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第五章 三角函數
三角函數的應用
一、學習目標
1.用三角函數解決一些具有周期變化規律的實際問題；
2.將某些實際問題抽象為三角函數模型。
二、重點難點
1、三角函數模型在物理中的應用
2、三角函數模型在生活中的應用
三角函數模型在圓周中的應用
4、三角函數模型在幾何中的應用
三、核心知識
一、函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義
1、簡諧運動的振幅就是A.
2、簡諧運動的周期T＝.
3、簡諧運動的頻率f＝＝.
4、ωx＋φ稱為相位．
5、x＝0時的相位φ稱為初相．
二、三角函數模型的應用
三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．
實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用信息技術．
三、建立函數模型的一般步驟
四、運用三角函數模型解決問題的幾種類型
1、由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據圖象特征確定解析式中的字母參數，在求解過程中還要結合函數性質．
2、由圖象研究函數的性質：通過觀察分析函數圖象，能得出函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性．
3、利用三角函數研究實際問題：首先分析、歸納實際問題，抽象概括出數學模型，再利用圖象及性質解答數學問題，最后解決實際問題．
五、解三角函數應用問題的基本步驟
六、建立三角函數擬合模型的注意事項
1、在由圖象確定函數的解析式時，注意運用方程思想和待定系數法來確定參數．
2、在已知解析式作圖時要用類比的方法將陌生的問題轉化成熟悉的問題．
3、在應用三角函數模型解答應用題時，要善于將符號、圖形、文字等各種語言巧妙轉化，并充分利用數形結合思想直觀地理解問題．
三、核心例題
題型1、三角函數模型在物理中的應用
1．如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關系式確定：，，.已知當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（ ）
A．-2 B．2 C． D．
【答案】D
【詳解】因為當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，故，即，又，故，故，故當時，
故選：D
2．智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】解：因為噪音的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，則，
周期為，則，初相位為，，
所以噪聲的聲波曲線的解析式為，
所以通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為．
故選：A.
3．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動．若線長為l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（ ）cm．（精確到0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
【答案】B
【詳解】因為線長為l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移（單位：cm）與時間（單位：s）的函數關系是， ，且取，
又因為沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用，
所以函數的最小正周期為，即，解得，
即線長約為cm.
故選：B.
題型2、三角函數模型在生活中的應用
4．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結論：
①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內
③此人的血壓已超過標準值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【詳解】因為某人的血壓滿足函數式，
又因為，所以，即，
即此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg，故①正確；
因為收縮壓為mmhg，舒張壓為mmhg，均超過健康范圍，
即此人的血壓不在健康范圍內，故②錯誤，③正確；
對于函數，其最小正周期（min），
則此人的心跳為次/分，故④正確；
故選：C
5．時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內，時鐘花每天開閉一次．某景區種有時鐘花，該景區6時～16時的氣溫（℃）隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數，則在6時～16時中，賞花的最佳時段大致為（ ）
A．7.3時～11.3時 B．8.7時～11.3時
C．7.3時～12.7時 D．8.7時～12.7時
【答案】B
【詳解】當時，，
由，得，
所以(時)；
由，得，
所以(時).
故在6時時中，觀花的最佳時段約為時時.
故選：B
6．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明代科學家徐光啟在《農政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉動3圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即時的位置）時開始計算時間，設盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy（如圖2），則h與t的函數關系式為（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】D
【詳解】，所以對應的角是，
由在內轉過的角為，
可知以為始邊，以為終邊的角為，
因為圓的半徑為則點的縱坐標為，
又因為筒車的軸心到水面的距離為，
所以點距水面的高度表示為的函數是.
故選：D
題型3、三角函數模型在幾何中的應用
7．三國時期，吳國數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達哥拉斯定理”).如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】由題意得，因為，
，
所以，則，
所以，
所以，
因為，所以，
所以
，
故選：D
8．如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，是扇形弧上的動點，四邊形是扇形的內接矩形，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】
如圖，記，在中，，，
在中，，
所以，
設矩形的面積為，
由，所以當，即時，取最大值，為,
故選：A.
9．某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，
頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，
該八邊形的面積為
A．； B．
C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.
考點：余弦定理和三角形面積的求解.
當堂達標
一、單選題
1．如圖，是底部為不可到達的一座建筑物，為建筑物的最高點，某測量小組為了測得改建筑物的高度，選擇了一條水平基線，在兩處用測角儀分別測得的仰角分別為，（三點共線）．已知測角儀的高度為，，則該建筑物的高度約為（　　）m．
A．35 B．18 C．17 D．15
【答案】B
【詳解】延長交于點，則，，，
因為，，所以，故，
在Rt中，，
故.
故該建筑物的高度約為.
故選：B
2．如圖，一個質點在半徑為2的圓上以點為起始點，沿逆時針方向運動，每轉一圈.則該質點到軸的距離關于時間的函數解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【詳解】由于表示距離，為非負數，所以BC選項錯誤.
點的初始位置為，在第四象限，
所以A選項符合，D選項不符合.
故選：A
3．福州新港江陰港區地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【詳解】從圖象可以看出，函數最小值為-2，即當時，函數取得最小值，即，解得：，所以，當時，函數取得最大值，，這段時間水深（單位：m）的最大值為8m.
故選：C
4．如圖，為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點A開始1min旋轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數關系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
【答案】A
【詳解】由題目可知最大值為5，∴ 5＝A×1＋2 A＝3．
，則．故選:A
5．一金字塔位于某人的正東方向上，某人在點A測得金字塔頂端C的仰角為，此人往金字塔方向走了80米到達點B，測得金字塔頂端C的仰角為，則金字塔的高度為（ ）米．（忽略人的身高）
A． B． C．40 D．
【答案】A
【詳解】解：設CD＝x，
在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，∴AD＝CDtan60°x，
在Rt△CDB中，∵∠CBD＝60°，∴BD＝CDtan30°x，
∵AB＝80米，
∵xx＝80，即x＝40米
故選：A．
二、多選題
6．從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內，它們的變化規律如下圖所示（均為正弦型曲線）：

體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期），它們在一個周期內的表現如下表所示：
高潮期 低潮期
體力 體力充沛 疲倦乏力
情緒 心情愉快 心情煩躁
智力 思維敏捷 反應遲鈍
如果從同學甲出生到今日的天數為5860，那么今日同學甲（ ）
A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷
【答案】BC
【詳解】由題圖中數據可知體力的周期為，情緒的周期為，智力的周期為．
從同學甲出生到今日的天數為5860，
故對于體力，有5860＝23×254＋18，處于低潮期，疲倦乏力；
對于情緒，有5860＝28×209＋8，處于高潮期，心情愉快；
對于智力，有5860＝33×177＋19，處于低潮期，反應遲鈍．
故今日同學甲疲倦乏力，心情愉快，反應遲鈍．BC選項正確.
故選: BC
7．如圖（1）是一段依據正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：s）時.過山車（看作質點）離地平面的高度.軌道最高點距離地平面50m.最低點距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當時，過山車到達最高點，時，過山車到達最低點.設，下列結論正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為12
B．
C．時，過山車距離地平面40m
D．一個周期內過山車距離地平面低于20m的時間是4s
【答案】ACD
【詳解】由題意可知，周期滿足，得，
所以，得，又，解得，.
所以，又，即，得，因為，所以，所以.
對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；
對于C，，C正確；
對于D，由，得，即，，，解得，，
所以一個周期內過山車距離底面低于20m的時間是，D正確.
故選：ACD.
三、解答題
8．已知正弦交流電（單位：）與時間（單位：）的函數關系為，求電流的峰值、周期、頻率和初相位．
【詳解】∵正弦交流電，
∴電流的峰值是，
周期是，
頻率是，
初相位是．
9．半徑為1，圓心角為的扇形，點是扇形弧上的動點，設．
（1）用表示平行四邊形的面積；
（2）求平行四邊形面積的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【詳解】(1)由題意得:
在中,設,由正弦定理得
　　　　　
所以,
(2)由(1)得：
當時達最大值
即,當平行四邊形面積達到最大值．
10．一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.
【詳解】解：設與的夾角為，船行駛的時間為t,.

（1）當為鈍角時，；
（2）當為銳角時，；
（3）當為直角時，；
當為鈍角時，，
當為銳角時，.
所以當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時，所用時間最短.第五章 三角函數
三角函數的應用
一、學習目標
1.用三角函數解決一些具有周期變化規律的實際問題；
2.將某些實際問題抽象為三角函數模型。
二、重點難點
1、三角函數模型在物理中的應用
2、三角函數模型在生活中的應用
三角函數模型在圓周中的應用
4、三角函數模型在幾何中的應用
三、核心知識
一、函數y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ的物理意義
1、簡諧運動的振幅就是A.
2、簡諧運動的周期T＝.
3、簡諧運動的頻率f＝＝.
4、ωx＋φ稱為相位．
5、x＝0時的相位φ稱為初相．
二、三角函數模型的應用
三角函數作為描述現實世界中周期現象的一種數學模型，可以用來研究很多問題，在刻畫周期變化規律、預測其未來等方面都發揮著十分重要的作用．
實際問題通常涉及復雜的數據，因此往往需要使用信息技術．
三、建立函數模型的一般步驟
四、運用三角函數模型解決問題的幾種類型
1、由圖象求解析式：首先由圖象確定解析式的基本形式，例如：y＝Asin(ωx＋φ)，然后根據圖象特征確定解析式中的字母參數，在求解過程中還要結合函數性質．
2、由圖象研究函數的性質：通過觀察分析函數圖象，能得出函數的單調性、奇偶性、對稱性、周期性．
3、利用三角函數研究實際問題：首先分析、歸納實際問題，抽象概括出數學模型，再利用圖象及性質解答數學問題，最后解決實際問題．
五、解三角函數應用問題的基本步驟
六、建立三角函數擬合模型的注意事項
1、在由圖象確定函數的解析式時，注意運用方程思想和待定系數法來確定參數．
2、在已知解析式作圖時要用類比的方法將陌生的問題轉化成熟悉的問題．
3、在應用三角函數模型解答應用題時，要善于將符號、圖形、文字等各種語言巧妙轉化，并充分利用數形結合思想直觀地理解問題．
三、核心例題
題型1、三角函數模型在物理中的應用
1．如圖，彈簧掛著一個小球作上下運動，小球在t秒時相對于平衡位置的高度h（厘米）由如下關系式確定：，，.已知當時，小球處于平衡位置，并開始向下移動，則小球在秒時h的值為（ ）
A．-2 B．2 C． D．
2．智能主動降噪耳機工作的原理是通過耳機兩端的噪聲采集器采集周圍的噪聲，然后通過主動降噪芯片生成與噪聲相位相反、振幅相同的聲波來抵消噪聲（如圖）．已知噪聲的聲波曲線（其中，，）的振幅為1，周期為，初相位為，則通過主動降噪芯片生成的聲波曲線的解析式為（ ）
A． B． C． D．
3．如圖，一根絕對剛性且長度不變、質量可忽略不計的線，一端固定，另一端懸掛一個沙漏．讓沙漏在偏離平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在鉛垂面內做周期擺動．若線長為l cm，沙漏擺動時離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數關系是，取，如果沙漏從離開平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，則線長約為（ ）cm．（精確到0.1cm）
A．12.7 B．25.3 C．101.3 D．50.7
題型2、三角函數模型在生活中的應用
4．健康成年人的收縮壓和舒張壓一般為90~139mmhg和60~89mmhg，心臟跳動時，血壓在增加或減小，血壓的最大值、最小值分別為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數就是收縮壓和舒張壓，讀數為120/80mmhg為標準值．設某人的血壓滿足函數式，其中為血壓（mmhg），為時間（min）．給出以下結論：
①此人的血壓在血壓計上的讀數為140/90mmhg ②此人的血壓在健康范圍內
③此人的血壓已超過標準值 ④此人的心跳為80次/分
其中正確結論的個數為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．時鐘花原產于南美洲熱帶，我國云南部分地區有引進栽培．時鐘花的花開花謝非常有規律，其開花時間與氣溫密切相關，開花時所需氣溫約為20℃，氣溫上升到約30℃開始閉合，在花期內，時鐘花每天開閉一次．某景區種有時鐘花，該景區6時～16時的氣溫（℃）隨時間（時）的變化趨勢近似滿足函數，則在6時～16時中，賞花的最佳時段大致為（ ）
A．7.3時～11.3時 B．8.7時～11.3時
C．7.3時～12.7時 D．8.7時～12.7時
6．筒車是我國古代發明的一種水利灌溉工具，既經濟又環保，明代科學家徐光啟在《農政全書》中用圖1描繪了筒車的工作原理.假定在水流穩定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動.將筒車抽象為一個幾何圖形（圓），筒車的半徑為4，筒車的軸心到水面的距離為2，筒車每分鐘按逆時針轉動3圈.規定：盛水筒M對應的點P從水中浮現（即時的位置）時開始計算時間，設盛水筒M從運動到點P時所用時間為t（單位：），且此時點P距離水面的高度為h（單位：）.若以筒車的軸心為坐標原點，過點的水平直線為x軸建立平面直角坐標系xOy（如圖2），則h與t的函數關系式為（ ）

A．
B．
C．
D．
題型3、三角函數模型在幾何中的應用
7．三國時期，吳國數學家趙爽繪制“勾股圓方圖”證明了勾股定理(西方稱之為“畢達哥拉斯定理”).如圖，四個完全相同的直角三角形和中間的小正方形拼接成一個大正方形，角為直角三角形中的一個銳角，若該勾股圓方圖中小正方形的面積與大正方形面積之比為，則（ ）
A． B． C． D．
8．如圖所示，扇形的半徑為，圓心角為，是扇形弧上的動點，四邊形是扇形的內接矩形，則的最大值是（ ）
A． B． C． D．
9．某班設計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，
頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構成的正方形所組成，
該八邊形的面積為
A．； B．
C． D．
當堂達標
一、單選題
1．如圖，是底部為不可到達的一座建筑物，為建筑物的最高點，某測量小組為了測得改建筑物的高度，選擇了一條水平基線，在兩處用測角儀分別測得的仰角分別為，（三點共線）．已知測角儀的高度為，，則該建筑物的高度約為（　　）m．
A．35 B．18 C．17 D．15
2．如圖，一個質點在半徑為2的圓上以點為起始點，沿逆時針方向運動，每轉一圈.則該質點到軸的距離關于時間的函數解析式是（ ）
A． B．
C． D．
3．福州新港江陰港區地處福建最大海灣興化灣西北岸，全年全日船泊進出港不受航道及潮水的限制，是迄今為止“我國少有、福建最佳”的天然良港.如圖，是港區某個泊位一天中6時到18時的水深變化曲線近似滿足函數，據此可知，這段時間水深（單位：m）的最大值為（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
4．如圖，為一半徑為3m的水輪，水輪圓心O距離水面2m，已知水輪自點A開始1min旋轉4圈，水輪上的點P到水面距離y(m)與時間x(s)滿足函數關系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，則有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
5．一金字塔位于某人的正東方向上，某人在點A測得金字塔頂端C的仰角為，此人往金字塔方向走了80米到達點B，測得金字塔頂端C的仰角為，則金字塔的高度為（ ）米．（忽略人的身高）
A． B． C．40 D．
二、多選題
6．從出生之日起，人的體力、情緒、智力呈周期性變化，在前30天內，它們的變化規律如下圖所示（均為正弦型曲線）：

體力、情緒、智力在從出生之日起的每個周期中又存在著高潮期（前半個周期）和低潮期（后半個周期），它們在一個周期內的表現如下表所示：
高潮期 低潮期
體力 體力充沛 疲倦乏力
情緒 心情愉快 心情煩躁
智力 思維敏捷 反應遲鈍
如果從同學甲出生到今日的天數為5860，那么今日同學甲（ ）
A．體力充沛 B．疲倦乏力 C．心情愉快 D．思維敏捷
7．如圖（1）是一段依據正弦曲線設計安裝的過山車軌道.建立平面直角坐標系如圖（2），（單位：m）表示在時間（單位：s）時.過山車（看作質點）離地平面的高度.軌道最高點距離地平面50m.最低點距離地平面10m.入口處距離地平面20m.當時，過山車到達最高點，時，過山車到達最低點.設，下列結論正確的是（ ）
A．函數的最小正周期為12
B．
C．時，過山車距離地平面40m
D．一個周期內過山車距離地平面低于20m的時間是4s
三、解答題
8．已知正弦交流電（單位：）與時間（單位：）的函數關系為，求電流的峰值、周期、頻率和初相位．
9．半徑為1，圓心角為的扇形，點是扇形弧上的動點，設．
（1）用表示平行四邊形的面積；
（2）求平行四邊形面積的最大值．
10．一條河的兩岸平行，河的寬度，一般船從河岸邊的A處出發到河對岸.已知船在靜水中的速度的大小為，水流速度的大小為.如果要使船行駛的時間最短，那么船行駛的距離與合速度的大小的比值必須最小.此時我們分三種情況討論：
（1）當船逆流行駛，與水流成鈍角時；
（2）當船順流行駛，與水流成銳角時；
（3）當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時.
請同學們計算上面三種情況下船行駛的時間，判斷是否當船垂直于對岸行駛，與水流成直角時所用時間最短.

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