，垂足為．
（1）求證：；（2）求的度數；（3）求證：．
2 .在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．
（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形
經過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點．容易聯想等腰三角形三線合一的性質，因此，連結AD（如圖2），以下是某同學由已知條件開始，逐步按層次推出結論的流程圖．請幫助該同學補充完整流程圖．補全流程圖：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請在備用圖中補全圖形、先作出判斷，然后給予證明．
3 .已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線OA于點F，射線CE交射線OB于點G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數量關系；
（2）如圖2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數量關系，并說明理由．
類型三 平移模型
把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.
【常見模型】
常用解題思路:
（1）在平移的直線上,根據線段的和(差)中點等得到對應邊相等;（2）利用平行線的性質得到對應角相等.
【例3-1】我們知道兩個全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一個等腰三角形（如圖1），那么對其中一個直角三角形作適當改變又能得到什么結論呢？現在我們一起來探究吧．
(1)如圖2，將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC，求證：MB＝MC．
(2)將CE向上平移，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC．
①如圖3，當∠CAE=∠BAD時，求證：MB＝MC；
②當∠CAE＞∠BAD時，在圖4中補全相應的圖形，并直接寫出MB、MC的數量關系_______．
【例3-2】）數學活動—三角形平移中的數學問題．
問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：
如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點C與頂點E重合．
(1)獨立思考：將向左平移使得AC的中點G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．
(2)合作交流：①“希望”小組受此問題的啟發，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點M，DF交AC于點N，DF交AB于點H，如圖3，求證：．
②“希望”小組還發現圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請你再寫出一組相等的線段．
(3)提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，在圖3的基礎上繼續探索．
“愛心”小組提出的問題是：如圖3，若M恰好是DE的中點，請直接寫出線段HM的長度，請解答“愛心”小組提出的問題．
針對練習3
1.如圖，所有的網格都是由邊長為1的小正方形構成，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC為格點三角形．
(1)如圖1，計算圖中格點△ABC的面積為_______；
(2)如圖，圖2、圖3、圖4都是6×6的正方形網格，點M、點N都是格點
①在圖2中作格點△MNP，使△MNP，與△ABC全等；
②在圖3中作格點△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在圖4中作格點△NFG，使△NFG與△ABC關于某條直線對稱．
2 .如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A=∠D，AB//DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發言，甲說：添加AB=DE；乙說：添加AC//DF；丙說：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是________；
（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．
3 .如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，，．給出下列三個條件：①，②，③．
(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得．你選取的條件序號為______，你判定的依據是______（填“”或“”或“”或“”）；
(2)請用（1）中所選條件證明；
(3)可看作是由沿方向平移得到的，過B作于M，當，，是以為腰的等腰三角形時，直接寫出平移距離的長．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題六 全等三角形的常見輔助線（一）（解析版）
類型一 半角模型構造全等三角形
過多邊形一個頂點作兩條射線，使這兩條射線夾角等于該頂角一半。
思想方法：通過旋轉（或截長補短）構造全等三角形，實現線段的轉化。
解題思路一般是將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并成新的三角形，從而進行等量代換，然后證明與半角形成的三角形全等，再通過全等的性質得到線段之間的數量關系。半角模型（題中出現角度之間的半角關系）利用旋轉——證全等——得到相關結論.
半角模型
方法：①利用旋轉構造全等三角形； ②利用翻折構造全等三角形。
典例剖析4
【例1-1】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關系是　 　；（不需要證明）
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF∠BAD，（1）中的結論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數量關系，并證明．
【思路引領】（1）延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，證明△ABG≌△ADF，根據全等三角形的性質得到AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，再證明△GAE≌△FAE，根據全等三角形的性質得出EF＝EG，結合圖形計算，證明結論；
（2）延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，仿照（1）的證明方法解答；
（3）在EB上截取BH＝DF，連接AH，仿照（1）的證明方法解答．
解：（1）EF＝BE+FD，
理由如下：如圖1，延長CB至G，使BG＝DF，連接AG，
在△ABG和△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠BAG+∠BAE＝∠DAF+∠BAE＝∠EAF，
在△GAE和△FAE中，
，
∴△GAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EG，
∵EG＝BG+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD，
故答案為：EF＝BE+FD；
（2）（1）中的結論仍然成立，
理由如下：如圖2，延長CB至M，使BM＝DF，連接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF∠BAD，
∴∠3+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）（1）中的結論不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如圖3，在EB上截取BH＝DF，連接AH，
同（2）中證法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EH，
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
【總結提升】本題考查的是全等三角形的判定和性質，掌握三角形全等的判定定理、靈活運用類比思想是解題的關鍵．
【例1-2】（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分別是BC，CD上的點．且∠EAF＝50°．探究圖中線段EF，BE，FD之間的數量關系．
小明同學探究的方法是：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結論，他的結論是　 　（直接寫結論，不需證明）；
（2）如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分別是BC，CD上的點，且2∠EAF＝∠BAD，上述結論是否仍然成立，若成立，請證明，若不成立，請說明理由；
（3）如圖3，四邊形ABCD是邊長為7的正方形，∠EBF＝45°，直接寫出△DEF的周長．
【答案】（1）EF＝BE+DF；（2）成立，理由詳見解析；（3）14．
【分析】（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，由“SAS”可證△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，再由“SAS”可證△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解題；
（2）延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，即可證明△ABG≌△ADF，可得AF＝AG，再證明△AEF≌△AEG，可得EF＝EG，即可解題；
（3）延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，由“SAS”可證△ABH≌△CBF，可得BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，由“SAS”可證△EBH≌△EBF，可得EF＝EH，可得EF＝EH＝AE+CF，即可求解．
【詳解】證明：（1）延長FD到點G．使DG＝BE．連結AG，
在△ABE和△ADG中，
，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，
∵∠BAD＝100°，∠EAF＝50°，
∴∠BAE+∠FAD＝∠DAG+∠FAD＝50°，
∴∠EAF＝∠FAG＝50°，
在△EAF和△GAF中，
∵，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴EF＝FG＝DF+DG，
∴EF＝BE+DF，
故答案為：EF＝BE+DF；
（2）結論仍然成立，
理由如下：如圖2，延長EB到G，使BG＝DF，連接AG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABG+∠ABC＝180°，
∴∠ABG＝∠D，
∵在△ABG與△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴AG＝AF，∠BAG＝∠DAF，
∵2∠EAF＝∠BAD，
∴∠DAF+∠BAE＝∠BAG+∠BAE＝∠BAD＝∠EAF，
∴∠GAE＝∠EAF，
又AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF．
∵EG＝BE+BG．
∴EF＝BE+FD；
（3）如圖，延長EA到H，使AH＝CF，連接BH，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝7＝AD＝CD，∠BAD＝∠BCD＝90°，
∴∠BAH＝∠BCF＝90°，
又∵AH＝CF，AB＝BC，
∴△ABH≌△CBF（SAS），
∴BH＝BF，∠ABH＝∠CBF，
∵∠EBF＝45°，
∴∠CBF+∠ABE＝45°＝∠HBA+∠ABE＝∠EBF，
∴∠EBH＝∠EBF，
又∵BH＝BF，BE＝BE，
∴△EBH≌△EBF（SAS），
∴EF＝EH，
∴EF＝EH＝AE+CF，
∴△DEF的周長＝DE+DF+EF＝DE+DF+AE+CF＝AD+CD＝14．
【點睛】本題是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，正方形的性質，添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵．
針對練習1
1 .已知：邊長為1的正方形ABCD中，M、N分別是BC、CD上的點．
（1）若MN＝BM+ND，求證：∠MAN＝45°；
（2）若△MNC得周長為2，求∠MAN的度數．
【思路引領】（1）延長CB到E，使BE＝DN，連接AE，因為∠D＝∠B，AD＝AB，DN＝BE，所以△ABM≌△ADN，則有∠BAM＝∠DAN，AN＝AE，又因為MN＝BM+DN，BM＝DN，所以△AEM≌△ANM，故∠EAM＝∠NAM＝∠EAN＝90°，即∠MAN＝45°；
（2）延長CB至E，使BE＝DN，則Rt△ABE≌Rt△AND，故AE＝AN，進而求證△AMN≌△AME，即可求得∠MAN＝∠MAE＝45°．
【解答】（1）證明：延長CB到E，使BE＝DN，連接AE，
∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，
∵MN＝BM+ND＝BM+BE＝ME，AM＝AM，
∴△AME≌△AMN（SSS），
∴∠EAM＝∠NAM．
∴∠MAN＝∠MAE＝∠BAE+∠BAM＝∠DAN+∠BAM，
∵∠EAN＝90°，
∴∠MAN＝45°．
（2）解：如圖，延長CB到E，使BE＝DN，連接AE，
∵∠D＝∠B＝90°，AD＝AB，DN＝BE，
∴∠ABE＝∠D＝90°，
∴△ABE≌△ADN．
∴AE＝AN，∠BAE＝∠DAN，
∴∠EAN＝∠DAB＝90°，
又MN＝2﹣CN﹣CM＝DN+BM＝BE+BM＝ME，
∴△AMN≌△AME，
∴∠MAN＝∠MAE＝45°．
【總結提升】此題把全等三角形的判定和性質結合求解，有利于培養學生綜合運用數學知識的能力．
2 .綜合與實踐
（1）如圖1，在正方形ABCD中，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝45°，則MN，AM，CN的數量關系為 　 　．
（2）如圖2，在四邊形ABCD中，BC∥AD，AB＝BC，∠A+∠C＝180°，點M、N分別在AD、CD上，若∠MBN＝∠ABC，試探索線段MN、AM、CN有怎樣的數量關系？請寫出猜想，并給予證明．
（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝BC，∠ABC+∠ADC＝180°，點M、N分別在DA、CD的延長線上，若∠MBN＝∠ABC，試探究線段MN、AM、CN的數量關系為 　 　．
【答案】（1）MN=AM+CN；（2）MN=AM+CN，理由見解析；（3）MN=CN-AM，理由見解析
【詳解】解：（1）如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
在正方形ABCD中，∠A=∠BCD=∠ABC=90°，AB=BC ，∴∠BCM'+∠BCD=180°，
∴點M'、C、N三點共線，
∵∠MBN=45°，∴∠ABM+∠CBN=45°，
∴∠M'BN=∠M'BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=45°，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（2）MN=AM+CN；理由如下：
如圖，把△ABM繞點B順時針旋轉使AB邊與BC邊重合，則AM=CM'，BM=BM'，∠A=∠BCM'，∠ABM=∠M'BC，
∵∠A+∠C＝180°，∴∠BCM'+∠BCD=180°，∴點M'、C、N三點共線，
∵∠MBN＝∠ABC，∴∠ABM+∠CBN=∠ABC＝∠MBN，∴∠CBN+∠M'BC =∠MBN，即∠M'BN=∠MBN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N= M'C+CN，∴MN= M'C+CN=AM+CN；
（3）MN=CN-AM，理由如下：如圖，在NC上截取C M'=AM，連接B M'，
∵在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠C+∠BAD=180°，
∵∠BAM+∠BAD=180°，∴∠BAM=∠C，∵AB＝BC，∴△ABM≌△CB M'，
∴AM=C M'，BM=B M'，∠ABM=∠CB M'，∴∠MA M'=∠ABC，
∵∠MBN＝∠ABC，∴∠MBN＝∠MA M'=∠M'BN，
∵BN=BN，∴△NBM≌△NBM'，∴MN= M'N，
∵M'N=CN-C M'， ∴MN=CN-AM．故答案是：MN=CN-AM
類型二 對角互補模型構造全等三角形
對角互補模型特指四邊形中，存在一對對角互補，而且有一組鄰邊相等的幾何模型。
思想方法：解決此類問題常用的輔助線畫法主要有兩種：①過頂點做雙垂線，構造全等三角形；②進行旋轉的構造，構造手拉手全等。
常見的對角互補模型含90°-90°對角互補模型、120°-60° 對角互補模型、 2α-（180°-2α）對角互補模型。
方法：通過做垂線或者利用旋轉構造全等三角形解決問題。
典例剖析2
【例2-1】如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線BD上的點，點E在AB上，且PA＝PE．
（1）求證：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度數；
（3）如圖2，把正方形ABCD改為菱形ABCD，其他條件不變，試探究∠CPE與∠ABC之間的數量關系，并說明理由．
【分析】（1）先證出△ABP≌△CBP，得PA＝PC，由于PA＝PE，得PC＝PE；
（2）由△ABP≌△CBP，得∠BAP＝∠BCP，進而得∠DAP＝∠DCP，由PA＝PC，得到∠DAP＝∠E，∠DCP＝∠E，最后∠CPE＝∠EDF＝90°得到結論；
（3）借助（1）和（2）的證明方法容易證明結論．
【解答】（1）證明：在正方形ABCD中，AB＝BC，
∠ABP＝∠CBP＝45°，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA＝PC，
∵PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）解：由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PEB+∠PCB＝180°，
∴∠ABC+∠EPC＝180°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠EPC＝90°；
（3）∠ABC+∠EPC＝180°，
理由：解：在菱形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP，
在△ABP和△CBP中，
，
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴∠BAP＝∠BCP，
∵PA＝PE，
∴∠DAP＝∠DCP，
∴∠PAE＝∠PEA，
∴∠CPB＝∠AEP，
∵∠AEP+∠PEB＝180°，
∴∠PEB+∠PCB＝180°，
∴∠ABC+∠EPC＝180°．
【例2-2】（1）如圖（1），在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF．若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明；
（2）如圖（2），在四邊形ABDC中，∠B+∠C＝180°，DB＝DC，∠BDC＝120°，以D為頂點作一個60°角，角的兩邊分別交AB、AC于E、F兩點，連接EF，探索線段BE、CF、EF之間的數量關系，并加以證明．
【解答】證明：（1）EF2＝BE2+CF2，
理由如下：如圖（1）延長ED到G，使DG＝ED，連接CG，FG，
在△DCG與△DBE中，
，
∴△DCG≌△DBE（SAS），
∴DG＝DE，CG＝BE，∠B＝∠DCG，
又∵DE⊥DF，
∴FD垂直平分線段EG，
∴FG＝FE，
∵∠A＝90°，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠FCG＝90°，
在△CFG中，CG2+CF2＝FG2，
∴EF2＝BE2+CF2；
（2）如圖（2），結論：EF＝EB+FC，
理由如下：延長AB到M，使BM＝CF，
∵∠ABD+∠C＝180°，又∠ABD+∠MBD＝180°，
∴∠MBD＝∠C，
在△BDM和△CDF中，
，
∴△BDM≌△CDF（SAS），
∴DM＝DF，∠BDM＝∠CDF，
∴∠EDM＝∠EDB+∠BDM＝∠EDB+∠CDF＝∠CDB﹣∠EDF＝120°﹣60°＝60°＝∠EDF，
在△DEM和△DEF中，
，
∴△DEM≌△DEF（SAS），
∴EF＝EM，
∴EF＝EM＝BE+BM＝EB+CF．
【例2-3】（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問題可以用如下方法：
延長AD到點E使DE＝AD，再連接BE，這樣就把AB，AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關系可判斷線段AE的取值范圍是 　 　；則中線AD的取值范圍是 　　 ；
（2）問題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊的中點，DE⊥DF于點D，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，此時：BE+CF　　EF（填“＞”或“＝”或“＜”）；
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點作∠ECF＝70°，邊CE，CF分別交AB，AD于E，F兩點，連接EF，此時：BE+DF　 EF（填“＞”或“＝”或“＜“）；
（4）若在圖③的四邊形ABCD中，∠ECF＝α（0°＜α＜90°），∠B+∠D＝180，CB＝CD，且（3）中的結論仍然成立，則∠BCD＝　 　（用含α的代數式表示）.
【解答】解：（1）在△ADC與△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝3，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
即2＜AE＜8，
∴2＜2AD＜8，
∴1＜AD＜4，
故答案為：2＜AE＜8；1＜AD＜4；
（2）如圖，延長FD至點G，使DG＝DF，連接BG，EG，
∵點D是BC的中點，
∴DB＝DC，
∵∠BDG＝∠CDF，DG＝DF，
∴△BDG≌△CDF（SAS），
∴BG＝CF，
∵ED⊥FD，FD＝GD，
∴EF＝EG，
在△BEG中，BE+BG＞EG，
∴BE+CF＞EF，
故答案為：＞；
（3）BE+DF＝EF，
如圖，延長AB至點G，使BG＝DF，連接CG，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠CBG＝180°，
∴∠CBG＝∠D，
又∵CB＝CD，BG＝DF，
∴△CBG≌△CDF（SAS），
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠DCF+∠BCE＝70°，
∴∠BCE+∠BCG＝70°，
∴∠ECG＝∠ECF＝70°，
又∵CE＝CE，CG＝CF，
∴△ECG≌△ECF（SAS），
∴EG＝EF，
∵BE+BG＝EG，
∴BE+DF＝EF，
故答案為：＝；
（4）由（3）同理可得△CBG≌△CDF，
∴CG＝CF，∠BCG＝∠DCF，
若BE+DF＝EF，
則EG＝EF，
∴△ECF≌△ECG（SSS），
∴∠ECG＝∠ECF，
∴∠BCD＝2∠ECF＝2α，
故答案為：2α．
針對練習2
1 .如圖，，，，，垂足為．
（1）求證：；（2）求的度數；（3）求證：．
【解答】證明：（1），
，，，
在和中，，；
（2），，，由（1）知，，
，，，；
（3）延長到，使得，，，
在和中，，，，，
，，，，
，，，，
在和中，，，，
，．
2 .在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點．
（1）如圖1，E、F分別是AB、AC上的點，且BE＝AF、求證：△DEF是等腰直角三角形
經過分析已知條件AB＝AC，D為BC的中點．容易聯想等腰三角形三線合一的性質，因此，連結AD（如圖2），以下是某同學由已知條件開始，逐步按層次推出結論的流程圖．請幫助該同學補充完整流程圖．補全流程圖：① ， ②∠EDF＝
（2）如果E、F分別為AB、CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，試猜想△DEF是否仍為等腰直角三角形？請在備用圖中補全圖形、先作出判斷，然后給予證明．
【答案】（1）△BDE，△ADF，90°；（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由見解析
【分析】（1）連接AD，根據∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，可以得到∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，從而可以證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，由∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，可得∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，即可證明；
（2）連接AD，同樣證明△BDE≌△ADF（SAS），得到DE=DF，∠BDE=∠ADF，再由∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，即可得到∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，即可證明．
【詳解】解：（1）如圖所示，連接AD，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，
∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠B=∠BAD=∠CAD，在△BDE和△ADF中，，
∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADE+∠BDE=∠BDA=90°，∴∠ADE+∠ADF=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形；故答案為：△BDE，△ADF，90°；
（2）△DEF仍為等腰直角三角形，理由如下：連接AD，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，D為BC的中點，
∴∠ABC=∠C=45°，AD⊥BC，，，
∴∠FAD=180°-∠CAD=135°，∠EBD=180°-∠ABC=135°，∴∠FAD=∠EBD，
在△BDE和△ADF中，，∴△BDE≌△ADF（SAS），∴DE=DF，∠BDE=∠ADF，
∵∠ADF+∠BDF=∠BDA=90°，∴∠BDE+∠BDF=90°，即∠EDF=90°，∴△DEF是等腰直角三角形．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，等腰直角三角形的性質與判定，解題的關鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的性質與判定條件．
3 .已知OP平分∠AOB，∠DCE的頂點C在射線OP上，射線CD交射線OA于點F，射線CE交射線OB于點G．（1）如圖1，若CD⊥OA，CE⊥OB，請直接寫出線段CF與CG的數量關系；
（2）如圖2，若∠AOB=120 ，∠DCE=∠AOC，試判斷線段CF與CG的數量關系，并說明理由．
【答案】（1）CF=CG；（2）CF=CG，見解析
【分析】(1)結論CF=CG，由角平分線性質定理即可判斷．(2)結論：CF=CG，作CM⊥OA于M，CN⊥OB于N，證明△CMF≌△CNG，利用全等三角形的性質即可解決問題．
【詳解】解：（1）結論：CF=CG；
證明：∵OP平分∠AOB，CF⊥OA，CG⊥OB，
∴CF=CG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）；
（2）CF=CG.理由如下：如圖，
過點C作CM⊥OA，CN⊥OB，∵OP平分∠AOB，CM⊥OA，CN⊥OB，∠AOB=120 ，
∴CM=CN（角平分線上的點到角兩邊的距離相等），
∴∠AOC=∠BOC=60 （角平分線的性質），
∵∠DCE=∠AOC，∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60 ，
∴∠MCO=90 -60 =30 ，∠NCO=90 -60 =30 ，
∴∠MCN=30 +30 =60 ，∴∠MCN=∠DCE，
∵∠MCF=∠MCN-∠DCN，∠NCG=∠DCE-∠DCN，∴∠MCF=∠NCG，
在△MCF和△NCG中，
∴△MCF≌△NCG（ASA），∴CF=CG（全等三角形對應邊相等）；
【點睛】本題考查三角形綜合題、角平分線的性質、全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是掌握角平分線的性質的應用，熟練證明三角形全等 ．
類型三 平移模型
把△ABC沿著某一條直線l平行移動，所得到△DEF與△ABC稱為平移型全等三角形，圖①，圖②是常見的平移型全等三角線.
【常見模型】
常用解題思路:
（1）在平移的直線上,根據線段的和(差)中點等得到對應邊相等;（2）利用平行線的性質得到對應角相等.
【例3-1】我們知道兩個全等的直角三角形（△ABD和△ACE）可以拼成一個等腰三角形（如圖1），那么對其中一個直角三角形作適當改變又能得到什么結論呢？現在我們一起來探究吧．
(1)如圖2，將△ACE繞點A逆時針旋轉，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC，求證：MB＝MC．
(2)將CE向上平移，連接DE，M是DE的中點，連接MB、MC．
①如圖3，當∠CAE=∠BAD時，求證：MB＝MC；
②當∠CAE＞∠BAD時，在圖4中補全相應的圖形，并直接寫出MB、MC的數量關系_______．
【答案】(1)見解析
(2)①見解析；②補全圖形見解析，MB＝MC
【分析】（1）根據三角形SAS判定定理證明三角形△BDM≌△CEM，證得MB＝MC．
（2）先根據三角形ASA判定定理證明△ECM≌△DFM，再證明△BFM是等邊三角形，證得MB＝MF＝MC；根據圖4直接寫出MB＝MC．
（1）如圖2，依題意可知：∠ADB＝∠AEC，BD=CE，AD=AE，∴∠ADE＝∠AED，∴∠ADB﹣∠ADE＝∠AEC﹣∠AED，即：∠MDB＝∠MEC， ∵M是DE的中點，∴MD＝ME，在△BDM和△CEM中，∴△BDM≌△CEM（SAS），∴MB＝MC；
（2）①如圖3，延長CM交BD于點F．∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴EC∥DF，∴∠CEM＝∠FDM， 在△ECM和△DFM中，，∴△ECM≌△DFM（ASA），∴CM＝FM， ∵∠BCM＝30°，∴∠BFM＝60°，BF＝CF＝FM，∴△BFM是等邊三角形，∴MB＝MF＝MC． ②補全圖形如圖4，MB＝MC．
【點睛】此題考查了三角形判定定理，直角三角形的性質，解題的關鍵是找出所需要的條件證明三角形全等得出相應的結論．
【例3-2】）數學活動—三角形平移中的數學問題．
問題情境：數學活動課上，老師出示了一個問題：
如圖1，將兩塊全等的直角三角形紙片和的斜邊放在同一直線上，其中，頂點C與頂點E重合．
(1)獨立思考：將向左平移使得AC的中點G恰好落在DE上，連接AE，CD，AD，如圖2，試判斷四邊形AECD的形狀并證明．
(2)合作交流：①“希望”小組受此問題的啟發，將沿CB方向平移，使得DE與AB交于點M，DF交AC于點N，DF交AB于點H，如圖3，求證：．
②“希望”小組還發現圖3中還有其它相等的線段，在不添加字母的前提下，請你再寫出一組相等的線段．
(3)提出問題：老師要求各小組向“希望”小組學習，在圖3的基礎上繼續探索．
“愛心”小組提出的問題是：如圖3，若M恰好是DE的中點，請直接寫出線段HM的長度，請解答“愛心”小組提出的問題．
【答案】(1)矩形，理由見解析
(2)①見解析；②（或者等）
(3)
【分析】（1）只需要證明AC與DE互相平分即可證明四邊形AECD是矩形；
（2）①只需要證明△MBE≌△NFC得到MB=NF，即可證明；②由△ABC≌△DFE，得到AB=DF，即可證明，；
（3）如圖所示，連接AD，由△ABC≌△DFE，得到點D到EF的距離與點A到BC的距離相等，得到，證明△DAM≌△EBM（AAS），得到，設，則，在Rt△MDH中，由，得到，由此求解即可．
(1)
四邊形AECD是矩形
理由如下
，
，
，
點G是AC的中點，
，
，
∴，
∴AG=CG，DG=EG，
∴四邊形AECD是平行四邊形，
又AC=DE，
四邊形AECD是矩形；
(2)
解：① ∵，
，，，
∴，即BE=FC，
∴△MBE≌△NFC（ASA）
∴MB=NF，
∴HB-MB=HF-NF，即；
② ∵△ABC≌△DFE，
∴AB=DF，
∵HB=HF，
∴AB-HB=DF-HF，即，
同理可證；
(3)
解：如圖所示，連接AD，
∵△ABC≌△DFE，
∴點D到EF的距離與點A到BC的距離相等，
∴，
∴∠DAM=∠EBM，∠BEM=∠ADM，
∵M是DE的中點，
∴ME=MD=3，
∴△DAM≌△EBM（AAS），
∴，
設，則，
在Rt△MDH中，，
∴，
解得，
∴．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，平行線的性質與判定，矩形的判定，圖形的平移等等，熟知全等三角形的性質與判定是解題的關鍵．
針對練習3
1.如圖，所有的網格都是由邊長為1的小正方形構成，每個小正方形的頂點稱為格點，△ABC為格點三角形．
(1)如圖1，計算圖中格點△ABC的面積為_______；
(2)如圖，圖2、圖3、圖4都是6×6的正方形網格，點M、點N都是格點
①在圖2中作格點△MNP，使△MNP，與△ABC全等；
②在圖3中作格點△MDE，使△MDE由△ABC平移而得；
③在圖4中作格點△NFG，使△NFG與△ABC關于某條直線對稱．
【答案】(1)
(2)①見解析；②見解析；③見解析
【分析】（1）利用△ABC所在的矩形面積減去周圍三個直角三角形的面積即可得出答案；
（2）依據平移，旋轉，軸對稱的性質即可畫出圖形．
（1）△ABC的面積為：，故答案為：；
（2）①如圖，即為所求．②如圖，即為所求．③如圖，即為所求．
【點睛】本題主要考查了作圖-軸對稱變換，平移變換，全等變換等知識，熟練掌握網格中作圖方法是解題的關鍵．
2 .如圖，點B、E、C、F四點在一條直線上，∠A=∠D，AB//DE，老師說：再添加一個條件就可以使△ABC≌△DEF．下面是課堂上三個同學的發言，甲說：添加AB=DE；乙說：添加AC//DF；丙說：添加BE=CF．
（1）甲、乙、丙三個同學說法正確的是________；
（2）請你從正確的說法中選擇一種，給出你的證明．
【答案】（1）甲、丙；（2）見詳解
【分析】（1）根據平行線的性質，由AB∥DE可得∠B＝∠DEC，再加上條件∠A=∠D，只需要添加一個能得出對應邊相等的條件，即可證明兩個三角形全等，添加AC//DF不能證明△ABC≌△DEF；
（2）添加AB=DE，再由條件AB∥DE可得∠B＝∠DEC，然后再利用ASA判定△ABC≌△DEF即可．
【詳解】（1）解：∵AB//DE，
∴∠B＝∠DEC，
又∵∠A=∠D，
∴添加AB=DE，可得△ABC≌△DEF（ASA）；添加BE=CF，可得BC=EF，可得△ABC≌△DEF（AAS）
∴說法正確的是：甲、丙，
故答案為：甲、丙；
（2）選“甲”，理由如下：
證明：∵AB∥DE，
∴∠B＝∠DEC，
在△ABC和△DEF中
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
【點睛】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應相等時，角必須是兩邊的夾角．
3 .如圖，已知點A、D、C、F在同一條直線上，，．給出下列三個條件：①，②，③．
(1)請在上述三個條件中選取一個條件，使得．你選取的條件序號為______，你判定的依據是______（填“”或“”或“”或“”）；
(2)請用（1）中所選條件證明；
(3)可看作是由沿方向平移得到的，過B作于M，當，，是以為腰的等腰三角形時，直接寫出平移距離的長．
【答案】(1)②，（或③，）
(2)見解析
(3)12或
【分析】(1)根據三角形的判定定理即可解答；
(2)根據(1)所選取的條件，證明三角形全等即可；
(3)首先根據勾股定理可求得的長，再分兩種情況，即和，分別計算即可求得．
【詳解】（1）解：已知，，
故只要再添加一對角或已知相等角的邊，即可使得，
故答案為：②，（或③，）；
（2）證明：選②，
在和中，
，
；
（3）解：如圖：
在，，，
，
當時，
是等腰三角形，，
；
當時，
設，則，
在，，
得，
解得，
綜上，的長為12或．
【點睛】本題考查了添加條件使三角形全等及證明，等腰三角形的性質，勾股定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關鍵．
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