資源簡介

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八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題七 全等三角形的常見輔助線（二）
類型四 倍長中線法構造全等三角形
方法點撥：已知線段中點或三角形的中線，將中線延長，使所得線段長度為原來的2倍。構造8字型全等三角形解決問題。
1.倍長中線模型
延長AD到點E，使DE=AD，連接CE 條件：△ABC，AD=BD結論：△ABD≌△CED(SAS) ①倍長中線常和△三邊關系結合，考察中線長的取值范圍 ②倍長中線也可以和其他幾何圖形結合，考察幾何圖形的面積問題
2 .倍長中線模型的變形——“倍長中線類”模型：
基本圖形 輔助線 條件與結論 應用環境
延長AD交直線l2于點E， 條件：l1∥l2，CD=BD結論：△ABD≌△ECD(AAS) 與含有平行元素的幾何圖形結合考察全等三角形的判定
典例剖析4
【例4-1】【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是　 　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【例4-2】（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是　 　；則中線的取值范圍是 　 　；
（2）問題解決：
如圖②，在中，是邊的中點，于點，交于點，交于點，連接，此時：與的大小關系，并說明理由．
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作，邊，分別交，于，兩點，連接，此時：、與的數量關系
針對練習4
1 .【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經過組內合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使
請根據小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；
【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題
如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分 ；
（3）如圖2，若，，不共線，求證：；
（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數是___________（用含的代數式表示）．
2 .閱讀下面文字并填空：數學課上張老師出了這樣一道題：“如圖，在中，，是中線，點為的中點，連接.求證：”

張老師給出了如下簡要分析：“要證，就是要證線段的倍分問題，所以有兩個思路，思路一：找，故取的中點，連接，只要證即可.這就將證明線段倍分問題______為證明線段相等問題，只要證出______，則結論成立.思路二：變為，因為需要找到，于是延長至點，使，只要證______即可.連接，若證出____________則結論成立.”你認為在現階段可以用思路______來完成這個證明.
3 .（1）方法學習：數學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），
①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是　 　；
方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數量關系和位置關系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數量關系，并加以證明．
類型五 截長補短證全等
截長補短模型
基本圖形 輔助線 條件與結論 應用環境
在AC上截取AE=AD，連接PE 條件：AP平分∠BAC，結論：△APD≌△APE(SAS) ①截長補短類輔助線經常和角平分線同步考察②截長補短類全等的目的通常是為了等價線段
因為截長補短常得線段相等，所以截長補短經常用于證明三條線段間的數量關系，如AD=BC+EF
【例5-1】如圖所示，在，，平分交于點，延長至點，使，連接．求證：．
【例5-2】如圖，已知，是的角平分線，且交于點P．
(1)直接寫出___________°；

(2)求證：；
(3)探究的數量關系．
針對練習5
1 .在四邊形中，點E在邊上，，分別平分，．
(1)在邊上找出點B關于直線的對稱點F（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）．
(2)在（1）的基礎上，當時，
①若，求的大小；
②直接寫出與的數量關系．
2 .點E是BC的中點，DE平分∠ADC．
（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；
（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數；
（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．
3 .如圖，在中，，是的角平分線交于，過作于點，點在上，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求線段的長，
類型六 旋轉構造全等三角形
旋轉模型
通過輔助線利用旋轉構造全等三角形解決問題
【例6-1】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數量關系，并說明理由；
②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．
【例6-2】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．
針對練習6
1.正方形 ，點E為平面內一點，連接，將繞點B順時針旋轉得到 ，連接，．已知點M為的中點，連接．
(1)如圖1，①若點E為邊邊上一點，補全圖形；
②判斷并證明線段和的數量關系．
(2)如圖2，若點E是的內部一點，（1）中線段和的數量關系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
2 .已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點
【問題解決】
(1)如圖1，若，射線在內部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數，請你幫助小明寫出證明過程；
【類比探究】
(2)如圖2，已知．
①當射線在內，求的度數
②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數會變化嗎 若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數；
3 .在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點
（1）如圖1，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）如圖1，若AB＝4，則四邊形AEDF的面積為 　　（直接寫出結果）；
（3）如圖2，若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，則△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．
八年級數學上期末大串講+練專題復習
專題七 全等三角形的常見輔助線（二）（解析版）
類型四 倍長中線法構造全等三角形
方法點撥：已知線段中點或三角形的中線，將中線延長，使所得線段長度為原來的2倍。構造8字型全等三角形解決問題。
1.倍長中線模型
延長AD到點E，使DE=AD，連接CE 條件：△ABC，AD=BD結論：△ABD≌△CED(SAS) ①倍長中線常和△三邊關系結合，考察中線長的取值范圍 ②倍長中線也可以和其他幾何圖形結合，考察幾何圖形的面積問題
2 .倍長中線模型的變形——“倍長中線類”模型：
基本圖形 輔助線 條件與結論 應用環境
延長AD交直線l2于點E， 條件：l1∥l2，CD=BD結論：△ABD≌△ECD(AAS) 與含有平行元素的幾何圖形結合考察全等三角形的判定
典例剖析1
【例4-1】【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法：延長AD到點E，使DE＝AD，請根據小明的方法思考：
（1）由已知和作圖能得到△ADC≌△EDB的理由是　
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范圍是　 　
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【方法感悟】
解題時，條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中．
【問題解決】
（3）如圖2，已知：CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線，求證：∠C＝∠BAE．
【思路引領】（1）根據AD＝DE，∠ADC＝∠BDE，BD＝DC推出△ADC和△EDB全等即可；
（2）根據全等得出BE＝AC＝6，AE＝2AD，由三角形三邊關系定理得出8﹣6＜2AD＜8+6，求出即可；
（3）延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，可證明△ABE≌△FDE，則∠BAE＝∠EFD，∠B＝∠EDF，再由外角的性質得出∠ADF＝∠ADC，則△ADF≌△ADC（SAS），則∠AFD＝∠C，從而得出∠C＝∠BAE．
（1）解：∵在△ADC和△EDB中，，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案為：B；
（2）解：∵由（1）知：△ADC≌△EDB，
∴BE＝AC＝6，AE＝2AD，
∵在△ABE中，AB＝8，由三角形三邊關系定理得：8﹣6＜2AD＜8+6，
∴1＜AD＜7，
故答案為：C．
（3）證明：如圖，延長AE到F，使EF＝AE，連接DF，
∵AE是△ABD的中線
∴BE＝ED，
在△ABE與△FDE中，，
∴△ABE≌△FDE（SAS），
∴AB＝DF，∠BAE＝∠EFD，
∵∠ADB是△ADC的外角，
∴∠DAC+∠ACD＝∠ADB＝∠BAD，
∴∠BAE+∠EAD＝∠BAD，∠BAE＝∠EFD，
∴∠EFD+∠EAD＝∠DAC+∠ACD，
∴∠ADF＝∠ADC，
∵AB＝DC，
∴DF＝DC，
在△ADF與△ADC中，，
∴△ADF≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AFD＝∠BAE．
【點睛】此題是三角形綜合題，主要考查了三角形的中線，三角形的三邊關系定理，等腰三角形性質和判定，全等三角形的性質和判定等知識點，主要考查學生運用定理進行推理的能力．
【例4-2】（1）閱讀理解：

如圖①，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．解決此問題可以用如下方法：延長到點使，再連接，這樣就把，，集中在中，利用三角形三邊的關系可判斷線段的取值范圍是　 　；則中線的取值范圍是 　 　；
（2）問題解決：
如圖②，在中，是邊的中點，于點，交于點，交于點，連接，此時：與的大小關系，并說明理由．
（3）問題拓展：
如圖③，在四邊形中，，，，以為頂點作，邊，分別交，于，兩點，連接，此時：、與的數量關系
【答案】（1）；（2），見解析；（3）
【分析】（1）延長到點使，再連接，證明，可得，再由三角形三角關系可得，；
（2）延長至，使，連接，證明，可得，連接，可知是等腰三角形，則，在中，，即；
（3）延長至使，連接，證明，可推導出，再證明，則，能推導出．
【詳解】解：（1）延長到點使，再連接，
，，，
，
，
在中，，
，
，
，
故答案為：，；
（2）延長至，使，連接，

，，，
，
，
連接，
，，
是等腰三角形，
，
在中，，即；
（3）延長至使，連接，

，，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
【點睛】本題考查全等三角形的綜合應用，熟練掌握三角形全等的判定及性質，三角形中線的定義，三角形三邊關系是解題的關鍵．
針對練習4
1 .【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：
如圖，中，，，求邊上的中線的取值范圍，經過組內合作交流．小明得到了如下的解決方法：延長到點，使
請根據小明的方法思考：

（1）求得的取值范圍是___________；
【問題解決】請利用上述方法（倍長中線）解決下列三個問題
如圖，已知，，，為的中點．

（2）如圖1，若，，共線，求證：平分 ；
（3）如圖2，若，，不共線，求證：；
（4）如圖3，若點在上，記銳角，且，則的度數是___________（用含的代數式表示）．
【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析；（4）
【分析】（1）根據三角形三邊之間的關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，即可進行解答；
（2）延長交延長線于點，證即可；
（3）延長至點，使得，連接、、，證即可；
（4）過點作交于點，由（3）可得，證，用含的代數式表示出即可．
【詳解】（1）為邊上的中線，
，
在和中
，
，
，
，
即，
，
，
，
故答案為：
（2）如下圖，交延長線于點

，
（同旁內角互補，兩直線平行），
，，
為的中點
，
，
，，
又，
，即，
在和中
，
（全等三角形的對應角相等），即平分
（3）延長至點，使得，連接、、

由（1）同理易知，
，，
，且，
，
，，
，
，
，
，
（4）過點作交于點，由（3）可得，，，，

，
，
和互余，，
，
，
，
，
又，
，
故答案為：
2 .閱讀下面文字并填空：數學課上張老師出了這樣一道題：“如圖，在中，，是中線，點為的中點，連接.求證：”

張老師給出了如下簡要分析：“要證，就是要證線段的倍分問題，所以有兩個思路，思路一：找，故取的中點，連接，只要證即可.這就將證明線段倍分問題______為證明線段相等問題，只要證出______，則結論成立.思路二：變為，因為需要找到，于是延長至點，使，只要證______即可.連接，若證出____________則結論成立.”你認為在現階段可以用思路______來完成這個證明.
【答案】轉化；；, , ；二
證明過程見詳解
【分析】按照張老師的思路即可填出答案，利用全等三角形的判定及性質來證明，從而有，從而結論可證.所以思路二可以證明.
【詳解】轉化；；, , ；二
證明：延長至點，使
∵點為的中點
∴
在和中，
∵，是中線
在和中，
∴
∴
【點睛】本題主要考查全等三角形的判定及性質，掌握全等三角形的判定方法是解題的關鍵.
3 .（1）方法學習：數學興趣小組活動時，張老師提出了如下問題：如圖1，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
小明在組內經過合作交流，得到了如下的解決方法（如圖2），
①延長AD到M，使得DM＝AD；
②連接BM，通過三角形全等把AB、AC、2AD轉化在△ABM中；
③利用三角形的三邊關系可得AM的取值范圍為AB﹣BM＜AM＜AB+BM，從而得到AD的取值范圍是　 　；
方法總結：上述方法我們稱為“倍長中線法”．“倍長中線法”多用于構造全等三角形和證明邊之間的關系．
（2）請你寫出圖2中AC與BM的數量關系和位置關系，并加以證明．
（3）深入思考：如圖3，AD是△ABC的中線，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠CAF＝90°，請直接利用（2）的結論，試判斷線段AD與EF的數量關系，并加以證明．
【分析】（1）先判斷出BD＝CD，由“SAS”可證△MDB≌△ADC，得出BQ＝AC＝6，最后用三角形三邊關系即可得出結論；
（2）由（1）知，△MDB≌△ADC，根據全等三角形的性質和平行線的判定即可得出結論；
（3）同（1）的方法得出△BDM≌△CDA，則BM＝AC，進而判斷出∠ABM＝∠EAF，進而判斷出△ABM≌△EAF，得出AM＝EF，∠BAM＝∠AEF，即可得出結論．
【解答】解：（1）如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
在△MDB和△ADC中，
，
∴△MDB≌△ADC（SAS），
∴BM＝AC＝6，
在△ABM中，AB﹣BM＜AM＜AB+BM，
∴8﹣6＜AM＜8+6，2＜AM＜14，
∴1＜AD＜7，
故答案為：1＜AD＜7；
（2）AC∥BM，且AC＝BM，
理由是：由（1）知，△MDB≌△ADC，
∴∠M＝∠CAD，AC＝BM，
∴AC∥BM；
（3）EF＝2AD，
理由：如圖2，延長AD到M，使得DM＝AD，連接BM，
由（1）知，△BDM≌△CDA（SAS），
∴BM＝AC，
∵AC＝AF，
∴BM＝AF，
由（2）知：AC∥BM，
∴∠BAC+∠ABM＝180°，
∵∠BAE＝∠FAC＝90°，
∴∠BAC+∠EAF＝180°，
∴∠ABM＝∠EAF，
在△ABM和△EAF中，
，
∴△ABM≌△EAF（SAS），
∴AM＝EF，
∵AD＝DM，
∴AM＝2AD，
∵AM＝EF，
∴EF＝2AD，
即：EF＝2AD．
【點評】條件中若出現“中點”“中線”字樣，可以考慮延長中線構造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結論集合到同一個三角形中解題的關鍵是正確做出作輔助線，構造全等三角形．
類型五 截長補短證全等
截長補短模型
基本圖形 輔助線 條件與結論 應用環境
在AC上截取AE=AD，連接PE 條件：AP平分∠BAC，結論：△APD≌△APE(SAS) ①截長補短類輔助線經常和角平分線同步考察②截長補短類全等的目的通常是為了等價線段
因為截長補短常得線段相等，所以截長補短經常用于證明三條線段間的數量關系，如AD=BC+EF
【例5-1】如圖所示，在，，平分交于點，延長至點，使，連接．求證：．
【答案】見解析
【分析】在上取一點F使得，連接，證明，得到，進一步證明，得到，即可證明．
【詳解】證明：如圖所示，在上取一點F使得，連接，
∵，，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴；
【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質與判定，角平分線的定義，三角形外角的性質，三角形內角和定理等等，正確作出輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．
【例5-2】如圖，已知，是的角平分線，且交于點P．
(1)直接寫出___________°；

(2)求證：；
(3)探究的數量關系．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）根據角平分線平分線以及三角形的內角和定理，求出的度數，對頂角相等，即可得到的度數；
（2）過點作，證明≌，即可得證；
（3）在上截取，證明≌，≌即可得出結論．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∵是的角平分線，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案為：；
（2）證明：過點作，

則：，
∵是的角平分線，且交于點P，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴≌，
∴；
（3）解：在上截取，

∵平分，
∴，
∵，
∴≌，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
又，
∴≌，
∴，
∴．
【點睛】本題考查角平分線的性質，全等三角形的判定和性質，解題的關鍵是添加合適的輔助線，證明三角形全等．
針對練習5
1 .在四邊形中，點E在邊上，，分別平分，．
(1)在邊上找出點B關于直線的對稱點F（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫做法）．
(2)在（1）的基礎上，當時，
①若，求的大小；
②直接寫出與的數量關系．
【答案】(1)見解析
(2)①；②
【分析】（1）根據對稱的性質，在上取即可，可證明，得到，，即可證明對稱；
（2）①連接，在上找一點G，使，連接，，根據和，得到，，，根據，等量代換得到，再根據等邊對等角以及外角的性質即可求出；②根據①中結論可得，根據平角的定義代換得到，根據，再次代換并化簡可得．
【詳解】（1）解：如圖，點F即為所求；
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴垂直平分，即F為B關于的對稱點；
（2）①連接，在上找一點G，使，連接，，
∵，
∴，，
同（1）可證：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
化簡得：．
2 .點E是BC的中點，DE平分∠ADC．
（1）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，求證：AE平分∠DAB；
（2）如圖1，若∠B＝∠C＝90°，∠CED＝35°，求∠EAB的度數；
（3）如圖2，若DE⊥AE，求證：AD＝AB+CD．
【答案】（1）證明見解析；
（2）35°；
（3）證明見解析．
【思路引領】（1）延長DE交AB的延長線于F，判定△CDE≌△BFE（AAS），即可得出DE＝FE，再判定等腰三角形ADF，即可得到結論；
（2）根據平行線的判定和性質解答即可；
（3）在DA上截取DF＝DC，連接EF，判定△CDE≌△FDE（SAS），即可得出CE＝FE，∠CED＝∠FED，再判定△AEF≌△AEB（SAS），可得AF＝AB，進而得出AD＝AF+DF＝AB+CD．
（1）證明：如圖1，延長DE交AB的延長線于F，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴AB∥CD，
∴∠CDE＝∠F，
又∵E是BC的中點，
∴CE＝BE，
∴△CDE≌△BFE（AAS），
∴DE＝FE，即E為DF的中點，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠F，
∴AD＝AF，
∴AE平分∠DAB；
（2）解：由（1）得AE平分∠DAB，
∴∠EAB∠DAB，
∵∠ABC＝∠C＝90°，
∴DC∥AB，
∴∠ADC+∠DAB＝180°，
∵∠DEC＝35°，
∴∠CDE＝90°﹣35°＝55°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADC＝2∠CDE＝110°，
∴∠DAB＝180°﹣110°＝70°，
∴∠EAB＝35°；
（3）證明：如圖2，在DA上截取DF＝DC，連接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE＝∠FDE，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE（SAS），
∴CE＝FE，∠CED＝∠FED，
又∵E是BC的中點，
∴CE＝BE，
∴FE＝BE，
∵∠AED＝90°，
∴∠AEF+∠DEF＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠AEF＝∠AEB，
又∵AE＝AE，
∴△AEF≌△AEB（SAS），
∴AF＝AB，
∴AD＝AF+DF＝AB+CD．
【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定及其性質的綜合運用；解題的關鍵是作輔助線，靈活運用等腰三角形的性質、全等三角形的判定等幾何知識點來分析、解決．
3 .如圖，在中，，是的角平分線交于，過作于點，點在上，且．
（1）求證：；
（2）求證：；
（3）若，，求線段的長，
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）的長為4．
【分析】（1）根據已知條件，利用AAS證明即可；
（2）設，在上截取，連接，證明，進而證明，再證明，根據即可求證；
（3）由（2）可得,,根據即可求得的長．
【詳解】證明：（1）∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
（2）設，
∵，
在中，，
在中，，
∵，
在上截取，連接，
在和中，
∴，
∴，，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴，
設，
∵，
∴，
在中，
在中，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
（3）∵，且，
∴，
∵，
∴，
∵，且，
∴
【點睛】本題考查了三角形全等的性質與判定，角平分線的定義，掌握以上知識是解題的關鍵．
類型六 旋轉構造全等三角形
旋轉模型
通過輔助線利用旋轉構造全等三角形解決問題
【例6-1】如圖1，在△ABC中，AE⊥BC于E，AE＝BE，D是AE上的一點，且DE＝CE，連接BD，CD．
（1）試判斷BD與AC的位置關系和數量關系，并說明理由；
（2）如圖2，若將△DCE繞點E旋轉一定的角度后，試判斷BD與AC的位置關系和數量關系是否發生變化，并說明理由；
（3）如圖3，若將（2）中的等腰直角三角形都換成等邊三角形，其他條件不變．
①試猜想BD與AC的數量關系，并說明理由；
②你能求出BD與AC的夾角度數嗎？如果能，請直接寫出夾角度數；如果不能，請說明理由．
【答案】（1）BD＝AC，BD⊥AC，理由見解析；（2）不變，理由見解析；（3）①BD＝AC，理由見解析；②能，60°或120°．
【分析】（1）延長BD交AC于F，根據“”判定，根據全等三角形的性質，即可求證；
（2）根據“”判定，根據全等三角形的性質，即可求證；
（3）①根據“”判定，根據全等三角形的性質，即可求證；②設與交于點，根據全等三角形的性質，即可求證．
【詳解】（1）BD＝AC，BD⊥AC，
理由：延長BD交AC于F．
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝∠AEC＝90°，
在△BED和△AEC中
∴，
∴BD＝AC，∠DBE＝∠CAE，
∵∠BED＝90°，
∴∠EBD+∠BDE＝90°，
∵∠BDE＝∠ADF，
∴∠ADF+∠CAE＝90°，
∴∠AFD＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（2）
不發生變化，
理由是：∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，∠BDE＝∠ACE，
∵∠DEC＝90°，
∴∠ACE+∠EOC＝90°，
∵∠EOC＝∠DOF，
∴∠BDE+∠DOF＝90°，
∴∠DFO＝180°﹣90°＝90°，
∴BD⊥AC；
（3）①∵∠BEA＝∠DEC＝90°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴BD＝AC，
②能．設與交于點，如下圖：
理由：∵△ABE和△DEC是等邊三角形，
∴AE＝BE，DE＝EC，∠EDC＝∠DCE＝60°，∠BEA＝∠DEC＝60°，
∴∠BEA+∠AED＝∠DEC+∠AED，
∴∠BED＝∠AEC，
在△BED和△AEC中，
，
∴△BED≌△AEC（SAS），
∴∠BDE＝∠ACE，BD＝AC．
∴
，
即BD與AC所成的角的度數為60°或120°．
【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定方法與性質．
【例6-2】Rt中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點E為△ABC外一點，且∠CEA＝45°．求證：AE⊥BE．
【答案】見分析
【分析】首先過點作交的延長線于，易證得，即可得，繼而證得．
解：證明：過點作交的延長線于，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
即．
【點撥】此題考查了全等三角形的判定與性質以及等腰三角形的性質．此題難度較大，解題的關鍵是準確作出輔助線構造旋轉全等模型．
針對練習6
1.正方形 ，點E為平面內一點，連接，將繞點B順時針旋轉得到 ，連接，．已知點M為的中點，連接．
(1)如圖1，①若點E為邊邊上一點，補全圖形；
②判斷并證明線段和的數量關系．
(2)如圖2，若點E是的內部一點，（1）中線段和的數量關系是否仍然成立，如果成立，請證明；如果不成立，請說明理由．
【答案】(1)①見分析，②，見分析；(2)成立，見分析
【分析】（1）①根據題意補全圖形即可；
②用證明，可得，而，即知；
（2）延長到N，使，連接，由，可得，，即知，由繞點B順時針旋轉得到，有，，得，故，即得，故，從而．
解：（1）①補全圖形，如圖：
②．
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵將繞點B順時針旋轉90°得到，
∴F在上，，
∴，
∴，
∵M為斜辺的中點，
∴，
∴；
（2）（1）中線段和的數量關系仍然成立，證明如下：
延長到N，使，連接，如圖：
∵M為的中點，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴
∵繞點B順時針旋轉得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【點撥】本題考查了正方形的性質，旋轉的性質，全等三角形的判斷與性質，直角三角形斜邊上的中線等知識，解題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形。
2 .已知在中，，過點B引一條射線，D是上一點
【問題解決】
(1)如圖1，若，射線在內部，，求證：，小明同學展示的做法是：在上取一點E使得，通過已知的條件，從而求得的度數，請你幫助小明寫出證明過程；
【類比探究】
(2)如圖2，已知．
①當射線在內，求的度數
②當射線在下方，如圖3所示，請問的度數會變化嗎 若不變，請說明理由，若改變，請求出的度數；
【答案】(1)見解析
(2)①②；的度數會變化，理由見解析
【分析】（1）根據等邊三角形的判定定理得到、是等邊三角形，進而得到，根據證明，根據全等三角形的性質得到，得到答案；
（2）①在上取一點E，，證明，得到，可求出答案；
②在延長線上取一點E，使得，同理證明，求出，進而求出．
【詳解】（1）證明：如圖1，在上取一點E，使，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，，
∴是等邊三角形，
∴，
∴，
∴，即，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
（2）證明：①在上取一點E，，如圖所示：
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，
∴；
②的度數會變化，理由如下：
在延長線上取一點E，使得，如圖所示：
同理①的方法可證：，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是等邊三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質，等腰三角形的判定和性質，正確作出輔助線，構造全等三角形進行計算和證明是解題的關鍵．
3 .在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點
（1）如圖1，E，F分別是AB，AC上的點，且BE＝AF求證：△DEF為等腰直角三角形；
（2）如圖1，若AB＝4，則四邊形AEDF的面積為 　　（直接寫出結果）；
（3）如圖2，若E，F分別為AB，CA延長線上的點，仍有BE＝AF，其他條件不變，則△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結論．
【考點】四邊形綜合題．版權所有
【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．
【答案】（1）見解答；
（2）4；
（3）仍為等腰直角三角形；理由見解答．
【思路引領】（1）題要通過構建全等三角形來求解．連接AD，可通過證△ADF和△BDE全等來求本題的結論．
（2）題可把將四邊形AEDF的面積分成△ADF和ADE的面積和求解，由（1）證得△ADF和△BDE全等，因此四邊形AEDF的面積可轉化為△ABD的面積，由此得證．
（3）與（1）題的思路和解法一樣．
【解答】（1）證明：∵AB＝AC，∠A＝90°，D為BC中點，
∴ADBD＝CD，
且AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝45°，
在△BDE和△ADF中，
，
∴△BDE≌△ADF（SAS），
∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF，
∵∠BDE+∠ADE＝90°，
∴∠ADF+∠ADE＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
（2）解：∵由（1）可知，△AFD≌△BED，
∴S△BDE＝S△ADF，
而S四邊形AEDF＝S△AED+S△ADF＝S△AED+S△BDE＝S△ABD，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝2，
∴S四邊形AEDF4．
故答案為：4．
（3）解：仍為等腰直角三角形．
理由：∵△AFD≌△BED，
∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE，
∵∠ADF+∠FDB＝90°，
∴∠BDE+∠FDB＝90°，
即：∠EDF＝90°，
∴△EDF為等腰直角三角形．
【總結提升】本題綜合考查了等腰三角形的性質及判定、全等三角形的判定和性質等知識，難度較大．
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