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數學必修5復習知識提綱
（一）解三角形：
(1)內角和定理：三角形三角和為，這是三角形中三角函數問題的特殊性，解題可不能忘記！任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余.銳角三角形三內角都是銳角三內角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.
(2)正弦定理：(R為三角形外接圓的半徑).
注意：①正弦定理的一些變式：
；；
；
②已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能有兩解.
(3)余弦定理：等，常選用余弦定理鑒定三角形的形狀.
(4)面積公式：（其中為三角形內切圓半徑）.
如中，若，判斷的形狀（答：直角三角形）。
特別提醒：（1）求解三角形中的問題時，一定要注意這個特殊性：；（2）求解三角形中含有邊角混合關系的問題時，常運用正弦定理、余弦定理實現邊角互化。
如（1）中，A、B的對邊分別是，且，那么滿足條件的 A、 有一個解 B、有兩個解 C、無解 D、不能確定（答：C）；
（2）在中，A＞B是成立的_____條件（答：充要）；
（3）在中， ，則＝_____（答：）；
(4)在中，分別是角A、B、C所對的邊，
若，則＝____（答：）；
（5）在中，若其面積，則=____（答：）；
（6）在中，，這個三角形的面積為，則外接圓的直徑是_______（答：）；
（7）在△ABC中，a、b、c是角A、B、C的對邊，= ，的最大值為 （答：）；
（8）在△ABC中AB=1，BC=2，則角C的取值范圍是 （答：）；
（9）設O是銳角三角形ABC的外心，若，且的面積滿足關系式，求（答：）．
（二）數列：
1.等差數列的有關概念：
（1）等差數列的判斷方法：定義法或。
如設是等差數列，求證：以bn= 為通項公式的數列為等差數列。
（2）等差數列的通項：或。
如①等差數列中，，，則通項　　　??；
②首項為-24的等差數列，從第10項起開始為正數，則公差的取值范圍是______ ；
（3）等差數列的前和：，。
如①數列 中，，，前n項和，則＝＿，＝ ；
②已知數列 的前n項和，求數列的前項和.
（4）等差中項：若成等差數列，則A叫做與的等差中項，且。
提醒：（1）等差數列的通項公式及前和公式中，涉及到5個元素：、、、及，其中、稱作為基本元素。只要已知這5個元素中的任意3個，便可求出其余2個，即知3求2。
（2）為減少運算量，要注意設元的技巧，如奇數個數成等差，可設為…，…（公差為）；偶數個數成等差，可設為…，,…（公差為2）
2.等差數列的性質：
（1）當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且斜率為公差；前和是關于的二次函數且常數項為0.
（2）若公差，則為遞增等差數列，若公差，則為遞減等差數列，若公差，則為常數列。
（3）當時,則有，特別地，當時，則有.
如等差數列中，，則＝____ ；
(4) 若是等差數列，則 ，…也成等差數列
如等差數列的前n項和為25，前2n項和為100，則它的前3n和為 。
（5）若等差數列、的前和分別為、，且，
則.
如設{}與{}是兩個等差數列，它們的前項和分別為和，若，那么___________；
(6)“首正”的遞減等差數列中，前項和的最大值是所有非負項之和；“首負”的遞增等差數列中，前項和的最小值是所有非正項之和。法一：由不等式組確定出前多少項為非負（或非正）；法二：因等差數列前項是關于的二次函數，故可轉化為求二次函數的最值，但要注意數列的特殊性。上述兩種方法是運用了哪種數學思想？（函數思想），由此你能求一般數列中的最大或最小項嗎？
如①等差數列中，，，問此數列前多少項和最大？并求此最大值；
②若是等差數列，首項，，則使前n項和成立的最大正整數n是 ；
3.等比數列的有關概念：
（1）等比數列的判斷方法：定義法，其中或。
如①一個等比數列{}共有項，奇數項之積為100，偶數項之積為120，則為____；
②數列中，=4+1 ()且=1，若 ，求證：｛｝是等比數列。
（2）等比數列的通項：或。
如設等比數列中，，，前項和＝126，求和公比.
（3）等比數列的前和：當時，；當時，。
如等比數列中，＝2，S99=77，求；
特別提醒：等比數列前項和公式有兩種形式，為此在求等比數列前項和時，首先要判斷公比是否為1，再由的情況選擇求和公式的形式，當不能判斷公比是否為1時，要對分和兩種情形討論求解。
（4）等比中項：若成等比數列，那么A叫做與的等比中項。
4.等比數列的性質：
（1）當時，則有，特別地，當時，則有.
如①在等比數列中，，公比q是整數，則=___；
②各項均為正數的等比數列中，若，則 。
(2) 若是等比數列，則數列 ，…也是等比數列。
如在等比數列中，為其前n項和，若，則的值為___ ；
(3)若，則為遞增數列；若, 則為遞減數列；若 ，則為遞減數列；若, 則為遞增數列；若，則為擺動數列；若，則為常數列.
(4)如果數列既成等差數列又成等比數列，那么數列是非零常數數列，故常數數列僅是此數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件。
如設數列的前項和為（）， 關于數列有下列三個命題：①若，則既是等差數列又是等比數列；②若，則是等差數列；③若，則是等比數列。這些命題中，真命題的序號是 ；
5.數列的通項的求法：
⑴公式法：①等差數列通項公式；②等比數列通項公式。
如已知數列試寫出其一個通項公式：__________；
⑵已知（即）求，用作差法：。
如①已知的前項和滿足，求；
②數列滿足，求
⑶已知求，用作商法：。
如數列中，對所有的都有，則______ ；
⑷若求用累加法：
。
如已知數列滿足，，則=________ ；
⑸已知求，用累乘法：。
如已知數列中，，前項和，若，求
⑹已知遞推關系求，用構造法（構造等差、等比數列）。特別地，（1）形如、（為常數）的遞推數列都可以用待定系數法轉化為公比為的等比數列后，再求。
如已知，求； ②已知，求；
（2）形如的遞推數列都可以用倒數法求通項。
如已知，求；②已知數列滿足=1，，求；
注意：（1）用求數列的通項公式時，你注意到此等式成立的條件了嗎？（，當時，）；
（2）一般地當已知條件中含有與的混合關系時，常需運用關系式，先將已知條件轉化為只含或的關系式，然后再求解。
如數列滿足，求；
6.數列求和的常用方法：
公式法：①等差數列求和公式；②等比數列求和公式，
特別聲明：運用等比數列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時需分類討論.；③常用公式：，，.
如等比數列的前項和Sｎ＝2ｎ－１，則＝_____ ；
（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和.
如求和：
（3）倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數列的通項與組合數相關聯，則?？煽紤]選用倒序相加法，發揮其共性的作用求和（這也是等差數列前和公式的推導方法）.
如 已知，則＝______；
（4）錯位相減法：如果數列的通項是由一個等差數列的通項與一個等比數列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法（這也是等比數列前和公式的推導方法）.
如 設為等比數列，，已知，，①求數列的首項和公比；②求數列的通項公式.；
（5）裂項相消法：如果數列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：
①； ②；
如①求和： ；
②在數列中，，且Sｎ＝９，則n＝_____ ；
（三）不等式
1、不等式的性質：
（1）同向不等式可以相加；異向不等式可以相減：若，則（若，則），但異向不等式不可以相加；同向不等式不可以相減；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；異向不等式可以相除，但不能相乘：若，則（若，則）；
（3）左右同正不等式：兩邊可以同時乘方或開方：若，則或；
（4）若，，則；若，，則。
如①對于實數中，給出下列命題：①；②；③；④；⑤； ⑥；⑦；⑧，則。其中正確的命題是______（答：②③⑥⑦⑧）；
②已知，，則的取值范圍是______（答：）；③已知，且則的取值范圍是______（答：）
2. 不等式大小比較的常用方法：
（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結果；
（2）作商（常用于分數指數冪的代數式）；
（3）分析法；
（4）平方法；
（5）分子（或分母）有理化；
（6）利用函數的單調性；
（7）尋找中間量或放縮法 ；
(8)圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。
如（1）設，比較的大小（答：當時，（時取等號）；當時，（時取等號））；
（2）設，，，試比較的大?。ù穑海?br/>（3）比較1+與的大?。ù穑寒敾驎r，1+＞；當時，1+＜；當時，1+＝）
3. 利用重要不等式求函數最值時，你是否注意：“一正二定三相等，”
如（1）下列命題中正確的是A、的最小值是2 B、的最小值是2
C、的最大值是 D、的最小值是（答：C）；
（2）若，則的最小值是______（答：）；
（3）正數滿足，則的最小值為______（答：）；
4.常用不等式有：（1）(根據目標不等式左右的運算結構選用) ；（2）a、b、cR，（當且僅當時，取等號）；
（3）若，則（糖水的濃度問題）。
如:如果正數、滿足，則的取值范圍是_________（答：）
5.一元二次不等式解法：
（1）化成標準式：；（2）求出對應的一元二次方程的根；
（3）畫出對應的二次函數的圖象； （4）根據不等號方向取出相應的解集。
6.簡單的一元高次不等式的解法：標根法：其步驟是：
（1）分解成若干個一次因式的積，并使每一個因式中最高次項的系數為正；
（2）將每一個一次因式的根標在數軸上，從最大根的右上方依次通過每一點畫曲線；并注意奇穿過偶彈回；
（3）根據曲線顯現的符號變化規律，寫出不等式的解集。
如（1）解不等式。（答：或）；
（2）不等式的解集是____（答：或）；
（3）設函數、的定義域都是R，且的解集為，的解 集為，則不等式的解集為______（答：）；
（4）要使滿足關于的不等式（解集非空）的每一個的值至少滿足不等式中的一個，則實數的取值范圍是______.（答：）
7.分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個因式中最高次項的系數為正，最后用標根法求解。解分式不等式時，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負時可去分母。
如 （1）解不等式（答：）；
（2）關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為____________（答：）.
8.線性規劃問題：
1．了解線性約束條件、目標函數、可行域、可行解、最優解
2．線性規劃問題：求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值問題．
3．解線性規劃實際問題的步驟：
（1）將數據列成表格；（2）列出約束條件與目標函數；（3）根據求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標函數一致的平行直線；③求：求最值點坐標；④答；求最值； （4）驗證。
兩類主要的目標函數的幾何意義:
①-----直線的截距；②-----兩點的距離或圓的半徑；
③-----直線的斜率

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