資源簡介

函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型
【考點(diǎn)梳理】
1．函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義
對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．
(2)幾個等價關(guān)系
方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn)
零點(diǎn)個數(shù) 2 1 0
【題型歸納】
題型一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理
1．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，由條件可得函數(shù)單調(diào)遞減，再由零點(diǎn)存在定理即可得到結(jié)果.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
又，.
故選：B
2．（2022上·云南臨滄·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由零點(diǎn)存在性定理求解即可.
【詳解】函數(shù)是連續(xù)增函數(shù)，
，，可得，
∴函數(shù)的其中一個零點(diǎn)所在的區(qū)間是，
故選：D．
3．（2022上·廣東深圳·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用零點(diǎn)存在性定理即可判定函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，，
又在上連續(xù)不間斷，且單調(diào)增，
所以的零點(diǎn)一定位于區(qū)間，
故選：B.
題型二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值
4．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二分法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，對區(qū)間內(nèi)，需要求解
的值，然后達(dá)到零點(diǎn)的近似值精確到，所以零點(diǎn)的近似解為，
共計(jì)算次.
故選：C
5．（2023上·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來至少需要計(jì)算（ ）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】根據(jù)二分法的性質(zhì)可知，開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次二分法計(jì)算，區(qū)間長度為原來的一半，經(jīng)過次二分法計(jì)算后，區(qū)間長度變?yōu)椋鶕?jù)精確度即可求得關(guān)于的不等式，從而得到答案.
【詳解】開區(qū)間的長度等于1，每經(jīng)過一次二分法計(jì)算，區(qū)間長度為原來的一半，
經(jīng)過次二分法計(jì)算后，區(qū)間長度變?yōu)椋?br/>又使用二分法計(jì)算函數(shù)的在區(qū)間上零點(diǎn)的近似解時，要求近似解的精確度為0.1，
所以，則，又，所以，又，故，
所以接下來至少需要計(jì)算你次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．
故選：C.
6．（2022上·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）用二分法求方程在內(nèi)的近似解，已知判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由零點(diǎn)存在定理及的單調(diào)性可得在上有唯一零點(diǎn)，從而得到方程的根應(yīng)落在上.
【詳解】令，
因?yàn)榕c在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
因?yàn)椋?br/>，
所以在上有唯一零點(diǎn)，即，故，
所以方程的根落在區(qū)間上，
故選：B.
題型三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問題
7．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先判斷出在上是增函數(shù)，利用零點(diǎn)存在定理列不等式可求a的范圍.
【詳解】和在上是增函數(shù)，
在上是增函數(shù)，
只需即可，即，解得．
故選：B.
8．（2021上·北京·高一北京二中校考期末）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】把方程解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，結(jié)合圖像即可得解.
【詳解】
根據(jù)題意可得，
故轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖像的交點(diǎn)，如圖所示，
易知的圖像的兩個交點(diǎn)為和，
當(dāng)過點(diǎn)時，
當(dāng)過點(diǎn)時，
所以的取值范圍是.
故選：A
9．（2021上·北京·高一清華附中校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)該分段函數(shù)的性質(zhì)，由函數(shù)零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，由的奇函數(shù)的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為時有兩解，結(jié)合函數(shù)圖像即可得解.
【詳解】
由，
所以為奇函數(shù)，根據(jù)對稱性可得時有兩個零點(diǎn)即可，
令，
可得，
若則，
即有兩解，
結(jié)合對稱性可得：
如圖所示可得：，
所以.
故選：A
題型四：零點(diǎn)的個數(shù)或根個數(shù)問題
10．（2023上·陜西西安·高一長安一中校考期末）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
【答案】A
【分析】由解得或2，再畫出，，的圖象數(shù)交點(diǎn)個數(shù)即可.
【詳解】因?yàn)椋庵没?，
當(dāng)時，；
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
所以，，的圖象如圖：
由圖可知使得或的點(diǎn)有4個.
故選：A.
11．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）．
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
【答案】C
【分析】根據(jù)題意，分別做出函數(shù)和函數(shù)的圖像，即可判斷.
【詳解】
分別做出函數(shù)和函數(shù)的圖像，如上圖所示，
由圖像可知，兩個函數(shù)的交點(diǎn)個數(shù)是，
所以函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是.
故選:C
12．（2022上·重慶合川·高一重慶市合川中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程0有五個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意分析得和共有五個不同的根，作出圖象，數(shù)形結(jié)合求解.
【詳解】由得，
所以或，
作出函數(shù)的圖象如下：
由題可得的圖象與有2個交點(diǎn)，
所以的圖象必須和有3個交點(diǎn)，
所以解得，
故選:C.
題型五：零點(diǎn)的分布問題
13．（2023下·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)恰有3個不相等的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)題意，先考慮時，分與討論，再考慮時的情況，列出不等式，即可得到結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時，為減函數(shù)，且，若，此時當(dāng)時，沒有零點(diǎn)，則必須當(dāng)時，有3個零點(diǎn)，由，得，，不滿足；當(dāng)時，當(dāng)時，只有1個零點(diǎn)，要使恰有3個零點(diǎn)，則需當(dāng)時，有2個零點(diǎn)，由得或，∴要使當(dāng)時有2個零點(diǎn)，且，得，綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，
故選：A．
14．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】令，作出函數(shù)的圖象，分析可知關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實(shí)根，令，利用二次函數(shù)的零點(diǎn)分布可得出關(guān)于的不等式組，解之即可.
【詳解】令，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：
因?yàn)殛P(guān)于的方程有個不同的實(shí)數(shù)根，
則關(guān)于的方程在內(nèi)有兩個不等的實(shí)根，
設(shè)，則函數(shù)在內(nèi)有兩個不等的零點(diǎn)，
所以，，解得.
故選：A.
15．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】當(dāng)時，令，可得出，可得出，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】當(dāng)時，令，則，可得，
設(shè)，其中，任取、，
則.
當(dāng)時，，則，即，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)；
當(dāng)時，，則，即，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù).
所以，，，，則，
故函數(shù)在上的值域?yàn)椋?br/>所以，，解得.
故選：A.
題型六：函數(shù)模型的應(yīng)用
16．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，目前的新冠病毒是奧密克戎變異株，其特點(diǎn)是：毒力顯著減弱，但傳染性很強(qiáng)，絕大多數(shù)人感染后表現(xiàn)為無癥狀或輕癥，重癥病例很少，長期一段時間以來全國沒有一例死亡病例．某科研機(jī)構(gòu)對奧密克戎變異株在特定環(huán)境下進(jìn)行觀測，每隔單位時間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過的單位時間數(shù)，用y表示奧密克戎變異株感染人數(shù)，得到如下觀測數(shù)據(jù)：
1 2 3 4 5 6 …
(人數(shù)) … 6 … 36 … 216 …
若奧密克戎變異株的感染人數(shù)y與經(jīng)過個單位時間T的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
(1)判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的感染人數(shù)不少于1萬人．
【答案】(1)，
(2)11個
【分析】（1）利用已知的三對數(shù)據(jù)代入函數(shù)模型進(jìn)行驗(yàn)證得出結(jié)果；
（2）根據(jù)指對互化以及對數(shù)運(yùn)算求得結(jié)果.
【詳解】（1）若選，將，和，代入得，解得
得，代入有，不合題意．
若選，將，和，代入得，
解得，得．代入有，符合題意．
（2）設(shè)至少需要x個單位時間，則，即，
則，又，，
，∵，
∴x的最小值為11，即至少經(jīng)過11個單位時間不少于1萬人．
17．（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象，且.

(1)寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中藥物含量不少于時治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上8點(diǎn)，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？
(3)若按（2）中的最遲時間注射第二次藥物，則第二次開始注射到達(dá)時，此刻該人每毫升血液中藥物含量為多少？（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】(1)
(2)13點(diǎn)
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象分段求解函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)題意列出不等式，求解出答案即可；
（3）分別求解出第二次注射后每毫升血液中含第一次和第二次服藥后的剩余量，相加即為結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，把代入是常數(shù)
得：，解得：
（2）設(shè)第一次注射藥物后最遲過小時注射第二次藥物，其中.
則，
解得：第一次注射藥物后開始第二次注射藥物，
即最遲13點(diǎn)注射藥物.
（3）第二次注射藥物后，
每毫升血液中第一次注射藥物的含量：
每毫升血液中第二次注射藥物的含量：，
所以此時兩次注射藥物后的藥物含量為：.
18．（2023上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）為了給空氣消毒，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，環(huán)境中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到給空氣消毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則消毒時間約達(dá)幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，3小時后再噴灑2個單位的消毒劑，設(shè)第二次噴灑t小時后空氣中消毒劑濃度為g（t）（毫克/立方米），其中
①求g(1)的表達(dá)式：
②求第二次噴灑后的3小時內(nèi)空氣中消毒劑濃度的最小值．
【答案】(1)10小時
(2)35.73
【分析】（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，
濃度，分類討論解出即可
（2）①由題意可得（），求即可；②由于利用基本不等式可求出其最小值
【詳解】（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度
則當(dāng)時，由，即得，所以，
當(dāng)時，由，得，得，所以，
綜上，，
所以一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達(dá)小時.
（2）①由題意可知，第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后的濃度為
（毫克/立方米），
所以第二次噴灑小時后空氣中凈化劑濃度為
（），
②
（），
（毫克/立方米）
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以第二次噴灑小時內(nèi)空氣中凈化劑濃度達(dá)到最小值毫克/立方米
題型七：函數(shù)與方程的綜合問題
19．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求解的零點(diǎn)；
(2)若對任意的，不等式恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
【答案】(1)
(2)
(3)當(dāng)或時，有1個零點(diǎn)；當(dāng)或時，有2個零點(diǎn)；當(dāng)時，有3個零點(diǎn)．
【分析】（1）通過解的根即可求解；
（2）利用參數(shù)分離法將不等式恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求的取值范圍；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）當(dāng)時，，
當(dāng)時，令，所以，由于，
故此時方程無解，無零點(diǎn)，
當(dāng)時，令，所以，即，解得，（正根舍去）
綜上可知：的零點(diǎn)為．
（2）由于對任意的，不等式恒不成立，故對任意的，不等式恒成立，
由于，且恒成立，
由于，故；
（3）由可得，變?yōu)椋?br/>令，
作的圖象及直線，由圖象可得：
當(dāng)或時，有1個零點(diǎn)．
當(dāng)或時，有2個零點(diǎn)；
當(dāng)時，有3個零點(diǎn)．

20．（2023上·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若存在，使得不等式對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）設(shè)，從而可得，得，，求解即可；
（2）由題意可得，設(shè)，則，，解法一討論、、、判斷單調(diào)性，從而求解；解法二，參變分離后，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】（1）當(dāng)時，
設(shè)，則，即，得，，
所以方程的解為：，；
（2）因?yàn)椋援?dāng)或時，的最小值為9，
故．
設(shè)，則，，
若，在上單調(diào)遞增，
則，故，不合舍去．
若，任取，則，
所以當(dāng)時，，即；
當(dāng)時，，即，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，，，不合舍去；
當(dāng)時，，，即；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，，，可得，
綜上，．
另解：可得，即在時恒成立，
而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，最大值為9，所以．
21．（2023下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；
(3)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）將代入即可得到解析式；
（2）利用，求出，從而得到的解析式，令其為0，解出即可；
（3）分離參數(shù)得，令，則，設(shè)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可得到其值域，則得到的范圍.
【詳解】（1）由題意，過點(diǎn)，即，解得
所以，.
（2）為上的奇函數(shù)，
∴，解得，即，其定義域?yàn)椋P(guān)于原點(diǎn)對稱，
且，
故此時為奇函數(shù)，
又，
令，則，即．即，解得．
（3）由在區(qū)間上恒成立．
得，即，
令，則，
令，
設(shè)，，根據(jù)對勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，
而為單調(diào)增函數(shù)，則根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知：
在上單調(diào)遞減，
∴，
若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則，
又為正實(shí)數(shù)．∴．
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
22．（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理即可求解.
【詳解】在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，
，，，,
由于，所以零點(diǎn)所在的區(qū)間是
故選：C
23．（2022上·廣東深圳·高一校考期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時，若第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)“二分法”的處理過程寫出第二次所取區(qū)間即可.
【詳解】由題意，根據(jù)二分法取值，即判斷或的符號，
所以第二次所取區(qū)間可能是或.
故選：A
24．（2022上·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考期末）南非在2021年11月9日檢測出首例新冠病毒變異毒株“奧密克戎”，短短一周時間，從11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1萬人，若新增感染人數(shù)y與時間（第x天）可以表示為函數(shù)（為正實(shí)數(shù)），則第四天新增感染人數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．5485 B．4018 C．2143 D．1765
【答案】D
【分析】代入數(shù)據(jù)計(jì)算，得到，計(jì)算得到答案.
【詳解】，則，，解得，
第四天新增感染人數(shù)約為.
故選：D
25．（2022上·云南臨滄·高一校考期末）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】結(jié)合函數(shù)圖象分析得解.
【詳解】因?yàn)椋院瘮?shù)圖象如圖，
當(dāng)時，的圖象如下，可知不存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個不同的解.
同理當(dāng)也不滿足.
當(dāng)時，的圖象如下，可知存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個不同的解.
綜上，要使方程有兩個不同的解，需．
故選：C
26．（2023下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知，若方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【分析】結(jié)合圖像可知，由此可推得，，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得到的范圍.
【詳解】不妨設(shè)，
因?yàn)榉匠痰母膫€數(shù)即為與的交點(diǎn)個數(shù)，
由圖象可得：若方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，則，
又因?yàn)椋遥?br/>則，可得，
又因?yàn)椋矗?br/>可得，
所以當(dāng)時，取到最小值.
故選：B.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：應(yīng)用函數(shù)思想確定方程解的個數(shù)的兩種方法
（1）轉(zhuǎn)化為兩熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)問題、數(shù)形結(jié)合、構(gòu)建不等式(方程)求解；
（2）分離參數(shù)、轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題求解．
27．（2023·全國·校聯(lián)考二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根據(jù)已知的濃度解析式，代入變量，結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算，化簡求值.
【詳解】由題意，，
所以），
即．又，所以．
因?yàn)椋裕?br/>故選：B．
28．（2023上·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)定義在R上，且，滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】先利用題給條件求得函數(shù)的奇偶性對稱軸和周期，再利用數(shù)形結(jié)合的方法即可求得函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
【詳解】定義在R上函數(shù)滿足，可得為奇函數(shù)，
又由，可得有對稱軸，
由，可得，
則最小正周期為4，
函數(shù)的零點(diǎn)即函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo).
又當(dāng)時，，
在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)與函數(shù)圖像如下：
兩函數(shù)圖像有3個公共點(diǎn)，
則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是3
故選：C
29．（2023上·上海金山·高一統(tǒng)考期末）已知，若關(guān)于x的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)方程，等價于 且，將問題轉(zhuǎn)化為的圖象夾在直線和之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解求解.
【詳解】解：要使方程，
當(dāng)且僅當(dāng) 且，
即方程等價于 且，
即，
所以方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，
即的圖象夾在直線和之間的部分有且僅有兩個整數(shù)解，
函數(shù)的圖象如圖所示：
因?yàn)椋?br/>所以要使的整數(shù)解有且僅有兩個解，
則其中一個整數(shù)解為0和-1，
即 ，解得，
故選：A
30．（2023上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】分析給定的函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)的部分圖象，確定a的取值范圍，進(jìn)而求出范圍作答.
【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，，
當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，，
作出函數(shù)的部分圖象，如圖，
方程有四個不同的根，不妨令，即直線與函數(shù)的圖象有4個公共點(diǎn)，
觀察圖象知，，，
顯然有，且，由得，
即，則有，因此，
所以的取值范圍為.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及用分段函數(shù)零點(diǎn)特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨(dú)立分析各段上的零點(diǎn)，再綜合考查所有零點(diǎn)是解決問題的關(guān)鍵.
二、多選題
31．（2023上·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)0 B．
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
【答案】BC
【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)性質(zhì)判斷單調(diào)性和零點(diǎn)．
【詳解】由函數(shù)，可得有兩個零點(diǎn)0、1，故A錯誤；
由于，故B正確；
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，故C正確；
當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，故D錯誤．
故選：BC．
32．（2023上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】對C，由零點(diǎn)存在定理判斷端點(diǎn)；
對AB，由函數(shù)單調(diào)性判斷不等式；
對D，由對數(shù)運(yùn)算形式分別得，，（），結(jié)合函數(shù)單調(diào)性即可得，即可判斷.
【詳解】對C，，，
，，
由零點(diǎn)存在定理得，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，C對.
對AB，由解析式知，、均為增函數(shù)，則，，A錯B對；
對D，.
，令，則即.
∵是增函數(shù)，故，D對.
故選：BCD.
33．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m的取值范圍為 B．的取值范圍為
C． D．最大值為1
【答案】AC
【分析】作出的大致圖象，根據(jù)圖象求出，，，的范圍即可判斷AB選項(xiàng)，由得到，的關(guān)系即可判斷CD選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)圖象如圖所示：

由圖可得，A正確；
當(dāng)時,, 故，B錯誤；
又且，
故, 可得，C正確
又可得， 又，故等號不成立,
即，D錯誤,
故選：AC.
34．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知，若存在，使得，則下列結(jié)論錯誤的有（ ）
A．實(shí)數(shù)的取值范圍為 B．
C． D．的最大值為1
【答案】ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，可判斷A,B,C；結(jié)合基本不等式可判斷D.
【詳解】由函數(shù)解析式作出函數(shù)圖象，如圖，
由題意結(jié)合圖象可知，且，故C正確；
則，，則，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
但，故等號取不到，即，D錯誤；
由于存在，使得，
結(jié)合圖象可知，A錯誤；
當(dāng)時，，直線與的圖象只有兩個交點(diǎn)，
此時不存在，使得，故B錯誤，
故選：ABD
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：諸如此類分段函數(shù)的綜合性題目，由于解析式中的函數(shù)比較簡單，故可作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，比如結(jié)合圖象的對稱軸，圖像的交點(diǎn)個數(shù)等來解決問題.
三、填空題
35．（2022上·江蘇南京·高一校考期末）函數(shù)有 個零點(diǎn)．
【答案】2
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)，即函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個數(shù)，畫出兩函數(shù)的圖象，即可求得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，就是方程的根的個數(shù)，
即函數(shù)和的圖象交點(diǎn)個數(shù)，
函數(shù)和的圖象如下圖所示，

由圖象可知，兩函數(shù)圖象有2個交點(diǎn)，
所以函數(shù)有2個零點(diǎn)，
故答案為：2
36．（2023上·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為．2021年3月13日下午江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震，2020年1月1日四川自貢發(fā)生里氏4.3級地震，則自貢地震所散發(fā)出來的能量是余江地震所散發(fā)出來的能量的 倍．
【答案】100
【分析】根據(jù)題意得到方程組，兩式相減后得到答案.
【詳解】設(shè)里氏3.1級地震所散發(fā)出來的能量為，里氏4.3級地震所散發(fā)出來的能量為，則①，②，
②-①得：，解得：．
故答案為：100．
37．（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有五個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)的范圍，又即可將問題轉(zhuǎn)化為， 共有四個零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖像即可求解.
【詳解】當(dāng)時，則，
此時，則或，
當(dāng)時，則，
此時，則，
故問題轉(zhuǎn)為， 共有四個零點(diǎn)，
畫出函數(shù)圖像如下可知：則，
故答案為：
38．（2023上·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，.函數(shù) (且)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有20個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
【答案】
【分析】將函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)轉(zhuǎn)化成函數(shù)圖像交點(diǎn)個數(shù)的問題，根據(jù)題意分別畫出兩函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合列出所需滿足的關(guān)系式，解不等式即可得.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上恰有20個零點(diǎn)，
則函數(shù)圖象與函數(shù)圖象在區(qū)間上有20個交點(diǎn)，
由知，是周期為2的函數(shù)，
作函數(shù)與函數(shù)的部分圖象如下：

易知當(dāng)時，函數(shù)圖象與函數(shù)圖象有17個交點(diǎn)，故在上有3個交點(diǎn)，
顯然不滿足題意，
所以則需，解得
故答案為：
四、解答題
39．（2023上·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)（，且），根據(jù)函數(shù)過點(diǎn)，代入求出參數(shù)的值，即可得解；
（2）首先求出的解析式，令， ，令，，則問題轉(zhuǎn)化為在上有兩個零點(diǎn)，根據(jù)二次函數(shù)根的分布得到不等式組，解得即可.
【詳解】（1）由題意，設(shè)（，且），
∵的圖象過點(diǎn)，
∴，解得，
故函數(shù)的解析式．
（2）∵，
∴，
令，因?yàn)椋裕?br/>∴，，
函數(shù)在上有兩個零點(diǎn)，等價于在上有兩個零點(diǎn)，
則，即，解得，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為．
40．（2023下·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．
(1)若為偶函數(shù)，求a的值；
(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．
【答案】(1)1
(2)
【分析】（1）利用偶函數(shù)的性質(zhì)求解即可；
（2）令求出函數(shù)的零點(diǎn)，利用已知條件中零點(diǎn)的范圍求解即可.
【詳解】（1）由已知得函數(shù)為偶函數(shù)，
則，即，
化簡整理得，即恒成立，故．
（2）由得，
即，，
所以的兩個零點(diǎn)為，，
因?yàn)椋遥裕遥?br/>解得，且．
故a的取值范圍是．
41．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)且函數(shù)是偶函數(shù)
(1)求的解析式
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍
(3)若函數(shù)恰好有三個零點(diǎn)，求的值及該函數(shù)的零點(diǎn)
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】（1）根據(jù)是偶函數(shù)得函數(shù)的對稱軸，從而求解，代入即可求解解析式；
（2）令，分離參數(shù)即可得到，求出的最大值，即可求解；
（3）令,化為關(guān)于的方程，原函數(shù)有三個零點(diǎn)，即原方程有三個解，由對稱性（或偶函數(shù)）知是一個解，即是新方程的一個根，由此可求得，從而求得另外的根，即求得函數(shù)的零點(diǎn).
【詳解】（1）將向右平移2個單位得到函數(shù)，
因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以函數(shù)關(guān)于對稱，
所以，所以，所以，所以.
（2）令，因?yàn)椋裕?br/>不等式在上恒成立，
等價于在上恒成立.所以.
令，，則，從而，
所以當(dāng)時，取到最大值為，所以.
（3）令，則，
方程可化為，
即，也即.
因?yàn)楹瘮?shù)恰好有三個零點(diǎn)，
所以方程有三個實(shí)數(shù)根，
因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對稱，
所以函數(shù)必有零點(diǎn)0，此時，
即方程有一個根為2，所以.
所以，解得或.由，得，
由，得，所以該函數(shù)的零點(diǎn)為0，，2.
42．（2023上·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）西湖龍井，中國十大名茶之一，屬綠茶，其產(chǎn)于浙江省杭州市西湖龍井村周圍群山，并因此得名，具有多年歷史．清乾隆游覽杭州西湖時，盛贊西湖龍井茶，把獅峰山下胡公廟前的十八棵茶樹封為“御茶”．其外形扁平挺秀，色澤綠翠，內(nèi)質(zhì)清香味醇，泡在杯中，芽葉色綠，而泡制龍井的口感與水的溫度有關(guān)：經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，龍井用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足．
(1)求常數(shù)的值；
(2)經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的龍井大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感 （結(jié)果精確到分鐘）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
【答案】(1)
(2)剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感
【分析】（1）將，代入函數(shù)解析式可得出實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時，，然后解方程即可得解.
【詳解】（1）解：因?yàn)椴杷疁囟葟拈_始，即當(dāng)時，，解得.
（2）解：當(dāng)時，，
當(dāng)時，，即，
所以，，
所以，剛泡好的茶水大約需要放置分鐘才能達(dá)到最佳飲用口感.
43．（2022上·陜西寶雞·高一校考期末）已知函數(shù).
(1)若，求不等式的解集；
(2)證明：當(dāng)時，只有一個零點(diǎn).
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）代入即可求的，進(jìn)而得，即可求解；
（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】（1）解：∵，
∴，∴.
從而，
∵，
∴，即，
故不等式的解集為.
（2）證明：的定義域?yàn)?
當(dāng)時，在上為增函數(shù)，
而在上也為增函數(shù)，
則在上為增函數(shù).
∵，
∴當(dāng)時，只有一個零點(diǎn).
44．（2022上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）我們知道，聲音由物體的振動產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播.在物理學(xué)中，聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)I（W/cm2）.但在實(shí)際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級D（分貝dB）來度量，為了描述聲強(qiáng)級D（dB）與聲強(qiáng)I（W/cm2）之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過多次測定，得到如下數(shù)據(jù):
組別 1 2 3 4 5 6 7
聲強(qiáng)I（W/cm2） 10-11 2×10-11 3×10-11 4×10-11 10-10 ① 9×10-7
聲強(qiáng)級D（dB） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②
現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:，，.
(1)試根據(jù)第1-5組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；
(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值（參考數(shù)據(jù):；
(3)已知煙花的噪聲分貝一般在，其聲強(qiáng)為；鞭炮的噪聲分貝一般在，其聲強(qiáng)為；飛機(jī)起飛時發(fā)動機(jī)的噪聲分貝一般在其聲強(qiáng)為，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.
【答案】(1)，理由見解析，
(2)，
(3)，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，可排除一次函數(shù)和二次函數(shù)，再根據(jù)待定系數(shù)法，即可得到結(jié)果；
（2）由（1），令，可求出的值，即可知道①處的值；由已知可得時，可得，進(jìn)而可求出當(dāng)時的值，進(jìn)而求出②處的值；
（3）設(shè)煙花噪聲、鞭炮噪聲和飛機(jī)起飛時發(fā)動機(jī)噪聲的聲強(qiáng)級分別為，由已知可得，代入關(guān)系式，即可判斷與的大小關(guān)系.
【詳解】（1）選擇.
由表格中的前四組數(shù)據(jù)可知，當(dāng)自變量增加量為時，函數(shù)值的增加量不是
同一個常數(shù)，所以不應(yīng)該選擇一次函數(shù)；
同時當(dāng)自變量增加量為時，函數(shù)值的增加量從變?yōu)椋笥挚s小為，函數(shù)值的增加量越來越小，也不應(yīng)該選擇二次函數(shù)；
故應(yīng)選擇.
由已知可得，即，解得，
所以解析式為.
（2）由（1）知，
令，可得，，故①處應(yīng)填；
又當(dāng)時，，
故②處應(yīng)填.
（3）解：設(shè)煙花噪聲、鞭炮噪聲和飛機(jī)起飛時發(fā)動機(jī)噪聲的聲強(qiáng)級分別為，
由已知，
故有，
所以，
因此，即，所以.
45．（2023上·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的解析式；
(2)若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求a的值；
(3)設(shè)，若對任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】（1）由奇函數(shù)的定義求解；
（2）化簡方程然后分類討論得方程根的情況，注意檢驗(yàn)；
（3）由定義確定函數(shù)的單調(diào)性，得函數(shù)最大值與最小值的差，由題意轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問題后求解．
【詳解】（1）由題知，當(dāng)，，
設(shè)．則，所以，
因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)?br/>所以；
（2）令，整理得，
因?yàn)橛星抑挥幸粋€零點(diǎn)，
所以方程有且只有一根或兩相等根，
當(dāng)時，，符合題意，
當(dāng)時，只需
所以，此時，符合題意
綜上，或．
（3）在上任取，且，則，．
所以，所以在上單調(diào)遞減．
所以函數(shù)在上的最大值與最小值分別為，．
所以，
即，對任意成立．
因?yàn)椋院瘮?shù)的圖象開口向上，對稱軸，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，y有最小值，所以，解得．
所以a的取值范圍為．
46．（2023上·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明函數(shù)在上的單調(diào)遞增；
(3)若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)，由求解；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性的定義求解；
（3）根據(jù)（2）知在上的單調(diào)遞增，結(jié)合在區(qū)間上的值域?yàn)椋D(zhuǎn)化為在上有兩個不同實(shí)根求解.
【詳解】（1）解：函數(shù)為奇函數(shù)，
，
即，
當(dāng)時顯然不成立，
故，．
（2）證明：定義域，
任取，則，
，，，
，
，
，在上的單調(diào)遞增．
（3）由（2）知在上的單調(diào)遞增，
在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br/>，且且，
即，是方程的實(shí)根，
問題等價于在上有兩個不同實(shí)根，
令，顯然，
則，
即，解得，故的范圍．函數(shù)的零點(diǎn)和函數(shù)的模型
【考點(diǎn)梳理】
1．函數(shù)的零點(diǎn)
(1)函數(shù)零點(diǎn)的定義
對于函數(shù)y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)(x∈D)的零點(diǎn)．
(2)幾個等價關(guān)系
方程f(x)＝0有實(shí)數(shù)根 函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點(diǎn) 函數(shù)y＝f(x)有零點(diǎn)．
(3)函數(shù)零點(diǎn)的判定(零點(diǎn)存在性定理)
如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個__c__也就是方程f(x)＝0的根．
2．二分法
對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)<0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法．
3．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c (a>0)的圖象
與x軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn)
零點(diǎn)個數(shù) 2 1 0
【題型歸納】
題型一：函數(shù)零點(diǎn)存在定理
1．（2023上·甘肅定西·高一統(tǒng)考期末）已知是函數(shù)的一個零點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
2．（2022上·云南臨滄·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022上·廣東深圳·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（ ）
A． B．
C． D．
題型二：用二分法求函數(shù)f(x)零點(diǎn)近似值
4．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)在內(nèi)有一個零點(diǎn)，且求得的部分函數(shù)值數(shù)據(jù)如下表所示：
0 1 0.5 0.75 0.625 0.5625 0.6875 0.65625 0.671875
-1 1 -0.375 0.1718 -0.1308 -0.2595 0.01245 -0.06113 -0.02483
要使零點(diǎn)的近似值精確到0.1，則對區(qū)間的最少等分次數(shù)和近似解分別為（ ）
A．6次0.7 B．6次0.6
C．5次0.7 D．5次0.6
5．（2023上·山東菏澤·高一統(tǒng)考期末）在使用二分法計(jì)算函數(shù)的零點(diǎn)的近似解時，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為，如果要求近似解的精確度為0.1，則接下來至少需要計(jì)算（ ）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022上·江西景德鎮(zhèn)·高一景德鎮(zhèn)一中校考期末）用二分法求方程在內(nèi)的近似解，已知判斷，方程的根應(yīng)落在區(qū)間（ ）
A． B． C． D．
題型三：函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)問題
7．（2023上·重慶九龍坡·高一重慶市楊家坪中學(xué)校考期末）函數(shù)的一個零點(diǎn)在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．（2021上·北京·高一北京二中校考期末）已知關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2021上·北京·高一清華附中校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)在上有四個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
題型四：零點(diǎn)的個數(shù)或根個數(shù)問題
10．（2023上·陜西西安·高一長安一中校考期末）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程實(shí)數(shù)解的個數(shù)為（ ）
A．4 B．5 C．3 D．2
11．（2023上·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高一校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）．
A．3個 B．2個 C．1個 D．0個
12．（2022上·重慶合川·高一重慶市合川中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程0有五個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
題型五：零點(diǎn)的分布問題
13．（2023下·云南玉溪·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)恰有3個不相等的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
14．（2023上·湖北黃岡·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)若關(guān)于的方程有個不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
15．（2022上·安徽合肥·高一統(tǒng)考期末）若關(guān)于的方程在上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
題型六：函數(shù)模型的應(yīng)用
16．（2023上·江蘇淮安·高一統(tǒng)考期末）2022年新冠肺炎疫情仍在世界好多國家肆虐，目前的新冠病毒是奧密克戎變異株，其特點(diǎn)是：毒力顯著減弱，但傳染性很強(qiáng)，絕大多數(shù)人感染后表現(xiàn)為無癥狀或輕癥，重癥病例很少，長期一段時間以來全國沒有一例死亡病例．某科研機(jī)構(gòu)對奧密克戎變異株在特定環(huán)境下進(jìn)行觀測，每隔單位時間T進(jìn)行一次記錄，用x表示經(jīng)過的單位時間數(shù)，用y表示奧密克戎變異株感染人數(shù)，得到如下觀測數(shù)據(jù)：
1 2 3 4 5 6 …
(人數(shù)) … 6 … 36 … 216 …
若奧密克戎變異株的感染人數(shù)y與經(jīng)過個單位時間T的關(guān)系有兩個函數(shù)模型與可供選擇．
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
(1)判斷哪個函數(shù)模型更合適，并求出該模型的解析式；
(2)求至少經(jīng)過多少個單位時間該病毒的感染人數(shù)不少于1萬人．
17．（2023下·湖南株洲·高一統(tǒng)考期末）某醫(yī)學(xué)研究所研發(fā)一種藥物，據(jù)監(jiān)測，如果成人在內(nèi)按規(guī)定的劑量注射該藥，在注射期間，血液中的藥物含量呈線性增加；停止注射后，血液中的藥物含量呈指數(shù)衰減，每毫升血液中的藥物含量與服藥后的時間之間近似滿足如圖所示的曲線，其中是線段，曲線段是函數(shù)（，是常數(shù)）的圖象，且.

(1)寫出注射該藥后每毫升血液中藥物含量關(guān)于時間的函數(shù)關(guān)系式；
(2)據(jù)測定：每毫升血液中藥物含量不少于時治療有效，如果某人第一次注射藥物為早上8點(diǎn)，為保持療效，第二次注射藥物最遲是當(dāng)天幾點(diǎn)鐘？
(3)若按（2）中的最遲時間注射第二次藥物，則第二次開始注射到達(dá)時，此刻該人每毫升血液中藥物含量為多少？（參考數(shù)據(jù)：）
18．（2023上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）為了給空氣消毒，某科研單位根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出，在一定范圍內(nèi)，每噴灑1個單位的消毒劑，環(huán)境中釋放的濃度y（單位：毫克/立方米）隨著時間x（單位：小時）變化的函數(shù)關(guān)系式近似為．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的消毒劑濃度為每次投放的消毒劑在相應(yīng)時刻所釋放的濃度之和．由實(shí)驗(yàn)知，當(dāng)空氣中消毒劑的濃度不低于4（毫克/立方米）時，它才能起到給空氣消毒的作用．
(1)若一次噴灑4個單位的消毒劑，則消毒時間約達(dá)幾小時？
(2)若第一次噴灑2個單位的消毒劑，3小時后再噴灑2個單位的消毒劑，設(shè)第二次噴灑t小時后空氣中消毒劑濃度為g（t）（毫克/立方米），其中
①求g(1)的表達(dá)式：
②求第二次噴灑后的3小時內(nèi)空氣中消毒劑濃度的最小值．
題型七：函數(shù)與方程的綜合問題
19．（2023上·上海松江·高一校考期末）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，求解的零點(diǎn)；
(2)若對任意的，不等式恒不成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù).
20．（2023上·浙江臺州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，且．
(1)若，求方程的解；
(2)若存在，使得不等式對于任意的恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
21．（2023下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，（且）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，函數(shù)為奇函數(shù).
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求函數(shù)的零點(diǎn)；
(3)若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，求正實(shí)數(shù)的取值范圍.
【強(qiáng)化精練】
一、單選題
22．（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)校考期末）函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
23．（2022上·廣東深圳·高一校考期末）在用“二分法”求函數(shù)零點(diǎn)近似值時，若第一次所取區(qū)間為，則第二次所取區(qū)間可能是（ ）
A． B．
C． D．
24．（2022上·重慶北碚·高一西南大學(xué)附中校考期末）南非在2021年11月9日檢測出首例新冠病毒變異毒株“奧密克戎”，短短一周時間，從11月10日新增感染300人到11月16日新增感染1萬人，若新增感染人數(shù)y與時間（第x天）可以表示為函數(shù)（為正實(shí)數(shù)），則第四天新增感染人數(shù)約為（ ）（參考數(shù)據(jù)：）
A．5485 B．4018 C．2143 D．1765
25．（2022上·云南臨滄·高一校考期末）已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)b，使得方程有兩個不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
26．（2023下·云南保山·高一統(tǒng)考期末）已知，若方程有四個不同的實(shí)數(shù)根，則的最小值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
27．（2023·全國·校聯(lián)考二模）昆蟲信息素是昆蟲用來表示聚集、覓食、交配、警戒等信息的化學(xué)物質(zhì)，是昆蟲之間起化學(xué)通訊作用的化合物，是昆蟲交流的化學(xué)分子語言，包括利它素、利己素、協(xié)同素、集合信息素、追蹤信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等．人工合成的昆蟲信息素在生產(chǎn)中有較多的應(yīng)用，尤其在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中的病蟲害的預(yù)報和防治中較多使用．研究發(fā)現(xiàn)，某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得的信息素濃度y滿足，其中k，a為非零常數(shù)．已知釋放信息素1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為m；若釋放信息素4秒后，距釋放處b米的位置，信息素濃度為，則b＝（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
28．（2023上·貴州黔西·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)定義在R上，且，滿足，且當(dāng)時，，則函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
29．（2023上·上海金山·高一統(tǒng)考期末）已知，若關(guān)于x的方程有且僅有兩個不同的整數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）．
A． B． C． D．
30．（2023上·廣東廣州·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、多選題
31．（2023上·山東菏澤·高一山東省鄆城第一中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．函數(shù)有且僅有一個零點(diǎn)0 B．
C．在上單調(diào)遞增 D．在上單調(diào)遞減
32．（2023上·廣東佛山·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的零點(diǎn)為，函數(shù)的零點(diǎn)為，則（ ）
A． B． C． D．
33．（2023上·江西南昌·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個零點(diǎn)，，，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m的取值范圍為 B．的取值范圍為
C． D．最大值為1
34．（2023上·四川眉山·高一校考期末）已知，若存在，使得，則下列結(jié)論錯誤的有（ ）
A．實(shí)數(shù)的取值范圍為 B．
C． D．的最大值為1
三、填空題
35．（2022上·江蘇南京·高一校考期末）函數(shù)有 個零點(diǎn)．
36．（2023上·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）科學(xué)家以里氏震級來度量地震的強(qiáng)度，若設(shè)為地震時所散發(fā)出來的相對能量程度，則里氏震級可定義為．2021年3月13日下午江西鷹潭余江區(qū)發(fā)生里氏3.1級地震，2020年1月1日四川自貢發(fā)生里氏4.3級地震，則自貢地震所散發(fā)出來的能量是余江地震所散發(fā)出來的能量的 倍．
37．（2023下·江蘇鹽城·高一江蘇省響水中學(xué)校考期末）已知函數(shù)，若函數(shù)有五個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .
38．（2023上·云南紅河·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)滿足，當(dāng)時，.函數(shù) (且)，若函數(shù)在區(qū)間上恰有20個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 .
四、解答題
39．（2023上·遼寧朝陽·高一建平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考期末）已知指數(shù)函數(shù)的圖象過點(diǎn)．
(1)求的解析式；
(2)若函數(shù)，且在區(qū)間上有兩個零點(diǎn)，求m的取值范圍．
40．（2023下·安徽亳州·高一渦陽縣第二中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)，R．
(1)若為偶函數(shù)，求a的值；
(2)令．若函數(shù)在上有兩個不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．
41．（2022上·黑龍江佳木斯·高一校考期末）已知函數(shù)且函數(shù)是偶函數(shù)
(1)求的解析式
(2)若不等式在上恒成立，求的取值范圍
(3)若函數(shù)恰好有三個零點(diǎn)，求的值及該函數(shù)的零點(diǎn)
42．（2023上·浙江杭州·高一浙江大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）西湖龍井，中國十大名茶之一，屬綠茶，其產(chǎn)于浙江省杭州市西湖龍井村周圍群山，并因此得名，具有多年歷史．清乾隆游覽杭州西湖時，盛贊西湖龍井茶，把獅峰山下胡公廟前的十八棵茶樹封為“御茶”．其外形扁平挺秀，色澤綠翠，內(nèi)質(zhì)清香味醇，泡在杯中，芽葉色綠，而泡制龍井的口感與水的溫度有關(guān)：經(jīng)驗(yàn)表明，在室溫下，龍井用的水泡制，再等到茶水溫度降至?xí)r飲用，可以產(chǎn)生最佳飲用口感．經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，設(shè)茶水溫度從開始，經(jīng)過分鐘后的溫度為且滿足．
(1)求常數(shù)的值；
(2)經(jīng)過測試可知，求在室溫下，剛泡好的龍井大約需要放置多長時間才能達(dá)到最佳飲用口感 （結(jié)果精確到分鐘）
（參考數(shù)據(jù)：，，，）
43．（2022上·陜西寶雞·高一校考期末）已知函數(shù).
(1)若，求不等式的解集；
(2)證明：當(dāng)時，只有一個零點(diǎn).
44．（2022上·福建泉州·高一統(tǒng)考期末）我們知道，聲音由物體的振動產(chǎn)生，以波的形式在一定的介質(zhì)（如固體、液體、氣體）中進(jìn)行傳播.在物理學(xué)中，聲波在單位時間內(nèi)作用在與其傳遞方向垂直的單位面積上的能量稱為聲強(qiáng)I（W/cm2）.但在實(shí)際生活中，常用聲音的聲強(qiáng)級D（分貝dB）來度量，為了描述聲強(qiáng)級D（dB）與聲強(qiáng)I（W/cm2）之間的函數(shù)關(guān)系，經(jīng)過多次測定，得到如下數(shù)據(jù):
組別 1 2 3 4 5 6 7
聲強(qiáng)I（W/cm2） 10-11 2×10-11 3×10-11 4×10-11 10-10 ① 9×10-7
聲強(qiáng)級D（dB） 10 13.01 14.77 16.02 20 40 ②
現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:，，.
(1)試根據(jù)第1-5組的數(shù)據(jù)選出你認(rèn)為符合實(shí)際的函數(shù)模型，簡單敘述理由，并根據(jù)第1組和第5組數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式；
(2)根據(jù)（1）中所求解析式，結(jié)合表中已知數(shù)據(jù)，求出表格中①、②數(shù)據(jù)的值（參考數(shù)據(jù):；
(3)已知煙花的噪聲分貝一般在，其聲強(qiáng)為；鞭炮的噪聲分貝一般在，其聲強(qiáng)為；飛機(jī)起飛時發(fā)動機(jī)的噪聲分貝一般在其聲強(qiáng)為，試判斷與的大小關(guān)系，并說明理由.
45．（2023上·山東泰安·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．
(1)已知，函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，求的解析式；
(2)若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，求a的值；
(3)設(shè)，若對任意，函數(shù)在上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．
46．（2023上·廣西玉林·高一統(tǒng)考期末）已知函數(shù)為奇函數(shù)．
(1)求實(shí)數(shù)的值；
(2)證明函數(shù)在上的單調(diào)遞增；
(3)若存在使得函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍．

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