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專題1-7 數列求通項13類題型匯總
數列求通項常見題型梳理
【題型1】Sn與an
【題型2】前n項積
【題型3】因式分解型（正項數列）
【題型4】已知等差或等比求通項
【題型5】累加法（疊加法）
【題型6】累乘法（疊乘法）
【題型7】構造：等差、等比，常數列
【題型8】取倒數型
【題型9】取倒數后進行構造
【題型10】隔項等差數列求通項（和為等差）
【題型11】隔項等比數列求通項（積為等比）
【題型12】和為等比數列求通項
【題型13】奇偶數列：奇偶項遞推公式不同
數列求通項常見題型梳理
1、與
與同時存在
角度1：已知與的關系；或與的關系 用，得到 例：已知，求
角度2：已知與的關系；或與的關系 替換題中的 例：已知； 已知
角度3：等式中左側含有： 作差法 （類似） 例子：已知求
2、前n項積
前n項積
角度1：已知和的關系 角度1：用，得到 例子：的前項之積.
角度2：已知和的關系 角度1：用替換題目中 例子：已知數列的前n項積為，且.
3、因式分解型
如果式子中出現了2次項或者正項數列這些條件，可能需要因式分解
例：設正項的前項和為
（1）若滿足,,數列的通項公式為__________
（2）若，，的通項公式為_____________
（3）若，，的通項公式為____________　
【答案】（1）；（2）；（3）
4、累加法（疊加法）
若數列滿足，求數列的通項時，利用累加法求通項公式。
具體步驟：
，將這個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=
5、累乘法（疊乘法）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法
具體步驟：
，
將這個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
6、構造法
類型1： 用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，從而求出數列的通項公式.
類型2：用“同除法”構造等差數列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數列為等差數列，進而可求得的通項公式.
（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，換元令：，則原式化為：，先利用構造法類型1求出，再求出的通項公式.
（3）形如的數列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式.
7、倒數型
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如：（為常數，）的數列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數法”構造等比數列）
8、隔項等差數列（和為等差）
已知數列，滿足，（k≠0）
則；
；或則稱數列為隔項等差數列，其中：
①構成以為首項的等差數列，公差為；
②構成以為首項的等差數列，公差為；
9、隔項等比數列（積為等比）
已知數列，滿足，
則；
（其中為常數）；或則稱數列為隔項等比數列，其中：
①構成以為首項的等比數列，公比為；
②構成以為首項的等比數列，公比為；
10、和為等比數列（和為等比）
已知數列，滿足，
則
，再通過累加法和錯位相減求出的通項公式
【題型1】Sn與an
已知數列滿足：對任意，有，求數列的通項公式
【答案】(1)
【分析】當時，易知，當時，有遞推關系可知，將其與與原遞推關系作差，即可得到結果，再檢驗是否滿足，進而得到結果；
【詳解】（1）解：當時，，故，
當時，，則
，
故，
當時，上式亦滿足；
綜上，
（湖南師大學附中月考）已知數列的前項和為，若，，則有（ ）
A．為等差數列 B．為等比數列
C．為等差數列 D．為等比數列
【答案】D
【分析】根據得到，即可判斷AB選項；根據，得到即可判斷CD選項.
【詳解】由題意，數列的前項和滿足，
當時，，兩式相減，可得，
可得，即，又由，當時，，所以，
所以數列的通項公式為，故數列既不是等差數列也不是等比數列，所以AB錯.
當時，，又由時，，適合上式，
所以數列的前項和為；又由，所以數列為公比為3的等比數列，故D正確，C錯.
已知數列的前項和為，若，，則數列的通項公式________
【答案】
【解析】當時，，作差得，即當時，是公比為3的等比數列，而，則，故
（重慶實驗外國語學校月考）（多選）若數列滿足（為正整數），為數列的前項和則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】直接代入遞推公式求得，可知A正確；根據遞推式求，構造數列為常數列，求得數列的通項，得，B正確；代入等差數列求和公式可得，C錯誤；先放縮，再利用裂項相消求和可證明D正確.
【詳解】，故A正確；
由知，，
兩式相減得，
故，故當時，為常數列，
故，故，故，故B正確；
，故C錯誤；
，
故，故D正確
設為數列的前項和，已知，求
【詳解】由題意知，，
又，得．
當時，由，得，得．
則數列是首項為，公差為1的等差數列．
所以．
又，則．
當時，，
又滿足上式，
所以．
【題型2】前n項積
對于數列，前項積記為； ①；②
則①②：
已知數列的前n項和為，在數列中，，，，求數列，的通項公式
【詳解】（1）由已知得，當時
.
∴
當時，，也滿足上式．所以
當時，，∴
當時，，符合上式
當時，，所以，也符合上式，綜上，
∴，.
（江蘇連云港，南通調研）已知數列的前項積為，且，求的通項公式
【答案】；
【詳解】（1）由數列的前項積為，得，又，
所以，當時，，整理得，即，
所以，當時，為定值，
因為，令，得，，故，
所以數列是首項為2，公差為1的等差數列，所以，得.
所以，當時，，顯然符合上式，所以.
2021·全國高考乙卷（理）——前n項積，消求
記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由已知得,且，取,得,由題意得,消積得到項的遞推關系,進而證明數列是等差數列;
（2）由（1）可得的表達式,由此得到的表達式,然后利用和與項的關系求得.
【詳解】（1）[方法一]：
由已知得,且，,
取,由得,
由于為數列的前n項積，
所以,
所以，
所以,
由于
所以，即,其中
所以數列是以為首項，以為公差等差數列;
[方法二]【最優解】：
由已知條件知 ①
于是． ②
由①②得． ③
又， ④
由③④得．
令，由，得．
所以數列是以為首項，為公差的等差數列．
[方法三]：
由，得，且，，．
又因為，所以，所以．
在中，當時，．
故數列是以為首項，為公差的等差數列．
（2）由（1）可得，數列是以為首項，以為公差的等差數列，
,
,
當n=1時，,
當n≥2時,,顯然對于n=1不成立,
∴.
【題型3】因式分解型（正項數列）
正項遞增數列的前項和為，，求的通項公式；
【答案】或
【詳解】當時，，解得或.
當時，，即，解得或，∴.
當時，，即，解得.
由，
當時，，
兩式相減得，即，
當時，，所以，即，
∴或.
已知各項都是正數的數列，前項和滿足，求數列的通項公式.
【答案】
【詳解】當時，，所以或（舍去），
當時，有
兩式相減得，
整理得，
因為的各項都是正數，所以，
所以是首項為1，公差為1的等差數列，
所以
已知為數列的前n項和，，,求數列的通項公式.
【答案】
【詳解】當時,，,則,
當時，，則,
兩式相減得：
即
即
∵，∴,
∴數列是2為首項，公差為2的等差數列，∴.
【題型4】已知等差或等比求通項
注意與消Sn的方法進行區分
（湖北省黃岡市9月調研）設等差數列前項和，，滿足，，求數列的通項公式
【答案】
【詳解】依題意有，
，，
又為等差數列，設公差為，
，
（蘇州市期初調研）已知等比數列中，，求數列的通項公式及它的前n項和.
【答案】
【詳解】設等比數列公比為q，∵，
∴，解得，，
∴，
（佛山二模）已知各項均為正數的等比數列，其前項和為，滿足，求數列的通項公式
【答案】.
【詳解】設的公比為，則，又，
當時，，當時，，
兩式相減可得，，所以，
所以或(舍去)，
所以，即，
所以等比數列的通項公式為
（濰坊一模）已知數列為等比數列，其前項和為，且滿足，求的值及數列的通項公式.
【答案】，
【分析】當時，，兩式相減得，由，可求出的值
【詳解】因為，所以時，，所以.
又由數列為等比數列，所以.又因為，所以，
綜上
【題型5】累加法（疊加法）
在數列中，，，則
A． B． C． D．
【答案】A
【詳解】試題分析：在數列中，
已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【詳解】由題意可得，
所以，，…，，
上式累加可得
，
又，所以.
已知數列滿足，且，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【詳解】由，且，根據累加法可得：
，
所以，則
已知數列滿足，，，且，求數列的通項公式.
【詳解】因為，，，，
可得，，
又，
則當時，
，
上式對也成立，所以，
【題型6】累乘法（疊乘法）
數列滿足，，則
【答案】
【分析】由已知整理得，先利用累乘法求數列的通項，再利用錯位相減法求其前2021項的和，從而得到結果.
【詳解】由得：，
；
設，
則，
，
，
，即，，，
.
已知數列的首項為1，前n項和為，且，則數列的通項公式 .
【答案】n
【詳解】解：∵，∴
當時，，
當時，成立，
∴，
當時，，
當時，滿足上式，
∴.
（2022·新高考1卷）為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列，求的通項公式.
【答案】(1)
【詳解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，∴的通項公式
已知數列的前n項和為，且滿足，求的通項公式.
【答案】(1)，
【詳解】解：時，，解得.
當時，，故，
所以，
故.
符合上式
故的通項公式為，.
【題型7】構造：等差、等比，常數列
（2020·全國Ⅲ卷）設數列{an}滿足a1=3，，求an.
【詳解】［方法一］【最優解】：通性通法
由題意可得，，由數列的前三項可猜想數列是以為首項，2為公差的等差數列，即．
證明如下：
當時，成立；
假設時，成立.
那么時，也成立.
則對任意的，都有成立；
［方法二］：構造法
由題意可得，．由得．，則，兩式相減得．令，且，所以，兩邊同時減去2，得，且，所以，即，又，因此是首項為3，公差為2的等差數列，所以．
［方法三］：累加法
由題意可得，．
由得，即，，……．以上各式等號兩邊相加得，所以．所以．當時也符合上式．綜上所述，．
［方法四］：構造法
，猜想．由于，所以可設，其中為常數．整理得．故，解得．所以．又，所以是各項均為0的常數列，故，即．
【點評】方法一：通過遞推式求出數列的部分項從而歸納得出數列的通項公式，再根據數學歸納法進行證明，是該類問題的通性通法，對于此題也是最優解；
方法二：根據遞推式，代換得，兩式相減得，設，從而簡化遞推式，再根據構造法即可求出，從而得出數列的通項公式；
方法三：由化簡得，根據累加法即可求出數列的通項公式；
方法四：通過遞推式求出數列的部分項，歸納得出數列的通項公式，再根據待定系數法將遞推式變形成，求出，從而可得構造數列為常數列，即得數列的通項公式
已知數列的前n項和為，且，求數列的通項公式；
【詳解】（1）當時，，即.
當時，①，
②，
由①-②，得，即.
所以，且，所以數列為常數列，
所以，即.
已知數列的前n項和為，，且，求通項公式．
【解答】
又
是以2為公比和首項的等比數列
，即
已知數列中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【詳解】
所以所以數列是一個以2為首項，以4為公比的等比數列，
所以.
數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為 .
【答案】．
【分析】已知式兩邊同除以，構造一個等差數列，由等差數列的通項公式可得結論．
【詳解】∵，所以，即，
∴是等差數列，而，
所以，
所以．
在數列中，，且對任意的，都有，求數列的通項公式；
【答案】
【詳解】由，可得
又，，
所以.
所以首項為，公比為的等比數列.
所以.
所以.
又滿足上式，所以
廣東省廣州市2023屆高三綜合測試（一）
已知數列的前項和為，且，求.
【答案】(2)
【詳解】（1）由，得，
當時，，所以，
當時，，
兩式相減得，即，
所以，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，所以
2023·廣東惠州一模
已知數列的前項和為，且，求數列的通項公式；
【答案】
【詳解】當時，，解得，
當時，．
可得，
整理得：，
從而，
又，所以數列是首項為1，公比為2的等比數列；
所以，
所以，經檢驗，滿足，
綜上，數列的通項公式為.
已知數列滿足，，則=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【答案】C
【分析】根據，可得，從而可證得數列是等差數列，從而可求得數列的通項，即可得解.
【詳解】解：因為，
所以，即，
等式兩邊開方可得：，即，
所以數列是以首項為，公差為1的等差數列，
所以，所以，
所以.
【題型8】取倒數型
已知數列滿足，且，則數列的通項公式為 ．
【答案】
【詳解】由兩邊取倒數可得，即．
所以數列是首項為2，公差為3等差數列.
所以，所以．
在數列中，若，則 .
【答案】
【分析】通過取倒數的方法，證得數列是等差數列，求得，進而求得.
【詳解】取倒數得:，
所以數列是首項為1，公差為2的等差數列，
所以，所以.
已知數列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對所給式子化簡、變形，構造新數列，通過等比數列的定義求出新數列的通項公式，再用累加法求出，進而得到數列的通項公式，即可得到答案.
【詳解】因為，由遞推知，，所以，
則，有，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，所以
則，所以.
【題型9】取倒數后進行構造
已知數列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】對所給式子化簡、變形，構造新數列，通過等比數列的定義求出新數列的通項公式，再用累加法求出，進而得到數列的通項公式，即可得到答案.
【詳解】因為，由遞推知，，所以，
則，有，
所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
則，所以
則，所以.
在數列中，，，且滿足，則 .
【答案】
【分析】由遞推公式兩邊同除得到，即可得到，即可得到是以為首項、為公比的等比數列，則，再利用累加法求出，即可得到數列的通項公式；
【詳解】解：因為，，，顯然，所以，同除得，所以，所以，所以是以為首項、為公比的等比數列，所以，所以
所以
重慶市巴蜀中學校高三下學期高考適應性月考（九）
（多選）已知數列的前n項和為，，且（，2，…），則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】對于A選項，只需判斷；
對于B選項，通過通項公式可求得；
對于C選項，將條件轉化為，可判斷錯誤；
對于D選項，將數列放縮成等比數列求和，可判斷正確.
【詳解】由條件，兩邊同時除以，得，
∴∴，∴，
對于A選項，∵，∴，∴，故A選項正確；
，，所以B選項錯誤；
對于C選項，，等價于，由極限思想知，當時，，故C選項錯誤；
對于D選項，，
∴
，又∵，所以D選項正確.
【題型10】隔項等差數列求通項（和為等差）
已知,求的通項公式．
【答案】；
已知各項均為正數的數列滿足：，,求數列的通項公式.
【答案】
【詳解】解：由，
當時，，
∴，又，，∴。
當時，，
∴為奇數時， ；當時，，
∴為偶數時，，∴
已知數列中，對任意的,都有，，求的通項公式．
【答案】
【解析】由條件，可得：
兩式相減得： ……7分
因為，所以，數列的奇數項是首項為3，公差為4的等差數列；
……8分
偶數項是首項為1公差為4的等差數列． ……9分
綜上： ……10分
【題型11】隔項等比數列求通項（積為等比）
已知正項等比數列對任意的均滿足，，求的通項公式；
【答案】
山東省濟南市二模
（多選）已知數列中，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是等比數列
C． D．
【答案】ABC
【詳解】，，，即，則，A正確；
顯然有，于是得，
因此數列，分別是以1，2為首項，2為公比的等比數列，B正確；
于是得，，
則，，C正確，D不正確.
2023·廣東深圳二模
已知數列滿足，，，.
(1)求數列的通項公式；(2)證明:數列中的任意三項均不能構成等差數列.
【答案】(1)；(2)證明見解析
【分析】(1) 由 得,分奇偶項分別求通項，最后寫出通項公式；
(2) 假設數列中存在三項數列 (其中）成等差數列，應用反證法得出矛盾證明即可.
【詳解】（1）由 ，得
以上兩式相比，得,
由，得,
所以，數列是首項為3，公比4為的等比數列，,
數列是首項為6，公比為4的等比數列，,
綜上，數列的通項公式為 .
（2）假設數列中存在三項數列 (其中）成等差數列，則 .
由（1）得，即,兩邊同時除以，得(*)
(*）式左邊為奇數，右邊為偶數
(*）等式不成立，假設不成立.
所以，數列中得任意三項均不能構成等差數列
【題型12】和為等比數列求通項
已知數列中，，求數列的前n和.
【答案】
（2023·重慶巴南·一模）在數列中，已知，，求的通項公式．
【答案】
【分析】通過湊配法證得是等比數列.
【詳解】（由，得，
即，
所以是首項為，公比為的等比數列.
.
已知數列滿足，，．
(1)求的通項公式．
(2)若數列的前項和為，且恒成立，求實數的取值范圍．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）將兩邊同時加，結合等比數列的定義證明可得，再構造數列，求解首項分析即可；
（2）根據等比數列的前項公式可得，參變分離可得，再根據的單調性求解最大值即可.
【詳解】（1）由可得，且，
故是以2為首項，3為公比的等比數列，故，
所以，又，
故，即.
（2）由（1）為等比數列，故，
故即恒成立，求的最大值即可.
設，則，
令有，故當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小.
又，故為的最大值，為，所以，
2023·浙江杭州·統二模
設公差不為0的等差數列的前n項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，，求數列的前n項和．
【答案】(1)，；(2)
【分析】（1）根據等差數列性質設出公差和首項，代入題中式子求解即可；
（2）列出通項公式，根據通項求出的前n項和，再根據通項求出的前2n項和，兩式相減解得的通項公式，最后分組求和求出數列的前n項和.
【詳解】（1），設公差為d，首項為
，因為公差不為0，所以解得，
，數列的通項公式為，.
（2）
①
②
得，解得
【題型13】奇偶數列：奇偶項遞推公式不同
2021·新高考1卷T17（1）
已知數列滿足，，記，寫出，，并求數列的通項公式
【答案】
【詳解】解：（1）[方法一]【最優解】：
顯然為偶數，則，
所以，即，且，
所以是以2為首項，3為公差的等差數列，
于是．
[方法二]：奇偶分類討論
由題意知，所以．
由（為奇數）及（為偶數）可知，
數列從第一項起，
若為奇數，則其后一項減去該項的差為1，
若為偶數，則其后一項減去該項的差為2．
所以，則．
[方法三]：累加法
由題意知數列滿足．
所以，
，
則
．
所以，數列的通項公式．
已知數列滿足，，記，求證：為等比數列
【分析】由可知結合可得進而可證為等比數列；
【詳解】證明：且
，
又
，為以4為首項，2為公比的等比數列.
2023·巴蜀中學高三校考
已知數列滿足：①；②，求的通項公式
【答案】
【詳解】當為奇數時，令，則，
當為偶數時，令，則，
則，
當時，所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以，
所以，則，
當為奇數時，由，則，所以，
當為偶數時，由，則，所以，
所以
福建師范大學附屬中學高三上學期第二次月考
大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數列滿足，，求的通項公式
【答案】
【詳解】當為奇數且時
，
累加可得
，時也符合；
當為偶數且時，
累加可得
；
則
山東省聊城市高三下學期第一次模擬
已知數列滿足，，數列滿足,求數列和的通項公式．
【答案】，
【分析】由題意先求出，再根據，得，從而可得，再利用構造法求出的通項，從而可得的通項公式；
【詳解】，得，
因為，即，解得，
由，得，
又，
故，所以，即，
所以，
又，所以數列是以為首項，為公比的等比數列，
所以，所以，
則，故，
所以
已知數列滿足，，，令，寫出，，并求出數列的通項公式；
【答案】，，
【詳解】因為，，所以，，
又，所以，，，
當，時，；
當，時，，
當時，，即，
則，，
數列是以為首項，3為公比的等比數列，
故.專題1-7 數列求通項13類題型匯總
數列求通項常見題型梳理
【題型1】Sn與an
【題型2】前n項積
【題型3】因式分解型（正項數列）
【題型4】已知等差或等比求通項
【題型5】累加法（疊加法）
【題型6】累乘法（疊乘法）
【題型7】構造：等差、等比，常數列
【題型8】取倒數型
【題型9】取倒數后進行構造
【題型10】隔項等差數列求通項（和為等差）
【題型11】隔項等比數列求通項（積為等比）
【題型12】和為等比數列求通項
【題型13】奇偶數列：奇偶項遞推公式不同
數列求通項常見題型梳理
1、與
與同時存在
角度1：已知與的關系；或與的關系 用，得到 例：已知，求
角度2：已知與的關系；或與的關系 替換題中的 例：已知； 已知
角度3：等式中左側含有： 作差法 （類似） 例子：已知求
2、前n項積
前n項積
角度1：已知和的關系 角度1：用，得到 例子：的前項之積.
角度2：已知和的關系 角度1：用替換題目中 例子：已知數列的前n項積為，且.
3、因式分解型
如果式子中出現了2次項或者正項數列這些條件，可能需要因式分解
例：設正項的前項和為
（1）若滿足,,數列的通項公式為__________
（2）若，，的通項公式為_____________
（3）若，，的通項公式為____________　
【答案】（1）；（2）；（3）
4、累加法（疊加法）
若數列滿足，求數列的通項時，利用累加法求通項公式。
具體步驟：
，將這個式子相加（左邊加左邊，右邊加右邊）得：=
5、累乘法（疊乘法）
若數列滿足，則稱數列為“變比數列”，求變比數列的通項時，利用求通項公式的方法稱為累乘法
具體步驟：
，
將這個式子相乘（左邊乘左邊，右邊乘右邊）得：
整理得：
6、構造法
類型1： 用“待定系數法”構造等比數列
形如（為常數，）的數列，可用“待定系數法”將原等式變形為（其中：），由此構造出新的等比數列，從而求出數列的通項公式.
類型2：用“同除法”構造等差數列
（1）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，從而構造數列為等差數列，進而可求得的通項公式.
（2）形如，可通過兩邊同除，將它轉化為，換元令：，則原式化為：，先利用構造法類型1求出，再求出的通項公式.
（3）形如的數列，可通過兩邊同除以，變形為的形式，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，便可求得的通項公式.
7、倒數型
用“倒數變換法”構造等差數列
類型1：形如：（為常數，）的數列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，即：，從而構造出新的等差數列，先求出的通項，即可求得.
類型2：形如（為常數，，，）的數列，通過兩邊同除“倒”過來，變形為，可通過換元：，化簡為：（可用“待定系數法”構造等比數列）
8、隔項等差數列（和為等差）
已知數列，滿足，（k≠0）
則；
；或則稱數列為隔項等差數列，其中：
①構成以為首項的等差數列，公差為；
②構成以為首項的等差數列，公差為；
9、隔項等比數列（積為等比）
已知數列，滿足，
則；
（其中為常數）；或則稱數列為隔項等比數列，其中：
①構成以為首項的等比數列，公比為；
②構成以為首項的等比數列，公比為；
10、和為等比數列（和為等比）
已知數列，滿足，
則
，再通過累加法和錯位相減求出的通項公式
【題型1】Sn與an
已知數列滿足：對任意，有，求數列的通項公式
（湖南師大學附中月考）已知數列的前項和為，若，，則有（ ）
A．為等差數列 B．為等比數列
C．為等差數列 D．為等比數列
已知數列的前項和為，若，，則數列的通項公式________
（重慶實驗外國語學校月考）（多選）若數列滿足（為正整數），為數列的前項和則（ ）
A． B．
C． D．
設為數列的前項和，已知，求
【題型2】前n項積
對于數列，前項積記為； ①；②
則①②：
已知數列的前n項和為，在數列中，，，，求數列，的通項公式
（江蘇連云港，南通調研）已知數列的前項積為，且，求的通項公式
2021·全國高考乙卷（理）——前n項積，消求
記為數列的前n項和，為數列的前n項積，已知．
（1）證明：數列是等差數列;（2）求的通項公式．
【題型3】因式分解型（正項數列）
正項遞增數列的前項和為，，求的通項公式；
已知各項都是正數的數列，前項和滿足，求數列的通項公式.
已知為數列的前n項和，，,求數列的通項公式.
【題型4】已知等差或等比求通項
注意與消Sn的方法進行區分
（湖北省黃岡市9月調研）設等差數列前項和，，滿足，，求數列的通項公式
（蘇州市高三調研）已知等比數列中，，求數列的通項公式及它的前n項和.
（佛山二模）已知各項均為正數的等比數列，其前項和為，滿足，求數列的通項公式
（濰坊一模）已知數列為等比數列，其前項和為，且滿足，求的值及數列的通項公式.
【題型5】累加法（疊加法）
在數列中，，，則
A． B． C． D．
已知數列滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
已知數列滿足，且，則（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
已知數列滿足，，，且，求數列的通項公式.
【題型6】累乘法（疊乘法）
數列滿足，，則
已知數列的首項為1，前n項和為，且，則數列的通項公式 .
（2022·新高考1卷）為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列，求的通項公式.
已知數列的前n項和為，且滿足，求的通項公式.
【題型7】構造：等差、等比，常數列
（2020·全國Ⅲ卷）設數列{an}滿足a1=3，，求an.
已知數列的前n項和為，且，求數列的通項公式；
已知數列的前n項和為，，且，求通項公式．
已知數列中，，則等于（ ）
A． B．
C． D．
數列{an}滿足，，則數列{an}的通項公式為 .
在數列中，，且對任意的，都有，求數列的通項公式
廣東省廣州市2023屆高三綜合測試（一）
已知數列的前項和為，且，求.
2023·廣東惠州一模
已知數列的前項和為，且，求數列的通項公式；
已知數列滿足，，則=（ ）
A．80 B．100 C．120 D．143
【題型8】取倒數型
已知數列滿足，且，則數列的通項公式為 ．
在數列中，若，則 .
已知數列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
【題型9】取倒數后進行構造
已知數列滿足，且，則（ ）
A． B． C． D．
在數列中，，，且滿足，則 .
重慶市巴蜀中學校高三下學期高考適應性月考（九）
（多選）已知數列的前n項和為，，且（，2，…），則（ ）
A． B． C． D．
【題型10】隔項等差數列求通項（和為等差）
已知,求的通項公式．
已知各項均為正數的數列滿足：，,求數列的通項公式.
已知數列中，對任意的,都有，，求的通項公式．
【題型11】隔項等比數列求通項（積為等比）
已知正項等比數列對任意的均滿足，，求的通項公式；
山東省濟南市二模
（多選）已知數列中，，，，則下列說法正確的是（ ）
A． B．是等比數列
C． D．
2023·廣東深圳二模
已知數列滿足，，，.
(1)求數列的通項公式；(2)證明:數列中的任意三項均不能構成等差數列.
【題型12】和為等比數列求通項
已知數列中，，求數列的前n和.
（2023·重慶巴南·一模）在數列中，已知，，求的通項公式．
已知數列滿足，，．
(1)求的通項公式．
(2)若數列的前項和為，且恒成立，求實數的取值范圍．
2023·浙江杭州·統二模
設公差不為0的等差數列的前n項和為，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，，求數列的前n項和．
【題型13】奇偶數列：奇偶項遞推公式不同
2021·新高考1卷T17（1）
已知數列滿足，，記，寫出，，并求數列的通項公式
已知數列滿足，，記，求證：為等比數列
2023·巴蜀中學高三校考
已知數列滿足：①；②，求的通項公式
福建師范大學附屬中學高三上學期第二次月考
大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋中國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程.已知大衍數列滿足，，求的通項公式
山東省聊城市高三下學期第一次模擬
已知數列滿足，，數列滿足,求數列和的通項公式．

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