資源簡介

5.4拋體運動的規律
一、【學習目標】　
1.熟練掌握平拋運動的研究方法.
2.會用運動合成和分解的知識分析求解平拋運動的速度和位移，知道平拋運動的軌跡為拋物線.
3.了解斜拋運動及其運動規律，知道運動的合成與分解是分析拋體運動的一般方法.
二、【考點精講深化】
考點一、平拋運動的速度
以速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，建立如圖1所示的平面直角坐標系.
圖1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向為勻速直線運動，vx＝v0.
(2)豎直方向：只受重力，由牛頓第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；豎直方向的初速度為0，所以豎直方向為自由落體運動，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v與水平方向的夾角).
考點二、平拋運動的位移與軌跡
1.水平位移：x＝v0t①
2.豎直位移：y＝gt2②
3.軌跡方程：由①②兩式消去時間t，可得平拋運動的軌跡方程為y＝x2，由此可知平拋運動的軌跡是一條拋物線.
考點三、一般的拋體運動
物體被拋出時的速度v0沿斜上方或斜下方時，物體做斜拋運動(設v0與水平方向夾角為θ).
(1)水平方向：物體做勻速直線運動，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)豎直方向：物體做豎直上拋或豎直下拋運動，初速度vy0＝v0sin θ.如圖2所示.
圖2
考點四、斜拋運動
1.斜拋運動的規律
(1)斜拋運動的性質：斜拋運動是加速度恒為重力加速度g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線.
圖10
(2)斜拋運動的基本規律(以斜上拋為例說明，如圖10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②豎直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上拋運動可以看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動的合運動.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜拋運動的對稱性
(1)時間對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的上升時間等于下降時間.
(2)速度對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的兩點速度大小相等.
(3)軌跡對稱：斜拋運動的軌跡相對于過最高點的豎直線對稱.
考點深化
1.平拋運動的特點
(1)做平拋運動的物體水平方向不受力，做勻速直線運動；豎直方向只受重力，做自由落體運動；其合運動為勻變速曲線運動，其軌跡為拋物線.
(2)平拋運動的速度方向沿軌跡的切線方向，速度大小、方向不斷變化.
2.平拋運動的速度變化
如圖4所示，由Δv＝gΔt知，任意兩個相等的時間間隔內速度的變化量相同，方向豎直向下.
圖4
知識深化
1.平拋運動的研究方法
(1)把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.
(2)分別運用兩個分運動的運動規律去求分速度、分位移等，再合成得到平拋運動的速度、位移等.
2.平拋運動的規律
(1)平拋運動的時間：t＝，只由高度決定，與初速度無關.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同決定.
(3)落地速度：v＝＝，與水平方向的夾角為θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同決定.
3.平拋運動的推論
(1)做平拋運動的物體在某時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則有tan θ＝2tan α.
證明：如圖6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
圖6
(2)做平拋運動的物體在任意時刻的速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點.
證明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、【考點實戰演練】
一、填空題
1．以速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，以初速度v0的方向為x軸方向，豎直向下的方向為y軸方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。
（1）水平方向：不受力，加速度是 ，水平方向為 運動，vx＝ 。
（2）豎直方向：只受重力，由牛頓第二定律得到：mg＝ma，所以a＝ ；豎直方向的初速度為 ，所以豎直方向為 運動，vy＝
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v與水平方向的夾角）。
【答案】 0 勻速直線 v0 g 0 自由落體 gt
【解析】略
2．如圖所示，已知排球網高H，半場長L，扣球點高h，扣球點離網水平距離s，則要使排球既不觸網又不出界，水平扣球速度的大小取值范圍為 。

【答案】
【詳解】排球通過球網且不觸網有
可得
球不出界有
解得
綜上所述水平扣球速度的大小取值范圍為
3．在“研究平拋運動”的實驗中，我們將小球的運動分解為水平方向做 運動，豎直方向做 運動，以求出平拋物體的初速度。實驗時，要求小球每次應從斜槽上 （填“同一位置”或“不同位置”由靜止滑下）。
【答案】 勻速直線 自由落體 同一位置
【詳解】[1][2]平拋運動在水平方向上不受力，有初速度，根據牛頓第一定律知，小球在水平方向上做勻速直線運動，豎直方向僅受重力，初速度為零，所以豎直方向上做自由落體運動。
[3]實驗時，為了保證平拋運動的初速度相同，小球每次應從斜槽上同一位置由靜止釋放。
4．在 探究平拋物體的運動規律的實驗中，某同學在坐標紙上描出小球平拋運動中的幾個位置，如圖中的A、B、C、D所示，圖中每個小方格的邊長為L＝1.25 cm，g取10 m/s2，則利用以上數據可求得：

①小球做平拋運動的初速度大小為 m/s.
②小球運動到B點時的豎直分速度大小為 m/s.
【答案】 0.7 0.525
【詳解】在豎直方向上，根據△y=L=gT2得，T=，
則初速度．
B點的豎直分速度
【點睛】解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規律，結合運動學公式和勻變速直線運動的推論靈活求解．
5．如圖所示，小球從斜面頂端A處以速率做平拋運動，恰好落到斜面底部B點，且此時的速率的大小為。已知重力加速度為g，則斜面的傾角為 ，AB之間的距離為 。
【答案】
【詳解】[1] 由勾股定理
解得
由豎直方向速度公式
解得
設斜面傾角為，由兩分位移關系
解得
[2] 設AB之間的距離為L
6．2021年9月2日上午，第八批在韓中國人民志愿軍烈士遺骸由我空軍專機護送從韓國接回遼寧沈陽，109位志愿軍烈士英靈及1226件相關遺物回到祖國懷抱，沈陽桃仙國際機場以“過水門”最高禮遇迎接志愿軍烈士回家，如圖1所示。小華同學從物理角度對“水門”進行了研究，他建立坐標對照片處理后得到水在空中的軌跡如圖2所示，兩水柱在最高點相遇，已知照片與實際長度比例為1∶100，忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，水的密度，，。
（1）位于坐標原點的噴水口的出水方向與水平方向夾角為 ，位于處的噴水口的出水方向和水平方向夾角為 。
（2）位于坐標原點的噴水口橫截面積為80cm2，則其流量為 m3/s，從噴出到兩水柱在最高點相遇的過程中，位于坐標原點的噴水口在空中形成的水柱質量為 kg。
【答案】 0.2 400
【詳解】（1）設位于坐標原點的噴水口噴出水在水平方向和豎直方向的速度分別為、，其水平方向和豎直方向的位移分別為、，則由
解得
出水方向和水平方向夾角為，則
即
位于坐標原點的噴水口在水平方向和豎直方向的速度分別為、，其水平方向和豎直方向的位移分別為、，則由
出水方向和水平方向夾角為，則
即
位于x=70cm處的噴水口出水方向和水平方向夾角為
（2）位于坐標原點的噴水口出水的速度為
故其出水流量為
該噴水口在空中形成水柱的質量為
7．平拋運動的兩個重要推論：
（1）做平拋運動的物體在某時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則有 。
（2）做平拋運動的物體在任意時刻速度的反向延長線一定通過此時水平位移的 。
【答案】 tan θ=2tanα 中點
【詳解】（1）[1]平拋運動水平方向做勻速直線運動，則有
，
豎直方向做自由落體運動
，
聯立可得
，
可知
（2）[2]根據
可知做平拋運動的物體在任意時刻速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點。
8．如圖甲所示為某人先后兩次由斜面體頂端的O點沿水平方向拋出小球，這個過程可以簡化為如圖乙所示的模型，第一次的落點為斜面體上的A點，第二次的落點為斜面體上的B點，小球可視為質點，忽略空氣阻力。已知，兩次拋出小球的初速度分別用、表示，小球落到斜面體上的速度與水平方向的夾角分別用、表示，則 ， 。

【答案】 1:1
【詳解】[1]設斜面傾角為，根據平拋運動規律有
，，
，，
由題意可知
，
聯立可得
，
[2]根據平拋運動速度偏轉角與位移偏轉角關系可得
，
則有
9．一小球以速度水平拋出，落在傾角為的斜面上的P點，P為斜面中點，小球的速度與斜面夾角為，若拋出點正好位于斜面底端正上方，則小球飛行時間為 s，斜面的高度為 m。（重力加速度g取）

【答案】 0.1/ 0.2/
【詳解】[1][2]依題意，小球落在斜面的中點時，有
求得小球飛行時間為
小球在水平方向上的位移大小為
由幾何關系可得
求得斜面長度為
則斜面的高度為
10．如圖所示以的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為的斜面上（取），則物體撞擊斜面時的速度為 ，完成這段飛行的時間為 s。

【答案】 40
【詳解】[1][2]物體垂直地撞在傾角為的斜面上，則有
解得
則物體撞擊斜面時的速度為
完成這段飛行的時間為
11．小孩站在岸邊向湖面依次拋出三個石子，三次的軌跡如圖所示，最高點在同一水平線上。假設三個石子質量相同，忽略空氣阻力的影響，三個石子中在最高點時速度最大的是沿軌跡 的石子，軌跡1、2、3在空中運動時間分別為、、，則、、的大小關系為 。

【答案】 1
【詳解】[1]由題意可知，三個石子均做斜拋運動，即水平方向上做勻速直線運動，豎直方向做豎直上拋運動。設任一石子初速度分解為水平分量，豎直分量為，上升的最大高度為H，上升運動時間為t，取豎直向上為正方向，則豎直方向有
整理有
由于石子的上升高度相同，所以豎直方向速度大小相同，其上升運動時間也相同。但水平位移不相同，所以其水平分量不同，根據
可知，水平距離大，則水平方向速度大小大。在最高點時，豎直方向速度為零，所以水平方向速度大，即在最高點的速度大，結合題圖可知，軌跡1的石子在最高點的速度大。
[2]由上述分析可知，三個石子的上升時間相同，由因為三個石子下落均做自由落體運動，其下落高度相同，根據自由落體公式
可知，其下落時間也相同，綜上所述，三個石子在空中運動的時間相同，即
12．在“研究小球做平拋運動的規律”的實驗中：如圖是某同學實驗得到的小球做平拋運動的軌跡，建立了坐標系，測出了a、b、c三點的坐標，g取10 m/s2，根據圖中數據可知小球做平拋運動的初速度為 m/s，拋出點的橫坐標為 cm，縱坐標為 cm。

【答案】 3 -60 -20
【詳解】小球在豎直方向做自由落體運動，由勻變速直線運動的推論
得
小球在水平方向做勻速直線運動，所以水平初速度為
b點的豎直方向分速度為
所以從拋出到下落到b點所用的時間為
所以從拋出到下落到b點豎直方向的位移大小為
所以拋出點的縱坐標是
所以從拋出到下落到b點水平方向的位移大小為
所以拋出點的橫坐標是
二、單選題
13．某一壕溝數據如圖所示，α、b兩點間水平距離為3h，豎直距離為h，汽車自a點水平飛出，落在壕溝邊緣b點，假設汽車可看成質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則汽車為了能飛躍壕溝，在a點的最小速度為（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】豎直方向為自由落體運動，則有
水平方向為勻速直線運動，則有
解得
故選D。
14．如圖所示，運動員將網球從O點以速度水平擊出，網球經過M點時速度方向與豎直方向的夾角為，落到水平地面上的N點時速度方向與豎直方向的夾角為，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）

A．O點距水平地面的高度為
B．M點距水平地面的高度為
C．網球從O點運動到N點的時間為
D．O、N兩點間的水平距離為
【答案】C
【詳解】A．根據平拋運動規律可知，網球在M點時的豎直分速度
在N點時的豎直分速度
則O點距水平地面的高度
故A錯誤；
B．M點距水平地面的高度
故B錯誤；
C．網球從O點運動到N點的時間
故C正確；
D．O、N兩點間的水平距離
故D錯誤。
故選C。
15．小明同學將手中的空可樂罐水平扔向垃圾桶，可樂罐的軌跡如圖所示。不計空氣阻力，為把可樂罐扔進垃圾桶，小明可以（　　）
A．只減小扔可樂罐的初速度
B．只減小扔出可樂罐時的高度
C．只減小扔出可樂罐時人與垃圾桶的水平距離
D．以上說法均不可能實現
【答案】C
【詳解】A．可樂罐做平拋運動，設初速度為v0，拋出點距桶的高度為h，水平位移為x，則有平拋運動的時間為
水平位移為
拋出點的位置不變，高度不變，增大初速度，可增大水平位移，從而把可樂罐扔進垃圾桶，A錯誤；
B．由A選項解析可知，減小扔出可樂罐時的高度，會減小可樂罐運動的時間，拋出點的位置不變，高度不變，初速度不變，水平位移會減小，從而不會把可樂罐扔進垃圾桶，B錯誤；
CD．可樂罐拋出時的高度不變，初速度不變，只減小扔出可樂罐時人與垃圾桶的水平距離，由題圖可知，會把可樂罐扔進垃圾桶，C正確，D錯誤。
故選C。
16．如圖所示，某網球運動員正對球網跳起從同一高度O點向正前方先后水平擊出兩個速度不同的排球，排球軌跡如虛線Ⅰ和虛線Ⅱ所示。若不計空氣阻力，則（ ）
A．兩球下落相同高度所用的時間是相同的
B．兩球下落相同高度時在豎直方向上的速度不相同
C．兩球通過同一水平距離，軌跡如虛線Ⅰ的排球所用的時間較少
D．兩球在相同時間間隔內，軌跡如虛線Ⅱ的排球下降的高度較小
【答案】A
【詳解】A．網球飛出后做平拋運動，豎直方向做自由落體運動，有
下落時間為
可知兩球下落高度相同，所用時間相同，故A正確；
B．做平拋運動的小球下落相同高度時在豎直方向上的速度
可知兩球下落相同高度時在豎直方向上的速度相同，故B錯誤；
C．由圖可知兩球通過同一水平距離，虛線Ⅰ的排球下落高度較多，根據
可知軌跡如虛線Ⅰ的排球所用的時間較多，故C錯誤；
D．兩球均做平拋運動，所以在相同時間間隔內下降的高度相同，故D錯誤。
故選A。
17．在同一豎直方向、不同高處分別水平拋出兩個小球A、B，兩球在P點相碰，如圖所示。設A、B兩球的初速度分別為、，運動到P點的時間分別為、，在P點的速度與豎直方向的夾角分別為、，則（　　）

A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【詳解】根據題意可知，小球A到P點的高度大于小球B到P點的高度，由公式可得
則小球A運動到P點的時間較大，即
兩球到P點的水平位移相等，由可知，小球A的初速度較小，即
兩球運動到P點時，豎直分速度為
則有
由于小球A在豎直方向的速度較大，初速度小，則有
故選C。
三、多選題
18．如圖，某次小明同學在家中對著豎直墻壁打乒乓球，將球從A點斜向上擊出，球垂直在墻上的O點后，反向彈回正好落在A點正下方的B點。忽略球的旋轉及空氣阻力，則下列說法中正確的是（　　）
A．球在上升階段和下降階段的加速度不同
B．球從A點到O點的運動時間等于從O點到B點的運動時間
C．球剛離開點時的水平速度大小大于剛到達點時的水平速度大小
D．球剛離開點時的速度大小不一定大于剛到達點時的速度大小
【答案】CD
【詳解】A．球在上升階段和下降階段的加速度均為g，加速度相同，故A錯誤；
B．將球從A到O點的逆過程看做是平拋運動，則根據
球從A點到O點的運動時間小于從O點到B點的運動時間，故B錯誤；
C．因反彈后的水平位移等于反彈之前的水平位移，根據
可知，反彈之前的水平速度大于反彈后的水平速度，球剛離開A點時的水平速度大小大于剛到達B點時的水平速度大小，故C正確；
D ．根據
可知，球在離開A點的豎直速度小于剛到達B點時的豎直速度，則球剛離開A點時的速度大小不一定大于剛到達B點時的速度大小， 故D正確。
故選CD。
19．如圖所示，傾角為θ的斜面固定在水平面上。在斜面頂端將甲、乙（乙球圖中未畫出）兩個小球分別以大小為v0和 的初速度水平向右拋出，甲球經過時間t恰好落在斜面的底端，此時甲球速度的大小為v且與水平方向的夾角為φ，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．乙球將落在斜面的中點
B．乙球經過的時間落在斜面上
C．乙球落在斜面上時的速度方向與水平方向的夾角為
D．乙球落在斜面上時的速度大小為
【答案】BD
【詳解】C．甲、乙兩小球均落在斜面上，位移方向相同，根據平拋運動的推論，速度偏向角的正切值是位移偏向角正切值的兩倍，則可知兩小球落在斜面上時速度方向一定相同，故C錯誤；
B．由題意知甲球落在斜面上時的速率為，由平拋運動規律知
，
而
聯立解得
乙球的初速度大小為，則運動時間為，故B正確；
A．小球落在斜面上的位移為
乙球運動時間為，則其位移大小為甲球位移大小的，即乙球不能落在斜面的中點，故A錯誤；
D．因
則小球落在斜面上的速度為
乙球的初速度大小為，則乙球落在斜面上的速度大小為，故D正確。
故選BD。
20．如圖，某人從同一位置O以不同的垂直墻面方向的水平速度投出兩枚飛鏢A、B，最后都插在豎直墻壁上，它們與墻面的夾角分別為30°、60°，圖中飛鏢的取向可認為是擊中墻面時的速度方向，不計空氣阻力。則下列說法正確的有（ ）
A．兩只飛鏢的拋出速度滿足
B．兩只飛鏢擊中墻面的速度滿足
C．兩只飛鏢的運動時間一定相等
D．插在墻上的兩只飛鏢的反向延長線與一定交于同一點
【答案】AD
【詳解】A．設水平距離為，飛鏢的初速度為，擊中墻面的速度為，速度與豎直方向的夾角為，則有
聯立解得
由于從同一位置O拋出，相同，所以有
故A正確；
B．擊中墻面的速度為
由于
則有
故B錯誤；
C．豎直方向有
可得
可知兩只飛鏢的運動時間一定不相等，故C錯誤；
D．根據任意時刻速度的反向延長線一定經過此時沿拋出方向水平總位移的中點，可知插在墻上的兩只飛鏢的反向延長線與一定交于同一點，故D正確。
故選AD。
四、解答題
21．滑板愛好者從傾角、長度L＝14m的斜坡底端，以的初速度沿斜坡勻減速上滑，加速度大小，從坡頂飛出后落在右側的平臺上，平臺上表面與坡頂高度相同。不計空氣阻力，g取10，，。求滑板愛好者：
（1）沖出坡頂時的速度大小v；
（2）在平臺上的落點到坡頂的距離x。
【答案】（1）5m/s；（2）2.4m
【詳解】（1）根據
可得沖出坡頂時的速度大小
（2）運動員沖出坡頂后做斜拋運動，則
解得
x=2.4m
22．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，它需要利用山勢特點建造一個特殊跳臺。一運動員穿著專用滑雪板，在滑雪道上獲得較高速度后從A點沿水平方向飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上B點著陸，如圖所示。已知可視為質點的運動員從A點水平飛出的速度為。山坡可看成傾角為的斜面，不考慮空氣阻力，取，求：
（1）運動員在空中的飛行時間t；
（2）運動員從飛出至落在斜坡上的位移s的大小；
（3）運動員從A點到距斜坡距離最大時所用的時間。
【答案】（1）2s；（2）40m；（3）1s
【詳解】（1）根據題意，設運動員在空中飛行的時間為t，水平方向上有
豎直方向上有
又有
解得
（2）結合（1）分析可知，運動員的水平位移為
豎直位移為
又有
解得
（3）運動員速度方向與斜面平行是距離斜面最遠
解得
t1=1s
23．已知某標準乒乓球臺臺面長l，球網高h。如圖所示，在某次乒乓球比賽接球過程中，一中學生從己方臺面邊緣中點正上方距臺面高H處，將乒乓球水平垂直球網拍出，乒乓球能直接落到對方臺面上，不計空氣阻力，乒乓球可視為質點，重力加速度為g。求：
（1）乒乓球從拍出到第一次落到對方臺面上所經過的時間；
（2）乒乓球拍出后瞬時的速度大小范圍。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設乒乓球從拍出到第一次落到對方臺面上所經過的時間為，根據
解得
（2）設乒乓球剛好落到對方臺面邊緣中點時，乒乓球拍出后瞬時速度大小為，水平方向有
解得
設乒乓球剛好擦網飛落到對方臺面上時，乒乓球拍出后瞬時速度大小為，從拍出到擦網歷時，豎直方向有
水平方向有
聯立可得
乒乓球能直接落到對方臺面上，故拍出后瞬時的速度大小v滿足
解得
24．如圖所示，在傾角為37°的斜坡（斜坡足夠長）上有一人，前方有一只狗沿斜坡勻速向下奔跑，速度v=15m/s，此人分別多次以不同速度大小水平拋出一小球，試圖擊中狗，人、狗和小球均可看成質點，不計空氣阻力。（已知sin37°=0.6，g=10m/s2）
（1）某次投出的小球落在了斜面上，且落在斜面上的速度，求此次小球飛行的水平位移；
（2）若某次剛拋出小球時人與狗相距l=30m，本次投出的小球恰好擊中狗，求此次拋出速度v0的大小。
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）設小球落在斜面上時，速度與水平方向的夾角為，根據平拋運動的推論，速度方向與水平方向的夾角的正切值是位移方向與水平方向的夾角正切值的兩倍，即
可得
且
解得
，
小球在空中運動的時間為
水平位移
（2）設過程中石塊運動所需時間為，對于動物，運動的位移
對于石塊，豎直方向
水平方向
代入數據，由以上三式可得
25．如圖所示，從高為h=20m的斜面頂端A點以速度v0水平拋出一個小球，小球落在斜面底端B點，斜面傾角θ=30°（已知重力加速度g＝10 m/s2，不計空氣阻力），求：
（1）小球從拋出到落到B點所經過的時間t ；
（2）小球落到B點時的速度大小v ；
【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）小球做平拋運動，則
解得
s
（2）根據幾何關系得
水平方方向
解得
所以
小球落到B點時的速度大小
26．據報道，我國自主研發的新一代戰略隱形轟炸機轟-20已試飛完成。某次試飛中，轟-20實施對點作業，即對山坡上的目標A進行轟炸。轟-20沿水平方向勻速飛行，飛行高度為H，到達山坡底端正上方時釋放一顆炸彈，炸彈恰好垂直擊中A點，整個過程如圖所示。已知A點距山坡底端的高度為h，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，求：
（1）炸彈在空中運動的時間t；
（2）A點到山坡底端的距離d。

【答案】（1）；（2）
【詳解】（1）炸彈在豎直方向做自由落體運動，則有
解得
（2）設炸彈的水平位移為x，如圖

則有
，
解得5.4拋體運動的規律
一、【學習目標】　
1.熟練掌握平拋運動的研究方法.
2.會用運動合成和分解的知識分析求解平拋運動的速度和位移，知道平拋運動的軌跡為拋物線.
3.了解斜拋運動及其運動規律，知道運動的合成與分解是分析拋體運動的一般方法.
二、【考點精講深化】
考點一、平拋運動的速度
以速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，建立如圖1所示的平面直角坐標系.
圖1
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向為勻速直線運動，vx＝v0.
(2)豎直方向：只受重力，由牛頓第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；豎直方向的初速度為0，所以豎直方向為自由落體運動，vy＝gt.
(3)合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝(θ是v與水平方向的夾角).
考點二、平拋運動的位移與軌跡
1.水平位移：x＝v0t①
2.豎直位移：y＝gt2②
3.軌跡方程：由①②兩式消去時間t，可得平拋運動的軌跡方程為y＝x2，由此可知平拋運動的軌跡是一條拋物線.
考點三、一般的拋體運動
物體被拋出時的速度v0沿斜上方或斜下方時，物體做斜拋運動(設v0與水平方向夾角為θ).
(1)水平方向：物體做勻速直線運動，初速度v0x＝v0cos θ.
(2)豎直方向：物體做豎直上拋或豎直下拋運動，初速度vy0＝v0sin θ.如圖2所示.
圖2
考點四、斜拋運動
1.斜拋運動的規律
(1)斜拋運動的性質：斜拋運動是加速度恒為重力加速度g的勻變速曲線運動，軌跡是拋物線.
圖10
(2)斜拋運動的基本規律(以斜上拋為例說明，如圖10所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②豎直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上拋運動可以看成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的豎直上拋運動的合運動.
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt
②位移公式：x＝v0cos θ·t
y＝v0sin θ·t－gt2
2.斜拋運動的對稱性
(1)時間對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的上升時間等于下降時間.
(2)速度對稱：相對于軌跡最高點，兩側對稱的兩點速度大小相等.
(3)軌跡對稱：斜拋運動的軌跡相對于過最高點的豎直線對稱.
考點深化
1.平拋運動的特點
(1)做平拋運動的物體水平方向不受力，做勻速直線運動；豎直方向只受重力，做自由落體運動；其合運動為勻變速曲線運動，其軌跡為拋物線.
(2)平拋運動的速度方向沿軌跡的切線方向，速度大小、方向不斷變化.
2.平拋運動的速度變化
如圖4所示，由Δv＝gΔt知，任意兩個相等的時間間隔內速度的變化量相同，方向豎直向下.
圖4
知識深化
1.平拋運動的研究方法
(1)把平拋運動分解為水平方向上的勻速直線運動和豎直方向上的自由落體運動.
(2)分別運用兩個分運動的運動規律去求分速度、分位移等，再合成得到平拋運動的速度、位移等.
2.平拋運動的規律
(1)平拋運動的時間：t＝，只由高度決定，與初速度無關.
(2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同決定.
(3)落地速度：v＝＝，與水平方向的夾角為θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同決定.
3.平拋運動的推論
(1)做平拋運動的物體在某時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則有tan θ＝2tan α.
證明：如圖6所示，tan θ＝＝
tan α＝＝＝
所以tan θ＝2tan α.
圖6
(2)做平拋運動的物體在任意時刻的速度的反向延長線一定通過此時水平位移的中點.
證明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt，
又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝.
三、【實戰演練】
一、填空題
1．以速度v0沿水平方向拋出一物體，以拋出點為原點，以初速度v0的方向為x軸方向，豎直向下的方向為y軸方向，建立如圖所示的平面直角坐標系。
（1）水平方向：不受力，加速度是 ，水平方向為 運動，vx＝ 。
（2）豎直方向：只受重力，由牛頓第二定律得到：mg＝ma，所以a＝ ；豎直方向的初速度為 ，所以豎直方向為 運動，vy＝
（3）合速度
大小：v＝＝；
方向：tan θ＝＝（θ是v與水平方向的夾角）。
2．如圖所示，已知排球網高H，半場長L，扣球點高h，扣球點離網水平距離s，則要使排球既不觸網又不出界，水平扣球速度的大小取值范圍為 。

3．在“研究平拋運動”的實驗中，我們將小球的運動分解為水平方向做 運動，豎直方向做 運動，以求出平拋物體的初速度。實驗時，要求小球每次應從斜槽上 （填“同一位置”或“不同位置”由靜止滑下）。
4．在 探究平拋物體的運動規律的實驗中，某同學在坐標紙上描出小球平拋運動中的幾個位置，如圖中的A、B、C、D所示，圖中每個小方格的邊長為L＝1.25 cm，g取10 m/s2，則利用以上數據可求得：

①小球做平拋運動的初速度大小為 m/s.
②小球運動到B點時的豎直分速度大小為 m/s.
5．如圖所示，小球從斜面頂端A處以速率做平拋運動，恰好落到斜面底部B點，且此時的速率的大小為。已知重力加速度為g，則斜面的傾角為 ，AB之間的距離為 。
6．2021年9月2日上午，第八批在韓中國人民志愿軍烈士遺骸由我空軍專機護送從韓國接回遼寧沈陽，109位志愿軍烈士英靈及1226件相關遺物回到祖國懷抱，沈陽桃仙國際機場以“過水門”最高禮遇迎接志愿軍烈士回家，如圖1所示。小華同學從物理角度對“水門”進行了研究，他建立坐標對照片處理后得到水在空中的軌跡如圖2所示，兩水柱在最高點相遇，已知照片與實際長度比例為1∶100，忽略空氣阻力，重力加速度g取10m/s2，水的密度，，。
（1）位于坐標原點的噴水口的出水方向與水平方向夾角為 ，位于處的噴水口的出水方向和水平方向夾角為 。
（2）位于坐標原點的噴水口橫截面積為80cm2，則其流量為 m3/s，從噴出到兩水柱在最高點相遇的過程中，位于坐標原點的噴水口在空中形成的水柱質量為 kg。
7．平拋運動的兩個重要推論：
（1）做平拋運動的物體在某時刻，其速度方向與水平方向的夾角為θ，位移方向與水平方向的夾角為α，則有 。
（2）做平拋運動的物體在任意時刻速度的反向延長線一定通過此時水平位移的 。
8．如圖甲所示為某人先后兩次由斜面體頂端的O點沿水平方向拋出小球，這個過程可以簡化為如圖乙所示的模型，第一次的落點為斜面體上的A點，第二次的落點為斜面體上的B點，小球可視為質點，忽略空氣阻力。已知，兩次拋出小球的初速度分別用、表示，小球落到斜面體上的速度與水平方向的夾角分別用、表示，則 ， 。

9．一小球以速度水平拋出，落在傾角為的斜面上的P點，P為斜面中點，小球的速度與斜面夾角為，若拋出點正好位于斜面底端正上方，則小球飛行時間為 s，斜面的高度為 m。（重力加速度g取）

10．如圖所示以的水平初速度拋出的物體，飛行一段時間后，垂直地撞在傾角為的斜面上（取），則物體撞擊斜面時的速度為 ，完成這段飛行的時間為 s。

11．小孩站在岸邊向湖面依次拋出三個石子，三次的軌跡如圖所示，最高點在同一水平線上。假設三個石子質量相同，忽略空氣阻力的影響，三個石子中在最高點時速度最大的是沿軌跡 的石子，軌跡1、2、3在空中運動時間分別為、、，則、、的大小關系為 。

12．在“研究小球做平拋運動的規律”的實驗中：如圖是某同學實驗得到的小球做平拋運動的軌跡，建立了坐標系，測出了a、b、c三點的坐標，g取10 m/s2，根據圖中數據可知小球做平拋運動的初速度為 m/s，拋出點的橫坐標為 cm，縱坐標為 cm。

二、單選題
13．某一壕溝數據如圖所示，α、b兩點間水平距離為3h，豎直距離為h，汽車自a點水平飛出，落在壕溝邊緣b點，假設汽車可看成質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g，則汽車為了能飛躍壕溝，在a點的最小速度為（　　）

A． B． C． D．
14．如圖所示，運動員將網球從O點以速度水平擊出，網球經過M點時速度方向與豎直方向的夾角為，落到水平地面上的N點時速度方向與豎直方向的夾角為，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，下列說法正確的是（　　）

A．O點距水平地面的高度為
B．M點距水平地面的高度為
C．網球從O點運動到N點的時間為
D．O、N兩點間的水平距離為
15．小明同學將手中的空可樂罐水平扔向垃圾桶，可樂罐的軌跡如圖所示。不計空氣阻力，為把可樂罐扔進垃圾桶，小明可以（　　）
A．只減小扔可樂罐的初速度
B．只減小扔出可樂罐時的高度
C．只減小扔出可樂罐時人與垃圾桶的水平距離
D．以上說法均不可能實現
16．如圖所示，某網球運動員正對球網跳起從同一高度O點向正前方先后水平擊出兩個速度不同的排球，排球軌跡如虛線Ⅰ和虛線Ⅱ所示。若不計空氣阻力，則（ ）
A．兩球下落相同高度所用的時間是相同的
B．兩球下落相同高度時在豎直方向上的速度不相同
C．兩球通過同一水平距離，軌跡如虛線Ⅰ的排球所用的時間較少
D．兩球在相同時間間隔內，軌跡如虛線Ⅱ的排球下降的高度較小
17．在同一豎直方向、不同高處分別水平拋出兩個小球A、B，兩球在P點相碰，如圖所示。設A、B兩球的初速度分別為、，運動到P點的時間分別為、，在P點的速度與豎直方向的夾角分別為、，則（　　）

A．， B．，
C．， D．，
三、多選題
18．如圖，某次小明同學在家中對著豎直墻壁打乒乓球，將球從A點斜向上擊出，球垂直在墻上的O點后，反向彈回正好落在A點正下方的B點。忽略球的旋轉及空氣阻力，則下列說法中正確的是（　　）
A．球在上升階段和下降階段的加速度不同
B．球從A點到O點的運動時間等于從O點到B點的運動時間
C．球剛離開點時的水平速度大小大于剛到達點時的水平速度大小
D．球剛離開點時的速度大小不一定大于剛到達點時的速度大小
19．如圖所示，傾角為θ的斜面固定在水平面上。在斜面頂端將甲、乙（乙球圖中未畫出）兩個小球分別以大小為v0和 的初速度水平向右拋出，甲球經過時間t恰好落在斜面的底端，此時甲球速度的大小為v且與水平方向的夾角為φ，不計空氣阻力。下列說法正確的是（ ）
A．乙球將落在斜面的中點
B．乙球經過的時間落在斜面上
C．乙球落在斜面上時的速度方向與水平方向的夾角為
D．乙球落在斜面上時的速度大小為
20．如圖，某人從同一位置O以不同的垂直墻面方向的水平速度投出兩枚飛鏢A、B，最后都插在豎直墻壁上，它們與墻面的夾角分別為30°、60°，圖中飛鏢的取向可認為是擊中墻面時的速度方向，不計空氣阻力。則下列說法正確的有（ ）
A．兩只飛鏢的拋出速度滿足
B．兩只飛鏢擊中墻面的速度滿足
C．兩只飛鏢的運動時間一定相等
D．插在墻上的兩只飛鏢的反向延長線與一定交于同一點
四、解答題
21．滑板愛好者從傾角、長度L＝14m的斜坡底端，以的初速度沿斜坡勻減速上滑，加速度大小，從坡頂飛出后落在右側的平臺上，平臺上表面與坡頂高度相同。不計空氣阻力，g取10，，。求滑板愛好者：
（1）沖出坡頂時的速度大小v；
（2）在平臺上的落點到坡頂的距離x。
22．跳臺滑雪是一項勇敢者的運動，它需要利用山勢特點建造一個特殊跳臺。一運動員穿著專用滑雪板，在滑雪道上獲得較高速度后從A點沿水平方向飛出，在空中飛行一段距離后在山坡上B點著陸，如圖所示。已知可視為質點的運動員從A點水平飛出的速度為。山坡可看成傾角為的斜面，不考慮空氣阻力，取，求：
（1）運動員在空中的飛行時間t；
（2）運動員從飛出至落在斜坡上的位移s的大小；
（3）運動員從A點到距斜坡距離最大時所用的時間。
23．已知某標準乒乓球臺臺面長l，球網高h。如圖所示，在某次乒乓球比賽接球過程中，一中學生從己方臺面邊緣中點正上方距臺面高H處，將乒乓球水平垂直球網拍出，乒乓球能直接落到對方臺面上，不計空氣阻力，乒乓球可視為質點，重力加速度為g。求：
（1）乒乓球從拍出到第一次落到對方臺面上所經過的時間；
（2）乒乓球拍出后瞬時的速度大小范圍。
24．如圖所示，在傾角為37°的斜坡（斜坡足夠長）上有一人，前方有一只狗沿斜坡勻速向下奔跑，速度v=15m/s，此人分別多次以不同速度大小水平拋出一小球，試圖擊中狗，人、狗和小球均可看成質點，不計空氣阻力。（已知sin37°=0.6，g=10m/s2）
（1）某次投出的小球落在了斜面上，且落在斜面上的速度，求此次小球飛行的水平位移；
（2）若某次剛拋出小球時人與狗相距l=30m，本次投出的小球恰好擊中狗，求此次拋出速度v0的大小。
25．如圖所示，從高為h=20m的斜面頂端A點以速度v0水平拋出一個小球，小球落在斜面底端B點，斜面傾角θ=30°（已知重力加速度g＝10 m/s2，不計空氣阻力），求：
（1）小球從拋出到落到B點所經過的時間t ；
（2）小球落到B點時的速度大小v ；
26．據報道，我國自主研發的新一代戰略隱形轟炸機轟-20已試飛完成。某次試飛中，轟-20實施對點作業，即對山坡上的目標A進行轟炸。轟-20沿水平方向勻速飛行，飛行高度為H，到達山坡底端正上方時釋放一顆炸彈，炸彈恰好垂直擊中A點，整個過程如圖所示。已知A點距山坡底端的高度為h，不計空氣阻力，重力加速度大小為g，求：
（1）炸彈在空中運動的時間t；
（2）A點到山坡底端的距離d。

展開更多......

收起↑