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4.3.1 等比數(shù)列的概念
重難點(diǎn)
重點(diǎn)：1、理解等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式的意義；2、掌握等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；
難點(diǎn)：1、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用；2、在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系；
常考題型
知識(shí)梳理
一、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
1、等比數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．
2、對(duì)等比數(shù)列概念的理解
（1）“從第2項(xiàng)起”，是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，前后次序不能點(diǎn)到，另外等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；
（2）定義中的“同一常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，但是如果這些常數(shù)不相同，那么此數(shù)列也不是等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)這些常數(shù)相同時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列；
（3）若一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)其，而是從第3項(xiàng)起或第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列；
（4）由定義可知，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為0，且公比；
（5）不為0的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列，其公比為1。
3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.
（2）通項(xiàng)公式的變形：或
二、等比中項(xiàng)
1、定義：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列
2、對(duì)等比中項(xiàng)概念的理解
（1）G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．
此時(shí)，，即等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．
（2）時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比數(shù)列；
（3）在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；
（4）與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，
即在等比數(shù)列中，
3、等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)區(qū)別
（1）任意兩數(shù)都存在等差中項(xiàng)，但并不是任意兩數(shù)都存在等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)同號(hào)且均不為0時(shí)才存在等比中項(xiàng)；
（2）任意兩數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，而若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，則等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)。
三、等比數(shù)列的性質(zhì)
1、“子數(shù)列”性質(zhì)
（1）對(duì)于無窮等比數(shù)列，若將其前項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
若取出所有的的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍未等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
（2）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，
即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為
2、等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)
在等比數(shù)列中，若，則；
（1）特別地，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
（2）若數(shù)列是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的積等于首末兩項(xiàng)的積，
即
3、兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)
若數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是不等于0的常數(shù)，
則數(shù)列、、也是等比數(shù)列；
四、等比數(shù)列的判定方法
1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；
2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；
3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.
五、等比數(shù)列常用的兩種解題方法
1、基本量法（基本方法）
（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁。
2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）
（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量。
題型精析
題型一 等比數(shù)列的定義
【例1】（2022·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期中）下列三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【變式1-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)數(shù)列中，一定是等比數(shù)列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【變式1-2】（2023·浙江紹興·高二校考期中）（多選）下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（ ）．
A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列
C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列
題型二 等比數(shù)列的通項(xiàng)與基本量
【例2】（2023·黑龍江綏化·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
【變式2-1】（2023·上海·高二七寶中學(xué)校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【變式2-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．
（1）若，，求；
（2）若，，求和q；
（3）若，，求.
題型三 等比中項(xiàng)及其應(yīng)用
【例3】（2022·海南·高二統(tǒng)考期末）和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（ ）
A．， B．2， C．， D．1，
【變式3-1】（2023·遼寧·高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末）“”是“，，成等比數(shù)列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【變式3-2】（2022·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【變式3-3】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）等比數(shù)列中，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
題型四 等比數(shù)列的性質(zhì)
【例4】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（ ）
A． B．3 C．±3 D．
【變式4-1】（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C．32 D．64
【變式4-2】（2023·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，則（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【變式4-3】（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）在等比數(shù)列中，若，，則 .
題型五 等比數(shù)列的證明
【例5】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.
（1）求證：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.
【變式5-1】（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.
（1）求，并證明是等比數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式.
【變式5-2】（2023·福建福州·高二校考期中）在數(shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【變式5-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有（為常數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求、的值；
（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
題型六 由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列
【例6】（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．
【變式6-1】（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在4與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù)．
【變式6-2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在2和9之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，試寫出這個(gè)數(shù)列；
（2）在320與5中間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這個(gè)等比數(shù)列．
【變式6-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知是一個(gè)無窮等比數(shù)列，公比為q．
（1）將數(shù)列中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
（3）在數(shù)列中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎？
題型七 等比數(shù)列的單調(diào)性與最值
【例7】（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【變式7-1】（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個(gè)“2023積數(shù)列”，且，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最小值時(shí)n的值為（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
【變式7-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式7-3】（2023·湖南長沙·高二湖南師大附中校考期末）（多選）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
題型八 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例8】（2023·重慶·高二南開中學(xué)校考期末）音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：若以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健搬纭保弧搬纭苯?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健吧獭保唬来螕p益交替變化，獲得了“宮 徵 商 羽 角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（ ）
A．“徵 商 羽”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮 徵 商”的頻率成等比數(shù)列
C．“商 羽 角”的頻率成等比數(shù)列 D．“宮 商 角”的頻率成等比數(shù)列
【變式8-1】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）2023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國家、92個(gè)國際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（ ）．
參考數(shù)據(jù)：
A．17.9萬億 B．19.1萬億 C．20.3萬億 D．21.6萬億
【變式8-2】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘的波長成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長之積為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B 兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票.A地景區(qū)2001年的旅游人次為600萬次，把景區(qū)門票價(jià)格提高到110元后，每年的旅游人次以10萬次的年增加量逐年增長；B地景區(qū)2001年的旅游人次為300萬次，取消景區(qū)門票以后，每年的旅游人次以11%的年增長率逐年增長.如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，那么從（ ）年起，B地的旅游收入將會(huì)超過A地.（參考數(shù)據(jù)：）
A．2008 B．2009 C．2010 D．20114.3.1 等比數(shù)列的概念
重難點(diǎn)
重點(diǎn)：1、理解等比數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式的意義；2、掌握等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用；
難點(diǎn)：1、掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其應(yīng)用；2、在實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系；
常考題型
知識(shí)梳理
一、等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式
1、等比數(shù)列的定義
如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示．
2、對(duì)等比數(shù)列概念的理解
（1）“從第2項(xiàng)起”，是因?yàn)槭醉?xiàng)沒有“前一項(xiàng)”，同時(shí)注意公比是每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比，前后次序不能點(diǎn)到，另外等比數(shù)列中至少含有三項(xiàng)；
（2）定義中的“同一常數(shù)”是定義的核心之一，一定不能把“同”字省略，這是因?yàn)槿绻粋€(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都是一個(gè)與n無關(guān)的常數(shù)，但是如果這些常數(shù)不相同，那么此數(shù)列也不是等比數(shù)列，當(dāng)且僅當(dāng)這些常數(shù)相同時(shí)，數(shù)列才是等比數(shù)列；
（3）若一個(gè)數(shù)列不是從第2項(xiàng)其，而是從第3項(xiàng)起或第項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一常數(shù)，則此數(shù)列不是等比數(shù)列；
（4）由定義可知，等比數(shù)列的任一項(xiàng)都不為0，且公比；
（5）不為0的常數(shù)列是特殊的等比數(shù)列，其公比為1。
3、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式
（1）等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，則通項(xiàng)公式為：.
（2）通項(xiàng)公式的變形：或
二、等比中項(xiàng)
1、定義：如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，即G是a與b的等比中項(xiàng)a，G，b成等比數(shù)列
2、對(duì)等比中項(xiàng)概念的理解
（1）G是a與b的等比中項(xiàng)，則a與b的符號(hào)相同，符號(hào)相反的兩個(gè)實(shí)數(shù)不存在等比中項(xiàng)．
此時(shí)，，即等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)．
（2）時(shí)，G不一定是a與b的等比中項(xiàng)．例如02＝5×0，但0，0，5不是等比數(shù)列；
（3）在等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)是它相鄰兩項(xiàng)的等比中項(xiàng)；
（4）與等比數(shù)列中的任一項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之積等于該項(xiàng)的平方，
即在等比數(shù)列中，
3、等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)區(qū)別
（1）任意兩數(shù)都存在等差中項(xiàng)，但并不是任意兩數(shù)都存在等比中項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)兩數(shù)同號(hào)且均不為0時(shí)才存在等比中項(xiàng)；
（2）任意兩數(shù)的等差中項(xiàng)是唯一的，而若兩數(shù)有等比中項(xiàng)，則等比中項(xiàng)有兩個(gè)，且互為相反數(shù)。
三、等比數(shù)列的性質(zhì)
1、“子數(shù)列”性質(zhì)
（1）對(duì)于無窮等比數(shù)列，若將其前項(xiàng)去掉，剩余各項(xiàng)仍為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
若取出所有的的倍數(shù)項(xiàng)，組成的數(shù)列仍未等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為；
（2）相隔等距離的項(xiàng)組成的數(shù)列仍是等比數(shù)列，
即，，，…仍是等比數(shù)列，公比為
2、等比數(shù)列的運(yùn)算性質(zhì)
在等比數(shù)列中，若，則；
（1）特別地，時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，
（2）若數(shù)列是有窮數(shù)列，則與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)的積等于首末兩項(xiàng)的積，
即
3、兩等比數(shù)列合成數(shù)列的性質(zhì)
若數(shù)列，是項(xiàng)數(shù)相同的等比數(shù)列，是不等于0的常數(shù)，
則數(shù)列、、也是等比數(shù)列；
四、等比數(shù)列的判定方法
1、定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；
2、中項(xiàng)法：（）為等比數(shù)列；
3、通項(xiàng)公式法：（，為常數(shù)）為等比數(shù)列.
五、等比數(shù)列常用的兩種解題方法
1、基本量法（基本方法）
（1）基本步驟：運(yùn)用方程思想列出基本量和的方程組，然后利用通項(xiàng)公式求解；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：適應(yīng)面廣，入手簡單，思路清晰，但有時(shí)運(yùn)算稍繁。
2、性質(zhì)法（利用等比數(shù)列的性質(zhì)解題）
（1）基本思想：充分發(fā)揮項(xiàng)的“下標(biāo)”的指導(dǎo)作用，分析等比數(shù)列項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系，選擇恰當(dāng)?shù)男再|(zhì)解題；
（2）優(yōu)缺點(diǎn)：簡單快捷，但是適應(yīng)面窄，有一定的思維含量。
題型精析
題型一 等比數(shù)列的定義
【例1】（2022·貴州畢節(jié)·高三統(tǒng)考期中）下列三個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列的是（ ）
A．1，4，8 B．，2，4 C．9，6，4 D．4，6，8
【答案】C
【解析】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.
因?yàn)椋?，6，4依次成等比數(shù)列，C選項(xiàng)正確.
，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C
【變式1-1】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）下面四個(gè)數(shù)列中，一定是等比數(shù)列的是（ ）
A．q，2q，4q，6q B．q，q2，q3，q4
C．q，2q，4q，8q D．，，，
【答案】D
【解析】對(duì)于A、B、C： 當(dāng)q＝0時(shí)不是等比數(shù)列，故A、B、C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：由題意可得，且符合等比數(shù)列的定義，公比是，故D正確，故選：D
【變式1-2】（2023·浙江紹興·高二校考期中）（多選）下列數(shù)列為等比數(shù)列的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】A：，則不為定值，不滿足；
B：，則不為定值，不滿足；
C：，則為定值，且，滿足；
D：，則為定值，且，滿足.故選：CD
【變式1-3】（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）將公比為q的等比數(shù)列，，，，…依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列，，，…．此數(shù)列是（ ）．
A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為的等比數(shù)列
C．公比為的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列
【答案】B
【解析】設(shè)新數(shù)列為，則，
因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，故，故，
而，故為等比數(shù)列且公比為，故選：B.
題型二 等比數(shù)列的通項(xiàng)與基本量
【例2】（2023·黑龍江綏化·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列是等比數(shù)列，且，，則（ ）
A．3 B．6 C．3或 D．6或
【答案】B
【解析】設(shè)數(shù)列的公比為q，
則，所以，，所以．故選：B．
【變式2-1】（2023·上海·高二七寶中學(xué)校考期中）已知等比數(shù)列，是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值為（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，，且數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，
則，，.故選：B.
【變式2-2】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為．
由，得，解得，
又
得．故選：A
【變式2-3】（2023上·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列為等比數(shù)列．
（1）若，，求；
（2）若，，求和q；
（3）若，，求.
【答案】（1）；（2）；（3）或
【解析】（1）因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，，
所以，
（2）因?yàn)椋?br/>所以，解得，
（3）因?yàn)椋?br/>所以，
由題意可知，
所以，所以，解得或，
當(dāng)時(shí)，，所以，
當(dāng)時(shí)，，所以，
綜上或
題型三 等比中項(xiàng)及其應(yīng)用
【例3】（2022·海南·高二統(tǒng)考期末）和的等差中項(xiàng)與等比中項(xiàng)分別為（ ）
A．， B．2， C．， D．1，
【答案】C
【解析】和的等差中項(xiàng)為，
和的等比中項(xiàng)為.故選：C.
【變式3-1】（2023·遼寧·高二東北育才學(xué)校校聯(lián)考期末）“”是“，，成等比數(shù)列”的（ ）條件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要
【答案】B
【解析】由題意當(dāng)時(shí)，成立，但此時(shí)，，構(gòu)不成等比數(shù)列；
反之，當(dāng)，，成等比數(shù)列時(shí)，必有成立，
故“”是“，，”成等比數(shù)列的必要不充分條件，故選：B
【變式3-2】（2022·江蘇南京·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）若數(shù)列為等比數(shù)列，且是方程的兩根，則的值等于（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】由題意得,,
故所以故選: .
【變式3-3】（2023·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)校考期末）等比數(shù)列中，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】A
【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列，則，故.故選：A
題型四 等比數(shù)列的性質(zhì)
【例4】（2023·河北邢臺(tái)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，若，則（ ）
A． B．3 C．±3 D．
【答案】A
【解析】因?yàn)椋?故選：A．
【變式4-1】（2023·甘肅金昌·高二永昌縣第一高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）在等比數(shù)列中，，，則（ ）
A． B． C．32 D．64
【答案】C
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
則，即，解得，
所以．故選：C．
【變式4-2】（2023·江蘇淮安·高三校聯(lián)考期中）已知數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，數(shù)列滿足.若，則（ ）
A．24 B．27 C．36 D．40
【答案】B
【解析】數(shù)列是正項(xiàng)等比數(shù)列，，
由，得，得，
.故選：B.
【變式4-3】（2023·北京·高二中央民族大學(xué)附屬中學(xué)校考期末）在等比數(shù)列中，若，，則 .
【答案】64
【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)椋?br/>所以，可得，
所以.
題型五 等比數(shù)列的證明
【例5】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列的首項(xiàng)為3，且滿足.
（1）求證：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否是等比數(shù)列.
【答案】（1）證明見解析；（2），數(shù)列不是等比數(shù)列
【解析】（1）由，，
得，又，
所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.
（2）由（1）得，，
所以
所以數(shù)列不是等比數(shù)列.
【變式5-1】（2023·江西南昌·高二校考階段練習(xí)）已知數(shù)列中，，且.
（1）求，并證明是等比數(shù)列；
（2）求的通項(xiàng)公式.
【答案】（1），證明見解析；（2）
【解析】（1）由，，
得，
，，
∴，
是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列；
（2）由（1）知.
【變式5-2】（2023·福建福州·高二校考期中）在數(shù)列中，已知，，記為的前n項(xiàng)和，，．
（1）判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】（1）是等比數(shù)列，；（2）
【解析】（1）因?yàn)椋裕?br/>所以，
又，所以，
因?yàn)椋?br/>所以，
所以是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以.
（2）由（1）知，所以是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；
是以為首項(xiàng)，公比為的等比數(shù)列，
所以.
【變式5-3】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)列中，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，且對(duì)任意，有（為常數(shù)）．
（1）當(dāng)時(shí)，求、的值；
（2）試判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列？請(qǐng)說明理由．
【答案】（1），；（2）當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列．
【解析】（1）由題意可得，，.
（2）當(dāng)時(shí)，.
由，兩式相減得.
當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；
當(dāng)時(shí)，可得，,當(dāng)時(shí),,,
所以,故對(duì)任意的都有，此時(shí)數(shù)列是等比數(shù)列.
綜上，當(dāng)時(shí)，不是等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是等比數(shù)列．
題型六 由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列
【例6】（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在243和3中間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列．
【答案】81，27，9，或－81，27，－9
【解析】設(shè)插入的3個(gè)數(shù)為，，．
由題意得243，，，，3成等比數(shù)列．
設(shè)公比為，則，解得．
因此，所求3個(gè)數(shù)為81，27，9，或－81，27，－9．
【變式6-1】（2023·全國·高二課時(shí)練習(xí)）在4與之間插入3個(gè)數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求插入的3個(gè)數(shù)．
【答案】；或
【解析】（方法一）依題意，，，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，得，解得．
當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為；
當(dāng)時(shí)，插入的3個(gè)數(shù)分別為．
因此，插入的3個(gè)數(shù)分別為；或．
（方法二）因?yàn)榈缺葦?shù)列共有5項(xiàng)，即．
又因?yàn)椋裕矗?br/>又因?yàn)橐c同號(hào)，因此1．
類似地，有，而且與同號(hào)．因此：
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，．
因此，插入的3個(gè)數(shù)分別為；或．
【變式6-2】（2023·高二課時(shí)練習(xí)）（1）在2和9之間插入兩個(gè)數(shù)，使前三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，試寫出這個(gè)數(shù)列；
（2）在320與5中間插入5個(gè)數(shù)，使這7個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，求這個(gè)等比數(shù)列．
【答案】（1）或，（2）或
【解析】（1）設(shè)插入的兩個(gè)數(shù)分別為，即這四個(gè)數(shù)為，
因?yàn)榍叭齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列，后三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，
所以，解得，或，
所以這個(gè)數(shù)列為或，
（2）設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的公比為，由題意得，
所以，得，得，或，
當(dāng)時(shí)，，，，
，，
當(dāng)時(shí)，，，，
，，
所以這個(gè)等比數(shù)列為，或.
【變式6-3】（2022·高二課時(shí)練習(xí)）已知是一個(gè)無窮等比數(shù)列，公比為q．
（1）將數(shù)列中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的首項(xiàng)與公比分別是多少？
（3）在數(shù)列中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列嗎？如果是，它的公比是多少？你能根據(jù)得到的結(jié)論作出關(guān)于等比數(shù)列的一個(gè)猜想嗎？
【答案】答案見解析.
【解析】（1）將數(shù)列中的前k項(xiàng)去掉，剩余項(xiàng)組成一個(gè)新數(shù)列，
這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是；
（2）取出數(shù)列中的所有奇數(shù)項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，
這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的首項(xiàng)與公比分別是；
（3）在數(shù)列中，每隔10項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，
這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列.它的公比是，我們由此可以得到一個(gè)結(jié)論：
在數(shù)列中，每隔項(xiàng)取出一項(xiàng)，組成一個(gè)新數(shù)列，
這個(gè)新數(shù)列是等比數(shù)列，它的公比為.
題型七 等比數(shù)列的單調(diào)性與最值
【例7】（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分且不必要條件 B．必要且不充分條件
C．充要條件 D．既不充分又不必要條件
【答案】C
【解析】因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，且，所以，即，
所以為遞增數(shù)列，充分性成立，
若為遞增數(shù)列，則，
因?yàn)楦黜?xiàng)為正數(shù)，所以，必要性成立.故選：C
【變式7-1】（2023·河南鄭州·高二鄭州市第二高級(jí)中學(xué)校考階段練習(xí)）若一個(gè)數(shù)列的第m項(xiàng)等于這個(gè)數(shù)列的前m項(xiàng)的乘積，則稱該數(shù)列為“m積數(shù)列”.若各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列是一個(gè)“2023積數(shù)列”，且，則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最小值時(shí)n的值為（ ）
A．1011 B．1012 C．2022 D．2023
【答案】A
【解析】根據(jù)“2023積數(shù)列”性質(zhì)可知，
即，
根據(jù)等比中項(xiàng)性質(zhì)可知：，
因?yàn)椋遥?br/>所以前1011項(xiàng)都是小于1的，從第1012項(xiàng)開始往后的都是大于1的，
即為遞增的等比數(shù)列，且，
則當(dāng)其前n項(xiàng)的乘積取最小值時(shí)n的值為1011.故選：A.
【變式7-2】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）等比數(shù)列公比為，，若（），則“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】因?yàn)榈缺葦?shù)列公比為，
所以，
當(dāng)時(shí)，，，顯然數(shù)列為不是遞增數(shù)列；
當(dāng)“數(shù)列為遞增數(shù)列”時(shí)，有，
因?yàn)椋匀绻纾@然有，，
顯然數(shù)列為不是遞增數(shù)列，
因此有，，所以由，
當(dāng)時(shí)，顯然對(duì)于恒成立，
當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；
當(dāng)時(shí)，對(duì)于不一定恒成立，例如；
當(dāng)時(shí)，對(duì)于恒不成立，
因此“”是“數(shù)列為遞增數(shù)列”的必要不充分條件，故選：B
【變式7-3】（2023·湖南長沙·高二湖南師大附中校考期末）（多選）設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．與均為的最大值
【答案】BD
【解析】由題意知，：由得，由得，
所以，又，所以，故錯(cuò)誤；
：由得，故正確；
：因?yàn)槭歉黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，有
所以，所以，故錯(cuò)誤；
：，則與均為的最大值，故正確.故選：
題型八 等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用
【例8】（2023·重慶·高二南開中學(xué)校考期末）音樂與數(shù)學(xué)有著密切的聯(lián)系，我國春秋時(shí)期有個(gè)著名的“三分損益法”：若以“宮”為基本音，“宮”經(jīng)過一次“損”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健搬纭保弧搬纭苯?jīng)過一次“益”，頻率變?yōu)樵瓉淼模玫健吧獭保唬来螕p益交替變化，獲得了“宮 徵 商 羽 角”五個(gè)音階．據(jù)此可推得（ ）
A．“徵 商 羽”的頻率成等比數(shù)列 B．“宮 徵 商”的頻率成等比數(shù)列
C．“商 羽 角”的頻率成等比數(shù)列 D．“宮 商 角”的頻率成等比數(shù)列
【答案】D
【解析】設(shè)“宮”的頻率為，
則“徵”的頻率為，“商”的頻率為，“羽”的頻率為，“角”的頻率為，
所以“宮 商 角”的頻率成等比數(shù)列,公比為.故選：D
【變式8-1】（2023·浙江寧波·高二鎮(zhèn)海中學(xué)校考期中）2023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國家、92個(gè)國際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國與共建“一帶一路”國家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（ ）．
參考數(shù)據(jù)：
A．17.9萬億 B．19.1萬億 C．20.3萬億 D．21.6萬億
【答案】B
【解析】依題意，從2013年到2022年的每年進(jìn)出口累計(jì)總額依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，
其中，公比，
所以2022年進(jìn)出口累計(jì)總額為（萬億）.故選：B
【變式8-2】（2023·遼寧·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）明代朱載堉發(fā)現(xiàn)的十二平均律，又稱“十二等程律”，是世界上通用的一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的波長之比完全相同.已知大呂、夾鐘、仲呂、林鐘、南呂、應(yīng)鐘的波長成等比數(shù)列，且大呂和林鐘的波長分別是m，n，則夾鐘和南呂的波長之積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】設(shè)該等比數(shù)列的公比為，則，即，
則夾鐘和南呂的波長分別為，，
故夾鐘和南呂的波長之積為.故選：B.
【變式8-3】（2023·安徽黃山·高二統(tǒng)考期末）隨著中國經(jīng)濟(jì)高速增長，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式.由于旅游人數(shù)不斷增加，A、B 兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票.A地景區(qū)2001年的旅游人次為600萬次，把景區(qū)門票價(jià)格提高到110元后，每年的旅游人次以10萬次的年增加量逐年增長；B地景區(qū)2001年的旅游人次為300萬次，取消景區(qū)門票以后，每年的旅游人次以11%的年增長率逐年增長.如果平均每位游客出游一次可給當(dāng)?shù)貛?000元門票之外的收入，那么從（ ）年起，B地的旅游收入將會(huì)超過A地.（參考數(shù)據(jù)：）
A．2008 B．2009 C．2010 D．2011
【答案】C
【解析】2002年為第1年，每年到A地景區(qū)旅游人次依次排成一列構(gòu)成10為公差的等差數(shù)列，
則第n年到A地景區(qū)旅游人次為萬，，
每年到B地景區(qū)旅游人次依次排成一列構(gòu)成1.11為公比的等比數(shù)列，
第n年到B地景區(qū)旅游人次為萬，
因此第n年A地景區(qū)旅游收入為萬元，
B地景區(qū)旅游收入為萬元，
于是B地景區(qū)與A地景區(qū)旅游收入的差為
，
令，則，即數(shù)列是遞增數(shù)列，
而，，因此，
所以從2010年起，B地景區(qū)的旅游收入將會(huì)超過A地景區(qū).故選：C

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