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第4講　圓周運動　天體的運動
目標要求　
1.會分析常見圓周運動的向心力來源，并會處理圓周運動的問題。
2.知道開普勒定律，會分析天體的運動規律，會比較衛星的參量。
考點一　圓周運動
1．圓周運動的三種臨界情況
(1)接觸面滑動臨界：Ff＝Fmax。
(2)接觸面分離臨界：FN＝0。
(3)繩恰好繃緊：FT＝0；繩恰好斷裂：FT達到繩子可承受的最大拉力。
2．常見的圓周運動及臨界條件
(1)水平面內的圓周運動
水平面內 動力學方程 臨界情況示例
水平轉盤上的物體 Ff＝mω2r 恰好發生滑動
圓錐擺模型 mgtan θ＝mrω2 恰好離開接觸面
(2)豎直面及傾斜面內的圓周運動
輕繩模型 最高點：FT＋mg＝m 恰好通過最高點，繩的拉力恰好為0
輕桿模型 最高點：mg±F＝m 恰好通過最高點，桿對小球的力等于小球的重力
帶電小球在疊加 場中的圓周運動 等效法 關注六個位置的動力學方程，最高點、最低點、等效最高點、等效最低點，最左邊和最右邊位置 恰好通過等效最高點，恰好做完整的圓周運動
傾斜轉盤上的物體 最高點：mgsin θ±Ff＝mω2r 最低點Ff－mgsin θ＝mω2r 恰好通過最低點
例1　(2023·北京卷·10)在太空實驗室中可以利用勻速圓周運動測量小球質量。如圖所示，不可伸長的輕繩一端固定于O點，另一端系一待測小球，使其繞O做勻速圓周運動，用力傳感器測得繩上的拉力為F，用停表測得小球轉過n圈所用的時間為t，用刻度尺測得O點到球心的距離為圓周運動的半徑R。下列說法正確的是(　　)
A．圓周運動軌道可處于任意平面內
B．小球的質量為
C．若誤將n－1圈記作n圈，則所得質量偏大
D．若測R時未計入小球半徑，則所得質量偏小
學習筆記：______________________________________________________________
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例2　(2023·江蘇省南京市南京師大附中一模)如圖所示，壓縮機通過活塞在汽缸內做往復運動來壓縮和輸送氣體，活塞的中心A與圓盤在同一平面內，O為圓盤圓心，B為圓盤上一點，A、B處通過鉸鏈連接在輕桿兩端，圓盤繞過O點的軸做角速度為ω的勻速圓周運動。已知O、B間距離為r，AB桿長為L，則(　　)
A．L越大，活塞運動的范圍越大
B．圓盤半徑越大，活塞運動的范圍越大
C．當OB垂直于AB時，活塞速度為ωr
D．當OB垂直于AO時，活塞速度為ωr
學習筆記：______________________________________________________________
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例3　很多青少年在山地自行車上安裝了氣門嘴燈，夜間騎車時猶如踏著風火輪，格外亮眼。如圖甲是某種自行車氣門嘴燈，氣門嘴燈內部開關結構如圖乙所示：彈簧一端固定，另一端與質量為m的小滑塊(含觸點a)連接，當觸點a、b接觸，電路接通使氣門嘴燈發光，觸點b位于車輪邊緣。車輪靜止且氣門嘴燈在最低點時觸點a、b距離為L，彈簧勁度系數為，重力加速度大小為g，自行車輪胎半徑為R，不計開關中的一切摩擦，滑塊和觸點a、b均可視為質點。
(1)若自行車勻速行駛過程中氣門嘴燈可以一直亮，求自行車行駛的最小速度；
(2)若自行車以的速度勻速行駛，求車輪每轉一圈，氣門嘴燈的發光時間。
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解決圓周運動問題的基本思路
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考點二　天體的運動
1．開普勒定律理解
(1)根據開普勒第二定律，行星在橢圓軌道上運動時，相等時間內掃過的面積相等，則v1r1＝v2r2；
(2)根據開普勒第三定律，＝k，若為橢圓軌道，則r為半長軸，若為圓軌道，則r＝R；
(3)運行過程中行星的機械能守恒，即Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
2．衛星的發射、運行及變軌
在地面 附近 靜止 忽略自轉：G＝mg，故GM＝gR2(黃金代換式)
考慮自轉： 兩極：G＝mg 赤道：G＝mg0＋mω2R
衛星的 發射 地球的第一宇宙速度：v＝＝＝7.9 km/s是最小的發射速度和最大的環繞速度
(天體) 衛星在 圓軌道 上運行 G＝Fn＝ 軌高速低周期大
變軌 (1)由低軌變高軌，瞬時點火加速，穩定在高軌道上時速度較小、動能較小、機械能較大；由高軌變低軌，反之 (2)衛星經過兩個軌道的相切點，加速度相等，外軌道的速度大于內軌道的速度 (3)根據開普勒第三定律，半徑(或半長軸)越大，周期越長
3.天體質量和密度的計算
例4　(2023·北京卷·12)2022年10月9日，我國綜合性太陽探測衛星“夸父一號”成功發射，實現了對太陽探測的跨越式突破。“夸父一號”衛星繞地球做勻速圓周運動，距地面高度約為720 km，運行一圈所用時間約為100分鐘。如圖所示，為了隨時跟蹤和觀測太陽的活動，“夸父一號”在隨地球繞太陽公轉的過程中，需要其軌道平面始終與太陽保持固定的取向，使太陽光能照射到“夸父一號”，下列說法正確的是(　　)
A．“夸父一號”的運行軌道平面平均每天轉動的角度約為1°
B．“夸父一號”繞地球做圓周運動的速度大于7.9 km/s
C．“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度大于地球表面的重力加速度
D．由題干信息，根據開普勒第三定律，可求出日地間平均距離
學習筆記：______________________________________________________________
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例5　(2023·江蘇南京市三模)2022年10月31日，搭載夢天實驗艙的長征五號B遙四運載火箭發射取得圓滿成功。實驗艙發射可簡化為三個軌道，如圖所示，先由近地圓軌道1進入橢圓軌道2，再調整至圓軌道3。軌道上A、B、C三點與地球中心在同一直線上，A、C兩點分別為軌道2的遠地點與近地點。下列說法正確的是(　　)
A．實驗艙在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度
B．實驗艙在軌道2上運行的周期小于在軌道1上運行的周期
C．實驗艙在軌道2上的A點和在軌道3上的B點受到的萬有引力相同
D．實驗艙在軌道2上C點的速度小于在軌道3上B點的速度
學習筆記：______________________________________________________________
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例6　(2023·湖北卷·2)2022年12月8日，地球恰好運行到火星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線，此現象被稱為“火星沖日”。火星和地球幾乎在同一平面內沿同一方向繞太陽做圓周運動，火星與地球的公轉軌道半徑之比約為3∶2，如圖所示。根據以上信息可以得出(　　)
A．火星與地球繞太陽運動的周期之比約為27∶8
B．當火星與地球相距最遠時，兩者的相對速度最大
C．火星與地球表面的自由落體加速度大小之比約為9∶4
D．下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之前
例7　(2022·福建卷·4)2021年美國“星鏈”衛星曾近距離接近我國運行在距地390 km近圓軌道上的天宮空間站。為避免發生危險，天宮空間站實施了發動機點火變軌的緊急避碰措施。已知質量為m的物體從距地心r處運動到無窮遠處克服地球引力所做的功為G，式中M為地球質量，G為引力常量；現將空間站的質量記為m0，變軌前后穩定運行的軌道半徑分別記為r1、r2，如圖所示。空間站緊急避碰過程發動機做的功至少為(　　)
A.GMm0(－) B．GMm0(－)
C.GMm0(－) D．2GMm0(－)
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1．(2023·江蘇連云港市模擬)如圖所示，螺旋測微器旋鈕轉動一周，旋鈕同時沿著軸線方向前進或后退一個螺距的距離。旋鈕上“0”刻線處A點的旋轉半徑約為5.0 mm，內部螺紋的螺距x＝0.5 mm。若勻速轉動旋鈕，則A點繞軸線轉動的線速度和沿軸線移動的速度大小之比約為(　　)
A．10∶1 B．10π∶1
C．20π∶1 D．20∶1
2.(2023·江蘇省南京師范大學附屬中學一模)已知在地球赤道上空有一顆運動方向與地球自轉方向相同的衛星A，對地球赤道覆蓋的最大張角α＝60°，赤道上有一個衛星監測站B(圖中未畫出)。設地球半徑為R，自轉周期為T，地球表面重力加速度為g，那么監測站B能連續監測到衛星A的最長時間為(　　)
A. B.
C. D.
第4講　圓周運動　天體的運動
例1　A　[空間站內的物體都處于完全失重狀態，可知圓周運動的軌道可處于任意平面內，故A正確；根據F＝mω2R，ω＝，解得小球質量m＝，故B錯誤；若誤將n－1圈記作n圈，則得到的質量偏小，故C錯誤；若測R時未計入小球的半徑，則R偏小，所得質量偏大，故D錯誤。]
例2　D　[當B點在圓心左側水平位置時，活塞運動到最左位置，距離O點s1＝L＋r
當B點在圓心右側水平位置時，活塞運動到最右位置，距離O點s2＝L－r
所以活塞運動范圍為s1－s2＝2r
此距離與L無關，與r成正比，與圓盤半徑無關，故A、B錯誤；
圓盤B點速度vB＝rω
當OB垂直于AB時，如圖甲所示
此時B點的速度方向一定沿桿，則vA≠vB，故C錯誤；
當OB垂直于AO時，如圖乙所示
此時活塞速度方向與圓盤上B點速度方向相同，速度方向與桿的夾角θ相同，沿桿速度vBcos θ＝vAcos θ
此時有vA＝vB＝rω，故D正確。]
例3　(1)　(2)
解析　(1)只要氣門嘴燈位于最高點時a、b接觸即可保證全程燈亮，彈簧原長時a、b間的距離為＋L＝2L
氣門嘴燈位于最高點時恰好可以亮，則有＝mg＋2kL＝3mg
解得滿足要求的最小速度為v＝
(2)速度為時輪子滾動的周期為T＝＝
此速度下氣門嘴燈所需的向心力為
F＝m＝2mg，
此力恰好等于a、b接觸時彈簧的彈力，即無重力參與向心力，對應與圓心等高的點，故當氣門嘴燈位于下半圓周時燈亮，即t＝＝。
例4　A　[因為“夸父一號”軌道要始終保持“夸父一號”被太陽光照射到，則在一年之內轉動360°角，即軌道平面平均每天約轉動1°，故A正確；第一宇宙速度是所有繞地球做圓周運動的衛星的最大環繞速度，則“夸父一號”的速度小于7.9 km/s，故B錯誤；根據G＝ma，可知“夸父一號”繞地球做圓周運動的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C錯誤；“夸父一號”繞地球轉動，地球繞太陽轉動，中心天體不同，則根據題中信息不能求解地球與太陽的距離，故D錯誤。]
例5　A　[軌道1為近地圓軌道，實驗艙運行的速度為第一宇宙速度，實驗艙由軌道1變為軌道2，要做離心運動，因此在C點應該加速，所以在軌道2上C點的速度大于在軌道1上C點的速度，即實驗艙在軌道2上C點的速度大于第一宇宙速度，故A正確；根據開普勒第三定律＝k可知軌道半徑越大，周期越大，所以實驗艙在軌道2上運行的周期大于在軌道1上運行的周期，故B錯誤；根據萬有引力公式F＝G，可知實驗艙在軌道2上的A點和在軌道3上的B點受到的萬有引力大小相同，方向不同，故C錯誤；根據萬有引力提供向心力有G＝m，解得v＝可知實驗艙在軌道1上運行的速度大于在軌道3上的速度，而實驗艙在軌道2上C點的速度大于實驗艙在軌道1上C點的速度，所以實驗艙在軌道2上C點的速度大于在軌道3上B點的速度，故D錯誤。]
例6　B　[火星和地球均繞太陽運動，由于火星與地球的軌道半徑之比約為3∶2，根據開普勒第三定律有＝，可得＝＝，故A錯誤；火星和地球繞太陽做勻速圓周運動，速度大小均不變，當火星與地球相距最遠時，由于兩者的速度方向相反，故此時兩者相對速度最大，故B正確；在星球表面根據萬有引力定律有G＝mg，由于不知道火星和地球的質量比，故無法得出火星和地球表面的自由落體加速度，故C錯誤；火星和地球繞太陽勻速圓周運動，有ω火＝，ω地＝，要發生下一次火星沖日則有(－)t＝2π，得t＝>T地，可知下一次“火星沖日”將出現在2023年12月8日之后，故D錯誤。]
例7　A　[空間站緊急避碰的過程可簡化為加速、變軌、再加速的三個階段；空間站從軌道半徑r1變軌到半徑r2的過程，根據動能定理有
W＋W引力＝ΔEk
依題意可得引力做功
W引力＝G－G
萬有引力提供空間站在圓形軌道上做勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律有G＝m0
空間站在軌道上運動的動能為
Ek＝G
動能的變化量ΔEk＝G－G
聯立解得W＝(－)，故選A。]
高考預測
1．C　[旋動旋鈕一圈，測微螺桿便沿著旋轉軸線方向前進或后退一個螺距的距離，A點做圓周運動的線速度為vA1＝，A點水平移動的速度為vA2＝，代入數據得＝，故選C。]
2．C　[設地球質量為M，衛星A的質量為m，根據萬有引力提供向心力，有
G＝mr
由題圖可知衛星A的軌道半徑為
r＝2R
在地球表面根據萬有引力等于重力
G＝mg
聯立解得T′＝4π
如圖所示，衛星A的通信信號視為沿直線傳播，由于地球遮擋，使衛星A和地面監測站B不能一直保持直接通信，也就監測不到，當衛星A與監測站B的連線與赤道相切時即將離開可監測范圍。設無遮擋時間為t，則它們轉過的角度之差最多為2θ時就不能通信
根據幾何關系可得cos θ＝＝＝
則有t－t＝2θ
聯立以上解得t＝
故C正確，A、B、D錯誤。]

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